የማትሪክስ ማትሪክስ ዘዴን በመጠቀም የተሰጠውን ማትሪክስ ተገላቢጦሽ ማትሪክስ ያግኙ። ማትሪክስ አልጀብራ - ማትሪክስ ተገላቢጦሽ

ለማንኛውም ነጠላ ያልሆነ ማትሪክስ A ልዩ የሆነ ማትሪክስ A -1 አለ

A*A -1 =A -1 *A = ኢ፣

የት ኢ እንደ ሀ ተመሳሳይ ትዕዛዞች የማንነት ማትሪክስ ነው. ማትሪክስ A -1 የማትሪክስ A ተገላቢጦሽ ይባላል.

አንድ ሰው የረሳው ከሆነ፣ በማንነት ማትሪክስ ውስጥ፣ ከተሞላው ዲያግናል በስተቀር፣ ሁሉም ሌሎች ቦታዎች በዜሮዎች የተሞሉ ናቸው፣ የማንነት ማትሪክስ ምሳሌ፡-

ተጓዳኝ ማትሪክስ ዘዴን በመጠቀም የተገላቢጦሽ ማትሪክስ ማግኘት

የተገላቢጦሽ ማትሪክስ በቀመር ይገለጻል፡-

የት A ij - ንጥረ ነገሮች a ij.

እነዚያ። የተገላቢጦሹን ማትሪክስ ለማስላት የዚህን ማትሪክስ መወሰኛ ማስላት ያስፈልግዎታል. ከዚያ የአልጀብራ ማሟያዎችን ለሁሉም ክፍሎቹ ይፈልጉ እና ከእነሱ አዲስ ማትሪክስ ያዘጋጁ። በመቀጠል ይህንን ማትሪክስ ማጓጓዝ ያስፈልግዎታል. እና እያንዳንዱን የአዲሱን ማትሪክስ አካል በዋናው ማትሪክስ መወሰኛ ይከፋፍሉት።

ጥቂት ምሳሌዎችን እንመልከት።

ለማትሪክስ A -1 ያግኙ

የመፍትሄ ሃሳብ ተጓዳኝ ማትሪክስ ዘዴን በመጠቀም A -1ን እንፈልግ። እኛ det A = 2. እኛ የማትሪክስ ኤ ንጥረ ነገሮች አልጀብራ ማሟያዎችን ለማግኘት እንመልከት በዚህ ሁኔታ ውስጥ, የማትሪክስ አባሎች አልጀብራ ማሟያ ማትሪክስ ራሱ ተጓዳኝ ንጥረ ይሆናል, ቀመር መሠረት ምልክት ጋር የተወሰደ.

A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2 አለን. ተያያዥ ማትሪክስ እንፈጥራለን.

ማትሪክስ A * እናጓጓዛለን:

ቀመሩን በመጠቀም የተገላቢጦሽ ማትሪክስ እናገኛለን፡-

እናገኛለን፡-

የተጓዳኝ ማትሪክስ ዘዴን በመጠቀም A -1 ከሆነ ያግኙ

መፍትሄ በመጀመሪያ ደረጃ, የተገላቢጦሽ ማትሪክስ መኖሩን ለማረጋገጥ የዚህን ማትሪክስ ፍቺ እናሰላለን. እና አለነ

እዚህ በሁለተኛው ረድፍ አካላት ላይ የሶስተኛው ረድፍ አካላትን ጨምረናል ፣ ቀደም ሲል በ (-1) ተባዝተናል ፣ እና ከዚያ ለሁለተኛው ረድፍ ወሳኙን አስፋፍተናል። የዚህ ማትሪክስ ፍቺ ከዜሮ የተለየ ስለሆነ ተገላቢጦሹ ማትሪክስ አለ። ተጓዳኝ ማትሪክስ ለመገንባት, የዚህን ማትሪክስ አካላት የአልጀብራ ማሟያዎችን እናገኛለን. እና አለነ

በቀመርው መሰረት

የትራንስፖርት ማትሪክስ A*

ከዚያም በቀመርው መሰረት

የአንደኛ ደረጃ ትራንስፎርሜሽን ዘዴን በመጠቀም የተገላቢጦሽ ማትሪክስ ማግኘት

ከቀመር (የተጓዳኝ ማትሪክስ ዘዴ) ከሚከተለው የተገላቢጦሽ ማትሪክስ የማግኘት ዘዴ በተጨማሪ የአንደኛ ደረጃ ትራንስፎርሜሽን ዘዴ ተብሎ የሚጠራው ተገላቢጦሽ ማትሪክስ የማግኘት ዘዴ አለ።

የመጀመሪያ ደረጃ ማትሪክስ ለውጦች

የሚከተሉት ለውጦች የመጀመሪያ ደረጃ ማትሪክስ ለውጦች ይባላሉ።

1) የረድፎችን (አምዶች) ማስተካከል;

2) ረድፍ (አምድ) ከዜሮ ሌላ ቁጥር ማባዛት;

3) በአንድ ረድፍ (አምድ) ላይ የሌላ ረድፍ (አምድ) ተጓዳኝ አካላትን መጨመር, ቀደም ሲል በተወሰነ ቁጥር ተባዝቷል.

ማትሪክስ A -1ን ለማግኘት አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ማትሪክስ B = (A|E) የትዕዛዝ (n; 2n) እንገነባለን፣ በማትሪክስ A በቀኝ በኩል የማንነት ማትሪክስ E በክፋይ መስመር እንመድባለን፡

አንድ ምሳሌ እንመልከት።

የአንደኛ ደረጃ ትራንስፎርሜሽን ዘዴን በመጠቀም, A -1 ከሆነ ያግኙ

መፍትሄው ማትሪክስ ለ:

የማትሪክስ B ረድፎችን በ α 1 ፣ α 2 ፣ α 3 እንጥቀስ። በማትሪክስ B ረድፎች ላይ የሚከተሉትን ለውጦች እናድርግ።

ፍቺ 1፡መለያው ዜሮ ከሆነ ማትሪክስ ነጠላ ይባላል።

ፍቺ 2፡መለያው ከዜሮ ጋር እኩል ካልሆነ ማትሪክስ ነጠላ ያልሆነ ይባላል።

ማትሪክስ "A" ይባላል የተገላቢጦሽ ማትሪክስ, ሁኔታው A * A-1 = A-1 * A = E (ዩኒት ማትሪክስ) ከተሟላ.

ካሬ ማትሪክስ የማይቀለበስ ነጠላ ካልሆነ ብቻ ነው።

ተገላቢጦሹን ማትሪክስ ለማስላት እቅድ፡-

1) የማትሪክስ "A" የሚወስን ከሆነ ያሰሉ ∆ A = 0, ከዚያ የተገላቢጦሽ ማትሪክስ የለም.

2) ሁሉንም የማትሪክስ "A" አልጀብራ ማሟያዎችን ያግኙ።

3) ማትሪክስ ከ አልጀብራ ተጨማሪዎች(አይጂ)

4) የአልጀብራ ማሟያዎችን ማትሪክስ (Aij) ቲ

5) የተላለፈውን ማትሪክስ የዚህን ማትሪክስ መወሰኛ በተገላቢጦሽ ማባዛት።

6) ማጣራት;

በመጀመሪያ ሲታይ ውስብስብ ሊመስል ይችላል, ግን በእውነቱ ሁሉም ነገር በጣም ቀላል ነው. ሁሉም መፍትሄዎች በቀላል ላይ የተመሰረቱ ናቸው የሂሳብ ስራዎች, በሚወስኑበት ጊዜ ዋናው ነገር ከ "-" እና "+" ምልክቶች ጋር ግራ ላለመጋባት እና እነሱን ላለማጣት ነው.

አሁን የተገላቢጦሹን ማትሪክስ በማስላት አንድ ተግባራዊ ተግባር አንድ ላይ እንፍታ.

ተግባር፡ ከታች በስዕሉ ላይ የሚታየውን የተገላቢጦሽ ማትሪክስ "A" ያግኙ፡

የተገላቢጦሹን ማትሪክስ ለማስላት በእቅዱ ላይ በተገለፀው መሰረት ሁሉንም ነገር በትክክል እንፈታለን.

1. ማድረግ ያለብዎት የመጀመሪያው ነገር የማትሪክስ "A" መወሰኛን መፈለግ ነው:

ማብራሪያ፡-

መሰረታዊ ተግባራቶቹን በመጠቀም ወሳኙን ቀለል አድርገነዋል። በመጀመሪያ, ወደ 2 ኛ እና 3 ኛ መስመሮች የመጀመሪያውን መስመር ንጥረ ነገሮች በአንድ ቁጥር ተባዝተናል.

በሁለተኛ ደረጃ, የመወሰኛውን 2 ኛ እና 3 ኛ አምዶች ቀይረናል, እና እንደ ንብረቶቹ, ከፊት ለፊት ያለውን ምልክት ቀይረናል.

በሶስተኛ ደረጃ, የሁለተኛውን መስመር የጋራ ምክንያት (-1) አውጥተናል, በዚህም ምልክቱን እንደገና ቀይረናል, እና አዎንታዊ ሆነ. እንዲሁም መስመር 3ን በምሳሌው መጀመሪያ ላይ በተመሳሳይ መንገድ ቀለል አድርገነዋል።

ከዲያግናል በታች ያሉት ንጥረ ነገሮች ከዜሮ ጋር እኩል የሆኑ ሶስት ማዕዘን መወሰኛ አለን ፣ እና በንብረት 7 እሱ ከዲያግናል አካላት ምርት ጋር እኩል ነው። በመጨረሻ አገኘን ∆ A = 26, ስለዚህ ተገላቢጦሽ ማትሪክስ አለ.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 = -1*(9+2) = -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1* (-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. የሚቀጥለው እርምጃ ከተጨመሩት ተጨማሪዎች ማትሪክስ ማጠናቀር ነው፡-

5. ይህን ማትሪክስ በወሳኙ ተገላቢጦሽ ማለትም በ1/26 ማባዛት፡-

6. አሁን ማረጋገጥ አለብን:

በፈተናው ወቅት, የማንነት ማትሪክስ አግኝተናል, ስለዚህ, መፍትሄው በትክክል ተካሂዷል.

የተገላቢጦሹን ማትሪክስ ለማስላት 2 መንገድ።

1. የመጀመሪያ ደረጃ ማትሪክስ ለውጥ

2. የተገላቢጦሽ ማትሪክስ በአንደኛ ደረጃ መቀየሪያ በኩል።

የአንደኛ ደረጃ ማትሪክስ ለውጥ የሚከተሉትን ያጠቃልላል

1. ሕብረቁምፊን ከዜሮ ጋር እኩል ባልሆነ ቁጥር ማባዛት።

2. ወደ ማንኛውም መስመር መጨመር ሌላ መስመር በቁጥር ተባዝቷል.

3. የማትሪክስ ረድፎችን ይቀይሩ.

4. የአንደኛ ደረጃ ለውጦችን ሰንሰለት በመተግበር ሌላ ማትሪክስ እናገኛለን.

ሀ -1 = ?

1. (አ|ኢ) ~ (ኢ|አ -1 )

2.አ -1 * ኤ = ኢ

ይህንን እንመልከት ተግባራዊ ምሳሌከእውነተኛ ቁጥሮች ጋር።

የአካል ብቃት እንቅስቃሴየተገላቢጦሽ ማትሪክስ ያግኙ።

መፍትሄ፡-

እስቲ እንፈትሽ፡

በመፍትሔው ላይ ትንሽ ማብራሪያ;

በመጀመሪያ የማትሪክስ 1 እና 2 ረድፎችን እንደገና አስተካክለናል, ከዚያም የመጀመሪያውን ረድፍ በ (-1) አበዛነው.

ከዚያ በኋላ, የመጀመሪያውን ረድፍ በ (-2) በማባዛት እና በማትሪክስ ሁለተኛ ረድፍ ጨምረናል. ከዚያም መስመር 2ን በ1/4 አበዛነው።

የመጨረሻው ደረጃለውጦቹ የሁለተኛውን መስመር በ2 ማባዛት እና ከመጀመሪያው መደመር ናቸው። በውጤቱም, በግራ በኩል የማንነት ማትሪክስ አለን, ስለዚህ, የተገላቢጦሽ ማትሪክስ በቀኝ በኩል ያለው ማትሪክስ ነው.

ካጣራን በኋላ ውሳኔው ትክክል መሆኑን አረጋግጠናል።

እንደሚመለከቱት ፣ የተገላቢጦሹን ማትሪክስ ማስላት በጣም ቀላል ነው።

በዚህ ንግግር መጨረሻ ላይ, በእንደዚህ አይነት ማትሪክስ ባህሪያት ላይ ትንሽ ጊዜ ማሳለፍ እፈልጋለሁ.

ማትሪክስ አልጀብራ - ተገላቢጦሽ ማትሪክስ

የተገላቢጦሽ ማትሪክስ

የተገላቢጦሽ ማትሪክስማትሪክስ ሲሆን በቀኝም በግራም በተሰጠው ማትሪክስ ሲባዛ የማንነት ማትሪክስ ይሰጣል።
የማትሪክስ ተገላቢጦሽ ማትሪክስ እንጥቀስ ሀበኩል ፣ ከዚያ እንደ ፍቺው እናገኛለን-

የት ኢ- የማንነት ማትሪክስ.
ካሬ ማትሪክስተብሎ ይጠራል ልዩ አይደለም (ያልተበላሸ) የሚወስነው ዜሮ ካልሆነ። አለበለዚያ ይባላል ልዩ (የተበላሸ) ወይም ነጠላ.

ጽንሰ-ሀሳቡ የሚከተሉትን ይይዛል- እያንዳንዱ ነጠላ ያልሆነ ማትሪክስ የተገላቢጦሽ ማትሪክስ አለው።

የተገላቢጦሽ ማትሪክስ የማግኘት ክዋኔ ይባላል ይግባኝማትሪክስ. የማትሪክስ ተገላቢጦሽ ስልተ ቀመርን እንመልከት። ነጠላ ያልሆነ ማትሪክስ ይስጥ n- ትዕዛዝ;

የት Δ = det ሀ ≠ 0.

የአንድ ንጥረ ነገር አልጀብራ መጨመርማትሪክስ n- ትዕዛዝ ሀበተወሰነ ምልክት የተወሰደውን ማትሪክስ መወሰኛ ይባላል ( n-1) በመሰረዝ የተገኘ ትዕዛዝ እኔ- ኛ መስመር እና ጄኛ ማትሪክስ አምድ ሀ:

የሚባሉትን እንፍጠር ተያይዟልማትሪክስ፡

የማትሪክስ ተጓዳኝ አካላት የአልጀብራ ማሟያዎች የት አሉ። ሀ.
የማትሪክስ ረድፍ አባሎች አልጀብራ መጨመሩን ልብ ይበሉ ሀበማትሪክስ ተጓዳኝ አምዶች ውስጥ ተቀምጠዋል Ã ፣ ማለትም ፣ ማትሪክስ በተመሳሳይ ጊዜ ይተላለፋል።
ሁሉንም የማትሪክስ ንጥረ ነገሮችን በመከፋፈል Ã በ Δ - የማትሪክስ መወሰኛ ዋጋ ሀበውጤቱ የተገላቢጦሽ ማትሪክስ እናገኛለን

የተገላቢጦሽ ማትሪክስ በርካታ ልዩ ባህሪያትን እናስተውል፡-
1) ለተወሰነ ማትሪክስ ሀየእሱ ተገላቢጦሽ ማትሪክስ ብቸኛው ነው;
2) የተገላቢጦሽ ማትሪክስ ካለ, ከዚያ ቀኝ ተቃራኒእና ግራ ተቃራኒማትሪክስ ከእሱ ጋር ይጣጣማሉ;
3) ነጠላ (ነጠላ) ካሬ ማትሪክስ የተገላቢጦሽ ማትሪክስ የለውም።

የተገላቢጦሽ ማትሪክስ መሰረታዊ ባህሪዎች
1) የተገላቢጦሽ ማትሪክስ እና የዋናው ማትሪክስ ወሳኙ ተገላቢጦሽ ናቸው;
2) የካሬ ማትሪክስ ምርት ተገላቢጦሽ ማትሪክስ በተገላቢጦሽ ቅደም ተከተል ከተወሰደው የተገላቢጦሽ ማትሪክስ ውጤት ጋር እኩል ነው።

3) የተላለፈው ተገላቢጦሽ ማትሪክስ ከተሰጠው ማትሪክስ ተገላቢጦሽ ማትሪክስ ጋር እኩል ነው።

ለምሳሌ የተሰጠውን ማትሪክስ ተገላቢጦሽ አስላ።

ይህ ርዕስ በተማሪዎች ዘንድ በጣም ከሚጠሉት አንዱ ነው። ይባስ, ምናልባት, ብቃቶች ናቸው.

ዘዴው የተገላቢጦሽ አካል ጽንሰ-ሀሳብ (እና ስለ ማትሪክስ ብቻ አይደለም የምናገረው) የማባዛት ስራን ይጠቁመናል። ውስጥ እንኳን የትምህርት ቤት ሥርዓተ-ትምህርትማባዛት እንደ ውስብስብ አሠራር ይቆጠራል፣ እና ማትሪክስ ማባዛት በአጠቃላይ የተለየ ርዕስ ነው፣ ለዚህም እኔ ሙሉ አንቀጽ እና የቪዲዮ ትምህርት ይሰጠኛል።

ዛሬ ወደ ማትሪክስ ስሌቶች ዝርዝር ውስጥ አንገባም. እናስታውስ: ማትሪክስ እንዴት እንደሚሰየም, እንዴት እንደሚባዙ እና ከዚህ ምን እንደሚከተል.

ግምገማ፡ ማትሪክስ ማባዛት።

በመጀመሪያ ፣ በማስታወሻ ላይ እንስማማ ። የ$A$ ማትሪክስ መጠን $\ግራ[m\times n \right]$ በቀላሉ በትክክል $m$ ረድፎች እና $n$ አምዶች ያሉት የቁጥሮች ሠንጠረዥ ነው።

\=\ under brace (\ ግራ[ \ጀማሪ (ማትሪክስ) ((a)_(11)) & ((ሀ)__(12)) & ... & ((ሀ)_(1n)) \\ ሀ)__(21)) & ((ሀ)__(22)) & ... & ((ሀ)__(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)__(m1)) & ((a)__(m2)) & ... & ((a)__(mn)) \\\መጨረሻ(ማትሪክስ) \ቀኝ])_(n)\]

ረድፎችን እና ዓምዶችን በአጋጣሚ እንዳይቀላቀሉ (እመኑኝ በፈተና ውስጥ አንድን ከሁለት ረድፎች ይቅርና አንዳንድ ረድፎችን ማደናቀፍ ይችላሉ) ምስሉን ብቻ ይመልከቱ፡-

የማትሪክስ ሴሎች ኢንዴክሶችን መወሰን

ምን እየተደረገ ነው? ካስቀመጥክ መደበኛ ስርዓትበላይኛው ግራ ጥግ ላይ $OXY$ን ያስተባብራል እና መጥረቢያዎቹን በመምራት ሙሉውን ማትሪክስ እንዲሸፍኑ ያደርጋል፣ ከዚያ እያንዳንዱ የዚህ ማትሪክስ ሕዋስ በተለየ ሁኔታ ከ$\ግራ(x;y \ቀኝ)$ ጋር መጋጠሚያ ሊሆን ይችላል - ይህ ረድፉ ይሆናል። ቁጥር እና የአምድ ቁጥር.

ለምንድነው የማስተባበሪያ ስርዓቱ በላይኛው ግራ ጥግ ላይ የተቀመጠው? አዎን, ምክንያቱም ማንኛውንም ጽሑፍ ማንበብ የምንጀምረው ከዚያ ነው. ለማስታወስ በጣም ቀላል ነው.

ለምንድን ነው የ$x$ ዘንግ ወደ ቀኝ ሳይሆን ወደ ታች ይመራል? እንደገና፣ ቀላል ነው፡ መደበኛ የማስተባበሪያ ስርዓት ይውሰዱ (የ$ x$ ዘንግ ወደ ቀኝ ይሄዳል፣ የ$y$ ዘንግ ወደ ላይ ይወጣል) እና ማትሪክስ እንዲሸፍን ያሽከርክሩት። ይህ በ 90 ዲግሪ በሰዓት አቅጣጫ መዞር ነው - ውጤቱን በሥዕሉ ላይ እናያለን.

በአጠቃላይ, የማትሪክስ አካላትን ኢንዴክሶች እንዴት እንደሚወስኑ አውቀናል. አሁን ማባዛትን እንመልከት።

ፍቺ ማትሪክስ $A=\ግራ[m\times n \right]$ እና $B=\ግራ[n\times k \right]$፣ በመጀመሪያው ላይ ያሉት የአምዶች ብዛት በሁለተኛው ውስጥ ካሉት የረድፎች ብዛት ጋር ሲገጣጠም፣ ወጥነት ይባላል።

በትክክል በዚያ ቅደም ተከተል. አንድ ሰው ግራ ሊጋባ ይችላል እና ማትሪክስ $A$ እና $B$ የታዘዙ ጥንድ $\ግራ(A;B \ቀኝ)$ ይመሰርታሉ ሊል ይችላል፡ በዚህ ቅደም ተከተል ወጥነት ያለው ከሆነ $B ምንም አስፈላጊ አይደለም $ እና $A$ እነዚያ። ጥንድ $\ግራ(B;A \ቀኝ)$ እንዲሁ ወጥ ነው።

የተጣጣሙ ማትሪክስ ብቻ ማባዛት ይቻላል.

ፍቺ የተጣጣሙ ማትሪክስ $A=\ግራ[m\times n \right]$ እና $B=\ግራ[n\times k \right]$ አዲሱ ማትሪክስ $C=\ግራ[m\times k \ቀኝ ነው። $((c)__(ij))$ የሚሰላባቸው ንጥረ ነገሮች በቀመሩ መሰረት፡-

\[(((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)((((a)__(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

በሌላ አነጋገር፡ የማትሪክስ $((c)_(ij))$ን ለማግኘት $C=A\cdot B$፣የመጀመሪያውን ማትሪክስ $i$-ረድፍ መውሰድ አለብህ፣$ j$ - የሁለተኛው ማትሪክስ አምድ ፣ እና ከዚያ ከዚህ ረድፍ እና አምድ ጥንድ ንጥረ ነገሮችን ማባዛት። ውጤቱን ጨምሩ.

አዎ፣ ያ ከባድ ፍቺ ነው። ብዙ እውነታዎች ወዲያውኑ ይከተላሉ-

ማትሪክስ ማባዛት፣ በአጠቃላይ አነጋገር፣ ተላላኪ አይደለም፡ $A\cdot B\ne B\cdot A$;
ሆኖም፣ ማባዛት ተጓዳኝ ነው፡ $\ግራ(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
እና በማከፋፈል እንኳን: $\ግራ(A+B \ቀኝ)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
እና አንዴ እንደገና በስርጭት: $A \cdot \ግራ(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$።

የማባዛት ክዋኔው ተለዋዋጭነት ስለሌለው የማባዛት ስርጭት ለግራ እና ቀኝ ድምር በትክክል መገለጽ ነበረበት።

$A \cdot B=B\cdot A$ እንደሆነ ከታወቀ፣ እንደዚህ ያሉ ማትሪክስ ተለዋጭ (commutative) ይባላሉ።

እዚያ በሆነ ነገር ከተባዙት ማትሪክስ ሁሉ ልዩ የሆኑት አሉ - በማንኛውም ማትሪክስ $A$ ሲባዙ እንደገና $A$ ይሰጣሉ፡-

ፍቺ ማትሪክስ $E$ መታወቂያ ይባላል $A\cdot E=A$ ወይም $E\cdot A=A$። በካሬ ማትሪክስ $A$ ውስጥ እኛ መጻፍ እንችላለን-

የማንነት ማትሪክስ በመፍታት ላይ ተደጋጋሚ እንግዳ ነው። ማትሪክስ እኩልታዎች. እና በአጠቃላይ በማትሪክስ አለም ውስጥ ተደጋጋሚ እንግዳ :)

እና በዚህ $E$ ምክንያት፣ አንድ ሰው ቀጥሎ የሚፃፉትን ከንቱዎች ጋር መጣ።

የተገላቢጦሽ ማትሪክስ ምንድን ነው

ማትሪክስ ማባዛት በጣም ጉልበት የሚጠይቅ ክዋኔ ስለሆነ (የረድፎችን እና የአምዶችን ስብስብ ማባዛት አለብዎት) ፣ የተገላቢጦሽ ማትሪክስ ጽንሰ-ሀሳብ እንዲሁ በጣም ቀላል አይደለም። እና አንዳንድ ማብራሪያ ያስፈልገዋል.

ቁልፍ ፍቺ

እሺ እውነቱን ለማወቅ ጊዜው አሁን ነው።

ፍቺ ማትሪክስ $B$ የማትሪክስ ተገላቢጦሽ ይባላል $A$ ከሆነ

የተገላቢጦሹ ማትሪክስ በ$((A)^(-1))$ (ከዲግሪው ጋር ላለመምታታት!) ይገለጻል፣ ስለዚህ ትርጉሙ በሚከተለው መልኩ እንደገና ሊፃፍ ይችላል።

ሁሉም ነገር በጣም ቀላል እና ግልጽ የሆነ ይመስላል. ግን ይህንን ፍቺ ሲተነተን ወዲያውኑ ብዙ ጥያቄዎች ይነሳሉ-

የተገላቢጦሽ ማትሪክስ ሁልጊዜ አለ? እና ሁልጊዜ ካልሆነ, እንዴት እንደሚወሰን: መቼ እና መቼ እንደሚኖር?
እና በትክክል አንድ እንደዚህ ያለ ማትሪክስ እንዳለ ማን ተናግሯል? ለአንዳንድ የመነሻ ማትሪክስ $A$ ሙሉ የተገላቢጦሽ ሕዝብ ቢኖርስ?
እነዚህ ሁሉ "ተገላቢጦሽ" ምን ይመስላሉ? እና እንዴት በትክክል እንቆጥራቸው?

እንደ ስሌት ስልተ ቀመሮች, ስለዚህ ጉዳይ ትንሽ ቆይተው እንነጋገራለን. ግን የቀሩትን ጥያቄዎች አሁን እንመልሳለን። በተለየ መግለጫዎች-ሌማዎች መልክ እንቀርጻቸው.

መሰረታዊ ንብረቶች

ማትሪክስ $A$ በመርህ ደረጃ $((A)^(-1))$ ለእሱ እንዲኖር እንዴት መፈለግ እንዳለበት እንጀምር። አሁን እነዚህ ሁለቱም ማትሪክስ ካሬ እና ተመሳሳይ መጠን ያላቸው መሆን አለባቸው፡ $\ግራ[ n\times n \ right]$።

ለማ 1. ማትሪክስ $A$ እና ተገላቢጦሹ $((A)^(-1))$ ተሰጥቷል። ከዚያም እነዚህ ሁለቱም ማትሪክስ ካሬ ናቸው, እና ተመሳሳይ ቅደም ተከተል $n$.

ማረጋገጫ። ቀላል ነው። ማትሪክስ $A=\ግራ[m\times n \right]$፣ $((A)^(-1))=\ግራ[a\times b \right]$። ምርቱ $A\cdot ((A)^(-1))=E$ በትርጓሜ ስላለ፣ማትሪክስ $A$ እና $((A)^(-1))$ በሚታየው ቅደም ተከተል ወጥነት ያላቸው ናቸው፡

\[\ጀማሪ(አሰላለፍ) እና \ግራ[m\times n \right]\cdot \ግራ[a\times b \right]=\ግራ[m\times b \right] \\ & n=a \መጨረሻ( አሰልፍ)\]

ይህ የማትሪክስ ብዜት አልጎሪዝም ቀጥተኛ ውጤት ነው፡ $n$ እና $a$ ኮፊሲፊሸንስ "መተላለፊያ" ናቸው እና እኩል መሆን አለባቸው።

በተመሳሳይ ጊዜ, የተገላቢጦሽ ማባዛት እንዲሁ ይገለጻል: $ ((A) ^ (-1)) \cdot A=E$, ስለዚህ ማትሪክስ $ ((A) ^ (-1)) $ እና $ A$ ናቸው. እንዲሁም በተጠቀሰው ቅደም ተከተል የሚስማማ፡-

\[\ጀማሪ(አሰላለፍ) እና \ግራ[a\times b \right]\cdot \ግራ[m\times n \right]=\ግራ[ a\times n \right] \\ & b=m \መጨረሻ( አሰልፍ)\]

ስለዚህ፣ አጠቃላይነት ሳይጠፋ፣ $A=\ግራ[m\times n \right]$፣ $((A)^(-1))=\ግራ[n\times m \right]$ ብለን መገመት እንችላለን። ነገር ግን፣ በ$A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$ ትርጉም መሰረት፣ስለዚህ የማትሪክስ መጠኖች በጥብቅ ይገጣጠማሉ፡-

\[\ጀማሪ(አሰላለፍ) እና \ግራ[m\times n \right]=\ግራ[n\times m \right] \\ & m=n \መጨረሻ(align)\]

ስለዚህ ሦስቱም ማትሪክስ - $A$፣ $((A)^(-1))$ እና $E$ - የመጠን ካሬ ማትሪክስ $\ግራ[n\times n \right]$ ናቸው። ለማ የተረጋገጠ ነው።

ደህና ፣ ያ ቀድሞውኑ ጥሩ ነው። ካሬ ማትሪክስ ብቻ የማይገለበጥ መሆኑን እናያለን። አሁን የተገላቢጦሽ ማትሪክስ ሁልጊዜ ተመሳሳይ መሆኑን እናረጋግጥ።

ለማ 2. ማትሪክስ $A$ እና ተገላቢጦሹ $((A)^(-1))$ ተሰጥቷል። ከዚያ ይህ የተገላቢጦሽ ማትሪክስ ብቸኛው ነው።

ማረጋገጫ። በተቃርኖ እንሂድ፡ ማትሪክስ $A$ ቢያንስ ሁለት ተገላቢጦሽ - $B$ እና $C$ ይኑረው። ከዚያም፣ እንደ ፍቺው፣ የሚከተሉት እኩልነቶች እውነት ናቸው።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ከአቶ ለማ 1 አራቱም ማትሪክስ - $A$፣$B$፣$C$ እና $E$ -አደባባዮች ተመሳሳይ ቅደም ተከተል ናቸው፡$\ግራ[n\times n \right]$። ስለዚህ, ምርቱ ይገለጻል-

ማትሪክስ ማባዛት ተጓዳኝ (ግን ተለዋጭ አይደለም!)፣ እኛ መጻፍ እንችላለን፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & B\cdot A\cdot C=\ግራ(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\ቀኝ ቀስት B=C. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

የተቀበልነው ብቻ ነው። የሚቻል ተለዋጭየተገላቢጦሽ ማትሪክስ ሁለት አጋጣሚዎች እኩል ናቸው። ለማ የተረጋገጠ ነው።

ከላይ ያሉት ነጋሪ እሴቶች ለሁሉም እውነተኛ ቁጥሮች $b\ne 0$ የተገላቢጦሽ አካል ልዩ የመሆኑን ማረጋገጫ በቃላት ይደግማሉ። ብቸኛው ጉልህ መጨመር የማትሪክስ ስፋትን ግምት ውስጥ ማስገባት ነው.

ሆኖም ፣ እያንዳንዱ ካሬ ማትሪክስ የማይገለበጥ ስለመሆኑ አሁንም ምንም አናውቅም። እዚህ ወሳኙ ወደ እኛ እርዳታ ይመጣል - ይህ ለሁሉም ካሬ ማትሪክስ ቁልፍ ባህሪ ነው።

ለማ 3. ማትሪክስ $A$ ተሰጥቷል። የእሱ ተገላቢጦሽ ማትሪክስ $((A)^(-1))$ ካለ፣ የዋናው ማትሪክስ ወሳኙ ዜሮ ነው፡-

\[\ግራ| አ\ቀኝ|\ne 0\]

ማረጋገጫ። $A$ እና $((A)^(-1))$ መጠናቸው $\ግራ[n\times n \right]$ ካሬ ማትሪክስ መሆናቸውን አስቀድመን እናውቃለን። ስለዚህ, ለእያንዳንዳቸው ወሳኙን ማስላት እንችላለን: $\left| A\ቀኝ|$ እና $\ግራ| ((A)^(-1)) \ትክክል|$. ነገር ግን፣ የምርት ወሳኙ ከሚወስኑት ምርቶች ጋር እኩል ነው።

\[\ግራ| A\cdot B \ቀኝ|=\ግራ| A \ቀኝ|\cdot \ግራ| B \ቀኝ|\ቀኝ ቀስት \ ግራ| A\cdot ((A)^(-1)) \ቀኝ|=\ግራ| A \ቀኝ|\cdot \ግራ| ((A)^(-1)) \ቀኝ|\]

ነገር ግን በትርጉሙ መሰረት $A\cdot ((A)^(-1))=E$፣ እና የ$E$ መወሰኛ ሁል ጊዜ ከ 1 ጋር እኩል ነው።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & A\cdot ((A)^ (-1)) = ኢ; \\ & \ግራ| A\cdot ((A)^(-1)) \ቀኝ|=\ግራ| ኢ\ቀኝ|; \\ & \ግራ| A \ቀኝ|\cdot \ግራ| ((A)^(-1)) \ቀኝ|=1። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

የሁለት ቁጥሮች ምርት ከአንድ ጋር እኩል የሚሆነው እያንዳንዳቸው ዜሮ ካልሆኑ ብቻ ነው፡-

\[\ግራ| A \ቀኝ|\ne 0;\quad \ግራ| ((A)^(-1)) \ቀኝ|\ne 0.\]

ስለዚህ $\ግራ| ሆኖ ተገኘ አ \ትክክል|\ne 0$። ለማ የተረጋገጠ ነው።

በእውነቱ, ይህ መስፈርት በጣም ምክንያታዊ ነው. አሁን የተገላቢጦሹን ማትሪክስ ለማግኘት አልጎሪዝምን እንመረምራለን - እና ለምን ሙሉ በሙሉ ግልፅ ይሆናል ፣ በዜሮ መወሰኛ ፣ በመርህ ደረጃ ምንም የተገላቢጦሽ ማትሪክስ ሊኖር አይችልም።

በመጀመሪያ ግን “ረዳት” ፍቺን እንፍጠር፡-

ፍቺ ነጠላ ማትሪክስ $\ግራ[n\times n \right]$ መጠኑ ስኩዌር ማትሪክስ ሲሆን መለያው ዜሮ ነው።

ስለዚህ እያንዳንዱ የማይገለበጥ ማትሪክስ ነጠላ አይደለም ማለት እንችላለን።

የማትሪክስ ተገላቢጦሽ እንዴት እንደሚገኝ

አሁን ተገላቢጦሽ ማትሪክቶችን ለማግኘት ሁለንተናዊ ስልተ ቀመርን እንመለከታለን። በአጠቃላይ ሁለት በአጠቃላይ ተቀባይነት ያላቸው ስልተ ቀመሮች አሉ, እና ሁለተኛውን ዛሬ እንመለከታለን.

አሁን የሚብራራው ማትሪክስ መጠን $\ግራ[2\times 2 \ right]$ እና - ከፊል - መጠን $\ግራ[ 3\ times 3 \ right]$ በጣም ውጤታማ ነው። ግን ከ$\ግራ[ 4\times 4 \ right]$ ጀምሮ ባይጠቀሙበት ይሻላል። ለምን - አሁን ሁሉንም ነገር እራስዎ ይገነዘባሉ.

አልጀብራ ተጨማሪዎች

ይዘጋጁ. አሁን ህመም ይኖራል. አይ, አይጨነቁ: ቀሚስ ውስጥ ያለች ቆንጆ ነርስ, ዳንቴል ያለው ስቶኪንጎችን ወደ እርስዎ አይመጡም እና በኩሬው ውስጥ መርፌ ይሰጡዎታል. ሁሉም ነገር የበለጠ ፕሮዛይክ ነው፡ አልጀብራ ተጨማሪዎች እና ግርማዊትዋ “Union Matrix” ወደ እርስዎ ይመጣሉ።

ከዋናው ነገር እንጀምር። መጠኑ $A=\ግራ[n\times n \right]$ የሆነ ካሬ ማትሪክስ ይኑር፣ ንጥረ ነገሩ $((a)_(ij))$ የሚባሉት። ከዚያ ለእያንዳንዱ እንደዚህ አይነት ንጥረ ነገር የአልጀብራ ማሟያ መግለፅ እንችላለን፡-

ፍቺ አልጀብራዊ ማሟያ $((A)_(ij))$ በ$i$th ረድፍ እና በ$j$th አምድ በማትሪክስ $A=\ግራ[ ላይ ለሚገኘው ንጥረ ነገር $((a)_(ij))$ n \times n \right]$ የቅጹ ግንባታ ነው።

\[((A)_(ij))=((\ግራ(-1 \ቀኝ))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

$M_(ij)^(*)$ ተመሳሳይ የ$i$th ረድፍ እና የ$ j$th አምድ በመሰረዝ ከመጀመሪያው $A$ የተገኘውን ማትሪክስ የሚወስንበት ነው።

እንደገና። የአልጀብራ ማትሪክስ ማትሪክስ ከ$\ግራ(i;j \ቀኝ)$ መጋጠሚያዎች ጋር $((A)_(ij))$ ተብሎ ይገለጻል እና በእቅዱ መሰረት ይሰላል፡-

በመጀመሪያ የ$i$-row እና $j$-th አምድ ከመጀመሪያው ማትሪክስ እንሰርዛለን። አዲስ የካሬ ማትሪክስ አግኝተናል፣ እና ወሳኙን እንደ $M_(ij)^(*)$ እንገልፃለን።
ከዚያም ይህን መወሰኛ በ$((\ግራ(-1 \ቀኝ)))^(i+j))$ እናባዛዋለን - በመጀመሪያ ይህ አገላለጽ አእምሮን የሚስብ ሊመስል ይችላል ነገርግን በመሰረቱ በቀላሉ ፊት ለፊት ያለውን ምልክት እየፈለግን ነው። $M_(ij)^(*) $.
እንቆጥራለን እና የተወሰነ ቁጥር እናገኛለን. እነዚያ። የአልጀብራ መደመር በትክክል ቁጥር ነው፣ እና አንዳንድ አዲስ ማትሪክስ አይደለም፣ ወዘተ.

ማትሪክስ $M_(ij)^(*)$ ራሱ ለኤለመንት $((a)__(ij))$ ተጨማሪ አናሳ ተብሎ ይጠራል። እና ከዚህ አንጻር፣ ከላይ የተጠቀሰው የአልጀብራ ማሟያ ፍቺ የበለጠ ውስብስብ የሆነ ፍቺ ያለው ልዩ ጉዳይ ነው - ስለ ወሳኙ በትምህርቱ የተመለከትነው።

ጠቃሚ ማስታወሻ. በእውነቱ፣ “በአዋቂ” ሂሳብ ውስጥ፣ አልጀብራ ተጨማሪዎች እንደሚከተለው ተገልጸዋል፡-

በካሬ ማትሪክስ ውስጥ $k$ ረድፎችን እና $k$ አምዶችን እንወስዳለን። በመስቀለኛ መንገዳቸው ላይ መጠኑ $\ግራ[k\times k \right]$ የሚል ማትሪክስ እናገኛለን - መለያው አነስተኛ ትዕዛዝ $k$ ይባላል እና $((M)_(k))$ ይባላል።

ከዚያም እነዚህን "የተመረጡ" $k$ ረድፎችን እና $k$ አምዶችን እናቋርጣለን. አንዴ እንደገና ካሬ ማትሪክስ ያገኛሉ - የሚወስነው ተጨማሪ አናሳ ይባላል እና $M_(k)^(*)$ ይባላል።

$M_(k)^(*)$ን በ$((\ግራ(-1 \ቀኝ)))^(t))$ ማባዛት ፣$t$ ባለበት (አሁን ትኩረት!) የሁሉም የተመረጡ ረድፎች ድምር። እና አምዶች . ይህ የአልጀብራ መደመር ይሆናል።

ሶስተኛውን ደረጃ ተመልከት፡ በእውነቱ የ$2k$ ውሎች አለ! ሌላው ነገር በ$k=1$ 2 ውሎች ብቻ እናገኛለን - እነዚህ $i+j$ ተመሳሳይ ይሆናሉ - የ $((a) _(ij))$ ኤለመንት "መጋጠሚያዎች" እኛ ያለንበት የአልጀብራ ማሟያ መፈለግ.

ስለዚህ ዛሬ በትንሹ ቀለል ያለ ትርጉም እየተጠቀምን ነው። በኋላ እንደምናየው ግን ከበቂ በላይ ይሆናል። የሚከተለው ነገር የበለጠ ጠቃሚ ነው.

ፍቺ የተባበሩት ማትሪክስ $S$ ወደ ስኩዌር ማትሪክስ $A=\ግራ[n\times n \right]$ መጠኑ አዲስ ማትሪክስ $\ግራ[n\times n \right]$ ሲሆን ይህም ከ$A$ የተገኘ ነው። $(( a)_(ij))$ በአልጀብራ ተጨማሪዎች $((A)__(ij))$ በመተካት፡

\\ ቀኝ ቀስት S=\ግራ[\ጀምር(ማትሪክስ) ((A)__(11)) & ((A)__(12)) & ... & ((A)__(1n)) \\ ሀ)__(21)) & ((ሀ)__(22)) & ... & ((ሀ)__(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)__(n1)) & ((A)__(n2)) & ... & ((A)__(nn)) \\\መጨረሻ(ማትሪክስ) \ቀኝ]\]

ይህንን ፍቺ በተረዳንበት ወቅት የሚነሳው የመጀመሪያው ሃሳብ “ምን ያህል መቆጠር አለበት!” የሚለው ነው። ዘና ይበሉ: መቁጠር ይኖርብዎታል, ግን ያን ያህል አይደለም.

ደህና, ይህ ሁሉ በጣም ጥሩ ነው, ግን ለምን አስፈለገ? ግን ለምን.

ዋና ንድፈ ሐሳብ

ትንሽ ወደ ኋላ እንመለስ። ያስታውሱ፣ በአቶ ለማ 3 ላይ የማይገለበጥ ማትሪክስ $A$ ሁል ጊዜ ነጠላ ያልሆኑ (ማለትም፣ መለያው ዜሮ ያልሆነ፡ $\ግራ| A \right|\ne 0$) እንደሆነ ተገልጿል::

ስለዚህ፣ ተቃራኒውም እውነት ነው፡ ማትሪክስ $A$ ነጠላ ካልሆነ ሁልጊዜም የማይገለበጥ ነው። እና ለ$((A)^(-1))$ የፍለጋ እቅድም አለ። ተመልከተው:

የተገላቢጦሽ ማትሪክስ ቲዎሬም. የካሬ ማትሪክስ $A=\ግራ[n\times n \right]$ ይስጥ እና ወሰኑ ዜሮ ያልሆነ፡ $\ግራ| አ \ትክክል|\ne 0$። ከዚያም የተገላቢጦሽ ማትሪክስ $((A)^(-1))$ አለ እና በቀመር ይሰላል፡-

\[(((A)^(-1))=\frac(1)(\ግራ|A \ቀኝ|)\cdot ((S)^(T))\]

እና አሁን - ሁሉም ነገር አንድ ነው, ነገር ግን በሚነበብ የእጅ ጽሑፍ. የተገላቢጦሹን ማትሪክስ ለማግኘት፣ ያስፈልግዎታል፡-

የሚወስነውን $\ግራ| አስላ A \right|$ እና ዜሮ አለመሆኑን ያረጋግጡ።
የዩኒየን ማትሪክስ $S$ ይገንቡ፣ ማለትም 100500 የአልጀብራ ተጨማሪዎች $((A)__(ij))$ ይቁጠሩ እና በ$((a)__(ij))$ ያስቀምጧቸው።
ይህንን ማትሪክስ $S$ ያስተላልፉ እና ከዚያ በተወሰነ ቁጥር $q=(1)/(\ግራ|A \ቀኝ|)\;$ ያባዙት።

ይኼው ነው! የተገላቢጦሽ ማትሪክስ $((A)^(-1))$ ተገኝቷል። ምሳሌዎችን እንመልከት፡-

\[\ግራ[\ጀማሪ (ማትሪክስ) 3 እና 1 \\ 5 እና 2 \\\ መጨረሻ (ማትሪክስ) \ ቀኝ]\]

መፍትሄ። ተገላቢጦሹን እንፈትሽ። ወሳኙን እናሰላው፡-

\[\ግራ| አ\ቀኝ|=\ግራ| \\ጀማሪ(ማትሪክስ) 3 እና 1 \\ 5 & 2 \\\ መጨረሻ(ማትሪክስ) \ቀኝ|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

የሚወስነው ከዜሮ የተለየ ነው። ይህ ማለት ማትሪክስ የማይገለበጥ ነው. የሕብረት ማትሪክስ እንፍጠር፡-

የአልጀብራ ተጨማሪዎችን እናሰላው፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((A)_(11))=((\ግራ(-1 \ቀኝ))^(1+1))\cdot \ ግራ| 2 \ቀኝ|=2; \\ & (((A)_(12))=((\ግራ(-1 \ቀኝ))^(1+2))\cdot \ ግራ| 5 \ቀኝ|=-5; \\ & (((A)_(21))=((\ግራ(-1 \ቀኝ))^(2+1))\cdot \ ግራ| 1 \ቀኝ|=-1; \\ & (((A)_(22))=((\ግራ(-1 \ቀኝ))^(2+2))\cdot \ ግራ| 3\ቀኝ|=3. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

እባክዎን ያስተውሉ፡ ወሳኙ |2|፣ |5|፣ |1| እና |3| መጠናቸው $\ግራ[1\times 1 \ right]$ መጠን ያላቸው ማትሪክስ የሚወስኑ እንጂ ሞጁሎች አይደሉም። እነዚያ። ብቃቶች ከተካተቱ አሉታዊ ቁጥሮች, "መቀነስ" ማስወገድ አያስፈልግም.

በጠቅላላው የኛ ህብረት ማትሪክስ ይህንን ይመስላል።

\[(((A)^(-1))=\frac(1)(\ግራ|A \ቀኝ|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\ግራ[ \ጀማሪ(ድርድር)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\መጨረሻ(ድርድር) \ቀኝ])^(T))=\ግራ[\ጀምር (ድርድር)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\መጨረሻ(ድርድር) \ቀኝ]\]

እሺ አሁን ሁሉም አልቋል። ችግሩ ተፈቷል.

መልስ። $\ግራ[ \ጀማሪ(ድርድር)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 እና 3 \\\መጨረሻ(ድርድር) \ቀኝ]$

ተግባር የተገላቢጦሽ ማትሪክስ ያግኙ፡

\[\ግራ[\ጀማሪ(ድርድር)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\ end(array) \\ right] \]

መፍትሄ። ወሳኙን እንደገና እናሰላለን፡-

\[\ጀምር (አሰላለፍ) & \ ግራ| \\ጀማሪ(ድርድር)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\ end(array) \ right|=\ጀምር(ማትሪክስ) ) \ግራ(1\cdot 2\cdot 1+\ ግራ(-1 \ቀኝ)\cdot \ግራ(-1 \ቀኝ)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \ right)- \\ -\ግራ (2\cdot 2\cdot 1+\ left(-1 \ right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \ left(-1 \ right)\cdot 0 \ right) \\\ end(matrix)= \ & =\ግራ(2+1+0 \ቀኝ)-\ግራ(4+0+0 \ቀኝ)=-1\ne 0. \\\መጨረሻ(align)\]

የሚወስነው ዜሮ ነው - ማትሪክስ የማይገለበጥ ነው። አሁን ግን በጣም ከባድ ይሆናል፡ እስከ 9 (ዘጠኝ፣ የእናት እናት!) የአልጀብራ ተጨማሪዎችን መቁጠር አለብን። እና እያንዳንዳቸው ወሳኙን $\ግራ[ 2\time 2 \ right]$ ይይዛሉ። በረረ፡

\[\ጀማሪ (ማትሪክስ) ((A)_(11))=((\ግራ(-1 \ቀኝ)))^(1+1))\cdot \ ግራ| \መጀመሪያ (ማትሪክስ) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\ መጨረሻ (ማትሪክስ) \ቀኝ|=2; \\ (((A)_(12))=((\ግራ(-1 \ቀኝ))^(1+2))\cdot \ ግራ| \መጀመሪያ (ማትሪክስ) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\ መጨረሻ (ማትሪክስ) \ቀኝ|=-1; \\ (((A)_(13))=((\ግራ(-1 \ቀኝ))^(1+3))\cdot \ ግራ| \መጀመሪያ (ማትሪክስ) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\ መጨረሻ (ማትሪክስ) \ቀኝ|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\ግራ(-1 \ቀኝ))^(3+3))\cdot \ ግራ| \መጀመሪያ (ማትሪክስ) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\ መጨረሻ (ማትሪክስ) \ቀኝ|=2; \\\መጨረሻ(ማትሪክስ)\]

ባጭሩ የህብረት ማትሪክስ ይህን ይመስላል።

ስለዚህ, የተገላቢጦሽ ማትሪክስ የሚከተለው ይሆናል:

\[(((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \ግራ[\ጀምር(ማትሪክስ) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 እና 1 እና 2 \\\ መጨረሻ(ማትሪክስ) \ቀኝ]=\ግራ[\ጀማሪ(ድርድር)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \2 እና 1 & -2 \\\ መጨረሻ(ድርድር) \ቀኝ]\]

በቃ. መልሱ ይህ ነው።

መልስ። $\ግራ[ \ጀማሪ(ድርድር)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\ end(array) \\ቀኝ ]$

እንደሚመለከቱት, በእያንዳንዱ ምሳሌ መጨረሻ ላይ ቼክ አደረግን. በዚህ ረገድ አንድ ጠቃሚ ማስታወሻ፡-

ለመፈተሽ ሰነፍ አትሁኑ። ዋናውን ማትሪክስ በተገኘው በተገላቢጦሽ ማትሪክስ ማባዛት - $E$ ማግኘት አለቦት።

ለምሳሌ የማትሪክስ እኩልታን በሚፈቱበት ጊዜ ተጨማሪ ስሌቶች ላይ ስህተትን ከመፈለግ ይህን ቼክ ማከናወን በጣም ቀላል እና ፈጣን ነው።

አማራጭ መንገድ

እንዳልኩት፣ የተገላቢጦሽ ማትሪክስ ቲዎሬም መጠን $\ግራ[2\times 2 \ right]$ and $\ left[ 3\ times 3 \ right]$ (በኋለኛው ሁኔታ ያን ያህል “ታላቅ” አይደለም) ይሰራል። ), ግን ለማትሪክስ ትላልቅ መጠኖችሀዘኑ ይጀምራል ።

ግን አይጨነቁ፡ ለማትሪክስ $\ግራ[ 10\times 10 \ right]$ በእርጋታ ማግኘት የሚችሉበት አማራጭ አልጎሪዝም አለ። ግን ፣ ብዙውን ጊዜ እንደሚከሰት ፣ ይህንን ስልተ ቀመር ከግምት ውስጥ ለማስገባት ትንሽ የንድፈ ሀሳባዊ ዳራ ያስፈልገናል።

የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች

ከሁሉም ሊሆኑ ከሚችሉ የማትሪክስ ለውጦች መካከል በርካታ ልዩዎች አሉ - አንደኛ ደረጃ ይባላሉ. በትክክል ሦስት እንደዚህ ያሉ ለውጦች አሉ-

ማባዛት። የ$i$th ረድፍ (አምድ) ወስደህ በማንኛውም ቁጥር $k\ne 0$ ማባዛት ትችላለህ።
መደመር። ወደ $i$-ኛ ረድፍ (አምድ) ሌላ ማንኛውንም $j$-ኛ ረድፍ (አምድ) በማናቸውም ቁጥር $k\ne 0$ ተባዝቶ ይጨምሩ (በእርግጥ እርስዎ $k=0$ ማድረግ ይችላሉ፣ ግን ምንድነው? ነጥብ?
እንደገና ማደራጀት። የ$i$th እና $j$th ረድፎችን (ዓምዶች) ይውሰዱ እና ቦታዎችን ይቀይሩ።

ለምን እነዚህ ለውጦች አንደኛ ደረጃ ተብለው ይጠራሉ (ለትላልቅ ማትሪክስ አንደኛ ደረጃ አይመስሉም) እና ለምን ሦስቱ ብቻ አሉ - እነዚህ ጥያቄዎች ከዛሬው ትምህርት ወሰን በላይ ናቸው። ስለዚህ ወደ ዝርዝር ጉዳዮች አንገባም።

ሌላ ነገር አስፈላጊ ነው: እነዚህን ሁሉ ጠማማዎች በተጓዳኝ ማትሪክስ ላይ ማከናወን አለብን. አዎ አዎ: በትክክል ሰምተሃል. አሁን አንድ ተጨማሪ ፍቺ ይኖራል - በዛሬው ትምህርት ውስጥ የመጨረሻው።

ተጓዳኝ ማትሪክስ

በእርግጠኝነት በትምህርት ቤት ውስጥ የመደመር ዘዴን በመጠቀም የእኩልታ ስርዓቶችን ፈትተዋል። ደህና ፣ እዚያ ፣ ከአንዱ መስመር ሌላውን ይቀንሱ ፣ የተወሰነ መስመርን በቁጥር ያባዙ - ያ ብቻ ነው።

ስለዚህ: አሁን ሁሉም ነገር ተመሳሳይ ይሆናል, ግን በ "አዋቂ" መንገድ. ዝግጁ?

ፍቺ ማትሪክስ $A=\ግራ[n\times n \ቀኝ]$ እና ተመሳሳይ መጠን $n$ ያለው የማንነት ማትሪክስ $E$ ይስጥ። ከዚያም ተጓዳኝ ማትሪክስ $\ግራ[ A\left| ኢ\ ትክክል። \right]$ አዲስ መጠን $\ግራ[n\times 2n \ቀኝ]$ ይህን ይመስላል

\[\ግራ[ A\ግራ| ኢ\ ትክክል። \ቀኝ]=\ግራ[ \ጀማሪ(ድርድር)(rrrr|rrrr)((a)__(11)) & ((a)__(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\ (((ሀ)__(21)) እና ((ሀ)__(22)) & ... & ((ሀ)__(2n)) & 0 & 1 ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ (((a)_(n1)) & ... ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\መጨረሻ(ድርድር) \\ቀኝ]\]

በአጭሩ፣ ማትሪክስ $A$ን እንወስዳለን፣ በቀኝ በኩል ደግሞ የማንነት ማትሪክስ $E$ እንመድባለን ትክክለኛው መጠን, እኛ ለውበት በአቀባዊ መስመር እንለያቸዋለን - እዚህ ጋር የተያያዘው አለህ :)

የተያዘው ምንድን ነው? እነሆ፡-

ቲዎረም. ማትሪክስ $A$ የማይገለበጥ ይሁን። የተጓዳኝ ማትሪክስ $\ግራ[ A\left|ን አስቡበት ኢ\ ትክክል። \ ትክክል]$ የሚጠቀሙ ከሆነ የመጀመሪያ ደረጃ ሕብረቁምፊ ልወጣዎችወደ $\ግራ[ E\left| ቅጽ አምጡ ለ \ ትክክል። \ቀኝ]$፣ ማለትም ከ$A$ ለማግኘት ረድፎችን በማባዛት፣ በመቀነስ እና በማስተካከል በቀኝ በኩል ያለውን ማትሪክስ $E$፣ ከዚያም በግራ በኩል የሚገኘው ማትሪክስ $B$ የ$A$ ተቃራኒ ነው።

\[\ግራ[ A\ግራ| ኢ\ ትክክል። \ ቀኝ \ ወደ \ግራ[ E\ግራ| ለ \ ትክክል። \ቀኝ]\ቀኝ ቀስት B=((A)^(-1))\]

በጣም ቀላል ነው! በአጭሩ፣ የተገላቢጦሽ ማትሪክስ ለማግኘት ስልተ ቀመር ይህን ይመስላል።

ተጓዳኝ ማትሪክስ $\ግራ[ A\left| ይፃፉ ኢ\ ትክክል። \ቀኝ]$;
$E$ ከ$A$ ይልቅ እስኪታይ ድረስ የአንደኛ ደረጃ የሕብረቁምፊ ልወጣዎችን አከናውን።
እርግጥ ነው, አንድ ነገር በግራ በኩልም ይታያል - የተወሰነ ማትሪክስ $ B$. ይህ ተቃራኒ ይሆናል;
ትርፍ!:)

በእርግጥ ይህ ከተሰራው የበለጠ ቀላል ነው. እንግዲያው ሁለት ምሳሌዎችን እንይ፡ መጠኖች $\ግራ[ 3\times 3 \ right]$ እና $\ left[ 4\ times 4 \ right]$።

ተግባር የተገላቢጦሽ ማትሪክስ ያግኙ፡

\[\ግራ[\ጀማሪ(ድርድር)(*(35)(r)) 1 እና 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\ end(array) \\ right]\ ]

መፍትሄ። ተጓዳኝ ማትሪክስ እንፈጥራለን-

\[\ግራ[\ጀማሪ(ድርድር)(rrr|rrr) 1 እና 5 እና 1 እና 1 እና 0 & 0 \\ 3 እና 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 እና 1 \\\ መጨረሻ(ድርድር) \ቀኝ]\]

የዋናው ማትሪክስ የመጨረሻው አምድ በአንዱ የተሞላ ስለሆነ የመጀመሪያውን ረድፍ ከቀሪው ቀንስ።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) እና \ግራ[ \ጀማሪ(ድርድር)(rrr|rrr) 1 እና 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 እና 1 እና 0 እና 0 እና 1 \\\ መጨረሻ (ድርድር) \\ ቀኝ]\ጀማሪ (ማትሪክስ) \ downnarrow \\ -1 \\ -1 \\\ መጨረሻ (ማትሪክስ) \\ \\ ወደ \\ & \\ ወደ ግራ \\ [\ጀማሪ(ድርድር)(rrr|rrr) 1 እና 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\ መጨረሻ(ድርድር) \ቀኝ] \\ \ መጨረሻ(align)\]

ከመጀመሪያው መስመር በስተቀር ምንም ተጨማሪ ክፍሎች የሉም. እኛ ግን አንነካውም, አለበለዚያ አዲስ የተወገዱ ክፍሎች በሶስተኛው አምድ ውስጥ "ማባዛት" ይጀምራሉ.

ግን ሁለተኛውን መስመር ከመጨረሻው ሁለት ጊዜ መቀነስ እንችላለን - ከታች በግራ ጥግ ላይ አንዱን እናገኛለን

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) እና \ግራ[\ጀማሪ(ድርድር)(rrr|rrr) 1 እና 5 እና 1 እና 1 እና 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\መጨረሻ(ድርድር) \ቀኝ]\ጀማሪ(ማትሪክስ) \\\downarrow \\ -2 \\\መጨረሻ(ማትሪክስ)\ ወደ \\ & \ ግራ [\ጀማሪ(ድርድር)(rrr|rrr) 1 እና 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ መጨረሻ(ድርድር) \ቀኝ] \\ \ መጨረሻ(align)\]

አሁን የመጨረሻውን ረድፍ ከመጀመሪያው እና ከሁለተኛው ሁለት ጊዜ መቀነስ እንችላለን - በዚህ መንገድ የመጀመሪያውን አምድ “ዜሮ” እናደርጋለን-

\[\ጀማሪ(አሰላለፍ) እና \ግራ[\ጀማሪ(ድርድር)(rrr|rrr) 1 እና 5 እና 1 እና 1 እና 0 እና 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 እና 0 እና 1 & -2 & 1 \\\ መጨረሻ(ድርድር) \ቀኝ]\ጀማሪ(ማትሪክስ) -1 \\ -2 \\ ቀስቅስ \\\ መጨረሻ(ማትሪክስ)\\\\\\\ ወደ \ግራ[\ጀማሪ(ድርድር)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ end(array) \right] \\\end(align)\]

ሁለተኛውን መስመር በ -1 ማባዛት እና ከዚያ ከመጀመሪያው 6 ጊዜ ቀንስ እና 1 ጊዜ ወደ መጨረሻው ጨምር።

\[\ጀማሪ(አሰላለፍ) እና \ግራ[ \ጀማሪ(ድርድር)(rrr|rrr) 0 እና 6 እና 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ መጨረሻ(ድርድር) \ቀኝ]\ጀማሪ(ማትሪክስ) \\\ ግራ| \cdot \ግራ(-1 \ቀኝ) \ቀኝ። \\\\\መጨረሻ(ማትሪክስ)\ ወደ \\ & \\ ወደ \ግራ[\ጀማሪ(ድርድር)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ end(array) \\ ቀኝ]\ጀማሪ(ማትሪክስ) -6 \\\ መውረድ \\ +1 \\\ መጨረሻ (ማትሪክስ)\ ወደ \\ & \ ወደ \ግራ[\ጀማሪ(ድርድር)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 እና 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\ መጨረሻ(ድርድር) \ቀኝ] \\\መጨረሻ(align)\]

የቀረው መስመር 1 እና 3ን መቀየር ብቻ ነው።

\[\ግራ[\ጀማሪ(ድርድር)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 እና 32 & -13 \\\ መጨረሻ(ድርድር) \ቀኝ]\]

ዝግጁ! በቀኝ በኩል አስፈላጊው የተገላቢጦሽ ማትሪክስ ነው.

መልስ። $\ግራ[ \ጀማሪ(ድርድር)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\ end(array) \\ቀኝ ]$

ተግባር የተገላቢጦሽ ማትሪክስ ያግኙ፡

\[\ግራ[\ጀማሪ (ማትሪክስ) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\መጨረሻ(ማትሪክስ) \\ቀኝ]\]

መፍትሄ። ተጓዳኝውን እንደገና እንጽፋለን-

\[\ግራ[\ጀማሪ(ድርድር)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end(array) \ right]\]

ትንሽ እናለቅስ፣ አሁን ምን ያህል መቁጠር እንዳለብን አዝነን... መቁጠር እንጀምር። በመጀመሪያ ረድፉን ከረድፎች 2 እና 3 በመቀነስ የመጀመሪያውን አምድ “ዜሮ እናውጣ”።

\[\ጀማሪ(አሰላለፍ) እና \ግራ[\ጀማሪ(ድርድር)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ መጨረሻ(ድርድር) \ቀኝ]\ጀማሪ(ማትሪክስ) \ታች \\ -1 \\ -1 \\ \\\ መጨረሻ(ማትሪክስ)\\\\\\\\\\\\\ወደግራ[\ጀማሪ(ድርድር)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end(array) \right] \\\ end(align)\]

በመስመሮች 2-4 ውስጥ በጣም ብዙ "ኮንሶች" እናያለን. ሶስቱን ረድፎች በ -1 ያባዙ እና ሶስተኛውን ረድፍ ከተቀረው 3 ረድፎችን በመቀነስ ያቃጥሉ።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) እና \ግራ[ \ጀማሪ(ድርድር)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \መጨረሻ(ድርድር) \ቀኝ]\ጀማሪ(ማትሪክስ) \\\ ግራ| \cdot \ግራ(-1 \ቀኝ) \ቀኝ። \\ \ግራ| \cdot \ግራ(-1 \ቀኝ) \ቀኝ። \\ \ግራ| \cdot \ግራ(-1 \ቀኝ) \ቀኝ። \\\መጨረሻ(ማትሪክስ)\ ወደ \\ & \ ወደ \ግራ[\ጀማሪ(ድርድር)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 እና 1 እና -1 እና 0 እና 0 \\ 0 እና 5 እና 1 እና 2 እና 1 እና 0 እና -1 እና 0 \\ 0 እና 10 እና 2 እና 5 እና 0 እና 0 እና -1 \\ \መጨረሻ (ድርድር) \\ ቀኝ]\ጀማሪ (ማትሪክስ) -2 \\ -1 \\ \ updownarrow \\ -2 \\\ መጨረሻ (ማትሪክስ) \\ & \ ወደ \ ግራ[ \\ ጀምር (ድርድር) ( አርርርር| 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ end(array) \ right] \\\end(align)\]

የዋናውን ማትሪክስ የመጨረሻውን አምድ “ለመጠበስ” ጊዜው አሁን ነው፡ ከተቀረው መስመር 4ን ቀንስ።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) እና \ግራ[ \ጀማሪ(ድርድር)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & 2 & -1 \\\ መጨረሻ(ድርድር) ) \ቀኝ]\ጀማሪ(ማትሪክስ) +1 \\ -3 \\ -2 \\\ ቀስተ ደመና \\\ መጨረሻ(ማትሪክስ)\\\\\\\\\\\\\\ወደግራ[\ጀማሪ(ድርድር)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\\ end(align)\]

የመጨረሻ ውርወራ፡- ሁለተኛውን አምድ መስመር 2 ከመስመር 1 እና 3 በመቀነስ ያቃጥላል፡

\[\ጀማሪ(አሰላለፍ) እና \ግራ[\ጀማሪ(ድርድር)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & 2 & -1 \\\ መጨረሻ( ድርድር) \ቀኝ]\ጀማሪ (ማትሪክስ) 6 \\ \ ወደላይ \\ -5 \\ \ \\\ መጨረሻ(ማትሪክስ)\\\ & \\ ወደ ግራ[ \ጀማሪ(ድርድር)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ end(array) \ right] \\\ end(align)\]

እና እንደገና የማንነት ማትሪክስ በግራ በኩል ነው, ይህም ማለት ተገላቢጦሹ በቀኝ ነው :)

መልስ። $\ግራ[ \መጀመሪያ (ማትሪክስ) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\ መጨረሻ(ማትሪክስ) \ቀኝ]$

የ nth ቅደም ተከተል ካሬ ማትሪክስ ይኑር

ማትሪክስ A -1 ይባላል የተገላቢጦሽ ማትሪክስከማትሪክስ A ጋር በተያያዘ፣ A * A -1 = E ከሆነ፣ E የ nth ቅደም ተከተል መታወቂያ ማትሪክስ ነው።

የማንነት ማትሪክስ- እንደዚህ ያለ ካሬ ማትሪክስ ሁሉም ንጥረ ነገሮች ከግራ በኩል በሚያልፉበት ዋና ዲያግናል ላይ ይገኛሉ የላይኛው ጥግወደ ታችኛው ቀኝ ጥግ አንድ ናቸው ፣ የተቀሩት ደግሞ ዜሮዎች ናቸው ፣ ለምሳሌ

የተገላቢጦሽ ማትሪክስሊኖር ይችላል ለካሬ ማትሪክስ ብቻእነዚያ። የረድፎች እና የአምዶች ብዛት ለሚመሳሰሉባቸው ማትሪክስ።

የተገላቢጦሽ ማትሪክስ መኖር ሁኔታ ቲዎሬም።

ማትሪክስ የተገላቢጦሽ ማትሪክስ እንዲኖረው፣ ነጠላ አለመሆኑ አስፈላጊ እና በቂ ነው።

ማትሪክስ A = (A1, A2,...A n) ይባላል ያልተበላሸ, የአምዱ ቬክተሮች በመስመር ላይ ገለልተኛ ከሆኑ. የማትሪክስ መስመራዊ ገለልተኛ አምዶች ብዛት የማትሪክስ ደረጃ ይባላል። ስለዚህ, የተገላቢጦሽ ማትሪክስ እንዲኖር, አስፈላጊ እና በቂ ነው ማለት እንችላለን የማትሪክስ ደረጃ ከስፋቱ ጋር እኩል ነው, ማለትም. r = n.

የተገላቢጦሹን ማትሪክስ ለማግኘት አልጎሪዝም

የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም የእኩልታ ሥርዓቶችን ለመፍታት ማትሪክስ A በሠንጠረዡ ውስጥ ይፃፉ እና ማትሪክስ ኢ በቀኝ በኩል ይመድቡ (በእኩልዎቹ የቀኝ እጆች ምትክ)።
የዮርዳኖስ ትራንስፎርሜሽን በመጠቀም፣ ማትሪክስ Aን ወደ አሃድ አምዶች የያዘ ማትሪክስ ይቀንሱ። በዚህ ሁኔታ, ማትሪክስ E ን በአንድ ጊዜ መለወጥ አስፈላጊ ነው.
አስፈላጊ ከሆነ የመጨረሻውን ሰንጠረዥ ረድፎችን (እኩልታዎች) እንደገና አስተካክል ስለዚህ በዋናው ሠንጠረዥ ማትሪክስ A ስር የማንነት ማትሪክስ E ያገኛሉ።
በመጨረሻው ሠንጠረዥ ውስጥ በዋናው ሠንጠረዥ ማትሪክስ E ስር የሚገኘውን የተገላቢጦሽ ማትሪክስ A -1 ይፃፉ።

ምሳሌ 1

ለማትሪክስ A፣ ተገላቢጦሹን ማትሪክስ A -1 ያግኙ

መፍትሄ: ማትሪክስ A እንጽፋለን እና የማንነት ማትሪክስ E ን በቀኝ በኩል እንመድባለን, የጆርዳን ለውጦችን በመጠቀም, ማትሪክስ A ወደ የማንነት ማትሪክስ E. ስሌቶቹ በሠንጠረዥ 31.1 ውስጥ ተሰጥተዋል.

የመጀመሪያውን ማትሪክስ A እና የተገላቢጦሽ ማትሪክስ A -1 በማባዛት የስሌቶቹን ትክክለኛነት እንፈትሽ።

በማትሪክስ ማባዛት ምክንያት, የማንነት ማትሪክስ ተገኝቷል. ስለዚህ, ስሌቶቹ በትክክል ተሠርተዋል.

መልስ፡-

የማትሪክስ እኩልታዎችን መፍታት

የማትሪክስ እኩልታዎች እንደዚህ ሊመስሉ ይችላሉ-

AX = B፣ HA = B፣ AXB = C፣

A, B, C የተገለጹ ማትሪክስ ሲሆኑ, X የሚፈለገው ማትሪክስ ነው.

የማትሪክስ እኩልታዎች የሚፈቱት እኩልታውን በተገላቢጦሽ ማትሪክስ በማባዛት ነው።

ለምሳሌ, ማትሪክስ ከእኩልታ ለማግኘት, ይህን እኩልታ በግራ በኩል ማባዛት ያስፈልግዎታል.

ስለዚህ, ለእኩል መፍትሄ ለማግኘት, የተገላቢጦሹን ማትሪክስ መፈለግ እና በቀመርው በቀኝ በኩል ባለው ማትሪክስ ማባዛት ያስፈልግዎታል.

ሌሎች እኩልታዎች በተመሳሳይ መልኩ ተፈትተዋል.

ምሳሌ 2

ከሆነ እኩልታውን AX = B ይፍቱ

መፍትሄየተገላቢጦሽ ማትሪክስ እኩል ስለሆነ (ምሳሌ 1 ይመልከቱ)

በኢኮኖሚያዊ ትንተና ውስጥ የማትሪክስ ዘዴ

ከሌሎች ጋር, እነሱም ጥቅም ላይ ይውላሉ ማትሪክስ ዘዴዎች . እነዚህ ዘዴዎች በመስመራዊ እና በቬክተር-ማትሪክስ አልጀብራ ላይ የተመሰረቱ ናቸው. እንደነዚህ ያሉ ዘዴዎች ውስብስብ እና ሁለገብ ኢኮኖሚያዊ ክስተቶችን ለመተንተን ዓላማዎች ያገለግላሉ. ብዙውን ጊዜ እነዚህ ዘዴዎች የድርጅቶችን አሠራር እና መዋቅራዊ ክፍሎቻቸውን በንፅፅር መገምገም በሚያስፈልግበት ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላሉ.

የማትሪክስ ትንተና ዘዴዎችን በመተግበር ሂደት ውስጥ በርካታ ደረጃዎችን መለየት ይቻላል.

በመጀመሪያ ደረጃስርዓቱ እየተቀረጸ ነው። ኢኮኖሚያዊ አመልካቾችእና በእሱ መሠረት, የመረጃ ምንጭ ማትሪክስ ተሰብስቧል, ይህም የስርዓት ቁጥሮች በእያንዳንዱ ረድፎች ውስጥ የሚታዩበት ሰንጠረዥ ነው. (i = 1,2,......,n), እና በአቀባዊ ዓምዶች - የጠቋሚዎች ቁጥሮች (j = 1,2,......,m).

በሁለተኛው ደረጃለእያንዳንዱ ቋሚ አምድ ፣ ካሉት አመላካች እሴቶች መካከል ትልቁ ተለይቷል ፣ እሱም እንደ አንድ ይወሰዳል።

ከዚህ በኋላ, በዚህ አምድ ውስጥ የሚንፀባረቁ ሁሉም መጠኖች የተከፋፈሉ ናቸው ከፍተኛ ዋጋእና ደረጃቸውን የጠበቁ ውህዶች ማትሪክስ ተመስርቷል።

በሦስተኛው ደረጃሁሉም የማትሪክስ ክፍሎች አራት ማዕዘን ናቸው. የተለየ ጠቀሜታ ካላቸው, እያንዳንዱ ማትሪክስ አመልካች የተወሰነ የክብደት መጠን ይመደባል ክ. የኋለኛው ዋጋ የሚወሰነው በባለሙያዎች አስተያየት ነው.

በመጨረሻው ላይ እ.ኤ.አ. አራተኛ ደረጃየደረጃ አሰጣጥ እሴቶችን አግኝቷል አርጄእንደ መጨመር ወይም መቀነስ በቅደም ተከተል ይመደባሉ.

የተዘረዘሩት የማትሪክስ ዘዴዎች ጥቅም ላይ መዋል አለባቸው, ለምሳሌ, መቼ የንጽጽር ትንተናየተለያዩ የኢንቨስትመንት ፕሮጀክቶች, እንዲሁም የድርጅቶች ሌሎች ኢኮኖሚያዊ አመልካቾችን ሲገመግሙ.