8 থেকে বেস 4 এর লগারিদম সমান। লগারিদম - বৈশিষ্ট্য, সূত্র, গ্রাফ

সুতরাং, আমাদের দুটি ক্ষমতা আছে। আপনি যদি নীচের লাইন থেকে নম্বরটি নেন, আপনি সহজেই সেই শক্তিটি খুঁজে পেতে পারেন যেখানে এই নম্বরটি পেতে আপনাকে দুটি বাড়াতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, 16 পেতে, আপনাকে দুই থেকে চতুর্থ শক্তি বাড়াতে হবে। এবং 64 পেতে, আপনাকে দুই থেকে ষষ্ঠ শক্তি বাড়াতে হবে। এটি টেবিল থেকে দেখা যায়।

এবং এখন - আসলে, লগারিদমের সংজ্ঞা:

x এর লগারিদমের ভিত্তি হল সেই শক্তি যা x পেতে হলে একটিকে উঠাতে হবে।

পদবি: লগ a x = b, যেখানে a হল বেস, x হল আর্গুমেন্ট, b হল লগারিদম আসলে যার সমান।

উদাহরণস্বরূপ, 2 3 = 8 ⇒ লগ 2 8 = 3 (8 এর ভিত্তি 2 লগারিদম তিনটি কারণ 2 3 = 8)। একই সাফল্য লগ 2 64 = 6, যেহেতু 2 6 = 64।

একটি প্রদত্ত বেসে একটি সংখ্যার লগারিদম খুঁজে বের করার অপারেশনকে লগারিদমাইজেশন বলে। সুতরাং, আমাদের টেবিলে একটি নতুন লাইন যোগ করা যাক:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
লগ 2 2 = 1	লগ 2 4 = 2	লগ 2 8 = 3	লগ 2 16 = 4	লগ 2 32 = 5	লগ 2 64 = 6

দুর্ভাগ্যবশত, সব লগারিদম এত সহজে গণনা করা হয় না। উদাহরণস্বরূপ, লগ 2 5 খোঁজার চেষ্টা করুন। 5 নম্বরটি টেবিলে নেই, কিন্তু যুক্তি নির্দেশ করে যে লগারিদমটি সেগমেন্টের কোথাও থাকবে। কারণ 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

এই ধরনের সংখ্যাগুলিকে অযৌক্তিক বলা হয়: দশমিক বিন্দুর পরে সংখ্যাগুলি অসীম হিসাবে লেখা যেতে পারে এবং সেগুলি কখনও পুনরাবৃত্তি হয় না। লগারিদম যদি অযৌক্তিক হতে দেখা যায়, তবে এটিকে এভাবে ছেড়ে দেওয়া ভাল: লগ 2 5, লগ 3 8, লগ 5 100৷

এটা বোঝা গুরুত্বপূর্ণ যে লগারিদম হল দুটি ভেরিয়েবল (বেস এবং আর্গুমেন্ট) সহ একটি অভিব্যক্তি। প্রথমে, অনেকে বিভ্রান্ত করে যে ভিত্তি কোথায় এবং যুক্তি কোথায়। বিরক্তিকর ভুল বোঝাবুঝি এড়াতে, শুধু ছবিটি দেখুন:

আমাদের সামনে লগারিদমের সংজ্ঞা ছাড়া আর কিছুই নয়। মনে রাখবেন: লগারিদম একটি শক্তি, যার মধ্যে একটি যুক্তি পাওয়ার জন্য ভিত্তি তৈরি করতে হবে। এটি বেস যা একটি শক্তিতে উত্থাপিত হয় - এটি ছবিতে লাল রঙে হাইলাইট করা হয়েছে। দেখা যাচ্ছে যে বেস সবসময় নীচে থাকে! আমি প্রথম পাঠেই আমার ছাত্রদের এই চমৎকার নিয়মটি বলি - এবং কোন বিভ্রান্তি সৃষ্টি হয় না।

আমরা সংজ্ঞাটি বের করেছি - যা বাকি আছে তা হল লগারিদমগুলি কীভাবে গণনা করতে হয় তা শিখতে হবে, যেমন "লগ" চিহ্ন থেকে মুক্তি পান। শুরুতে, আমরা লক্ষ্য করি যে দুটি গুরুত্বপূর্ণ তথ্য সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে:

1. যুক্তি এবং ভিত্তি সর্বদা শূন্যের চেয়ে বড় হতে হবে। এটি একটি যৌক্তিক সূচক দ্বারা একটি ডিগ্রির সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে, যেখানে লগারিদমের সংজ্ঞা হ্রাস করা হয়।
2. ভিত্তি একটি থেকে ভিন্ন হতে হবে, যেহেতু এক থেকে যেকোনো ডিগ্রী এখনও এক থাকে। এই কারণে, "দুটি পাওয়ার জন্য একজনকে কোন শক্তিতে উঠতে হবে" এই প্রশ্নটি অর্থহীন। এমন কোনো ডিগ্রি নেই!

এই ধরনের নিষেধাজ্ঞা বলা হয় অঞ্চল গ্রহণযোগ্য মান (ODZ)। দেখা যাচ্ছে যে লগারিদমের ODZ দেখতে এইরকম: লগ a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1।

মনে রাখবেন যে সংখ্যা b (লগারিদমের মান) উপর কোন সীমাবদ্ধতা নেই। উদাহরণস্বরূপ, লগারিদমটি নেতিবাচক হতে পারে: লগ 2 0.5 = −1, কারণ 0.5 = 2 −1।

যাইহোক, এখন আমরা শুধুমাত্র বিবেচনা সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তি, যেখানে লগারিদমের সিভিডি জানার প্রয়োজন নেই৷ সমস্ত বিধিনিষেধ ইতিমধ্যেই সমস্যাগুলির লেখকদের দ্বারা বিবেচনা করা হয়েছে। কিন্তু যখন তারা যায় লগারিদমিক সমীকরণএবং অসমতা, DHS প্রয়োজনীয়তা বাধ্যতামূলক হয়ে উঠবে। সর্বোপরি, ভিত্তি এবং যুক্তিতে খুব শক্তিশালী নির্মাণ থাকতে পারে যা অগত্যা উপরের বিধিনিষেধের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ নয়।

এখন বিবেচনা করা যাক সাধারণ স্কিমলগারিদম গণনা করা। এটি তিনটি ধাপ নিয়ে গঠিত:

1. বেস a এবং আর্গুমেন্ট x কে একটি পাওয়ার হিসাবে প্রকাশ করুন যার ন্যূনতম সম্ভাব্য বেস একের বেশি। পথ বরাবর, এটি দশমিক পরিত্রাণ পেতে ভাল;
2. পরিবর্তনশীল b এর সমীকরণটি সমাধান করুন: x = a b;
3. ফলিত সংখ্যা b হবে উত্তর।

তাই তো! লগারিদম অযৌক্তিক হতে দেখা গেলে, এটি ইতিমধ্যেই প্রথম ধাপে দৃশ্যমান হবে। ভিত্তিটি একের চেয়ে বড় হওয়ার প্রয়োজনীয়তা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ: এটি ত্রুটির সম্ভাবনা হ্রাস করে এবং গণনাগুলিকে ব্যাপকভাবে সরল করে। সঙ্গে একই দশমিক: আপনি যদি অবিলম্বে সেগুলিকে নিয়মিতগুলিতে রূপান্তর করেন তবে অনেক কম ত্রুটি থাকবে৷

আসুন দেখি কিভাবে এই স্কিমটি নির্দিষ্ট উদাহরণ ব্যবহার করে কাজ করে:

টাস্ক। লগারিদম গণনা করুন: লগ 5 25

1. আসুন ভিত্তি এবং যুক্তিটিকে পাঁচটির শক্তি হিসাবে কল্পনা করি: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;

আসুন সমীকরণটি তৈরি এবং সমাধান করি:
লগ 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. আমরা উত্তর পেয়েছি: 2.

টাস্ক। লগারিদম গণনা করুন:

টাস্ক। লগারিদম গণনা করুন: লগ 4 64

1. আসুন ভিত্তি এবং যুক্তিকে দুটির শক্তি হিসাবে কল্পনা করি: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
2. আসুন সমীকরণটি তৈরি এবং সমাধান করি:
   লগ 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. আমরা উত্তর পেয়েছি: 3.

টাস্ক। লগারিদম গণনা করুন: লগ 16 1

1. আসুন ভিত্তি এবং যুক্তিকে দুটির শক্তি হিসাবে কল্পনা করি: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0;
2. আসুন সমীকরণটি তৈরি এবং সমাধান করি:
   লগ 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. আমরা উত্তর পেয়েছি: 0।

টাস্ক। লগারিদম গণনা করুন: লগ 7 14

1. আসুন ভিত্তি এবং যুক্তিকে সাতটির শক্তি হিসাবে কল্পনা করি: 7 = 7 1 ; 7 1 থেকে 14 কে সাতের শক্তি হিসাবে উপস্থাপন করা যায় না< 14 < 7 2 ;
2. পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদ থেকে এটি অনুসরণ করে যে লগারিদম গণনা করা হয় না;
3. উত্তরটি কোন পরিবর্তন নয়: লগ 7 14।

শেষ উদাহরণ একটি ছোট নোট. আপনি কিভাবে নিশ্চিত হতে পারেন যে একটি সংখ্যা অন্য সংখ্যার একটি সঠিক শক্তি নয়? এটা খুবই সহজ - শুধুমাত্র এটাকে প্রাইম ফ্যাক্টরগুলিতে ফ্যাক্টর করুন। যদি সম্প্রসারণের কমপক্ষে দুটি ভিন্ন কারণ থাকে তবে সংখ্যাটি একটি সঠিক শক্তি নয়।

টাস্ক। সংখ্যাগুলি সঠিক শক্তি কিনা তা খুঁজে বের করুন: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - সঠিক ডিগ্রী, কারণ শুধুমাত্র একটি গুণক আছে;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - একটি সঠিক শক্তি নয়, যেহেতু দুটি কারণ রয়েছে: 3 এবং 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - সঠিক ডিগ্রী;
35 = 7 · 5 - আবার একটি সঠিক শক্তি নয়;
14 = 7 · 2 - আবার একটি সঠিক ডিগ্রী নয়;

আসুন আমরা নিজেরাও খেয়াল করি মৌলিক সংখ্যাসবসময় নিজেদের সঠিক ডিগ্রী হয়.

দশমিক লগারিদম

কিছু লগারিদম এত সাধারণ যে তাদের একটি বিশেষ নাম এবং প্রতীক রয়েছে।

x এর দশমিক লগারিদম হল বেস 10 এর লগারিদম, অর্থাৎ x সংখ্যা পাওয়ার জন্য 10 নম্বরটিকে যে শক্তিতে বাড়াতে হবে। পদবি: এলজি এক্স।

উদাহরণস্বরূপ, লগ 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - ইত্যাদি।

এখন থেকে, যখন একটি পাঠ্যপুস্তকে "Find lg 0.01" এর মতো একটি বাক্যাংশ উপস্থিত হবে, তখন জেনে রাখুন: এটি কোনও টাইপো নয়৷ এটি একটি দশমিক লগারিদম। যাইহোক, আপনি যদি এই স্বরলিপির সাথে অপরিচিত হন তবে আপনি সর্বদা এটি পুনরায় লিখতে পারেন:
log x = লগ 10 x

সাধারণ লগারিদমের জন্য যা সত্য তা দশমিক লগারিদমের জন্যও সত্য।

প্রাকৃতিক লগারিদম

আরেকটি লগারিদম আছে যার নিজস্ব উপাধি রয়েছে। কিছু উপায়ে, এটি দশমিকের চেয়েও বেশি গুরুত্বপূর্ণ। আমরা প্রাকৃতিক লগারিদম সম্পর্কে কথা বলছি।

x-এর প্রাকৃতিক লগারিদম হল লগারিদম থেকে বেস e, অর্থাৎ x সংখ্যা পাওয়ার জন্য যে শক্তিতে সংখ্যা e বাড়াতে হবে। পদবী: ln x।

অনেকেই প্রশ্ন করবেঃ ই সংখ্যা কত? এটি একটি অমূলদ সংখ্যা, তার সঠিক মানখুঁজে পাওয়া এবং রেকর্ড করা অসম্ভব। আমি শুধুমাত্র প্রথম পরিসংখ্যান দেব:
e = 2.718281828459...

এই সংখ্যাটি কী এবং কেন এটি প্রয়োজন সে সম্পর্কে আমরা বিস্তারিতভাবে যাব না। শুধু মনে রাখবেন যে e হল প্রাকৃতিক লগারিদমের ভিত্তি:
ln x = লগ ই x

এইভাবে ln e = 1 ; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - ইত্যাদি। অন্যদিকে, ln 2 একটি অমূলদ সংখ্যা। সাধারণভাবে, যেকোনো মূলদ সংখ্যার প্রাকৃতিক লগারিদম অমূলদ। ব্যতীত, অবশ্যই, ঐক্যের জন্য: ln 1 = 0।

প্রাকৃতিক লগারিদমের জন্য, সাধারণ লগারিদমের জন্য সত্য সব নিয়ম বৈধ।

log a r b r = log a bবা লগ a খ= লগ a r b r

লগারিদমের মান পরিবর্তন হবে না যদি লগারিদমের ভিত্তি এবং লগারিদম চিহ্নের অধীনে সংখ্যা একই শক্তিতে উত্থাপিত হয়।

লগারিদম চিহ্নের অধীনে শুধুমাত্র থাকতে পারে ইতিবাচক সংখ্যা, এবং লগারিদমের ভিত্তি একের সমান নয়।

উদাহরণ।

1) লগ 3 9 এবং লগ 9 81 তুলনা করুন।

লগ 3 9=2, যেহেতু 3 2 =9;

লগ 9 81=2, যেহেতু 9 2 =81।

সুতরাং লগ 3 9 = লগ 9 81।

লক্ষ্য করুন যে দ্বিতীয় লগারিদমের ভিত্তিটি প্রথম লগারিদমের ভিত্তির বর্গক্ষেত্রের সমান: 9=3 2, এবং দ্বিতীয় লগারিদমের চিহ্নের নীচের সংখ্যাটি প্রথম লগারিদমের চিহ্নের নীচে থাকা সংখ্যাটির বর্গক্ষেত্রের সমান লগারিদম: 81=9 2। দেখা যাচ্ছে যে প্রথম লগারিদম লগ 3 9 এর সংখ্যা এবং ভিত্তি উভয়ই দ্বিতীয় পাওয়ারে উত্থাপিত হয়েছিল এবং লগারিদমের মান এটি থেকে পরিবর্তিত হয়নি:

পরবর্তী, যেহেতু মূল নিষ্কাশন nমধ্য থেকে তম ডিগ্রী কএকটি সংখ্যা উত্থাপন হয় কডিগ্রী পর্যন্ত ( 1/n), তারপর লগ 9 81 থেকে আপনি সংখ্যাটির বর্গমূল এবং লগারিদমের ভিত্তি থেকে লগ 3 9 পেতে পারেন:

2) সমতা পরীক্ষা করুন: লগ 4 25 = লগ 0.5 0.2।

প্রথম লগারিদম দেখি। ভিত্তির বর্গমূল নিচ্ছে 4 এবং মধ্যে থেকে 25 ; আমরা পাই: লগ 4 25 = লগ 2 5।

দ্বিতীয় লগারিদম দেখি। লগারিদমের ভিত্তি: 0.5= 1 / 2। এই লগারিদমের চিহ্নের অধীনে সংখ্যা: 0.2= 1/5। আসুন এই সংখ্যাগুলির প্রতিটিকে বিয়োগ প্রথম শক্তিতে বাড়াই:

0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;

0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.

সুতরাং লগ 0.5 0.2 = লগ 2 5। উপসংহার: এই সমতা সত্য।

সমীকরণটি সমাধান করুন:

লগ 4 x 4 + লগ 16 81 = লগ 2 (5x+2)।বাম থেকে বেস পর্যন্ত লগারিদম কমানো যাক 2 .

লগ 2 x 2 + লগ 2 3 = লগ 2 (5x+2)। সংখ্যাটির বর্গমূল এবং প্রথম লগারিদমের ভিত্তি নিন। সংখ্যার চতুর্থ মূল এবং দ্বিতীয় লগারিদমের ভিত্তি বের করুন।

লগ 2 (3x 2) = লগ 2 (5x +2)। লগারিদমের যোগফলকে গুণফলের লগারিদমে রূপান্তর করুন।

3x 2 = 5x+2। potentiation পরে প্রাপ্ত.

3x 2 -5x-2=0। সিদ্ধান্ত নেওয়া যাক দ্বিঘাত সমীকরণএকটি সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণের জন্য সাধারণ সূত্র ব্যবহার করে:

a=3, b=-5, c=-2।

D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4∙3∙(-2)=25+24=49=7 2 >0; 2টি আসল শিকড়।

পরীক্ষা।

x=2।

log 4 2 4 +log 16 81=log 2 (5∙2+2);

লগ 2 2 2 + লগ 2 3 = লগ 2 12;

লগ 2 (4∙3) = লগ 2 12;

লগ 2 12 = লগ 2 12;

লগ a n খ=(1/ n)∙ লগ a খ

একটি সংখ্যার লগারিদম খউপর ভিত্তি করে একটি nভগ্নাংশের গুণফলের সমান 1/ nএকটি সংখ্যার লগারিদমে খউপর ভিত্তি করে ক.

খুঁজুন:1) 21log 8 3+40log 25 2; 2) 30log 32 3∙log 125 2 , যদি এটা জানা যায় যে লগ 2 3 = খ,লগ 5 2 = গ।

সমাধান।

সমীকরণ সমাধান করুন:

1) লগ 2 x+লগ 4 x+লগ 16 x=5.25।

সমাধান।

আসুন এই লগারিদমগুলিকে বেস 2 এ কমিয়ে দেই। সূত্রটি প্রয়োগ করুন: লগ a n খ=(1/ n)∙ লগ a খ

লগ 2 x+(½) লগ 2 x+(¼) লগ 2 x=5.25;

লগ 2 x+0.5log 2 x+0.25log 2 x=5.25। এখানে অনুরূপ পদ আছে:

(1+0.5+0.25) লগ 2 x=5.25;

1.75 লগ 2 x=5.25 |:1.75

লগ 2 x = 3। লগারিদমের সংজ্ঞা অনুসারে:

2) 0.5log 4 (x-2)+লগ 16 (x-3)=0.25।

সমাধান। লগারিদমকে বেস 16 থেকে বেস 4 এ রূপান্তর করি।

0.5log 4 (x-2)+0.5log 4 (x-3)=0.25 |:0.5

লগ 4 (x-2)+লগ 4 (x-3)=0.5। লগারিদমের যোগফলকে গুণফলের লগারিদমে রূপান্তর করা যাক।

লগ 4 ((x-2)(x-3))=0.5;

লগ 4 (x 2 -2x-3x+6)=0.5;

লগ 4 (x 2 -5x+6)=0.5। লগারিদমের সংজ্ঞা অনুসারে:

x 2 -5x+4=0। ভিয়েতার উপপাদ্য অনুসারে:

x 1 =1; x 2 =4। x এর প্রথম মান কাজ করবে না, যেহেতু x = 1 এ এই সমতার লগারিদম বিদ্যমান নেই, কারণ লগারিদম চিহ্নের অধীনে শুধুমাত্র ধনাত্মক সংখ্যা হতে পারে।

এই সমীকরণটি x=4 এ পরীক্ষা করা যাক।

পরীক্ষা।

0.5 লগ 4 (4-2)+লগ 16 (4-3)=0.25

0.5log 4 2+log 16 1=0.25

0,5∙0,5+0=0,25

লগ a b=log c b/log c a

একটি সংখ্যার লগারিদম খউপর ভিত্তি করে কসংখ্যার লগারিদমের সমান খএকটি নতুন ভিত্তিতে সঙ্গে, পুরানো বেসের লগারিদম দ্বারা বিভক্ত কএকটি নতুন ভিত্তিতে সঙ্গে.

উদাহরণ:

1) লগ 2 3=lg3/lg2;

2) লগ 8 7=ln7/ln8।

গণনা করুন:

1) লগ 5 7, যদি এটা জানা যায় যে lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.

গখ / লগ গক

লগ 5 7=log7/log5≈0.8451:0.6990≈1.2090।

উত্তরঃ লগ 5 7≈1,209 0≈1,209 .

2) লগ 5 7 , যদি এটা জানা যায় যে ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.

সমাধান। সূত্রটি প্রয়োগ করুন: log a b =log গখ / লগ গক

লগ 5 7=ln7/ln5≈1.9459:1.6094≈1.2091।

উত্তরঃ লগ 5 7≈1,209 1≈1,209 .

এক্স খুঁজুন:

1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3।

আমরা সূত্রটি ব্যবহার করি: লগ গখ / লগ গ a = লগ a খ . আমরা পাই:

log 3 x=log 3 4+log 3 6+log 3 8;

লগ 3 x = লগ 3 (4∙6∙8);

লগ 3 x = লগ 3 192;

x=192।

2) লগ 7 x=lg143-লগ 6 11/লগ 6 10-লগ 5 13/লগ 5 10.

আমরা সূত্রটি ব্যবহার করি: লগ গখ / লগ গ a = লগ a b. আমরা পাই:

লগ 7 x=lg143-lg11-lg13;

লগ 7 x=lg143- (lg11+lg13);

লগ 7 x=lg143-lg (11∙13);

লগ 7 x=lg143-lg143;

x=1।

পৃষ্ঠা 1 এর 1 1

লগারিদমের মৌলিক বৈশিষ্ট্য, লগারিদম গ্রাফ, সংজ্ঞার ডোমেইন, মানের সেট, মৌলিক সূত্র, বৃদ্ধি এবং হ্রাস দেওয়া হয়েছে। লগারিদমের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা বিবেচনা করা হয়। এবং অবিচ্ছেদ্য, মধ্যে সম্প্রসারণ শক্তি সিরিজএবং জটিল সংখ্যা ব্যবহার করে উপস্থাপনা।

লগারিদমের সংজ্ঞা

বেস সহ লগারিদম a y এর একটি ফাংশন (x) = লগ a x, বেস a সহ সূচকীয় ফাংশনের বিপরীত: x (y) = a y.

দশমিক লগারিদমএকটি সংখ্যার ভিত্তির লগারিদম 10 : লগ x ≡ লগ 10 x.

প্রাকৃতিক লগারিদম e এর বেসের লগারিদম হল: ln x ≡ লগ ই x.

2,718281828459045... ;
.

লগারিদমের গ্রাফটি সূচকীয় ফাংশনের গ্রাফ থেকে প্রাপ্ত হয় মিরর ইমেজসরলরেখা y = x আপেক্ষিক। বাম দিকে y ফাংশনের গ্রাফ রয়েছে(x) = লগ a x চারটি মানের জন্যলগারিদম বেস 2 : a = 8 : a = 1/2 , a = 1/8 এবং একটি = 1 . 0 < a < 1 গ্রাফ দেখায় যে যখন একটি >

লগারিদম একঘেয়েভাবে বৃদ্ধি পায়। x বাড়ার সাথে সাথে বৃদ্ধি উল্লেখযোগ্যভাবে হ্রাস পায়। এ

লগারিদম একঘেয়েভাবে হ্রাস পায়।

লগারিদম একটি একঘেয়ে ফাংশন, তাই এটির কোন এক্সট্রিমা নেই। লগারিদমের প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি টেবিলে উপস্থাপন করা হয়েছে।

সংজ্ঞার ডোমেন	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
মান পরিসীমা	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
একঘেয়ে	একঘেয়ে বেড়ে যায়	একঘেয়ে কমে যায়
শূন্য, y = 0	x = 1	x = 1
অর্ডিনেট অক্ষের সাথে ইন্টারসেপ্ট পয়েন্ট, x = 0	না	না
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

ব্যক্তিগত মান

বেস 10 লগারিদম বলা হয় দশমিক লগারিদমএবং নিম্নলিখিত হিসাবে চিহ্নিত করা হয়:

লগারিদম থেকে বেস eডাকা প্রাকৃতিক লগারিদম:

লগারিদমের জন্য মৌলিক সূত্র

বিপরীত ফাংশনের সংজ্ঞা থেকে উদ্ভূত লগারিদমের বৈশিষ্ট্য:

লগারিদমের প্রধান বৈশিষ্ট্য এবং এর ফলাফল

বেস প্রতিস্থাপন সূত্র

লগারিদমলগারিদম নেওয়ার গাণিতিক অপারেশন। লগারিদম নেওয়ার সময়, গুণনীয়কগুলির পণ্যগুলি পদের যোগফলগুলিতে রূপান্তরিত হয়।

সম্ভাবনালগারিদমের বিপরীত গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ। পোটেনশিয়েশনের সময়, একটি প্রদত্ত বেস অভিব্যক্তির ডিগ্রি পর্যন্ত উত্থাপিত হয় যার উপর পোটেনশিয়ান সঞ্চালিত হয়। এই ক্ষেত্রে, পদগুলির সমষ্টিগুলি গুণনীয়কের পণ্যগুলিতে রূপান্তরিত হয়।

লগারিদমের মৌলিক সূত্রের প্রমাণ

লগারিদম সম্পর্কিত সূত্রগুলি সূচকীয় ফাংশনের সূত্র থেকে এবং একটি বিপরীত ফাংশনের সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে।

সূচকীয় ফাংশনের বৈশিষ্ট্য বিবেচনা করুন
.
তারপর
.
সূচকীয় ফাংশনের বৈশিষ্ট্য প্রয়োগ করা যাক
:
.

বেস প্রতিস্থাপন সূত্র প্রমাণ করা যাক।
;
.
ধরে নিলাম c = b, আমাদের আছে:

বিপরীত ফাংশন

লগারিদমের বিপরীতে a এর ভিত্তি সূচকীয় ফাংশনসূচক সহ a.

যদি, তাহলে

যদি, তাহলে

লগারিদমের ডেরিভেটিভ

মডুলাস x এর লগারিদমের ডেরিভেটিভ:
.
nম অর্ডারের ডেরিভেটিভ:
.
সূত্র প্রাপ্ত করা >>>

লগারিদমের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে, এটিকে বেসে ছোট করতে হবে e.
;
.

অখণ্ড

লগারিদমের অখণ্ড অংশগুলি দ্বারা সংহত করে গণনা করা হয়: .
তাই,

জটিল সংখ্যা ব্যবহার করে অভিব্যক্তি

জটিল সংখ্যা ফাংশন বিবেচনা করুন z:
.
প্রকাশ করা যাক জটিল সংখ্যা zমডিউল মাধ্যমে rএবং যুক্তি φ :
.
তারপর, লগারিদমের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে, আমাদের আছে:
.
বা

যাইহোক, যুক্তি φ স্বতন্ত্রভাবে সংজ্ঞায়িত নয়। রাখলে
, যেখানে n একটি পূর্ণসংখ্যা,
তারপর এটি বিভিন্ন জন্য একই সংখ্যা হবে n.

অতএব, লগারিদম, একটি জটিল চলকের একটি ফাংশন হিসাবে, একটি একক-মূল্যবান ফাংশন নয়।

পাওয়ার সিরিজ সম্প্রসারণ

যখন সম্প্রসারণ ঘটে:

ব্যবহৃত সাহিত্য:
আই.এন. ব্রনস্টেইন, কে.এ. সেমেনদিয়াভ, ইঞ্জিনিয়ার এবং কলেজ ছাত্রদের জন্য গণিতের হ্যান্ডবুক, "ল্যান", 2009।

আপনার গোপনীয়তা বজায় রাখা আমাদের কাছে গুরুত্বপূর্ণ। এই কারণে, আমরা একটি গোপনীয়তা নীতি তৈরি করেছি যা বর্ণনা করে যে আমরা কীভাবে আপনার তথ্য ব্যবহার করি এবং সংরক্ষণ করি। আমাদের গোপনীয়তা অনুশীলন পর্যালোচনা করুন এবং আপনার কোন প্রশ্ন থাকলে আমাদের জানান।

ব্যক্তিগত তথ্য সংগ্রহ এবং ব্যবহার

ব্যক্তিগত তথ্য এমন ডেটা বোঝায় যা একটি নির্দিষ্ট ব্যক্তিকে সনাক্ত করতে বা যোগাযোগ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

আপনি আমাদের সাথে যোগাযোগ করার সময় আপনাকে আপনার ব্যক্তিগত তথ্য প্রদান করতে বলা হতে পারে।

আমরা যে ধরনের ব্যক্তিগত তথ্য সংগ্রহ করতে পারি এবং কীভাবে আমরা এই ধরনের তথ্য ব্যবহার করতে পারি তার কিছু উদাহরণ নিচে দেওয়া হল।

আমরা কোন ব্যক্তিগত তথ্য সংগ্রহ করি:

• আপনি যখন সাইটে একটি আবেদন জমা দেন, আমরা আপনার নাম, টেলিফোন নম্বর, ঠিকানা সহ বিভিন্ন তথ্য সংগ্রহ করতে পারি ইমেইলইত্যাদি

আমরা কীভাবে আপনার ব্যক্তিগত তথ্য ব্যবহার করি:

• আমরা যে ব্যক্তিগত তথ্য সংগ্রহ করি তা আমাদেরকে অনন্য অফার, প্রচার এবং অন্যান্য ইভেন্ট এবং আসন্ন ইভেন্টগুলির সাথে আপনার সাথে যোগাযোগ করার অনুমতি দেয়।
• সময়ে সময়ে, আমরা গুরুত্বপূর্ণ নোটিশ এবং যোগাযোগ পাঠাতে আপনার ব্যক্তিগত তথ্য ব্যবহার করতে পারি।
• আমরা অভ্যন্তরীণ উদ্দেশ্যে যেমন অডিটিং, ডেটা বিশ্লেষণ এবং ব্যক্তিগত তথ্য ব্যবহার করতে পারি বিভিন্ন গবেষণাআমরা যে পরিষেবাগুলি প্রদান করি তা উন্নত করার জন্য এবং আমাদের পরিষেবাগুলির বিষয়ে আপনাকে সুপারিশগুলি প্রদান করি৷
• আপনি যদি একটি পুরস্কার ড্র, প্রতিযোগিতা বা অনুরূপ প্রচারে অংশগ্রহণ করেন, তাহলে আমরা এই ধরনের প্রোগ্রাম পরিচালনা করতে আপনার দেওয়া তথ্য ব্যবহার করতে পারি।

তৃতীয় পক্ষের কাছে তথ্য প্রকাশ

আমরা আপনার কাছ থেকে প্রাপ্ত তথ্য তৃতীয় পক্ষের কাছে প্রকাশ করি না।

ব্যতিক্রম:

• প্রয়োজনে - আইন অনুযায়ী, বিচারিক পদ্ধতি, আইনি প্রক্রিয়া এবং/অথবা জনসাধারণের অনুরোধ বা অনুরোধের ভিত্তিতে সরকারী সংস্থারাশিয়ান ফেডারেশনের অঞ্চলে - আপনার ব্যক্তিগত তথ্য প্রকাশ করুন। আমরা আপনার সম্পর্কে তথ্য প্রকাশ করতে পারি যদি আমরা নির্ধারণ করি যে এই ধরনের প্রকাশ নিরাপত্তা, আইন প্রয়োগকারী বা অন্যান্য জনগুরুত্বপূর্ণ উদ্দেশ্যে প্রয়োজনীয় বা উপযুক্ত।
• পুনর্গঠন, একত্রীকরণ বা বিক্রয়ের ক্ষেত্রে, আমরা যে ব্যক্তিগত তথ্য সংগ্রহ করি তা প্রযোজ্য উত্তরসূরি তৃতীয় পক্ষের কাছে হস্তান্তর করতে পারি।

ব্যক্তিগত তথ্য সুরক্ষা

আমরা সতর্কতা অবলম্বন করি - প্রশাসনিক, প্রযুক্তিগত এবং শারীরিক সহ - আপনার ব্যক্তিগত তথ্য ক্ষতি, চুরি এবং অন্যায্য ব্যবহার, সেইসাথে অননুমোদিত অ্যাক্সেস, প্রকাশ, পরিবর্তন এবং ধ্বংস থেকে।

কোম্পানি পর্যায়ে আপনার গোপনীয়তা সম্মান

আপনার ব্যক্তিগত তথ্য সুরক্ষিত আছে তা নিশ্চিত করার জন্য, আমরা আমাদের কর্মীদের গোপনীয়তা এবং সুরক্ষা মানগুলি যোগাযোগ করি এবং গোপনীয়তা অনুশীলনগুলি কঠোরভাবে প্রয়োগ করি।

লগারিদম কি?

মনোযোগ!
অতিরিক্ত আছে
বিশেষ ধারা 555 এর উপকরণ।
যারা খুব "খুব নয়..." তাদের জন্য
এবং যারা "খুব বেশি ..." তাদের জন্য)

লগারিদম কি? লগারিদম কিভাবে সমাধান করবেন? এই প্রশ্নগুলি অনেক স্নাতককে বিভ্রান্ত করে। ঐতিহ্যগতভাবে, লগারিদমের বিষয়টিকে জটিল, বোধগম্য এবং ভীতিকর বলে মনে করা হয়। বিশেষ করে লগারিদমের সমীকরণ।

এটা একেবারেই সত্য নয়। একেবারেই! বিশ্বাস করবেন না? ফাইন। এখন, মাত্র 10-20 মিনিটের মধ্যে আপনি:

1. আপনি বুঝতে পারবেন লগারিদম কি.

2. পুরো ক্লাস সমাধান করতে শিখুন সূচকীয় সমীকরণ. এমনকি যদি আপনি তাদের সম্পর্কে কিছু না শুনে থাকেন।

3. সহজ লগারিদম গণনা করতে শিখুন।

তদুপরি, এর জন্য আপনাকে কেবল গুণের সারণী এবং কীভাবে একটি সংখ্যাকে শক্তিতে বাড়াতে হবে তা জানতে হবে...

আমার মনে হয় আপনার সন্দেহ আছে... আচ্ছা, ঠিক আছে, সময় চিহ্নিত করুন! চলুন!

প্রথমে, আপনার মাথায় এই সমীকরণটি সমাধান করুন:

আপনি যদি এই সাইটটি পছন্দ করেন ...

যাইহোক, আমার কাছে আপনার জন্য আরও কয়েকটি আকর্ষণীয় সাইট রয়েছে।)

আপনি উদাহরণগুলি সমাধান করার অনুশীলন করতে পারেন এবং আপনার স্তরটি খুঁজে বের করতে পারেন। তাত্ক্ষণিক যাচাইকরণের সাথে পরীক্ষা করা হচ্ছে। আসুন শিখি - আগ্রহ সহ!)

আপনি ফাংশন এবং ডেরিভেটিভের সাথে পরিচিত হতে পারেন।