እኩልታዎችን ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር የመፍታት ዘዴዎች. ቀላል የመስመር እኩልታዎችን መፍታት

Xእና ስፋት X. ከዚያም የቅጹ ገላጭ ቅርጽ ረ(x) = ሰ (x)ተብሎ ይጠራል ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር እኩልነት.

ተለዋዋጭ እሴት Xከብዙ X, በዚህ ጊዜ እኩልታው ወደ እውነተኛ የቁጥር እኩልነት ይባላል የእኩልታ ሥር (ወይም የእሱ ውሳኔ). እኩልታውን ይፍቱ - ይህ ማለት ብዙ ሥሮቹን ማግኘት ማለት ነው.

ለተለዋዋጭ መግለጫዎች የእሴቶች ስብስብ ረ(x)እና ሰ (x)ትርጉም ያለው ፣ ይባላል የእኩልታ ትርጓሜ ጎራ
ረ(x) = ሰ (x). የአንድ እኩልታ የመፍትሄዎች ስብስብ የፍቺው ጎራ ንዑስ ስብስብ ነው።

ማንኛውንም እኩልታ ለመፍታት በመጀመሪያ ይቀየራል, በሌላኛው ይተካዋል, ቀላል; የተገኘው እኩልታ እንደገና ተለውጧል, በቀላል መተካት, ወዘተ. ሥሮቹ ሊገኙ የሚችሉበት እኩልታ እስኪገኝ ድረስ ይህ ሂደት ይቀጥላል በሚታወቅ መንገድ. ነገር ግን እነዚህ ሥሮች የአንድ የተወሰነ እኩልታ ሥር እንዲሆኑ፣ የለውጡ ሂደት ሥሮቻቸው የሚገጣጠሙ እኩልታዎችን ማፍራት አስፈላጊ ነው። እንደነዚህ ያሉት እኩልታዎች ተመጣጣኝ ተብለው ይጠራሉ.

እኩልታን በተመጣጣኝ ስሌት መተካት ይባላል ለውጥ.

ተመጣጣኝ እኩልታዎችን ለማግኘት የሚያስችሉ ለውጦች እንደሚከተለው ሊሆኑ ይችላሉ፡-

1. ወደ እኩልታው በሁለቱም በኩል ከሆነ ረ(x) = g(x), በስብስቡ ላይ ይገለጻል X, ተመሳሳይ አገላለጽ ጨምር ሰ(x), ይህም በስብስቡ ላይ ትርጉም ያለው ነው X, ከዚያም እኩልታውን እናገኛለን ረ (x) + ሰ (x) = g (x) + ሰ (x)፣ ከዚህ ጋር እኩል ነው።

ከዚህ አባባል የሚከተለው ነው። ውጤቶች እኩልታዎችን ለመፍታት የሚያገለግሉ፡-

1) ተመሳሳይ ቁጥርን ወደ እኩልታው በሁለቱም በኩል ከጨመርን, ከተጠቀሰው ጋር እኩል የሆነ እኩልታ እናገኛለን.

2) ማንኛውም ቃል (ወይም አገላለጽ ከተለዋዋጭ ጋር) ከአንዱ የሒሳብ ክፍል ወደ ሌላ ከተላለፈ የቃሉን ምልክት ወደ ተቃራኒው በመቀየር ከተጠቀሰው ጋር እኩል የሆነ እኩልታ እናገኛለን።

2. የእኩልታው ሁለቱም ወገኖች ከሆኑ ረ(x) = g(x), በስብስቡ ላይ ይገለጻል X፣ በተመሳሳይ አገላለጽ ማባዛት። ሰ(x), ይህም በስብስቡ ላይ ትርጉም ያለው ነው Xእና በላዩ ላይ አይጠፋም, ከዚያ እኩልታውን እናገኛለን ረ(x)× h(x) = g(x)× ሰ(x)፣ ከዚህ ጋር እኩል ነው።

ከዚህ አባባል የሚከተለው ነው። መዘዝ፡-

የእኩልታው ሁለቱም ጎኖች ከዜሮ ሌላ በተመሳሳይ ቁጥር ቢባዙ፣ ከተሰጠው ጋር የሚመጣጠን እኩልታ ያገኛሉ።

ተግባርበእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ ላይ ከሚከተሉት ጥንዶች እኩልታዎች መካከል የትኞቹ እንደሆኑ ይወስኑ።

ሀ) X 2 - 9 = 0 እና (2 X + 6)(X - 3) = 0;

ለ) (3 X+ 1) × 2 = 6 X+ 1 እና X 2 + 1 = 0;

ቪ) X 2 - X- 2 = 0 እና ( X - 1)(X + 2) = 0;

መፍትሄ።ሀ) እኩልታዎቹ እኩል ናቸው, ምክንያቱም ሁለቱም ቁጥሮች 3 እና -3 እንደ ሥሮቻቸው ስላሏቸው; ለ) እኩልታዎቹ እኩል ናቸው, ምክንያቱም ሁለቱም ሥሮች ስለሌላቸው, ማለትም. የመፍትሄዎቻቸው ስብስቦች ይጣጣማሉ; ሐ) የመጀመርያው እኩልታ ሥረ-ሥሮች ቁጥሮች -1 እና 2፣ እና የሁለተኛው ሥረ-ሥሮች ቁጥር 1 እና -2 ስለሆነ፣ እኩልታዎቹ እኩል አይደሉም።

ተግባርእኩልታውን ይፍቱ እና በመፍትሔው ሂደት ውስጥ የሚደረጉ ለውጦችን ሁሉ ያጸድቁ.

መፍትሄ።

ለውጦች	የለውጦች ምክንያቶች
1. በግራ እና በቀኝ በግራ በኩል ያሉትን አገላለጾች ወደ አንድ የጋራ መለያ እናምጣ።	በቀመር በግራ በኩል ያለውን አገላለጽ አንድ አይነት ለውጥ አድርገናል።
2. የጋራ መለያውን እናስወግድ፡- 6 - 2x = x.	የእኩልታውን ሁለቱንም ጎኖች በ 6 (ቲዎረም 2) በማባዛት ከዚህ ጋር እኩል የሆነ እኩልነት አግኝተናል።
3. አገላለጽ --2 Xከተቃራኒው ምልክት ጋር ወደ እኩልታው በቀኝ በኩል ይሂዱ 6 = X+ 2X.	እኛ የቲዎሬም 1ን መግለጫ ተጠቀምን እና ከቀዳሚው ጋር እኩል የሆነ እኩልታ አግኝተናል ፣ እናም ፣ ከተሰጠው ጋር።
4. በቀመርው በቀኝ በኩል ተመሳሳይ ቃላትን እናቀርባለን: 6 = 3 X.	የአገላለጹን ተመሳሳይ ለውጥ አድርጓል።
5. የእኩልቱን ሁለቱንም ጎኖች በ 3 ይከፋፍሏቸው፡ x = 2.	የቲዎሬም 2ን መግለጫ ተጠቀምን እና ከቀዳሚው ጋር እኩል የሆነ እኩልታ አገኘን ፣ እና ስለዚህ ለዚህ።

ይህንን እኩልታ ስንፈታ ያደረግናቸው ለውጦች ሁሉ እኩል ስለነበሩ፣ 2 የዚህ እኩልታ ሥር ነው ማለት እንችላለን።

እኩልታውን በመፍታት ሂደት ውስጥ የቲዎሬም 1 እና 2 ሁኔታዎች ካልተሟሉ ሥሮች መጥፋት ሊከሰት ወይም ውጫዊ ሥሮች ሊታዩ ይችላሉ። ስለዚህ, ቀለል ያለውን ለማግኘት እኩልነትን በሚቀይሩበት ጊዜ, ከተጠቀሰው ጋር እኩል የሆነ እኩልነት መያዙን ማረጋገጥ አስፈላጊ ነው.

ለምሳሌ እኩልታውን አስቡበት X (X - 1) = 2X, Xአር. ሁለቱንም ክፍሎች እንከፋፍላቸው X, እኩልታውን እናገኛለን X- 1 = 2 ፣ ከየት X= 3, ማለትም. ይህ እኩልታ አንድ ሥር አለው - ቁጥር 3. ግን ይህ እውነት ነው? በተለዋዋጭ ምትክ በዚህ ቀመር ውስጥ ከሆነ በቀላሉ ማየት ይቻላል
Xምትክ 0, እሱ እውነተኛ የቁጥር እኩልነት ይሆናል
0 × (0 - 1) = 2 × 0. ይህ ማለት 0 የዚህ እኩልታ ሥር ነው, ለውጦችን በምናከናውንበት ጊዜ ያጣነው. እስቲ እንመርማቸው። እኛ ያደረግነው የመጀመሪያው ነገር የእኩልቱን ሁለቱንም ጎኖች በመክፈል ነው። Xማለትም በአገላለጽ ተባዝቶ፣ ግን በ X= 0 ትርጉም የለውም። በዚህም ምክንያት የቲዎሬም 2 ሁኔታን አላሟላንም, ይህም ሥሩን ወደ ማጣት ያመራ ነበር.

የዚህ እኩልታ ስሮች ስብስብ ሁለት ቁጥሮችን 0 እና 3 ያካተተ መሆኑን ለማረጋገጥ, ሌላ መፍትሄ እናቀርባለን. አገላለፅን እናንቀሳቅስ 2 Xከቀኝ ወደ ግራ: X (X - 1) - 2X= 0. በቀመር በግራ በኩል በቅንፍ ውስጥ እናውጣው Xእና ተመሳሳይ ቃላትን ይስጡ፡-
X (X- 3) = 0. የሁለት ነገሮች ውጤት ከዜሮ ጋር እኩል ነው እና ቢያንስ አንዱ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ ብቻ ነው, ስለዚህ X= 0 ወይም X- 3 = 0. ከዚህ የምንመለከተው የዚህ እኩልታ ሥር 0 እና 3 መሆናቸውን ነው።

በሂሳብ መጀመሪያ ኮርስ የንድፈ ሐሳብ መሠረትእኩልታዎችን መፍታት በድርጊቶች አካላት እና ውጤቶች መካከል ያለው ግንኙነት ነው።

ተግባርእኩልታውን ይፍቱ ( X× 9)፡ 24 = 3፣ በድርጊት አካላት እና ውጤቶች መካከል ያለውን ግንኙነት በመጠቀም።

መፍትሄ።የማይታወቀው በአከፋፋዩ ውስጥ ስላለ፣ ክፍፍሉን ለማግኘት አካፋዩን በቁጥር ማባዛት ያስፈልግዎታል፡- X× 9 = 24 × 3, ወይም X× 9 = 72. ያልታወቀ ምክንያት ለማግኘት ምርቱን በሚታወቀው ምክንያት መከፋፈል ያስፈልግዎታል: X= 72:9, ወይም X= 8, ስለዚህ, የዚህ እኩልታ ሥር ቁጥር 8 ነው.

ለ ገለልተኛ ሥራ መልመጃዎች

1. ቀመር 2 X 4 + 4X 2 - 6 = 0 በስብስቡ ላይ ይገለጻል የተፈጥሮ ቁጥሮች. ለምን ቁጥር 1 የዚህ እኩልታ ሥር እንደሆነ ያብራሩ፣ 2 እና -1 ግን ሥሮቹ አይደሉም።

2. በስብስቡ ላይ ከሚከተሉት ጥንዶች መካከል የትኞቹ እኩል እንደሆኑ ይወስኑ አር:

ሀ) 3 + 7 X= -4 እና 2(3 + 7 X) = -8; ሐ) 3 + 7 X= -4 እና X + 2 = 0.

ለ) 3 + 7 X= -4 እና 6 + 7 X = -1;

3. እኩልታዎችን ይፍቱ እና እነሱን በማቅለል ሂደት ውስጥ የተከናወኑ ለውጦችን ሁሉ ያፅድቁ።

ሀ) ; ለ) ; በ 2 - X) × 2 - X (X + 1,5) = 4.

4. በክፍሎቹ እና በድርጊቶቹ ውጤቶች መካከል ያለውን ግንኙነት በመጠቀም እኩልታዎችን መፍታት፡-

ሀ) ( X+ 70) × 4 = 328; ሐ) (85 X + 765) : 170 = 98;

ለ) 560፡ ( X+ 9) = 56; ሰ) ( X - 13581) : 709 = 306.

እኩልታውአንድ ወይም ከዚያ በላይ ተለዋዋጮች የሚገኙበት እኩልነት ነው።
ቀመር አንድ ተለዋዋጭ ማለትም አንድ ያልታወቀ ቁጥር ሲኖረው ጉዳዩን እንመለከታለን. በመሠረቱ፣ እኩልታ የሂሳብ ሞዴል ዓይነት ነው። ስለዚህ, በመጀመሪያ, ችግሮችን ለመፍታት እኩልታዎች ያስፈልጉናል.

እንዴት መፃፍ እንዳለብን እናስታውስ የሂሳብ ሞዴልችግሩን ለመፍታት.
ለምሳሌ, በአዲሱ ውስጥ የትምህርት ዘመንበትምህርት ቤት ቁጥር 5 የተማሪዎች ቁጥር በእጥፍ ጨምሯል. 20 ተማሪዎች ወደ ሌላ ትምህርት ቤት ከተዛወሩ በኋላ በአጠቃላይ 720 ተማሪዎች በትምህርት ቤት ቁጥር 5 መማር ጀመሩ። ባለፈው ዓመት ስንት ተማሪዎች ነበሩ?

በሒሳብ ቋንቋ በሁኔታው የተነገረውን መግለፅ አለብን። ባለፈው ዓመት የተማሪው ቁጥር X ይሁን. ከዚያም እንደ ችግሩ ሁኔታ,
2X - 20 = 720. የሚወክለው የሂሳብ ሞዴል አለን ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር እኩልነት. የበለጠ በትክክል ፣ እሱ ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር የመጀመሪያ ዲግሪ እኩልታ ነው። የቀረው ሥሩን መፈለግ ብቻ ነው።

የአንድ እኩልታ ሥር ምንድን ነው?

የእኛ እኩልነት ወደ እውነተኛ እኩልነት የሚቀየርበት የተለዋዋጭ እሴት የእኩልታ ስር ይባላል። ብዙ ሥር ያላቸው እኩልታዎች አሉ። ለምሳሌ፣ በቀመር 2*X = (5-3)*X፣ ማንኛውም የX እሴት ስር ነው። እና እኩልታ X = X +5 ምንም አይነት ስር የለውም ምክንያቱም ምንም አይነት እሴት በ X ብንተካ ትክክለኛውን እኩልነት አናገኝም. እኩልታን መፍታት ማለት ሁሉንም ሥሮቹን ማግኘት ወይም ሥር እንደሌለው መወሰን ማለት ነው። ስለዚህ ጥያቄያችንን ለመመለስ 2X – 20 = 720 የሚለውን ስሌት መፍታት አለብን።

እኩልታዎችን በአንድ ተለዋዋጭ እንዴት መፍታት ይቻላል?

በመጀመሪያ፣ አንዳንድ መሠረታዊ ፍቺዎችን እንጻፍ። እያንዳንዱ እኩልታ የቀኝ እና የግራ ጎን አለው። በእኛ ሁኔታ (2X - 20) - ግራ ጎንእኩልነት (ከእኩል ምልክት በስተግራ ነው) እና 720 የእኩልታው የቀኝ ጎን ነው። በቀመርው በቀኝ እና በግራ በኩል ያሉት ቃላቶች የእኩልታ ውሎች ይባላሉ። የእኩልታ ቃሎቻችን 2X፣ -20 እና 720 ናቸው።

ወዲያውኑ ስለ 2 የእኩልታዎች ባህሪዎች እንነጋገር ።

1. ማንኛውም የእኩልታው ቃል ከትክክለኛው የቀኝ በኩል ወደ ግራ እና በተቃራኒው ሊተላለፍ ይችላል. በዚህ ሁኔታ የዚህን እኩልነት ቃል ምልክት ወደ ተቃራኒው መለወጥ አስፈላጊ ነው. ማለትም፣ የቅጹ 2X – 20 = 720፣ 2X – 20 – 720 = 0፣ 2X = 720 + 20፣ -20 = 720 – 2X መዛግብት እኩል ናቸው።
2. የእኩልታው ሁለቱም ወገኖች በተመሳሳይ ቁጥር ሊባዙ ወይም ሊከፋፈሉ ይችላሉ። ይህ ቁጥር ዜሮ መሆን የለበትም። ማለትም፣ የቅጹ 2X – 20 = 720፣ 5*(2X – 20) = 720*5፣ (2X – 20):2 = 720፡2 መዛግብት እንዲሁ እኩል ናቸው።

የእኛን እኩልነት ለመፍታት እነዚህን ንብረቶች እንጠቀም።

እንሂድ -20 ወደ ቀኝ ጎን በተቃራኒው ምልክት. እናገኛለን፡-

2X = 720 + 20. በቀኝ በኩል ያለንን እንጨምር። 2X = 740 እናገኛለን።

አሁን የእኩልቱን ግራ እና ቀኝ በ 2 ይከፋፍሉት።

2X: 2 = 740: 2 ወይም X = 370. የኛን እኩልነት መሠረት አግኝተናል እና በተመሳሳይ ጊዜ ለችግሮቻችን ጥያቄ መልስ አግኝተናል. ባለፈው አመት በትምህርት ቤት ቁጥር 5 370 ተማሪዎች ነበሩ።

የኛ ሥረ መሠረት በትክክል እኩልታውን ወደ እውነተኛ እኩልነት ይለውጠው እንደሆነ እንፈትሽ። ከኤክስ ይልቅ 370 ቁጥርን ወደ ቀመር 2X – 20 = 720 እንተካው።

2*370-20 = 720.

ትክክል ነው.

ስለዚህ፣ አንድን እኩልታ ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር ለመፍታት፣ a እና b አንዳንድ ቁጥሮች ወደሆኑበት የቅርጽ ax = b ወደሚባለው መስመራዊ እኩልታ መቀነስ ያስፈልጋል። ከዚያም የግራ እና የቀኝ ጎኖቹን በቁጥር ሀ. ያንን x = b:a እናገኛለን።

እኩልታን ወደ መስመራዊ እኩልታ መቀነስ ማለት ምን ማለት ነው?

ይህንን እኩልነት አስቡበት፡-

5X - 2X + 10 = 59 - 7X +3X።

ይህ ደግሞ ከአንድ የማይታወቅ ተለዋዋጭ X ጋር እኩልታ ነው። የእኛ ተግባር ይህንን እኩልታ ወደ ቅጽ መጥረቢያ = b መቀነስ ነው።

ይህንን ለማድረግ, በመጀመሪያ በግራ በኩል በግራ በኩል X እንደ ምክንያት, እና የቀሩትን ቃላት በቀኝ በኩል ያሉትን ሁሉንም ቃላት እንሰበስባለን. እንደ ፋክተር ተመሳሳይ ፊደል ያላቸው ውሎች ተመሳሳይ ቃላት ይባላሉ።

5X - 2X + 7X – 3X = 59 – 10።

በማባዛት የማከፋፈያ ንብረት መሰረት፣ ተመሳሳዩን ምክንያት ከቅንፍ አውጥተን ውህደቶቹን (ለተለዋዋጭ x ብዜቶች) ማከል እንችላለን። ይህ ሂደት ተመሳሳይ ቃላትን መቀነስ ተብሎም ይጠራል.

X (5-2+7-3) = 49.

7X = 49. እኩልታውን ወደ ቅፅ መጥረቢያ = b, a = 7, b = 49 ቀንሰነዋል.

እና ከላይ እንደጻፍነው፣ የቅጹ እኩልታ ሥር = b x = b:a ነው።

ማለትም X = 49፡7 = 7 ማለት ነው።

ስልተ ቀመር ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር የእኩልታ ሥሮችን ለማግኘት።

1. በቀመርው በግራ በኩል ተመሳሳይ ቃላትን ይሰብስቡ እና የተቀሩትን ቃላት በቀመር በቀኝ በኩል ይሰብስቡ።
2. ተመሳሳይ ውሎችን ይስጡ.
3. እኩልታውን ወደ ቅጽ መጥረቢያ = b ቀንስ።
4. ቀመሩን x = b:a በመጠቀም ሥሮቹን ይፈልጉ።

ማስታወሻ. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ አንድ ተለዋዋጭ ወደ ማናቸውም ኃይል ሲነሳ እነዚያን ጉዳዮች ግምት ውስጥ አላስገባንም. በሌላ አነጋገር የአንደኛ ዲግሪ እኩልታዎችን ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር ተመልክተናል።

ትምህርት 26. ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር እኩልታዎች

1. የአንድ እኩልታ ጽንሰ-ሐሳብ ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር

2. ተመጣጣኝ እኩልታዎች. በእኩልታዎች እኩልነት ላይ ያሉ ንድፈ ሃሳቦች

3. እኩልታዎችን ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር መፍታት

ከተለዋዋጭ ጋር ሁለት መግለጫዎችን እንውሰድ፡ 4 Xእና 5 X+ 2. እነሱን በእኩል ምልክት በማገናኘት, አረፍተ ነገሩን እናገኛለን 4x= 5X+ 2. ተለዋዋጭ ይዟል እና የተለዋዋጭ እሴቶችን ሲተካ ወደ መግለጫነት ይለወጣል. ለምሳሌ, መቼ x =-2 ቅናሽ 4x= 5X+ 2 ወደ እውነተኛው የቁጥር እኩልነት ይቀየራል 4 · (-2) = 5 · (-2) + 2፣ እና መቼ x = 1 - ወደ ሐሰት 4 1 = 5 1 + 2. ስለዚህ, ዓረፍተ ነገሩ 4x = 5x + 2ገላጭ ቅርጽ አለ. ብለው ይጠሯታል። ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር እኩልነት.

ውስጥ አጠቃላይ እይታከአንድ ተለዋዋጭ ጋር እኩልነት እንደሚከተለው ሊገለፅ ይችላል-

ፍቺ f(x) እና g(x) ከተለዋዋጭ x እና የትርጉም ጎራ ጋር ሁለት አገላለጾች ይሁኑ።ከዚያም የፎርሙ ገላጭ ቅርጽ f(x) = g(x) ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር እኩልነት ይባላል።

ተለዋዋጭ እሴት Xከብዙ X፣በዚህ ጊዜ እኩልታው ወደ እውነተኛ የቁጥር እኩልነት ይባላል የእኩልታ ሥር(ወይም የእሱ ውሳኔ). እኩልታውን ይፍቱ -ብዙ ሥሮቹን ማግኘት ማለት ነው።

ስለዚህ, የእኩልታው ሥር 4x = 5x+ 2፣ በስብስቡ ላይ ብናስበው አርየእውነተኛ ቁጥሮች ቁጥር -2 ነው. ይህ እኩልነት ሌላ ሥሮች የሉትም። ይህ ማለት የሥሩ ስብስብ (-2) ነው.

የእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ እኩልታውን ይስጥ ( X - 1) (x+ 2) = 0. ሁለት ሥሮች አሉት - ቁጥሮች 1 እና -2. ስለዚህ, የዚህ እኩልታ ሥሮች ስብስብ: (-2,-1).

እኩልታው (3x + 1)-2 = 6X+ 2 ፣ በእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ ላይ የተገለጸ ፣ ለሁሉም የተለዋዋጭ እውነተኛ እሴቶች እውነተኛ የቁጥር እኩልነት ይሆናል። X: በግራ በኩል ያሉትን ቅንፎች ከከፈትን, እናገኛለን 6x + 2 = 6x + 2።በዚህ ሁኔታ, ሥሩ ማንኛውም እውነተኛ ቁጥር ነው እንላለን, እና የስርወቹ ስብስብ የሁሉም እውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ ነው.

እኩልታው (3x+ 1) 2 = 6 X+ 1 ፣ በእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ ላይ የተገለጸ ፣ ለማንኛውም እውነተኛ እሴት ወደ እውነተኛ የቁጥር እኩልነት አይለወጥም X፡በግራ በኩል ያሉትን ቅንፎች ከከፈትን በኋላ 6 እናገኛለን X + 2 = 6x + 1, ለማንኛውም የማይቻል ነው X.በዚህ ሁኔታ, የተሰጠው እኩልነት ሥሮች የሉትም እና የሥሩ ስብስብ ባዶ ነው እንላለን.

ማንኛውንም እኩልታ ለመፍታት በመጀመሪያ ይቀየራል, በሌላኛው ይተካዋል, ቀላል; የተገኘው እኩልታ እንደገና ተለውጧል, በቀላል መተካት, ወዘተ. ሥሮቹ በሚታወቁበት መንገድ ሊገኙ የሚችሉበት እኩልታ እስኪገኝ ድረስ ይህ ሂደት ይቀጥላል. ነገር ግን እነዚህ ሥሮች የአንድ የተወሰነ እኩልታ ሥር እንዲሆኑ፣ የለውጡ ሂደት የስሮቻቸው ስብስቦች የሚገጣጠሙ እኩልታዎችን ማፍራት አስፈላጊ ነው። እንደዚህ ያሉ እኩልታዎች ይባላሉ ተመጣጣኝ.

በትምህርት ቤት ውስጥ ሩሲያኛን በምታጠናበት ጊዜ ብዙዎች ተገረሙ-ለምን ቃሉ ግልጽ በኩል ተጽፏል ሀ , ምክንያቱም የፈተና ቃል ለስላሳ በኩል ተጽፏል ኦ ? በእውነቱ መልሱ ቀላል ነው። ከሁሉም በላይ, ሜዳው ተብሎ የሚጠራው ሁሉም ነጥቦቹ ስለሚገኙ ነው በእኩል ደረጃ ርቀት (ከባህር ወለል) እና ለእሱ የሙከራ ቃል - እኩል ነው።.

ስለ ትርጉም፡- ከተለዋዋጭ x ጋር ያለው እኩልነት የ A(x)=B(x) ቅጽ እኩልነት ሲሆን A(x) እና B(x) የ x መግለጫዎች ናቸው። ስብስብትክክለኛ የቁጥር እኩልነትን ለማግኘት የ x የ T እሴቶች ወደ ቀመር ሲቀየሩ ይባላሉ። እውነት ስብስብየተሰጠው እኩልታ ወይም ውሳኔየዚህ እኩልታ, እና እያንዳንዱ እንደዚህ ያለ ዋጋተለዋዋጭ - የእኩልታ ሥር.

ስለዚህ ግልጽ ይሆናል የማንኛውም እኩልታ መሠረት እኩልነት ነው።ኦየእሱ ሁለት ክፍሎች. እና እኩልታዎችን በሚፈታበት ጊዜ, አንድ ሰው በእሱ ክፍሎች ላይ ሲሰራ, ይህ እኩልነት ሁል ጊዜ መከበር አለበት.

እኩልታዎችን ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር የመፍታት ዘዴዎች

አለ። ትልቅ መጠንበጣም ብዙ የተለያዩ ዓይነቶችጥቅም ላይ የሚውሉትን ለመፍታት እኩልታዎች የተለያዩ መንገዶች. ግን እኩልታዎችን በቀላሉ ለመፍታት ሶስት መሰረታዊ ዘዴዎችን ማወቅ ያስፈልግዎታል-

የእኩልታዎች ተመሳሳይ ለውጥ

መግለጫ መፍጠር

አዲስ ተለዋዋጭ በማስተዋወቅ ላይ

የእኩልታዎች ተመሳሳይ ለውጦች

በጣም ቀላሉ እና በተመሳሳይ ጊዜ እኩልታዎችን ለመፍታት በጣም የተለመዱ መንገዶች አንዱ የማንነት ለውጦች ዘዴ ነው። ውስጥ ማንኛውም እኩልታዎችያልታወቀን ለማግኘት ዋናውን ምሳሌ መቀየር እና ማቃለል ያስፈልግዎታል። እና ስለዚህ በሚቀይሩበት ጊዜ መልክ የእኩልታው ይዘት አልተለወጠም።እንደዚህ አይነት ለውጦች ይባላሉ ተመሳሳይወይም ተመጣጣኝ. የአልጀብራ መግለጫዎችን ተመሳሳይ ለውጦችን ዋና ዘዴዎችን እንመልከት።

የማንነት ለውጦች ምሳሌዎች እና ቀመሮች፡-

የመጀመሪያ የማንነት ለውጥ; በማናቸውም እኩልታ በሁለቱም በኩል መጨመር (መቀነስ) ይችላሉ ማንኛውም(አንድ እና አንድ አይነት!) ቁጥር ​​ወይም አገላለጽ (ከማይታወቅ አገላለጽ ጋር!) ይህ የእኩልቱን ይዘት አይለውጠውም።

ምሳሌ፡ 9 x 2 + 12x+ 10 = 15x+ 10 → ከሁለቱም ወገን አስር ቀንስ → 9 x 2 + 12x = 15x

ሁለተኛ የማንነት ለውጥ: የእኩልታ ውሎችን ከአንዱ ጎን ወደ ሌላው በተቃራኒ ምልክቶች ማስተላለፍ።

ምሳሌ፡ 9 x 2 + 12x = 15x→ 15x ወደ ግራ → 9 ይውሰዱ x 2 + 12x — 15x =0ከማቅለል በኋላ: 9 x 2 - 3x =0

ሦስተኛው የማንነት ለውጥ፡- የእኩልታው ሁለቱም ወገኖች በተመሳሳይ ነገር ሊባዙ (መከፋፈል) ይችላሉ። ዜሮ ያልሆነቁጥር ወይም አገላለጽ. እዚህ ሊረዳ የሚችል ገደብ አስቀድሞ ይታያል፡ በዜሮ ማባዛት ደደብ ነው፣ እና መከፋፈል ሙሉ በሙሉ የማይቻል ነው።

ምሳሌ፡ 9 x 2 - 3x =0 →የእኩልታውን ሁለቱንም ጎኖች በሶስት ይከፋፍሉ → 3x 2 - x =0

አራተኛው የማንነት ለውጥ፡- ይችላል የእኩልታውን ሁለቱንም ጎኖች ወደ ያልተለመደ ኃይል ያሳድጉወይም ማውጣትየእኩልታው የሁለቱም ወገኖች ያልተለመደ ሥር. እንደሚከተለው መታወስ አለበት።

ሀ) ግንባታ በ እንኳንሊያስከትል ይችላል ለመሸመትውጫዊ ሥሮች;
ለ) ስህተትማውጣት ሥር እንኳንሊያስከትል ይችላል ሥሮቹን ማጣት.

ምሳሌ፡- 49 x 2 = 1225 → የሁለቱም ክፍሎች ካሬ ሥር → | 7 x| = 35

መግለጫ መፍጠር

አሁን ፖሊኖሚሎችን ለመሥራት በጣም የተለመዱትን አንዳንድ ቴክኒኮችን እንዘርዝር፣ እንደ ቀላሉ አልጀብራ።

የጋራውን ሁኔታ ከቅንፍ ማውጣት

ሁሉም የፖሊኖሚል ቃላቶች አንድ አይነት የጋራ ምክንያት ሲኖራቸው ከቅንፍ ውስጥ ሊወጣ ይችላል, በዚህም የፖሊኖሚል መስፋፋትን ያገኛል.
ምሳሌ፡ ብዙ ቁጥር ያለው x 5 – 2x 3 + x 2 ምክንያት።
መፍትሄ፡ እያንዳንዱ የዚህ ፖሊኖሚል ቃል ፋክተር x 2 ይይዛል። ከቅንፉ አውጥተን መልሱን እናግኝ፡-

x 5 – 2x 3 + x 2 = x 2 (x 3 – 2x + 1)።

የአህጽሮት ማባዛት ቀመሮችን መተግበር

ፖሊኖሚል ሲፈጠር ምህጻረ ቃላት በጣም ውጤታማ በሆነ መንገድ ጥቅም ላይ ይውላሉ። የሚከተሉትን ቀመሮች ማስታወስ ጠቃሚ ነው.

1. የሁለት መጠኖች ድምር ካሬ ከመጀመሪያው ሲደመር ሁለት ጊዜ የአንደኛው ምርት እና የሁለተኛው የሁለተኛው ካሬ ካሬ ጋር እኩል ነው።

(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2

2. በሁለት መጠኖች መካከል ያለው ልዩነት ካሬ ከመጀመሪያው ካሬ ሁለት ጊዜ ሲቀነስ የመጀመሪያው እና የሁለተኛው ሲደመር የሁለተኛው ካሬ።

(a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2

3. የሁለት መጠኖች ድምር ውጤት እና ልዩነታቸው ከካሬዎቻቸው ልዩነት ጋር እኩል ነው.

(a+b)(a-b)=a 2-b 2

4. የሁለት መጠኖች ድምር ኪዩብ ከመጀመሪያው የካሬው ምርት ጋር እኩል ነው እና የሁለተኛው እና የሁለተኛው እና የሁለተኛው ካሬ ምርት ሶስት እጥፍ ሲደመር .

(a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

5. በሁለት መጠኖች መካከል ያለው ልዩነት ኪዩብ ከመጀመሪያው ካሬው ኩብ ጋር እኩል ነው የመጀመሪያው እና የሁለተኛው ካሬ የሶስትዮሽ ምርት ሲደመር የአንደኛው ሶስት እጥፍ ምርት በሁለተኛው ካሬ ሲቀነስ የሁለተኛው ኩብ ሲቀነስ .

(a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3

6. የሁለት መጠኖች ድምር ውጤት እና የልዩነቱ ከፊል ካሬ ከኩቦቻቸው ድምር ጋር እኩል ነው።

(a+b)(a 2 -ab+b 2)=a 3 +b 3

7. የሁለት መጠኖች ልዩነት በድምሩ ከፊል ካሬ ያለው ምርት ከኩቦቻቸው ልዩነት ጋር እኩል ነው.

(a-b)(a 2 +ab+b 2)=a 3-b 3

ለምሳሌ: (3x+5) 2 =9x 2 +30x+25=0

መፍትሄ፡ ቀመር በመጠቀም (1) 9x 2 +30x+25=(3x+5) 2

ምርጫን በመተግበር ላይ ሙሉ ካሬ

ያለ ማጋነን, የተሟላ ካሬን የመለየት ዘዴ በጣም ከሚባሉት ውስጥ አንዱ ነው ማለት እንችላለን ውጤታማ ዘዴዎችበሚያልፉበት ጊዜ ጥቅም ላይ የሚውለው ፋክተሬሽን እና

ትምህርት 26. ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር እኩልታዎች

1. የአንድ እኩልታ ጽንሰ-ሐሳብ ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር

2. ተመጣጣኝ እኩልታዎች. በእኩልታዎች እኩልነት ላይ ያሉ ንድፈ ሃሳቦች

3. እኩልታዎችን ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር መፍታት

ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር እኩልታዎች

ከተለዋዋጭ ጋር ሁለት መግለጫዎችን እንውሰድ፡ 4 Xእና 5 X+ 2. እነሱን በእኩል ምልክት በማገናኘት, አረፍተ ነገሩን እናገኛለን 4x= 5X+ 2. ተለዋዋጭ ይዟል እና የተለዋዋጭ እሴቶችን ሲተካ ወደ መግለጫነት ይለወጣል. ለምሳሌ, መቼ x =-2 ቅናሽ 4x= 5X+ 2 ወደ እውነተኛው የቁጥር እኩልነት ይቀየራል 4 · (-2) = 5 · (-2) + 2፣ እና መቼ x = 1 - ወደ ሐሰት 4 1 = 5 1 + 2. ስለዚህ, ዓረፍተ ነገሩ 4x = 5x + 2ገላጭ ቅርጽ አለ. ብለው ይጠሯታል። ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር እኩልነት.

በአጠቃላይ፣ ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር እኩልነት እንደሚከተለው ሊገለፅ ይችላል።

ፍቺ f(x) እና g(x) ከተለዋዋጭ x እና የትርጉም ጎራ ጋር ሁለት አገላለጾች ይሁኑ።ከዚያም የፎርሙ ገላጭ ቅርጽ f(x) = g(x) ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር እኩልነት ይባላል።

ተለዋዋጭ እሴት Xከብዙ X፣በዚህ ጊዜ እኩልታው ወደ እውነተኛ የቁጥር እኩልነት ይባላል የእኩልታ ሥር(ወይም የእሱ ውሳኔ). እኩልታውን ይፍቱ -ብዙ ሥሮቹን ማግኘት ማለት ነው።

ስለዚህ, የእኩልታው ሥር 4x = 5x+ 2፣ በስብስቡ ላይ ብናስበው አርየእውነተኛ ቁጥሮች ቁጥር -2 ነው. ይህ እኩልነት ሌላ ሥሮች የሉትም። ይህ ማለት የሥሩ ስብስብ (-2) ነው.

የእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ እኩልታውን ይስጥ ( X - 1) (x+ 2) = 0. ሁለት ሥሮች አሉት - ቁጥሮች 1 እና -2. ስለዚህ, የዚህ እኩልታ ሥሮች ስብስብ: (-2,-1).

እኩልታው (3x + 1)-2 = 6X+ 2 ፣ በእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ ላይ የተገለጸ ፣ ለሁሉም የተለዋዋጭ እውነተኛ እሴቶች እውነተኛ የቁጥር እኩልነት ይሆናል። X: በግራ በኩል ያሉትን ቅንፎች ከከፈትን, እናገኛለን 6x + 2 = 6x + 2።በዚህ ሁኔታ, ሥሩ ማንኛውም እውነተኛ ቁጥር ነው እንላለን, እና የስርወቹ ስብስብ የሁሉም እውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ ነው.

እኩልታው (3x+ 1) 2 = 6 X+ 1 ፣ በእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ ላይ የተገለጸ ፣ ለማንኛውም እውነተኛ እሴት ወደ እውነተኛ የቁጥር እኩልነት አይለወጥም X፡በግራ በኩል ያሉትን ቅንፎች ከከፈትን በኋላ 6 እናገኛለን X + 2 = 6x + 1, ለማንኛውም የማይቻል ነው X.በዚህ ሁኔታ, የተሰጠው እኩልነት ሥሮች የሉትም እና የሥሩ ስብስብ ባዶ ነው እንላለን.

ማንኛውንም እኩልታ ለመፍታት በመጀመሪያ ይቀየራል, በሌላኛው ይተካዋል, ቀላል; የተገኘው እኩልታ እንደገና ተለውጧል, በቀላል መተካት, ወዘተ. ሥሮቹ በሚታወቁበት መንገድ ሊገኙ የሚችሉበት እኩልታ እስኪገኝ ድረስ ይህ ሂደት ይቀጥላል. ነገር ግን እነዚህ ሥሮች የአንድ የተወሰነ እኩልታ ሥር እንዲሆኑ፣ የለውጡ ሂደት የስሮቻቸው ስብስቦች የሚገጣጠሙ እኩልታዎችን ማፍራት አስፈላጊ ነው። እንደዚህ ያሉ እኩልታዎች ይባላሉ ተመጣጣኝ.