የቬክተር ምሳሌዎችን scalar ምርት እንዴት ማግኘት እንደሚቻል። የቬክተሮች የነጥብ ምርት፡ ንብረቶች፣ የስሌት ምሳሌዎች፣ አካላዊ ትርጉም

1. ፍቺ እና ቀላሉ ባህሪያት. ዜሮ ያልሆኑ ቬክተሮች ሀ እና ለ ወስደን በዘፈቀደ ነጥብ O፡ OA እንይዛቸው። = a እና OB = b. የማዕዘን AOB መጠን በቬክተር a እና b መካከል ያለው አንግል ይባላል እና ይገለጻል (ሀ, ለ) ከሁለቱ ቬክተሮች ውስጥ ቢያንስ አንዱ ዜሮ ከሆነ በመካከላቸው ያለው አንግል በትርጉሙ ትክክል እንደሆነ ይቆጠራል። በትርጓሜው በቬክተሮች መካከል ያለው አንግል ከ 0 ያላነሰ እና ከዚያ በላይ እንዳልሆነ ልብ ይበሉ . ከዚህም በላይ በሁለቱ ዜሮ ያልሆኑ ቬክተሮች መካከል ያለው አንግል ከ 0 ጋር እኩል ከሆነ እና እነዚህ ቬክተሮች የጋራ አቅጣጫ እና እኩል ከሆኑ ብቻ ነው. ከሆነ እና በተቃራኒ አቅጣጫዎች ካሉ ብቻ.

በቬክተሮች መካከል ያለው አንግል በነጥብ ምርጫ ላይ የተመካ አለመሆኑን እንፈትሽ O. ይህ ግልጽ ነው ቬክተሮች ኮላይነር ከሆኑ. ያለበለዚያ፣ ከዘፈቀደ ነጥብ O እናዘገያለን። 1 ቬክተሮች ኦ 1 ሀ 1 = ሀ እና ኦ 1 ውስጥ 1 = ለ እና ትሪያንግሎች AOB እና A መሆናቸውን ልብ ይበሉ 1 ስለ 1 ውስጥ 1 በሶስት ጎን እኩል ነው, ምክንያቱም |OA| = |ኦ 1 ሀ 1 | = |a|, |OB| = |ኦ 1 ውስጥ 1 | = |b|, |AB| = |አ 1 ውስጥ 1 | = |b–a| ስለዚህ ማዕዘኖች AOB እና A 1 ስለ 1 ውስጥ 1 እኩል ናቸው.

አሁን በዚህ አንቀፅ ውስጥ ዋናውን ነጥብ መስጠት እንችላለን

(5.1) ፍቺ. የሁለት ቬክተር a እና b (የተጠቆመው ab) scalar ምርት ቁጥሩ ነው። 6 , የእነዚህ ቬክተሮች ርዝማኔዎች እና በቬክተሮች መካከል ካለው አንግል ኮሳይን ምርት ጋር እኩል ነው. ባጭሩ፡-

ab = |a||b|cos (ሀ, ለ)

የስክላር ምርትን የማግኘት ክዋኔ ስካላር ቬክተር ብዜት ይባላል። የቬክተር scalar ምርት aa የዚህ ቬክተር ስኬር ካሬ ተብሎ ይጠራል እና ይገለጻል። 2 .

(5.2) የቬክተር ስኬር ካሬ ከርዝመቱ ካሬ ጋር እኩል ነው.

 ከሆነ |a|  0፣ ከዚያ (ሀ፣ሀ) = 0፣ ከየት ነው ሀ 2 = |a||a|cos0 = |a| 2 . a = 0 ከሆነ, ከዚያም a 2 = |አ| 2 = 0. 

(5.3) ጨካኝ አለመመጣጠን። የሁለት ቬክተር የስክላር ምርት ሞጁል ከምክንያቶቹ ሞዱሊ ምርት አይበልጥም፡ |ab| |አ||b|. በዚህ ሁኔታ, እኩልነት የሚገኘው ቬክተሮች a እና b ኮላይነር ከሆኑ ብቻ ነው.

 በትርጉም |ab| = ||አ||b|cos (a,b)| = |a||b||cos (a,b)|  |አ||ለ. ይህ የካውቺን እኩልነት በራሱ ያረጋግጣል። አሁን እናስተውል. ዜሮ ላልሆኑ ቬክተር ሀ እና ለ እኩልነት የሚቀዳጀው ከሆነ እና ብቻ |cos (a,b)| = 1፣ ማለትም እ.ኤ.አ. በ (ሀ, ለ) = 0 ወይም (ሀ, ለ) =  . የኋለኛው ደግሞ ቬክተሮች a እና b በጋራ የሚመሩ ወይም በተቃራኒ አቅጣጫ የሚመሩ ናቸው ከሚለው እውነታ ጋር እኩል ነው። ኮላይኔር. ከቬክተር ሀ እና b መካከል ቢያንስ አንዱ ዜሮ ከሆነ እነሱ ኮላይነር እና |ab| ናቸው። = |አ||b| = 0. 

2. የስክላር ማባዛት መሰረታዊ ባህሪያት. እነዚህም የሚከተሉትን ያካትታሉ:

(SU1) ab = ba (commutativity);

(SU2) (xa) b = x (ab) (ተያያዥነት);

(SU3) a(b+c) = ab + ac (ስርጭት)።

እዚህ ያለው ተለዋዋጭነት ግልጽ ነው, ምክንያቱም ኣብ ርእሲኡ፡ ኣብ ውሽጢ ሃገር ዝርከቡ ኣሕዋትን ኣሓትን ምእመናን ምዃኖም ተሓቢሩ =  ባ. በ x = 0 ያለው ተያያዥነትም ግልጽ ነው። x > 0 ከሆነ፣ እንግዲህ

(ሀ) ለ = |ሃ||b|cos (xa,b) = |x||a||b|cos (xa,b) = x|a||b|cos (a,b) = x (ab)

ለ (xa,b) = (a,b) (ከቬክተርስ xa እና a - ምስል 21 የጋራ መመሪያ). x ከሆነ< 0፣ ከዚያ

(xa)b = |x||a||b|cos (хa,b) = –х|а||b|(–cos (a,b)) = x|a||b|cos (a,b) = x (ab)

ለ (xa,b) = –  (a,b) (ከቬክተሮች xa እና a - ምስል 22 ተቃራኒ አቅጣጫ). ስለዚህ, ተባባሪነትም ተረጋግጧል.

ስርጭትን ማረጋገጥ የበለጠ ከባድ ነው። ለዚህም እኛ እንደዚህ አይነት ያስፈልገናል

(5.4) ለማ. ከመስመሩ ጋር ትይዩ የሆነ ዜሮ ያልሆነ ቬክተር ይሁን l፣ እና ለ የዘፈቀደ ቬክተር። ከዚያም ኦርቶጎን ትንበያለየቬክተር ለ ቀጥታ መስመር l እኩል ነው።
.



b = 0 ከሆነ ታዲያለ" = 0 እና ab = 0, ስለዚህ በዚህ ጉዳይ ላይ ለማ እውነት ነው, በሚከተለው ውስጥ ቬክተር ለ" ዜሮ እንዳልሆነ እንገምታለን. በዚህ ሁኔታ፣ ከዘፈቀደ ነጥብ O ቀጥተኛ መስመር l ቬክተሮችን OA = a እና OB = b እናስቀምጣለን እንዲሁም ቀጥ ያለ BB" ከ ነጥብ B ወደ ቀጥታ መስመር l. በትርጓሜኦለ" = ለ" እና (ሀ, ለ) =  አ.ኦ.ቢ. እንጥቀስ AOB በ እና ለሚከተሉት ሶስት ጉዳዮች ለእያንዳንዱ ጉዳይ ለየብቻ ማረጋገጥ።

1)  <  /2. ከዚያም ቬክተሮች ሀ እና በጋራ ተመርቷል (ምስል 23) እና

ለ" = =
=
.

2)  >  /2. ከዚያም ቬክተሮች ሀ እናለ"በተቃራኒ አቅጣጫ ይመራሉ (ምሥል 24) እና

ለ" = – = –
= .

3)  =  /2. ከዚያምለ" = 0 እና ab = 0፣ ከየትለ" =
= 0. 

አሁን ስርጭትን (SU3) እናረጋግጣለን. ቬክተር a ዜሮ ከሆነ ግልጽ ነው. እናድርግ ሀ  0. ከዚያም ቀጥታ መስመር እንሰራለን l || ሀ፣ እና በለ" እናሐ" የቬክተር ለ እና ሐ ኦርቶጎን ትንበያዎች በእሱ ላይ እና በመ" የቬክተር ኦርቶጎን ትንበያ ነው d = b+c በላዩ ላይ። በ Theorem 3.5መ" = ለ"+ ሐ"ለማ 5.4 ለመጨረሻው እኩልነት መተግበር እኩልነትን እናገኛለን
=
. በ a ስናባዛው ያንን እናገኛለን 2 =
, ከየትኛው ማስታወቂያ = ab+ac, እሱም መረጋገጥ ያለበት.

እኛ ያረጋገጥናቸው የቬክተሮች scalar ማባዛት ባህሪያት ከቁጥሮች ማባዛት ጋር ተመሳሳይነት አላቸው. ነገር ግን ሁሉም የቁጥሮች ማባዛት ባህሪያት ወደ ስክላር የቬክተር ማባዛት አያስተላልፉም። የተለመዱ ምሳሌዎች እነኚሁና:

) ab = 0 ከሆነ, ይህ ማለት a = 0 ወይም b = 0 ማለት አይደለም. ምሳሌ: ሁለት ዜሮ ያልሆኑ ቬክተሮች ቀኝ ማዕዘን ይፈጥራሉ.

2) ab = ac ከሆነ, ይህ ማለት b = c ማለት አይደለም, ምንም እንኳን ቬክተር a ዜሮ ባይሆንም. ምሳሌ፡ b እና c ተመሳሳይ ርዝመት ያላቸው ሁለት የተለያዩ ቬክተሮች ሲሆኑ ከቬክተር ሀ ጋር እኩል ማዕዘኖች ይፈጥራሉ (ምሥል 25)።

3) ሀ(bc) = (ab)c ሁሌም እውነት ነው የሚለው እውነት አይደለም፡ የእንደዚህ አይነት እኩልነት ትክክለኛነት ለ bc ከሆነ ብቻ፣ ab 0 የሚያመለክተው የቬክተር ሀ እና ሐ ውህድነትን ነው።

3. የቬክተሮች ኦርቶጎናዊነት. በመካከላቸው ያለው አንግል ትክክለኛ ከሆነ ሁለት ቬክተሮች ኦርቶጎን ይባላሉ. የቬክተሮች ኦርቶዶክሳዊነት በአዶው ይገለጻል .

በቬክተር መካከል ያለውን አንግል ስንወስን፣ በዜሮ ቬክተር እና በሌላ በማንኛውም ቬክተር መካከል ያለው አንግል ትክክል እንደሆነ ለመገመት ተስማምተናል። ስለዚህ, ዜሮ ቬክተር ለማንኛውም orthogonal ነው. ይህ ስምምነት ይህንን ለማረጋገጥ ያስችለናል

(5.5) የሁለት ቬክተሮች ኦርቶጎናዊነትን ይፈትሹ. የነጥብ ምርታቸው 0 ከሆነ እና ሁለት ቬክተሮች ኦርቶጎን ናቸው.

 ሀ እና ለ የዘፈቀደ ቬክተር ይሁኑ። ከመካከላቸው ቢያንስ አንዱ ዜሮ ከሆነ, እነሱ orthogonal ናቸው, እና ስኬር ምርታቸው ከ 0 ጋር እኩል ነው, ስለዚህም, በዚህ ጉዳይ ላይ ጽንሰ-ሐሳቡ እውነት ነው. አሁን ሁለቱም እነዚህ ቬክተሮች ዜሮ እንዳልሆኑ እናስብ. በትርጉም ab = |a||b|cos (ሀ, ለ) እንደእኛ ግምት፣ ቁጥሮች |a| እና |b| ከ 0 ጋር እኩል አይደሉም፣ ከዚያ ab = 0 ጋር እኩል አይደሉም cos (a,b) = 0  (a,b) = /2, ይህም መረጋገጥ ያለበት ነው.

እኩልነት ab = 0 ብዙውን ጊዜ የቬክተሮችን ኦርቶዶክሳዊነት ለመወሰን ይወሰዳል.

(5.6) ማጠቃለያ። ቬክተር ሀ ለእያንዳንዱ ቬክተር ኦርቶጎን ከሆነ ሀ 1 ፣… ፣ አ ፒ , ከዚያም ለእነሱ ማንኛውም ቀጥተኛ ጥምረት orthogonal ነው.

 ከእኩልነት አአ መሆኑን ማስተዋሉ በቂ ነው። 1 = ... = አአ ፒ = 0 እኩልነት a(x 1 ሀ 1 + … +x ፒ ሀ ፒ ) = x 1 (አህ 1 ) +… + x ፒ (አህ ፒ ) = 0. 

ከቁጥር 5.6 የመስመር እና የአውሮፕላን ቋሚነት የት/ቤቱን መስፈርት በቀላሉ ማግኘት እንችላለን። በእርግጥ፣ አንዳንድ መስመር ኤምኤን ወደ ሁለት የተጠላለፉ መስመሮች AB እና AC ቀጥ ያለ ይሁን። ከዚያም ቬክተር ኤምኤን ወደ ቬክተሮች AB እና AC orthogonal ነው. በABC አውሮፕላን ውስጥ ማንኛውንም ቀጥተኛ መስመር DE እንውሰድ። ቬክተር DE ኮፕላላር ላልሆኑ ኮላይኔር ቬክተር AB እና AC ነው፣ እና ስለዚህ በእነሱ ላይ ይሰፋል። ነገር ግን ለቬክተር ኤም ኤን እንዲሁ orthogonal ነው፣ ማለትም፣ መስመሮች MN እና DE ቀጥ ያሉ ናቸው። ቀጥ ያለ መስመር ኤምኤን ከኤቢሲ አውሮፕላን ወደ ማንኛውም ቀጥተኛ መስመር ቀጥ ያለ ነው ፣ ይህም ማረጋገጥ የሚያስፈልገው ነው።

4. የኦርቶዶክስ መሰረቶች. (5.7) ፍቺ. የቬክተር ቦታ መሠረት ኦርቶኖርማል ይባላል፣ በመጀመሪያ፣ ሁሉም ቬክተሮቹ አሃድ ርዝመት ካላቸው እና፣ ሁለተኛ፣ ማንኛውም ሁለቱ ቬክተሮቹ orthogonal ከሆኑ።

ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ላይ ያሉ ኦርቶኖርማል መሰረት ያላቸው ቬክተሮች አብዛኛውን ጊዜ በ i፣ j እና k ፊደሎች እና በቬክተር አውሮፕላን ውስጥ በ i እና j ፊደሎች ይገለፃሉ። መለያ ወደ ሁለት ቬክተር መካከል orthogonality ምልክት እና አንድ ቬክተር ያለውን scalar ካሬ ወደ ርዝመቱ ካሬ እኩልነት, ቦታ V መሠረት (i,j,k) መካከል orthonormality ሁኔታዎችን ከግምት ውስጥ በማስገባት. 3 እንደሚከተለው ሊጻፍ ይችላል፡-

(5.8) i 2 = j 2 = ክ 2 = 1, ij = ik = jk = 0,

እና የቬክተር አውሮፕላን መሠረት (i,j) - እንደዚህ:

(5.9) i 2 = j 2 = 1፣ ij = 0

ቬክተሮች ሀ እና ለ የቦታ ቪ ኦርቶኖርማል መሰረት (i,j,k) ይኑሩ 3 መጋጠሚያዎች (ኤ 1 , ኤ 2 , ኤ 3 ) እና (ለ 1 ለ 2 ,ለ 3 ) በቅደም ተከተል። ከዚያምአብ = (ሀ 1 እኔ+ሀ 2 j+ሀ 3 k) (ለ 1 i+b 2 j+b 3 k) = ሀ 1 ለ 1 እኔ 2 +ሀ 2 ለ 2 ጄ 2 +ሀ 3 ለ 3 ክ 2 +ሀ 1 ለ 2 ij+a 1 ለ 3 ik+a 2 ለ 1 ji+a 2 ለ 3 jk+a 3 ለ 1 ኪ+አ 3 ለ 2 ኪጄ = ሀ 1 ለ 1 +ሀ 2 ለ 2 +ሀ 3 ለ 3 . የቬክተሮች ስካላር ምርትን ቀመር የምናገኘው በዚህ መንገድ ነው a(ሀ 1 , ኤ 2 , ኤ 3 ) እና ለ (ለ 1 ,ለ 2 ,ለ 3 ), በቦታ V orthonormal መሠረት በአስተባባሪዎቻቸው የተሰጠ 3 :

(5.10) ab = a 1 ለ 1 +ሀ 2 ለ 2 +ሀ 3 ለ 3 .

ለቬክተሮች ሀ(ሀ 1 , ኤ 2 ) እና ለ (ለ 1 ,ለ 2 ), በቬክተር አውሮፕላን ላይ በኦርቶዶክሳዊ መሠረት በአስተባባሪዎቻቸው የተሰጠው, ቅጹ አለው

(5.11) ab = a 1 ለ 1 +ሀ 2 ለ 2 .

ለ = ሀ ወደ ቀመር (5.10) እንተካ። በኦርቶዶክሳዊ መሠረት ሀ 2 = ሀ 1 2 + ሀ 2 2 + ሀ 3 2 . ጀምሮ ሀ 2 = |አ| 2 የቬክተሩን ርዝመት ለማግኘት የሚከተለውን ቀመር እናገኛለን a(a 1 , ኤ 2 , ኤ 3 )፣ በህዋ V orthonmal መሠረት በመጋጠሚያዎቹ የተሰጠ 3 :

(5.12) |አ| =
.

በቬክተር አውሮፕላን ላይ, በ (5.11) ምክንያት, ቅጹን ይወስዳል

(5.13) |አ| =
.

b = i, b = j, b = k ወደ ቀመር (5.10) በመተካት, ሶስት ተጨማሪ ጠቃሚ እኩልነቶችን እናገኛለን.

(5.14) ai = a 1 , አጅ = አ 2 ፣ አክ = ሀ 3 .

የቬክተሮችን ስካላር ምርት ለማግኘት እና የቬክተር ርዝመት ለማግኘት የተቀናጁ ቀመሮች ቀላልነት የኦርቶዶክስ መሠረቶች ዋነኛ ጥቅም ነው. ኦርቶዶክሳዊ ላልሆኑ መሠረቶች፣ እነዚህ ቀመሮች በአጠቃላይ አነጋገር ትክክል አይደሉም፣ እና በዚህ ጉዳይ ላይ መጠቀማቸው ትልቅ ስህተት ነው።

5. አቅጣጫ cosines. የቦታውን ኦርቶዶክሳዊ መሠረት (i,j,k) እንውሰድ 3 ቬክተር ሀ (ሀ 1 , ኤ 2 , ኤ 3 ). ከዚያምai = |a||i|cos (a,i) = |a|cos (a,i)በሌላ በኩል, ai = a 1 በቀመር 5.14 መሰረት. እንደሆነ ተገለጸ

(5፡15) አ 1 = |አ|ኮስ (a,i)

እና በተመሳሳይ

ሀ 2 = |አ|ኮስ (a,j) እና 3 = |አ|ኮስ (a,k)

ቬክተር a አሃድ ከሆነ፣ እነዚህ ሶስት እኩልታዎች በተለየ ቀላል መልክ ይይዛሉ፡-

(5.16) ሀ 1 =ኮስ (a,i)ሀ 2 =ኮስ (a,j)ሀ 3 =ኮስ (a,k)

አንድ orthonormal መሠረት ቬክተር ጋር በቬክተር የተቋቋመው ማዕዘኖች ኮሳይን በዚህ መሠረት ውስጥ የዚህ ቬክተር አቅጣጫ ኮሳይን ይባላሉ. ቀመሮች 5.16 እንደሚያሳየው በኦርቶዶክሳዊ መሠረት ውስጥ የአንድ ዩኒት ቬክተር መጋጠሚያዎች ከአቅጣጫ ኮሲኖች ጋር እኩል ናቸው።

ከ 5.15 ጀምሮ ሀ 1 2 + ሀ 2 2 + ሀ 3 2 = |አ| 2 (ኮስ 2  (a,i)+cos 2  (a,j) +cos 2  (a,k)). በሌላ በኩል ሀ 1 2 + ሀ 2 2 + ሀ 3 2 = |አ| 2 . እንደሆነ ተገለጸ

(5.17) ዜሮ ያልሆነ ቬክተር የአቅጣጫ ኮሳይኖች ካሬዎች ድምር ከ 1 ጋር እኩል ነው።

ይህ እውነታ አንዳንድ ችግሮችን ለመፍታት ጠቃሚ ሊሆን ይችላል.

(5.18) ችግር. አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ትይዩ ዲያግናል 60 ማዕዘኖችን ይፈጥራል ሁለቱ ጠርዞቹ ከተመሳሳይ ወርድ ይወጣሉ። . ሦስተኛው ጠርዝ ከዚህ ጫፍ በሚወጣበት ጊዜ ምን አንግል ይሠራል?

 የቦታውን ትክክለኛ መሠረት አስቡበት V 3 ቬክተሮቹ ከተወሰነው ጫፍ በተዘረጋው ትይዩ ጠርዝ ላይ ተመስለዋል። ሰያፍ ቬክተር የዚህ መሠረት ሁለት ቬክተር ጋር 60 ማዕዘኖች ይመሰርታል ጀምሮ ፣ ከሶስቱ አቅጣጫ ኮሲኖች ውስጥ የሁለቱ ካሬዎች ከኮስ ጋር እኩል ናቸው። 2 60  = 1/4. ስለዚህ, የሶስተኛው ኮሳይን ካሬ ከ 1/2 ጋር እኩል ነው, እና ይህ ኮሳይን ራሱ ከ 1/ ጋር እኩል ነው.
. ይህ ማለት የሚፈለገው ማዕዘን 45 ነው . 

ፍቺ 1

የቬክተሮች scalar ምርት የእነዚህ ቬክተሮች ዳይኖች እና በመካከላቸው ካለው አንግል ኮሳይን ጋር እኩል የሆነ ቁጥር ነው።

የቬክተር ሀ → እና b → → ፣ b → ቅፅ አለው። ወደ ቀመር እንለውጠው፡-

a → ፣ b → = a → · b → · cos a → ፣ b → ^። a → እና b → የቬክተሮችን ርዝማኔ ያመለክታሉ, a →, b → ^ - በተሰጡት ቬክተሮች መካከል ያለውን አንግል ስያሜ. ቢያንስ አንድ ቬክተር ዜሮ ከሆነ ማለትም 0 ዋጋ ያለው ከሆነ ውጤቱ ከዜሮ ጋር እኩል ይሆናል a → , b → = 0

ቬክተርን በራሱ ስናባዛ የርዝመቱን ካሬ እናገኛለን፡-

a →፣ b → = a → b → cos a →፣ a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

ፍቺ 2

የቬክተር ስክላር ማባዛት በራሱ ስካላር ካሬ ይባላል።

በቀመር የተሰላ፡

a → ፣ b → = a → · b → · cos a → ፣ b → ^

ሀ → ፣ b → = a → · b → · cos a → ፣ b → ^ = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → የሚያሳየው n p b → a → የ a → የቁጥር ትንበያ መሆኑን ያሳያል። በ b → ላይ ፣ n p a → a → - የ b → ወደ → በቅደም ተከተል።

ለሁለት ቬክተሮች የአንድን ምርት ፍቺ እንፍጠር፡-

የሁለት ቬክተሮች ስክላር ምርት a → በ b → የቬክተር ርዝመት ምርት ይባላል

የነጥብ ምርት በመጋጠሚያዎች ውስጥ

ስካላር ምርቱ በተሰጠው አውሮፕላን ውስጥ ወይም በቦታ ውስጥ የቬክተሮች መጋጠሚያዎችን በመጠቀም ሊሰላ ይችላል.

በአውሮፕላን ላይ ያሉት የሁለት ቬክተሮች scalar ምርት፣ ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ፣ የተሰጡት የቬክተር መጋጠሚያዎች ድምር a → እና b → ይባላል።

በካርቴዥያ ስርዓት ውስጥ በአውሮፕላኑ ላይ የተሰጡትን ቬክተር → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) ስኬር ምርትን ሲያሰሉ፡-

a →፣ b → = a x b x + a y b y፣

ለባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ መግለጫው ተፈጻሚ ይሆናል፡-

a →፣ b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z .

በእውነቱ, ይህ የስካላር ምርት ሶስተኛው ፍቺ ነው.

እናረጋግጠው።

ማስረጃ 1

ይህንን ለማረጋገጥ → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y ለ vectors a → = (a x , a y) , b → = (b x,) እንጠቀማለን. ለ) በካርቴሲያን ስርዓት.

ቬክተሮች ወደ ጎን መቀመጥ አለባቸው

O A → = a → = a x , a y እና O B → = b → = b x , b y.

ከዚያም የቬክተር A B → ርዝመት ከ A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) ጋር እኩል ይሆናል.

ትሪያንግል O A Bን አስቡበት.

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B) በኮሳይን ቲዎሪ መሰረት ትክክል ነው።

እንደሁኔታው ግልጽ ነው O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ ይህ ማለት በቬክተሮች መካከል ያለውን አንግል ለማግኘት ቀመርን በተለየ መንገድ እንጽፋለን.

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · a → · b → · cos (a → , b → ^) .

ከዚያም ከመጀመሪያው ትርጉም እንደሚከተለው ነው b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · (a → , b →) ማለትም (a → , b →) = 1 2 · (a → 2) + b → 2 - b → - a → 2)።

የቬክተሮችን ርዝመት ለማስላት ቀመርን በመተግበር, እናገኛለን:
a → , b → = 1 2 · ((a 2 x + a y 2) 2 + (b 2 x + b y 2) 2 - ((b x - a x) 2 + (b y - a y) 2) 2) = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (b x - a x) 2 - (b y - a y) 2) = = a x b x + a y b y

እኩልነቶቹን እናረጋግጥ፡-

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

- በቅደም ተከተል ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ቬክተሮች.

የቬክተር መጋጠሚያዎች ያለው scalar ምርት አንድ የቬክተር scalar ካሬ በጠፈር እና በአውሮፕላን ላይ ያለውን መጋጠሚያዎች ካሬ ድምር ጋር እኩል ነው ይላል. a → = (a x , a y, a z) , b → = (b x , b y, b z) እና (a → , a →) = a x 2 + a y 2 .

የነጥብ ምርት እና ባህሪያቱ

በ → ፣ b → እና c → ላይ የሚተገበሩ የነጥብ ምርቱ ባህሪዎች አሉ።

ተለዋዋጭነት (a → , b →) = (b → , a →) ;
ስርጭት (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a →, b →) + (a →) ሐ →) ;
የተዋሃደ ንብረት (λ · a → , b →) = λ · (a → , b →), (a → , λ · b →) = λ · (a → , b →), λ - ማንኛውም ቁጥር;
ስካላር ካሬ ሁል ጊዜ ከዜሮ ይበልጣል (a → , a →) ≥ 0፣ የት (a → , a →) = 0 በ → ዜሮ በሚሆንበት ጊዜ።

ምሳሌ 1

በአውሮፕላኑ ላይ ላለው የስካላር ምርት ፍቺ እና የእውነተኛ ቁጥሮች የመደመር እና የማባዛት ባህሪዎች ምስጋና ይግባው ንብረቶቹ ሊገለጹ ይችላሉ።

ተዘዋዋሪ ንብረቱን ያረጋግጡ (a → , b →) = (b → , a →) . ከትርጓሜው (a → , b →) = አ · b y + a y · b y እና (b → , a →) = b x · a x + b y · አ .

በተለዋዋጭነት ንብረት፣ እኩልነቶች a x · b x = b x · a x እና y · b y = b y · a y እውነት ናቸው፣ ይህም ማለት x · b x + አ · b y = b x · a x + by · a y ማለት ነው።

ቀጥሎም (a → , b →) = (b → , a →) . ጥ.ኢ.ዲ.

ስርጭት ለማንኛውም ቁጥሮች የሚሰራ ነው፡-

(ሀ (1) → + ሀ (2) → +… . . + (a (n) → , b →)

እና (a → , b (1) → + b (2) → + ... . . + (a →፣ b → (n))፣

ስለዚህም አለን።

(ሀ (1) → + ሀ (2) → +… 1) → ፣ ለ (1) →) + (ሀ (1) → ፣ ለ (2) →) + . . + (ሀ (1) →፣ ለ (ም) →) + + (ሀ (2) →፣ ለ (1) →) + (ሀ (2) →፣ ለ (2) →) + . . + (ሀ (2) →፣ b (m) →) + . . + + (ሀ (n) →፣ ለ (1) →) + (a (n) →፣ ለ (2) →) + . . + (a (n) → , b (m) →)

የነጥብ ምርት በምሳሌዎች እና መፍትሄዎች

ማንኛውም የዚህ አይነት ችግር የሚፈታው ከስካላር ምርት ጋር በተያያዙ ባህሪያት እና ቀመሮች በመጠቀም ነው፡-

(a → , b →) = a → · b → · cos (a → , b → ^);
(a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a →;
(a → , b →) = a x · b x + a y · b y ወይም (a → , b →) = a x · b x + a y · b y + a z · b z;
(a → , a →) = a → 2 .

አንዳንድ መፍትሄዎችን እንደ ምሳሌ እንመልከት።

ምሳሌ 2

የ → ርዝመት 3 ነው ፣ የ b → ርዝመት 7 ነው። አንግል 60 ዲግሪ ካለው የነጥብ ምርቱን ያግኙ።

መፍትሄ

በሁኔታዎች ፣ ሁሉም መረጃዎች አሉን ፣ ስለሆነም ቀመሩን በመጠቀም እናሰላለን-

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

መልስ፡ (a →፣ b →) = 21 2 .

ምሳሌ 3

የተሰጡ ቬክተር ሀ → = (1, - 1, 2 - 3), b → = (0, 2, 2 + 3) . የ scalar ምርት ምንድን ነው?

መፍትሄ

ይህ ምሳሌ በችግር መግለጫው ውስጥ ስለተገለጹ መጋጠሚያዎችን ለማስላት ቀመርን ይመለከታል።

(a → , b →) = a x · b x + a y · b y + a z · b z = = 1 · 0 + (- 1) · 2 + (2 + 3) · (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

መልስ፡ (a →፣ b →) = - 9

ምሳሌ 4

የ A B → እና A C → scalar ምርትን ያግኙ። ነጥቦች A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) በመጋጠሚያው አውሮፕላን ላይ ተሰጥተዋል.

መፍትሄ

ለመጀመር የነጥቦቹ መጋጠሚያዎች በሁኔታዎች የተሰጡ በመሆናቸው የቬክተሮች መጋጠሚያዎች ይሰላሉ-

A B → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) A C → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)

መጋጠሚያዎችን በመጠቀም በቀመር ውስጥ በመተካት የሚከተሉትን እናገኛለን፡-

(A B →, A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28.

መልስ፡ (A B → , A C →) = 28 .

ምሳሌ 5

የተሰጡ ቬክተር ሀ → = 7 · m → + 3 · n → እና b → = 5 · m → + 8 · n → ምርታቸውን ያግኙ። m → 3 እና n → ከ 2 ክፍሎች ጋር እኩል ናቸው, እነሱ ቀጥ ያሉ ናቸው.

መፍትሄ

(a → , b →) = (7 ሜትር → + 3 n → , 5 ሜትር → + 8 n →) . የማከፋፈያ ንብረቱን በመተግበር የሚከተሉትን እናገኛለን፡-

(7 ሜትር → + 3 n →, 5 ሜትር → + 8 n →) = = (7 ሜትር →, 5 ሜትር →) + (7 ሜትር →, 8 n →) + (3 n →, 5 ሜትር →) + ( 3 n →፣ 8 n →)

የምርት ውጤቱን ከምርቱ ምልክት አውጥተን የሚከተለውን እናገኛለን

(7 ሜትር → 5 ሜትር →) + (7 ሜትር → , 8 n →) + (3 n → , 5 ሜትር →) + (3 n → , 8 n →) = = 7 · 5 · (m → , m →) + 7 · 8 · (m → , n →) + 3 · 5 · (n → , m →) + 3 · 8 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (n → , m →) + 24 · (n → , n →)

በተለዋዋጭነት ባህሪ እንለውጣለን፡-

35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (n → , m →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n → ) + 24 · (n → , n →)

በውጤቱም እኛ እናገኛለን:

(a → , b →) = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →).

አሁን ለካላር ምርቱ ቀመር በሁኔታው ከተጠቀሰው አንግል ጋር እንተገብራለን-

(a → , b →) = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · m → 2 + 71 · m → · n → · cos (m → , n → ^) + 24 · n → 2 = = 35 · 3 2 + 71 · 3 · 2 · cos π 2 + 24 · 2 2 = 411 .

መልስ፡ (a →፣ b →) = 411

የቁጥር ትንበያ ካለ.

ምሳሌ 6

የ → እና b → scalar ምርትን ያግኙ። ቬክተር a → መጋጠሚያዎች a → = (9, 3, - 3), ትንበያ ለ → ከመጋጠሚያዎች ጋር (- 3, - 1, 1) አሉት.

መፍትሄ

እንደ ሁኔታው, ቬክተሮች a → እና ትንበያ b → በተቃራኒው ይመራሉ, ምክንያቱም a → = - 1 3 · n p a → b → → , ይህም ማለት ትንበያ b → ከርዝመቱ ጋር ይዛመዳል n p a → b → → , እና ከ " ጋር ይዛመዳል. - ምልክት:

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11 ፣

በቀመሩ ውስጥ በመተካት አገላለጹን እናገኛለን፡-

(a → , b →) = a → · n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 · (- 11) = - 33 .

መልስ፡ (a →፣ b →) = - 33

የቬክተር ርዝመትን ወይም የቁጥር ትንበያን ማግኘት በሚያስፈልግበት በሚታወቀው ስካላር ምርት ላይ ችግሮች.

ምሳሌ 7

ለአንድ ስክላር ምርት ምን ዋጋ መውሰድ አለበት a → = (1, 0, λ + 1) እና b → = (λ, 1, λ) ከ -1 ጋር እኩል ይሆናል.

መፍትሄ

ከቀመርው ውስጥ የመጋጠሚያዎችን ምርቶች ድምር ማግኘት አስፈላጊ መሆኑን ግልጽ ነው-

(a → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ.

ስላለን (a → ፣ b →) = - 1።

λን ለማግኘት፣ እኩልታውን እናሰላለን፡-

λ 2 + 2 · λ = - 1፣ ስለዚህም λ = - 1።

መልስ፡ λ = - 1.

የ scalar ምርት አካላዊ ትርጉም

ሜካኒክስ የነጥብ ምርቱን አተገባበር ይመለከታል.

ኤ በቋሚ ኃይል F → የሚንቀሳቀስ አካል ከአንድ ነጥብ M እስከ N ሲሰራ የቬክተር F → እና M N → በመካከላቸው ካለው አንግል ኮሳይን ጋር ያለውን ምርት ማግኘት ይችላሉ, ይህም ማለት ስራው እኩል ነው. ወደ ኃይል እና የመፈናቀል ቬክተሮች ውጤት;

A = (F → , M N →) .

ምሳሌ 8

ከ 5 Ntons ጋር እኩል በሆነ ኃይል ተጽዕኖ ስር ያለው የቁሳቁስ ነጥብ በ 3 ሜትር ርቀት ወደ ዘንግ አንፃር በ 45 ዲግሪ ማእዘን ይመራል ። አግኝ ሀ.

መፍትሄ

ሥራ የሃይል ቬክተር እና መፈናቀል ውጤት ስለሆነ በ F → = 5, S → = 3, (F →, S → ^) = 45 ° ላይ በመመስረት, A = (F →, S) እናገኛለን ማለት ነው. →) = F → · S → · cos (F → , S → ^) = 5 · 3 · cos (45 °) = 15 2 2 .

መልስ፡ A = 15 2 2 .

ምሳሌ 9

ከኤም (2, - 1, - 3) ወደ N (5, 3 λ - 2, 4) በኃይል F → = (3, 1, 2) የሚንቀሳቀስ ቁሳቁስ ነጥብ, ከ 13 ጄ ጋር እኩል የሆነ ስራ ሰርቷል. አስላ. የእንቅስቃሴው ርዝመት.

መፍትሄ

ለተሰጡት የቬክተር መጋጠሚያዎች M N → እኛ M N → = (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3, 3 λ - 1, 7) አለን.

ከቬክተር F → = (3, 1, 2) እና M N → = (3, 3 λ - 1, 7) ጋር ሥራ ለመፈለግ ቀመርን በመጠቀም A = (F ⇒, M N →) = 3 3 + 1 እናገኛለን. 3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3 λ.

በሁኔታው መሠረት A = 13 J, ትርጉሙም 22 + 3 λ = 13 ነው. ይህ የሚያመለክተው λ = - 3 ነው, እሱም M N → = (3, 3 λ - 1, 7) = (3, - 10, 7) ማለት ነው.

የእንቅስቃሴውን ርዝመት M N → ለማግኘት ቀመሩን ይተግብሩ እና እሴቶቹን ይተኩ፡

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158.

መልስ፡- 158.

በጽሁፉ ላይ ስህተት ካጋጠመህ እባክህ አድምቀው Ctrl+Enter ን ተጫን

በችግሩ ውስጥ ሁለቱም የቬክተሮች ርዝመት እና በመካከላቸው ያለው አንግል “በብር ሳህን ላይ” ከቀረቡ የችግሩ ሁኔታ እና መፍትሄው ይህንን ይመስላል።

ምሳሌ 1.ቬክተሮች ተሰጥተዋል. ርዝመታቸው እና በመካከላቸው ያለው አንግል በሚከተሉት እሴቶች የሚወከል ከሆነ የቬክተሮችን scalar ምርት ያግኙ።

ሌላ ትርጉም እንዲሁ ልክ ነው፣ ፍፁም ከትርጉም 1 ጋር እኩል ነው።

ፍቺ 2. የቬክተሮች ስካላር ምርት ከነዚህ ቬክተሮች የአንዱ ርዝመት እና የሌላ ቬክተር ትንበያ በነዚህ ቬክተሮች የመጀመሪያው ከሚሰጠው ዘንግ ጋር እኩል የሆነ ቁጥር (ስካላር) ነው። ፎርሙላ በፍቺ 2፡-

ይህንን ቀመር በመጠቀም ችግሩን ከሚቀጥለው አስፈላጊ የንድፈ ሐሳብ ነጥብ በኋላ እንፈታዋለን.

ከመጋጠሚያዎች አንጻር የቬክተሮች scalar ምርት ፍቺ

የሚባዙት ቬክተሮች መጋጠሚያዎቻቸው ከተሰጡ ተመሳሳይ ቁጥር ማግኘት ይቻላል.

ፍቺ 3.የቬክተሮች የነጥብ ምርት ከተዛማጅ መጋጠሚያዎቻቸው ጥንድ አቅጣጫ ምርቶች ድምር ጋር እኩል የሆነ ቁጥር ነው።

ላይ ላዩን

ሁለት ቬክተሮች እና አውሮፕላኑ ላይ በሁለቱ ከተገለጹ የካርቴዥያ አራት ማዕዘን መጋጠሚያዎች

ከዚያ የእነዚህ ቬክተሮች scalar ምርት ከተዛማጅ መጋጠሚያዎቻቸው ጥንድ አቅጣጫ ምርቶች ድምር ጋር እኩል ነው።

ምሳሌ 2.ከቬክተሩ ጋር ትይዩ በሆነው ዘንግ ላይ የቬክተሩን ትንበያ የቁጥር እሴት ያግኙ።

መፍትሄ። የመጋጠሚያዎቻቸውን ጥንድ አቅጣጫ በማከል የቬክተሮችን scalar ምርት እናገኛለን፡-

አሁን የተገኘውን scalar ምርት ከቬክተር ርዝመት ምርት ጋር እና የቬክተሩ ትንበያ ከቬክተር ጋር ትይዩ በሆነ ዘንግ ላይ (በቀመርው መሰረት) ጋር ማመሳሰል አለብን።

የቬክተሩን ርዝመት እንደ መጋጠሚያዎቹ ካሬዎች ድምር ካሬ ሥር ሆኖ እናገኘዋለን፡

ቀመር እንፈጥራለን እና እንፈታዋለን፡-

መልስ። የሚፈለገው የቁጥር እሴት 8 ተቀንሷል።

በጠፈር ውስጥ

ሁለት ቬክተሮች እና በጠፈር ውስጥ በሶስት የካርቴዥያ አራት ማዕዘን መጋጠሚያዎች ከተገለጹ

ከዚያ የእነዚህ ቬክተሮች scalar ምርት ከተዛማጅ መጋጠሚያዎቻቸው ጥንድ አቅጣጫ ምርቶች ድምር ጋር እኩል ነው ፣ ቀድሞውኑ ሦስት መጋጠሚያዎች ብቻ አሉ።

የታሰበውን ዘዴ በመጠቀም የስክላር ምርትን የማግኘት ተግባር የመለኪያውን ባህሪያት ከመረመረ በኋላ ነው. ምክንያቱም በችግሩ ውስጥ የተባዙ ቬክተሮች የሚፈጠሩትን አንግል መወሰን ያስፈልግዎታል.

የቬክተሮች scalar ምርት ባህሪያት

የአልጀብራ ባህሪያት

1. (ተዘዋዋሪ ንብረት: የተባዙ ቬክተሮች ቦታዎችን መቀልበስ የስኬር ምርታቸውን ዋጋ አይለውጥም).

2. (ተጓዳኝ ንብረት ከቁጥራዊ ሁኔታ ጋርየቬክተር scalar ምርት በተወሰነ ምክንያት ሲባዛ እና ሌላ ቬክተር የእነዚህ ቬክተሮች ስኬር ምርት በተመሳሳይ ምክንያት ከተባዛው ጋር እኩል ነው።

3. (ከቬክተሮች ድምር አንጻር የሚከፋፈል ንብረትበሦስተኛው ቬክተር የሁለት ቬክተር ድምር ስካላር ምርት የመጀመሪያው ቬክተር በሦስተኛው ቬክተር እና ሁለተኛው ቬክተር በሦስተኛው ቬክተር ከ scalar ምርቶች ድምር ጋር እኩል ነው).

4. (ከዜሮ የሚበልጥ የቬክተር ስኬር ካሬ), ዜሮ ያልሆነ ቬክተር ከሆነ እና , ዜሮ ቬክተር ከሆነ.

የጂኦሜትሪክ ባህሪያት

በጥናት ላይ ባለው ቀዶ ጥገና ትርጓሜዎች ውስጥ, በሁለት ቬክተሮች መካከል ያለውን አንግል ጽንሰ-ሐሳብ አስቀድመን ነክተናል. ይህንን ጽንሰ-ሐሳብ ለማብራራት ጊዜው አሁን ነው.

ከላይ ባለው ስእል ላይ ወደ አንድ የጋራ አመጣጥ የሚመጡ ሁለት ቬክተሮችን ማየት ይችላሉ. እና ትኩረት መስጠት ያለብዎት የመጀመሪያው ነገር በእነዚህ ቬክተሮች መካከል ሁለት ማዕዘኖች መኖራቸው ነው - φ 1 እና φ 2 . ከእነዚህ ማዕዘኖች ውስጥ በ vectors scalar ምርት ትርጓሜዎች እና ባህሪያት ውስጥ የሚታየው የትኛው ነው? የታሰቡት ማዕዘኖች ድምር 2 ነው። π እና ስለዚህ የእነዚህ ማዕዘኖች ኮሲኖች እኩል ናቸው. የነጥብ ምርት ትርጉም የማእዘኑ ኮሳይን ብቻ ነው የሚያጠቃልለው እንጂ የገለጻውን ዋጋ አይደለም። ነገር ግን ንብረቶቹ አንድ ማዕዘን ብቻ ግምት ውስጥ ያስገባሉ. እና ይህ ከሁለቱ ማዕዘኖች የማይበልጥ ነው π ማለትም 180 ዲግሪዎች. በሥዕሉ ላይ ይህ አንግል እንደ ተጠቁሟል φ 1 .

1. ሁለት ቬክተሮች ይባላሉ orthogonal እና በእነዚህ ቬክተሮች መካከል ያለው አንግል ቀጥ ያለ ነው (90 ዲግሪ ወይም π /2) ከሆነ የእነዚህ ቬክተሮች scalar ምርት ዜሮ ነው :

በቬክተር አልጀብራ ውስጥ ያለው ኦርቶጎናዊነት የሁለት ቬክተር ቀጥተኛነት ነው።

2. ሁለት ዜሮ ያልሆኑ ቬክተሮች ይሠራሉ ሹል ጥግ (ከ 0 እስከ 90 ዲግሪ, ወይም, ተመሳሳይ ነው - ያነሰ π የነጥብ ምርት አዎንታዊ ነው። .

3. ሁለት ዜሮ ያልሆኑ ቬክተሮች ይሠራሉ obtuse አንግል (ከ 90 እስከ 180 ዲግሪ, ወይም, ምን ተመሳሳይ ነው - ተጨማሪ π /2) ከሆነ እና እነሱ ከሆኑ ብቻ የነጥብ ምርት አሉታዊ ነው። .

ምሳሌ 3.መጋጠሚያዎቹ በቬክተሮች ይሰጣሉ፡-

የሁሉም ጥንዶች የተሰጡ ቬክተሮች ስኬር ምርቶችን አስላ። እነዚህ ጥንድ ቬክተሮች የሚፈጠሩት ምን አንግል (አጣዳፊ፣ ቀኝ፣ ግልጽ ያልሆነ) ነው?

መፍትሄ። ተጓዳኝ መጋጠሚያዎች ምርቶችን በማከል እናሰላለን.

አሉታዊ ቁጥር አግኝተናል, ስለዚህ ቬክተሮች ግልጽ ያልሆነ ማዕዘን ይመሰርታሉ.

አዎንታዊ ቁጥር አግኝተናል, ስለዚህ ቬክተሮች አጣዳፊ ማዕዘን ይመሰርታሉ.

ዜሮ አግኝተናል, ስለዚህ ቬክተሮች ትክክለኛ ማዕዘን ይመሰርታሉ.

አዎንታዊ ቁጥር አግኝተናል, ስለዚህ ቬክተሮች አጣዳፊ ማዕዘን ይመሰርታሉ.

ለራስ-ምርመራ መጠቀም ይችላሉ። የመስመር ላይ ካልኩሌተር ነጥብ የቬክተር እና በመካከላቸው ያለው አንግል ኮሳይን። .

ምሳሌ 4.የሁለት ቬክተሮች ርዝማኔ እና በመካከላቸው ካለው አንግል አንጻር፡-

ቬክተሮች በየትኛው የቁጥሩ ዋጋ ላይ ይወስኑ እና orthogonal (ቀጥታ) ናቸው.

መፍትሄ። ፖሊኖሚሎችን ለማባዛት ደንቡን በመጠቀም ቬክተሮችን እናባዛው፡-

አሁን እያንዳንዱን ቃል እናሰላለን-

እኩልታ እንፍጠር (ምርቱ ከዜሮ ጋር እኩል ነው)፣ ተመሳሳይ ቃላትን እንጨምር እና እኩልታውን እንፍታ፡

መልስ: ዋጋውን አግኝተናል λ = 1.8, በዚህ ላይ ቬክተሮች ኦርቶጎን ናቸው.

ምሳሌ 5.ቬክተር መሆኑን ያረጋግጡ orthogonal (ቀጥታ) ወደ ቬክተር

መፍትሄ። ኦርቶዶክሳዊነትን ለመፈተሽ ቬክተርን እናባዛቸዋለን እና እንደ ፖሊኖሚሎች፣ በምትኩ በችግሩ መግለጫ ላይ የተሰጠውን መግለጫ እንተካለን።

ይህንን ለማድረግ የመጀመሪያውን ፖሊኖሚል እያንዳንዱን ቃል (ጊዜ) በእያንዳንዱ የሁለተኛው ቃል ማባዛት እና የተገኙትን ምርቶች መጨመር ያስፈልግዎታል.

በውጤቱም, ክፍልፋዩ በ. የሚከተለው ውጤት ተገኝቷል.

ማጠቃለያ-በማባዛት ምክንያት ዜሮ አገኘን ፣ ስለሆነም ፣ የቬክተሮች አቀማመጦች (perpendicularity) ተረጋግጠዋል።

ችግሩን እራስዎ ይፍቱ እና መፍትሄውን ይመልከቱ

ምሳሌ 6.የቬክተሮች ርዝማኔዎች እና ተሰጥተዋል, እና በእነዚህ ቬክተሮች መካከል ያለው አንግል ነው π /4. በምን አይነት ዋጋ ይወስኑ μ ቬክተሮች እና እርስ በርስ ቀጥ ያሉ ናቸው.

ለራስ-ምርመራ መጠቀም ይችላሉ። የመስመር ላይ ካልኩሌተር ነጥብ የቬክተር እና በመካከላቸው ያለው አንግል ኮሳይን። .

የቬክተሮች የነጥብ ምርት እና የ n-dimensional vectors ምርት ማትሪክስ ውክልና

አንዳንድ ጊዜ ግልጽነት ሁለት የተባዙ ቬክተሮችን በማትሪክስ መልክ መወከሉ ጠቃሚ ነው። ከዚያ የመጀመሪያው ቬክተር እንደ የረድፍ ማትሪክስ እና ሁለተኛው እንደ አምድ ማትሪክስ ነው የሚወከለው፡-

ከዚያም የቬክተሮች scalar ምርት ይሆናል የእነዚህ ማትሪክስ ምርት :

ውጤቱ ቀደም ሲል በተመለከትነው ዘዴ ከተገኘው ጋር ተመሳሳይ ነው. አንድ ነጠላ ቁጥር አግኝተናል ፣ እና የረድፍ ማትሪክስ በአምድ ማትሪክስ እንዲሁ አንድ ነጠላ ቁጥር ነው።

የአብስትራክት n-dimensional vectors ምርትን በማትሪክስ መልክ ለመወከል ምቹ ነው። ስለዚህ የሁለት ባለአራት ቬክተሮች ምርት የረድፍ ማትሪክስ ከአራት አካላት ጋር በአምድ ማትሪክስ እንዲሁ በአራት አካላት ፣ የሁለት አምስት-ልኬት ቬክተሮች ውጤት የረድፍ ማትሪክስ በአምስት አካላት ይሆናል አምድ ማትሪክስ እንዲሁ ከአምስት አካላት ጋር ፣ ወዘተ.

ምሳሌ 7.የቬክተር ጥንድ የሆኑ scalar ምርቶችን ያግኙ

የማትሪክስ ውክልና በመጠቀም.

መፍትሄ። የመጀመሪያዎቹ ጥንድ ቬክተሮች. የመጀመሪያውን ቬክተር እንደ ረድፍ ማትሪክስ, እና ሁለተኛው እንደ አምድ ማትሪክስ እንወክላለን. የእነዚህን ቬክተሮች scalar ምርት እንደ የረድፍ ማትሪክስ እና የአምድ ማትሪክስ ውጤት ሆኖ አግኝተነዋል።

እኛም በተመሳሳይ ሁለተኛውን ጥንድ እንወክላለን እና እናገኛለን፡-

እንደምታየው፣ ውጤቶቹ ከተመሳሳይ ጥንዶች ምሳሌ 2 ጋር ተመሳሳይ ነበሩ።

በሁለት ቬክተሮች መካከል አንግል

በሁለት ቬክተሮች መካከል ያለው የማዕዘን ኮሳይን ቀመር ማውጣት በጣም ቆንጆ እና አጭር ነው።

የቬክተሮችን የነጥብ ምርት ለመግለጽ

(1)

በቅንጅት መልክ በመጀመሪያ የዩኒት ቬክተሮችን ስካላር ምርት እናገኛለን. የቬክተር scalar ምርት በራሱ ትርጉም፡-

ከላይ ባለው ቀመር የተጻፈው ማለት፡- ከራሱ ጋር የቬክተር ስክላር ምርት ከርዝመቱ ካሬ ጋር እኩል ነው።. የዜሮ ኮሳይን ከአንድ ጋር እኩል ነው፣ ስለዚህ የእያንዳንዱ ክፍል ካሬ ከአንድ ጋር እኩል ይሆናል፡

ከቬክተሮች ጀምሮ

በጥንድ አቅጣጫ ቀጥ ያሉ ናቸው፣ ከዚያም የንጥል ቬክተሮች ጥንድ ምርቶች ከዜሮ ጋር እኩል ይሆናሉ፡

አሁን የቬክተር ፖሊኖሚሎችን ማባዛት እናከናውን፡-

የዩኒት ቬክተሮች ተጓዳኝ scalar ምርቶች እሴቶችን በእኩልነት በቀኝ በኩል እንተካለን-

በሁለት ቬክተሮች መካከል ያለውን የማዕዘን ኮሳይን ቀመር እናገኛለን፡-

ምሳሌ 8.ሶስት ነጥብ ተሰጥቷል። ሀ(1;1;1), ለ(2;2;1), ሲ(2;1;2).

አንግል ያግኙ.

መፍትሄ። የቬክተሮች መጋጠሚያዎችን መፈለግ;

የኮሳይን አንግል ቀመር በመጠቀም እናገኛለን፡-

ስለዚህም .

ለራስ-ምርመራ መጠቀም ይችላሉ። የመስመር ላይ ካልኩሌተር ነጥብ የቬክተር እና በመካከላቸው ያለው አንግል ኮሳይን። .

ምሳሌ 9.ሁለት ቬክተሮች ተሰጥተዋል

በመካከላቸው ያለውን ድምር፣ ልዩነት፣ ርዝመት፣ የነጥብ ምርት እና አንግል ያግኙ።

2.ልዩነት

በቬክተሮች መካከል አንግል

ሁለት የተሰጡ ቬክተሮችን ተመልከት $\overrightarrow(a)$ እና $\overright arrow(b)$። ቬክተሮችን እንቀንሳለን $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ እና $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$ በዘፈቀደ ከተመረጠው ነጥብ $O$፣ከዚያም አንግል $AOB$ ይባላል። በቬክተሮች መካከል ያለው አንግል $\ከቀጥታ ቀስት(a)$ እና $\ቀጥታ ቀስት(b)$ (ምስል 1)።

ምስል 1.

እዚህ ላይ ልብ ይበሉ ቬክተሮች $\overrightarrow(a)$ እና $\overrightarrow(b)$ ኮዲሬክሽናል ከሆኑ ወይም ከመካከላቸው አንዱ ዜሮ ቬክተር ከሆነ በቬክተሮቹ መካከል ያለው አንግል $0^0$ ነው።

ማስታወሻ፡ $\ widehat(\overright arrow(a)፣\overright arrow(b))$

የቬክተሮች የነጥብ ምርት ጽንሰ-ሐሳብ

በሒሳብ፣ ይህ ፍቺ እንደሚከተለው ሊጻፍ ይችላል።

የነጥብ ምርቱ በሁለት ሁኔታዎች ዜሮ ሊሆን ይችላል፡-

ከቬክተሮች አንዱ ዜሮ ቬክተር ከሆነ (ከዚያ ጀምሮ ርዝመቱ ዜሮ ነው).

ቬክተሮቹ እርስ በእርሳቸው ቀጥ ያሉ ከሆኑ (ይህም $cos(90)^0=0$) ከሆነ።

በእነዚህ ቬክተሮች መካከል ያለው አንግል አጣዳፊ ከሆነ (ከ$(cos \ ግራ(\ widehat(\overrightarrow(a)\overrightarrow(a))\overrightarrow(b))\ቀኝ)\) >0$) ከሆነ ስካላር ምርቱ ከዜሮ እንደሚበልጥ ልብ ይበሉ። እና በእነዚህ ቬክተሮች መካከል ያለው አንግል ደብዛዛ ከሆነ ከዜሮ በታች ከሆነ (ከ$ (cos \ ግራ(\ widehat(\overrightarrow(a),\overright arrow(b))\ right)\)

ከስካላር ምርት ፅንሰ-ሀሳብ ጋር የሚዛመደው የ scalar square ጽንሰ-ሐሳብ ነው።

ፍቺ 2

የቬክተር $\overrightarrow(a)$ ስኬር ካሬ የዚህ ቬክተር ከራሱ ጋር ስኬር ውጤት ነው።

ስካላር ካሬው እኩል እንደሆነ እናገኘዋለን

የነጥብ ምርቱን ከቬክተር መጋጠሚያዎች በማስላት ላይ

ከትርጉሙ ቀጥሎ ካለው የስካላር ምርት ዋጋ ለማግኘት ከመደበኛ መንገድ በተጨማሪ ሌላ መንገድ አለ.

እስቲ እናስብበት።

ቬክተሮች $\overright ቀስት(a)$ እና $\overright arrow(b)$ በቅደም ተከተል $\ግራ(a_1፣b_1\ቀኝ)$ እና $\ግራ(a_2፣b_2\ቀኝ)$ መጋጠሚያዎች ይኑራቸው።

ቲዎሪ 1

የቬክተሮች $\overrightarrow(a)$ እና $\overrightarrow(b)$ ከተጓዳኝ መጋጠሚያዎች ምርቶች ድምር ጋር እኩል ነው።

በሂሳብ ይህ እንደሚከተለው ሊጻፍ ይችላል

\[\ቀጥታ ቀስት(ሀ)\ቀጥታ ቀስት(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

ማረጋገጫ።

ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.

ይህ ጽንሰ-ሐሳብ በርካታ ውጤቶች አሉት:

ማብራሪያ 1፡ ቬክተሮች $\ከቀጥታ ቀስት(a)$ እና $\ቀጥታ ቀስት(b)$ ቀጥ ያሉ ሲሆኑ እና $a_1a_2+b_1b_2=0$ ከሆነ ብቻ

ማብራሪያ 2፡ በቬክተሮች መካከል ያለው አንግል ኮሳይን $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$ ጋር እኩል ነው።

የቬክተሮች scalar ምርት ባህሪያት

ለማንኛውም ሶስት ቬክተሮች እና እውነተኛ ቁጥር $k$ የሚከተለው እውነት ነው፡

$(\ቀጥታ ቀስት(a))^2\ge 0$

ይህ ንብረት ከስኬር ካሬ ፍቺ (ፍቺ 2) ይከተላል።

የጉዞ ህግ፡-$\overright ቀስት(ሀ)\ቀጥታ ቀስት(b)=\ቀጥታ ቀስት(ለ)\ቀጥተኛ ቀስት(a)$።

ይህ ንብረት ከስካላር ምርት ፍቺ (ፍቺ 1) ይከተላል።

የማከፋፈያ ህግ፡-

$\ግራ(\ቀጥታ ቀስት(ሀ)+\ቀጥታ ቀስት(ለ)\ቀኝ \ (መቁጠር)

በቲዎረም 1፣ እኛ አለን።

\[\ግራ(\ቀጥታ ቀስት(ሀ)+\ቀጥታ ቀስት(ለ)\ቀኝ)\ቀጥታ ቀስት(c)=\ግራ(a_1+a_2\ቀኝ)a_3+\ግራ(b_1+b_2\ቀኝ)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\ቀጥታ ቀስት(ሀ)\ቀጥታ ቀስት(ሐ)+

ጥምር ህግ፡$\ግራ(k\overቀኝ ቀስት(a)\ቀኝ)\ቀጥታ ቀስት(b)=k(\overright arrow(a)\overright arrow(b))$. \(መቁጠር)

በቲዎረም 1፣ እኛ አለን።

\[\ግራ(k\overቀኝ ቀስት(a)\ቀኝ)\ቀጥተኛ ቀስት(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\ግራ(a_1a_2+b_1b_2\ቀኝ)=k(\ቀጥተኛ ቀስት(ሀ)\ቀጥተኛ ቀስት(b))\]

የቬክተሮችን ስካላር ምርት ለማስላት የችግር ምሳሌ

ምሳሌ 1

የቬክተሮቹ scalar ምርትን ያግኙ $\ከላይ ቀስት(a)$ እና $\ከላይ ቀስት(b)$ ከ$\ግራ|\ቀጥታ ቀስት(a)\ቀኝ|=3$ እና $\ግራ|\ቀጥታ ቀስት(b)\ቀኝ = 2$፣ እና በመካከላቸው ያለው አንግል $((30)^0፣\ 45)^0፣\ (90)^0፣\ (135)^0$ ጋር እኩል ነው።

መፍትሄ።

ፍቺ 1 ን በመጠቀም, እናገኛለን

ለ$(30)^0:$

\[\overright ቀስት(ሀ)\ቀጥታ ቀስት(b)=6(cos \ግራ((30)^0\ቀኝ)\)=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]

ለ$(45)^0:$

\[\overright ቀስት(ሀ)\ቀጥታ ቀስት(b)=6(cos \ግራ((45)^0\ቀኝ)\)=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]

ለ$(90)^0:$

\[\ቀጥታ ቀስት(ሀ)\ቀጥታ ቀስት(b)=6(cos \ ግራ((90)^0\ቀኝ)\ )=6\cdot 0=0\]

ለ$(135)^0:$

\[\overright ቀስት(ሀ)\ቀጥታ ቀስት(b)=6(cos \ግራ((135)^0\ቀኝ)\)=6\cdot \ግራ(-\frac(\sqrt(2))(2)\ ቀኝ)=-3\sqrt(2)\]

ስለዚህ, የቬክተር ርዝመት የእሱ መጋጠሚያዎች ካሬዎች ድምር እንደ ካሬ ሥር ይሰላል
. የ n-dimensional vector ርዝመት በተመሳሳይ መንገድ ይሰላል
. እያንዳንዱ የቬክተር መጋጠሚያ በመጨረሻው እና በጅማሬው መጋጠሚያዎች መካከል ያለው ልዩነት መሆኑን ካስታወስን, ለክፍሉ ርዝመት ቀመር እናገኛለን, ማለትም. በነጥቦች መካከል የዩክሊዲያን ርቀት።

Scalar ምርትበአውሮፕላኑ ላይ ያሉት ሁለት ቬክተሮች የእነዚህ ቬክተሮች ርዝመት እና በመካከላቸው ያለው አንግል ኮሳይን ውጤት ነው።
. የሁለት ቬክተሮች scalar ምርት መሆኑን ማረጋገጥ ይቻላል = (x 1, x 2) እና = (y 1፣ y 2) የእነዚህ ቬክተሮች ተጓዳኝ መጋጠሚያዎች ምርቶች ድምር ጋር እኩል ነው።
= x 1 * y 1 + x 2 * y 2።

n-dimensional space ውስጥ፣ የቬክተር X=(x 1፣ x 2፣...፣x n) እና Y= (y 1፣ y 2፣...፣y n) የምርቶቹ ድምር ውጤት ይገለጻል። የእነሱ ተዛማጅ መጋጠሚያዎች: X * Y = x 1 * y 1 + x 2 * y 2 + ... + x n * y n.

ቬክተሮችን እርስ በርስ የማባዛት አሠራር የረድፍ ማትሪክስ በአምድ ማትሪክስ ከማባዛት ጋር ተመሳሳይ ነው. ውጤቱ ቬክተር ሳይሆን ቁጥር እንደሚሆን አጽንኦት እናደርጋለን.

የቬክተሮች scalar ምርት የሚከተሉት ባህሪያት አሉት (አክሲየም)

1) ተንቀሳቃሽ ንብረት፡- X*Y=Y*X።

2) የመደመርን በተመለከተ የማከፋፈያ ንብረት፡- X(Y+Z) =X*Y+X*Z።

3) ለማንኛውም እውነተኛ ቁጥር 
.

4)
, ifX ዜሮ ቬክተር አይደለም;
ifX ዜሮ ቬክተር ነው።

አራቱን ተዛማጅ ዘንጎች የሚያረካ የቬክተር scalar ምርት የሚሰጥበት መስመራዊ የቬክተር ቦታ ይባላል። Euclidean መስመራዊ ቬክተርቦታ.

ማንኛውንም ቬክተር በራሱ ስናባዛ የርዝመቱን ካሬ እናገኛለን። ስለዚህ የተለየ ነው። ርዝመትአንድ ቬክተር የራሱ scalar ካሬ ሥር እንደ ሊገለጽ ይችላል:.

የቬክተር ርዝመት የሚከተሉትን ባሕርያት አሉት:

1) |X| = 0Х = 0;

2) |X| = ||*|X|፣ እውነተኛ ቁጥር የሆነበት;

3) |X*Y||X|*|Y| ( የካውቺ-ቡኒያኮቭስኪ እኩልነት);

4) |X+Y||X|+|Y| ( የሶስት ማዕዘን አለመመጣጠን).

n-dimensional space ውስጥ በቬክተር መካከል ያለው አንግል  የሚወሰነው በስክላር ምርት ፅንሰ-ሀሳብ ላይ ነው። በእርግጥ, ከሆነ
፣ ያ
. ይህ ክፍልፋይ ከአንድ አይበልጥም (እንደ ካውቺ-ቡኒያኮቭስኪ እኩልነት) ፣ ስለዚህ ከዚህ  ማግኘት እንችላለን።

ሁለቱ ቬክተሮች ተጠርተዋል orthogonalወይም ቀጥ ያለስካላር ምርታቸው ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ። ከስካላር ምርት ፍቺ አንጻር ሲታይ ዜሮ ቬክተር ለማንኛውም ቬክተር orthogonal ነው. ሁለቱም orthogonal vectors ዜሮ ካልሆኑ, ከዚያም cos= 0, i.e.=/2 = 90 o.

ስእል 7.4 እንደገና እንይ። ከሥዕሉ መረዳት እንደሚቻለው የቬክተር ወደ አግድም ዘንግ የማዘንበል አንግል  የማዕዘን ኮሳይን እንደሚከተለው ሊሰላ ይችላል።
, እና የማዕዘን ኮሳይን የቬክተር ወደ ቋሚው ዘንግ ማዘንበል እንዲህ ነው.
. እነዚህ ቁጥሮች ብዙውን ጊዜ ይጠራሉ አቅጣጫ cosines. የአቅጣጫ ኮሲኖች ካሬዎች ድምር ሁልጊዜ ከአንድ ጋር እኩል መሆኑን ማረጋገጥ ቀላል ነው: cos 2 +cos 2 = 1. በተመሳሳይም የአቅጣጫ ኮሳይን ጽንሰ-ሀሳቦች ከፍ ያለ ስፋት ላላቸው ቦታዎች ማስተዋወቅ ይቻላል.

የቬክተር ቦታ መሰረት

ለቬክተሮች, ጽንሰ-ሐሳቦችን መግለፅ እንችላለን መስመራዊ ጥምረት,መስመራዊ ጥገኛእና ነፃነትእነዚህ ጽንሰ-ሐሳቦች ለማትሪክስ ረድፎች እንዴት እንደተዋወቁ ተመሳሳይ። እንዲሁም ቬክተሮቹ ቀጥተኛ ጥገኛ ከሆኑ ቢያንስ አንዱ ከሌሎቹ አንጻር ሊገለጽ ይችላል (ማለትም የእነሱ ቀጥተኛ ጥምረት ነው)። ንግግሩም እውነት ነው፡ አንደኛው ቬክተር የሌሎቹ ቀጥተኛ ጥምረት ከሆነ፣ እነዚህ ሁሉ ቬክተሮች በአንድ ላይ በመስመር ላይ ጥገኛ ናቸው።

ከቬክተሮች መካከል a l, a 2,...m ዜሮ ቬክተር ካለ, ይህ የቬክተር ስብስብ የግድ ቀጥተኛ ጥገኛ ነው. እንደ እውነቱ ከሆነ፣ l a l + 2 a 2 +...+ m a m = 0፣ ለምሳሌ፣ በዜሮ ቬክተር ላይ ያለውን ኮፊፊሽን jን ከአንድ፣ እና ሌሎች ሁሉንም ውህደቶች ከዜሮ ጋር እናመሳስላለን። በዚህ ሁኔታ ሁሉም የቁጥር መጠን ከዜሮ ( j ≠ 0) ጋር እኩል አይሆንም።

በተጨማሪም, ከቬክተሮች ስብስብ የተወሰኑ የቬክተሮች ክፍል በመስመር ላይ ጥገኛ ከሆኑ, እነዚህ ሁሉ ቬክተሮች በቀጥታ ጥገኛ ናቸው. እንደውም አንዳንድ ቬክተሮች ዜሮ ቬክተርን በመስመራዊ ጥምርታቸው ሁለቱም ዜሮ ካልሆኑ ኮፊሸንት (coefficients) ጋር ከሰጡ ቀሪዎቹ ቬክተሮች በዜሮ ማባዛት ወደዚህ የምርት ድምር ሊጨመሩ ይችላሉ እና አሁንም ዜሮ ቬክተር ይሆናል።

ቬክተሮች በመስመር ላይ ጥገኛ መሆናቸውን እንዴት መወሰን ይቻላል?

ለምሳሌ ሶስት ቬክተሮችን እንውሰድ፡ a 1 = (1, 0, 1, 5), a 2 = (2, 1, 3, -2) and a 3 = (3, 1, 4, 3). ከእነሱ ውስጥ ማትሪክስ እንፍጠር, በውስጡም ዓምዶች ይሆናሉ.

ከዚያም የመስመር ጥገኝነት ጥያቄ የዚህን ማትሪክስ ደረጃ ለመወሰን ይቀንሳል. ከሶስት ጋር እኩል ሆኖ ከተገኘ ሦስቱም ዓምዶች በመስመር ላይ ገለልተኛ ናቸው ፣ እና ያነሰ ከሆነ ፣ ይህ የቬክተሮች መስመራዊ ጥገኛን ያሳያል።

ደረጃው 2 ስለሆነ, ቬክተሮች በመስመር ላይ ጥገኛ ናቸው.

የችግሩ መፍትሄ በመስመራዊ ነፃነት ፍቺ ላይ በተመሰረተ አስተሳሰብም ሊጀምር እንደሚችል ልብ ይበሉ። ይኸውም የቬክተር እኩልታ ፍጠር  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0፣ እሱም ቅጽ ይወስዳል 2) + 3 *(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0). ከዚያ የእኩልታዎች ስርዓት እናገኛለን-

የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም ይህንን ስርዓት መፍታት ተመሳሳይ ደረጃ ማትሪክስ ለማግኘት ይቀንሳል ፣ አንድ ተጨማሪ አምድ ብቻ ይኖረዋል - ነፃ ውሎች። የዜሮዎች ቀጥተኛ ለውጦች ወደተለየ ውጤት ሊመሩ ስለማይችሉ ሁሉም ዜሮ ይሆናሉ። የተለወጠው የእኩልታዎች ስርዓት ቅጹን ይወስዳል፡-

የዚህ ሥርዓት መፍትሔ (-с;-с; с) ይሆናል, с የዘፈቀደ ቁጥር ነው; ለምሳሌ (-1;-1;1). ይህ ማለት  l = -1; 2 =-1 እና 3 = 1 ብንወስድ፣ እንግዲያውስ l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0፣ ማለትም። ቬክተሮቹ በእውነቱ ቀጥተኛ ጥገኛ ናቸው.

ከተፈታው ምሳሌ መረዳት እንደሚቻለው ከጠፈር ስፋት የሚበልጡትን የቬክተሮች ብዛት ከወሰድን የግድ በቀጥታ መስመር ላይ ጥገኛ ይሆናሉ። በእውነቱ, በዚህ ምሳሌ ውስጥ አምስት ቬክተሮችን ከወሰድን, 4 x 5 ማትሪክስ እናገኛለን, ይህም ደረጃው ከአራት በላይ መሆን አይችልም. እነዚያ። ከፍተኛው የመስመር ላይ ገለልተኛ ዓምዶች ቁጥር አሁንም ከአራት አይበልጥም። ሁለት፣ ሶስት ወይም አራት ባለ አራት አቅጣጫዊ ቬክተሮች በመስመር ላይ ገለልተኛ ሊሆኑ ይችላሉ፣ ግን አምስት ወይም ከዚያ በላይ ሊሆኑ አይችሉም። ስለዚህ በአውሮፕላኑ ውስጥ ከሁለት በላይ ቬክተሮች በመስመር ላይ ገለልተኛ ሊሆኑ አይችሉም። ባለ ሁለት-ልኬት ቦታ ውስጥ ያሉ ማንኛቸውም ሶስት ቬክተሮች በመስመር ላይ ጥገኛ ናቸው። ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ፣ ማንኛውም አራት (ወይም ከዚያ በላይ) ቬክተሮች ሁል ጊዜ በመስመር ላይ ጥገኛ ናቸው። እናም ይቀጥላል.

ለዛ ነው ልኬትቦታ በውስጡ ሊሆኑ የሚችሉ ከፍተኛው የመስመር ላይ ገለልተኛ ቬክተሮች ብዛት ተብሎ ሊገለጽ ይችላል።

n-ልኬት ቦታ R መካከል n መስመራዊ ነጻ ቬክተር ስብስብ ይባላል መሠረትይህ ቦታ.

ቲዎረም. እያንዳንዱ የመስመራዊ ቦታ ቬክተር እንደ መስመራዊ የመሠረት ቬክተሮች ጥምረት እና ልዩ በሆነ መንገድ ሊወከል ይችላል።

ማረጋገጫ። ቬክተሮች e l፣ e 2፣...e n መሠረት-ልኬት ቦታን ይሥሩ አር. ማንኛውም ቬክተር X የእነዚህ ቬክተሮች መስመራዊ ጥምረት መሆኑን እናረጋግጥ። ከቬክተር X ጋር፣ የቬክተሮች ብዛት (n +1) ስለሚሆን፣ እነዚህ (n +1) ቬክተሮች በመስመር ላይ ጥገኛ ይሆናሉ፣ ማለትም። በአንድ ጊዜ ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆኑ ቁጥሮች l፣ 2፣...፣ n፣ አሉ።

 l e l + 2 e 2 +...+ n n +Х = 0

በዚህ ሁኔታ, 0, ምክንያቱም ያለበለዚያ እኛ  l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0፣ ሁሉም ኮፊፊሸንስ l፣ 2፣...፣ n ከዜሮ ጋር እኩል በማይሆኑበት እናገኘዋለን። ይህ ማለት የመሠረት ቬክተሮች በመስመር ላይ ጥገኛ ይሆናሉ ማለት ነው. ስለዚህ፣ የመጀመሪያውን እኩልታ ሁለቱንም ጎኖች በሚከተሉት መከፋፈል እንችላለን፡-

( l /) e l + ( 2 /) e 2 +...+ ( n /) ሠ n + X = 0

Х = ( l /) e l - ( 2 /) e 2 -...- ( n /) e n

Х = x le l +x 2 e 2 +...+x n e n፣

የት x j = -( j /)፣
.

አሁን በመስመራዊ ጥምረት መልክ እንዲህ ዓይነቱ ውክልና ልዩ መሆኑን እናረጋግጣለን. እስቲ ተቃራኒውን እንውሰድ, ማለትም. ሌላ ውክልና እንዳለ፡-

Х = y le l +y 2 e 2 +...+y n e n

ከዚህ ቀደም የተገኘውን አገላለጽ በቃላት እንቀንስ፡-

0 = (y l – x 1) e l + (y 2 – x 2) ሠ 2 +...+ (y n – x n) e n

የመሠረት ቬክተሮች በመስመር ላይ ነፃ ስለሆኑ ያንን እናገኛለን (y j - x j) = 0,
ማለትም y j = x j . ስለዚህ አገላለጹ ተመሳሳይ ሆነ። ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.

X = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n የሚለው አገላለጽ ይባላል መበስበስቬክተር X በ e l፣ e 2፣...e n፣ እና ቁጥሮች x l፣ x 2፣...x n ላይ የተመሠረተ - መጋጠሚያዎች vector x ከዚህ መሠረት አንፃር ወይም በዚህ መሠረት።

የ n-dimensional Euclidean ቦታ ያልሆኑ ዜሮ ቬክተር ጥንድ orthogonal ከሆነ, ከዚያም እነርሱ መሠረት ይመሰርታሉ መሆኑን ማረጋገጥ ይቻላል. እንደውም የእኩልነት ሁለቱንም ጎኖች እናባዛለን l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 በማንኛውም ቬክተር ኢ.  l (e l *е i) +  2 (e 2 *е i) +...+  n (e n *е i) = 0   i (e i *е i) = 0   i = እናገኛለን። 0 ለ  i.

ቬክተሮች ኢ ኤል፣ ሠ 2፣... ሠ n የ n ልኬት ዩክሊዲየን የጠፈር ቅርጽ ኦርቶዶክሳዊ መሠረት, እነዚህ ቬክተሮች ጥንድ ኦርቶጎን ከሆኑ እና የእያንዳንዳቸው መደበኛነት ከአንድ እኩል ነው, ማለትም. ከሆነ e i *e j = 0 ለ i≠j и |е i | = 1 ለ i

ቲዎረም (ማስረጃ የለም)። በእያንዳንዱ n-dimensional Euclidean ቦታ ውስጥ orthonormal መሠረት አለ.

የኦርቶዶክስ መሠረት ምሳሌ የ n ዩኒት ቬክተሮች e i ስርዓት ነው, ለዚህም i-th ክፍል ከአንድ እና የተቀሩት ክፍሎች ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው. እያንዳንዱ እንደዚህ አይነት ቬክተር ይባላል ኦርት. ለምሳሌ, የቬክተር ቬክተሮች (1, 0, 0), (0, 1, 0) እና (0, 0, 1) የሶስት አቅጣጫዊ ቦታን መሠረት ይመሰርታሉ.

የቬክተር ምሳሌዎችን scalar ምርት እንዴት ማግኘት እንደሚቻል። የቬክተሮች የነጥብ ምርት፡ ንብረቶች፣ የስሌት ምሳሌዎች፣ አካላዊ ትርጉም

የነጥብ ምርት በመጋጠሚያዎች ውስጥ

የነጥብ ምርት እና ባህሪያቱ

የነጥብ ምርት በምሳሌዎች እና መፍትሄዎች

የ scalar ምርት አካላዊ ትርጉም

ከመጋጠሚያዎች አንጻር የቬክተሮች scalar ምርት ፍቺ

ላይ ላዩን

በጠፈር ውስጥ

የቬክተሮች scalar ምርት ባህሪያት

የአልጀብራ ባህሪያት

የጂኦሜትሪክ ባህሪያት

ችግሩን እራስዎ ይፍቱ እና መፍትሄውን ይመልከቱ

የቬክተሮች የነጥብ ምርት እና የ n-dimensional vectors ምርት ማትሪክስ ውክልና

በሁለት ቬክተሮች መካከል አንግል

የቬክተሮች የነጥብ ምርት ጽንሰ-ሐሳብ

የነጥብ ምርቱን ከቬክተር መጋጠሚያዎች በማስላት ላይ

የቬክተሮች scalar ምርት ባህሪያት

የቬክተሮችን ስካላር ምርት ለማስላት የችግር ምሳሌ

የቬክተር ቦታ መሰረት

የቅርብ ጊዜ

ይህን ማወቅ አለብህ