একটি ভেক্টর এবং একটি সংখ্যার গুণফল। কোন ভেক্টরকে দুটি ভেক্টরের যোগফল বলা হয় একটি ভেক্টর এবং একটি সংখ্যার গুণফলের সংজ্ঞা দাও?

m দ্বারা n মাপের ম্যাট্রিক্স।

ম্যাট্রিক্স আকার m দ্বারা n হল mn বাস্তব সংখ্যা বা অন্য কাঠামোর উপাদানগুলির একটি সংগ্রহ (বহুপদ, ফাংশন, ইত্যাদি), একটি আয়তক্ষেত্রাকার টেবিলের আকারে লেখা, যা m সারি এবং n কলাম নিয়ে গঠিত এবং বৃত্তাকার বা আয়তক্ষেত্রাকার বা দ্বিগুণে নেওয়া হয় সোজা বন্ধনী। এই ক্ষেত্রে, সংখ্যাগুলিকে ম্যাট্রিক্স উপাদান বলা হয় এবং প্রতিটি উপাদান দুটি সংখ্যার সাথে যুক্ত থাকে - সারি সংখ্যা এবং কলাম সংখ্যা n দ্বারা n আকারের একটি ম্যাট্রিক্স বর্গক্ষেত্র nম ক্রম ম্যাট্রিক্স, অর্থাৎ সারির সংখ্যা কলামের সংখ্যার সমান। ত্রিভুজাকার - একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স যেখানে প্রধান কর্ণের নীচে বা উপরে সমস্ত উপাদান শূন্যের সমান হয় তির্যক , যদি এর সমস্ত অফ-তির্যক উপাদান শূন্যের সমান হয়। স্কেলার ম্যাট্রিক্স - একটি তির্যক ম্যাট্রিক্স যার প্রধান তির্যক উপাদানগুলি সমান। একটি স্কেলার ম্যাট্রিক্সের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে পরিচয় ম্যাট্রিক্স। তির্যকএকটি ম্যাট্রিক্স যেখানে সমস্ত তির্যক উপাদান 1 এর সমান তাকে বলা হয় এককম্যাট্রিক্স এবং I বা E চিহ্ন দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। একটি ম্যাট্রিক্স যার সমস্ত উপাদান শূন্য তাকে বলা হয় নাল ম্যাট্রিক্স এবং O চিহ্ন দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

একটি সংখ্যা দ্বারা ম্যাট্রিক্স A গুণ করা λ (প্রতীক: λ ক) একটি ম্যাট্রিক্স নির্মাণে গঠিত খ, যার উপাদানগুলি ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি উপাদানকে গুণ করে প্রাপ্ত করা হয় কএই সংখ্যা দ্বারা, অর্থাৎ ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি উপাদান খসমান

ম্যাট্রিক্সকে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করার বৈশিষ্ট্য

1. 1*A = A; 2. (Λβ)A = Λ(βA) 3. (Λ+β)A = ΛA + βA

4. Λ(A+B) = ΛA + ΛB

ম্যাট্রিক্স সংযোজন ক + খ একটি ম্যাট্রিক্স খোঁজার অপারেশন গ, যার সমস্ত উপাদান সমস্ত সংশ্লিষ্ট ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলির জোড়ার যোগফলের সমান কএবং খ, অর্থাৎ ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি উপাদান গসমান

ম্যাট্রিক্স সংযোজনের বৈশিষ্ট্য

5.commutativity) a+b=b+a

6. সহযোগীতা।

7. শূন্য ম্যাট্রিক্সের সাথে যোগ;

8. একটি বিপরীত ম্যাট্রিক্সের অস্তিত্ব (একই জিনিস কিন্তু প্রতিটি সংখ্যার আগে সর্বত্র বিয়োগ আছে)

ম্যাট্রিক্স গুণ - একটি ম্যাট্রিক্স গণনা অপারেশন আছে গ, যে উপাদানগুলির উপাদানগুলি প্রথম ফ্যাক্টর এবং দ্বিতীয়টির কলামের সংশ্লিষ্ট সারির উপাদানগুলির গুণফলের সমষ্টির সমান৷

ম্যাট্রিক্সে কলামের সংখ্যা কম্যাট্রিক্সের সারির সংখ্যার সাথে মেলে খ. ম্যাট্রিক্স হলে কমাত্রা আছে, খ- , তারপর তাদের পণ্যের মাত্রা এবি = গআছে.

ম্যাট্রিক্স গুণের বৈশিষ্ট্য

1. সহযোগীতা (উপরে দেখুন)

2. পণ্য পরিবর্তনশীল নয়;

3. পরিচয় ম্যাট্রিক্সের সাথে গুণনের ক্ষেত্রে পণ্যটি পরিবর্তনশীল;

4. বন্টনমূলক আইনের ন্যায্যতা; A*(B+C)=A*B+A*C।

5.(ΛA)B = Λ(AB) = A(ΛB);

2. প্রথম এবং nম ক্রমে একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক

একটি ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক হল একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলির একটি বহুপদ (অর্থাৎ, যার মধ্যে সারি এবং কলামের সংখ্যা সমান

প্রথম সারিতে সম্প্রসারণের মাধ্যমে নির্ধারণ

একটি প্রথম অর্ডার ম্যাট্রিক্স জন্য নির্ধারকএই ম্যাট্রিক্স নিজেই একমাত্র উপাদান:

নির্ধারক একটি ম্যাট্রিক্স জন্য হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়

একটি ম্যাট্রিক্সের জন্য, নির্ধারকটি পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে নির্দিষ্ট করা হয়:

, যেখানে উপাদানটির একটি অতিরিক্ত গৌণ আছে৷ ক 1j. এই সূত্র বলা হয় লাইন সম্প্রসারণ.

বিশেষ করে, একটি ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক গণনার সূত্র হল:

= ক 11 ক 22 ক 33 − ক 11 ক 23 ক 32 − ক 12 ক 21 ক 33 + ক 12 ক 23 ক 31 + ক 13 ক 21 ক 32 − ক 13 ক 22 ক 31

নির্ধারকদের বৈশিষ্ট্য

যেকোনো সারিতে (কলাম) অন্যান্য সারি (কলাম) এর রৈখিক সমন্বয় যোগ করার সময়, নির্ধারক পরিবর্তন হয় না।

§ যদি একটি ম্যাট্রিক্সের দুটি সারি (কলাম) মিলে যায়, তাহলে এর নির্ণায়ক শূন্যের সমান।

§ যদি একটি ম্যাট্রিক্সের দুটি (বা একাধিক) সারি (কলাম) রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হয়, তাহলে এর নির্ণায়ক শূন্যের সমান।

§ যদি আপনি একটি ম্যাট্রিক্সের দুটি সারি (কলাম) পুনরায় সাজান, তাহলে এর নির্ধারককে (-1) দ্বারা গুণ করা হবে।

§ নির্ধারকের যেকোনো ধারার উপাদানের সাধারণ গুণনীয়ক নির্ধারকের চিহ্ন থেকে বের করা যেতে পারে।

§ যদি ম্যাট্রিক্সের অন্তত একটি সারি (কলাম) শূন্য হয়, তাহলে নির্ধারকটি শূন্যের সমান।

§ বীজগাণিতিক পরিপূরক দ্বারা যেকোনো সারির সমস্ত উপাদানের গুণফলের সমষ্টি নির্ধারকের সমান।

§ একটি সমান্তরাল সিরিজের সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলির বীজগাণিতিক পরিপূরক দ্বারা যেকোনো সিরিজের সমস্ত উপাদানের গুণফলের যোগফল শূন্যের সমান।

§ একই ক্রমে বর্গ ম্যাট্রিক্সের গুণফলের নির্ধারক তাদের নির্ণায়কের গুণফলের সমান (বিনেট-কচি সূত্রটিও দেখুন)।

§ সূচক স্বরলিপি ব্যবহার করে, একটি 3x3 ম্যাট্রিক্সের নির্ধারককে সম্পর্ক থেকে লেভি-সিভিটা প্রতীক ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে:

বিপরীত ম্যাট্রিক্স।

বিপরীত ম্যাট্রিক্স - যেমন একটি ম্যাট্রিক্স A−1, মূল ম্যাট্রিক্স যা দিয়ে গুণ করা হয় কপরিচয় ম্যাট্রিক্স ফলাফল ই:

শর্তসাপেক্ষ অস্তিত্ব

একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স অপরিবর্তনীয় হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি অ-একবচন হয়, অর্থাৎ, এর নির্ধারক শূন্যের সমান না হয়। অ-বর্গীয় ম্যাট্রিক্স এবং একবচন ম্যাট্রিসের জন্য, কোন বিপরীত ম্যাট্রিক্স নেই।

খোঁজার জন্য সূত্র

যদি ম্যাট্রিক্স ইনভার্টেবল হয়, তাহলে ইনভার্স ম্যাট্রিক্স খুঁজে পেতে আপনি নিম্নলিখিত পদ্ধতিগুলির মধ্যে একটি ব্যবহার করতে পারেন:

ক) বীজগাণিতিক সংযোজনের ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করা

সি টি- বীজগাণিতিক সংযোজনের ট্রান্সপোজড ম্যাট্রিক্স;

ফলে ম্যাট্রিক্স ক−1 এবং বিপরীত হবে। অ্যালগরিদমের জটিলতা নির্ভর করে নির্ধারক O det গণনার জন্য অ্যালগরিদমের জটিলতার উপর এবং O(n²)·O det এর সমান।

অন্য কথায়, বিপরীত ম্যাট্রিক্সটি মূল ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক দ্বারা বিভক্ত এবং বীজগাণিতিক সংযোজনের ট্রান্সপোজড ম্যাট্রিক্স দ্বারা গুণিত একটির সমান (নাবালটিকে (-1) দ্বারা গুণ করা হয় এটি যে স্থান দখল করে তার শক্তিতে) মূল ম্যাট্রিক্সের উপাদান।

4. রৈখিক সমীকরণের সিস্টেম। সিস্টেম সমাধান। সিস্টেমের সামঞ্জস্য এবং অসঙ্গতি। n ভেরিয়েবল সহ n রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধানের জন্য ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি। ক্র্যামারের উপপাদ্য।

সিস্টেম মিসঙ্গে রৈখিক সমীকরণ nঅজানা(বা, লিনিয়ার সিস্টেম) রৈখিক বীজগণিতে ফর্মের সমীকরণের একটি সিস্টেম

(1)

এখানে x 1 , x 2 , …, x n- অজানা যা নির্ধারণ করা প্রয়োজন। ক 11 , ক 12 , …, একটি mn- সিস্টেম সহগ - এবং খ 1 , খ 2 , … খ মি- বিনামূল্যে সদস্য - পরিচিত বলে ধরে নেওয়া হয়। সহগ সূচক ( একটি ij) সিস্টেম সমীকরণ সংখ্যা নির্দেশ করে ( i) এবং অজানা ( j), যেখানে এই সহগ যথাক্রমে দাঁড়ায়।

সিস্টেম (1) বলা হয় সমজাতীয়, যদি এর সমস্ত বিনামূল্যের পদ শূন্যের সমান হয় ( খ 1 = খ 2 = … = খ মি= 0), অন্যথায় - ভিন্নধর্মী.

সিস্টেম (1) বলা হয় বর্গক্ষেত্র, যদি সংখ্যা মিসংখ্যার সমান সমীকরণ nঅজানা

সমাধানসিস্টেম (1) - সেট nসংখ্যা গ 1 , গ 2 , …, গ n, যেমন প্রতিটি প্রতিস্থাপন গ iপরিবর্তে x iসিস্টেমে (1) তার সমস্ত সমীকরণকে পরিচয়ে পরিণত করে।

সিস্টেম (1) বলা হয় যৌথ, যদি এটির অন্তত একটি সমাধান থাকে, এবং অ জয়েন্ট, যদি তার একক সমাধান না থাকে।

টাইপ (1) একটি যৌথ সিস্টেমের এক বা একাধিক সমাধান থাকতে পারে।

সমাধান গ 1 (1) , গ 2 (1) , …, গ n(1) এবং গ 1 (2) , গ 2 (2) , …, গ n(2) যুগ্ম পদ্ধতির ফর্ম (1) বলা হয় বিভিন্ন, যদি অন্তত একটি সমতা লঙ্ঘন করা হয়:

গ 1 (1) = গ 1 (2) , গ 2 (1) = গ 2 (2) , …, গ n (1) = গ n (2) .

ম্যাট্রিক্স ফর্ম

রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমকে ম্যাট্রিক্স আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে:

কx = খ.

যদি ডানদিকে ম্যাট্রিক্স A-তে মুক্ত পদের একটি কলাম যোগ করা হয়, তাহলে ফলাফল ম্যাট্রিক্সটিকে প্রসারিত বলা হয়।

সরাসরি পদ্ধতি

ক্রেমার পদ্ধতি (ক্রেমারের নিয়ম)- প্রধান ম্যাট্রিক্সের অ-শূন্য নির্ধারক সহ রৈখিক বীজগণিতীয় সমীকরণের দ্বিঘাত সিস্টেমগুলি সমাধান করার একটি পদ্ধতি (এবং এই জাতীয় সমীকরণগুলির জন্য একটি অনন্য সমাধান রয়েছে)। গ্যাব্রিয়েল ক্রেমার (1704-1752) এর নামানুসারে, যিনি পদ্ধতিটি আবিষ্কার করেছিলেন।

পদ্ধতির বর্ণনা

সিস্টেমের জন্য nসঙ্গে রৈখিক সমীকরণ nঅজানা (একটি নির্বিচারে ক্ষেত্রের উপর)

সিস্টেম ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক Δ শূন্য থেকে ভিন্ন, সমাধানটি আকারে লেখা হয়

(সিস্টেম ম্যাট্রিক্সের i-তম কলামটি মুক্ত পদের একটি কলাম দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়)।
অন্য ফর্মে, ক্র্যামারের নিয়মটি নিম্নরূপ প্রণয়ন করা হয়েছে: যে কোনো সহগ c 1, c 2, ..., c n এর জন্য নিম্নলিখিত সমতা ধারণ করে:

এই ফর্মে, ক্র্যামারের সূত্রটি এই অনুমান ছাড়াই বৈধ যে Δ শূন্য থেকে আলাদা; এমনকি সিস্টেমের সহগগুলি একটি অবিচ্ছেদ্য বলয়ের উপাদান হতে পারে না (সিস্টেমটির নির্ধারক এমনকি শূন্যের একটি ভাজক হতে পারে) সহগ রিং)। আমরা যে হয় সেট অনুমান করতে পারেন খ 1 ,খ 2 ,...,খ nএবং x 1 ,x 2 ,...,x n, বা একটি সেট গ 1 ,গ 2 ,...,গ nসিস্টেমের সহগ রিংয়ের উপাদানগুলি নিয়ে গঠিত নয়, তবে এই রিংয়ের উপরে কিছু মডিউল রয়েছে।

5. kth অর্ডারের ছোট। ম্যাট্রিক্স র‌্যাঙ্ক। ম্যাট্রিক্সের প্রাথমিক রূপান্তর। রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমের জন্য সামঞ্জস্যপূর্ণ অবস্থার উপর ক্রোনেকার-ক্যাপেলি উপপাদ্য। রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমের জন্য পরিবর্তনশীল নির্মূল (গাউসিয়ান) পদ্ধতি।

নাবালক ম্যাট্রিক্স কঅর্ডারের বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক k(যাকে এই নাবালকের ক্রমও বলা হয়), যার উপাদানগুলি ম্যাট্রিক্সে উপস্থিত হয় কসংখ্যা সহ সারির সংযোগস্থলে এবং সংখ্যা সহ কলাম।

পদমর্যাদা ম্যাট্রিক্স সারি (কলাম) সিস্টেম কসঙ্গে মিলাইন এবং nকলাম হল সর্বাধিক সংখ্যক নন-জিরো সারি (কলাম)।

বেশ কয়েকটি সারি (কলাম) কে রৈখিকভাবে স্বাধীন বলা হয় যদি তাদের একটিকে অন্যের পরিপ্রেক্ষিতে রৈখিকভাবে প্রকাশ করা না যায়। সারি সিস্টেমের র‌্যাঙ্ক সর্বদা কলাম সিস্টেমের র‌্যাঙ্কের সমান, এবং এই সংখ্যাটিকে ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক বলা হয়।

ক্রোনেকার - ক্যাপেলি উপপাদ্য (রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের একটি সিস্টেমের জন্য সামঞ্জস্যের মানদণ্ড) -

রৈখিক বীজগণিতীয় সমীকরণের একটি সিস্টেম সামঞ্জস্যপূর্ণ হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এর প্রধান ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক তার বর্ধিত ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কের সমান হয় (মুক্ত পদের সাথে), এবং সিস্টেমের একটি অনন্য সমাধান থাকে যদি র‌্যাঙ্কটি সংখ্যার সমান হয় অজানা, এবং অসীম সংখ্যক সমাধান যদি র‌্যাঙ্ক অজানা সংখ্যার চেয়ে কম হয়।

গাউস পদ্ধতি - রৈখিক বীজগণিত সমীকরণ (SLAE) এর একটি সিস্টেম সমাধানের জন্য একটি শাস্ত্রীয় পদ্ধতি। এটি ভেরিয়েবলের ক্রমিক নির্মূলের একটি পদ্ধতি, যখন, প্রাথমিক রূপান্তর ব্যবহার করে, সমীকরণের একটি সিস্টেমকে একটি ধাপ (বা ত্রিভুজাকার) ফর্মের একটি সমতুল্য সিস্টেমে হ্রাস করা হয়, যেখান থেকে অন্যান্য সমস্ত ভেরিয়েবল ক্রমানুসারে পাওয়া যায়, শেষ থেকে শুরু করে সংখ্যা) ভেরিয়েবল।

6. নির্দেশিত সেগমেন্ট এবং ভেক্টর। ভেক্টর বীজগণিতের মৌলিক ধারণা। ভেক্টরের যোগফল এবং একটি ভেক্টর এবং একটি সংখ্যার গুণফল। ভেক্টরের সমন্বয়ের শর্ত। ভেক্টরে রৈখিক ক্রিয়াকলাপের বৈশিষ্ট্য।

ভেক্টর উপর অপারেশন

সংযোজন

জ্যামিতিক ভেক্টর যোগ করার ক্রিয়াকলাপ বিভিন্ন উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, পরিস্থিতির উপর নির্ভর করে এবং ভেক্টরের ধরন বিবেচনা করা হচ্ছে:

দুটি ভেক্টর u, vএবং তাদের যোগফলের ভেক্টর

ত্রিভুজ নিয়ম. দুটি ভেক্টর যোগ করার জন্য এবং ত্রিভুজ নিয়ম অনুসারে, এই দুটি ভেক্টরকে সমান্তরালভাবে স্থানান্তর করা হয় যাতে তাদের একটির শুরু অন্যটির শেষের সাথে মিলে যায়। তারপর সমষ্টি ভেক্টরটি ফলাফল ত্রিভুজের তৃতীয় বাহুর দ্বারা দেওয়া হয় এবং এর শুরুটি প্রথম ভেক্টরের শুরুর সাথে মিলে যায় এবং দ্বিতীয় ভেক্টরের শেষের সাথে এর শেষ হয়।

সমান্তরাল বৃত্তের নিয়ম. দুটি ভেক্টর যোগ করার জন্য এবং সমান্তরাল বৃত্তের নিয়ম অনুসারে, এই উভয় ভেক্টরকে সমান্তরালভাবে স্থানান্তরিত করা হয় যাতে তাদের উত্সগুলি মিলে যায়। তারপর সমষ্টি ভেক্টর তাদের সাধারণ উত্স থেকে শুরু করে, তাদের উপর নির্মিত সমান্তরালগ্রামের কর্ণ দ্বারা দেওয়া হয়।

এবং সমষ্টি ভেক্টরের মডুলাস (দৈর্ঘ্য) কোসাইন উপপাদ্য দ্বারা নির্ধারিত হয় যখন একটির শুরু অন্যটির শেষের সাথে মিলে যায় তখন ভেক্টরের মধ্যে কোণ কোথায় থাকে। সূত্রটিও এখন ব্যবহৃত হয় - একটি বিন্দু থেকে উদ্ভূত ভেক্টরের মধ্যে কোণ।

ভেক্টর আর্টওয়ার্ক

ভেক্টর আর্টওয়ার্কভেক্টর দ্বারা ভেক্টর হল একটি ভেক্টর যা নিম্নলিখিত প্রয়োজনীয়তাগুলি পূরণ করে:

ভেক্টর সি এর বৈশিষ্ট্য

§ একটি ভেক্টরের দৈর্ঘ্য ভেক্টরের দৈর্ঘ্য এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের সাইনের গুণফলের সমান

§ ভেক্টর প্রতিটি ভেক্টরের অর্থোগোনাল এবং

§ সি ভেক্টরের দিক বুরাভচিক নিয়ম দ্বারা নির্ধারিত হয়

একটি ভেক্টর পণ্যের বৈশিষ্ট্য:

1. ফ্যাক্টরগুলিকে পুনর্বিন্যাস করার সময়, ভেক্টর পণ্য পরিবর্তনের চিহ্ন (অ্যান্টিকমিউটাটিভিটি), যেমন

2. ভেক্টর পণ্যের স্কেলার ফ্যাক্টরের সাথে সম্মিলিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে, অর্থাৎ

3. ভেক্টর পণ্যটির বিতরণ বৈশিষ্ট্য রয়েছে:

সমতলে এবং মহাকাশে ভিত্তি এবং সমন্বয় ব্যবস্থা। ভিত্তি দ্বারা একটি ভেক্টরের পচন। সমতল এবং মহাকাশে অর্থনর্মাল ভিত্তি এবং আয়তক্ষেত্রাকার কার্টেসিয়ান সমন্বয় ব্যবস্থা। সমতলে এবং মহাকাশে একটি ভেক্টর এবং একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক। স্থানাঙ্ক অক্ষের উপর একটি ভেক্টরের অনুমান।

ভিত্তি (প্রাচীন গ্রীক βασις, ভিত্তি) - একটি ভেক্টর স্পেসে ভেক্টরের একটি সেট যাতে এই স্থানের যেকোনো ভেক্টরকে এই সেট থেকে ভেক্টরগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে অনন্যভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে - ভিত্তি ভেক্টর.

প্রতিটি ভিত্তি ভেক্টরের দৈর্ঘ্য (আদর্শ) একক হওয়ার জন্য বেছে নেওয়া প্রায়শই সুবিধাজনক, এই ধরনের ভিত্তি বলা হয় স্বাভাবিক করা.

ভিত্তি ভেক্টরের রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে স্থানের একটি নির্দিষ্ট (যেকোন) ভেক্টরের প্রতিনিধিত্ব (সাংখ্যিক সহগ দ্বারা ভিত্তি ভেক্টরের সমষ্টি), উদাহরণস্বরূপ

অথবা, যোগফল চিহ্ন ব্যবহার করে Σ:

ডাকা এই ভিত্তিতে এই ভেক্টরের সম্প্রসারণ।

সমতলে এবং মহাকাশে একটি ভেক্টর এবং একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক।

বিন্দু A-এর x-অক্ষ স্থানাঙ্ক হল OAx সেগমেন্টের দৈর্ঘ্যের পরম মানের সমান একটি সংখ্যা: বিন্দু A যদি ধনাত্মক x-অক্ষের উপর থাকে এবং ঋণাত্মক অর্ধ-অক্ষের উপর থাকে তাহলে ঋণাত্মক।

একক ভেক্টর বা ইউনিট ভেক্টর হল এমন একটি ভেক্টর যার দৈর্ঘ্য একের সমান এবং যেটি যেকোনো স্থানাঙ্ক অক্ষ বরাবর নির্দেশিত।

তারপর ভেক্টর অভিক্ষেপ l অক্ষের AB হল এই অক্ষের উপর ভেক্টরের শেষ এবং শুরুর অনুমানগুলির স্থানাঙ্কগুলির মধ্যে পার্থক্য x1 – x2।

8.একটি ভেক্টরের দৈর্ঘ্য এবং দিক কোসাইন, দিক কোসাইনের মধ্যে সম্পর্ক। অর্থ ভেক্টর। স্থানাঙ্ক হল ভেক্টরের সমষ্টি, একটি ভেক্টরের গুণফল এবং একটি সংখ্যা।

ভেক্টর দৈর্ঘ্য সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়

ভেক্টরের দিক নির্ণয় করা হয় α, β, γ কোণ দ্বারা এটি দ্বারা গঠিত স্থানাঙ্ক অক্ষ Ox, Oy, Oz। এই কোণগুলির কোসাইনগুলি (তথাকথিত দিক কোসাইন ভেক্টর ) সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়:

একক ভেক্টরবা ort (একটি স্বাভাবিক ভেক্টর স্থানের একক ভেক্টর) হল একটি ভেক্টর যার আদর্শ (দৈর্ঘ্য) একের সমান।

একক ভেক্টর, একটি প্রদত্ত এক (সাধারণকৃত ভেক্টর) সহ সমরেখার সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়

ইউনিট ভেক্টরগুলিকে প্রায়শই ভিত্তি ভেক্টর হিসাবে বেছে নেওয়া হয়, কারণ এটি গণনাকে সহজ করে। এই ধরনের ঘাঁটি বলা হয় স্বাভাবিক করা. যদি এই ভেক্টরগুলিও অর্থোগোনাল হয়, তাহলে এই ধরনের ভিত্তিকে অর্থনর্মাল ভিত্তি বলা হয়।

স্থানাঙ্ক সমরেখা

স্থানাঙ্ক সমান

স্থানাঙ্ক সমষ্টি ভেক্টরদুটি ভেক্টর সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে:

স্থানাঙ্ক সমরেখাভেক্টর সম্পর্ক পূরণ করে:

স্থানাঙ্ক সমানভেক্টর সম্পর্কগুলিকে সন্তুষ্ট করে:

সমষ্টি ভেক্টরদুটি ভেক্টর:

বেশ কয়েকটি ভেক্টরের সমষ্টি:

একটি ভেক্টর এবং একটি সংখ্যার গুণফল:

ভেক্টরের ক্রস পণ্য। ক্রস পণ্যের জ্যামিতিক অ্যাপ্লিকেশন। ভেক্টরের সমান্তরালতার শর্ত। একটি মিশ্র পণ্যের বীজগণিতীয় বৈশিষ্ট্য। গুণনীয়কগুলির স্থানাঙ্কের মাধ্যমে ভেক্টর পণ্য প্রকাশ করা।

একটি ভেক্টরের ক্রস পণ্যএবং ভেক্টর b কে ভেক্টর c বলা হয়, যা:

1. a এবং b ভেক্টরের লম্ব, যেমন c^a এবং c^b;

2. একটি দৈর্ঘ্য সাংখ্যিকভাবে একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফলের সমান a এবং b ভেক্টরগুলিতে বাহু হিসাবে নির্মিত (চিত্র 17 দেখুন), যেমন

3. ভেক্টর a, b এবং c একটি ডান হাতের ট্রিপল গঠন করে।

জ্যামিতিক অ্যাপ্লিকেশন:

ভেক্টরের সমসাময়িকতা প্রতিষ্ঠা করা

একটি সমান্তরালগ্রাম এবং একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বের করা

ভেক্টরের ভেক্টর গুণফলের সংজ্ঞা অনুযায়ী কএবং খ |a xb | =|a| * |b |sing, অর্থাৎ S জোড়া = |a x b | এবং, তাই, DS =1/2|a x b |।

একটি বিন্দু সম্পর্কে বল মুহূর্ত নির্ধারণ

পদার্থবিদ্যা থেকে জানা যায় যে শক্তির মুহূর্ত এফবিন্দু আপেক্ষিক সম্পর্কেএকটি ভেক্টর বলা হয় মি,যা বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় সম্পর্কেএবং:

1) বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া সমতলের লম্ব ও, এ, বি;

2) সংখ্যাগতভাবে প্রতি বাহু বলের গুণফলের সমান

3) OA এবং A B ভেক্টর সহ একটি ডান ট্রিপল গঠন করে।

অতএব, M = OA x F.

রৈখিক ঘূর্ণন গতি খোঁজা

একটি স্থির অক্ষের চারদিকে কৌণিক বেগের সাথে ঘূর্ণায়মান একটি অনমনীয় দেহের M বিন্দুর গতি অয়লার সূত্র v =w xr দ্বারা নির্ধারিত হয়, যেখানে r = OM, যেখানে O হল অক্ষের কিছু নির্দিষ্ট বিন্দু (চিত্র দেখুন। 21)।

ভেক্টরের সমাহারের শর্ত - একটি অ-শূন্য ভেক্টর এবং একটি ভেক্টরের সমাহারের জন্য একটি প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত হল একটি সংখ্যার অস্তিত্ব যা সমতাকে সন্তুষ্ট করে।

একটি মিশ্র পণ্যের বীজগণিতীয় বৈশিষ্ট্য

ভেক্টরের মিশ্র গুণফল পরিবর্তন হয় না যখন ফ্যাক্টরগুলিকে বৃত্তাকারভাবে পুনর্বিন্যাস করা হয় এবং এর মডুলাস বজায় রেখে দুটি ফ্যাক্টর পরস্পর পরিবর্তন হলে বিপরীত সাইন পরিবর্তন করে।

একটি মিশ্র পণ্যের ভিতরে ভেক্টর গুণন চিহ্ন " " এর যে কোনো কারণের মধ্যে স্থাপন করা যেতে পারে।

একটি মিশ্র পণ্য তার যে কোনো কারণের ক্ষেত্রে বিতরণযোগ্য: (উদাহরণস্বরূপ) যদি, তাহলে

স্থানাঙ্কের পরিপ্রেক্ষিতে ক্রস পণ্য প্রকাশ করা

সঠিক সমন্বয় ব্যবস্থা

বাম সমন্বয় সিস্টেম

12.ভেক্টরের মিশ্র পণ্য। একটি মিশ্র পণ্যের জ্যামিতিক অর্থ, ভেক্টরের সমতুল্যতার অবস্থা। একটি মিশ্র পণ্যের বীজগণিতীয় বৈশিষ্ট্য। কারণের স্থানাঙ্কের মাধ্যমে একটি মিশ্র পণ্য প্রকাশ করা।

মিশ্রভেক্টরের একটি অর্ডারকৃত ট্রিপল (a,b,c) এর গুণফল হল প্রথম ভেক্টরের স্কেলার গুণফল এবং দ্বিতীয় ভেক্টরের ভেক্টর গুণফল এবং তৃতীয়টি।

একটি ভেক্টর পণ্যের বীজগণিতীয় বৈশিষ্ট্য

কমিউটিভিটি

একটি স্কেলার দ্বারা গুণের সাপেক্ষে সহযোগীতা

যোগ দ্বারা বন্টন

জ্যাকবির পরিচয়। R3 তে চলে এবং R7 তে বিরতি হয়

ভিত্তি ভেক্টরের ভেক্টর পণ্য সংজ্ঞা দ্বারা পাওয়া যায়

উপসংহার

লাইনের দিক ভেক্টর এবং লাইনের অন্তর্গত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক উভয়ের স্থানাঙ্ক কোথায়।

একটি সমতলে একটি লাইনের সাধারণ ভেক্টর। প্রদত্ত ভেক্টরের লম্ব একটি প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি রেখার সমীকরণ। সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ। একটি কৌণিক সহগ সহ একটি সরল রেখার সমীকরণ। একটি সমতলে দুটি সরলরেখার আপেক্ষিক অবস্থান

স্বাভাবিকএকটি রেখার ভেক্টর হল এই রেখার লম্বহীন যেকোন অ-শূন্য ভেক্টর।

- প্রদত্ত ভেক্টরের লম্ব একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি রেখার সমীকরণ

Ax + Wu + C = 0- একটি লাইনের সাধারণ সমীকরণ.

y=kx+b ফর্মের লাইন সমীকরণ

ডাকা ঢাল সহ একটি সরল রেখার সমীকরণ, এবং সহগ k কে এই রেখার ঢাল বলা হয়।

উপপাদ্য. ঢাল y=kx+b সহ একটি সরল রেখার সমীকরণে

কৌণিক সহগ k অ্যাবসিসা অক্ষের সরলরেখার প্রবণতা কোণের স্পর্শকের সমান:

পারস্পরিক অবস্থান:

- অক্সি স্থানাঙ্ক সমতলে দুটি লাইনের সাধারণ সমীকরণ। তারপর

1) যদি , তাহলে লাইনগুলি মিলে যায়;

2) যদি , তারপর সোজা এবং সমান্তরাল;

3) যদি, তাহলে রেখাগুলিকে ছেদ করে।

প্রমাণ . শর্তটি প্রদত্ত রেখার স্বাভাবিক ভেক্টরের সমতুল্যতার সমতুল্য:

অতএব, যদি, তাহলে সরলরেখা ছেদ.

যদি , তারপর , , এবং রেখার সমীকরণটি রূপ নেয়:

বা , অর্থাৎ সোজা ম্যাচ. উল্লেখ্য যে আনুপাতিকতা সহগ হল , অন্যথায় সাধারণ সমীকরণের সমস্ত সহগ শূন্যের সমান হবে, যা অসম্ভব।

যদি রেখাগুলি একত্রিত না হয় এবং ছেদ না করে, তাহলে কেসটি থেকে যায়, যেমন সোজা সমান্তরাল.

সেগমেন্টে একটি রেখার সমীকরণ

যদি সরলরেখার সাধারণ সমীকরণে Ах + Ву + С = 0 С≠0, তাহলে, –С দ্বারা ভাগ করলে আমরা পাই: বা , যেখানে

সহগগুলির জ্যামিতিক অর্থ হল সহগ কঅক্স অক্ষের সাথে রেখার ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক, এবং খ– Oy অক্ষের সাথে সরলরেখার ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক।

একটি লাইনের সাধারণ সমীকরণ

Ax + By + C = 0 সমীকরণের উভয় পক্ষকে একটি সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা হলে যাকে বলা হয় স্বাভাবিককরণ ফ্যাক্টর, তারপর আমরা পেতে

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

একটি লাইনের স্বাভাবিক সমীকরণ।

স্বাভাবিককরণ ফ্যাক্টরের চিহ্ন ± নির্বাচন করতে হবে যাতে μ? সঙ্গে< 0.

p হল উৎপত্তি থেকে সরলরেখা পর্যন্ত লম্বের দৈর্ঘ্য এবং φ হল অক্স অক্ষের ধনাত্মক দিক দিয়ে এই লম্ব দ্বারা গঠিত কোণ।

C এটি লক্ষ করা উচিত যে প্রতিটি রেখাকে সেগমেন্টে একটি সমীকরণ দ্বারা উপস্থাপিত করা যায় না, উদাহরণস্বরূপ, অক্ষের সমান্তরাল বা উত্সের মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখাগুলি।

17. উপবৃত্ত। একটি উপবৃত্তের ক্যানোনিকাল সমীকরণ। জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য এবং একটি উপবৃত্তের নির্মাণ। বিশেষ পদ।

উপবৃত্ত - পয়েন্টের অবস্থান এমইউক্লিডীয় সমতল, যার জন্য দুটি প্রদত্ত বিন্দুতে দূরত্বের যোগফল চ 1 এবং চ 2 (ফোসি বলা হয়) ধ্রুবক এবং ফোকির মধ্যকার দূরত্বের চেয়ে বেশি, অর্থাৎ | চ 1 এম | + | চ 2 এম | = 2ক, এবং | চ 1 চ 2 | < 2ক.

ক্যানোনিকাল সমীকরণ

যেকোনো উপবৃত্তের জন্য, আপনি একটি কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা খুঁজে পেতে পারেন যাতে উপবৃত্তটি সমীকরণ (উপবৃত্তের প্রামাণিক সমীকরণ) দ্বারা বর্ণনা করা হবে:

এটি উৎপত্তি কেন্দ্রিক একটি উপবৃত্ত বর্ণনা করে, যার অক্ষগুলি স্থানাঙ্ক অক্ষের সাথে মিলে যায়।

নির্মাণ: 1) একটি কম্পাস ব্যবহার করে

2) দুটি কৌশল এবং একটি প্রসারিত থ্রেড

3) Ellipsograph (Ellipsograph দুটি স্লাইডার নিয়ে গঠিত যা দুটি লম্ব খাঁজ বা গাইড বরাবর চলতে পারে। স্লাইডারগুলি কব্জা দ্বারা রডের সাথে সংযুক্ত থাকে এবং রড বরাবর একে অপরের থেকে একটি নির্দিষ্ট দূরত্বে অবস্থিত থাকে। স্লাইডারগুলি এগিয়ে যায় এবং পশ্চাৎমুখী - প্রতিটি তার নিজস্ব খাঁজ বরাবর, - এবং রডের প্রান্তটি সমতলের একটি উপবৃত্তাকার বর্ণনা করে a এবং b এর অর্ধ-অক্ষগুলি রডের শেষ থেকে কব্জা পর্যন্ত দূরত্বকে উপস্থাপন করে। দূরত্ব a এবং b বিভিন্ন হতে পারে, এবং এর ফলে বর্ণিত উপবৃত্তের আকার এবং মাত্রা পরিবর্তন হয়)

উৎকেন্দ্রিকতা উপবৃত্তের প্রসারণকে চিহ্নিত করে। বিকেন্দ্রতা শূন্যের যত কাছাকাছি, উপবৃত্তটি একটি বৃত্তের সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ, এবং তদ্বিপরীত, এককেন্দ্রিকতা ঐক্যের কাছাকাছি, এটি তত বেশি দীর্ঘায়িত হয়।

ফোকাল প্যারামিটার

ক্যানোনিকাল সমীকরণ

18.হাইপারবোলা। হাইপারবোলার ক্যানোনিকাল সমীকরণ। জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য এবং একটি হাইপারবোলার নির্মাণ। বিশেষ পদ

হাইপারবোলা(প্রাচীন গ্রীক ὑπερβολή, প্রাচীন গ্রীক βαλειν থেকে - "নিক্ষেপ", ὑπερ - "ওভার") - পয়েন্টের অবস্থান এমইউক্লিডীয় সমতল, যার থেকে দূরত্বের পার্থক্যের পরম মান এমদুটি নির্বাচিত পয়েন্ট পর্যন্ত চ 1 এবং চ 2 (ফোসি বলা হয়) ক্রমাগত। আরও স্পষ্ট করে বললে,

তাছাড়া | চ 1 চ 2 | > 2ক > 0.

অনুপাত

উপরে সংজ্ঞায়িত হাইপারবোলাগুলির বৈশিষ্ট্যগুলির জন্য, তারা নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলি মেনে চলে

2. হাইপারবোলার ডাইরেক্ট্রিক্সগুলি দ্বিগুণ বেধের রেখা দ্বারা নির্দেশিত হয় এবং নির্দেশিত হয় ডি 1 এবং ডি 2. উদ্ভটতা ε বিন্দু দূরত্বের অনুপাতের সমান পৃহাইপারবোলে ফোকাস এবং সংশ্লিষ্ট ডাইরেক্ট্রিক্সে (সবুজ রঙে দেখানো হয়েছে)। হাইপারবোলার শীর্ষবিন্দুগুলিকে ± হিসাবে মনোনীত করা হয়েছে ক. হাইপারবোলা প্যারামিটারগুলি নিম্নলিখিতগুলিকে বোঝায়:

ক- কেন্দ্র থেকে দূরত্ব গপ্রতিটি শীর্ষবিন্দুতে
খ- লম্বের দৈর্ঘ্য প্রতিটি শীর্ষবিন্দু থেকে উপসর্গে নেমে গেছে
গ- কেন্দ্র থেকে দূরত্ব গযে কোনো ফোকাসে, চ 1 এবং চ 2 ,
θ হল প্রতিটি উপসর্গ এবং শীর্ষবিন্দুর মধ্যে অঙ্কিত অক্ষ দ্বারা গঠিত কোণ।

বৈশিষ্ট্য

§ হাইপারবোলার উপর থাকা যেকোনো বিন্দুর জন্য, এই বিন্দু থেকে ফোকাসের দূরত্বের অনুপাত একই বিন্দু থেকে ডাইরেক্ট্রিক্সের দূরত্বের একটি ধ্রুবক মান।

§ একটি হাইপারবোলার বাস্তব এবং কাল্পনিক অক্ষ সম্পর্কে মিরর প্রতিসাম্য রয়েছে, সেইসাথে হাইপারবোলার কেন্দ্রের চারপাশে 180° কোণ দিয়ে ঘোরানো হলে ঘূর্ণনশীল প্রতিসাম্য রয়েছে।

§ প্রতিটি হাইপারবোলার আছে কনজুগেট হাইপারবোলা, যার জন্য বাস্তব এবং কাল্পনিক অক্ষগুলি স্থান পরিবর্তন করে, কিন্তু উপসর্গগুলি একই থাকে। এটি প্রতিস্থাপনের সাথে মিলে যায় কএবং খএকটি হাইপারবোলা বর্ণনা করে একটি সূত্রে একে অপরের উপরে। কনজুগেট হাইপারবোলা প্রাথমিক হাইপারবোলাকে 90° কোণের মাধ্যমে ঘোরানোর ফলাফল নয়; উভয় হাইপারবোলা আকারে ভিন্ন।

19. প্যারাবোলা। একটি প্যারাবোলার ক্যানোনিকাল সমীকরণ। জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য এবং একটি প্যারাবোলার নির্মাণ। বিশেষ পদ।

প্যারাবোলা - একটি প্রদত্ত রেখা থেকে সমদূরত্বের বিন্দুগুলির জ্যামিতিক অবস্থান (যাকে প্যারাবোলার নির্দেশক বলা হয়) এবং একটি প্রদত্ত বিন্দু (যাকে প্যারাবোলার ফোকাস বলা হয়)।

একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একটি প্যারাবোলার ক্যানোনিকাল সমীকরণ:

(বা যদি আপনি অক্ষগুলি অদলবদল করেন)।

বৈশিষ্ট্য

§ 1 একটি প্যারাবোলা একটি দ্বিতীয় ক্রম বক্ররেখা।

§ 2এটির প্রতিসাম্যের একটি অক্ষ রয়েছে যাকে বলা হয় প্যারাবোলার অক্ষ. অক্ষটি ফোকাসের মধ্য দিয়ে যায় এবং ডাইরেক্ট্রিক্সের সাথে লম্ব।

§ 3 অপটিক্যাল সম্পত্তি।প্যারাবোলার অক্ষের সমান্তরাল রশ্মির একটি রশ্মি, প্যারাবোলায় প্রতিফলিত হয়, এটির ফোকাসে সংগ্রহ করা হয়। এবং তদ্বিপরীত, ফোকাসে অবস্থিত একটি উত্স থেকে আলো একটি প্যারাবোলা দ্বারা প্রতিফলিত হয় তার অক্ষের সমান্তরাল রশ্মির রশ্মিতে।

§ 4 একটি প্যারাবোলার জন্য, ফোকাস বিন্দুতে থাকে (0.25; 0)।

একটি প্যারাবোলার জন্য, ফোকাস বিন্দুতে থাকে (0; f)।

§ 5 যদি একটি প্যারাবোলার ফোকাস স্পর্শকের সাপেক্ষে প্রতিফলিত হয়, তাহলে এর চিত্রটি ডাইরেক্ট্রিক্সের উপর থাকবে।

§ 6 একটি প্যারাবোলা একটি রেখার অ্যান্টিপোডার।

§ সমস্ত প্যারাবোলা একই রকম। ফোকাস এবং ডাইরেক্ট্রিক্সের মধ্যে দূরত্ব স্কেল নির্ধারণ করে।

§ 7 যখন একটি প্যারাবোলা প্রতিসাম্যের অক্ষের চারপাশে ঘোরে, তখন একটি উপবৃত্তাকার প্যারাবোলয়েড পাওয়া যায়।

একটি প্যারাবোলার ডাইরেক্ট্রিক্স

ফোকাল ব্যাসার্ধ

20.সাধারণ সমতল ভেক্টর। একটি প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সমতলের সমীকরণটি একটি প্রদত্ত ভেক্টরের সাথে লম্ব। সাধারণ সমতল সমীকরণ, সাধারণ সমতল সমীকরণের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে। সমতলের ভেক্টর সমীকরণ। দুটি প্লেনের আপেক্ষিক অবস্থান।

সমতল- জ্যামিতির মৌলিক ধারণাগুলির মধ্যে একটি। জ্যামিতির একটি সুশৃঙ্খল উপস্থাপনায়, সমতল ধারণাটিকে সাধারণত প্রাথমিক ধারণাগুলির মধ্যে একটি হিসাবে নেওয়া হয়, যা শুধুমাত্র পরোক্ষভাবে জ্যামিতির স্বতঃসিদ্ধ দ্বারা নির্ধারিত হয়।

বিন্দু এবং স্বাভাবিক ভেক্টর দ্বারা একটি সমতল সমীকরণ
ভেক্টর আকারে

স্থানাঙ্কে

প্লেনের মধ্যে কোণ

সাধারণ সমতল সমীকরণের বিশেষ ক্ষেত্রে।

পদার্থবিদ্যা, মেকানিক্স এবং কারিগরি বিজ্ঞানের বিভিন্ন শাখা অধ্যয়ন করার সময়, পরিমাণের সম্মুখীন হয় যেগুলি তাদের সংখ্যাসূচক মান নির্দিষ্ট করে সম্পূর্ণরূপে নির্ধারিত হয়। এই ধরনের পরিমাণ বলা হয় স্কেলারবা, সংক্ষেপে, স্কেলার.

স্কেলার পরিমাণগুলি হল দৈর্ঘ্য, ক্ষেত্রফল, আয়তন, ভর, শরীরের তাপমাত্রা ইত্যাদি। স্কেলার পরিমাণ ছাড়াও, বিভিন্ন সমস্যায় এমন পরিমাণ রয়েছে যার জন্য তাদের সংখ্যাগত মান ছাড়াও, তাদের দিকটিও জানা প্রয়োজন। এই ধরনের পরিমাণ বলা হয় ভেক্টর. ভেক্টরের পরিমাণের ভৌত উদাহরণগুলি হতে পারে মহাকাশে চলমান একটি পদার্থের বিন্দুর স্থানচ্যুতি, এই বিন্দুর গতি এবং ত্বরণ, সেইসাথে এটিতে কাজ করা বল।

ভেক্টরের পরিমাণ ভেক্টর ব্যবহার করে উপস্থাপন করা হয়।

ভেক্টর সংজ্ঞা. একটি ভেক্টর হল একটি সরল রেখার একটি নির্দেশিত অংশ যার একটি নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য রয়েছে।

একটি ভেক্টর দুটি বিন্দু দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। একটি বিন্দু ভেক্টরের শুরু বিন্দু, অন্য বিন্দুটি ভেক্টরের শেষ বিন্দু। যদি আমরা একটি বিন্দু দিয়ে ভেক্টরের শুরু নির্দেশ করি ক , এবং ভেক্টরের শেষ একটি বিন্দু IN , তারপর ভেক্টর নিজেই চিহ্নিত করা হয়। একটি ভেক্টরকে একটি ছোট ল্যাটিন অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে যার উপরে একটি বার রয়েছে (উদাহরণস্বরূপ, )।

গ্রাফিকভাবে, একটি ভেক্টরকে একটি অংশ দ্বারা চিহ্নিত করা হয় যার শেষে একটি তীর রয়েছে।

ভেক্টরের শুরু বলা হয় এর প্রয়োগের পয়েন্ট।যদি বিন্দু কভেক্টরের শুরু , তারপর আমরা বলব যে ভেক্টর বিন্দুতে প্রয়োগ করা হয়েছে ক.

একটি ভেক্টর দুটি পরিমাণ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়: দৈর্ঘ্য এবং দিক।

ভেক্টর দৈর্ঘ্য – শুরু বিন্দু A এবং শেষ বিন্দু B এর মধ্যে দূরত্ব। একটি ভেক্টরের দৈর্ঘ্যের আরেকটি নাম হল ভেক্টরের মডুলাস এবং প্রতীক দ্বারা নির্দেশিত হয় . ভেক্টর মডুলাস নির্দেশিত হয় ভেক্টর , যার দৈর্ঘ্য 1 তাকে একক ভেক্টর বলে। অর্থাৎ একক ভেক্টরের শর্ত

শূন্য দৈর্ঘ্যের ভেক্টরকে শূন্য ভেক্টর বলা হয় ( দ্বারা চিহ্নিত করা হয়)। স্পষ্টতই, শূন্য ভেক্টরের একই শুরু এবং শেষ বিন্দু রয়েছে। শূন্য ভেক্টরের কোন নির্দিষ্ট দিক নেই।

কোলিনিয়ার ভেক্টরের সংজ্ঞা. ভেক্টর এবং একই রেখায় বা সমান্তরাল রেখায় অবস্থিত তাদেরকে সমরেখা বলে .

মনে রাখবেন যে সমরেখা ভেক্টরের বিভিন্ন দৈর্ঘ্য এবং ভিন্ন দিক থাকতে পারে।

সমান ভেক্টর নির্ধারণ।দুটি ভেক্টর সমান বলা হয় যদি তারা সমরেখার হয়, একই দৈর্ঘ্য এবং একই দিক থাকে।

এই ক্ষেত্রে তারা লেখেন:

মন্তব্য করুন. ভেক্টরের সমতার সংজ্ঞা থেকে এটি অনুসরণ করে যে একটি ভেক্টরকে স্থানান্তরিত করা যেতে পারে সমান্তরালভাবে স্থানের যেকোন বিন্দুতে (বিশেষ করে, একটি সমতল) স্থাপন করে।

সমস্ত শূন্য ভেক্টর সমান হিসাবে বিবেচিত হয়।

বিপরীত ভেক্টর নির্ধারণ।দুটি ভেক্টরকে বিপরীত বলা হয় যদি তারা সমরেখার হয়, একই দৈর্ঘ্য থাকে তবে বিপরীত দিক।

এই ক্ষেত্রে তারা লেখেন:

অন্য কথায়, ভেক্টরের বিপরীত ভেক্টর হিসাবে চিহ্নিত করা হয়।

পদার্থবিদ্যায় প্রকৃতির নিয়ম সঠিকভাবে প্রদর্শনের জন্য উপযুক্ত গাণিতিক সরঞ্জামের প্রয়োজন।

জ্যামিতি এবং পদার্থবিজ্ঞানে সংখ্যাগত মান এবং দিক উভয় দ্বারা চিহ্নিত পরিমাণ রয়েছে।

নির্দেশিত অংশ হিসাবে তাদের চিত্রিত করা বাঞ্ছনীয় ভেক্টর.

এই ধরনের পরিমাণের একটি শুরু (একটি বিন্দু দ্বারা প্রদর্শিত) এবং একটি শেষ আছে, একটি তীর দ্বারা নির্দেশিত। একটি অংশের দৈর্ঘ্যকে (দৈর্ঘ্য) বলে।

• গতি
• ত্বরণ
• নাড়ি
• শক্তি
• মুহূর্ত
• শক্তি
• চলন্ত
• ক্ষেত্রের শক্তি, ইত্যাদি

সমতল স্থানাঙ্ক

আসুন আমরা বিন্দু A (x1,y1) থেকে বি (x2,y2) বিন্দুতে নির্দেশিত সমতলের একটি অংশকে সংজ্ঞায়িত করি। এর স্থানাঙ্ক a (a1, a2) হল সংখ্যা a1=x2-x1, a2=y2-y1।

মডিউলটি পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করে গণনা করা হয়:

শূন্য ভেক্টরের জন্য, শুরু শেষের সাথে মিলে যায়। স্থানাঙ্ক এবং দৈর্ঘ্য 0।

ভেক্টর যোগফল

আছে পরিমাণ গণনা করার জন্য বেশ কয়েকটি নিয়ম

• ত্রিভুজ নিয়ম;
• বহুভুজ নিয়ম;
• সমান্তরাল বৃত্তের নিয়ম।

গতিবিদ্যা এবং মেকানিক্স থেকে সমস্যা ব্যবহার করে ভেক্টর যোগ করার নিয়ম ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। আসুন আমরা একটি বিন্দুর শরীরের উপর কাজ করে এবং মহাকাশে দেহের ধারাবাহিক নড়াচড়ার উদাহরণ ব্যবহার করে ত্রিভুজ নিয়ম অনুসারে ভেক্টরের সংযোজন বিবেচনা করি।

ধরা যাক একটি শরীর প্রথমে A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে এবং তারপর B বিন্দু থেকে C বিন্দুতে চলে যায়। চূড়ান্ত স্থানচ্যুতি হল একটি সেগমেন্ট যা শুরু বিন্দু A থেকে শেষ বিন্দু C পর্যন্ত নির্দেশিত।

দুটি নড়াচড়ার ফলাফল বা তাদের যোগফল s = s1+ s2। এই পদ্ধতি বলা হয় ত্রিভুজ নিয়ম.

তীরগুলি একের পর এক শৃঙ্খলে সারিবদ্ধ হয়, প্রয়োজনে সমান্তরাল স্থানান্তর চালায়। মোট সেগমেন্ট ক্রম বন্ধ করে। এর শুরু প্রথমটির শুরুর সাথে মিলে যায়, শেষের শেষের সাথে শেষ হয়। বিদেশী পাঠ্যপুস্তকে এই পদ্ধতি বলা হয় "লেজ থেকে মাথা".

c = a + b ফলাফলের স্থানাঙ্কগুলি c (a1+ b1, a2+ b2) পদগুলির সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলির সমষ্টির সমান।

সমান্তরাল (সমলিনিয়ার) ভেক্টরের যোগফলও ত্রিভুজ নিয়ম দ্বারা নির্ধারিত হয়।

যদি দুটি মূল রেখাংশ একে অপরের সাথে লম্ব হয়, তবে তাদের যোগের ফলাফল হল তাদের উপর নির্মিত সমকোণী ত্রিভুজের কর্ণ। যোগফলের দৈর্ঘ্য পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করে গণনা করা হয়।

উদাহরণ:

• অনুভূমিকভাবে নিক্ষিপ্ত একটি শরীরের গতি হয় লম্ববিনামূল্যে পতনের ত্বরণ।
• অভিন্ন ঘূর্ণন গতির সাথে, শরীরের রৈখিক বেগ কেন্দ্রবিন্দুর ত্বরণের লম্ব।

তিন বা ততোধিক ভেক্টরের সংযোজনঅনুযায়ী উত্পাদন বহুভুজ নিয়ম, "লেজ থেকে মাথা"

ধরা যাক যে ফোর্স F1 এবং F2 একটি বিন্দুর বডিতে প্রয়োগ করা হয়েছে।

অভিজ্ঞতা প্রমাণ করে যে এই শক্তিগুলির সম্মিলিত প্রভাব তাদের উপর নির্মিত সমান্তরালগ্রামের কর্ণ বরাবর নির্দেশিত একটি শক্তির ক্রিয়ার সমতুল্য। এই ফলস্বরূপ বল তাদের যোগফল F = F1 + F 2 এর সমান। উপরের যোগ পদ্ধতিটিকে বলা হয় সমান্তরাল বৃত্তের নিয়ম.

এই ক্ষেত্রে দৈর্ঘ্য সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়

যেখানে θ বাহুগুলির মধ্যে কোণ।

ত্রিভুজ এবং সমান্তরালগ্রামের নিয়মগুলি বিনিময়যোগ্য। পদার্থবিজ্ঞানে, সমান্তরালগ্রাম নিয়মটি প্রায়শই ব্যবহৃত হয়, যেহেতু বল, বেগ এবং ত্বরণের দিকনির্দেশক মাত্রাগুলি সাধারণত এক বিন্দুর শরীরে প্রয়োগ করা হয়। একটি ত্রিমাত্রিক সমন্বয় ব্যবস্থায়, সমান্তরাল পাইপড নিয়ম প্রযোজ্য।

বীজগণিতের উপাদান

1. সংযোজন একটি বাইনারি অপারেশন: একটি সময়ে শুধুমাত্র একটি জোড়া যোগ করা যেতে পারে।
2. পরিবর্তনশীলতা: পদগুলির পুনর্বিন্যাস থেকে যোগফল a + b = b + a পরিবর্তন হয় না। সমান্তরালগ্রাম নিয়ম থেকে এটি স্পষ্ট: কর্ণ সর্বদা একই।
3. সহযোগীতা: ভেক্টরের নির্বিচারে সংখ্যার যোগফল তাদের যোগের ক্রম (a + b) + c = a + (b + c) এর উপর নির্ভর করে না।
4. একটি শূন্য ভেক্টর সহ সমষ্টি কোন দিক বা দৈর্ঘ্য পরিবর্তন করে না: a +0= a।
5. প্রতিটি ভেক্টর জন্য আছে বিপরীত. তাদের যোগফল শূন্য a +(-a)=0 এর সমান, এবং দৈর্ঘ্য একই।

একটি স্কেলার দ্বারা গুণন

স্কেলার দ্বারা গুণের ফলাফল একটি ভেক্টর।

গুণফলের স্থানাঙ্কগুলিকে একটি স্কেলার দ্বারা গুণ করে মূলের সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলি পাওয়া যায়।

একটি স্কেলার হল একটি যোগ বা বিয়োগ চিহ্ন সহ একটি সংখ্যাসূচক মান, একটির চেয়ে বড় বা কম।

পদার্থবিজ্ঞানে স্কেলার পরিমাণের উদাহরণ:

• ওজন
• সময়
• চার্জ
• দৈর্ঘ্য;
• বর্গক্ষেত্র;
• আয়তন;
• ঘনত্ব
• তাপমাত্রা;
• শক্তি

উদাহরণ:

কাজ হল বল এবং স্থানচ্যুতি A = Fs এর স্কেলার গুণফল।