በሂሳብ ከፍተኛ ዲግሪ ያላቸው እኩልታዎች። የከፍተኛ ዲግሪዎች እኩልታዎችን መፍታት

የእኩልታ አጠቃቀም በህይወታችን ውስጥ በሰፊው ተሰራጭቷል። በብዙ ስሌቶች, መዋቅሮች ግንባታ እና ሌላው ቀርቶ ስፖርቶች ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላሉ. ሰው በጥንት ጊዜ እኩልታዎችን ይጠቀም ነበር, እና ከዚያ ጊዜ ጀምሮ አጠቃቀማቸው እየጨመረ መጥቷል. በሂሳብ ውስጥ የከፍተኛ ዲግሪዎች እኩልታዎች ከኢንቲጀር ውህዶች ጋር በጣም የተለመዱ ናቸው። የዚህ ዓይነቱን እኩልታ ለመፍታት የሚከተሉትን ያስፈልግዎታል

የእኩልታውን ምክንያታዊ ሥሮች ይወስኑ;

በስሌቱ በግራ በኩል ያለው ፖሊኖሚል ምክንያት;

የእኩልቱን ሥሮች ይፈልጉ።

እኩልነት ተሰጥቶናል እንበል የሚከተለው ዓይነት:

ሁሉንም እውነተኛ ሥሮቹን እንፈልግ። የእኩልታውን ግራ እና ቀኝ ጎኖቹን በ \ ማባዛት።

የተለዋዋጮችን ለውጥ እናድርግ\

ስለዚህ, የሚከተለው የአራተኛ ደረጃ እኩልታ አለን, ይህም መደበኛውን አልጎሪዝም በመጠቀም ሊፈታ ይችላል: አካፋዮችን እንፈትሻለን, ክፍፍሉን እንፈጽማለን, በውጤቱም እኩልታው ሁለት እውነተኛ ሥሮች እና ሁለት ውስብስብ ነገሮች እንዳሉት አግኝተናል. ለአራተኛ ደረጃ እኩልታችን የሚከተለውን መልስ አግኝተናል።

ፈቺን በመጠቀም በመስመር ላይ የከፍተኛ ዲግሪ እኩልታዎችን የት መፍታት እችላለሁ?

በድረ-ገፃችን https://site ላይ እኩልታውን መፍታት ይችላሉ. ነፃው የመስመር ላይ ፈላጊ በመስመር ላይ ማንኛውንም ውስብስብነት በሰከንዶች ጊዜ ውስጥ እንዲፈቱ ይፈቅድልዎታል። የሚያስፈልግህ ነገር በቀላሉ ውሂብህን ወደ ፈላጊው ውስጥ ማስገባት ብቻ ነው. እንዲሁም የቪዲዮ መመሪያዎችን ማየት እና በድረ-ገፃችን ላይ ያለውን እኩልታ እንዴት እንደሚፈቱ መማር ይችላሉ. እና አሁንም ጥያቄዎች ካሉዎት በ VKontakte ቡድናችን http://vk.com/pocketteacher ውስጥ ሊጠይቋቸው ይችላሉ። ቡድናችንን ይቀላቀሉ ፣ እርስዎን ለመርዳት ሁል ጊዜ ደስተኞች ነን።

እኩልታዎችን የመፍታት ዘዴዎች፡ n n n ቀመርን በመተካት h (f(x)) = h (g (x)) በቀመር f(x) = g (x) ፋክተርላይዜሽን። አዲስ ተለዋዋጭ መግቢያ. ተግባራዊ - ግራፊክ ዘዴ. የዝርያዎች ምርጫ. የቪዬታ ቀመሮች አተገባበር።

እኩልታውን h(f(x)) = h(g(x)) በቀመር f(x) = g(x) በመተካት። ዘዴው ጥቅም ላይ ሊውል የሚችለው y = h (x) ነጠላ ተግባር ሲሆን እያንዳንዱን እሴት አንድ ጊዜ ይወስዳል። ተግባሩ ሞኖቶኒክ ካልሆነ ሥሮቹን መጥፋት ይቻላል ።

እኩልታውን ይፍቱ (3 x + 2)²³ = (5 x – 9)²³ y = x ²³ እየጨመረ የሚሄድ ተግባር ነው፣ ስለዚህ ከሒሳብ (3 x + 2)²³ = (5 x – 9)²³ ወደ መሄድ ይችላሉ። ቀመር 3 x + 2 = 5 x – 9፣ ከየት ነው x = 5፣ 5 ካገኘንበት። መልስ፡ 5፣ 5።

ፋክተርላይዜሽን ቀመር f (x) g (x) h (x) = 0 በቀመር ቀመር ሊተካ ይችላል f (x) = 0; g (x) = 0; h(x) = 0. የዚህን ስብስብ እኩልታዎች ከፈታህ በኋላ የዋናውን እኩልታ ፍቺ ጎራ የሆኑትን ሥረ-ሥሮች ወስደህ የቀረውን እንደ ውጭ አስወግድ።

ቀመር x³ – 7 x + 6 = 0 7 x የሚለውን ቃል በመወከል በቅደም ተከተል እናገኛለን፡ x³ – x – 6 x + 6 = 0 x(x² – 1) – 6(x – 1) ) = 0 x (x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) = 0 (x – 1) (x² + x – 6) = 0 አሁን ችግሩ ወደ እኩልታዎች ስብስብ መፍታት ቀንሷል x – 1 = 0; x² + x – 6 = 0. መልስ፡ 1፣ 2፣ – 3።

አዲስ ተለዋዋጭ መግቢያ. እኩልታው y(x) = 0 ወደ ቅጽ p(g(x)) = 0 ሊቀየር ከቻለ፣ አዲስ ተለዋዋጭ u = g(x) ማስተዋወቅ አለቦት፣ እኩልታውን p(u) = 0 እና ከዚያ የእኩልታዎችን ስብስብ ይፍቱ g (x) = u 1; g (x) = u 2; ...; g(x) = un፣ የት u 1፣ u 2፣ …፣ un የእኩልታ ስር ናቸው p(u) = 0።

እኩልታውን ይፍቱ የዚህ እኩልታ ልዩ ባህሪ ከጫፎቹ እኩል ርቀት ያለው የግራ ጎኑ ጥምርታ እኩልነት ነው። እንደነዚህ ያሉት እኩልታዎች ተገላቢጦሽ ይባላሉ. 0 የዚህ እኩልታ ሥር ስላልሆነ፣ በ x² ስናካፍል እናገኛለን

አዲስ ተለዋዋጭ እናስተዋውቅ ከዚያም ኳድራቲክ እኩልታ እናገኛለን ስለዚህ ሥር y 1 = - 1 ችላ ሊባል ይችላል. መልሱን እናገኛለን: 2, 0, 5.

ቀመር 6(x² – 4)² + 5(x² – 4)(x² – 7 x +12) + (x² – 7 x + 12)² = 0 ይህ እኩልታ እንደ አንድ ወጥ እኩልታ ሊፈታ ይችላል። የእኩልታውን ሁለቱንም ጎኖች በ (x² – 7 x +12)² እንከፋፍላቸው (የ x እሴቶች x² – 7 x +12=0 መፍትሄዎች እንዳልሆኑ ግልጽ ነው)። አሁን ከዚህ መልስ እንዳለን እንገልፃለን፡-

ተግባራዊ - ግራፊክ ዘዴ. ከተግባሩ አንዱ y = f(x)፣ y = g(x) ቢጨምር እና ሌላው ቢቀንስ፣ እኩልታ f(x) = g(x) ስር የለውም ወይም አንድ ስር አለው።

እኩልታውን ይፍቱ x = 2 የእኩልታው መሰረት መሆኑ ግልጽ ነው። ይህ ብቸኛው ሥር መሆኑን እናረጋግጥ. እኩልታውን ወደ ቅጹ እንለውጠው ተግባሩ እየጨመረ እና ተግባሩ እየቀነሰ መሆኑን እናስተውላለን። ይህ ማለት እኩልታው አንድ ሥር ብቻ ነው ያለው ማለት ነው። መልስ፡ 2.

የሥሮች ምርጫ n n n ቲዎሬም 1፡ ኢንቲጀር ሜትር የአንድ ፖሊኖሚል ሥር ከኢንቲጀር ኮፊሸንትስ ከሆነ፣ የፖሊኖሚሉ ነፃ ቃል በ m ይከፈላል ማለት ነው። ቲዎረም 2፡ የተቀነሰው ፖሊኖሚል ከኢንቲጀር ኮፊሸንት ጋር ምንም ክፍልፋይ ሥሮች የሉትም። ቲዎረም 3፡- ከኢንቲጀር ጋር እኩልነት እንይ Coefficients። ቁጥር እና ክፍልፋይ p እና q የማይቀነሱ ኢንቲጀርስ ከሆኑ የእኩልታ ስር ከሆነ p የነፃ ቃል አከፋፋይ ነው እና q የመሪ ቃል አ 0 ተካፋይ ነው።

የቤዙት ቲዎሪ። የቀረውን ማንኛውንም ፖሊኖሚል በሁለትዮሽ (x - a) ሲከፋፈለው በ x = a ከተከፋፈለው የብዙ ቁጥር እሴት ጋር እኩል ነው። የቤዙት ቲዎረም n n n n የሁለት ቁጥሮች ተመሳሳይ ሃይሎች ልዩነት ያለቀሪው የተከፋፈለው በተመሳሳዩ ቁጥሮች ልዩነት ነው። በሁለት ቁጥሮች ተመሳሳይ እኩል ኃይላት መካከል ያለው ልዩነት በእነዚህ ቁጥሮች እና ድምር ልዩነት በሁለቱም ይከፈላል ። በሁለት ቁጥሮች ተመሳሳይ ጎዶሎ ሀይሎች መካከል ያለው ልዩነት በእነዚህ ቁጥሮች ድምር አይከፋፈልም። የሁለት ቁጥሮች ያልሆኑ የእኩል ኃይላት ድምር በነዚህ ቁጥሮች ልዩነት ይከፈላል; የሁለት ቁጥሮች ተመሳሳይ ጎዶሎ ኃይላት ድምር ያለቀሪው በእነዚህ ቁጥሮች ድምር ይከፈላል፤ የሁለት ቁጥሮች ተመሳሳይ ኃይል ድምር በነዚህ ቁጥሮች ልዩነት ወይም በድምር አይከፋፈልም። አንድ ፖሊኖሚል በሁለትዮሽ (x - a) የሚከፋፈለው ቁጥሩ ከሆነ እና ብቻ ከሆነ; የዜሮ ያልሆነ ፖሊኖሚል የተለያዩ ሥሮች ቁጥር ከዲግሪው አይበልጥም።

እኩልታውን ይፍቱ x³ – 5 x² – x + 21 = 0 ብዙ ቁጥር ያለው x³ – 5 x² – x + 21 ኢንቲጀር ኮፊሸን አለው። በቲዎሬም 1፣ የኢንቲጀር ሥሮቹ ካሉ፣ ከነጻው ቃል አከፋፋዮች መካከል ናቸው፡ ± 1፣ ± 3፣ ± 7፣ ± 21. በማጣራት ቁጥር 3 ሥር እንደሆነ እርግጠኞች ነን። ከቤዙት ቲዎሪ ጋር በማያያዝ፣ ፖሊኖሚሉ በ (x - 3) ይከፈላል። ስለዚህም፣ x³– 5 x² – x + 21 = (x – 3) (x²– 2 x – 7)። መልስ፡-

ቀመር 2 x³ – 5 x² – x + 1 = 0 በቲዎሬም 1 መሠረት ቁጥሮች ± 1 ብቻ የኢኩዌሽኑ ኢንቲጀር ሥሮች ሊሆኑ ይችላሉ መፈተሽ እነዚህ ቁጥሮች ሥር እንዳልሆኑ ያሳያል። እኩልታው ስላልቀነሰ ክፍልፋይ ምክንያታዊ ሥሮች ሊኖሩት ይችላል። እናገኛቸው። ይህንን ለማድረግ ሁለቱንም የእኩልቱን ጎኖች በ 4: 8 x³ - 20 x² - 4 x + 4 = 0 በማባዛት 2 x = t, t³ - 5 t² - 2 t + 4 = 0 እናገኛለን. በቲዎሬም 2, ሁሉም የዚህ የተሰጠው እኩልታ ምክንያታዊ ሥሮች ያልተነኩ መሆን አለባቸው። ከነጻው ቃል አከፋፋዮች መካከል ሊገኙ ይችላሉ፡- ± 1፣ ± 2፣ ± 4. በዚህ ሁኔታ፣ t = – 1 ተስማሚ ነው። 1 የሚካፈለው በ (x + 0, 5): 2 x³ – 5 x² – x + 1 = (x + 0. 5) (2 x² – 6 x + 2) ኳድራቲክ እኩልታውን ከፈታን በኋላ 2 x² – 6 x + 2 = 0፣ የተቀሩትን ሥሮች እናገኛለን፡ መልስ፡-

ቀመር 6 x³ + x² – 11 x – 6 = 0 በቲዎሬም 3 መሠረት፣ የዚህ እኩልታ መነሻዎች ከቁጥሮች መካከል መፈለግ አለባቸው። ሁሉንም የእኩልታውን ሥሮች ያሟሟቸዋል. መልስ፡-

የካሬ ስሮች ድምርን ያግኙ x³ + 3 x² – 7 x +1 = 0 በ Vieta’s theorem ልብ ይበሉ

እያንዳንዳቸው እነዚህ እኩልታዎች እንዴት እንደሚፈቱ ያመልክቱ። እኩልታዎች ቁጥር 1፣ 4፣ 15፣ 17 ፍታ።

መልሶች እና አቅጣጫዎች፡- 1. የአዲሱ ተለዋዋጭ መግቢያ። 2. ተግባራዊ - ግራፊክ ዘዴ. 3. ቀመር h (f(x)) = h (g (x)) በቀመር f (x) = g (x) መተካት። 4. ፋክተርላይዜሽን. 5. ሥሮቹን መምረጥ. 6 ተግባራዊ - ግራፊክ ዘዴ. 7. የቪዬታ ቀመሮችን አተገባበር. 8. ሥሮቹን መምረጥ. 9. ቀመር h (f (x)) = h (g (x)) በቀመር f (x) = g (x) መተካት. 10. አዲስ ተለዋዋጭ መግቢያ. 11. ፋክተሮች. 12. አዲስ ተለዋዋጭ መግቢያ. 13. ሥሮቹን መምረጥ. 14. የቪዬታ ቀመሮችን አተገባበር. 15. ተግባራዊ - ግራፊክ ዘዴ. 16. ፋክተሮች. 17. አዲስ ተለዋዋጭ መግቢያ. 18. ፋክተርላይዜሽን.

1. መመሪያ. እኩልታውን እንደ 4(x²+17 x+60)(x+16 x+60)=3 x² ይፃፉ፣ ሁለቱንም ወገኖች በ x² ያካፍሉ። ተለዋዋጭውን አስገባ መልሱ: x 1 = - 8; x 2 = - 7.5 4. መመሪያ. በቀመርው በግራ በኩል 6 y እና - 6 y ይጨምሩ እና እንደ (y³ – 2 y²) + (– 3 y² + 6 y) + (– 8 y + 16) = (y – 2)(y² –) ይጻፉት። 3 y - 8). መልስ፡-

14. መመሪያ. በቪዬታ ቲዎሬም መሰረት እነዚህ ኢንቲጀሮች በመሆናቸው፣ የእኩልታው ሥሮች ቁጥሮች ብቻ ሊሆኑ ይችላሉ - 1, - 2, - 3. መልስ: 15. መልስ: - 1. 17. መመሪያ. የእኩልታውን ሁለቱንም ጎኖች በ x² ይከፋፍሏቸው እና እንደ ተለዋዋጭ ይፃፉ መልሱ፡ 1; 15; 2; 3.

መጽሃፍ ቅዱስ። n n n Kolmogorov A. N. "አልጀብራ እና የትንታኔ ጅማሬ, 10 - 11" (ኤም.: Prosveshchenie, 2003). ባሽማኮቭ ኤም.አይ. "አልጀብራ እና የትንታኔ ጅማሬ, 10 - 11" (ኤም.: ፕሮስቬሽቼኒ, 1993). Mordkovich A.G. "አልጀብራ እና የትንታኔ መርሆዎች, 10 - 11" (ኤም.: Mnemosyna, 2003). Alimov Sh. A., Kolyagin ዩ. Galitsky M.L., Goldman A.M., Zvavich L. I. "በአልጀብራ ውስጥ ያሉ የችግሮች ስብስብ, 8 - 9" (ኤም.: ፕሮስቬሽቼኒ, 1997). Karp A. P. "በአልጀብራ ላይ ያሉ ችግሮች ስብስብ እና የመተንተን መርሆዎች, 10 - 11" (ኤም.: ፕሮስቬሽቼኒ, 1999). ሻሪጊን አይ.ኤፍ. "አማራጭ ኮርስ በሂሳብ, ችግር መፍታት, 10" (ኤም.: ትምህርት. 1989). Skopets Z.A. "በሂሳብ ኮርስ ላይ ተጨማሪ ምዕራፎች, 10" (ኤም.: Prosveshchenie, 1974). ሊቲንስኪ ጂ.አይ. "የሂሳብ ትምህርቶች" (ኤም.: አስላን, 1994). ሙራቪን ጂ.ኬ. Kolyagin Yu. M. "የከፍተኛ ዲግሪዎች ፖሊኖሚሎች እና እኩልታዎች" (ሂሳብ, "የሴፕቴምበር መጀመሪያ" ጋዜጣ ተጨማሪ, ቁጥር 3, 2005).

መሰረታዊ ግቦች፡-

1. የሁለተኛ ዲግሪ አጠቃላይ ምክንያታዊ እኩልታ ጽንሰ-ሀሳብን ያጠናክሩ።
2. የከፍተኛ ዲግሪዎች እኩልታዎችን ለመፍታት መሰረታዊ ዘዴዎችን ይቅረጹ (n > 3).
3. ከፍተኛ-ደረጃ እኩልታዎችን ለመፍታት መሰረታዊ ዘዴዎችን አስተምሩ።
4. በጣም እንዴት እንደሚወስኑ ለማስተማር ውጤታማ ዘዴየእሱ ውሳኔዎች.

በክፍል ውስጥ መምህሩ የሚጠቀምባቸው ቅጾች፣ ዘዴዎች እና የማስተማር ዘዴዎች፡-

• የንግግር-ሴሚናር የማስተማር ስርዓት (ንግግሮች - የአዳዲስ እቃዎች ማብራሪያ, ሴሚናሮች - ችግር መፍታት).
• የመረጃ እና የመገናኛ ቴክኖሎጂዎች (የፊት ዳሰሳ ጥናት, ከክፍል ጋር የቃል ስራ).
• የተለያየ ትምህርት, የቡድን እና የግለሰብ ቅርጾች.
• የእያንዳንዱን ተማሪ የሂሳብ መሳሪያ እና የማሰብ ችሎታ ለማዳበር በማስተማር የምርምር ዘዴን መጠቀም።
• የታተመ ቁሳቁስ - ግለሰብ አጭር ማጠቃለያትምህርት (መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳቦች ፣ ቀመሮች ፣ መግለጫዎች ፣ የንግግር ቁሳቁስ በስዕላዊ መግለጫዎች ወይም በጠረጴዛዎች መልክ የታሸገ)።

የትምህርት እቅድ፡-

1. የማደራጀት ጊዜ.
   የመድረኩ ዓላማ፡ ተማሪዎችን ማካተት የትምህርት እንቅስቃሴዎች, የትምህርቱን ይዘት ማዕቀፍ ይወስኑ.
2. የተማሪዎችን እውቀት ማዘመን.
   የመድረኩ ዓላማ፡ ቀደም ሲል በተጠኑ ተዛማጅ ርዕሰ ጉዳዮች ላይ የተማሪዎችን እውቀት ለማሻሻል
3. በማጥናት ላይ አዲስ ርዕስ(ትምህርት) የመድረኩ ግብ፡- የከፍተኛ ዲግሪዎችን እኩልታዎች ለመፍታት መሰረታዊ ዘዴዎችን ለመቅረጽ (n > 3)
4. ማጠቃለል።
   የመድረኩ ዓላማ፡ በትምህርቱ ውስጥ በተጠናው ጽሑፍ ውስጥ ያሉትን ቁልፍ ነጥቦች በድጋሚ ለማጉላት።
5. የቤት ስራ.
   የመድረኩ አላማ፡ ለተማሪዎች የቤት ስራን ማዘጋጀት።

የትምህርቱ ማጠቃለያ

1. ድርጅታዊ ጊዜ.

የትምህርቱ ርዕስ መቀረጽ፡- “የከፍተኛ ኃይሎች እኩልታዎች። እነሱን ለመፍታት ዘዴዎች።

2. የተማሪዎችን እውቀት ማዘመን.

ቲዎሬቲካል ዳሰሳ - ውይይት. ቀደም ሲል የተጠኑ አንዳንድ መረጃዎችን ከቲዎሪ መደጋገም። ተማሪዎች መሰረታዊ ትርጉሞችን ያዘጋጃሉ እና አስፈላጊዎቹን ንድፈ ሃሳቦች ያዘጋጃሉ. ከዚህ ቀደም የተገኘውን የእውቀት ደረጃ ለማሳየት ምሳሌዎችን ስጥ።

• የአንድ እኩልታ ጽንሰ-ሐሳብ ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር።
• የአንድ እኩልታ ሥር ፅንሰ-ሀሳብ ፣ የአንድ እኩልታ መፍትሄ።
• ጽንሰ-ሐሳብ መስመራዊ እኩልታከአንድ ተለዋዋጭ ጋር, የኳድራቲክ እኩልታ ጽንሰ-ሐሳብ ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር.
• የእኩልታዎች እኩልነት ጽንሰ-ሀሳብ ፣ እኩልታዎች - መዘዞች (የውጭ ሥሮች ፅንሰ-ሀሳብ) ፣ በውጤቱ ሳይሆን ሽግግር (የሥር መጥፋት ጉዳይ)።
• የሙሉ ምክንያታዊ መግለጫ ጽንሰ-ሀሳብ ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር።
• የሙሉ ምክንያታዊ እኩልታ ጽንሰ-ሀሳብ nኛ ዲግሪ. የሙሉ ምክንያታዊ እኩልታ መደበኛ ቅጽ። የተቀነሰ አጠቃላይ ምክንያታዊ እኩልታ።
• የመጀመሪያውን እኩልታ በማስተካከል ወደ ዝቅተኛ ዲግሪዎች እኩልታዎች ስብስብ ሽግግር።
• የፖሊኖሚል ጽንሰ-ሐሳብ nኛ ዲግሪ ከ x. የቤዙት ቲዎሪ። ከBezout ቲዎሬም የተሰጡ አስተያየቶች። ሥር ንድፈ ሃሳቦች ( ዜድ- ሥሮች እና ጥ-ሥሮች) የአንድ ሙሉ ምክንያታዊ እኩልታ ከኢንቲጀር ኮፊሸንትስ (በቅደም ተከተል የተቀነሰ እና ያልተቀነሰ)።
• የሆርነር እቅድ.

3. አዲስ ርዕስ በማጥናት ላይ.

ሙሉውን ምክንያታዊ እኩልታ እንመለከታለን n- መደበኛ ቅጽ ኃይል ከአንድ የማይታወቅ ተለዋዋጭ ጋር x:Pn(x)= 0 ፣ የት P n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0- ፖሊኖሚል nኛ ዲግሪ ከ x, ሀ n ≠ 0. ከሆነ ሀ n = 1 ከዚያም እንዲህ ዓይነቱ እኩልታ የተቀነሰ ኢንቲጀር ምክንያታዊ እኩልታ ይባላል nኛ ዲግሪ. እንደነዚህ ያሉትን እኩልታዎች እንመልከት የተለያዩ ትርጉሞች nእና እነሱን ለመፍታት ዋና ዘዴዎችን ይዘርዝሩ.

n= 1 - መስመራዊ እኩልታ.

n= 2 - ኳድራቲክ እኩልታ.አድሏዊ ቀመር። ሥሮችን ለማስላት ቀመር. የቪዬታ ጽንሰ-ሐሳብ. የተሟላ ካሬ መምረጥ።

n= 3 - ኪዩቢክ እኩልታ.

የመቧደን ዘዴ.

ለምሳሌ: x 3 – 4x 2 – x+ 4 = 0 (x - 4) (x 2– 1) = 0 x 1 = 4 , x 2 = 1,x 3 = -1.

የቅጹ ተገላቢጦሽ ኪዩቢክ እኩልታ መጥረቢያ 3 + bx 2 + bx + ሀ= 0. ቃላቶችን ከተመሳሳይ አሃዞች ጋር በማጣመር እንፈታዋለን.

ለምሳሌ: x 3 – 5x 2 – 5x + 1 = 0 (x + 1)(x 2 – 6x + 1) = 0 x 1 = -1, x 2 = 3 + 2, x 3 = 3 – 2.

በቲዎሬም ላይ በመመስረት የ Z-roots ምርጫ. የሆርነር እቅድ. ይህንን ዘዴ በሚተገበሩበት ጊዜ በዚህ ጉዳይ ላይ ያለው ፍለጋ መጨረሻ ላይ መሆኑን አጽንኦት መስጠት አስፈላጊ ነው, እና ሥሮቹን ስለ ንድፈ ሀሳቡ መሠረት አንድ ስልተ ቀመር በመጠቀም እንመርጣለን. ዜድ-የተሰጠው ሙሉ ምክንያታዊ እኩልታ ከኢንቲጀር ኮፊሸንስ ጋር።

ለምሳሌ: x 3 – 9x 2 + 23x- 15 = 0. እኩልታው ተሰጥቷል. የነፃውን ጊዜ አከፋፋዮችን እንጻፍ ( + 1; + 3; + 5; + 15) የሆነርን እቅድ እንተገብረው፡-

	x 3	x 2	x 1	x 0	መደምደሚያ
	1	-9	23	-15
1	1	1 x 1 – 9 = -8	1 x (-8) + 23 = 15	1 x 15 – 15 = 0	1 - ሥር
	x 2	x 1	x 0

እናገኛለን ( x – 1)(x 2 – 8x + 15) = 0 x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 5.

ከኢንቲጀር ኮፊሸንስ ጋር እኩልታ። በንድፈ ሃሳቡ ላይ በመመስረት የ Q-roots ምርጫ። የሆርነር እቅድ. ይህንን ዘዴ በሚተገበሩበት ጊዜ በዚህ ጉዳይ ላይ ያለው ፍለጋ የመጨረሻ መሆኑን አጽንኦት መስጠት ያስፈልጋል እና ሥሮቹን ስለ ንድፈ ሀሳቡ መሠረት የተወሰነ ስልተ ቀመር በመጠቀም እንመርጣለን ። ጥ- ያልተቀነሰ የኢንቲጀር ምክንያታዊ እኩልታ ከኢንቲጀር ኮፊሸንስ ጋር።

ምሳሌ፡ 9 x 3 + 27x 2 – x- 3 = 0. እኩልታው አልተቀነሰም. የነፃውን ጊዜ አከፋፋዮችን እንጻፍ ( + 1; + 3) የማናውቀውን ከፍተኛ ኃይል ላይ ያለውን የቁጥር አካፋዮችን እንጻፍ። ( + 1; + 3; + 9) ስለዚህ ፣ በእሴቶቹ መካከል ሥሮችን እንፈልጋለን ( + 1; + ; + ; + 3) የሆነርን እቅድ እንተገብረው፡-

	x 3	x 2	x 1	x 0	መደምደሚያ
	9	27	-1	-3
1	9	1 x 9 + 27 = 36	1 x 36 – 1 = 35	1 x 35 – 3 = 32 ≠ 0	1 - ሥር አይደለም
-1	9	-1 x 9 + 27 = 18	-1 x 18 – 1 = -19	-1 x (-19) - 3 = 16 ≠ 0	-1 - ሥር አይደለም
	9	x 9 + 27 = 30	x 30 - 1 = 9	x 9 – 3 = 0	ሥር
	x 2	x 1	x 0

እናገኛለን ( x – )(9x 2 + 30x + 9) = 0 x 1 = , x 2 = - , x 3 = -3.

Q በሚመርጡበት ጊዜ ለማስላት ቀላልነት - ሥሮችተለዋዋጭ ለውጥ ለማድረግ አመቺ ሊሆን ይችላል, ወደ ተሰጠው እኩልታ ይሂዱ እና Z ን ይምረጡ - ሥሮች.

• የዱሚ ቃል 1 ከሆነ

.

• የቅጹን ምትክ መጠቀም ከቻሉ y = kx

.

የካርድኖ ቀመር. ኪዩቢክ እኩልታዎችን ለመፍታት ሁለንተናዊ ዘዴ አለ - ይህ የካርዳኖ ቀመር ነው። ይህ ቀመር ከጣሊያን የሂሳብ ሊቃውንት ጌሮላሞ ካርዳኖ (1501-1576)፣ ኒኮሎ ታርታግሊያ (1500-1557) እና Scipion ዴል ፌሮ (1465-1526) ስም ጋር የተያያዘ ነው። ይህ ቀመር ከትምህርታችን ወሰን በላይ ነው።

n= 4 - የአራተኛው ዲግሪ እኩልታ.

የመቧደን ዘዴ.

ለምሳሌ: x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x – 12 = 0 (x 4 + 2x 3) + (5x 2 + 10x) – (6x + 12) = 0 (x + 2)(x 3 + 5x – 6) = 0 (x + 2)(x– 1)(x 2 + x + 6) = 0 x 1 = -2, x 2 = 1.

ተለዋዋጭ የመተኪያ ዘዴ.

• የቅጹ ሁለትዮሽ እኩልታ መጥረቢያ 4 + bx 2+ ሰ = 0 .

ለምሳሌ: x 4 + 5x 2 - 36 = 0. መተካት y = x 2. ከዚህ y 1 = 4, y 2 = -9 ለዛ ነው x 1,2 = + 2 .

• የቅጹ አራተኛ ደረጃ የተገላቢጦሽ እኩልታ መጥረቢያ 4 + bx 3+ሐ x 2 + bx + ሀ = 0.

ቅጹን በመተካት ቃላትን ከተመሳሳዩ ኮርፖሬሽኖች ጋር በማጣመር እንፈታለን።

• መጥረቢያ 4 + bx 3 + cx 2 – bx + ሀ = 0.

• የቅጹ አራተኛ ደረጃ አጠቃላይ ተደጋጋሚ እኩልታ መጥረቢያ 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + ክ 2ሀ = 0.

• አጠቃላይ መተካት. አንዳንድ መደበኛ መተኪያዎች.

ምሳሌ 3 . አጠቃላይ እይታ መተካት(ከተወሰነው የእኩልታ አይነት ይከተላል)።

n = 3.

ከኢንቲጀር ኮፊፊሸንስ ጋር እኩል። የ Q-roots ምርጫ n = 3.

አጠቃላይ ቀመር. የአራተኛ ደረጃ እኩልታዎችን ለመፍታት ሁለንተናዊ ዘዴ አለ። ይህ ቀመር ከሉዶቪኮ ፌራሪ (1522-1565) ስም ጋር የተያያዘ ነው. ይህ ቀመር ከትምህርታችን ወሰን በላይ ነው።

n > 5 - የአምስተኛው እና ከፍተኛ ዲግሪዎች እኩልታዎች.

ከኢንቲጀር ኮፊፊሸንስ ጋር እኩል። በቲዎሬም ላይ በመመስረት የ Z-roots ምርጫ. የሆርነር እቅድ. ስልተ ቀመር ከዚህ በላይ ከተጠቀሰው ጋር ተመሳሳይ ነው። n = 3.

ከኢንቲጀር ኮፊፊሸንስ ጋር እኩል። የ Q-roots ምርጫበንድፈ ሀሳብ ላይ የተመሰረተ. የሆርነር እቅድ. ስልተ ቀመር ከዚህ በላይ ከተጠቀሰው ጋር ተመሳሳይ ነው። n = 3.

ሲሜትሪክ እኩልታዎች. ማንኛውም የተገላቢጦሽ እኩልነት ጎዶሎ ዲግሪ ሥር አለው። x= -1 እና ወደ ምክንያቶች ከገባን በኋላ አንድ አካል ቅጹ እንዳለው እናገኛለን ( x+ 1)፣ እና ሁለተኛው ምክንያት የተገላቢጦሽ እኩልነት የዲግሪ እኩልነት ነው (ዲግሪው ከዋናው እኩልታ ደረጃ አንድ ያነሰ ነው)። ማንኛውም የተገላቢጦሽ እኩልታ እኩል ዲግሪ ከቅጹ ሥር ጋር x = φበተጨማሪም የዝርያውን ሥር ይዟል. እነዚህን መግለጫዎች በመጠቀም, በጥናት ላይ ያለውን የእኩልነት ደረጃ ዝቅ በማድረግ ችግሩን እንፈታዋለን.

ተለዋዋጭ የመተኪያ ዘዴ. ተመሳሳይነት ያለው አጠቃቀም.

የአምስተኛው ዲግሪ አጠቃላይ እኩልታዎችን ለመፍታት አጠቃላይ ቀመር የለም (ይህ በጣሊያን የሂሳብ ሊቅ ፓኦሎ ሩፊኒ (1765-1822) እና በኖርዌይ የሂሳብ ሊቅ ኒልስ ሄንሪክ አቤል (1802-1829)) እና ከፍተኛ ዲግሪዎች (ይህ የሚታየው በ ፈረንሳዊው የሂሳብ ሊቅ ኢቫሪስቴ ጋሎይስ (1811-1832))።

• በተግባር ግን መጠቀም እንደሚቻል በድጋሚ እናስታውስ ጥምረትከላይ የተዘረዘሩት ዘዴዎች. ወደ ዝቅተኛ ዲግሪዎች እኩልታዎች ስብስብ ለማለፍ ምቹ ነው። የመነሻውን እኩልታ ማሳደግ.
• ዛሬ ከውይይታችን ወሰን ውጭ በተግባር በስፋት ጥቅም ላይ የዋሉት አሉ። ስዕላዊ ዘዴዎችእኩልታዎችን መፍታት እና ግምታዊ የመፍትሄ ዘዴዎችየከፍተኛ ዲግሪዎች እኩልታዎች.
• እኩልታው R-roots የሌለው ጊዜ ሁኔታዎች አሉ.
ከዚያም መፍትሔው እኩልነት ሥር እንደሌለው ለማሳየት ይወርዳል. ይህንን ለማረጋገጥ በ monotonicity ክፍተቶች ላይ ከግምት ውስጥ ያሉትን ተግባራት ባህሪ እንመረምራለን ። ምሳሌ፡ እኩልነት x 8 – x 3 + 1 = 0 ሥር የለውም።
• የተግባሮች monotonicity ንብረት መጠቀም
. የተለያዩ ባህሪያትን በሚጠቀሙበት ጊዜ ሁኔታዎች ስራውን ለማቃለል ይፈቅድልዎታል.
ምሳሌ 1፡ እኩልታ x 5 + 3x- 4 = 0 አንድ ሥር አለው x= 1. ምክንያት የተተነተኑ ተግባራት monotonicity ንብረት, ምንም ሌሎች ሥሮች ናቸው.
ምሳሌ 2፡ እኩልታ x 4 + (x- 1) 4 = 97 ሥር አለው x 1 = -2 እና x 2 = 3. በ monotonicity ክፍተቶች ላይ ተጓዳኝ ተግባራትን ባህሪ ከመረመርን, ምንም ሌሎች ሥሮች እንደሌሉ መደምደም እንችላለን.

4. ማጠቃለል.

ማጠቃለያ፡ አሁን የተለያዩ የከፍተኛ ዲግሪዎችን እኩልታዎች ለመፍታት መሰረታዊ ዘዴዎችን ተምረናል (ለ n > 3) የእኛ ተግባር ከላይ የተዘረዘሩትን ስልተ ቀመሮችን እንዴት በብቃት እንደምንጠቀም መማር ነው። እንደ እኩልታው አይነት, በአንድ ጉዳይ ላይ የትኛው የመፍትሄ ዘዴ በጣም ውጤታማ እንደሆነ ለመወሰን መማር አለብን, እንዲሁም የተመረጠውን ዘዴ በትክክል ይተግብሩ.

5. የቤት ስራ.

አንቀጽ 7፣ ገጽ 164–174፣ ቁ. 33–36፣ 39–44፣ 46.47

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

በዚህ ርዕስ ላይ ለሪፖርቶች ወይም ረቂቅ ጽሑፎች ሊሆኑ የሚችሉ ርዕሶች፡

• የካርድኖ ቀመር
• እኩልታዎችን ለመፍታት ስዕላዊ ዘዴ. የመፍትሄዎች ምሳሌዎች.
• የእኩልታዎች ግምታዊ መፍትሄዎች ዘዴዎች።

የተማሪ ትምህርት ትንተና እና በርዕሱ ላይ ፍላጎት;

ልምድ እንደሚያሳየው የተማሪዎች ፍላጎት በዋነኝነት የሚቀሰቀሰው የመምረጥ እድል ነው። ዜድ- ሥሮች እና ጥ-የሆርነርን እቅድ በመጠቀም በቀላሉ ቀላል ስልተ ቀመር በመጠቀም የእኩልታ ስር። ተማሪዎች የተለያዩ መደበኛ የተለዋዋጮችን መተካት ይፈልጋሉ፣ ይህም የችግሩን አይነት በእጅጉ ያቃልላል። ስዕላዊ የመፍትሄ ዘዴዎች ብዙውን ጊዜ ልዩ ትኩረት የሚስቡ ናቸው. በዚህ ሁኔታ ፣ እኩልታዎችን ለመፍታት ግራፊክ ዘዴን በመጠቀም ችግሮችን በተጨማሪ መተንተን ይችላሉ ። ተወያዩበት አጠቃላይ ቅፅግራፊክስ ለ 3, 4, 5 ዲግሪዎች ፖሊኖሚሎች; የ 3 ፣ 4 ፣ 5 ዲግሪዎች የእኩልታዎች ብዛት ከተዛማጁ ግራፍ ገጽታ ጋር እንዴት እንደሚዛመድ ይተንትኑ። ከዚህ በታች በዚህ ርዕስ ላይ ተጨማሪ መረጃ የሚያገኙበት መጽሐፍ ዝርዝር አለ።

መጽሃፍ ቅዱስ፡

1. ቪለንኪን ኤን.ኤ.እና ሌሎች "አልጀብራ. ለ9ኛ ክፍል ተማሪዎች የመማሪያ መጽሐፍ ጥልቅ ጥናትሂሳብ" - ኤም., ትምህርት, 2007 - 367 p.
2. Vilenkin N.Ya., Shibasov L.P., Shibasova Z.F.“ከሂሳብ መማሪያ መጽሐፍ ገጾች በስተጀርባ። አርቲሜቲክ. አልጀብራ 10-11 ክፍል" - M., ትምህርት, 2008 - 192 p.
3. Vygodsky M.Ya."የሂሳብ መጽሐፍ" - M., AST, 2010 - 1055 p.
4. ጋሊትስኪ ኤም.ኤል.“በአልጀብራ ውስጥ ያሉ የችግሮች ስብስብ። አጋዥ ስልጠናለ 8-9 ኛ ክፍል በሂሳብ ጥልቅ ጥናት" - M., Prosveshchenie, 2008 - 301 p.
5. Zvavich L.I.እና ሌሎችም “አልጀብራ እና የትንታኔ ጅምር። 8-11 ክፍሎች ጥልቅ የሂሳብ ጥናት ያለው ትምህርት ቤቶች እና ክፍሎች መመሪያ” - M., Drofa, 1999 - 352 p.
6. Zvavich L.I., Averyanov D.I., Pigarev B.P., Trushanina T.N."በ 9 ኛ ክፍል ለጽሁፍ ፈተና ለማዘጋጀት የሂሳብ ስራዎች" - M., Prosveshchenie, 2007 - 112 p.
7. ኢቫኖቭ ኤ.ኤ., ኢቫኖቭ ኤ.ፒ."በሂሳብ ውስጥ እውቀትን ለማደራጀት ቲማቲክ ሙከራዎች" ክፍል 1 - M., Fizmatkniga, 2006 - 176 p.
8. ኢቫኖቭ ኤ.ኤ., ኢቫኖቭ ኤ.ፒ."በሂሳብ ውስጥ እውቀትን ለማደራጀት ቲማቲክ ሙከራዎች" ክፍል 2 - M., Fizmatkniga, 2006 - 176 p.
9. ኢቫኖቭ ኤ.ፒ."ፈተናዎች እና የሙከራ ወረቀቶችሒሳብ. አጋዥ ስልጠና". - M., Fizmatkniga, 2008 - 304 p.
10. ሊብሰን ኬ.ኤል."በሂሳብ ውስጥ ተግባራዊ ተግባራት ስብስብ. ክፍል 2-9 ክፍሎች” - M., MSNM, 2009 - 184 p.
11. ማካሪቼቭ ዩ.ኤን., ሚንዲዩክ ኤን.ጂ."አልጀብራ. ተጨማሪ ምዕራፎች ወደ የትምህርት ቤት የመማሪያ መጽሐፍ 9 ኛ ክፍል. ጥልቅ የሂሳብ ጥናት ላለው በት / ቤቶች እና ክፍሎች ለተማሪዎች የመማሪያ መጽሐፍ። - ኤም., ትምህርት, 2006 - 224 p.
12. ሞርዶኮቪች ኤ.ጂ."አልጀብራ. ጥልቅ ጥናት. 8ኛ ክፍል. የመማሪያ መጽሐፍ" - M., Mnemosyne, 2006 - 296 p.
13. ሳቪን ኤ.ፒ. “ኢንሳይክሎፔዲክ መዝገበ ቃላትወጣት የሂሳብ ሊቅ" - ኤም., ፔዳጎጂ, 1985 - 352 p.
14. ሰርቪሎ ጂ.ኤስ., ሲሞኖቭ ኤ.ኤስ."ለ 9 ኛ ክፍል በአልጀብራ ላይ ዲዳክቲክ ቁሳቁሶች ከሂሳብ ጥልቅ ጥናት ጋር" - M., Prosveshchenie, 2006 - 95 p.
15. ቹልኮቭ ፒ.ቪ."እኩልነት እና እኩልነት በ የትምህርት ቤት ኮርስየሂሳብ ሊቅ.
16. ቹልኮቭ ፒ.ቪ.ትምህርቶች 1-4 "- M., ሴፕቴምበር 1st, 2006 - 88 p.

“በትምህርት ቤት የሂሳብ ኮርስ ውስጥ ያሉ እኩልታዎች እና አለመመጣጠን። ትምህርቶች 5-8" - ኤም., ሴፕቴምበር 1st, 2009 - 84 p.
ትሪፋኖቫ ማሪና አናቶሊቭና

የሂሳብ መምህር, የማዘጋጃ ቤት የትምህርት ተቋም "ጂምናዚየም ቁጥር 48 (ባለብዙ ዲሲፕሊን)", ታልናክ:

የትምህርቱ ሶስት ዓላማ
ትምህርታዊ፡
የከፍተኛ ዲግሪዎችን እኩልታዎች በመፍታት ላይ የእውቀት ስርዓት እና አጠቃላይነት።
ልማታዊ፡ ልማትን ማስፋፋትአመክንዮአዊ አስተሳሰብ
, በተናጥል የመሥራት ችሎታ, የጋራ ቁጥጥር እና ራስን የመግዛት ችሎታዎች, የንግግር እና የማዳመጥ ችሎታዎች.
ማስተማር፡

የማያቋርጥ ሥራ የመሥራት ልማድ ማዳበር፣ ምላሽ ሰጪነትን፣ ጠንክሮ መሥራትን እና ትክክለኛነትን ማዳበር።:

የትምህርት ዓይነት

የእውቀት ፣ ችሎታዎች እና ችሎታዎች የተቀናጀ አተገባበር ውስጥ ትምህርት።:

የትምህርት ቅጽ

የአየር ማናፈሻ, የአካል ብቃት እንቅስቃሴ, የተለያዩ የስራ ዓይነቶች.

መሳሪያ፡

ደጋፊ ማስታወሻዎች, የተግባር ካርዶች, የትምህርት ክትትል ማትሪክስ.

በክፍሎች ወቅት

1. I. ድርጅታዊ ጊዜ
2. የትምህርቱን ዓላማ ለተማሪዎች ማሳወቅ።

ለእያንዳንዳቸው እኩልታዎች እና መልሶች በቦርዱ ላይ ተጽፈዋል. ተማሪዎች መልሶቻቸውን ይፈትሹ እና ይሰጣሉ አጭር ትንታኔለእያንዳንዱ እኩልታ መፍትሄዎች ወይም የአስተማሪ ጥያቄዎችን ይመልሱ (የፊት ዳሰሳ). ራስን መግዛት - ተማሪዎች ለክፍል እርማት ወይም መጽደቅ ለራሳቸው ውጤት ይሰጣሉ እና ማስታወሻ ደብተራቸውን ለአስተማሪ ያስረክባሉ። የትምህርት ቤት ውጤቶች በቦርዱ ላይ ተጽፈዋል፡-

"5+" - 6 እኩልታዎች;
"5" - 5 እኩልታዎች;
"4" - 4 እኩልታዎች;
"3" - 3 እኩልታዎች.

ስለ የቤት ስራ የአስተማሪ ጥያቄዎች፡-

1 እኩልታ

1. በቀመር ውስጥ ምን ዓይነት ተለዋዋጭ ለውጦች ተደርገዋል?
2. ተለዋዋጮችን ከቀየሩ በኋላ ምን እኩልነት ተገኝቷል?

2 እኩልታ

1. የእኩልታውን ሁለቱንም ወገኖች ለመከፋፈል ምን ዓይነት ፖሊኖሚል ጥቅም ላይ ውሏል?
2. ምን ዓይነት የተለዋዋጮች ለውጥ ተገኝቷል?

3 እኩልታ

1. የዚህን እኩልታ መፍትሄ ለማቃለል ምን ዓይነት ፖሊኖሚሎች ማባዛት አለባቸው?

4 እኩልታ

1. ተግባሩን f(x) ይሰይሙ።
2. የቀሩት ሥሮች እንዴት ተገኙ?

5 እኩልታ

1. እኩልታውን ለመፍታት ስንት ክፍተቶች ተገኝተዋል?

6 እኩልታ

1. ይህ እኩልታ እንዴት ሊፈታ ቻለ?
2. የትኛው መፍትሔ የበለጠ ምክንያታዊ ነው?

II. የቡድን ስራ የትምህርቱ ዋና አካል ነው.

ክፍሉ በ 4 ቡድኖች ይከፈላል. ለእያንዳንዱ ቡድን “እኩልታውን ለመፍታት የታቀደውን ዘዴ መርምረህ ይህንን ምሳሌ ተጠቅመህ አስረዳ” የሚሉ የንድፈ ሃሳባዊ እና ተግባራዊ (አባሪ 3) ጥያቄዎች ያለው ካርድ ተሰጥቷቸዋል።

1. የቡድን ስራ 15 ደቂቃዎች.
2. ምሳሌዎች በቦርዱ ላይ ተጽፈዋል (ቦርዱ በ 4 ክፍሎች የተከፈለ ነው).
3. የቡድን ሪፖርቱ ከ2-3 ደቂቃዎች ይወስዳል.
4. መምህሩ የቡድን ሪፖርቶችን ያስተካክላል እና በችግሮች ውስጥ ይረዳል.

በቡድን ውስጥ ሥራ በካርድ ቁጥር 5 - 8 ይቀጥላል. ለእያንዳንዱ እኩልታ, በቡድኑ ውስጥ ለውይይት 5 ደቂቃዎች ይሰጣሉ. ከዚያም ቦርዱ በዚህ ስሌት ላይ ሪፖርት ያቀርባል - የመፍትሄው አጭር ትንታኔ. ስሌቱ ሙሉ በሙሉ ሊፈታ አይችልም - በቤት ውስጥ እየተጠናቀቀ ነው, ነገር ግን የመፍትሄው ቅደም ተከተል በክፍል ውስጥ ይብራራል.

III. ገለልተኛ ሥራ.አባሪ 4.

1. እያንዳንዱ ተማሪ የግለሰብ ሥራ ይቀበላል።
2. ስራው 20 ደቂቃዎችን ይወስዳል.
3. ትምህርቱ ከመጠናቀቁ 5 ደቂቃዎች በፊት መምህሩ ለእያንዳንዱ እኩልታ ግልፅ መልሶችን ይሰጣል።
4. ተማሪዎች በክበብ ውስጥ ማስታወሻ ደብተር ይለዋወጣሉ እና መልሶቻቸውን ከጓደኛቸው ጋር ያረጋግጡ። ውጤት ይሰጣሉ።
5. የማስታወሻ ደብተሮችን ለማጣራት እና ለክፍል እርማት ለመምህሩ ይሰጣሉ.

IV. የትምህርቱ ማጠቃለያ።

የቤት ስራ.

ላልተጠናቀቁ እኩልታዎች መፍትሄዎችን ያዘጋጁ። ለቁጥጥር መቁረጥ ያዘጋጁ.

ደረጃ መስጠት.

እስቲ እናስብ ከሁለተኛው ከፍ ባለ አንድ የዲግሪ ተለዋዋጭ እኩልታዎችን መፍታት።

የእኩልታው ዲግሪ P (x) = 0 የፖሊኖሚል P (x) ዲግሪ ነው, i.e. ከውሎቹ ውስጥ ትልቁ ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ ቅንጅት ያለው።

ስለዚህ, ለምሳሌ, እኩልታ (x 3 - 1) 2 + x 5 = x 6 - 2 አምስተኛ ዲግሪ አለው, ምክንያቱም ቅንፎችን ከከፈቱ እና መሰል ስራዎችን ካመጣን በኋላ ከአምስተኛው ዲግሪ ጋር ተመጣጣኝ እኩልታ x 5 - 2x 3 + 3 = 0 እናገኛለን.

ከሁለት ከፍ ያለ የዲግሪ እኩልታዎችን ለመፍታት የሚያስፈልጉትን ህጎች እናስታውስ።

ስለ ፖሊኖሚል ሥረ-ሥሮች እና አካፋዮቹ መግለጫዎች፡-

1. ፖሊኖሚል nthዲግሪዎች ከ n የማይበልጡ በርካታ ሥሮች አሏቸው ፣ እና የብዝሃነት m ሥሮች በትክክል m ጊዜዎች ይከሰታሉ።

2. ያልተለመደ ዲግሪ ፖሊኖሚል ቢያንስ አንድ እውነተኛ ሥር አለው።

3. α የ P(x) ሥር ከሆነ፣ ከዚያም P n (x) = (x – α) · Q n – 1 (x)፣ Q n – 1 (x) የዲግሪ ፖሊኖሚል ከሆነ (n – 1) .

4.

5. የተቀነሰው ፖሊኖሚል ከኢንቲጀር ውህዶች ጋር ክፍልፋይ ምክንያታዊ ሥሮች ሊኖሩት አይችልም።

6. ለሶስተኛ ዲግሪ ፖሊኖሚል

P 3 (x) = መጥረቢያ 3 + bx 2 + cx + d ከሁለቱ ነገሮች አንዱ ይቻላል፡ ወይ በሶስት የሁለትዮሽ ምርት ውስጥ ተበላሽቷል.

Р 3 (x) = а (х - α) (х - β) (х - γ), ወይም በሁለትዮሽ እና በካሬ ሶስትዮሽ ምርት ውስጥ መበስበስ Р 3 (x) = а (х - α) (х 2) + βх + γ)።

7. የአራተኛው ዲግሪ ማንኛውም ፖሊኖሚል ወደ ሁለት ካሬ ትሪኖሚሎች ምርት ሊሰፋ ይችላል።

8. ብዙ ቁጥር ያለው f(x) በ polynomial g(x) የሚካፈለው ያለቀሪው ብዙ ቁጥር q(x) ካለ f(x) = g(x) · q(x) ካለ። ፖሊኖሚሎችን ለመከፋፈል "የማዕዘን ክፍፍል" ደንብ ጥቅም ላይ ይውላል.

9. ፖሊኖሚል ፒ (x) በሁለትዮሽ (x - c) ለመከፋፈል አስፈላጊ እና በቂ ነው ቁጥሩ c የ P (x) ሥር (የቤዙት ቲዎሬም ኮሎሪ) ነው.

10. የቪዬታ ንድፈ ሐሳብ፡- x 1፣ x 2፣...፣ x n የፖሊኖሚል እውነተኛ ሥር ከሆኑ

P(x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n፣ ከዚያ የሚከተሉት እኩልነቶች ይያዛሉ፡-

x 1 + x 2 + … + x n = -a 1/a 0፣

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n – 1 x n = a 2/a 0፣

x 1 x 2 x 3 + … + x n – 2 x n – 1 x n = -a 3/a 0፣

x 1 · x 2 · x 3 · x n = (-1) n a n / a 0 .

ምሳሌዎችን መፍታት

ምሳሌ 1.

የተረፈውን ክፍል P(x) = x 3 + 2/3 x 2 – 1/9 by (x – 1/3) አግኝ።

መፍትሄ።

ከቤዙት ቲዎሬም ጋር በማያያዝ፡- “የሁለት ፖሊኖሚል የቀረው በሁለትዮሽ (x - ሐ) የተከፋፈለው ከሐ ብዙ ቁጥር እሴት ጋር እኩል ነው። P(1/3) = 0ን እናገኝ።ስለዚህ ቀሪው 0 እና ቁጥሩ 1/3 የብዙ ቁጥር መሰረት ነው።

መልስ፡ R = 0

ምሳሌ 2.

በ"ማዕዘን" 2x 3+ 3x 2 - 2x + 3 በ (x + 2) ያካፍሉ። ቀሪውን እና ያልተሟላውን ጥቅስ ያግኙ።

መፍትሄ፡-

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4 x 2 2x 2 – x

X 2 - 2 x

መልስ፡ R = 3; ጥቅስ፡ 2x 2 – x.

የከፍተኛ ዲግሪ እኩልታዎችን ለመፍታት መሰረታዊ ዘዴዎች

1. አዲስ ተለዋዋጭ መግቢያ

አዲስ ተለዋዋጭ የማስተዋወቅ ዘዴ ቀድሞውኑ ከሁለትዮሽ እኩልታዎች ምሳሌ የተለመደ ነው። እሱ ቀመር f (x) = 0 ለመፍታት ፣ አዲስ ተለዋዋጭ (ምትክ) t = x n ወይም t = g (x) አስተዋውቋል እና f (x) በ t ይገለጻል ፣ አዲስ እኩልታ r ያገኛል። (ተ) ከዚያ እኩልታውን r (t) በመፍታት ሥሮቹ ይገኛሉ፡-

(t 1፣ t 2፣ …፣ t n)። ከዚህ በኋላ, የ n እኩልታዎች ስብስብ q (x) = t 1, q (x) = t 2, … , q (x) = t n የተገኘ ሲሆን ይህም የመነሻ እኩልታ ሥሮች ይገኛሉ.

ምሳሌ 1.

(x 2 + x + 1) 2 – 3x 2 – 3x – 1 = 0።

መፍትሄ፡-

(x 2 + x + 1) 2 – 3 (x 2 + x) – 1 = 0።

(x 2 + x + 1) 2 – 3 (x 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0።

ምትክ (x 2 + x + 1) = ቲ.

t 2 – 3t + 2 = 0.

t 1 = 2፣ t 2 = 1. የተገላቢጦሽ መተካት፡-

x 2 + x + 1 = 2 ወይም x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 ወይም x 2 + x = 0;

መልስ፡- ከመጀመሪያው እኩልታ፡ x 1፣ 2 = (-1 ± √5)/2፣ ከሁለተኛው፡ 0 እና -1።

2. በቡድን እና በአህጽሮት የማባዛት ቀመሮችን ማባዛት።

መሰረቱ ይህ ዘዴእንዲሁም አዲስ አይደለም እና እያንዳንዱ ቡድን አንድ የተለመደ ነገር እንዲይዝ በቡድን ቃላትን ያቀፈ ነው። ይህንን ለማድረግ አንዳንድ ጊዜ አንዳንድ ሰው ሰራሽ ቴክኒኮችን መጠቀም አስፈላጊ ነው.

ምሳሌ 1.

x 4 – 3x 2 + 4x – 3 = 0።

መፍትሄ።

እስቲ እናስብ - 3x 2 = -2x 2 – x 2 እና ቡድን፡-

(x 4 – 2x 2) – (x 2 – 4x + 3) = 0።

(x 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4x + 3 + 1 – 1) = 0።

(x 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0።

(x 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0።

(x 2 – 1 – x + 2) (x 2 – 1 + x - 2) = 0።

(x 2 – x + 1) (x 2 + x – 3) = 0።

x 2 – x + 1 = 0 ወይም x 2 + x – 3 = 0።

መልስ: በመጀመሪያው እኩልታ ውስጥ ምንም ሥሮች የሉም, ከሁለተኛው: x 1, 2 = (-1 ± √13)/2.

3. ያልተወሰነ የቁጥር መጠን (coefficients) ዘዴን ማባዛት

የስልቱ ይዘት ዋናው ፖሊኖሚል ባልታወቁ ውህዶች የተዋቀረ መሆኑ ነው። ፖሊኖሚሎች እኩል የሆኑትን ንብረቱን በመጠቀም የእነሱ መጋጠሚያዎች በተመሳሳይ ሃይሎች እኩል ከሆኑ, የማይታወቁ የማስፋፊያ ቅንጅቶች ተገኝተዋል.

ምሳሌ 1.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0።

መፍትሄ።

የዲግሪ 3 ፖሊኖሚል ወደ መስመራዊ እና ኳድራቲክ ምክንያቶች ምርት ሊሰፋ ይችላል።

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x – a) (x 2 + bx + c)፣

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 +bx 2 + cx – መጥረቢያ 2 – abx – ac፣

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b – a) x 2 + (cx – ab) x – ac.

ስርዓቱን ከፈታ በኋላ;

(ለ - a = 4,
(ሐ - ab = 5,
(-ac = 2,

(ሀ = -1,
(ለ = 3፣
(ሐ = 2, i.e.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x + 1) (x 2 + 3x + 2)።

የእኩልታው ሥሮች (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 ለማግኘት ቀላል ናቸው።

መልስ፡-1; -2.

4. ከፍተኛውን እና ነፃውን ቅንጅት በመጠቀም ሥርን የመምረጥ ዘዴ

ዘዴው በንድፈ ሃሳቦች አተገባበር ላይ የተመሰረተ ነው-

1) ኢንቲጀር ኮፊሸን ያለው እያንዳንዱ የብዙ ቁጥር ኢንቲጀር ሥር የነጻው ቃል አካፋይ ነው።

2) የማይቀነሰው ክፍልፋይ p/q (p ኢንቲጀር፣ q የተፈጥሮ ቁጥር ነው) ከኢንቲጀር ኮፊሸንስ ጋር የሒሳብ መሠረት እንዲሆን፣ ቁጥሩ p የነፃው ቃል ኢንቲጀር አካፋይ መሆን አለበት። እና q የመሪ ኮፊሸንት የተፈጥሮ አካፋይ መሆን።

ምሳሌ 1.

6x 3 + 7x 2 – 9x + 2 = 0።

መፍትሄ፡-

6፡ q = 1፣ 2፣ 3፣ 6።

ስለዚህ, p / q = ± 1, ± 2, ± 1/2, ± 1/3, ± 2/3, ± 1/6.

አንድ ሥር ካገኘን, ለምሳሌ - 2, የማዕዘን ክፍፍልን በመጠቀም ሌሎች ሥሮችን እናገኛለን, ያልተወሰነ ኮፊሸንስ ወይም የሆርነር እቅድ ዘዴ.

መልስ፡-2; 1/2; 1/3.

አሁንም ጥያቄዎች አሉዎት? እኩልታዎችን እንዴት እንደሚፈቱ አታውቁም?
ከአስተማሪ እርዳታ ለማግኘት -.
የመጀመሪያው ትምህርት ነፃ ነው!

blog.site፣ ቁሳቁሱን በሙሉ ወይም በከፊል ሲገለብጥ፣ ወደ ዋናው ምንጭ ማገናኛ ያስፈልጋል።