ডামি জন্য ব্যাপক বিশ্লেষণ. একটি জটিল পরিবর্তনশীলের ফাংশনের তত্ত্ব

লেকচার নং 4।

জ্যামিতিকভাবে, একটি জটিল চলকের একটি ফাংশন w=f(z) একটি নির্দিষ্ট সেটের প্রদর্শন নির্দিষ্ট করে z- একটি নির্দিষ্ট সেটে প্লেন w-বিমান ডট wÎ জিডাকা উপায় পয়েন্ট zযখন প্রদর্শিত হয় w=f(z), পয়েন্ট zÎ ডি – প্রোটোটাইপ পয়েন্ট w.

যদি সবাই zশুধুমাত্র একটি মান মেলে w=f(z), তারপর ফাংশন বলা হয় দ্ব্যর্থহীন (w=|z|,w=,w=পুনঃ zইত্যাদি) যদি কিছু zএকাধিক মান মেলে w, ফাংশন বলা হয় polysemantic (w=আরগ z).

যদি (অর্থাৎ এলাকার বিভিন্ন পয়েন্টে ডিফাংশন লাগে বিভিন্ন অর্থ), তারপর ফাংশন w=চ(z) বলা হয় একীভূত করা এলাকায় ডি.

অন্য কথায়, univalent ফাংশন w=চ(z) ওয়ান টু ওয়ান এলাকা ম্যাপ করে ডিঅন জি. একক-শীট প্রদর্শন সহ w=চ(z) যেকোনো বিন্দুর বিপরীত চিত্র wÎ জিএকটি একক উপাদান নিয়ে গঠিত: : . সেজন্য zএকটি পরিবর্তনশীল একটি ফাংশন হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে w, সংজ্ঞায়িত জি. এটি মনোনীত এবং বলা হয় বিপরীত ফাংশন .

এলাকায় থাকলে ডিপয়েন্ট অন্তত এক জোড়া আছে, তারপর ফাংশন চ(z) বলা হয় বহুপাতা এলাকায় ডি.

যদি প্রদর্শন w=চ(z) মাল্টিলিফ চালু আছে ডি(উদাহরণস্বরূপ, w=z n), তাহলে এই ক্ষেত্রে কিছু মান wÎ জিএকের বেশি পয়েন্ট মেলে zÎ ডি:চ(z)=w. অতএব, বিপরীত ম্যাপিং একক-মূল্যবান নয়, এটি একটি বহু-মূল্যবান ফাংশন।

এলাকায় একক সংখ্যা ডিফাংশন w=চ(z) বলা হয় একটি বহুমূল্যবান ফাংশনের শাখাচ, যদি মান চযে কোন সময়ে zÎ ডিমানগুলির একটির সাথে মেলে চএই সময়ে

বহু-মূল্যবান ফাংশনের একক-মূল্যবান শাখাগুলিকে বিচ্ছিন্ন করার জন্য, নিম্নরূপ এগিয়ে যান: এলাকা ডিইউনিভালেন্সের ডোমেনে ফাংশনগুলিকে ভাগ করুন w=চ(z) যাতে কোন দুটি অঞ্চলের অভ্যন্তরীণ বিন্দু কমন না থাকে এবং তাই প্রতিটি বিন্দু zÎ ডিএই এলাকাগুলির মধ্যে একটি বা তাদের কয়েকটির সীমানার অন্তর্গত। ইউনিভালেন্সের এই ডোমেনগুলির প্রতিটিতে, একটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা হয় যা বিপরীত w=চ(z) এটি বহু-মূল্যবান ফাংশনের একটি একক-মূল্যবান শাখা।

কনফরমাল ম্যাপিংয়ের ধারণা

উদাহরণ।একটি বিন্দুতে প্রসারিত ফ্যাক্টর এবং ঘূর্ণন কোণ খুঁজুন z=2iপ্রদর্শন করার সময়।

■ ডেরিভেটিভ খোঁজা এবং একটি নির্দিষ্ট পয়েন্টে এর মান .

প্রসারিত অনুপাত kডেরিভেটিভের মডুলাসের সমান: .

ঘূর্ণন কোণ jডেরিভেটিভের যুক্তির সমান। পয়েন্টটি চতুর্থ ত্রৈমাসিকে অবস্থিত, তাই, . ■

উদাহরণ 3.5।প্লেনের কোন অংশটি প্রদর্শিত হলে তা নির্ধারণ করুন w=z 2 প্রসারিত হয়, এবং কোনটি সংকুচিত হয়।

■ ডেরিভেটিভ খোঁজা w¢=2 z. যে কোনো সময়ে টেনশন ফ্যাক্টর zসমান k=|w¢( z)|=2|z| জটিল সমতলে পয়েন্টের সেট যার জন্য k>1, অর্থাৎ 2| z|>1 বা , সমতলের অংশ গঠন করে, যা প্রদর্শিত হলে প্রসারিত হয়। অতএব, প্রদর্শন করার সময় w=z 2 বৃত্তের বাইরে প্রসারিত, এবং ভিতরের অংশ- সঙ্কুচিত ■

প্রদর্শন w=চ(z) বলা হয় আনুষ্ঠানিক (অর্থাৎ, এটির আকৃতি সংরক্ষণ করে) একটি বিন্দুতে যদি এটি বক্ররেখার মধ্যে কোণগুলি সংরক্ষণ করে এবং বিন্দুর প্রতিবেশীর ধ্রুবক প্রসারণের সম্পত্তি থাকে।

দ্বারা প্রতিষ্ঠিত কোনো ম্যাপিং বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন চ(z) সব পয়েন্ট যেখানে conformal হয়.

ম্যাপিং বলা হয় এই অঞ্চলে স্বাভাবিক , যদি এটি এই অঞ্চলের প্রতিটি পয়েন্টে নিয়মতান্ত্রিক হয়।

একটি কনফরমাল ম্যাপিং যেখানে কোণের রেফারেন্সের দিকটি সংরক্ষণ করা হয় তাকে বলা হয় প্রথম ধরনের কনফরমাল ম্যাপিং . একটি কনফরমাল ম্যাপিং যেখানে কোণের দিক বিপরীত হয় তাকে বলা হয় ΙΙ গণের কনফরমাল ম্যাপিং (উদাহরণস্বরূপ,)।

কনফরমাল ম্যাপিংয়ের তত্ত্ব এবং অনুশীলনে, দুটি সমস্যা তৈরি করা হয় এবং সমাধান করা হয়।

প্রথম কাজ হল প্রদত্ত ম্যাপিংয়ের অধীনে একটি প্রদত্ত লাইন বা এলাকার চিত্র খুঁজে বের করা - সরাসরি কাজ .

দ্বিতীয়টি হল এমন একটি ফাংশন খুঁজে বের করা যা একটি প্রদত্ত লাইন বা এলাকাকে অন্য প্রদত্ত লাইন বা এলাকায় ম্যাপ করে - বিপরীত সমস্যা .

একটি সরাসরি সমস্যা সমাধান করার সময়, এটি একটি বিন্দুর চিত্রটি বিবেচনায় নেওয়া হয় z 0 প্রদর্শিত হলে w=চ(z) একটি বিন্দু w 0, যেমন w 0 =চ(z 0), অর্থাৎ প্রতিস্থাপনের ফলাফল z 0 ইঞ্চি চ(z) অতএব, একটি সেটের চিত্র খুঁজে পেতে, আপনাকে দুটি সম্পর্কের সমন্বয়ে একটি সিস্টেম সমাধান করতে হবে। তাদের মধ্যে একটি ম্যাপিং ফাংশন নির্দিষ্ট করে w=চ(z), অন্যটি হল লাইনের সমীকরণ, যদি রেখার চিত্র খুঁজে পাওয়ার সমস্যাটি সমাধান করা হয়, বা বৈষম্য যা প্রিমেজের পয়েন্টের সেট নির্ধারণ করে, যদি ম্যাপিং এলাকার সমস্যা সমাধান করা হয়। উভয় ক্ষেত্রেই, সমাধান পদ্ধতি পরিবর্তনশীল নির্মূল করার জন্য হ্রাস করা হয় zদুটি প্রদত্ত অনুপাত থেকে।

নিয়ম 3.3।সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত লাইনের চিত্র খুঁজে বের করতে চ(x,y)=0 (বা স্পষ্টভাবে y=j(x)), প্রদর্শন করার সময় w=চ(z) প্রয়োজনীয়:

1. ফাংশনের বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশ নির্বাচন করুন চ(z): u= পুনঃ চ(z), v=ইম চ(z).

2. সিস্টেম থেকে বাদ এক্সএবং uফলস্বরূপ সম্পর্কটি এই লাইনের চিত্রের সমীকরণ।

নিয়ম 3.4।প্রদর্শন করার সময় একটি প্রদত্ত লাইনের চিত্র খুঁজে পেতে w=চ(z) প্রয়োজনীয়:

1. রেখার সমীকরণটি প্যারামেট্রিক আকারে লিখ z=z(t) বা মধ্যে জটিল ফর্ম .

2. লাইন সমীকরণের ধরনের উপর নির্ভর করে, সংশ্লিষ্ট ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন:

যদি লাইনটি প্যারামেট্রিক আকারে দেওয়া হয়, তাহলে অভিব্যক্তিটি প্রতিস্থাপন করুন z(t) ভি w=চ(z);

যদি লাইনটি জটিল আকারে দেওয়া হয় তবে প্রকাশ করুন zথেকে w=চ(z), অর্থাৎ, এবং। তারপর আপনি বিকল্প করা উচিত zএবং লাইনের সমীকরণে। ফলস্বরূপ সম্পর্কটি এই লাইনের চিত্রের সমীকরণ।

নিয়ম 3.5।একটি প্রদত্ত এলাকার একটি চিত্র খুঁজে পেতে, আপনার দুটি পদ্ধতির একটি ব্যবহার করা উচিত।

প্রথম উপায়.

1. এই এলাকার সীমানার সমীকরণটি লিখ। নিয়ম 3.3 বা 3.4 ব্যবহার করে একটি প্রদত্ত এলাকার সীমানার চিত্র খুঁজুন।

2. একটি প্রদত্ত এলাকার একটি নির্বিচারে অভ্যন্তরীণ বিন্দু নির্বাচন করুন এবং প্রদত্ত ম্যাপিংয়ের অধীনে এর চিত্রটি খুঁজুন। ফলাফল বিন্দু যে অঞ্চলের অন্তর্গত তা হল প্রদত্ত অঞ্চলের পছন্দসই চিত্র।

দ্বিতীয় উপায়।

1. এক্সপ্রেস zঅনুপাত থেকে w=চ(z).

2. ধাপ 1 এ আপনি যা পেয়েছেন তা প্রতিস্থাপন করুন। একটি অসমতার একটি অভিব্যক্তি যা একটি প্রদত্ত অঞ্চলকে সংজ্ঞায়িত করে। ফলস্বরূপ অনুপাতটি পছন্দসই চিত্র।

উদাহরণ।একটি বৃত্তের চিত্র খুঁজুন | z|=1 যখন একটি ফাংশন ব্যবহার করে প্রদর্শিত হয় w=z 2 .

■ 1 উপায়(বিধি 3.3 অনুযায়ী)।

1. যাক z=x+iy, w=u+iv. তারপর u+iv =x 2 -y 2 +i 2xy. আমরা পাই:

2. বাদ দেওয়া যাক এক্সএবং এএই সমীকরণ থেকে. এটি করার জন্য, আসুন প্রথম এবং দ্বিতীয় সমীকরণগুলি বর্গ করি এবং যোগ করি:

u 2 +v 2 =x 4 -2x 2 y 2 +y 4 +2x 2 y 2 =x 4 +2x 2 y 2 +y 4 =(x 2 +y 2) 2 .

সিস্টেমের তৃতীয় সমীকরণটি বিবেচনায় নিয়ে আমরা পাই: u 2 +v 2 =1 বা | w| 2 =1, অর্থাৎ | w|=1। সুতরাং, বৃত্তের চিত্র | z|=1 একটি বৃত্ত | w|=1, দুবার অতিক্রম করা যায়। এই যে থেকে অনুসরণ করে w=z 2 তারপর Arg w=2আর্গ z+2pk. তাই যখন বিন্দু zএকটি সম্পূর্ণ বৃত্ত বর্ণনা করে | z|=1, তারপর এর চিত্র বৃত্তটি বর্ণনা করে | w|=1 দুবার।

পদ্ধতি 2(বিধি 3.4 অনুযায়ী)।

1. আসুন প্যারামেট্রিক আকারে ইউনিট বৃত্তের সমীকরণ লিখি: z=eএটা (0£ t£2 পি).

2. এর বিকল্প করা যাক z=eএটাঅনুপাতে w=z 2: w=e i 2 t=cos2 t+i sin2 t. অতএব, | w| 2 = cos 2 2 t+পাপ 2 2 t=1, অর্থাৎ | w|=1 – চিত্র সমীকরণ। ■

উদাহরণ।একটি রেখার চিত্রের সমীকরণ খুঁজুন y=xযখন প্রদর্শিত হয় w=z 3 .

■ যেহেতু বক্ররেখাটি স্পষ্টভাবে দেওয়া হয়েছে, তাই আমরা নিয়ম 3.3 প্রয়োগ করি।

1. w=z 3 =(x+iy) 3 =x 3 +3x 2 iy+3x(iy) 2 +(iy) 3 =x 3 - 3xy 2 +i(3x 2 y-y 3).

মানে,

2. ফলস্বরূপ সিস্টেমে আমরা প্রতিস্থাপন করি y=x: বাদ দিয়ে এক্সএই সমীকরণ থেকে, আমরা পেতে v=-উ.

সুতরাং, সিস্টেমের I এবং III স্থানাঙ্ক কোণের দ্বিখন্ডের চিত্র xOyসিস্টেমের II এবং IV স্থানাঙ্ক কোণের দ্বিখণ্ডক uOv. ■

1. লিনিয়ার ফাংশন

লিনিয়ার ফাংশনফর্মের একটি ফাংশন বলা হয়

w=az+খ, (4.1)

যেখানে ক, খ- জটিল ধ্রুবক।

এই ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা হয় . অতএব, যদি , তাহলে রৈখিক ফাংশন জটিল ভেরিয়েবলের সমগ্র সমতলের একটি কনফরমাল ম্যাপিং তৈরি করে। এই ক্ষেত্রে, সমস্ত বক্ররেখার স্পর্শক একই কোণ Arg দ্বারা ঘোরানো হয় ক, এবং সমস্ত পয়েন্টে প্রসারিত সমান। যদি a= 1, তারপর , যার মানে কোন প্রসারিত বা ঘূর্ণন নেই। এই ক্ষেত্রে আমরা পেতে w=z+b. এই ম্যাপিং একটি ভেক্টর দ্বারা সমগ্র সমতল স্থানান্তরিত.

সাধারণভাবে, স্বরলিপির সূচকীয় ফর্মে চলে যাওয়া জটিল সংখ্যা, আমরা গ্রহণ করব। অতএব, একটি লিনিয়ার ম্যাপিং হল তিনটি জ্যামিতিক রূপান্তরের একটি রচনা:

w 1 =rz- সহগের সাথে সাদৃশ্য r=|ক|;

w 2 =e i j w 1 =rze i j- একটি কোণে ঘুরুন j=আর্গ কবিন্দুর চারপাশে সম্পর্কে;

w=w 2 +খ=re i j z+খ- একটি ভেক্টরের সমান্তরাল স্থানান্তর।

অতএব, ম্যাপিং w=az+খপ্রতারণা রৈখিক মাত্রাকোন সমতল চিত্র | ক| একবার, একটি কোণ দ্বারা এই চিত্রটি ঘোরান j=আর্গ কউৎপত্তির চারপাশে এবং এটির মান দ্বারা ভেক্টরের দিকে স্থানান্তরিত করে।

একটি রৈখিক ম্যাপিং একটি বৃত্তাকার বৈশিষ্ট্য আছে, যে, এটি চেনাশোনা মানচিত্র z- একটি বৃত্তে প্লেন w- প্লেন (এবং তদ্বিপরীত); সরলরেখাকে সরলরেখায় রূপান্তরিত করে।

উদাহরণ।অক্ষের চিত্রটি সন্ধান করুন ওহযখন প্রদর্শিত হয় w=2iz-3i.

■ 1 উপায়(বিধি 3.4 অনুযায়ী)। আমরা প্যারামেট্রিক আকারে অক্ষ সমীকরণ নির্বাচন করি।

1. যেহেতু বাস্তব আকারে অক্ষের সমীকরণ ওয়: x=0, -¥<y<+¥, то в комплексной форме запишется как z=iy, -¥<y<+¥. Это параметрическое уравнение, в качестве параметра выбран এ.

2. এর বিকল্প করা যাক z=iyঅভিব্যক্তি মধ্যে w=2iz-3i: w=-2y-3i, -¥<y<+¥. Это уравнение образа в параметрической форме (এ- প্যারামিটার)। বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশগুলিকে বিচ্ছিন্ন করার পরে, আমরা বাস্তব আকারে চিত্র সমীকরণটি পাই: u=-2y, v=-3 বা v=-3, -¥<u<+¥. Это есть уравнение прямой в плоскости uOv, বাস্তব অক্ষের সমান্তরাল।

পদ্ধতি 2. আমরা একটি রৈখিক রূপান্তরের বৃত্তাকার বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করি - একটি সরলরেখার চিত্রটি একটি সরল রেখা। যেহেতু একটি সরলরেখা দুটি বিন্দু নির্দিষ্ট করে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, তাই এটি অক্ষের উপর যথেষ্ট ওহযেকোনো দুটি পয়েন্ট নির্বাচন করুন এবং তাদের ছবি খুঁজুন। পাওয়া পয়েন্টগুলির মধ্য দিয়ে যাওয়া সরল রেখাটি প্রয়োজনীয় হবে। এর পয়েন্ট নির্বাচন করা যাক z 1 =0, z 2 =i, তাদের ছবি w 1 =-3i, w 2 =-2-3iম্যাপ করা হলে, লাইনে শুয়ে থাকো w=-3 তাই, অক্ষের চিত্র ওহএকটি সরল রেখা v=-3.

3 উপায়(জ্যামিতিক)। সম্পর্ক থেকে w=2iz-3iএটা যে অনুসরণ করে ক=2i, খ=-3i, |ক|=2,। এর অর্থ হল প্রদত্ত সরলরেখা (অক্ষ ওহ) উৎপত্তির সাথে সম্পর্কিত একটি কোণ দ্বারা ঘোরানো আবশ্যক, এবং তারপর 3 ইউনিট নিচে স্থানান্তরিত। 2 বার প্রসারিত করা মূল লাইনের জ্যামিতিক চেহারা পরিবর্তন করে না, কারণ এটি উৎপত্তির মধ্য দিয়ে যায়। ■

উদাহরণ।একটি বৃত্ত প্রতিনিধিত্বকারী কিছু লিনিয়ার ফাংশন খুঁজুন | z-i|=1 পরিধি প্রতি | w- 3|=2.

■ পোজড সমস্যা হল ম্যাপিং তত্ত্বের বিপরীত সমস্যা - একটি প্রদত্ত চিত্র এবং প্রিমেজ দেওয়া হলে, সংশ্লিষ্ট ম্যাপিং খুঁজুন। অতিরিক্ত শর্ত ছাড়া, সমস্যার একটি অনন্য সমাধান নেই। আসুন একটি জ্যামিতিক সমাধান উপস্থাপন করি।

1. বৃত্তের কেন্দ্রটি উৎপত্তিতে সরান। এটি করার জন্য, আমরা ম্যাপিং প্রয়োগ করি w 1 =z-i.

2. সমতলে w 1 আসুন একটি ম্যাপিং প্রয়োগ করি যা 2-গুণ প্রসারিত করে, অর্থাৎ w 2 =2w 1 .

3. বৃত্ত 3 ইউনিট ডানদিকে সরান: w=w 2 +3। অবশেষে আমরা পাই: w=2(z-i)+3, w= 2z+3-2i- প্রয়োজনীয় ফাংশন।

আপনি জ্যামিতিক ক্রিয়াকলাপ সম্পাদনের জন্য একটি ভিন্ন ক্রম চয়ন করতে পারেন - প্রথমে স্থানান্তর করবেন না, তবে ঘোরান বা প্রসারিত করুন। ■

2. ভগ্নাংশ রৈখিক ফাংশন

ভগ্নাংশ রৈখিকফর্মের একটি ফাংশন বলা হয়

, (4.2)

যেখানে ক, খ,গ,d-জটিল সংখ্যা যেমন , .

ভগ্নাংশের রৈখিক রূপান্তরের বৈশিষ্ট্য

1°সামঞ্জস্য

প্রদর্শন w=এল(z) ব্যতীত জটিল সমতলের সমস্ত প্রান্তে কনফরমাল।

2° সার্কুলার সম্পত্তি

ভগ্নাংশের রৈখিক ম্যাপিংয়ে একটি সরলরেখা বা বৃত্তের চিত্র w=এল(z) একটি সরল রেখা বা একটি বৃত্ত (এবং একটি সরলরেখার চিত্রটি একটি বৃত্ত বা একটি সরলরেখা হতে পারে এবং একটি বৃত্তের চিত্র একটি সরলরেখা এবং একটি বৃত্ত উভয়ই হতে পারে)। প্রদর্শন করার সময় এটি স্থাপন করা সহজ w=এল(z) বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া সমস্ত রেখা এবং বৃত্ত সরল সমতলগুলিতে যায় ( w), এবং সমস্ত সরল রেখা বা বৃত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাচ্ছে না d, - সমতলের পরিধিতে ( w).

3°ডাবল রিলেশন ইনভেরিয়েন্স

মনোভাব একটি ভগ্নাংশ রৈখিক ম্যাপিংয়ের অধীনে সংরক্ষিত হয়, অর্থাৎ এটি তার অপরিবর্তনীয়। এই সম্পর্ক বলা হয় চার পয়েন্টের দ্বিগুণ অনুপাত. এইভাবে, ভগ্নাংশের রৈখিক রূপান্তরটি তিনটি বিন্দু এবং তাদের চিত্রগুলি নির্দিষ্ট করে অনন্যভাবে নির্ধারিত হয়: . এই জোড়া ব্যবহার করে, আপনি সূত্র ব্যবহার করে একটি ভগ্নাংশ রৈখিক ফাংশন খুঁজে পেতে পারেন:

. (4.3)

এই সূত্রটি কিছু সংখ্যার ক্ষেত্রেও প্রয়োগ করা যেতে পারে z kএবং সপ্তাহ¥ এ পরিণত করুন, যদি আপনি নিয়মটি ব্যবহার করেন: যে পার্থক্যটিতে ¥ চিহ্নটি ঘটে তা 1 দ্বারা প্রতিস্থাপিত হওয়া উচিত।

4°প্রতিসাম্য বজায় রাখা

যদি পয়েন্ট z 1 এবং z 2 কিছু রেখা বা বৃত্ত সম্পর্কে প্রতিসম g, তারপর কোনো ভগ্নাংশ লিনিয়ার ম্যাপিংয়ের জন্য w=এল(z) তাদের ছবি w 1 এবং w 2 ইমেজ আপেক্ষিক প্রতিসম হবে g: .

একটি সরল রেখা সম্পর্কে প্রতিসাম্য স্বাভাবিক অর্থে বোঝা যায়।

পয়েন্ট zএবং z*বলা হয় বৃত্ত সম্পর্কে প্রতিসম |z-z 0 |=আর, যদি তারা বৃত্তের কেন্দ্র থেকে উদ্ভূত একই রশ্মির উপর থাকে এবং বৃত্তের কেন্দ্র থেকে তাদের দূরত্বের গুণফল তার ব্যাসার্ধের বর্গক্ষেত্রের সমান হয়, তাহলে

|z-z 0 |×| z*-z 0 |=আর 2 . (4.4)

একটি বিন্দু একটি বিন্দু প্রতিসম z 0 - বৃত্তের কেন্দ্রটি স্পষ্টতই অসীমের বিন্দু।

5°সীমানা ট্রাভার্সাল ম্যাচিং নীতি (রেখা বা বৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ এলাকাগুলি প্রদর্শন করা)

যদি, একটি ভগ্নাংশ রৈখিক ম্যাপিং, একটি সরল রেখা বা একটি বৃত্ত gসরলরেখা বা বৃত্তে পরিণত হয় g¢, তারপর এলাকা ডি, যা সীমিত g, দ্বারা আবদ্ধ দুটি ক্ষেত্রের একটিতে রূপান্তরিত হয় g¢. এই ক্ষেত্রে, সীমান্ত বাইপাসের চিঠিপত্রের নীতিটি ঘটে: যদি কিছু লাইন বাইপাসের সময় gঅঞ্চল ডিবাম দিকে (ডান) হতে দেখা যাচ্ছে, তারপর লাইনের সংশ্লিষ্ট ট্রাভার্সালের সাথে g¢অঞ্চল D¢এছাড়াও বাম দিকে (ডান) হওয়া উচিত।

উদাহরণ।ভগ্নাংশ লিনিয়ার ফাংশন খুঁজুন w=এল(z), যেমন w(i)=2i, w(¥)=1, w(-1)=¥।

■ আসুন বোঝাই z 1 =i, z 2 =¥, z 3 =-1 এবং w 1 =2i, w 2 =1, w 3 = ¥। আসুন আমরা সূত্র (4.3) প্রয়োগ করি, যার মধ্যে থাকা পার্থক্যগুলি প্রতিস্থাপন করে z 2 এবং w 3 থেকে ¥:

বা .

আসুন রূপান্তর করি: - w-wi+ 2আমি- 2=wz-wi-z+i Û w(z+1)=z-2+iÛ প্রয়োজনীয় ফাংশন। ■

যেখানে
বাস্তব সংখ্যা, এবং - একটি বিশেষ চরিত্র বলা হয় কাল্পনিক একক . একটি কাল্পনিক এককের জন্য, সংজ্ঞা দ্বারা এটি অনুমান করা হয় যে
.

(4.1) – বীজগাণিতিক ফর্ম জটিল সংখ্যা, এবং
ডাকা বাস্তব অংশ জটিল সংখ্যা, এবং
-কাল্পনিক অংশ .

সংখ্যা
ডাকা জটিল সংমিশ্রণ সংখ্যার কাছে
.

দুটি জটিল সংখ্যা দেওয়া যাক
,
.

1. পরিমাণ
জটিল সংখ্যা এবং একটি জটিল সংখ্যা বলা হয়

2. পার্থক্য দ্বারা
জটিল সংখ্যা এবং একটি জটিল সংখ্যা বলা হয়

3. কাজ
জটিল সংখ্যা এবং একটি জটিল সংখ্যা বলা হয়

4. ব্যক্তিগত একটি জটিল সংখ্যা ভাগ করা থেকে একটি জটিল সংখ্যায়
একটি জটিল সংখ্যা বলা হয়

.

মন্তব্য 4.1. অর্থাৎ, বীজগণিতের আক্ষরিক রাশির উপর গাণিতিক ক্রিয়াকলাপের স্বাভাবিক নিয়ম অনুসারে জটিল সংখ্যার অপারেশনগুলি চালু করা হয়।

উদাহরণ 4.1।জটিল নম্বর দেওয়া আছে। খুঁজুন

.

সমাধান। 1) .

4) লব এবং হরকে হর এর জটিল সমষ্টি দ্বারা গুণ করলে আমরা পাই

ত্রিকোণমিতিক ফর্ম জটিল সংখ্যা:

যেখানে
- একটি জটিল সংখ্যার মডুলাস,
একটি জটিল সংখ্যার যুক্তি। কোণ অস্পষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত, একটি শব্দ পর্যন্ত
:

,
.

- শর্ত দ্বারা নির্ধারিত আর্গুমেন্টের প্রধান মান

, (বা
).

প্রদর্শনী ফর্ম জটিল সংখ্যা:

.

রুট
সংখ্যার তম শক্তি আছে বিভিন্ন মান, যা সূত্র দ্বারা পাওয়া যায়

,

যেখানে
.

মানগুলির সাথে সম্পর্কিত পয়েন্ট
, সঠিক এর শীর্ষবিন্দু হয়
ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তে খোদাই করা একটি বর্গক্ষেত্র
মূলে কেন্দ্রের সাথে।

উদাহরণ 4.2।সমস্ত রুট মান খুঁজুন
.

সমাধান।আসুন একটি জটিল সংখ্যা কল্পনা করি
ত্রিকোণমিতিক আকারে:

,

, কোথায়
.

তারপর
. অতএব, সূত্র অনুযায়ী (4.2)
চারটি অর্থ আছে:

,
.

বিশ্বাসী
, আমরা খুঁজে

,
,

, .

এখানে আমরা আর্গুমেন্টের মানগুলিকে এর মূল মানতে রূপান্তর করেছি।

জটিল সমতলে সেট করে

জটিল সংখ্যা
একটি প্লেনে চিত্রিত
বিন্দু
স্থানাঙ্ক সহ
. মডিউল
এবং যুক্তি
বিন্দুর মেরু স্থানাঙ্কের সাথে মিলে যায়
.

এটা মনে রাখা দরকারী যে অসমতা
একটি বিন্দুতে কেন্দ্র সহ একটি বৃত্ত সংজ্ঞায়িত করে ব্যাসার্ধ . অসমতা
সরলরেখার ডানদিকে অবস্থিত একটি অর্ধ-বিমানকে সংজ্ঞায়িত করে
, এবং অসমতা
- সরলরেখার উপরে অবস্থিত অর্ধ-বিমান
. উপরন্তু, বৈষম্য ব্যবস্থা
রশ্মির মধ্যে কোণ সেট করে
এবং
, স্থানাঙ্কের উত্স ছেড়ে।

উদাহরণ 4.3.অসমতা দ্বারা সংজ্ঞায়িত এলাকা আঁকুন:
.

সমাধান।প্রথম অসমতা বিন্দুতে কেন্দ্র সহ একটি রিং এর সাথে মিলে যায়
এবং দুটি ব্যাসার্ধ 1 এবং 2, বৃত্তগুলি এলাকায় অন্তর্ভুক্ত নয় (চিত্র 4.1)।

দ্বিতীয় অসমতা রশ্মির মধ্যবর্তী কোণের সাথে মিলে যায়
(৪র্থ স্থানাঙ্ক কোণের দ্বিখণ্ডক) এবং
(ধনাত্মক অক্ষের দিক
) রশ্মিগুলি নিজেরাই অঞ্চলে প্রবেশ করে না (চিত্র 4.2)।

কাঙ্ক্ষিত এলাকা হল দুটি প্রাপ্ত এলাকার সংযোগস্থল (চিত্র 4.3)

4.2। একটি জটিল ভেরিয়েবলের ফাংশন

একক-মূল্যবান ফাংশন যাক
অঞ্চলে সংজ্ঞায়িত এবং অবিচ্ছিন্ন
, ক - টুকরো টুকরো মসৃণ বন্ধ বা অ-বন্ধ ওরিয়েন্টেড কার্ভ ভিতরে পড়ে আছে
. যাক, যথারীতি,
,, কোথায়
,
- ভেরিয়েবলের বাস্তব ফাংশন এবং .

একটি ফাংশনের অবিচ্ছেদ্য গণনা করা
জটিল পরিবর্তনশীল স্বাভাবিক বক্ররেখার অখণ্ডগুলি গণনা করতে হ্রাস করে, যথা

.

যদি ফাংশন
একটি সহজভাবে সংযুক্ত ডোমেনে বিশ্লেষণাত্মক
, পয়েন্ট ধারণকারী এবং , তারপর নিউটন-লাইবনিজ সূত্র ধরে:

,

যেখানে
- ফাংশন জন্য কিছু antiderivative
, যে
এলাকায়
.

একটি জটিল ভেরিয়েবলের ফাংশনগুলির ইন্টিগ্রেলে, কেউ একটি পরিবর্তনশীল পরিবর্তন করতে পারে, এবং অংশ দ্বারা ইন্টিগ্রেশন একটি বাস্তব ভেরিয়েবলের ফাংশনগুলির পূর্ণাঙ্গ গণনা করার সময় কীভাবে করা হয় তার অনুরূপ।

আরও নোট করুন যে যদি একীকরণের পথটি একটি বিন্দু থেকে নির্গত একটি লাইনের অংশ হয় , বা একটি বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত একটি বৃত্তের অংশ , তাহলে ফর্মটির একটি পরিবর্তনশীল প্রতিস্থাপন করা কার্যকর
. প্রথম ক্ষেত্রে
, ক - বাস্তব একীকরণ পরিবর্তনশীল; দ্বিতীয় ক্ষেত্রে
, ক - বাস্তব একীকরণ পরিবর্তনশীল.

উদাহরণ 4.4.হিসাব করুন
প্যারাবোলা দ্বারা
বিন্দু থেকে
বিন্দুতে
(চিত্র 4.4)।

সমাধান।আসুন আমরা integrand ফর্মে আবার লিখি তারপর , . আসুন সূত্র প্রয়োগ করি (4.3): কারণ , , যে

.সেজন্য
উদাহরণ 4.5। অবিচ্ছেদ্য গণনা করুন
,
, কোথায়

সমাধান।- একটি বৃত্তের চাপ (চিত্র 4.5)। , , বলা যাক

, তারপর
.
আমরা পাই: ফাংশন

, একক-মূল্যবান এবং রিং মধ্যে বিশ্লেষণাত্মক
ডাকা , এই রিং মধ্যে decomposes লরেন্ট সিরিজ
ডাকা সূত্রে (4.5) সিরিজ প্রধান অংশ

লরেন্টের সিরিজ, এবং সিরিজ ডান অংশ লরেন্ট সিরিজ।সংজ্ঞা 4.1। ডট
ডাকা
বিচ্ছিন্ন একবচন বিন্দু .

ফাংশন
, যদি এই বিন্দুর একটি প্রতিবেশী থাকে যেখানে ফাংশন বিন্দু নিজেই ব্যতীত সর্বত্র বিশ্লেষণাত্মক

1) ফাংশন
, যে

একটি বিন্দুর আশেপাশে লরেন্ট সিরিজে প্রসারিত করা যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে, তিনটি ভিন্ন ক্ষেত্রে সম্ভব যখন লরেন্ট সিরিজ: পার্থক্যের নেতিবাচক ক্ষমতা সহ পদ ধারণ করে না ডট
;

2) (লরেন্টের সিরিজে মূল অংশ থাকে না)। এই ক্ষেত্রে
, যে

,

ডাকা
অপসারণযোগ্য একক বিন্দু লরেন্ট সিরিজ। পার্থক্যের নেতিবাচক ক্ষমতা সহ একটি সীমিত সংখ্যক পদ রয়েছে ডট
;

3) এবং

.

. এই ক্ষেত্রে, বিন্দু লরেন্ট সিরিজে প্রসারিত করা যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে, তিনটি ভিন্ন ক্ষেত্রে সম্ভব যখন লরেন্ট সিরিজ: আদেশের মেরু ডট
.

নেতিবাচক শক্তি সহ অসীম সংখ্যক পদ রয়েছে:

1) এই ক্ষেত্রে, বিন্দু
মূলত একটি একক বিন্দু
একটি বিচ্ছিন্ন একবচন বিন্দুর চরিত্র নির্ণয় করার সময়, লরেন্ট সিরিজের বিস্তৃতি খোঁজার প্রয়োজন নেই। আপনি বিচ্ছিন্ন একবচন বিন্দুর বিভিন্ন বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করতে পারেন। :

.

2) ফাংশনের একটি অপসারণযোগ্য একবচন বিন্দু
, যদি ফাংশনের একটি সীমাবদ্ধ সীমা থাকে

.

3) বিন্দুতে
ফাংশনের মেরু
, যদি

ফাংশনের একটি অপরিহার্য বিন্দু ডান অংশ লরেন্ট সিরিজ।, যদি এ
একটি ফাংশনের কোন সীমা নেই, সসীম বা অসীমও নেই। (সংজ্ঞা 4.2। ) ডট
শূন্য

…,

.

প্রথম আদেশ ডান অংশ বা বহুগুণ
একটি ফাংশনের কোন সীমা নেই, সসীম বা অসীমও নেই। ডট
, যদি নিম্নলিখিত শর্ত পূরণ করা হয়:

,

মন্তব্য 4.2।
যদি এবং শুধুমাত্র যদি শূন্য হয় এবং

, যখন এই বিন্দুর কিছু আশেপাশে সমতা ধারণ করে ফাংশন কোথায় (
একটি বিন্দুতে বিশ্লেষণাত্মক
4) পয়েন্ট শৃঙ্খলার মেরু
.

) ফাংশন - , যদি এই পয়েন্টটি শূন্য ক্রম হয়
উদাহরণ 4.5।
ফাংশনের জন্য . এবং বিন্দু যাক শূন্য ক্রম ফাংশন
এবং শূন্য আদেশ ফাংশন
.

এ
বিন্দু ফাংশন কোথায়
ফাংশন
.

এ
বিন্দু ফাংশনের একটি অপসারণযোগ্য একক বিন্দু
.

উদাহরণ 4.6।বিচ্ছিন্ন বিন্দু খুঁজুন এবং একটি ফাংশনের জন্য তাদের ধরন নির্ধারণ করুন
.

সমাধান।ফাংশন
এবং
- সমগ্র জটিল সমতলে বিশ্লেষণাত্মক। এর মানে হল ফাংশনের একবচন বিন্দু
হর এর শূন্য, যে, বিন্দু যেখানে
. অসীম এই ধরনের অনেক পয়েন্ট আছে. প্রথমত, এই বিন্দু
, সেইসাথে সমীকরণ সন্তুষ্ট পয়েন্ট
. এখান থেকে
এবং
.

বিন্দু বিবেচনা করুন
. এই মুহুর্তে আমরা পাই:

,
,

,
.

শূন্যের ক্রম হল
.

,
,

,
,

,
,

,
.

.

সুতরাং, সময়কাল
দ্বিতীয় আদেশের একটি মেরু (
).

. তারপর

,
.

শূন্য অংকের ক্রম হল
.

,
,
.

হর এর শূন্যের ক্রম হল
. অতএব, পয়েন্ট
এ
প্রথম আদেশের খুঁটি ( সরল খুঁটি ).

উপপাদ্য 4.1। (অবশিষ্টাংশের উপর কচির উপপাদ্য ). যদি ফাংশন
সীমানায় বিশ্লেষণাত্মক অঞ্চল
এবং অঞ্চলের অভ্যন্তরে সর্বত্র, সীমিত সংখ্যক একক বিন্দু ছাড়া
, যে

.

পূর্ণাঙ্গ গণনা করার সময়, ফাংশনের সমস্ত একবচন বিন্দু সাবধানে খুঁজে বের করা মূল্যবান
, তারপর কনট্যুর এবং একবচন বিন্দু আঁকুন, এবং এর পরে শুধুমাত্র সেই বিন্দুগুলি নির্বাচন করুন যা ইন্টিগ্রেশন কনট্যুরের ভিতরে পড়ে। ছবি ছাড়া সঠিক পছন্দ করা প্রায়ই কঠিন।

ডিডাকশন গণনা করার পদ্ধতি
একবচন বিন্দুর ধরনের উপর নির্ভর করে। অতএব, অবশিষ্টাংশ গণনা করার আগে, আপনাকে একবচন বিন্দুর ধরন নির্ধারণ করতে হবে।

1) একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের অবশিষ্টাংশ লরেন্ট সম্প্রসারণের প্রথম ডিগ্রী বিয়োগের জন্য সহগের সমান
একটি বিন্দুর আশেপাশে :

.

এই বিবৃতিটি সমস্ত ধরণের বিচ্ছিন্ন বিন্দুর জন্য সত্য, এবং তাই এই ক্ষেত্রে এটি একটি একবচন বিন্দুর ধরন নির্ধারণ করার প্রয়োজন নেই।

2) অপসারণযোগ্য একবচন বিন্দুতে অবশিষ্টাংশ শূন্যের সমান।

3) যদি একটি সাধারণ মেরু (প্রথম অর্ডারের মেরু), এবং ফাংশন
ফর্মে উপস্থাপন করা যেতে পারে
উদাহরণ 4.5।
,
(উল্লেখ্য যে এই ক্ষেত্রে
), তারপর বিন্দুতে অবশিষ্টাংশ সমান

.

বিশেষ করে, যদি
, যে
.

4) যদি - সরল পোল, তারপর

5) যদি - মেরু
ম আদেশ ফাংশন
, যে

উদাহরণ 4.7।সেজন্য
.

সমাধান।ইন্টিগ্র্যান্ডের একবচন বিন্দু খোঁজা . ফাংশন এবং দুটি একক পয়েন্ট আছে শুধুমাত্র একটি বিন্দু কনট্যুরের ভিতরে পড়ে (চিত্র 4.6)। ডট - দ্বিতীয় আদেশের মেরু, যেহেতু .

ফাংশনের জন্য একাধিক 2 এর একটি শূন্য

তারপর, সূত্র ব্যবহার করে (4.7), আমরা এই বিন্দুতে অবশিষ্টাংশ খুঁজে পাই:

উপপাদ্য 4.1 দ্বারা আমরা খুঁজে পাই

___________________________________

শিক্ষার জন্য ফেডারেল এজেন্সি

সেন্ট পিটার্সবার্গ রাজ্য

_______________________________________

ইলেক্ট্রোটেকনিক্যাল ইউনিভার্সিটি "LETI"

একটি জটিল পরিবর্তনশীলের ফাংশনের তত্ত্ব

নির্দেশিকা

ব্যবহারিক ক্লাসে

উচ্চতর গণিতে

সেন্ট পিটার্সবার্গ

পাবলিশিং হাউস SPbSETU "LETI"

UDC 512.64(07)

TFKP: সমস্যা সমাধানের জন্য পদ্ধতিগত নির্দেশাবলী: V.G. Dyumin, A.M. Kotochigov, N.N. Sosnovsky: Publishing house of St. Petersburg State Electrotechnical University "LETI", 32 p.

বিশ্ববিদ্যালয়ের সম্পাদকীয় ও প্রকাশনা পরিষদ

নির্দেশিকা হিসাবে

© SPbSETU "LETI", 2010

একটি জটিল ভেরিয়েবলের কার্যকারিতা,, সাধারণ ক্ষেত্রে, বাস্তব সমতলের ম্যাপিং থেকে আলাদা
শুধুমাত্র রেকর্ডিং ফর্ম দ্বারা নিজেই. একটি গুরুত্বপূর্ণ এবং অত্যন্ত দরকারী বস্তু হল একটি জটিল পরিবর্তনশীলের ফাংশনের শ্রেণী,

একটি ভেরিয়েবলের ফাংশন হিসাবে একই ডেরিভেটিভ থাকা। এটি জানা যায় যে বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবলের ফাংশনে আংশিক ডেরিভেটিভ এবং দিকনির্দেশক ডেরিভেটিভ থাকতে পারে, তবে, একটি নিয়ম হিসাবে, বিভিন্ন দিকের ডেরিভেটিভগুলি একত্রিত হয় না এবং একটি বিন্দুতে ডেরিভেটিভ সম্পর্কে কথা বলা সম্ভব নয়। যাইহোক, একটি জটিল ভেরিয়েবলের ফাংশনগুলির জন্য যে শর্তগুলির অধীনে তারা পার্থক্যের অনুমতি দেয় তা বর্ণনা করা সম্ভব। একটি জটিল ভেরিয়েবলের পার্থক্যযোগ্য ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলির অধ্যয়ন হল পদ্ধতিগত নির্দেশাবলীর বিষয়বস্তু। এই ধরনের ফাংশনগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি বিভিন্ন সমস্যার সমাধান করতে কীভাবে ব্যবহার করা যেতে পারে তা প্রদর্শনের লক্ষ্যে নির্দেশাবলী রয়েছে। জটিল সংখ্যার সাথে গণনার প্রাথমিক দক্ষতা এবং জটিল সংখ্যার বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশগুলির সাথে সংযোগকারী অসাম্যের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত সহজ জ্যামিতিক বস্তুর সাথে পরিচিতি, সেইসাথে এর মডুলাস এবং যুক্তি ছাড়া উপস্থাপিত উপাদানটির সফল আয়ত্ত করা অসম্ভব। এর জন্য প্রয়োজনীয় সমস্ত তথ্যের একটি সারাংশ নির্দেশিকাগুলিতে পাওয়া যাবে।

গাণিতিক বিশ্লেষণের মানক যন্ত্র: সীমা, ডেরিভেটিভস, ইন্টিগ্রেল, সিরিজ নির্দেশিকাগুলির পাঠ্যে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। যেখানে এই ধারণাগুলির নিজস্ব সুনির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য রয়েছে, একটি পরিবর্তনশীলের ফাংশনের সাথে তুলনা করে, উপযুক্ত ব্যাখ্যা দেওয়া হয়, তবে বেশিরভাগ ক্ষেত্রেই বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশগুলিকে আলাদা করা এবং বাস্তব বিশ্লেষণের মানক যন্ত্র প্রয়োগ করা যথেষ্ট।

1. একটি জটিল ভেরিয়েবলের প্রাথমিক ফাংশন

কোন প্রাথমিক ফাংশনে এই বৈশিষ্ট্য রয়েছে তা খুঁজে বের করার মাধ্যমে একটি জটিল ভেরিয়েবলের ফাংশনের পার্থক্যের শর্তগুলির আলোচনা শুরু করা স্বাভাবিক। সুস্পষ্ট সম্পর্ক থেকে

এটি অনুসরণ করে যে কোনো বহুপদী পার্থক্যযোগ্য। এবং, যেহেতু একটি পাওয়ার সিরিজকে তার অভিসারের বৃত্তের মধ্যে শব্দ দ্বারা পৃথক করা যেতে পারে,

তাহলে যে কোনো ফাংশন আশেপাশে বিন্দুতে পার্থক্যযোগ্য যেখানে এটি একটি টেলর সিরিজে প্রসারিত করা যেতে পারে। এটি একটি যথেষ্ট শর্ত, কিন্তু, শীঘ্রই স্পষ্ট হয়ে উঠবে, এটিও প্রয়োজনীয়। ফাংশন গ্রাফের আচরণ পর্যবেক্ষণ করে তাদের ডেরিভেটিভের ক্ষেত্রে একটি ভেরিয়েবলের ফাংশনগুলির অধ্যয়নকে সমর্থন করা সুবিধাজনক। এটি একটি জটিল ভেরিয়েবলের ফাংশনের জন্য সম্ভব নয়। গ্রাফ পয়েন্টগুলি 4 মাত্রার একটি স্থানে অবস্থিত।

যাইহোক, জটিল সমতলে মোটামুটি সহজ সেটের চিত্রগুলি বিবেচনা করে ফাংশনের কিছু গ্রাফিকাল উপস্থাপনা পাওয়া যেতে পারে।
, একটি প্রদত্ত ফাংশনের প্রভাবের অধীনে উদ্ভূত। উদাহরণস্বরূপ, আসুন এই দৃষ্টিকোণ থেকে বেশ কয়েকটি সাধারণ ফাংশন বিবেচনা করি।

লিনিয়ার ফাংশন

এই সাধারণ ফাংশনটি খুবই গুরুত্বপূর্ণ, যেহেতু যেকোনো ডিফারেনশিয়াবল ফাংশন স্থানীয়ভাবে একটি রৈখিক একের মতো। চলুন ফাংশনের ক্রিয়াটি সর্বাধিক বিশদে বিবেচনা করি

এখানে
-- একটি জটিল সংখ্যার মডুলাস এবং --তার যুক্তি। এইভাবে, রৈখিক ফাংশন প্রসারিত, ঘূর্ণন এবং অনুবাদ সম্পাদন করে। অতএব, একটি লিনিয়ার ম্যাপিং যেকোনো সেটকে একই সেটে নিয়ে যায়। বিশেষ করে, রৈখিক ম্যাপিংয়ের প্রভাবে, সরল রেখাগুলি সরলরেখায় পরিণত হয় এবং বৃত্তগুলি বৃত্তে পরিণত হয়।

, তারপর

এই ফাংশনটি লিনিয়ারের পরের সবচেয়ে জটিল। এটা আশা করা কঠিন যে এটি একটি সরলরেখায় রূপান্তরিত করবে, এবং একটি বৃত্তকে একটি বৃত্তে পরিণত করবে, সাধারণ উদাহরণগুলি দেখায় যে এটি ঘটে না, তবে, এটি দেখানো যেতে পারে যে এই ফাংশনটি সমস্ত লাইন এবং বৃত্তের সেটকে রূপান্তরিত করে; নিজেই এটি যাচাই করার জন্য, ম্যাপিংয়ের আসল (সমন্বয়) বিবরণে যাওয়া সুবিধাজনক

প্রমাণের জন্য বিপরীত ম্যাপিংয়ের একটি বিবরণ প্রয়োজন

সমীকরণ বিবেচনা করুন যদি
, তারপর আমরা লাইনের সাধারণ সমীকরণ পাই। যদি
, যে

অতএব, যখন
একটি নির্বিচারে বৃত্তের সমীকরণ পাওয়া যায়।

উল্লেখ্য যে যদি
এবং
, তারপর বৃত্তটি উৎপত্তির মধ্য দিয়ে যায়। যদি
এবং
, তারপর আপনি উত্সের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখা পাবেন৷

বিপরীত কর্মের অধীনে, বিবেচনাধীন সমীকরণটি আকারে পুনরায় লেখা হবে

, (
)

অথবা এটি দেখা যায় যে এটিও একটি সমীকরণ যা বৃত্ত বা সরলরেখাকে বর্ণনা করে। সত্য যে সমীকরণে সহগ এবং
অদলবদল করা স্থান, এর মানে হল যে বিপরীত করার সময়, 0 এর মধ্য দিয়ে যাওয়া সরল রেখাগুলি বৃত্তে পরিণত হবে এবং 0 এর মধ্য দিয়ে যাওয়া বৃত্তগুলি সরলরেখায় পরিণত হবে।

পাওয়ার ফাংশন

এই ফাংশন এবং আগে আলোচনা করা ফাংশনগুলির মধ্যে প্রধান পার্থক্য হল যে তারা এক থেকে এক নয় (
) আমরা বলতে পারি যে ফাংশন
একটি জটিল সমতলকে একই সমতলের দুটি কপিতে রূপান্তরিত করে। এই বিষয়ের একটি সঠিক চিকিত্সার জন্য Riemann পৃষ্ঠতলের কষ্টকর যন্ত্রপাতি ব্যবহার করা প্রয়োজন এবং এখানে বিবেচনা করা বিষয়গুলির সুযোগের বাইরে চলে যায়। এটা বোঝা গুরুত্বপূর্ণ যে জটিল সমতলকে সেক্টরে ভাগ করা যেতে পারে, যার প্রতিটি জটিল সমতলে এক থেকে এক ম্যাপ করা হয়। এই ফাংশন জন্য ভাঙ্গন
যেমন দেখায়, উপরের অর্ধেক প্লেনটি ফাংশন দ্বারা জটিল সমতলের সাথে এক-একটি ম্যাপ করা হয়েছে
. এই ধরনের চিত্রগুলির জন্য জ্যামিতিক বিকৃতিগুলি বিপরীতের ক্ষেত্রে বর্ণনা করা আরও কঠিন। একটি ব্যায়াম হিসাবে, আপনি প্রদর্শন করার সময় উপরের অর্ধ-সমতলের আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্কগুলির গ্রিড কী রূপান্তরিত হয় তা সনাক্ত করতে পারেন

এটি দেখা যায় যে আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্কগুলির গ্রিডটি প্যারাবোলার একটি পরিবারে রূপান্তরিত হয় যা সমতলে বক্ররেখার স্থানাঙ্কগুলির একটি সিস্টেম তৈরি করে
. উপরে বর্ণিত প্লেনের পার্টিশনটি এমন যে ফাংশন
প্রতিটি প্রদর্শন করে সমগ্র সমতল জুড়ে সেক্টর. ফরোয়ার্ড এবং রিভার্স ম্যাপিংয়ের বর্ণনা এইরকম দেখায়

তাই ফাংশন
আছে বিভিন্ন বিপরীত ফাংশন,

প্লেনের বিভিন্ন সেক্টরে নির্দিষ্ট করা হয়েছে

এই ধরনের ক্ষেত্রে ম্যাপিং মাল্টি-শীটেড বলা হয়।

ঝুকভস্কি ফাংশন

ফাংশনটির নিজস্ব নাম রয়েছে, যেহেতু এটি ঝুকভস্কি দ্বারা তৈরি বিমানের শাখার তত্ত্বের ভিত্তি তৈরি করেছে (এই নকশার একটি বিবরণ বইটিতে পাওয়া যাবে)। ফাংশনের বেশ কয়েকটি আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য রয়েছে, আসুন তাদের মধ্যে একটিতে ফোকাস করা যাক - এই ফাংশনটি কোন সেটে এক-একটি কাজ করে তা খুঁজে বের করুন। সমতা বিবেচনা করুন

, কোথায়
.

ফলস্বরূপ, ঝুকভস্কি ফাংশনটি যেকোন ডোমেনে এক-একটি যার মধ্যে যে কোনোটির জন্য এবং তাদের পণ্য একের সমান নয়। এগুলি হল, উদাহরণস্বরূপ, ওপেন ইউনিট সার্কেল
এবং বন্ধ একক বৃত্তের পরিপূরক
.

তারপরে একটি বৃত্তে ঝুকভস্কি ফাংশনের ক্রিয়াটি বিবেচনা করুন

বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশগুলিকে আলাদা করে, আমরা উপবৃত্তের প্যারামেট্রিক সমীকরণ পাই

,
.

যদি
, তারপর এই উপবৃত্তগুলি পুরো সমতল পূর্ণ করে। এটি একইভাবে যাচাই করা যেতে পারে যে সেগমেন্টের চিত্রগুলি হাইপারবোলাস

.

সূচকীয় ফাংশন

ফাংশনটিকে একটি পাওয়ার সিরিজে প্রসারিত করা যেতে পারে যা সম্পূর্ণ জটিল সমতলে একত্রিত হয়, তাই এটি সর্বত্র আলাদা করা যায়। আসুন আমরা সেই সেটগুলি বর্ণনা করি যেগুলির উপর ফাংশনটি এক থেকে এক। সুস্পষ্ট সমতা
দেখায় যে সমতলকে স্ট্রিপগুলির একটি পরিবারে ভাগ করা যেতে পারে, যার প্রত্যেকটি সম্পূর্ণ জটিল সমতলে একটি ফাংশন দ্বারা এক-একটি ম্যাপ করা হয়। ইনভার্স ফাংশন, বা, আরও সঠিকভাবে, ইনভার্স ফাংশন কীভাবে কাজ করে তা বোঝার জন্য এই পার্টিশনটি অপরিহার্য। প্রতিটি স্ট্রাইপে একটি স্বাভাবিকভাবে সংজ্ঞায়িত বিপরীত ম্যাপিং রয়েছে

এই ক্ষেত্রে বিপরীত ফাংশনটিও বহুমাত্রিক এবং বিপরীত ফাংশনের সংখ্যা অসীম।

ম্যাপিংয়ের জ্যামিতিক বর্ণনা বেশ সহজ: সরল রেখা
রশ্মিতে পরিণত হয়
, সেগমেন্ট

বৃত্তে পরিণত
.