কিভাবে মৌলিক সংখ্যা খুঁজে বের করতে? রহস্যময় মৌলিক সংখ্যা।

ভাজকদের গণনা।সংজ্ঞা অনুসারে, সংখ্যা nপ্রাইম শুধুমাত্র যদি এটি 2 দ্বারা সমানভাবে বিভাজ্য না হয় এবং 1 এবং নিজে ছাড়া অন্যান্য পূর্ণসংখ্যা। উপরের সূত্রটি অপ্রয়োজনীয় পদক্ষেপগুলি সরিয়ে দেয় এবং সময় বাঁচায়: উদাহরণস্বরূপ, একটি সংখ্যা 3 দ্বারা বিভাজ্য কিনা তা পরীক্ষা করার পরে, এটি 9 দ্বারা বিভাজ্য কিনা তা পরীক্ষা করার দরকার নেই।

• ফ্লোর(x) ফাংশনটি x কে নিকটতম পূর্ণসংখ্যাতে বৃত্তাকার করে যা x এর থেকে কম বা সমান।

মডুলার পাটিগণিত সম্পর্কে জানুন।অপারেশন হল "x mod y" (mod এর জন্য সংক্ষিপ্ত ল্যাটিন শব্দ"মডুলো" মানে "x দিয়ে y ভাগ করুন এবং অবশিষ্টটি খুঁজুন।" অন্য কথায়, মডুলার পাটিগণিতে, একটি নির্দিষ্ট মান পৌঁছানোর পরে, যাকে বলা হয় মডিউল, সংখ্যাগুলি আবার শূন্যে "বাঁক"। উদাহরণস্বরূপ, একটি ঘড়ি 12 এর মডুলাসের সাথে সময় রাখে: এটি 10, 11 এবং 12 বাজে এবং তারপর 1 এ ফিরে আসে।

• অনেক ক্যালকুলেটরের একটি মোড কী থাকে। এই বিভাগের শেষ দেখায় কিভাবে এই ফাংশনটি ম্যানুয়ালি গণনা করতে হয় বড় সংখ্যা.

সংখ্যাগুলি ভিন্ন হতে পারে: প্রাকৃতিক, যুক্তিযুক্ত, যুক্তিযুক্ত, পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশ, ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক, জটিল এবং সরল, বিজোড় এবং জোড়, বাস্তব ইত্যাদি। এই নিবন্ধটি থেকে আপনি জানতে পারবেন কি মৌলিক সংখ্যা.

কোন সংখ্যাকে ইংরেজিতে "সহজ" বলা হয়?

প্রায়শই, স্কুলের ছেলেমেয়েরা মৌলিক সংখ্যা কী তা সম্পর্কে প্রথম নজরে গণিতের সহজতম প্রশ্নের উত্তর দিতে জানে না। তারা প্রায়শই প্রাকৃতিক সংখ্যার সাথে মৌলিক সংখ্যাগুলিকে বিভ্রান্ত করে (অর্থাৎ, মানুষ যে সংখ্যাগুলি ব্যবহার করে বস্তু গণনা করার সময়, কিছু উত্সে তারা শূন্য দিয়ে শুরু করে এবং অন্যগুলিতে একটি দিয়ে)। কিন্তু এটা সম্পূর্ণ দুই বিভিন্ন ধারণা. প্রাইম সংখ্যা হল প্রাকৃতিক সংখ্যা, অর্থাৎ পূর্ণসংখ্যা এবং ধনাত্মক সংখ্যা যেগুলি একের চেয়ে বড় এবং যার মাত্র 2টি প্রাকৃতিক ভাজক রয়েছে। অধিকন্তু, এই ভাজকের একটি হল প্রদত্ত সংখ্যা, এবং দ্বিতীয়টি হল একটি। উদাহরণস্বরূপ, তিনটি একটি মৌলিক সংখ্যা কারণ এটি একটি অবশিষ্টাংশ ছাড়া নিজেকে এবং একটি ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না।

যৌগিক সংখ্যা

মৌলিক সংখ্যার বিপরীত হল যৌগিক সংখ্যা। এগুলিও প্রাকৃতিক, একের চেয়েও বড়, তবে দুটি নয়, অনেক বেশি সংখ্যক ভাজক রয়েছে। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, 4, 6, 8, 9, ইত্যাদি সংখ্যাগুলি প্রাকৃতিক, যৌগিক, কিন্তু মৌলিক সংখ্যা নয়। আপনি দেখতে পাচ্ছেন, এগুলি বেশিরভাগ জোড় সংখ্যা, তবে সবগুলি নয়। কিন্তু "দুই" হল একটি জোড় সংখ্যা এবং মৌলিক সংখ্যাগুলির একটি সিরিজের "প্রথম সংখ্যা"।

পরবর্তী

মৌলিক সংখ্যাগুলির একটি সিরিজ তৈরি করতে, সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যা থেকে নির্বাচন করা প্রয়োজন, তাদের সংজ্ঞা বিবেচনা করে, অর্থাৎ, আপনাকে দ্বন্দ্ব দ্বারা কাজ করতে হবে। এটা প্রাকৃতিক প্রতিটি বিবেচনা করা প্রয়োজন ইতিবাচক সংখ্যাদুইটির বেশি ভাজক আছে কিনা তা দেখতে। আসুন মৌলিক সংখ্যা নিয়ে একটি সিরিজ (ক্রম) তৈরি করার চেষ্টা করি। তালিকাটি দুটি দিয়ে শুরু হয়, তারপরে তিনটি, যেহেতু এটি কেবল নিজেই এবং একটি দ্বারা বিভাজ্য। চার নম্বর বিবেচনা করুন। এটার কি চার এবং এক ছাড়া অন্য ভাজক আছে? হ্যাঁ, সেই সংখ্যাটি 2। তাই চারটি মৌলিক সংখ্যা নয়। পাঁচটিও মৌলিক (এটি 1 এবং 5 ছাড়া অন্য কোন সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য নয়), তবে ছয়টি বিভাজ্য। এবং সাধারণভাবে, আপনি যদি সমস্ত জোড় সংখ্যা অনুসরণ করেন, আপনি লক্ষ্য করবেন যে "দুটি" ছাড়া, তাদের কোনটিই মৌলিক নয়। এ থেকে আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে জোড় সংখ্যা, দুটি ছাড়া, মৌলিক নয়। আরেকটি আবিষ্কার: তিনটি দ্বারা বিভাজ্য সমস্ত সংখ্যা, তিনটি ব্যতীত, জোড় বা বিজোড় হোক না কেন, তাও মৌলিক নয় (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ইত্যাদি)। পাঁচ এবং সাত দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যার ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য। তাদের সমস্ত ভিড়ও সহজ নয়। আসুন সংক্ষিপ্ত করা যাক। সুতরাং, সরল একক-সংখ্যার মধ্যে এক এবং নয়টি ছাড়া সমস্ত বিজোড় সংখ্যা অন্তর্ভুক্ত, এবং এমনকি "দুই"ও জোড় সংখ্যা। দশগুলি নিজেই (10, 20,... 40, ইত্যাদি) সহজ নয়। দুই-অঙ্ক, তিন-অঙ্ক ইত্যাদি মৌলিক সংখ্যাগুলি উপরোক্ত নীতিগুলির উপর ভিত্তি করে নির্ধারণ করা যেতে পারে: যদি তাদের নিজেদের এবং একটি ছাড়া অন্য কোন ভাজক না থাকে।

মৌলিক সংখ্যার বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে তত্ত্ব

একটি বিজ্ঞান আছে যা মৌলিক সংখ্যা সহ পূর্ণসংখ্যার বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করে। এটি উচ্চতর নামক গণিতের একটি শাখা। পূর্ণসংখ্যার বৈশিষ্ট্যগুলি ছাড়াও, তিনি বীজগণিত এবং ট্রান্সসেন্ডেন্টাল সংখ্যাগুলির পাশাপাশি এই সংখ্যাগুলির গাণিতিক সম্পর্কিত বিভিন্ন উত্সের ফাংশন নিয়েও কাজ করেন। এই গবেষণায়, প্রাথমিক ছাড়াও এবং বীজগণিত পদ্ধতি, বিশ্লেষণাত্মক এবং জ্যামিতিক এছাড়াও ব্যবহার করা হয়. বিশেষ করে, "সংখ্যা তত্ত্ব" মৌলিক সংখ্যার অধ্যয়নের সাথে সম্পর্কিত।

প্রাইম সংখ্যা হল প্রাকৃতিক সংখ্যার "বিল্ডিং ব্লক"

পাটিগণিতের মধ্যে মৌলিক উপপাদ্য নামে একটি উপপাদ্য আছে। এটি অনুসারে, একটি ব্যতীত যে কোনও প্রাকৃতিক সংখ্যাকে একটি গুণফল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যার গুণনীয়কগুলি মৌলিক সংখ্যা এবং গুণনীয়কগুলির ক্রম অনন্য, যার অর্থ উপস্থাপনের পদ্ধতিটি অনন্য। একে পচন বলে স্বাভাবিক সংখ্যাপ্রধান কারণের মধ্যে। এই প্রক্রিয়ার আরেকটি নাম আছে - সংখ্যার ফ্যাক্টরাইজেশন। এর ভিত্তিতে মৌলিক সংখ্যা বলা যেতে পারে “ বিল্ডিং উপাদান", "ব্লক" প্রাকৃতিক সংখ্যা নির্মাণের জন্য।

মৌলিক সংখ্যা অনুসন্ধান করুন. সরলতা পরীক্ষা

বিভিন্ন সময়ের অনেক বিজ্ঞানী মৌলিক সংখ্যার তালিকা বের করার জন্য কিছু নীতি (সিস্টেম) খুঁজে বের করার চেষ্টা করেছেন। বিজ্ঞান অ্যাটকিন চালুনি, সুন্দরথাম চালুনি এবং ইরাটোস্থেনিস চালুনি নামে পরিচিত সিস্টেমগুলি সম্পর্কে জানে। যাইহোক, তারা কোন উল্লেখযোগ্য ফলাফল দেয় না, এবং মৌলিক সংখ্যা খুঁজে পেতে একটি সাধারণ পরীক্ষা ব্যবহার করা হয়। গণিতবিদরাও অ্যালগরিদম তৈরি করেছিলেন। এগুলিকে সাধারণত প্রাথমিক পরীক্ষা বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, রাবিন এবং মিলার দ্বারা উন্নত একটি পরীক্ষা আছে। এটি ক্রিপ্টোগ্রাফারদের দ্বারা ব্যবহৃত হয়। কায়াল-আগ্রওয়াল-সাসকেনা পরীক্ষাও আছে। যাইহোক, যথেষ্ট নির্ভুলতা সত্ত্বেও, এটি গণনা করা খুব কঠিন, যা এর ব্যবহারিক তাত্পর্যকে হ্রাস করে।

মৌলিক সংখ্যার সেটের কি কোনো সীমা আছে?

প্রাচীন গ্রীক বিজ্ঞানী ইউক্লিড তার বই "এলিমেন্টস" এ লিখেছেন যে প্রাইমগুলির সেটটি অসীম। তিনি বলেছেন: “এক মুহূর্তের জন্য কল্পনা করা যাক যে মৌলিক সংখ্যার একটি সীমা আছে। তারপর একে অপরের সাথে তাদের সংখ্যাবৃদ্ধি করা যাক, এবং একটি পণ্য যোগ করুন. এই সংখ্যা থেকে ফলাফল সহজ কর্ম, মৌলিক সংখ্যার কোনো একটি দ্বারা ভাগ করা যাবে না, কারণ অবশিষ্টাংশ সবসময় একটি হবে। এর অর্থ হল আরও কিছু সংখ্যা রয়েছে যা এখনও মৌলিক সংখ্যার তালিকায় অন্তর্ভুক্ত হয়নি। অতএব, আমাদের অনুমান সত্য নয়, এবং এই সেটের একটি সীমা থাকতে পারে না। ইউক্লিডের প্রমাণ ছাড়াও, অষ্টাদশ শতাব্দীর সুইস গণিতবিদ লিওনহার্ড অয়লারের দেওয়া আরও আধুনিক সূত্র রয়েছে। এটি অনুসারে, প্রথম n সংখ্যার যোগফলের যোগফল n সংখ্যা বাড়ার সাথে সাথে সীমাহীনভাবে বৃদ্ধি পায়। এবং এখানে মৌলিক সংখ্যার বণ্টন সংক্রান্ত উপপাদ্যটির সূত্র: (n) n/ln (n) হিসাবে বৃদ্ধি পায়।

বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা কি?

একই লিওনার্ড অয়লার তার সময়ের সবচেয়ে বড় মৌলিক সংখ্যা বের করতে সক্ষম হয়েছিলেন। এটি হল 2 31 - 1 = 2147483647৷ যাইহোক, 2013 সালের মধ্যে, মৌলিক সংখ্যাগুলির তালিকায় আরেকটি সবচেয়ে সঠিক গণনা করা হয়েছিল - 2 57885161 - 1. এটিকে মারসেন নম্বর বলা হয়। এতে প্রায় 17 মিলিয়ন দশমিক সংখ্যা রয়েছে। আপনি দেখতে পাচ্ছেন, অষ্টাদশ শতাব্দীর একজন বিজ্ঞানী যে সংখ্যাটি খুঁজে পেয়েছেন তা এর চেয়ে কয়েকগুণ ছোট। এটি হওয়া উচিত ছিল, কারণ অয়লার এই গণনাটি ম্যানুয়ালি করেছিলেন, কিন্তু আমাদের সমসাময়িক সম্ভবত সাহায্য করেছিলেন কম্পিউটার. তদুপরি, এই নম্বরটি আমেরিকার একটি অনুষদের গণিত অনুষদে প্রাপ্ত হয়েছিল। এই বিজ্ঞানীর নামকৃত সংখ্যাগুলি লুক-লেমায়ার প্রাইমালিটি পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হয়। যাইহোক, বিজ্ঞান সেখানে থামতে চায় না। ইলেকট্রনিক ফ্রন্টিয়ার ফাউন্ডেশন, যেটি 1990 সালে মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রে (EFF) প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল, বড় মৌলিক সংখ্যা খুঁজে বের করার জন্য একটি আর্থিক পুরস্কারের প্রস্তাব দিয়েছে৷ এবং যদি 2013 সাল পর্যন্ত এই পুরষ্কারটি সেই বিজ্ঞানীদের দেওয়া হয় যারা তাদের 1 এবং 10 মিলিয়নের মধ্যে থেকে খুঁজে পাবে দশমিক সংখ্যা, তাহলে আজ এই সংখ্যা 100 মিলিয়ন থেকে 1 বিলিয়নে পৌঁছেছে। পুরষ্কারগুলি 150 থেকে 250 হাজার মার্কিন ডলার পর্যন্ত।

বিশেষ মৌলিক সংখ্যার নাম

যে সংখ্যাগুলি নির্দিষ্ট বিজ্ঞানীদের দ্বারা তৈরি অ্যালগরিদমের জন্য পাওয়া গেছে এবং সরলতা পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হয়েছে সেগুলিকে বিশেষ বলা হয়। এখানে তাদের কিছু আছে:

1. মারসেন।

4. কুলেন।

6. মিলস এট আল।

এই সংখ্যাগুলির সরলতা, উপরের বিজ্ঞানীদের নামে নামকরণ করা হয়েছে, নিম্নলিখিত পরীক্ষাগুলি ব্যবহার করে প্রতিষ্ঠিত হয়েছে:

1. লুক-লেমায়ার।

2. পেপিনা।

3. রিসেল।

4. বিলহার্ট - লেমায়ার - সেলফ্রিজ এবং অন্যান্য।

আধুনিক বিজ্ঞান সেখানে থামে না, এবং সম্ভবত অদূর ভবিষ্যতে বিশ্ব তাদের নাম শিখবে যারা সবচেয়ে বড় মৌলিক সংখ্যা খুঁজে পেয়ে $250,000 পুরস্কার জিততে সক্ষম হয়েছিল।

মানুষ প্রাচীনকালে জানত যে এমন সংখ্যা রয়েছে যা অন্য কোন সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য নয়। মৌলিক সংখ্যার ক্রমটি এরকম কিছু দেখায়:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61 …

এই সংখ্যার অসীম অনেক আছে তার প্রমাণও দিয়েছিলেন ইউক্লিড, যিনি 300 খ্রিস্টপূর্বাব্দে বসবাস করতেন। প্রায় একই বছর, আরেক গ্রীক গণিতবিদ, ইরাটোসথেনিস, মৌলিক সংখ্যাগুলি পাওয়ার জন্য একটি মোটামুটি সহজ অ্যালগরিদম নিয়ে এসেছিল, যার সারমর্মটি ছিল সারণি থেকে ক্রমিকভাবে সংখ্যাগুলিকে ক্রস আউট করা। যে সমস্ত অবশিষ্ট সংখ্যা কোন কিছু দ্বারা বিভাজ্য ছিল না তারা মৌলিক ছিল। অ্যালগরিদমকে বলা হয় "ইরাটোসথেনেসের চালনি" এবং এর সরলতার কারণে (কোন গুণ বা ভাগ কাজ নেই, শুধুমাত্র যোগ), এখনও কম্পিউটার প্রযুক্তিতে ব্যবহৃত হয়।

স্পষ্টতই, ইতিমধ্যেই ইরাটোসথেনিসের সময় এটি স্পষ্ট হয়ে গিয়েছিল যে একটি সংখ্যা প্রাইম কিনা তার জন্য কোন স্পষ্ট মাপকাঠি ছিল না - এটি শুধুমাত্র পরীক্ষামূলকভাবে যাচাই করা যেতে পারে। আছে বিভিন্ন উপায়েপ্রক্রিয়াটি সহজ করার জন্য (উদাহরণস্বরূপ, এটি স্পষ্ট যে সংখ্যাটি জোড় হওয়া উচিত নয়), তবে একটি সাধারণ যাচাইকরণ অ্যালগরিদম এখনও পাওয়া যায়নি, এবং সম্ভবত পাওয়া যাবে না: একটি সংখ্যা মৌলিক কিনা তা খুঁজে বের করতে, আপনাকে অবশ্যই এটিকে ছোট এবং ছোট সংখ্যায় ভাগ করার চেষ্টা করতে হবে।

মৌলিক সংখ্যা কি কোন আইন মেনে চলে? হ্যাঁ, এবং তারা বেশ কৌতূহলী।

যেমন ফরাসি গণিতবিদ মারসেন 16 শতকে ফিরে তিনি আবিষ্কার করেছিলেন যে অনেক মৌলিক সংখ্যার 2^N - 1 ফর্ম রয়েছে, এই সংখ্যাগুলিকে মারসেন সংখ্যা বলা হয়। এর কিছুদিন আগে, 1588 সালে, ইতালীয় গণিতবিদ ড কাতালদিমৌলিক সংখ্যা 2 19 - 1 = 524287 আবিষ্কার করেছেন (মারসেন শ্রেণিবিন্যাস অনুসারে এটিকে M19 বলা হয়)। আজ এই সংখ্যাটি বেশ সংক্ষিপ্ত বলে মনে হচ্ছে, তবে এখন ক্যালকুলেটর দিয়ে এর সরলতা পরীক্ষা করতে অনেক দিন লাগবে, কিন্তু 16 শতকের জন্য এটি সত্যিই একটি বিশাল কাজ ছিল।

200 বছর পর গণিতবিদ অয়লারআরেকটি মৌলিক সংখ্যা পাওয়া গেছে 2 31 - 1 = 2147483647। আবার, প্রত্যেকে নিজেরাই গণনার প্রয়োজনীয় পরিমাণ কল্পনা করতে পারে। তিনি একটি হাইপোথিসিসও (পরবর্তীতে "অয়লার সমস্যা" বা "বাইনারী গোল্ডবাচ সমস্যা" নামে পরিচিত), যার সারমর্মটি সহজ: দুইটির চেয়ে বড় প্রতিটি জোড় সংখ্যা দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে।

উদাহরণস্বরূপ, আপনি যেকোনো 2টি জোড় সংখ্যা নিতে পারেন: 123456 এবং 888777888।

একটি কম্পিউটার ব্যবহার করে, আপনি দুটি মৌলিক সংখ্যার আকারে তাদের যোগফল খুঁজে পেতে পারেন: 123456 = 61813 + 61643 এবং 888777888 = 444388979 + 444388909। এখানে মজার বিষয় হল যে এই উপপাদ্যটির সঠিক প্রমাণ এখনও পাওয়া যায়নি। কম্পিউটারের সাহায্যে এটি 18 শূন্য সহ সংখ্যায় যাচাই করা হয়েছে।

গণিতবিদদের আরেকটি উপপাদ্য আছে পিয়েরে ফার্মাট, 1640 সালে আবিষ্কৃত হয়, যা বলে যে যদি একটি মৌলিক সংখ্যার ফর্ম 4*k+1 থাকে, তাহলে এটিকে অন্যান্য সংখ্যার বর্গক্ষেত্রের সমষ্টি হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, আমাদের উদাহরণে, মৌলিক সংখ্যা 444388909 = 4*111097227 + 1। এবং প্রকৃতপক্ষে, একটি কম্পিউটার ব্যবহার করে আপনি খুঁজে পেতে পারেন যে 444388909 = 19197*19197 + 8710*8710।

মাত্র 100 বছর পরে অয়লার দ্বারা উপপাদ্যটি প্রমাণিত হয়েছিল।

এবং অবশেষে বার্নহার্ড রিম্যান 1859 সালে, তথাকথিত "রিম্যান হাইপোথিসিস" একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার বেশি না হওয়া মৌলিক সংখ্যার বন্টনের সংখ্যা সম্পর্কে সামনে রাখা হয়েছিল। এই অনুমানটি এখনও প্রমাণিত হয়নি; এটি সাতটি "সহস্রাব্দ সমস্যার" তালিকায় অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে, যার প্রতিটির সমাধানের জন্য কেমব্রিজের ক্লে ইনস্টিটিউট অফ ম্যাথমেটিক্স এক মিলিয়ন মার্কিন ডলার পুরস্কার দিতে প্রস্তুত।

সুতরাং মৌলিক সংখ্যার সাথে এটি এত সহজ নয়। এছাড়াও আছে আশ্চর্যজনক তথ্য. উদাহরণস্বরূপ, 1883 সালে রাশিয়ান গণিতবিদ ড তাদের। পারভুশিনপার্ম জেলা থেকে 2 61 - 1 = সংখ্যার মৌলিকত্ব প্রমাণিত হয়েছে 2305843009213693951 . এমনকি এখন, পরিবারের ক্যালকুলেটরগুলি এত দীর্ঘ সংখ্যা নিয়ে কাজ করতে পারে না, তবে সেই সময়ে এটি সত্যিই একটি বিশাল কাজ ছিল এবং কীভাবে এটি করা হয়েছিল তা আজও খুব স্পষ্ট নয়। যদিও সত্যিই এমন মানুষ আছে যাদের মস্তিষ্কের অনন্য ক্ষমতা রয়েছে - উদাহরণস্বরূপ, অটিস্টিক লোকেরা তাদের মনের মধ্যে 8-সংখ্যার মৌলিক সংখ্যা খুঁজে পেতে সক্ষম বলে পরিচিত। তারা কীভাবে এটি করে তা স্পষ্ট নয়।

আধুনিকতা

মৌলিক সংখ্যা কি আজও প্রাসঙ্গিক? কিভাবে! প্রাইম সংখ্যাগুলি হল আধুনিক ক্রিপ্টোগ্রাফির ভিত্তি, তাই বেশিরভাগ লোকেরা এটি সম্পর্কে চিন্তা না করেই প্রতিদিন তাদের ব্যবহার করে। যেকোন প্রমাণীকরণ প্রক্রিয়া, উদাহরণস্বরূপ, একটি নেটওয়ার্কে একটি ফোন নিবন্ধন করা, ব্যাঙ্ক অর্থপ্রদান ইত্যাদির জন্য ক্রিপ্টোগ্রাফিক অ্যালগরিদম প্রয়োজন৷

এখানে ধারণাটির সারমর্মটি অত্যন্ত সহজ এবং অ্যালগরিদমের কেন্দ্রস্থলে রয়েছে আরএসএ, 1975 সালে আবার প্রস্তাবিত। প্রেরক এবং প্রাপক যৌথভাবে একটি তথাকথিত "ব্যক্তিগত কী" নির্বাচন করেন, যা একটি নিরাপদ স্থানে সংরক্ষণ করা হয়। এই কী, যেমন পাঠকরা সম্ভবত ইতিমধ্যেই অনুমান করেছেন, একটি মৌলিক সংখ্যা। দ্বিতীয় অংশটি হল "পাবলিক কী", এটি একটি সাধারণ সংখ্যা, যা প্রেরকের দ্বারা তৈরি করা হয় এবং এটি একটি সংবাদপত্রে প্রকাশ করা যেতে পারে। অ্যালগরিদমের সারমর্ম হল যে "বন্ধ অংশ" না জেনে, উত্স পাঠ্যটি পাওয়া অসম্ভব।

উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা দুটি মৌলিক সংখ্যা 444388979 এবং 444388909 নিই, তাহলে “ ব্যক্তিগত কী"444388979 হবে, এবং কাজটি 197481533549433911 (444388979*444388909) প্রকাশ্যে প্রেরণ করা হবে। শুধুমাত্র আপনার বাকি অর্ধেক জেনে আপনি অনুপস্থিত সংখ্যা গণনা করতে পারেন এবং এটি দিয়ে পাঠ্যটি পাঠোদ্ধার করতে পারেন।

এখানে কৌশল কি? বিন্দু হল যে দুটি মৌলিক সংখ্যার গুণফল গণনা করা কঠিন নয়, তবে বিপরীত ক্রিয়াকলাপটি বিদ্যমান নেই - আপনি যদি প্রথম অংশটি না জানেন তবে এই জাতীয় পদ্ধতি শুধুমাত্র পাশবিক শক্তি দ্বারা সঞ্চালিত হতে পারে। এবং যদি আপনি সত্যিই বড় মৌলিক সংখ্যা গ্রহণ করেন (উদাহরণস্বরূপ, 2000 অক্ষর দীর্ঘ), তাহলে তাদের পণ্যটি ডিকোড করতে এমনকি একটি আধুনিক কম্পিউটারেও বেশ কয়েক বছর সময় লাগবে (যার মধ্যে বার্তাটি দীর্ঘ সময়ের জন্য অপ্রাসঙ্গিক ছিল)।

এই স্কিমের প্রতিভা হল যে অ্যালগরিদম নিজেই গোপন কিছু নেই - এটি খোলা এবং সমস্ত ডেটা পৃষ্ঠে রয়েছে (অ্যালগরিদম এবং বড় মৌলিক সংখ্যার টেবিল উভয়ই পরিচিত)। সাইফার নিজেই, বরাবর সর্বজনীন কীযে কোন উপায়ে, যে কোন উপায়ে প্রেরণ করা যেতে পারে খোলা ফর্ম. কিন্তু প্রেরক যে চাবিটি বেছে নিয়েছেন তার গোপন অংশটি না জেনে আমরা এনক্রিপ্ট করা টেক্সট পাব না। উদাহরণস্বরূপ, আমরা বলতে পারি যে RSA অ্যালগরিদমের একটি বিবরণ 1977 সালে একটি ম্যাগাজিনে প্রকাশিত হয়েছিল এবং সেখানে একটি সাইফারের উদাহরণও দেওয়া হয়েছিল। শুধুমাত্র 1993 সালে, 600 জন স্বেচ্ছাসেবকের কম্পিউটারে বিতরণকৃত কম্পিউটিং এর সাহায্যে সঠিক উত্তর পাওয়া যায়।

সুতরাং মৌলিক সংখ্যাগুলি মোটেই এত সহজ নয় এবং তাদের গল্প স্পষ্টতই সেখানে শেষ হয় না।

• অনুবাদ

মৌলিক সংখ্যার বৈশিষ্ট্যগুলি প্রথম গণিতবিদদের দ্বারা অধ্যয়ন করা হয়েছিল প্রাচীন গ্রীস. পিথাগোরিয়ান স্কুলের গণিতবিদরা (500 - 300 BC) প্রাথমিকভাবে মৌলিক সংখ্যার রহস্যময় এবং সংখ্যাতাত্ত্বিক বৈশিষ্ট্যগুলিতে আগ্রহী ছিলেন। তারাই প্রথম নিখুঁত এবং বন্ধুত্বপূর্ণ সংখ্যা সম্পর্কে ধারণা নিয়ে আসে।

একটি নিখুঁত সংখ্যার নিজস্ব ভাজকের সমষ্টি তার নিজের সমান। উদাহরণস্বরূপ, 6 নম্বরের সঠিক ভাজক হল 1, 2 এবং 3। 1 + 2 + 3 = 6। 28 নম্বরের ভাজক হল 1, 2, 4, 7 এবং 14। তাছাড়া, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28।

সংখ্যাগুলিকে বন্ধুত্বপূর্ণ বলা হয় যদি একটি সংখ্যার সঠিক ভাজকের যোগফল অন্য একটি সংখ্যার সমান হয় এবং এর বিপরীতে - উদাহরণস্বরূপ, 220 এবং 284৷ আমরা বলতে পারি যে একটি নিখুঁত সংখ্যা নিজের জন্য বন্ধুত্বপূর্ণ৷

300 খ্রিস্টপূর্বাব্দে ইউক্লিডের উপাদানের সময় মৌলিক সংখ্যা সম্পর্কে বেশ কিছু গুরুত্বপূর্ণ তথ্য ইতিমধ্যেই প্রমাণিত হয়েছে। উপাদানগুলির IX বইতে, ইউক্লিড প্রমাণ করেছিলেন যে অসীম সংখ্যক মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। এটি, যাইহোক, দ্বন্দ্ব দ্বারা প্রমাণ ব্যবহার করার প্রথম উদাহরণগুলির মধ্যে একটি। তিনি পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্যও প্রমাণ করেছেন - প্রতিটি পূর্ণসংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যার গুণফল হিসাবে অনন্যভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে।

তিনি আরও দেখিয়েছেন যে 2n-1 সংখ্যাটি মৌলিক হলে 2n-1 * (2n-1) সংখ্যাটি নিখুঁত হবে। অন্য একজন গণিতবিদ, অয়লার, 1747 সালে দেখাতে সক্ষম হয়েছিলেন যে সমস্ত কিছু নিখুঁত সংখ্যাএই ফর্মে লেখা যাবে। আজ অবধি এটি অজানা যে বিজোড় নিখুঁত সংখ্যা বিদ্যমান কিনা।

200 খ্রিস্টপূর্বাব্দে। গ্রীক ইরাটোসথেনিস "Sieve of Eratosthenes" নামক মৌলিক সংখ্যা খুঁজে বের করার জন্য একটি অ্যালগরিদম নিয়ে এসেছিল।

এবং তারপর মধ্যযুগের সাথে যুক্ত মৌলিক সংখ্যার অধ্যয়নের ইতিহাসে একটি বড় বিরতি ছিল।

নিম্নলিখিত আবিষ্কারগুলি ইতিমধ্যে 17 শতকের শুরুতে গণিতবিদ ফার্মাট দ্বারা তৈরি করা হয়েছিল। তিনি অ্যালবার্ট গিরার্ডের অনুমান প্রমাণ করেছিলেন যে 4n+1 ফর্মের যেকোনো মৌলিক সংখ্যা দুটি বর্গক্ষেত্রের যোগফল হিসাবে স্বতন্ত্রভাবে লেখা যেতে পারে এবং এই উপপাদ্যটিও প্রণয়ন করেছিলেন যে যেকোনো সংখ্যাকে চারটি বর্গক্ষেত্রের যোগফল হিসাবে লেখা যেতে পারে।

তিনি বিকাশ করেছেন নতুন পদ্ধতিবৃহৎ সংখ্যার ফ্যাক্টরাইজেশন, এবং 2027651281 = 44021 × 46061 নম্বরে এটি প্রদর্শন করেছেন। তিনি ফার্ম্যাটের লিটল থিওরেমও প্রমাণ করেছেন: যদি p একটি মৌলিক সংখ্যা হয়, তবে যেকোনো পূর্ণসংখ্যা a-এর জন্য এটি সত্য হবে যে a p = একটি মডিউল p।

এই বিবৃতিটি "চীনা অনুমান" হিসাবে পরিচিত ছিল এবং 2000 বছর আগের তারিখের অর্ধেক প্রমাণ করে: পূর্ণসংখ্যা n যদি মৌলিক হয় এবং শুধুমাত্র যদি 2 n -2 n দ্বারা বিভাজ্য হয়। অনুমানের দ্বিতীয় অংশটি মিথ্যা প্রমাণিত হয়েছে - উদাহরণস্বরূপ, 2,341 - 2 341 দ্বারা বিভাজ্য, যদিও 341 সংখ্যাটি যৌগিক: 341 = 31 × 11।

ফারম্যাটের লিটল থিওরেম সংখ্যা তত্ত্বের অন্যান্য ফলাফলের ভিত্তি হিসাবে কাজ করে এবং সংখ্যাগুলি মৌলিক কিনা তা পরীক্ষা করার পদ্ধতি - যার অনেকগুলি আজও ব্যবহৃত হয়।

ফার্মাট তার সমসাময়িকদের সাথে বিশেষ করে মারেন মারসেন নামে একজন সন্ন্যাসীর সাথে অনেক বেশি যোগাযোগ করেছিলেন। তার একটি চিঠিতে, তিনি অনুমান করেছিলেন যে 2 n +1 ফর্মের সংখ্যাগুলি সর্বদা মৌলিক হবে যদি n দুটির শক্তি হয়। তিনি n = 1, 2, 4, 8 এবং 16 এর জন্য এটি পরীক্ষা করেছিলেন এবং আত্মবিশ্বাসী ছিলেন যে ক্ষেত্রে যেখানে n দুটির শক্তি নয়, সংখ্যাটি অগত্যা মৌলিক নয়। এই সংখ্যাগুলিকে বলা হয় ফার্মাটের সংখ্যা, এবং মাত্র 100 বছর পরে অয়লার দেখিয়েছিলেন যে পরবর্তী সংখ্যা, 2 32 + 1 = 4294967297, 641 দ্বারা বিভাজ্য, এবং তাই মৌলিক নয়।

2 n - 1 ফর্মের সংখ্যাগুলিও গবেষণার বিষয় হয়ে উঠেছে, যেহেতু এটি দেখানো সহজ যে n যদি যৌগিক হয়, তাহলে সংখ্যাটি নিজেই যৌগিক। এই সংখ্যাগুলিকে মার্সেন নম্বর বলা হয় কারণ তিনি এগুলি ব্যাপকভাবে অধ্যয়ন করেছিলেন।

কিন্তু 2 n - 1 ফর্মের সমস্ত সংখ্যা, যেখানে n মৌলিক, মৌলিক নয়। উদাহরণস্বরূপ, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89। এটি প্রথম 1536 সালে আবিষ্কৃত হয়েছিল।

বহু বছর ধরে, এই ধরনের সংখ্যা গণিতবিদদের সবচেয়ে বড় পরিচিত মৌলিক সংখ্যা প্রদান করে। যে M 19 1588 সালে Cataldi দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল, এবং 200 বছর ধরে সবচেয়ে বড় পরিচিত মৌলিক সংখ্যা ছিল, যতক্ষণ না অয়লার প্রমাণ করেন যে M 31ও মৌলিক ছিল। এই রেকর্ডটি আরও একশ বছর ধরে দাঁড়িয়েছিল, এবং তারপরে লুকাস দেখিয়েছিলেন যে M 127 প্রাইম (এবং এটি ইতিমধ্যে 39 সংখ্যার সংখ্যা), এবং তারপরে কম্পিউটারের আবির্ভাবের সাথে গবেষণা চলতে থাকে।

1952 সালে, M 521, M 607, M 1279, M 2203 এবং M 2281 সংখ্যাগুলির মৌলিকত্ব প্রমাণিত হয়েছিল।

2005 সালের মধ্যে, 42টি মার্সেন প্রাইম পাওয়া গেছে। তাদের মধ্যে বৃহত্তম, M 25964951, 7816230 সংখ্যা নিয়ে গঠিত।

অয়লারের কাজ মৌলিক সংখ্যা সহ সংখ্যার তত্ত্বের উপর ব্যাপক প্রভাব ফেলেছিল। তিনি ফার্মাটের লিটল থিওরেম প্রসারিত করেন এবং φ-ফাংশন প্রবর্তন করেন। 5ম ফার্ম্যাট সংখ্যা 2 32 +1 কে ফ্যাক্টরাইজ করেছেন, 60 জোড়া বন্ধুত্বপূর্ণ সংখ্যা খুঁজে পেয়েছেন, এবং দ্বিঘাত পারস্পরিক পারস্পরিক আইন প্রণয়ন করেছেন (কিন্তু প্রমাণ করতে পারেননি)।

তিনিই প্রথম পদ্ধতি প্রবর্তন করেন গাণিতিক বিশ্লেষণএবং সংখ্যার বিশ্লেষণাত্মক তত্ত্ব তৈরি করে। তিনি প্রমাণ করেছিলেন যে শুধুমাত্র সুরেলা সিরিজ ∑ (1/n) নয়, ফর্মের একটি সিরিজও

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

মৌলিক সংখ্যার পারস্পরিক যোগফল দ্বারা প্রাপ্ত ফলাফলও ভিন্ন হয়। হারমোনিক সিরিজের n পদের যোগফল প্রায় লগ (n) হিসাবে বৃদ্ধি পায় এবং দ্বিতীয় ধারাটি লগ[ log(n) ] হিসাবে আরও ধীরে ধীরে বিবর্তিত হয়। এর মানে হল যে, উদাহরণস্বরূপ, আজ পর্যন্ত পাওয়া সমস্ত মৌলিক সংখ্যার পারস্পরিক যোগফল শুধুমাত্র 4 দেবে, যদিও সিরিজটি এখনও বিচ্ছিন্ন।

প্রথম নজরে, মনে হচ্ছে মৌলিক সংখ্যাগুলি পূর্ণসংখ্যাগুলির মধ্যে বেশ এলোমেলোভাবে বিতরণ করা হয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, 10000000 এর ঠিক আগে 100টি সংখ্যার মধ্যে 9টি মৌলিক, এবং এই মানের ঠিক পরে 100টি সংখ্যার মধ্যে শুধুমাত্র 2টি রয়েছে। কিন্তু বড় অংশগুলির উপর মৌলিক সংখ্যাগুলি বেশ সমানভাবে বিতরণ করা হয়। কিংবদন্তি এবং গাউস তাদের বিতরণের সমস্যাগুলি নিয়ে কাজ করেছিলেন। গাউস একবার একজন বন্ধুকে বলেছিলেন যে যেকোন বিনামূল্যের 15 মিনিটে তিনি সর্বদা পরবর্তী 1000 সংখ্যার মৌলিক সংখ্যা গণনা করেন। তার জীবনের শেষের দিকে, তিনি 3 মিলিয়ন পর্যন্ত সমস্ত মৌলিক সংখ্যা গণনা করেছিলেন। Legendre এবং Gauss সমানভাবে গণনা করেছেন যে বড় n-এর জন্য মৌলিক ঘনত্ব হল 1/log(n)। Legendre 1 থেকে n পর্যন্ত পরিসরে মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা অনুমান করেছেন

π(n) = n/(লগ(n) - 1.08366)

এবং গাউস একটি লগারিদমিক অখণ্ডের মতো

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

2 থেকে n পর্যন্ত একটি ইন্টিগ্রেশন ব্যবধান সহ।

মৌলিক ঘনত্ব 1/log(n) সম্পর্কে বিবৃতিটি প্রাইম ডিস্ট্রিবিউশন থিওরেম নামে পরিচিত। তারা 19 শতক জুড়ে এটি প্রমাণ করার চেষ্টা করেছিল এবং চেবিশেভ এবং রিম্যান দ্বারা অগ্রগতি অর্জিত হয়েছিল। তারা এটিকে রিম্যান হাইপোথিসিসের সাথে যুক্ত করেছে, রিম্যান জেটা ফাংশনের শূন্যের বন্টন সম্পর্কে এখনও একটি অপ্রমাণিত অনুমান। 1896 সালে হাদামার্ড এবং ভ্যালি-পাউসিন দ্বারা মৌলিক সংখ্যার ঘনত্ব একই সাথে প্রমাণিত হয়েছিল।

মৌলিক সংখ্যা তত্ত্বে এখনও অনেক অমীমাংসিত প্রশ্ন রয়েছে, যার মধ্যে কয়েকটি শত বছরের পুরনো:

• যমজ প্রাইম হাইপোথিসিস হল অসীম সংখ্যক মৌলিক সংখ্যার জোড়া যা একে অপরের থেকে 2 দ্বারা পৃথক
• গোল্ডবাচের অনুমান: 4 দিয়ে শুরু হওয়া যেকোনো জোড় সংখ্যাকে দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসেবে উপস্থাপন করা যেতে পারে
• n 2 + 1 ফর্মের মৌলিক সংখ্যার অসীম সংখ্যা আছে কি?
• n 2 এবং (n + 1) 2 এর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা খুঁজে পাওয়া কি সবসময় সম্ভব? (তথ্যটি যে সর্বদা n এবং 2n এর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা থাকে তা চেবিশেভ দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল)
• ফার্মাট প্রাইম সংখ্যা কি অসীম? 4 এর পর কি কোন ফার্ম্যাট প্রাইম আছে?
• এটা কি বিদ্যমান? গাণিতিক অগ্রগতিকোন প্রদত্ত দৈর্ঘ্যের জন্য ধারাবাহিক মৌলিক সংখ্যা? উদাহরণস্বরূপ, দৈর্ঘ্য 4 এর জন্য: 251, 257, 263, 269। সর্বাধিক দৈর্ঘ্য পাওয়া গেছে 26।
• একটি গাণিতিক অগ্রগতিতে তিনটি পরপর মৌলিক সংখ্যার সেটের অসীম সংখ্যা আছে কি?
• n 2 - n + 41 হল 0 ≤ n ≤ 40 এর জন্য একটি মৌলিক সংখ্যা। এই জাতীয় মৌলিক সংখ্যার অসীম সংখ্যা আছে কি? n 2 - 79 n + 1601 সূত্রের জন্য একই প্রশ্ন। এই সংখ্যাগুলি 0 ≤ n ≤ 79 এর জন্য মৌলিক।
• n# + 1 ফর্মের মৌলিক সংখ্যার অসীম সংখ্যা আছে কি? (n# হল n-এর চেয়ে কম সমস্ত মৌলিক সংখ্যাকে গুণ করার ফলাফল)
• n# -1 ফর্মের মৌলিক সংখ্যার অসীম সংখ্যা আছে কি?
• n ফর্মের মৌলিক সংখ্যার অসীম সংখ্যা আছে কি? +1?
• n ফর্মের মৌলিক সংখ্যার অসীম সংখ্যা আছে কি? - 1?
• p যদি প্রাইম হয়, তাহলে কি 2 p -1 সবসময়ই এর ফ্যাক্টরগুলির মধ্যে প্রাইম বর্গ ধারণ করে না?
• ফিবোনাচি সিকোয়েন্সে কি অসীম সংখ্যক মৌলিক সংখ্যা থাকে?

বৃহত্তম যমজ মৌলিক সংখ্যা হল 2003663613 × 2 195000 ± 1। তারা 58711 সংখ্যা নিয়ে গঠিত এবং 2007 সালে আবিষ্কৃত হয়েছিল।

বৃহত্তম ফ্যাক্টরিয়াল মৌলিক সংখ্যা (n! ± 1 প্রকারের) হল 147855! - 1. এটি 142891 সংখ্যা নিয়ে গঠিত এবং 2002 সালে পাওয়া গেছে।

বৃহত্তম আদি মৌলিক সংখ্যা (ন# ± 1 ফর্মের একটি সংখ্যা) হল 1098133# + 1।

একটি ছাড়া সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যা মৌলিক এবং যৌগিক সংখ্যায় বিভক্ত। একটি মৌলিক সংখ্যা হল একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা যার শুধুমাত্র দুটি ভাজক রয়েছে: একটি এবং নিজেই. অন্য সকলকে কম্পোজিট বলা হয়। মৌলিক সংখ্যার বৈশিষ্ট্যগুলির অধ্যয়ন গণিতের একটি বিশেষ শাখা দ্বারা পরিচালিত হয় - সংখ্যা তত্ত্ব। রিং তত্ত্বে, মৌলিক সংখ্যাগুলি অপরিবর্তনীয় উপাদানগুলির সাথে সম্পর্কিত।

এখানে 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73 থেকে শুরু হওয়া মৌলিক সংখ্যাগুলির একটি ক্রম রয়েছে। , 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, ... ইত্যাদি।

পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্য অনুসারে, একের বেশি প্রতিটি প্রাকৃতিক সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যার গুণফল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। একই সময়ে, ফ্যাক্টরগুলির ক্রম পর্যন্ত প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলি উপস্থাপন করার এটিই একমাত্র উপায়। এর ভিত্তিতে, আমরা বলতে পারি যে মৌলিক সংখ্যাগুলি প্রাকৃতিক সংখ্যার প্রাথমিক অংশ।

একটি প্রাকৃতিক সংখ্যার এই উপস্থাপনাকে বলা হয় একটি প্রাকৃতিক সংখ্যার পচনকে মৌলিক সংখ্যায় পরিণত করা বা একটি সংখ্যার গুণিতককরণ।

সবচেয়ে প্রাচীন এক এবং কার্যকর উপায়মৌলিক সংখ্যার গণনা হল "ইরাস্টোফেনিসের চালনি"।

অনুশীলনে দেখা গেছে যে ইরাস্টোফেনিসের চালুনি ব্যবহার করে মৌলিক সংখ্যা গণনা করার পরে, প্রদত্ত সংখ্যাটি মৌলিক কিনা তা পরীক্ষা করা প্রয়োজন। এই উদ্দেশ্যে, বিশেষ পরীক্ষা তৈরি করা হয়েছে, তথাকথিত সরলতা পরীক্ষা। এই পরীক্ষার অ্যালগরিদম সম্ভাব্য। এগুলি প্রায়শই ক্রিপ্টোগ্রাফিতে ব্যবহৃত হয়।

যাইহোক, কিছু শ্রেণীর সংখ্যার জন্য বিশেষ কার্যকরী প্রাথমিক পরীক্ষা রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, মারসেন সংখ্যার প্রাথমিকতা পরীক্ষা করার জন্য, লুক-লেহমার পরীক্ষা ব্যবহার করা হয় এবং ফার্মাট সংখ্যার প্রাথমিকতা পরীক্ষা করার জন্য, পেপিন পরীক্ষা ব্যবহার করা হয়।

আমরা সবাই জানি যে অসীম অনেক সংখ্যা রয়েছে। প্রশ্ন ঠিকই জাগে: তাহলে মৌলিক সংখ্যা কত? এছাড়াও রয়েছে অসীম সংখ্যক মৌলিক সংখ্যা। এই প্রস্তাবের সবচেয়ে প্রাচীন প্রমাণ হল ইউক্লিডের প্রমাণ, যা উপাদানগুলিতে সেট করা হয়েছে। ইউক্লিড এর প্রমাণ এই মত দেখায়:

ধরা যাক মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা সসীম। আসুন তাদের গুণ করি এবং একটি যোগ করি। প্রাপ্ত সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যার সসীম সেটের কোনো দ্বারা ভাগ করা যায় না, কারণ তাদের যেকোনো একটি দ্বারা ভাগের অবশিষ্টাংশ একটি দেয়। সুতরাং, সংখ্যাটি অবশ্যই এই সেটে অন্তর্ভুক্ত নয় এমন কিছু মৌলিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।

মৌলিক সংখ্যা বন্টন উপপাদ্য বলে যে মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা n-এর চেয়ে কম, π(n) নির্দেশিত, n/ln(n) হিসাবে বৃদ্ধি পায়।

হাজার হাজার বছর ধরে মৌলিক সংখ্যা অধ্যয়ন করার পর, সবচেয়ে বড় পরিচিত মৌলিক সংখ্যা হল 243112609 − 1। এই সংখ্যাটির 12,978,189 দশমিক সংখ্যা রয়েছে এবং এটি মারসেন মৌলিক সংখ্যা (M43112609)। এই আবিষ্কারটি 23 আগস্ট, 2008 তারিখে ইউসিএলএ বিশ্ববিদ্যালয়ের গণিত অনুষদে মারসেন প্রাইম নম্বর প্রকল্প জিআইপিএসের জন্য বিতরণ করা অনুসন্ধানের অংশ হিসাবে করা হয়েছিল।

বাড়ি স্বাতন্ত্র্যসূচক বৈশিষ্ট্যমারসেন নম্বর হল একটি অত্যন্ত কার্যকরী লুক-লেমায়ার প্রাথমিক পরীক্ষার উপস্থিতি। এর সাহায্যে, মারসেন প্রাইমগুলি, দীর্ঘ সময়ের মধ্যে, সবচেয়ে বড় পরিচিত প্রাইম।

যাইহোক, আজ অবধি, মৌলিক সংখ্যা সম্পর্কিত অনেক প্রশ্নের সঠিক উত্তর পাওয়া যায়নি। গণিতের 5 তম আন্তর্জাতিক কংগ্রেসে, এডমন্ড ল্যান্ডউ মৌলিক সংখ্যার ক্ষেত্রে প্রধান সমস্যাগুলি প্রণয়ন করেছিলেন:

গোল্ডবাখের সমস্যা বা ল্যান্ডউ-এর প্রথম সমস্যা হল যে এটি প্রমাণ করা বা অস্বীকার করা প্রয়োজন যে 2-এর বেশি প্রতিটি জোড় সংখ্যা দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে এবং 5-এর বেশি প্রতিটি বিজোড় সংখ্যাকে যোগফল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। তিনটি সহজসংখ্যা
Landau-এর দ্বিতীয় সমস্যাটির জন্য প্রশ্নের উত্তর খুঁজতে হবে: "প্রাইম টুইনস" - মৌলিক সংখ্যার সেট কি 2 - অসীম?
কিংবদন্তীর অনুমান বা ল্যান্ডউয়ের তৃতীয় সমস্যা হল: এটা কি সত্য যে n2 এবং (n + 1)2 এর মধ্যে সর্বদা একটি মৌলিক সংখ্যা থাকে?
Landau এর চতুর্থ সমস্যা: n2 + 1 ফর্মের মৌলিক সংখ্যার সেট কি অসীম?
উপরের সমস্যাগুলি ছাড়াও, ফিবোনাচি সংখ্যা, ফার্ম্যাট সংখ্যা ইত্যাদির মতো অনেক পূর্ণসংখ্যা ক্রমগুলিতে অসীম সংখ্যার মৌলিক সংখ্যা নির্ধারণের সমস্যা রয়েছে।