በመስመር ላይ የሁለት መስመሮች መገናኛ መጋጠሚያዎችን ያግኙ። በአውሮፕላን ላይ ቀጥተኛ መስመር በጣም ቀላሉ ችግሮች

ከተከታታዩ "ጂኦሜትሪክ ስልተ ቀመሮች" ትምህርት

ሰላም ውድ አንባቢ!

ከጂኦሜትሪክ ስልተ ቀመሮች ጋር መተዋወቅን እንቀጥል። በመጨረሻው ትምህርት የሁለት ነጥቦችን መጋጠሚያዎች በመጠቀም የቀጥታ መስመር እኩልታ አግኝተናል። የቅጹን እኩልነት አግኝተናል፡-

ዛሬ የሁለት ቀጥታ መስመሮችን እኩልታዎች በመጠቀም የመስቀለኛ መንገዱን መጋጠሚያዎች (ካለ) የሚያገኙበትን ተግባር እንጽፋለን። የእውነተኛ ቁጥሮችን እኩልነት ለመፈተሽ, ልዩ ተግባሩን RealEq () እንጠቀማለን.

በአውሮፕላኑ ላይ ያሉት ነጥቦች በእውነተኛ ቁጥሮች ጥንድ ተገልጸዋል. እውነተኛ ዓይነት ሲጠቀሙ ልዩ ተግባራትን በመጠቀም የንፅፅር ስራዎችን መተግበር የተሻለ ነው.

ምክንያቱ ይታወቃል: በፓስካል ፕሮግራሚንግ ሲስተም ውስጥ ባለው የሪል ዓይነት ላይ ምንም ዓይነት የትእዛዝ ግንኙነት የለም, ስለዚህ a እና b እውነተኛ ቁጥሮች ባሉበት ቅጽ a = b መዝገቦችን አለመጠቀም የተሻለ ነው.
ዛሬ የ “=” (በጥብቅ እኩል) ተግባርን ለመተግበር የሪልኢክ() ተግባርን እናስተዋውቃለን።

ተግባር RealEq (Const a, b: Real): ቡሊያን; (በጥብቅ እኩል) RealEq ጀምር:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

ተግባር የሁለት ቀጥተኛ መስመሮች እኩልታዎች ተሰጥተዋል: እና. የመስቀለኛ መንገዳቸውን ነጥብ ያግኙ።

መፍትሄ። ግልፅ የሆነው መፍትሔ የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት መፍታት ነው፡ ይህንን ስርዓት ትንሽ ለየት ባለ መልኩ እንፃፍ፡-
(1)

የሚከተለውን መግለጫ እናስተዋውቅ፡- , . እዚህ D የስርአቱ ወሳኙ ነው፣ እና የቁጥር አምድን ለሚዛመደው ለማይታወቅ በነጻ ቃላት አምድ በመተካት የመነጩ ናቸው። ከሆነ ፣ ከዚያ ስርዓት (1) የተወሰነ ነው ፣ ማለትም ፣ ልዩ መፍትሄ አለው። ይህ መፍትሔ የሚከተሉትን ቀመሮች በመጠቀም ሊገኝ ይችላል: የሚባሉት የክሬመር ቀመሮች. የሁለተኛ ደረጃ መወሰኛ እንዴት እንደሚሰላ ላስታውስዎ። ወሳኙ ሁለት ዲያግራኖችን ይለያል-ዋናው እና ሁለተኛ. ዋናው ዲያግናል ከወሳኙ በላይኛው ግራ ጥግ ወደ ታችኛው ቀኝ ጥግ አቅጣጫ የተወሰዱ ንጥረ ነገሮችን ያካትታል። የጎን ዲያግናል - ከላይኛው ቀኝ ወደ ታችኛው ግራ. የሁለተኛ ደረጃ መወሰኛ ከዋናው ዲያግናል ንጥረ ነገሮች ምርት ጋር እኩል ነው።

ኮዱ እኩልነትን ለማረጋገጥ የሪልኢክ() ተግባርን ይጠቀማል። በእውነተኛ ቁጥሮች ላይ ያሉ ስሌቶች የሚከናወኑት በ_Eps=1e-7 ትክክለኛነት ነው።

ፕሮግራም geom2; Const _Eps፡ ሪል=1e-7፤(የሒሳብ ትክክለኛነት) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real; ተግባር RealEq(Const a, b:Real):Bolean; (በጥብቅ እኩል) RealEq ጀምር:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

የመስመሮች እኩልታዎችን በማወቅ የመገናኛ ነጥቦቻቸውን መጋጠሚያዎች ማግኘት የሚችሉበትን ፕሮግራም አዘጋጅተናል።

ቀጥ ያለ መስመር

ይህ ተግባር ምናልባት በትምህርት ቤት የመማሪያ መፃህፍት ውስጥ በጣም ታዋቂ እና ከሚፈለጉት አንዱ ነው። በዚህ ርዕስ ላይ የተመሠረቱ ተግባራት የተለያዩ ናቸው. ይህ የሁለት መስመሮች መገናኛ ነጥብ ፍቺ ነው, ይህ ደግሞ በየትኛውም ማዕዘን ላይ ባለው ኦሪጅናል መስመር ላይ አንድ ነጥብ የሚያልፈው የመስመር እኩልነት ፍቺ ነው.

በስሌታችን ውስጥ በመጠቀም የተገኘውን መረጃ በመጠቀም ይህንን ርዕስ እንሸፍናለን

የቀጥታ መስመር አጠቃላይ እኩልታን ከአንግላር ኮፊሸን ጋር ወደ እኩልነት መቀየር እና በተቃራኒው የቀጥታ መስመርን ቀሪ መለኪያዎች በተሰጡት ሁኔታዎች መወሰን የታሰበበት እዚያ ነበር ።

ይህ ፔጅ የተለጠፈባቸውን ችግሮች ለመፍታት ምን ይጎድለናል?

1. በሁለት የተጠላለፉ መስመሮች መካከል አንዱን ማዕዘኖች ለማስላት ቀመሮች.

በእኩልታዎች የተሰጡ ሁለት መስመሮች ካሉን፡-

ከዚያ አንደኛው ማዕዘኖች እንደሚከተለው ይሰላሉ-

2. በተሰጠው ነጥብ ውስጥ የሚያልፈውን ተዳፋት ያለው ቀጥተኛ መስመር እኩልታ

ከቀመር 1 ሁለት የድንበር ግዛቶችን ማየት እንችላለን

ሀ) ያኔ እና ስለዚህ እነዚህ ሁለት የተሰጡ መስመሮች ትይዩ ሲሆኑ (ወይም ሲገጣጠሙ)

ለ) መቼ ፣ ከዚያ ፣ እና ስለዚህ እነዚህ መስመሮች ቀጥ ያሉ ናቸው ፣ ማለትም ፣ በቀኝ ማዕዘኖች ይቋረጣሉ።

ከተሰጠው ቀጥተኛ መስመር ሌላ እንደዚህ ያሉትን ችግሮች ለመፍታት የመጀመሪያው መረጃ ምን ሊሆን ይችላል?

ቀጥታ መስመር ላይ ያለ ነጥብ እና ሁለተኛው ቀጥታ መስመር የሚያቋርጥበት አንግል

የመስመሩ ሁለተኛ እኩልታ

ቦት ምን ችግሮችን መፍታት ይችላል?

1. ሁለት መስመሮች ተሰጥተዋል (በግልጽ ወይም በተዘዋዋሪ, ለምሳሌ, በሁለት ነጥቦች). የመስቀለኛ መንገድን እና የሚገናኙበትን ማዕዘኖች አስሉ.

2. አንድ ቀጥተኛ መስመር ተሰጥቷል, ቀጥታ መስመር ላይ አንድ ነጥብ እና አንድ ማዕዘን. በተወሰነ ማዕዘን ላይ የተሰጠውን መስመር የሚያቋርጠውን ቀጥተኛ መስመር እኩልቱን ይወስኑ

ምሳሌዎች

ሁለት መስመሮች በእኩልታዎች ይሰጣሉ. የእነዚህን መስመሮች መገናኛ ነጥብ እና የሚገናኙበትን ማዕዘኖች ያግኙ

line_p A=11፤B=-5፤C=6፤k=3/7፤b=-5

የሚከተለውን ውጤት እናገኛለን

የመጀመሪያው መስመር እኩልታ

y = 2.2 x + (1.2)

የሁለተኛው መስመር እኩልታ

y = 0.4285714285714 x + (-5)

የሁለት ቀጥታ መስመር መገናኛ አንግል (በዲግሪዎች)

-42.357454705937

የሁለት መስመሮች መገናኛ ነጥብ

x = -3.5

y = -6.5

የሁለት መስመሮች መመዘኛዎች በነጠላ ሰረዞች እንደሚለያዩ እና የእያንዳንዱ መስመር መለኪያዎች በሴሚኮሎን እንደሚለያዩ አይርሱ።

ቀጥ ያለ መስመር በሁለት ነጥቦች (1፡-4) እና (5፡2) ያልፋል። በነጥቡ (-2፡-8) በኩል የሚያልፈውን የመስመሩን እኩልታ ይፈልጉ እና የመጀመሪያውን መስመር በ 30 ዲግሪ ማዕዘን ያቋርጡ።

አንድ ቀጥተኛ መስመር የምናውቀው የሚያልፍባቸውን ሁለት ነጥቦች ስለምናውቅ ነው።

የሁለተኛውን መስመር እኩልነት ለመወሰን ይቀራል. አንድ ነጥብ እናውቃለን, ነገር ግን በሁለተኛው ፈንታ, የመጀመሪያው መስመር ሁለተኛውን የሚያቋርጥበት አንግል ይጠቁማል.

ሁሉም ነገር የሚታወቅ ይመስላል, ነገር ግን እዚህ ያለው ዋናው ነገር ስህተቶችን ማድረግ አይደለም. እየተነጋገርን ያለነው ስለ አንግል (30 ዲግሪ) በ x-ዘንግ እና በመስመሩ መካከል ሳይሆን በመጀመሪያው እና በሁለተኛው መስመር መካከል ነው.

ለዚህ ነው እንደዚህ የምንለጥፈው። የመጀመሪያውን መስመር መለኪያዎችን እንወስን እና የ x-ዘንግን የሚያቋርጠው በየትኛው አንግል ላይ እንደሆነ እንወቅ.

መስመር xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2

አጠቃላይ እኩልታ Ax+By+C = 0

Coefficient A = -6

ምክንያት B = 4

ፋክተር ሐ = 22

Coefficient a= 3.6666666666667

Coefficient b = -5.5

Coefficient k = 1.5

ወደ ዘንግ የማዘንበል አንግል (በዲግሪ) f = 56.309932474019

Coefficient p = 3.0508510792386

Coefficient q = 2.5535900500422

በነጥቦች መካከል ያለው ርቀት=7.211102550928

የመጀመሪያው መስመር ዘንግውን በአንድ ማዕዘን ውስጥ ሲያቋርጥ እናያለን 56.309932474019 ዲግሪዎች።

ምንጩ መረጃ ሁለተኛው መስመር የመጀመሪያውን እንዴት እንደሚያቋርጥ በትክክል አይገልጽም. ከሁሉም በኋላ, ሁኔታዎችን የሚያሟሉ ሁለት መስመሮችን መገንባት ይችላሉ, የመጀመሪያው በ 30 ዲግሪ በሰዓት አቅጣጫ ዞሯል, ሁለተኛው ደግሞ 30 ዲግሪ በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ.

እንቁጠራቸው

ሁለተኛው መስመር በ 30 ዲግሪ በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ ከተቀየረ, ሁለተኛው መስመር ከ x-ዘንግ ጋር ያለው የመገናኛ ደረጃ ይኖረዋል. 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 ዲግሪዎች

line_p xa=-2;ya=-8;f=86.309932474019

በተገለጹት መመዘኛዎች መሰረት የቀጥታ መስመር መለኪያዎች

አጠቃላይ እኩልታ Ax+By+C = 0

Coefficient A = 23.011106998916

Coefficient B = -1.4840558255286

Coefficient C = 34.149767393603

በክፍል x/a+y/b = 1 ውስጥ ያለው ቀጥተኛ መስመር እኩልታ

Coefficient a= -1.4840558255286

Coefficient b = 23.011106998916

የቀጥታ መስመር እኩልታ ከአንግላር ኮፊሸን y = kx + b

Coefficient k = 15.505553499458

ወደ ዘንግ የማዘንበል አንግል (በዲግሪ) f = 86.309932474019

የመስመሩ መደበኛ እኩልታ x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0

Coefficient p = -1.4809790664999

Coefficient q = 3.0771888256405

በነጥቦች መካከል ያለው ርቀት=23.058912962428

ከነጥብ ወደ ቀጥታ መስመር ያለው ርቀት li =

ማለትም የኛ ሁለተኛ መስመር እኩልታ y= ነው። 15.505553499458x+ 23.011106998916

የመገናኛ ነጥብ

ሁለት ቀጥተኛ መስመሮችን እንሰጣለን, በእነርሱ ቅንጅቶች እና . የመስቀለኛ መንገዳቸውን ነጥብ ማግኘት አለብዎት, ወይም መስመሮቹ ትይዩ መሆናቸውን ይወቁ.

መፍትሄ

ሁለት መስመሮች ትይዩ ካልሆኑ, ከዚያም እርስ በርስ ይገናኛሉ. የመገናኛ ነጥቡን ለማግኘት የሁለት ቀጥታ መስመር እኩልታዎች ስርዓት መፍጠር እና መፍታት በቂ ነው-

የ Cramer ፎርሙላ በመጠቀም, ወዲያውኑ ለስርዓቱ መፍትሄ እናገኛለን, ይህም የሚፈለገው ይሆናል መገናኛ ነጥብ:

መለያው ዜሮ ከሆነ, ማለትም.

ከዚያ ስርዓቱ ምንም መፍትሄዎች የሉትም (ቀጥታ ትይዩእና አይገጣጠሙ) ወይም ማለቂያ የሌላቸው ብዙ (ቀጥታ ግጥሚያ). በእነዚህ ሁለት ጉዳዮች መካከል ያለውን ልዩነት መለየት አስፈላጊ ከሆነ, የመስመሮቹ ቅንጅቶች ከተመሳሳይ የቁጥር መጠን ጋር ተመጣጣኝ መሆናቸውን ማረጋገጥ አስፈላጊ ነው, ለዚህም ሁለቱንም መወሰኛዎች ለማስላት በቂ ነው ከዜሮ ጋር እኩል ነው፣ ከዚያ መስመሮቹ ይገናኛሉ፡-

መተግበር

struct pt (ድርብ x, y;); የመዋቅር መስመር (ድርብ a, b, c;); ኮንስቱብል EPS = 1e-9; ድርብ det (ድርብ a፣ ድርብ ለ፣ ድርብ ሐ፣ ድርብ መ) (መመለስ a * d - b * c;) bool intersect (መስመር m፣ line n፣ pt & res)(ድርብ zn = det (m.a, m.b, n.a) ፣ n.b)፤ ከሆነ(abs(zn)< EPS)returnfalse; res.x=- det (m.c, m.b, n.c, n.b)/ zn; res.y=- det (m.a, m.c, n.a, n.c)/ zn;returntrue;} bool parallel (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS;} bool equivalent (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS &&abs(det (m.a, m.c, n.a, n.c))< EPS &&abs(det (m.b, m.c, n.b, n.c))< EPS;}

ተከታታይ ትምህርት ጂኦሜትሪክ ስልተ ቀመሮች»

ሰላም ውድ አንባቢ።

ጠቃሚ ምክር 1: የሁለት መስመሮች መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎችን እንዴት ማግኘት እንደሚቻል

ሦስት ተጨማሪ አዳዲስ ተግባራትን እንጻፍ።

የ LinesCross() ተግባር የሚወስነው መሆኑን ነው። መቆራረጥሁለት እንደሆነ ክፍል. በውስጡም የክፍሎቹ አንጻራዊ አቀማመጥ የቬክተር ምርቶችን በመጠቀም ይወሰናል. የቬክተር ምርቶችን ለማስላት አንድ ተግባር እንጽፋለን - VektorMulti ().

የሪልሌስ() ተግባር የንፅፅር ክዋኔውን ለመተግበር ጥቅም ላይ ይውላል።<” (строго меньше) для вещественных чисел.

ተግባር 1. ሁለት ክፍሎች በአስተባባሪዎቻቸው ይሰጣሉ. የሚወስን ፕሮግራም ይጻፉ እነዚህ ክፍሎች እርስ በርስ ይገናኛሉ?የመገናኛ ነጥብ ሳያገኙ.

መፍትሄ
. ሁለተኛው በነጥቦች ይሰጣል.

ክፍሉን እና ነጥቦችን አስቡበት እና .

ነጥቡ በመስመሩ ግራ ላይ ነው, ለእሱ የቬክተር ምርት ነው > 0፣ ቬክተሮቹ በአዎንታዊ መልኩ ያተኮሩ ስለሆኑ።

ነጥቡ ከመስመሩ በስተቀኝ ይገኛል, ለዚህም የቬክተር ምርቱ ነው < 0, так как векторы отрицательно ориентированы.

ነጥቦቹን እና ከቀጥታ መስመር በተቃራኒ ጎኖች ላይ ለመዋሸት, ሁኔታውን ማሟላት በቂ ነው< 0 (векторные произведения имели противоположные знаки).

ለክፍሉ እና ነጥቦቹ እና ተመሳሳይ ምክንያቶች ሊደረጉ ይችላሉ.

ስለዚህ ከሆነ , ከዚያም ክፍሎቹ እርስ በርስ ይገናኛሉ.

ይህንን ሁኔታ ለመፈተሽ, LinesCross () ተግባር ጥቅም ላይ ይውላል, እና የቬክተር ምርቶችን ለማስላት, የ VektorMulti () ተግባር ጥቅም ላይ ይውላል.

መጥረቢያ ፣ ay - የመጀመሪያው ቬክተር መጋጠሚያዎች ፣

bx, በ - የሁለተኛው ቬክተር መጋጠሚያዎች.

ፕሮግራም ጂኦሜትሪ 4; (2 ክፍሎች ይገናኛሉ?) Const _Eps: Real=1e-4; (የሒሳብ ትክክለኛነት) var x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4: real; var v1,v2,v3,v4: real;function RealLess (Const a, b: Real): ቡሊያን; (በጥብቅ ያነሰ) ይጀምሩ RealLess: = b-a> _Eps መጨረሻ; (RealLess) ተግባር VektorMulti(ax,ay,bx,by:real): እውነተኛ; (ax,ay - a coordinates bx,by - b coordinates) vektormulti ጀምር:= ax*by-bx*ay; መጨረሻ፤ ተግባር መስመሮች መስቀል(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4:real): boolean; (ክፍሎቹ እርስ በርስ ይገናኛሉ?) v1 ይጀምሩ: = vektormulti (x4-x3, y4-y3, x1-x3, y1-y3); v2: = vektormulti (x4-x3,y4-y3, x2-x3,y2-y3); v3: = vektormulti (x2-x1,y2-y1,x3-x1,y3-y1); v4: = vektormulti (x2-x1,y2-y1,x4-x1,y4-y1); RealLess (v1*v2,0) እና RealLess (v3*v4,0) ከሆነ (v1v2)<0 и v3v4<0, отрезки пересекаются} then LinesCross:= true else LinesCross:= false end; {LinesCross}begin {main} writeln(‘Введите координаты отрезков: x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4’); readln(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4); if LinesCross(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4) then writeln (‘Да’) else writeln (‘Нет’) end.

የፕሮግራም አፈፃፀም ውጤቶች;

የክፍሎቹን መጋጠሚያዎች አስገባ፡-1 1 2 2.52 2 1 -1 3
አዎ.

በአስተባባሪዎቻቸው የተገለጹ ክፍሎች መቆራረጣቸውን የሚወስን ፕሮግራም ጽፈናል።

በሚቀጥለው ትምህርት አንድ ነጥብ በሶስት ማዕዘን ውስጥ መኖሩን ለመወሰን የሚያገለግል አልጎሪዝም እንፈጥራለን.

ውድ አንባቢ።

ከጂኦሜትሪክ ስልተ-ቀመር ተከታታይ ከበርካታ ትምህርቶች ጋር አስቀድመው ተዋውቀዋል። ሁሉም ነገር ተደራሽ በሆነ መንገድ የተፃፈ ነው? ስለእነዚህ ትምህርቶች አስተያየት ከሰጡኝ በጣም አመስጋኝ ነኝ። ምናልባት አንድ ነገር አሁንም መሻሻል አለበት.

ከሰላምታ ጋር, ቬራ Gospodarets.

ሁለት ክፍሎች ይሰጡ. የመጀመሪያው በነጥቦች ይሰጣል P 1 (x 1 ; y 1)እና P 2 (x 2; y 2). ሁለተኛው በነጥቦች ተሰጥቷል P 3 (x 3 ; y 3)እና P 4 (x 4; y 4).

የክፍሎቹ አንጻራዊ ቦታ የቬክተር ምርቶችን በመጠቀም ማረጋገጥ ይቻላል፡-

ክፍሉን አስቡበት ፒ 3 ፒ 4እና ነጥቦች ፒ 1እና P2.

ነጥብ ፒ 1ከመስመሩ በስተግራ ይገኛል። ፒ 3 ፒ 4, ለእሷ የቬክተር ምርት v 1 > 0ቬክተሮቹ በአዎንታዊ መልኩ ስለሚታዩ።
ነጥብ P2ከመስመሩ በስተቀኝ የሚገኝ, ለእሱ የቬክተር ምርት v 2< 0 ቬክተሮቹ አሉታዊ ተኮር ስለሆኑ.

ነጥቡን ለመግለፅ ፒ 1እና P2ከቀጥታ መስመር ተቃራኒ ጎኖች ላይ ተኛ ፒ 3 ፒ 4, ሁኔታውን ለማርካት በቂ ነው v 1 v 2< 0 (የቬክተር ምርቶች ተቃራኒ ምልክቶች ነበሩት).

ለክፍሉ ተመሳሳይ ምክንያት ሊደረግ ይችላል ፒ 1 ፒ 2እና ነጥቦች P 3እና P 4.

ስለዚህ ከሆነ v 1 v 2< 0 እና v 3 v 4< 0 , ከዚያም ክፍሎቹ እርስ በርስ ይገናኛሉ.

የሁለት ቬክተር የቬክተር ምርት የሚሰላው ቀመርን በመጠቀም ነው።

የት፡
መጥረቢያ, አይ- የመጀመሪያው ቬክተር መጋጠሚያዎች;
bx, በ- የሁለተኛው ቬክተር መጋጠሚያዎች.

በአስተባባሪዎቻቸው በተገለጹት ሁለት የተለያዩ ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ መስመር እኩልታ።

ሁለት የማይገናኙ ነጥቦች በቀጥታ መስመር ላይ ይሰጡ፡- ፒ 1ከመጋጠሚያዎች ጋር ( x 1; y 1)እና P2ከመጋጠሚያዎች ጋር (x 2; y 2).

የመስመሮች መገናኛ

በዚህ መሠረት, በነጥብ ላይ መነሻ ያለው ቬክተር ፒ 1እና በአንድ ነጥብ ላይ ያበቃል P2መጋጠሚያዎች አሉት (x 2 -x 1፣ y 2 -y 1). ከሆነ ፒ(x፣ y)በመስመር ላይ የዘፈቀደ ነጥብ ነው, ከዚያም የቬክተር መጋጠሚያዎች ፒ 1 ፒእኩል ነው። (x - x 1፣ y - y 1)።

የቬክተር ምርትን በመጠቀም, የቬክተሮች ኮላላይንነት ሁኔታ ፒ 1 ፒእና ፒ 1 ፒ 2እንደሚከተለው ሊጻፍ ይችላል፡-
|P 1 P,P 1 P 2|=0፣ ማለትም እ.ኤ.አ. (x-x 1)(y 2 -y 1)-(y-y 1)(x 2 -x 1)=0
ወይም
(y 2 -y 1)x + (x 1 -x 2)y + x 1 (y 1 -y 2) + y 1 (x 2 -x 1) = 0

የመጨረሻው እኩልታ እንደሚከተለው እንደገና ተጽፏል።
መጥረቢያ + በ + c = 0፣ (1)
የት
a = (y 2 -y 1)፣
b = (x 1 -x 2)፣
c = x 1 (y 1 -y 2) + y 1 (x 2 -x 1)

ስለዚህ, ቀጥተኛ መስመር በቅጹ (1) እኩልነት ሊገለጽ ይችላል.

የመስመሮች መገናኛ ነጥብ እንዴት ማግኘት ይቻላል?
ግልጽ የሆነው መፍትሔ የመስመር እኩልታዎችን ስርዓት መፍታት ነው፡-

መጥረቢያ 1 + በ 1 = - ሐ 1
መጥረቢያ 2 + በ 2 =-c 2 (2)

ምልክቶችን አስገባ፡

እዚህ ዲየስርአቱ ወሳኝ ነው, እና ዲክስ ፣ ዲ- የነፃ ቃላቶች አምድ ካለው የማይታወቅ ጋር የቁጥር አምድ በመተካት የተገኙ ቆራጮች። ከሆነ D ≠ 0, ከዚያም ስርዓት (2) የተወሰነ ነው, ማለትም, ልዩ የሆነ መፍትሄ አለው. ይህ መፍትሔ የሚከተሉትን ቀመሮች በመጠቀም ሊገኝ ይችላል. x 1 = D x/D፣ y 1 = D y/D, የክሬመር ቀመሮች ተብለው ይጠራሉ. የሁለተኛ ደረጃ መወሰኛ እንዴት እንደሚሰላ ፈጣን አስታዋሽ። ወሳኙ ሁለት ዲያግራኖችን ይለያል-ዋናው እና ሁለተኛ. ዋናው ዲያግናል ከወሳኙ በላይኛው ግራ ጥግ ወደ ታችኛው ቀኝ ጥግ አቅጣጫ የተወሰዱ ንጥረ ነገሮችን ያካትታል። የጎን ዲያግናል - ከላይኛው ቀኝ ወደ ታችኛው ግራ. የሁለተኛ ደረጃ መወሰኛ ከዋናው ዲያግናል ንጥረ ነገሮች ምርት ሲቀነስ የሁለተኛ ደረጃ ዲያግናል ንጥረ ነገሮች ምርት ጋር እኩል ነው።

በሁለት-ልኬት ቦታ ውስጥ, ሁለት መስመሮች በአንድ ነጥብ ላይ ብቻ ይገናኛሉ, በመጋጠሚያዎች (x,y) ይገለጻል. ሁለቱም መስመሮች በመገናኛ ነጥባቸው ውስጥ ስለሚያልፉ፣ መጋጠሚያዎቹ (x,y) እነዚህን መስመሮች የሚገልጹትን ሁለቱንም እኩልታዎች ማሟላት አለባቸው። በአንዳንድ ተጨማሪ ክህሎቶች የፓራቦላዎችን እና ሌሎች አራት ማዕዘን ቅርጾችን መገናኛ ነጥቦችን ማግኘት ይችላሉ.

እርምጃዎች

የሁለት መስመሮች መገናኛ ነጥብ

በግራ በኩል ያለውን ተለዋዋጭ "y" በማግለል ለእያንዳንዱ መስመር እኩልቱን ይፃፉ.ሌላው የእኩልታው ቃላቶች በቀመርው በቀኝ በኩል መቀመጥ አለባቸው። ምናልባት ለእርስዎ የተሰጠው እኩልታ ከ "y" ይልቅ ተለዋዋጭ f (x) ወይም g (x) ይይዛል; በዚህ ሁኔታ, እንዲህ ዓይነቱን ተለዋዋጭ መለየት. ተለዋዋጭን ለመለየት በሁለቱም የሒሳብ ክፍሎች ላይ ተገቢውን ሒሳብ ያከናውኑ።

• በሚያውቁት መረጃ መሰረት የመስመሮቹ እኩልታዎች ካልተሰጡዎት.
• ለምሳሌ. በእኩልታዎች የተገለጹ ቀጥተኛ መስመሮች እና y - 12 = - 2 x (\ displaystyle y-12=-2x). በሁለተኛው እኩልዮሽ ውስጥ ያለውን “y” ለመለየት፣ ቁጥሩን 12 በሁለቱም በኩል ወደ እኩልታው ጎን ይጨምሩ፡

1. የሁለቱም መስመሮች መገናኛ ነጥብ፣ ማለትም፣ መጋጠሚያዎቹ (x፣ y) ሁለቱንም እኩልታዎች የሚያረኩበትን ነጥብ እየፈለጉ ነው። ተለዋዋጭ "y" በእያንዳንዱ እኩልታ በግራ በኩል ስለሚገኝ በእያንዳንዱ እኩልታ በስተቀኝ የሚገኙትን መግለጫዎች ማመሳሰል ይቻላል. አዲስ እኩልታ ይጻፉ።

   • ለምሳሌ. ምክንያቱም y = x + 3 (\ displaystyle y=x+3)እና y = 12 - 2 x (\ displaystyle y=12-2x), ከዚያም የሚከተለውን እኩልነት መጻፍ እንችላለን.

2. የተለዋዋጭውን "x" እሴት ያግኙ.አዲሱ እኩልታ አንድ ተለዋዋጭ ብቻ ይዟል፣ "x"። “x”ን ለማግኘት፣ በቀመርው ግራ በኩል ያለውን ተለዋዋጭ በቀመርው በሁለቱም በኩል ተገቢውን ሒሳብ በማከናወን ይለዩት። የቅጹን እኩልታ ማግኘት አለብዎት x = __ (ይህን ማድረግ ካልቻሉ, ይህንን ክፍል ይመልከቱ).

   • ለምሳሌ. x + 3 = 12 - 2 x (\ displaystyle x+3=12-2x)
   • አክል 2 x (\ displaystyle 2x)በእያንዳንዱ የእኩልታ ጎን;
   • 3 x + 3 = 12 (\ displaystyle 3x+3=12)
   • ከእያንዳንዱ የእኩልታ ጎን 3 ቀንስ፡-
   • 3 x = 9 (\ displaystyle 3x=9)
   • የእኩልታውን እያንዳንዱን ጎን በ 3 ይከፋፍሉት፡
   • x = 3 (\ displaystyle x=3).

3. የተለዋዋጭውን "y" ዋጋ ለማስላት የተገኘውን የተለዋዋጭ "x" እሴት ይጠቀሙ።ይህንን ለማድረግ, የተገኘውን የ "x" እሴት ወደ ቀጥታ መስመር እኩልነት (ማንኛውንም) ይተኩ.

   • ለምሳሌ. x = 3 (\ displaystyle x=3)እና y = x + 3 (\ displaystyle y=x+3)
   • y = 3 + 3 (\ displaystyle y=3+3)
   • y = 6 (\ displaystyle y=6)

4. መልሱን ያረጋግጡ።ይህንን ለማድረግ የ "x" እሴትን ወደ ሌላኛው የመስመሩ እኩልታ በመተካት የ "y" ዋጋን ያግኙ. የተለያዩ የ y እሴቶች ካገኙ፣ ስሌቶችዎ ትክክል መሆናቸውን ያረጋግጡ።

   • ለምሳሌ: x = 3 (\ displaystyle x=3)እና y = 12 - 2 x (\ displaystyle y=12-2x)
   • y = 12 - 2 (3) (\ displaystyle y=12-2(3))
   • y = 12 - 6 (\ displaystyle y=12-6)
   • y = 6 (\ displaystyle y=6)
   • ለ y ተመሳሳይ እሴት አግኝተዋል፣ ስለዚህ በስሌቶችዎ ውስጥ ምንም ስህተቶች የሉም።

5. መጋጠሚያዎቹን (x,y) ይጻፉ.የ “x” እና “y” እሴቶችን ካሰሉ በኋላ የሁለት መስመሮች መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎችን አግኝተዋል። የመገናኛ ነጥቡን መጋጠሚያዎች በ (x,y) ቅፅ ይፃፉ.

   • ለምሳሌ. x = 3 (\ displaystyle x=3)እና y = 6 (\ displaystyle y=6)
   • ስለዚህ, ሁለት ቀጥታ መስመሮች ከመጋጠሚያዎች (3,6) ጋር በአንድ ነጥብ ይገናኛሉ.

6. በልዩ ጉዳዮች ላይ ስሌቶች.በአንዳንድ ሁኔታዎች የተለዋዋጭ "x" እሴት ሊገኝ አይችልም. ይህ ማለት ግን ተሳስተሃል ማለት አይደለም። ከሚከተሉት ሁኔታዎች ውስጥ አንዱ ሲሟላ ልዩ ሁኔታ ይከሰታል.

   • ሁለት መስመሮች ትይዩ ከሆኑ, አይገናኙም. በዚህ ሁኔታ፣ ተለዋዋጭ “x” በቀላሉ ይቀንሳል፣ እና የእርስዎ እኩልነት ወደ ትርጉም የለሽ እኩልነት ይለወጣል (ለምሳሌ፣ 0 = 1 (\ displaystyle 0=1)). በዚህ ሁኔታ, በመስመሮቹ መካከል እንደማይገናኙ ወይም ምንም መፍትሄ እንደሌለ በመልስዎ ውስጥ ይጻፉ.
   • ሁለቱም እኩልታዎች አንድ ቀጥተኛ መስመርን የሚገልጹ ከሆነ፣ ማለቂያ የሌለው ቁጥር ያላቸው የመገናኛ ነጥቦች ይኖራሉ። በዚህ ሁኔታ፣ ተለዋዋጭ “x” በቀላሉ ይቀንሳል፣ እና የእርስዎ እኩልነት ወደ ጥብቅ እኩልነት ይቀየራል (ለምሳሌ፣ 3 = 3 (\ displaystyle 3=3)). በዚህ አጋጣሚ ሁለቱ መስመሮች አንድ ላይ መሆናቸውን በመልስዎ ላይ ይፃፉ።

   ከኳድራቲክ ተግባራት ጋር ችግሮች

   1. የኳድራቲክ ተግባር ፍቺ.በኳድራቲክ ተግባር አንድ ወይም ከዚያ በላይ ተለዋዋጮች ሁለተኛ ዲግሪ አላቸው (ነገር ግን ከፍ ያለ አይደለም) ለምሳሌ፡- x 2 (\ማሳያ ስልት x^(2))ወይም y 2 (\ displaystyle y^(2)). የኳድራቲክ ተግባራት ግራፎች የማይገናኙ ወይም በአንድ ወይም በሁለት ነጥቦች ላይ ሊገናኙ የሚችሉ ኩርባዎች ናቸው። በዚህ ክፍል ውስጥ የአራት ማዕዘን ቅርጾችን መገናኛ ነጥብ ወይም ነጥቦችን እንዴት ማግኘት እንደሚችሉ እናነግርዎታለን.

   2. በግራ በኩል ያለውን ተለዋዋጭ "y" በማግለል እያንዳንዱን እኩልታ እንደገና ይፃፉ.ሌላው የእኩልታው ቃላቶች በቀመርው በቀኝ በኩል መቀመጥ አለባቸው።

      • ለምሳሌ. የግራፎቹን መገናኛ ነጥብ (ዎች) ያግኙ x 2 + 2 x − y = - 1 (\ displaystyle x^(2)+2x-y=-1)እና
      • በቀመርው በግራ በኩል ያለውን ተለዋዋጭ "y" ን ለይ:
      • እና y = x + 7 (\ displaystyle y=x+7) .
      • በዚህ ምሳሌ አንድ ባለ አራት ማዕዘን ተግባር እና አንድ መስመራዊ ተግባር ይሰጥዎታል። ያስታውሱ ሁለት ባለአራት ተግባራት ከተሰጡ, ስሌቶቹ ከዚህ በታች ከተገለጹት ደረጃዎች ጋር ተመሳሳይ ናቸው.

   3. በእያንዳንዱ እኩልታ በቀኝ በኩል ያሉትን አገላለጾች እኩል አድርግ።ተለዋዋጭ "y" በእያንዳንዱ እኩልታ በግራ በኩል ስለሚገኝ በእያንዳንዱ እኩልታ በስተቀኝ የሚገኙትን መግለጫዎች ማመሳሰል ይቻላል.

      • ለምሳሌ. y = x 2 + 2 x + 1 (\ displaystyle y=x^(2)+2x+1)እና y = x + 7 (\ displaystyle y=x+7)

   4. የተገኘውን እኩልታ ሁሉንም ውሎች በግራ ጎኑ ያስተላልፉ እና በቀኝ በኩል 0 ይፃፉ።ይህንን ለማድረግ, አንዳንድ መሰረታዊ የሂሳብ ስራዎችን ያድርጉ. ይህ የተገኘውን እኩልታ እንዲፈቱ ያስችልዎታል.

      • ለምሳሌ. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\ displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
      • ከሁለቱም የእኩልታ ጎን "x"ን ቀንስ፡-
      • x 2 + x + 1 = 7 (\ displaystyle x^(2)+x+1=7)
      • ከሁለቱም የእኩልታ ጎኖች 7 ቀንስ፡-

   5. የኳድራቲክ እኩልታውን ይፍቱ።ሁሉንም የእኩልታ ውሎች ወደ ግራ ጎኑ በማንቀሳቀስ፣ ባለአራት እኩልታ ያገኛሉ። በሶስት መንገዶች ሊፈታ ይችላል-ልዩ ቀመር በመጠቀም, እና.

      • ለምሳሌ. x 2 + x - 6 = 0 (\ displaystyle x^(2)+x-6=0)
      • አንድን እኩልታ ሲወስኑ ሁለት ሁለትዮሽ (binomials) ያገኛሉ፣ ሲባዙ፣ ዋናውን እኩልታ ይሰጡዎታል። በእኛ ምሳሌ, የመጀመሪያው ቃል x 2 (\ማሳያ ስልት x^(2))ወደ x * x መበስበስ ይቻላል. ይህንን ይፃፉ፡ (x)(x) = 0
      • በእኛ ምሳሌ፣ ነፃው ቃል -6 በሚከተሉት ምክንያቶች ሊጠቃለል ይችላል። - 6 ∗ 1 (\ displaystyle -6*1), - 3 ∗ 2 (\ displaystyle -3*2), - 2 ∗ 3 (\ displaystyle -2*3), - 1 ∗ 6 (\ displaystyle -1*6).
      • በእኛ ምሳሌ, ሁለተኛው ቃል x (ወይም 1x) ነው. 1 እስኪያገኙ ድረስ እያንዳንዱን የዱሚ ቃል ምክንያቶች (በእኛ ምሳሌ -6) ይጨምሩ። - 2 ∗ 3 = - 6 (\ displaystyle -2*3=-6)), ምክንያቱም - 2 + 3 = 1 (\ displaystyle -2+3=1).
      • ባዶውን በተገኙት ጥንድ ቁጥሮች ይሙሉ፡.

   6. ስለ ሁለቱ ግራፎች መገናኛ ሁለተኛ ነጥብ አይርሱ.ችግሩን በፍጥነት እና በጥንቃቄ ካልፈቱት, ስለ ሁለተኛው መገናኛ ነጥብ ሊረሱ ይችላሉ. የሁለት መገናኛ ነጥቦች x መጋጠሚያዎችን እንዴት ማግኘት እንደሚችሉ እነሆ፡-

      • ምሳሌ (ማባዛት). በኢ.ኩ. (x - 2) (x + 3) = 0 (\ displaystyle (x-2) (x+3)=0)በቅንፍ ውስጥ ካሉት አገላለጾች ውስጥ አንዱ ከ 0 ጋር እኩል ይሆናል፣ ከዚያም አጠቃላይ እኩልታው ከ 0 ጋር እኩል ይሆናል። ስለዚህ፣ እንደሚከተለው እንጽፋለን፡- x - 2 = 0 (\ displaystyle x-2=0) → x = 2 (\ displaystyle x=2) እና x + 3 = 0 (\ displaystyle x+3=0) → x = - 3 (\ displaystyle x=-3) (ማለትም የእኩልታውን ሁለት ሥሮች አግኝተዋል)።
      • ምሳሌ (ቀመርን በመጠቀም ወይም ፍጹም ካሬን መሙላት). ከእነዚህ ዘዴዎች ውስጥ አንዱን ሲጠቀሙ, በመፍትሔው ሂደት ውስጥ አንድ ካሬ ሥር ይታያል. ለምሳሌ, ከእኛ ምሳሌ ውስጥ ያለው እኩልታ ቅጹን ይወስዳል x = (- 1 + 25) / 2 (\ displaystyle x= (-1+ (\sqrt (25)))/2). አንድ ካሬ ሥር ሲወስዱ ሁለት መፍትሄዎችን እንደሚያገኙ ያስታውሱ. በእኛ ሁኔታ፡- 25 = 5 ∗ 5 (\ displaystyle (\sqrt (25))=5*5), እና 25 = (- 5) ∗ (- 5) (\ displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). ስለዚህ ሁለት እኩልታዎችን ይፃፉ እና ሁለት የ x እሴቶችን ያግኙ።

   7. ግራፎቹ በአንድ ነጥብ ይገናኛሉ ወይም ጨርሶ አይገናኙም.የሚከተሉት ሁኔታዎች ከተሟሉ እንደዚህ ያሉ ሁኔታዎች ይከሰታሉ.

      • ግራፎቹ በአንድ ነጥብ ላይ ከተጣመሩ, የኳድራቲክ እኩልታ ወደ ተመሳሳይ ነገሮች ይከፋፈላል, ለምሳሌ, (x-1) (x-1) = 0, እና የ 0 ካሬ ሥር በቀመር ውስጥ ይታያል ( 0 (\ማሳያ ዘይቤ (\sqrt (0)))). በዚህ ሁኔታ, እኩልታው አንድ መፍትሄ ብቻ ነው ያለው.
      • ግራፎቹ ጨርሶ የማይገናኙ ከሆነ ፣ እኩልታ አልተሰራም ፣ እና የአሉታዊ ቁጥር ካሬ ሥር በቀመሩ ውስጥ ይታያል (ለምሳሌ ፣ - 2 (\ displaystyle (\sqrt (-2)))). በዚህ ጉዳይ ላይ ምንም መፍትሄ እንደሌለ በመልስዎ ውስጥ ይፃፉ.

የማስተባበር ዘዴን በመጠቀም አንዳንድ የጂኦሜትሪክ ችግሮችን ሲፈቱ የመስመሮች መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎችን ማግኘት አለብዎት. ብዙውን ጊዜ በአውሮፕላን ላይ የሁለት መስመር መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎችን መፈለግ አለብዎት ፣ ግን አንዳንድ ጊዜ በቦታ ውስጥ የሁለት መስመር መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎችን መወሰን ያስፈልግዎታል ። በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ሁለት መስመሮች እርስ በርስ የሚገናኙበትን ቦታ መጋጠሚያዎች ለማግኘት እንሰራለን.

የገጽ አሰሳ።

የሁለት መስመሮች መገናኛ ነጥብ ፍቺ ነው.

በመጀመሪያ የሁለት መስመሮችን መገናኛ ነጥብ እንገልፃለን.

በአውሮፕላኑ ላይ ባሉ የመስመሮች አንጻራዊ አቀማመጥ ላይ ባለው ክፍል ውስጥ በአውሮፕላን ላይ ሁለት መስመሮች ሊገጣጠሙ እንደሚችሉ (እና ብዙ የጋራ ነጥቦች አሏቸው) ወይም ትይዩ ሊሆኑ ይችላሉ (እና ሁለት መስመሮች ምንም የጋራ ነጥብ የላቸውም) ወይም እርስ በእርስ ሊገናኙ ይችላሉ ። አንድ የጋራ ነጥብ ያለው። በጠፈር ውስጥ ለሁለት መስመሮች አንጻራዊ አቀማመጥ ተጨማሪ አማራጮች አሉ - ሊገጣጠሙ ይችላሉ (በማይገደቡ ብዙ የጋራ ነጥቦች አሏቸው) ፣ ትይዩ ሊሆኑ ይችላሉ (ይህም በአንድ አውሮፕላን ውስጥ ተኛ እና አይገናኙም) ፣ እርስ በእርስ ሊገናኙ ይችላሉ (አይደለም)። በተመሳሳይ አውሮፕላን ውስጥ ይተኛሉ), እና አንድ የጋራ ነጥብ ማለትም እርስ በርስ መቆራረጥ ሊኖራቸው ይችላል. ስለዚህ, በአውሮፕላኑ ላይ እና በህዋ ላይ ያሉት ሁለት መስመሮች አንድ የጋራ ነጥብ ካላቸው እርስ በርስ መቆራረጥ ይባላሉ.

ከተቆራረጡ መስመሮች ፍቺ ውስጥ ይከተላል የመስመሮች መገናኛ ነጥብን መወሰንሁለት መስመሮች የሚገናኙበት ነጥብ የእነዚህ መስመሮች መገናኛ ነጥብ ይባላል. በሌላ አነጋገር የሁለት የተጠላለፉ መስመሮች ብቸኛው የጋራ ነጥብ የእነዚህ መስመሮች መገናኛ ነጥብ ነው.

ግልፅ ለማድረግ በአውሮፕላን እና በጠፈር ላይ የሁለት ቀጥታ መስመር መገናኛ ነጥብን የሚያሳይ ስዕላዊ መግለጫ እናቀርባለን።

የገጽ አናት

በአውሮፕላን ላይ የሁለት መስመሮች መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎችን ማግኘት.

የሚታወቁትን እኩልታዎቻቸውን በመጠቀም በአውሮፕላን ላይ የሁለት መስመሮች መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች ከማግኘትዎ በፊት ረዳት ችግርን ያስቡ።

ኦክሲ ሀእና ለ. እኛ በቀጥታ እንገምታለን። ሀከቅጹ ቀጥተኛ መስመር አጠቃላይ እኩልታ ጋር ይዛመዳል , እና ቀጥታ መስመር ለ- አይነት። በአውሮፕላኑ ላይ የተወሰነ ነጥብ እንሁን, እና ነጥቡ መሆን አለመሆኑን ማወቅ አለብን ኤም 0የተሰጡ መስመሮች መገናኛ ነጥብ.

ችግሩን እንፍታው።

ከሆነ ኤም 0 ሀእና ለከዚያም በትርጉም መስመሩም ጭምር ነው። ሀእና ቀጥታ ለ, ማለትም, የእሱ መጋጠሚያዎች ሁለቱንም እኩልታ እና እኩልታ ማሟላት አለባቸው. ስለዚህ, የነጥቡን መጋጠሚያዎች መተካት አለብን ኤም 0በተሰጡት መስመሮች እኩልታዎች ውስጥ እና ይህ ሁለት ትክክለኛ እኩልነቶችን ያስገኛል እንደሆነ ይመልከቱ. የነጥቡ መጋጠሚያዎች ከሆነ ኤም 0ሁለቱንም እኩልታዎች ማርካት እና ከዚያም የመስመሮቹ መገናኛ ነጥብ ነው። ሀእና ለአለበለዚያ ኤም 0 .

ነጥቡ ነው። ኤም 0ከመጋጠሚያዎች ጋር (2, -3) የመስመሮች መገናኛ ነጥብ 5x-2ይ-16=0እና 2x-5ይ-19=0?

ከሆነ ኤም 0በእርግጥ የተሰጡ መስመሮች መገናኛ ነጥብ ነው, ከዚያም የእሱ መጋጠሚያዎች የመስመሮች እኩልታዎችን ያረካሉ. የነጥቡን መጋጠሚያዎች በመተካት ይህንን እንፈትሽ ኤም 0በተሰጡት እኩልታዎች ውስጥ:

ሁለት እውነተኛ እኩልነቶችን አግኝተናል ፣ ስለሆነም ኤም 0 (2፣ -3)- የመስመሮች መገናኛ ነጥብ 5x-2ይ-16=0እና 2x-5ይ-19=0.

ግልጽ ለማድረግ, ቀጥታ መስመሮችን የሚያሳይ ስዕል እናቀርባለን እና የመገናኛ ነጥቦቻቸው መጋጠሚያዎች ይታያሉ.

አዎ ፣ ጊዜ ኤም 0 (2፣ -3)የመስመሮቹ መገናኛ ነጥብ ነው 5x-2ይ-16=0እና 2x-5ይ-19=0.

መስመሮቹ እርስ በርስ ይገናኛሉ? 5x+3ይ-1=0እና 7x-2ይ+11=0ነጥብ ላይ ኤም 0 (2፣ -3)?

የነጥቡን መጋጠሚያዎች እንተካ ኤም 0ወደ ቀጥታ መስመሮች እኩልታዎች ፣ ይህ እርምጃ ነጥቡ የሱ መሆኑን ያረጋግጣል ኤም 0ሁለቱም ቀጥታ መስመሮች በተመሳሳይ ጊዜ;

ከሁለተኛው እኩልታ ጀምሮ ፣ የነጥቡን መጋጠሚያዎች ወደ እሱ በሚተካበት ጊዜ ኤም 0ወደ እውነተኛ እኩልነት አልተለወጠም, ከዚያ ነጥብ ኤም 0የመስመሩ አይደለም 7x-2ይ+11=0. ከዚህ እውነታ በመነሳት ነጥቡን መደምደም እንችላለን ኤም 0የተሰጡት መስመሮች መገናኛ ነጥብ አይደለም.

ስዕሉ ነጥቡን በግልፅ ያሳያል ኤም 0የመስመሮች መገናኛ ነጥብ አይደለም 5x+3ይ-1=0እና 7x-2ይ+11=0. በግልጽ እንደሚታየው, የተሰጡት መስመሮች ከመጋጠሚያዎች ጋር በአንድ ነጥብ ላይ ይገናኛሉ (-1, 2) .

ኤም 0 (2፣ -3)የመስመሮች መገናኛ ነጥብ አይደለም 5x+3ይ-1=0እና 7x-2ይ+11=0.

አሁን በአውሮፕላኑ ላይ የተሰጡትን የመስመሮች እኩልታዎች በመጠቀም የሁለት መስመሮች መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎችን ወደ መፈለግ ስራ መሄድ እንችላለን.

አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው የካርቴዥያ መጋጠሚያ ስርዓት በአውሮፕላኑ ላይ ይስተካከላል ኦክሲእና ሁለት የተጠላለፉ መስመሮች ተሰጥተዋል ሀእና ለእኩልታዎች እና በቅደም ተከተል. የተሰጡትን መስመሮች መገናኛ ነጥብ እንጠቁም ኤም 0እና የሚከተለውን ችግር ይፍቱ: የሁለት መስመሮች መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎችን ያግኙ ሀእና ለበእነዚህ መስመሮች እና በሚታወቁት እኩልታዎች መሰረት.

ነጥብ ኤም 0የእያንዳንዳቸው የተጠላለፉ መስመሮች ናቸው ሀእና ለ a-priory. ከዚያም የመስመሮቹ መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች ሀእና ለሁለቱንም እኩልታ እና እኩልታ ማርካት . ስለዚህ, የሁለት መስመሮች መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች ሀእና ለየእኩልታዎች ስርዓት መፍትሄ ናቸው (የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች አፈታት ስርዓቶችን ይመልከቱ)።

ስለዚህ በአውሮፕላን ላይ በአጠቃላይ እኩልታዎች የተገለጹ የሁለት ቀጥታ መስመሮች መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎችን ለማግኘት በተሰጡት ቀጥተኛ መስመሮች እኩልታዎች የተዋቀረ ስርዓትን መፍታት ያስፈልግዎታል ።

መፍትሄውን በምሳሌነት እንመልከት።

በአውሮፕላኑ ላይ በአራት ማዕዘኑ መጋጠሚያ ሲስተም ውስጥ የተገለጸውን የሁለት መስመሮች መገናኛ ነጥብ በእኩሌቶቹ ይፈልጉ x-9y+14=0እና 5x-2ይ-16=0.

ሁለት አጠቃላይ የመስመሮች እኩልታዎች ተሰጥቶናል ፣ ከእነሱ ውስጥ ስርዓት እንፍጠር ። ለተፈጠረው የእኩልታዎች ስርዓት መፍትሄዎች ከተለዋዋጭ ጋር የመጀመሪያውን እኩልታ በመፍታት በቀላሉ ይገኛሉ xእና ይህን አገላለጽ ወደ ሁለተኛው ቀመር ይቀይሩት፡-

ለእኩልታዎች ስርዓት የተገኘው መፍትሄ የሁለት መስመሮች መገናኛ ነጥብ የሚፈለጉትን መጋጠሚያዎች ይሰጠናል።

ኤም 0 (4፣ 2)- የመስመሮች መገናኛ ነጥብ x-9y+14=0እና 5x-2ይ-16=0.

ስለዚህ በአውሮፕላን ላይ በአጠቃላይ እኩልታዎች የተገለጹትን የሁለት ቀጥተኛ መስመሮች መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች ማግኘት የሁለት መስመራዊ እኩልታዎችን ከሁለት የማይታወቁ ተለዋዋጮች ጋር ለመፍታት ይወርዳል። ነገር ግን በአውሮፕላኑ ላይ ያሉ መስመሮች በአጠቃላይ እኩልታዎች ሳይሆን በተለያየ አይነት እኩልታዎች ቢሰጡስ (በአውሮፕላኑ ላይ ያሉትን የመስመሮች እኩልታዎች ይመልከቱ)? በእነዚህ አጋጣሚዎች, በመጀመሪያ የመስመሮች እኩልታዎችን ወደ አጠቃላይ ቅፅ መቀነስ ይችላሉ, እና ከዚያ በኋላ ብቻ የመገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎችን ያግኙ.

የተሰጡትን መስመሮች የመገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች ከማግኘትዎ በፊት, እኩልታዎቻቸውን ወደ አጠቃላይ ቅፅ እንቀንሳለን. ከአንድ መስመር ፓራሜትሪክ እኩልታዎች ወደ የዚህ መስመር አጠቃላይ እኩልታ የሚደረግ ሽግግር ይህን ይመስላል።

አሁን በቀኖናዊው ቀጥተኛ መስመር እኩልታ አስፈላጊውን እርምጃዎችን እናከናውን-

ስለዚህ የመስመሮቹ መገናኛ ነጥብ የሚፈለጉት መጋጠሚያዎች ለቅጹ እኩልታዎች ስርዓት መፍትሄ ናቸው. እሱን ለመፍታት የ Cramer ዘዴን እንጠቀማለን-

M 0 (-5, 1)

በአውሮፕላን ላይ የሁለት መስመሮች መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎችን ለማግኘት ሌላ መንገድ አለ. አንዱ መስመሮች በቅጹ ፓራሜትሪክ እኩልታዎች ሲሰጡ ለመጠቀም ምቹ ነው, ሌላኛው ደግሞ በተለያየ አይነት መስመር እኩልታ. በዚህ ሁኔታ, በተለዋዋጭ ምትክ በሌላ እኩልታ xእና yከተሰጡት መስመሮች መገናኛ ነጥብ ጋር የሚዛመደውን እሴት ከየት ማግኘት እንደሚችሉ መግለጫዎችን እና መተካት ይችላሉ. በዚህ ሁኔታ የመስመሮቹ መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች አሉት.

ይህን ዘዴ በመጠቀም ከቀዳሚው ምሳሌ የመስመሮቹ መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎችን እንፈልግ.

የመስመሮቹ መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎችን ይወስኑ እና .

ቀጥተኛውን መስመር አገላለጽ ወደ እኩልታው እንተካው፡-

የተገኘውን እኩልታ ከፈታን በኋላ እናገኛለን። ይህ ዋጋ የመስመሮቹ የጋራ ነጥብ እና . ቀጥታ መስመርን ወደ ፓራሜትሪክ እኩልታዎች በመተካት የመገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎችን እናሰላለን፡
.

M 0 (-5, 1).

ምስሉን ለማጠናቀቅ, አንድ ተጨማሪ ነጥብ መወያየት አለበት.

በአውሮፕላኑ ላይ የሁለት መስመሮች መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች ከማግኘትዎ በፊት, የተሰጡት መስመሮች በትክክል መገናኘታቸውን ማረጋገጥ ጠቃሚ ነው. የመጀመሪያዎቹ መስመሮች የሚገጣጠሙ ወይም ትይዩ ከሆኑ የእንደዚህ ዓይነቶቹን የመስመሮች መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች ለማግኘት ምንም ጥያቄ ሊኖር አይችልም ።

በእርግጥ, ያለ እንደዚህ አይነት ቼክ ማድረግ ይችላሉ, ነገር ግን ወዲያውኑ የቅጹን እኩልታዎች ስርዓት ይፍጠሩ እና ይፍቱ. የእኩልታዎች ስርዓት ልዩ መፍትሄ ካለው, የመጀመሪያዎቹ መስመሮች የሚገናኙበትን ነጥብ መጋጠሚያዎች ይሰጣል. የእኩልታዎች ስርዓት መፍትሄዎች ከሌሉት, የመጀመሪያዎቹ መስመሮች ትይዩ ናቸው ብለን መደምደም እንችላለን (እንደዚህ አይነት ጥንድ እውነተኛ ቁጥሮች ስለሌለ). xእና yየተሰጡትን መስመሮች ሁለቱንም እኩልታዎች በአንድ ጊዜ የሚያረካ)። ያልተገደበ የመፍትሄዎች ብዛት ከመኖሩ ጀምሮ እስከ የእኩልታዎች ስርዓት ድረስ ፣ የመጀመሪያዎቹ ቀጥታ መስመሮች ማለቂያ የሌላቸው ብዙ ተመሳሳይ ነጥቦች አሏቸው ፣ ማለትም ፣ እነሱ ይገጣጠማሉ።

ከእነዚህ ሁኔታዎች ጋር የሚስማሙ ምሳሌዎችን እንመልከት።

መስመሮቹ እና መቆራረጣቸውን ይወቁ, እና እርስ በርስ የሚገናኙ ከሆነ, ከዚያም የመገናኛ ነጥቡን መጋጠሚያዎች ያግኙ.

የተሰጡት የመስመሮች እኩልታዎች ከእኩልታዎች ጋር ይዛመዳሉ እና . በእነዚህ እኩልታዎች የተሰራውን ስርዓት እንፍታው።

የስርአቱ እኩልታዎች እርስ በእርሳቸው በቀጥታ የሚገለጹ መሆናቸው ግልፅ ነው (የስርዓቱ ሁለተኛ እኩልታ የሚገኘው ከመጀመሪያው ሁለቱንም ክፍሎቹን በማባዛት ነው)። 4 ), ስለዚህ, የእኩልታዎች ስርዓት ማለቂያ የሌላቸው መፍትሄዎች አሉት. ስለዚህ, እኩልታዎቹ ተመሳሳይ መስመርን ይገልጻሉ, እና የእነዚህን መስመሮች መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች ስለማግኘት መነጋገር አንችልም.

እኩልታዎች እና በአራት ማዕዘን መጋጠሚያ ስርዓት ውስጥ ተገልጸዋል ኦክሲተመሳሳይ ቀጥተኛ መስመር, ስለዚህ የመገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎችን ስለማግኘት መነጋገር አንችልም.

የመስመሮቹ መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎችን ይፈልጉ እና ከተቻለ።

የችግሩ ሁኔታ መስመሮቹ እንዳይገናኙ ያስችላቸዋል. ከእነዚህ እኩልታዎች ስርዓት እንፍጠር። የእኩልታዎች ስርዓት ተኳሃኝነት ወይም አለመጣጣም ለመመስረት ስለሚያስችለን እና የሚስማማ ከሆነ መፍትሄ ለማግኘት የጋውስ ዘዴን እንጠቀምበት።

የ Gauss ዘዴ ቀጥታ ካለፈ በኋላ ያለው የመጨረሻው እኩልታ ወደ ትክክለኛ ያልሆነ እኩልነት ተለወጠ, ስለዚህ የእኩልታዎች ስርዓት ምንም መፍትሄዎች የሉትም. ከዚህ በመነሳት የመጀመሪያዎቹ መስመሮች ትይዩ ናቸው ብለን መደምደም እንችላለን, እና የእነዚህን መስመሮች መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች ስለማግኘት መነጋገር አንችልም.

ሁለተኛው መፍትሄ.

የተሰጡት መስመሮች እርስ በርስ መገናኘታቸውን እንወቅ.

መደበኛ ቬክተር መስመር ሲሆን ቬክተር ደግሞ የመስመሩ መደበኛ ቬክተር ነው። የቬክተሮችን የመገጣጠም ሁኔታ እና: እኩልነት እውነት ነው, ስለዚህም, የተሰጡት ቀጥተኛ መስመሮች የተለመዱ ቬክተሮች ኮሊኔር ናቸው. ከዚያም እነዚህ መስመሮች ትይዩ ወይም በአጋጣሚ ናቸው. ስለዚህ, የመጀመሪያዎቹን መስመሮች የመገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎችን ማግኘት አንችልም.

እነዚህ መስመሮች ትይዩ ስለሆኑ የተሰጡት መስመሮች መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች ሊገኙ አይችሉም.

የመስመሮቹ መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎችን ያግኙ 2x-1=0እና እርስ በርስ ከተገናኙ.

የተሰጡ መስመሮች አጠቃላይ እኩልታዎች የሆኑትን የእኩልታዎች ስርዓት እንፍጠር፡. የዚህ የእኩልታዎች ስርዓት ዋና ማትሪክስ ወሳኙ ዜሮ ነው ፣ ስለሆነም የእኩልታዎች ስርዓት ልዩ መፍትሄ አለው ፣ ይህም የተሰጡትን መስመሮች መጋጠሚያ ያሳያል።

የመስመሮቹ መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎችን ለማግኘት ስርዓቱን መፍታት አለብን-

የተገኘው መፍትሔ የመስመሮቹ መገናኛ ነጥብ ማለትም የመስመሮቹ መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎችን ይሰጠናል. 2x-1=0እና.

የገጽ አናት

በጠፈር ውስጥ የሁለት መስመሮች መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎችን መፈለግ.

ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ላይ የሁለት መስመሮች መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች በተመሳሳይ መልኩ ይገኛሉ.

የተጠላለፉትን መስመሮች ይፍቀዱ ሀእና ለአራት ማዕዘን ቅርጽ ባለው ቅንጅት ስርዓት ውስጥ ይገለጻል ኦክሲዝየሁለት የተጠላለፉ አውሮፕላኖች እኩልታዎች ፣ ማለትም ፣ ቀጥተኛ መስመር ሀበስርዓተ-ቅርጽ ይወሰናል, እና ቀጥታ መስመር ለ- . ፍቀድ ኤም 0- የመስመሮች መገናኛ ነጥብ ሀእና ለ. ከዚያም ይጠቁሙ ኤም 0በትርጉሙም የመስመሩ ነው። ሀእና ቀጥታ ለ, ስለዚህ, የእሱ መጋጠሚያዎች የሁለቱም መስመሮች እኩልታዎችን ያረካሉ. ስለዚህ የመስመሮቹ መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች ሀእና ለለቅጹ የመስመር እኩልታዎች ስርዓት መፍትሄን ይወክላሉ . እዚህ ላይ የእኩልታዎች ቁጥር ከማይታወቁ ተለዋዋጮች ብዛት ጋር የማይጣጣምባቸውን የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችን የመፍታት ክፍል መረጃ እንፈልጋለን።

የምሳሌዎቹን መፍትሄዎች እንመልከት።

በጠፈር ላይ በእኩሌቶቹ የተገለጹትን የሁለት መስመሮች መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎችን ያግኙ እና .

ከተሰጡት የመስመሮች እኩልታዎች ውስጥ የእኩልታዎችን ስርዓት እንፍጠር. የዚህ ስርዓት መፍትሄ በቦታ ውስጥ የመስመሮች መገናኛ ነጥብ የሚፈለጉትን መጋጠሚያዎች ይሰጠናል. የእኩልታዎች የጽሑፍ ሥርዓት መፍትሄ እንፈልግ።

የስርዓቱ ዋና ማትሪክስ ቅፅ አለው, እና የተዘረጋው -.

የማትሪክስ ደረጃን እንወስን ሀእና ማትሪክስ ደረጃ ቲ. ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን የማዋረድ ዘዴን እንጠቀማለን ፣ ግን የወሳኞችን ስሌት በዝርዝር አንገልጽም (አስፈላጊ ከሆነ ፣ የማትሪክስ ወሳኙን ስሌት አንቀጽ ይመልከቱ)

ስለዚህ የዋናው ማትሪክስ ደረጃ ከተራዘመው ማትሪክስ ደረጃ ጋር እኩል ነው እና ከሶስት ጋር እኩል ነው።

ስለዚህ, የእኩልታዎች ስርዓት ልዩ መፍትሄ አለው.

ወሳኙን እንደ ጥቃቅን መሠረት እንወስዳለን, ስለዚህ የመጨረሻው እኩልታ ከሥርዓተ-ሒሳብ መገለል አለበት, ምክንያቱም ለአካለ መጠን ያልደረሰው መሠረት ምስረታ ውስጥ አይሳተፍም. ስለዚህ፣

የውጤቱ ስርዓት መፍትሄ ለማግኘት ቀላል ነው-

ስለዚህ የመስመሮቹ መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች አሉት (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

የእኩልታዎች ስርዓት ቀጥተኛ መስመሮች ከሆነ እና ብቻ ከሆነ ልዩ መፍትሄ እንዳለው ልብ ሊባል ይገባል ሀእና ለመቆራረጥ ቀጥተኛ ከሆነ ሀእና ለትይዩ ወይም መሻገር, ከዚያም የመጨረሻው የእኩልታዎች ስርዓት ምንም መፍትሄዎች የሉትም, ምክንያቱም በዚህ ሁኔታ መስመሮቹ የጋራ ነጥቦች ስለሌላቸው. ቀጥተኛ ከሆነ ሀእና ለይገጣጠማሉ፣ ከዚያ ማለቂያ የሌላቸው የጋራ ነጥቦች አሏቸው፣ ስለዚህ፣ የተጠቆመው የእኩልታዎች ስርዓት ማለቂያ የሌለው የመፍትሄዎች ብዛት አለው። ነገር ግን በእነዚህ አጋጣሚዎች የመስመሮቹ መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎችን ስለማግኘት መነጋገር አንችልም, ምክንያቱም መስመሮቹ እርስ በርስ የተያያዙ አይደሉም.

ስለዚህ, የተሰጡት መስመሮች እርስ በርስ መገናኘታቸውን አስቀድመን ካላወቅን ሀእና ለወይም አይደለም, ከዚያም የቅጹን እኩልታዎች ስርዓት መፍጠር እና በጋውስ ዘዴ መፍታት ምክንያታዊ ነው. ልዩ መፍትሄ ካገኘን, ከዚያም የመስመሮቹ መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች ጋር ይዛመዳል ሀእና ለ. ስርዓቱ ወጥነት የሌለው ሆኖ ከተገኘ ቀጥታ ሀእና ለአታቋርጡ። ስርዓቱ ማለቂያ የሌለው የመፍትሄዎች ቁጥር ካለው, ቀጥ ያሉ መስመሮች ሀእና ለመመሳሰል።

የ Gaussian ዘዴን ሳይጠቀሙ ማድረግ ይችላሉ. በአማራጭ ፣ የዚህ ስርዓት ዋና እና የተራዘሙ ማትሪክስ ደረጃዎችን ማስላት ይችላሉ ፣ እና በተገኘው መረጃ እና በ Kronecker-Capelli ቲዎሬም ላይ በመመርኮዝ አንድ ነጠላ መፍትሄ መኖር ፣ ወይም ብዙ መፍትሄዎች መኖር ፣ ወይም አለመኖር። መፍትሄዎች. የጣዕም ጉዳይ ነው።

መስመሮቹ እርስ በርስ ከተገናኙ, ከዚያም የመገናኛ ነጥቡን መጋጠሚያዎች ይወስኑ.

ከተሰጡት እኩልታዎች ስርዓት እንፍጠር፡. በማትሪክስ መልክ የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም እንፍታው፡-

የእኩልታዎች ስርዓት ምንም መፍትሄዎች እንደሌላቸው ግልጽ ሆነ, ስለዚህ, የተሰጡት መስመሮች አይጣመሩም, እና የእነዚህን መስመሮች መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች ለማግኘት ምንም አይነት ጥያቄ ሊኖር አይችልም.

እነዚህ መስመሮች ስለማይገናኙ የተሰጡትን የመስመሮች መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች ማግኘት አልቻልንም።

የተጠላለፉ መስመሮች በቀኖናዊ እኩልታዎች በጠፈር ውስጥ ወይም በቦታ ውስጥ ባሉ የመስመር ላይ እኩልታዎች ሲሰጡ በመጀመሪያ አንድ ሰው እኩልታዎቻቸውን በሁለት የተጠላለፉ አውሮፕላኖች መልክ ማግኘት አለበት ፣ እና ከዚያ በኋላ የመገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎችን ያግኙ።

ሁለት የተጠላለፉ መስመሮች በአራት ማዕዘን መጋጠሚያ ስርዓት ውስጥ ይገለፃሉ ኦክሲዝእኩልታዎች እና. የእነዚህን መስመሮች መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎችን ያግኙ.

የመጀመሪያዎቹን ቀጥታ መስመሮች በሁለት የተጠላለፉ አውሮፕላኖች እኩልታዎች እንገልፃቸው-

የመስመሮቹ መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎችን ለማግኘት, የእኩልታዎችን ስርዓት ለመፍታት ይቀራል. የዚህ ስርዓት ዋና ማትሪክስ ደረጃ ከተራዘመው ማትሪክስ ደረጃ ጋር እኩል ነው እና ከሶስት ጋር እኩል ነው (ይህን እውነታ ለማጣራት እንመክራለን). እንደ ጥቃቅን መሠረት እንውሰድ, ስለዚህ, የመጨረሻውን እኩልነት ከስርዓቱ ማስወገድ እንችላለን. የተገኘውን ስርዓት ማንኛውንም ዘዴ (ለምሳሌ ክሬመር ዘዴ) በመጠቀም መፍትሄውን እናገኛለን። ስለዚህ የመስመሮቹ መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች አሉት (-2, 3, -5) .