কিভাবে মৌলিক সংখ্যা খুঁজে বের করতে? একটি সংখ্যা মৌলিক কিনা তা কিভাবে পরীক্ষা করবেন।

ভাজকদের গণনা।সংজ্ঞা অনুসারে, সংখ্যা nপ্রাইম শুধুমাত্র যদি এটি 2 দ্বারা সমানভাবে বিভাজ্য না হয় এবং 1 এবং নিজে ছাড়া অন্যান্য পূর্ণসংখ্যা। উপরের সূত্রটি অপ্রয়োজনীয় পদক্ষেপগুলি সরিয়ে দেয় এবং সময় বাঁচায়: উদাহরণস্বরূপ, একটি সংখ্যা 3 দ্বারা বিভাজ্য কিনা তা পরীক্ষা করার পরে, এটি 9 দ্বারা বিভাজ্য কিনা তা পরীক্ষা করার দরকার নেই।

• ফ্লোর(x) ফাংশনটি x কে নিকটতম পূর্ণসংখ্যাতে বৃত্তাকার করে যা x এর থেকে কম বা সমান।

মডুলার পাটিগণিত সম্পর্কে জানুন।অপারেশন হল "x mod y" (mod এর জন্য সংক্ষিপ্ত ল্যাটিন শব্দ"মডুলো" মানে "x দিয়ে y ভাগ করুন এবং অবশিষ্টটি খুঁজুন।" অন্য কথায়, মডুলার পাটিগণিতে, একটি নির্দিষ্ট মান পৌঁছানোর পরে, যাকে বলা হয় মডিউল, সংখ্যাগুলি আবার শূন্যে "বাঁক"। উদাহরণস্বরূপ, একটি ঘড়ি 12 এর মডুলাসের সাথে সময় রাখে: এটি 10, 11 এবং 12 বাজে এবং তারপর 1 এ ফিরে আসে।

• অনেক ক্যালকুলেটরের একটি মোড কী থাকে। এই বিভাগের শেষ দেখায় কিভাবে বড় সংখ্যার জন্য এই ফাংশনটিকে ম্যানুয়ালি মূল্যায়ন করতে হয়।

Fermat এর ছোট উপপাদ্য এর ক্ষতি সম্পর্কে জানুন.যে সমস্ত নম্বরগুলির জন্য পরীক্ষার শর্ত পূরণ করা হয় না সেগুলি যৌগিক, তবে অবশিষ্ট নম্বরগুলি কেবলমাত্র সম্ভবতসহজ হিসাবে শ্রেণীবদ্ধ করা হয়। আপনি যদি ভুল ফলাফল এড়াতে চান, তাহলে দেখুন n"কারমাইকেল সংখ্যা" (যৌগিক সংখ্যা যা এই পরীক্ষাটি পূরণ করে) এবং "সিউডো-প্রাইম ফার্ম্যাট সংখ্যা" (এই সংখ্যাগুলি শুধুমাত্র কিছু মানের জন্য পরীক্ষার শর্ত পূরণ করে) তালিকায় ক).

সুবিধাজনক হলে, মিলার-রাবিন পরীক্ষা ব্যবহার করুন।যদিও এই পদ্ধতিম্যানুয়ালি গণনা করার সময় বেশ কষ্টকর, এটি প্রায়শই ব্যবহৃত হয় কম্পিউটার প্রোগ্রাম. এটি গ্রহণযোগ্য গতি প্রদান করে এবং দেয় কম ত্রুটি Fermat এর পদ্ধতির চেয়ে। একটি যৌগিক সংখ্যা মৌলিক সংখ্যা হিসাবে গ্রহণ করা হবে না যদি মানের ¼-এর বেশি গণনা করা হয় ক. যদি আপনি এলোমেলোভাবে নির্বাচন করেন বিভিন্ন অর্থ কএবং তাদের সকলের জন্য পরীক্ষা একটি ইতিবাচক ফলাফল দেবে, আমরা মোটামুটি উচ্চ মাত্রার আত্মবিশ্বাসের সাথে ধরে নিতে পারি যে nএকটি মৌলিক সংখ্যা।

বড় সংখ্যার জন্য, মডুলার পাটিগণিত ব্যবহার করুন।যদি আপনার হাতে একটি মোড ফাংশন সহ একটি ক্যালকুলেটর না থাকে বা ক্যালকুলেটরটি অপারেশনের জন্য ডিজাইন করা না হয় বড় সংখ্যা, গণনা সহজ করতে ক্ষমতার বৈশিষ্ট্য এবং মডুলার গাণিতিক ব্যবহার করুন। নীচের জন্য একটি উদাহরণ 3 50 (\ ডিসপ্লেস্টাইল 3^(50))মোড 50:

• অভিব্যক্তিটিকে আরও সুবিধাজনক আকারে পুনরায় লিখুন: মোড 50। ম্যানুয়াল গণনা করার সময়, আরও সরলীকরণের প্রয়োজন হতে পারে।
• (3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. এখানে আমরা মডুলার গুণনের বৈশিষ্ট্য বিবেচনা করেছি।
• 3 25 (\ ডিসপ্লেস্টাইল 3^(25)) mod 50 = 43।
• (3 25 (\ ডিসপ্লেস্টাইল (3^(25))মোড 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 ∗ 43) (\displaystyle (43*43))মোড 50।
• = 1849 (\displaystyle =1849)মোড 50।
• = 49 (\displaystyle =49).

অক্টোবর 5, 2016 2:58 অপরাহ্ন

সংখ্যার সৌন্দর্য। অ্যান্টিপ্রাইমস

• জনপ্রিয় বিজ্ঞান

60 নম্বরটিতে বারোটি ভাজক রয়েছে: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

সম্পর্কে সবাই জানে আশ্চর্যজনক বৈশিষ্ট্যমৌলিক সংখ্যা যেগুলি শুধুমাত্র নিজেদের এবং একটি দ্বারা বিভাজ্য। এই সংখ্যা অত্যন্ত দরকারী. তুলনামূলকভাবে বড় মৌলিক সংখ্যা (প্রায় 10,300 থেকে) ক্রিপ্টোগ্রাফিতে ব্যবহৃত হয় একটি চাবি দিয়ে খুলুন, হ্যাশ টেবিলে, ছদ্ম-র্যান্ডম সংখ্যা তৈরি করার জন্য, ইত্যাদি। ছাড়া মহান সুবিধামানব সভ্যতার জন্য, এগুলো বিশেষসংখ্যাগুলি আশ্চর্যজনকভাবে সুন্দর:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199...

একটির থেকে বড় অন্য সব প্রাকৃতিক সংখ্যা যা মৌলিক নয় তাকে যৌগিক বলে। তাদের বেশ কয়েকটি বিভাজক রয়েছে। সুতরাং, যৌগিক সংখ্যার মধ্যে, সংখ্যার একটি বিশেষ গোষ্ঠী দাঁড়িয়ে আছে, যাকে "সুপারকম্পোজিট" বা "অ্যান্টিপ্রাইম" বলা যেতে পারে, কারণ তাদের বিশেষত অনেকগুলি ভাজক রয়েছে। এই ধরনের সংখ্যা প্রায় সবসময় অপ্রয়োজনীয় (2 এবং 4 ছাড়া)।

একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা N যার নিজস্ব ভাজকের যোগফল (N ব্যতীত) N অতিক্রম করে তাকে অপ্রয়োজনীয় বলে।

উদাহরণস্বরূপ, 12 নম্বরটিতে ছয়টি ভাজক রয়েছে: 1, 2, 3, 4, 6, 12।

এটি একটি অতিরিক্ত সংখ্যা কারণ

1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 (16 > 12)

এটা আশ্চর্যজনক নয় যে এটি 12 নম্বরে ব্যবহৃত হয় একটি বিশাল সংখ্যাব্যবহারিক ক্ষেত্র, ধর্ম থেকে শুরু করে: গ্রীক প্যান্থিয়নে 12টি দেবতা এবং প্যান্থিয়নে একই সংখ্যা স্ক্যান্ডিনেভিয়ান দেবতা, ওডিন গণনা না করা, খ্রিস্টের 12 শিষ্য, বৌদ্ধ সংসারের চাকার 12 টি ধাপ, ইসলামে 12 ইমাম ইত্যাদি। ডুওডেসিমেল সংখ্যা পদ্ধতিটি অনুশীলনে সবচেয়ে সুবিধাজনক, তাই এটি ক্যালেন্ডারে বছরকে 12 মাস এবং 4 ঋতুতে বিভক্ত করার পাশাপাশি দিন এবং রাতকে 12 ঘন্টায় ভাগ করতে ব্যবহৃত হয়। একটি দিন 12টি বিভাগে বিভক্ত একটি বৃত্তে 2টি ঘড়ির কাঁটার দিকে বৃত্ত থাকে; যাইহোক, 60 মিনিটের সংখ্যাটিও একটি কারণে বেছে নেওয়া হয়েছিল - এটি একটি বড় সংখ্যক ভাজক সহ আরেকটি অ্যান্টি-প্রাইম সংখ্যা।

একটি সুবিধাজনক duodecimal সিস্টেম প্রাচীন রাশিয়ান রাজত্ব (12 অর্ধ রুবেল = 1 altyn = 2 ryazankas = 3 novgorodkas = 4 Tver অর্থ = 6 moskovki) সহ বিভিন্ন আর্থিক ব্যবস্থায় ব্যবহৃত হয়। আপনি দেখতে পাচ্ছেন, বিপুল সংখ্যক বিভাজক সমালোচনামূলক গুরুত্বপূর্ণ গুণমানকয়েন থেকে আসা অবস্থার মধ্যে বিভিন্ন সিস্টেমএকটি মূল্যবোধ কমাতে হবে।

বড় অপ্রয়োজনীয় সংখ্যা অন্যান্য এলাকায় দরকারী. উদাহরণস্বরূপ, 5040 নম্বরটি ধরা যাক। এটি একটি অনন্য সংখ্যা, এখানে এর ভাজকগুলির তালিকা থেকে প্রথমটি রয়েছে:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...

অর্থাৎ, 5040 সংখ্যাটি 1 থেকে 10 পর্যন্ত সমস্ত মৌলিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য। অন্য কথায়, যদি আমরা 5040 জন লোক বা বস্তুর একটি দল নিই, তাহলে আমরা এটিকে 2, 3, 4, 5, 6, 7 দ্বারা ভাগ করতে পারি। 8, 9 বা 10 সমান গ্রুপ। এই মাত্র একটি মহান সংখ্যা. এখানে সম্পূর্ণ তালিকা 5040 ডিভাইডার:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 56, 60, 63, 70, 72, 80, 84, 90, 105, 112, 120, 126, 140, 144, 168, 180, 210, 240, 252, 280, 315, 336, 360, 420, 504, 560, 630, 720, 840, 1008, 1260, 1680, 2520, 5040

হেক, আমরা এই সংখ্যাটিকে প্রায় যেকোনো কিছু দিয়ে ভাগ করতে পারি। তার আছে 60টি বিভাজক!

5040 হল নগর অধ্যয়ন, রাজনীতি, সমাজবিজ্ঞান ইত্যাদির জন্য একটি আদর্শ সংখ্যা। এথেনীয় চিন্তাবিদ প্লেটো 2300 বছর আগে এই দিকে দৃষ্টি আকর্ষণ করেছিলেন। তার মূল কাজ, দ্য ল, প্লেটো লিখেছিলেন যে একটি আদর্শ অভিজাত প্রজাতন্ত্রের 5,040 জন নাগরিক থাকবে, কারণ এই সংখ্যার নাগরিকদের কোন ব্যতিক্রম ছাড়াই দশটি পর্যন্ত সমান গোষ্ঠীতে বিভক্ত করা যেতে পারে। তদনুসারে, এই জাতীয় ব্যবস্থায় একটি ব্যবস্থাপক এবং প্রতিনিধি শ্রেণিবিন্যাস পরিকল্পনা করা সুবিধাজনক।

অবশ্যই, এটি আদর্শবাদ এবং ইউটোপিয়া, তবে 5040 নম্বর ব্যবহার করা আসলে অত্যন্ত সুবিধাজনক। যদি একটি শহরে 5,040 জন বাসিন্দা থাকে, তবে এটিকে সমান জেলায় ভাগ করা, সমান সংখ্যক নাগরিকের জন্য নির্দিষ্ট সংখ্যক পরিষেবা সুবিধার পরিকল্পনা করা এবং ভোটের মাধ্যমে প্রতিনিধি সংস্থা নির্বাচন করা সুবিধাজনক।

এই ধরনের অত্যন্ত জটিল, অত্যন্ত অপ্রয়োজনীয় সংখ্যাগুলিকে "অ্যান্টিপ্রাইম" বলা হয়। যদি আমরা একটি স্পষ্ট সংজ্ঞা দিতে চাই, তাহলে আমরা বলতে পারি যে একটি অ্যান্টিপ্রাইম সংখ্যা হল একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যার চেয়ে কম পূর্ণসংখ্যার চেয়ে বেশি গুণনীয়ক রয়েছে।

এই সংজ্ঞা অনুসারে, একটি ছাড়া অন্য ক্ষুদ্রতম অ্যান্টিপ্রাইম সংখ্যা হবে 2 (দুই ভাজক), 4 (তিন ভাজক)। নিম্নলিখিতগুলি হল:

6 (চারটি ভাজক), 12 (ছয়টি ভাজক), 24, 36, 48, 60 (এক ঘণ্টায় মিনিটের সংখ্যা), 120, 180, 240, 360 (একটি বৃত্তে ডিগ্রির সংখ্যা), 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 7560, 10080, 15120, 20160, 25200, 27720, 45360, 50400

এই সংখ্যাগুলি ব্যবহার করা সুবিধাজনক বোর্ড গেমকার্ড, চিপস, টাকা ইত্যাদি সহ উদাহরণস্বরূপ, তারা আপনাকে একই সংখ্যক কার্ড, চিপস, অর্থ বিতরণ করার অনুমতি দেয় বিভিন্ন পরিমাণখেলোয়াড়দের একই কারণে, তারা স্কুলছাত্রী বা শিক্ষার্থীদের ক্লাস কম্পাইল করতে ব্যবহার করতে সুবিধাজনক - উদাহরণস্বরূপ, তাদের ভাগ করতে সমান পরিমাণকাজ সম্পূর্ণ করার জন্য অভিন্ন গ্রুপ। একটি ক্রীড়া দলে খেলোয়াড়ের সংখ্যার জন্য। লিগে দলের সংখ্যার জন্য। শহরের বাসিন্দাদের সংখ্যার জন্য (উপরে আলোচনা করা হয়েছে)। একটি শহর, অঞ্চল, দেশে প্রশাসনিক ইউনিটের জন্য।

উদাহরণ থেকে দেখা যায়, অনেক অ্যান্টিপ্রাইম ইতিমধ্যেই ব্যবহারিক ডিভাইস এবং সংখ্যা পদ্ধতিতে ব্যবহার করা হয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যা 60 এবং 360। থাকার সুবিধার কারণে এটি বেশ অনুমানযোগ্য ছিল বড় পরিমাণবিভাজক

অ্যান্টিপ্রাইমের সৌন্দর্য নিয়ে বিতর্ক হতে পারে। যদিও মৌলিক সংখ্যাগুলি নিঃসন্দেহে সুন্দর, তবে অ্যান্টি-প্রাইম নম্বরগুলি কারও কাছে বিরক্তিকর বলে মনে হতে পারে। কিন্তু এটি একটি ভাসা ভাসা ছাপ। অন্য দিক থেকে তাদের তাকান. সর্বোপরি, এই সংখ্যাগুলির ভিত্তি মৌলিক সংখ্যা। এটি মৌলিক সংখ্যা থেকে, যেন বিল্ডিং ব্লক থেকে, যৌগিক সংখ্যা, অপ্রয়োজনীয় সংখ্যা এবং সৃষ্টির মুকুট তৈরি হয় - অ্যান্টিপ্রাইম সংখ্যা।

পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্যটি বলে যে যেকোন যৌগিক সংখ্যাকে বিভিন্ন মৌলিক উপাদানের গুণফল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। যেমন,

30 = 2 × 3 × 5
550 = 2 × 5 2 × 11,

এই ক্ষেত্রে, যৌগিক সংখ্যা তার মৌলিক গুণনীয়ক ব্যতীত অন্য কোন মৌলিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হবে না। অ্যান্টিপ্রাইম সংখ্যাগুলি, সংজ্ঞা অনুসারে, মৌলিক উপাদানগুলির ক্ষমতার সর্বোচ্চ গুণফল দ্বারা আলাদা করা হয় যার মধ্যে তারা গঠিত।
তাছাড়া, তাদের প্রধান কারণ সবসময় অনুক্রমিকমৌলিক সংখ্যা। এবং প্রাইম ফ্যাক্টরগুলির সিরিজের ক্ষমতা কখনই বৃদ্ধি পায় না।

তাই অ্যান্টিপ্রাইমেরও রয়েছে নিজস্ব বিশেষ সৌন্দর্য।

সংখ্যাগুলি আলাদা: প্রাকৃতিক, মূলদ, মূলদ, পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশ, ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক, জটিল এবং মৌলিক, বিজোড় এবং জোড়, বাস্তব ইত্যাদি। এই নিবন্ধটি থেকে আপনি মৌলিক সংখ্যাগুলি কী তা জানতে পারেন।

কোন সংখ্যাকে ইংরেজিতে "সহজ" বলা হয়?

প্রায়শই, স্কুলের ছেলেমেয়েরা মৌলিক সংখ্যা কী তা সম্পর্কে প্রথম নজরে গণিতের সহজতম প্রশ্নের উত্তর দিতে জানে না। তারা প্রায়শই প্রাকৃতিক সংখ্যার সাথে মৌলিক সংখ্যাগুলিকে বিভ্রান্ত করে (অর্থাৎ, মানুষ যে সংখ্যাগুলি ব্যবহার করে বস্তু গণনা করার সময়, কিছু উত্সে তারা শূন্য দিয়ে শুরু করে এবং অন্যগুলিতে একটি দিয়ে)। কিন্তু এটা সম্পূর্ণ দুই বিভিন্ন ধারণা. মৌলিক সংখ্যা- এগুলি প্রাকৃতিক, অর্থাৎ, পূর্ণসংখ্যা এবং ধনাত্মক সংখ্যা যেগুলি একের চেয়ে বড় এবং যার মাত্র 2টি প্রাকৃতিক ভাজক রয়েছে। অধিকন্তু, এই ভাজকের একটি হল প্রদত্ত সংখ্যা, এবং দ্বিতীয়টি হল একটি। উদাহরণস্বরূপ, তিনটি একটি মৌলিক সংখ্যা কারণ এটি একটি অবশিষ্টাংশ ছাড়া নিজেকে এবং একটি ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না।

যৌগিক সংখ্যা

মৌলিক সংখ্যার বিপরীত হল যৌগিক সংখ্যা। এগুলিও প্রাকৃতিক, একের চেয়েও বড়, তবে দুটি নয়, অনেক বেশি সংখ্যক ভাজক রয়েছে। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, 4, 6, 8, 9, ইত্যাদি সংখ্যাগুলি প্রাকৃতিক, যৌগিক, কিন্তু মৌলিক সংখ্যা নয়। আপনি দেখতে পাচ্ছেন, এগুলি বেশিরভাগ জোড় সংখ্যা, তবে সবগুলি নয়। কিন্তু "দুই" হল একটি জোড় সংখ্যা এবং মৌলিক সংখ্যাগুলির একটি সিরিজের "প্রথম সংখ্যা"।

পরবর্তী

মৌলিক সংখ্যাগুলির একটি সিরিজ তৈরি করতে, সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যা থেকে নির্বাচন করা প্রয়োজন, তাদের সংজ্ঞা বিবেচনা করে, অর্থাৎ, আপনাকে দ্বন্দ্ব দ্বারা কাজ করতে হবে। এটা প্রাকৃতিক প্রতিটি বিবেচনা করা প্রয়োজন ইতিবাচক সংখ্যাদুইটির বেশি ভাজক আছে কিনা তা দেখতে। আসুন মৌলিক সংখ্যা নিয়ে একটি সিরিজ (ক্রম) তৈরি করার চেষ্টা করি। তালিকাটি দুটি দিয়ে শুরু হয়, তারপরে তিনটি, যেহেতু এটি কেবল নিজেই এবং একটি দ্বারা বিভাজ্য। চার নম্বর বিবেচনা করুন। এটার কি চার এবং এক ছাড়া অন্য ভাজক আছে? হ্যাঁ, সেই সংখ্যাটি 2। তাই চারটি মৌলিক সংখ্যা নয়। পাঁচটিও মৌলিক (এটি 1 এবং 5 ছাড়া অন্য কোন সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য নয়), তবে ছয়টি বিভাজ্য। এবং সাধারণভাবে, আপনি যদি সমস্ত জোড় সংখ্যা অনুসরণ করেন, আপনি লক্ষ্য করবেন যে "দুটি" ছাড়া, তাদের কোনটিই মৌলিক নয়। এ থেকে আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে জোড় সংখ্যা, দুটি ছাড়া, মৌলিক নয়। আরেকটি আবিষ্কার: তিনটি দ্বারা বিভাজ্য সমস্ত সংখ্যা, তিনটি ব্যতীত, জোড় বা বিজোড় হোক না কেন, তাও মৌলিক নয় (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ইত্যাদি)। পাঁচ এবং সাত দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যার ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য। তাদের সমস্ত ভিড়ও সহজ নয়। আসুন সংক্ষিপ্ত করা যাক। সুতরাং, সরল একক-সংখ্যার মধ্যে এক এবং নয়টি ছাড়া সমস্ত বিজোড় সংখ্যা অন্তর্ভুক্ত, এবং এমনকি "দুই"ও জোড় সংখ্যা। দশগুলি নিজেই (10, 20,... 40, ইত্যাদি) সহজ নয়। দুই-অঙ্ক, তিন-অঙ্ক ইত্যাদি মৌলিক সংখ্যাগুলি উপরোক্ত নীতিগুলির উপর ভিত্তি করে নির্ধারণ করা যেতে পারে: যদি তাদের নিজেদের এবং একটি ছাড়া অন্য কোন ভাজক না থাকে।

মৌলিক সংখ্যার বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে তত্ত্ব

একটি বিজ্ঞান আছে যা মৌলিক সংখ্যা সহ পূর্ণসংখ্যার বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করে। এটি উচ্চতর নামক গণিতের একটি শাখা। পূর্ণসংখ্যার বৈশিষ্ট্যগুলি ছাড়াও, তিনি বীজগণিত এবং ট্রান্সসেন্ডেন্টাল সংখ্যাগুলির পাশাপাশি এই সংখ্যাগুলির গাণিতিক সম্পর্কিত বিভিন্ন উত্সের ফাংশন নিয়েও কাজ করেন। এই গবেষণায়, প্রাথমিক ছাড়াও এবং বীজগণিত পদ্ধতি, বিশ্লেষণাত্মক এবং জ্যামিতিক এছাড়াও ব্যবহার করা হয়. বিশেষ করে, "সংখ্যা তত্ত্ব" মৌলিক সংখ্যার অধ্যয়নের সাথে সম্পর্কিত।

প্রাইম সংখ্যা হল প্রাকৃতিক সংখ্যার "বিল্ডিং ব্লক"

পাটিগণিতের মধ্যে মৌলিক উপপাদ্য নামে একটি উপপাদ্য আছে। এটি অনুসারে, একটি ব্যতীত যে কোনও প্রাকৃতিক সংখ্যাকে একটি গুণফল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যার গুণনীয়কগুলি মৌলিক সংখ্যা এবং গুণনীয়কগুলির ক্রম অনন্য, যার অর্থ উপস্থাপনের পদ্ধতিটি অনন্য। একে পচন বলে স্বাভাবিক সংখ্যাপ্রধান কারণের মধ্যে। এই প্রক্রিয়ার আরেকটি নাম আছে - সংখ্যার ফ্যাক্টরাইজেশন। এর ভিত্তিতে মৌলিক সংখ্যা বলা যেতে পারে “ বিল্ডিং উপাদান", "ব্লক" প্রাকৃতিক সংখ্যা নির্মাণের জন্য।

মৌলিক সংখ্যা অনুসন্ধান করুন. সরলতা পরীক্ষা

বিভিন্ন সময়ের অনেক বিজ্ঞানী মৌলিক সংখ্যার তালিকা বের করার জন্য কিছু নীতি (সিস্টেম) খুঁজে বের করার চেষ্টা করেছেন। বিজ্ঞান অ্যাটকিন চালুনি, সুন্দরথাম চালুনি এবং ইরাটোস্থেনিস চালুনি নামে পরিচিত সিস্টেমগুলি সম্পর্কে জানে। যাইহোক, তারা কোন উল্লেখযোগ্য ফলাফল দেয় না, এবং মৌলিক সংখ্যা খুঁজে পেতে একটি সাধারণ পরীক্ষা ব্যবহার করা হয়। গণিতবিদরাও অ্যালগরিদম তৈরি করেছিলেন। এগুলিকে সাধারণত প্রাথমিক পরীক্ষা বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, রাবিন এবং মিলার দ্বারা উন্নত একটি পরীক্ষা আছে। এটি ক্রিপ্টোগ্রাফারদের দ্বারা ব্যবহৃত হয়। কায়াল-আগ্রওয়াল-সাসকেনা পরীক্ষাও আছে। যাইহোক, যথেষ্ট নির্ভুলতা সত্ত্বেও, এটি গণনা করা খুব কঠিন, যা এর ব্যবহারিক তাত্পর্যকে হ্রাস করে।

মৌলিক সংখ্যার সেটের কি কোনো সীমা আছে?

প্রাচীন গ্রীক বিজ্ঞানী ইউক্লিড তার বই "এলিমেন্টস" এ লিখেছেন যে প্রাইমগুলির সেটটি অসীম। তিনি বলেছেন: “এক মুহূর্তের জন্য কল্পনা করা যাক যে মৌলিক সংখ্যার একটি সীমা আছে। তারপর একে অপরের সাথে তাদের সংখ্যাবৃদ্ধি করা যাক, এবং একটি পণ্য যোগ করুন. এই সংখ্যা থেকে ফলাফল সহজ কর্ম, মৌলিক সংখ্যার কোনো একটি দ্বারা ভাগ করা যাবে না, কারণ অবশিষ্টাংশ সবসময় একটি হবে। এর অর্থ হল আরও কিছু সংখ্যা রয়েছে যা এখনও মৌলিক সংখ্যার তালিকায় অন্তর্ভুক্ত হয়নি। অতএব, আমাদের অনুমান সত্য নয়, এবং এই সেটের একটি সীমা থাকতে পারে না। ইউক্লিডের প্রমাণ ছাড়াও, অষ্টাদশ শতাব্দীর সুইস গণিতবিদ লিওনহার্ড অয়লারের দেওয়া আরও আধুনিক সূত্র রয়েছে। এটি অনুসারে, প্রথম n সংখ্যার যোগফলের যোগফল n সংখ্যা বাড়ার সাথে সাথে সীমাহীনভাবে বৃদ্ধি পায়। এবং এখানে মৌলিক সংখ্যার বণ্টন সংক্রান্ত উপপাদ্যটির সূত্র: (n) n/ln (n) হিসাবে বৃদ্ধি পায়।

বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা কি?

একই লিওনার্ড অয়লার তার সময়ের সবচেয়ে বড় মৌলিক সংখ্যা বের করতে সক্ষম হয়েছিলেন। এটি হল 2 31 - 1 = 2147483647৷ যাইহোক, 2013 সালের মধ্যে, মৌলিক সংখ্যাগুলির তালিকায় আরেকটি সবচেয়ে সঠিক গণনা করা হয়েছিল - 2 57885161 - 1. এটিকে মারসেন নম্বর বলা হয়। এতে প্রায় 17 মিলিয়ন দশমিক সংখ্যা রয়েছে। আপনি দেখতে পাচ্ছেন, অষ্টাদশ শতাব্দীর একজন বিজ্ঞানী যে সংখ্যাটি খুঁজে পেয়েছেন তা এর চেয়ে কয়েকগুণ ছোট। এটি হওয়া উচিত ছিল, কারণ অয়লার এই গণনাটি ম্যানুয়ালি করেছিলেন, কিন্তু আমাদের সমসাময়িক সম্ভবত সাহায্য করেছিলেন কম্পিউটার. তদুপরি, এই নম্বরটি আমেরিকার একটি অনুষদের গণিত অনুষদে প্রাপ্ত হয়েছিল। এই বিজ্ঞানীর নামকৃত সংখ্যাগুলি লুক-লেমায়ার প্রাইমালিটি পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হয়। যাইহোক, বিজ্ঞান সেখানে থামতে চায় না। ইলেকট্রনিক ফ্রন্টিয়ার ফাউন্ডেশন, যেটি 1990 সালে মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রে (EFF) প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল, বড় মৌলিক সংখ্যা খুঁজে বের করার জন্য একটি আর্থিক পুরস্কারের প্রস্তাব দিয়েছে৷ এবং যদি 2013 সাল পর্যন্ত এই পুরষ্কারটি সেই বিজ্ঞানীদের দেওয়া হয় যারা তাদের 1 এবং 10 মিলিয়নের মধ্যে থেকে খুঁজে পাবে দশমিক সংখ্যা, তাহলে আজ এই সংখ্যা 100 মিলিয়ন থেকে 1 বিলিয়নে পৌঁছেছে। পুরষ্কারগুলি 150 থেকে 250 হাজার মার্কিন ডলার পর্যন্ত।

বিশেষ মৌলিক সংখ্যার নাম

যে সংখ্যাগুলি নির্দিষ্ট বিজ্ঞানীদের দ্বারা তৈরি অ্যালগরিদমের জন্য পাওয়া গেছে এবং সরলতা পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হয়েছে সেগুলিকে বিশেষ বলা হয়। এখানে তাদের কিছু আছে:

1. মারসেন।

4. কুলেন।

6. মিলস এট আল।

এই সংখ্যাগুলির সরলতা, উপরের বিজ্ঞানীদের নামে নামকরণ করা হয়েছে, নিম্নলিখিত পরীক্ষাগুলি ব্যবহার করে প্রতিষ্ঠিত হয়েছে:

1. লুক-লেমায়ার।

2. পেপিনা।

3. রিসেল।

4. বিলহার্ট - লেমায়ার - সেলফ্রিজ এবং অন্যান্য।

আধুনিক বিজ্ঞান সেখানে থামে না, এবং সম্ভবত অদূর ভবিষ্যতে বিশ্ব তাদের নাম শিখবে যারা সবচেয়ে বড় মৌলিক সংখ্যা খুঁজে পেয়ে $250,000 পুরস্কার জিততে সক্ষম হয়েছিল।

আমি মনে করি এটা পারে. এটি 2 এবং 3 সংখ্যার যোগফল। 2+3=5। 5 একই মৌলিক সংখ্যা। এটি নিজের মধ্যে বিভক্ত এবং 1.

এটি যতই অদ্ভুত মনে হোক না কেন, যোগফলের দুটি মৌলিক সংখ্যা আরেকটি মৌলিক সংখ্যা দিতে পারে। মনে হবে যে দুটি বিজোড় সংখ্যা যোগ করার সময়, ফলাফলটি জোড় হওয়া উচিত এবং এইভাবে আর বিজোড় নয়, কিন্তু কে বলেছে যে একটি মৌলিক সংখ্যা অপরিহার্যভাবে বিজোড়? আসুন ভুলে গেলে চলবে না যে মৌলিক সংখ্যার মধ্যে 2 সংখ্যাও রয়েছে, যেটি শুধুমাত্র নিজেই এবং একটি দ্বারা বিভাজ্য। এবং তারপর দেখা যাচ্ছে যে দুটি সংলগ্ন মৌলিক সংখ্যার মধ্যে যদি 2 এর পার্থক্য থাকে, তবে ছোট মৌলিক সংখ্যার সাথে আরেকটি মৌলিক সংখ্যা 2 যোগ করলে আমরা এই জোড়াটির বড় মৌলিক সংখ্যা পাব। আপনার সামনে উদাহরণ:

বর্ণনা পদ্ধতি ব্যবহার করে মৌলিক সংখ্যার সারণীতে অন্যান্য জোড়া পাওয়া সহজ।

আপনি নীচের টেবিলটি ব্যবহার করে মৌলিক সংখ্যা খুঁজে পেতে পারেন। মৌলিক সংখ্যা কাকে বলে তার সংজ্ঞা জেনে, আপনি মৌলিক সংখ্যার যোগফল নির্বাচন করতে পারেন যা একটি মৌলিক সংখ্যাও দেবে। অর্থাৎ, চূড়ান্ত অঙ্ক (প্রাথমিক সংখ্যা) নিজের এবং এক নম্বরে বিভক্ত হবে। উদাহরণস্বরূপ, দুই যোগ তিন সমান পাঁচ। এই তিনটি সংখ্যা মৌলিক সংখ্যার সারণীতে প্রথমে আসে।

দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল একটি মৌলিক সংখ্যা হতে পারেশুধুমাত্র একটি শর্তের অধীনে: যদি একটি পদ দুটির চেয়ে বড় একটি মৌলিক সংখ্যা হয় এবং অন্যটি অবশ্যই সংখ্যা দুটির সমান হয়।

অবশ্যই, এই প্রশ্নের উত্তর নেতিবাচক হবে যদি এটি সর্বব্যাপী দুটি না হয়, যা দেখা যাচ্ছে, এটি একটি মৌলিক সংখ্যা কিন্তু এটি মৌলিক সংখ্যার নিয়মের অধীনে পড়ে: এটি 1 এবং দ্বারা বিভাজ্য এবং না হওয়ার কারণে, প্রশ্নটি ধনাত্মক হয়ে যায় মৌলিক সংখ্যার সেট এবং দুইটিও মৌলিক সংখ্যা সংখ্যা তাই 2 দিয়ে, আমরা মৌলিক সংখ্যার একটি সম্পূর্ণ সিরিজও পাই।

2+3=5 থেকে শুরু।

এবং সাহিত্যে প্রদত্ত মৌলিক সংখ্যার সারণী থেকে দেখা যায়, এই জাতীয় যোগফল সর্বদা দুই এবং একটি মৌলিক সংখ্যার সাহায্যে পাওয়া যায় না, তবে শুধুমাত্র কিছু আইন মেনে।

একটি মৌলিক সংখ্যা হল এমন একটি সংখ্যা যা শুধুমাত্র নিজের এবং একটি দ্বারা ভাগ করা যায়। মৌলিক সংখ্যার সন্ধান করার সময়, আমরা অবিলম্বে বিজোড় সংখ্যার দিকে তাকাই, কিন্তু তাদের সবগুলি মৌলিক নয়। একমাত্র মৌলিক জোড় সংখ্যা দুটি।



সুতরাং, মৌলিক সংখ্যার একটি টেবিল ব্যবহার করে, আপনি উদাহরণ তৈরি করার চেষ্টা করতে পারেন:

2+17=19, ইত্যাদি

আমরা দেখতে পাচ্ছি, সমস্ত মৌলিক সংখ্যাই বিজোড়, এবং যোগফলের একটি বিজোড় সংখ্যা পেতে হলে পদগুলোকে জোড় + বিজোড় হতে হবে। দেখা যাচ্ছে যে দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফলকে একটি মৌলিক সংখ্যায় পরিণত করতে, আপনাকে মৌলিক সংখ্যাটি 2-এ যোগ করতে হবে।

প্রথমত, আপনাকে মনে রাখতে হবে যে মৌলিক সংখ্যা হল এমন সংখ্যা যেগুলিকে শুধুমাত্র একটি দ্বারা ভাগ করা যায় এবং অবশিষ্টাংশ ছাড়াই। যদি একটি সংখ্যায়, এই দুটি ভাজক ছাড়াও, অন্যান্য ভাজক থাকে যেগুলি একটি অবশিষ্ট রাখে না, তাহলে এটি আর মৌলিক সংখ্যা নয়। সংখ্যা 2ও একটি মৌলিক সংখ্যা। দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল অবশ্যই একটি মৌলিক সংখ্যা হতে পারে। 2 + 3 নিলেও, 5 একটি মৌলিক সংখ্যা।

এই জাতীয় প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার আগে, আপনাকে ভাবতে হবে, এবং এখনই উত্তর দিতে হবে না। যেহেতু অনেকে ভুলে যায় যে একটি জোড় সংখ্যা আছে, তবুও এটি মৌলিক। এটি 2 নম্বর। এবং এটির জন্য ধন্যবাদ, লেখকের প্রশ্নের উত্তর: হ্যাঁ!, এটি বেশ সম্ভব, এবং এর অনেক উদাহরণ রয়েছে। যেমন 2+3=5, 311+2=313।



প্রাইম সংখ্যা হল সেগুলি যেগুলি নিজের দ্বারা এবং একটি দ্বারা বিভাজ্য।



আমি 997 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা সহ একটি টেবিল সংযুক্ত করছি

এই সমস্ত সংখ্যা শুধুমাত্র দুটি সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য - নিজেদের এবং একটি, কোন তৃতীয় ভাজক নেই।

উদাহরণস্বরূপ, 9 সংখ্যাটি আর মৌলিক নয়, যেহেতু এটির 1 এবং 9 ছাড়াও অন্যান্য ভাজক রয়েছে, এটি 3

এখন আমরা দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল খুঁজে পাই যাতে ফলাফলটিও মৌলিক হয়, একটি টেবিলের সাহায্যে এটি করা সহজ হবে:

থেকে স্কুল কোর্সআমরা গণিত জানি। যে দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফলও একটি মৌলিক সংখ্যা হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ 5+2=7, ইত্যাদি। মৌলিক সংখ্যা হল এমন একটি সংখ্যা যা নিজে থেকে বা কোন সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হতে পারে। অর্থাৎ, এই জাতীয় সংখ্যার সংখ্যা অনেক এবং তাদের মোট যোগফলও একটি মৌলিক সংখ্যা দিতে পারে।

হ্যাঁ, এটা পারে। মৌলিক সংখ্যা কী তা যদি আপনি জানেন তবে এটি বেশ সহজে নির্ধারণ করা যেতে পারে। একটি মৌলিক সংখ্যার ভাজকের সংখ্যা কঠোরভাবে সীমিত - এটি শুধুমাত্র একটি এবং এই সংখ্যাটি নিজেই, অর্থাৎ, এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য, মৌলিক সংখ্যার সারণীটি দেখতে যথেষ্ট হবে - দৃশ্যত, এই যোগফলের একটি পদ অগত্যা সংখ্যা 2 হতে হবে। উদাহরণ: 41 + 2 = 43।

প্রথমে মনে রাখা যাক মৌলিক সংখ্যা কী - এটি এমন একটি সংখ্যা যা একই সংখ্যা এবং একটি দ্বারা ভাগ করা যায়। এবং এখন আমরা প্রশ্নের উত্তর দিই - হ্যাঁ, এটা করতে পারে। কিন্তু শুধুমাত্র একটি ক্ষেত্রে, যখন একটি পদ যেকোনো মৌলিক সংখ্যা এবং অন্য পদটি 2 হয়।

বিবেচনা করে যে একটি মৌলিক সংখ্যা নিজেই, একই সংখ্যা এবং 1 দ্বারা ভাগ করা যেতে পারে।

হ্যাঁ, হ্যাঁ, এটি একটি সাধারণ উদাহরণ: 2+3=5 বা 2+5=7

এবং 5 এবং 7 নিজেদের দ্বারা এবং 1 দ্বারা বিভাজ্য।

আপনি যদি আপনার স্কুলের বছরগুলি মনে রাখেন তবে সবকিছু খুব সহজ।

একটি ছাড়া সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যা মৌলিক এবং যৌগিক সংখ্যায় বিভক্ত। একটি মৌলিক সংখ্যা হল একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা যার শুধুমাত্র দুটি ভাজক রয়েছে: একটি এবং নিজেই. অন্য সকলকে কম্পোজিট বলা হয়। মৌলিক সংখ্যার বৈশিষ্ট্যগুলির অধ্যয়ন গণিতের একটি বিশেষ শাখা দ্বারা পরিচালিত হয় - সংখ্যা তত্ত্ব। রিং তত্ত্বে, মৌলিক সংখ্যাগুলি অপরিবর্তনীয় উপাদানগুলির সাথে সম্পর্কিত।

এখানে 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73 থেকে শুরু হওয়া মৌলিক সংখ্যাগুলির একটি ক্রম রয়েছে। , 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, ... ইত্যাদি।

পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্য অনুসারে, একের বেশি প্রতিটি প্রাকৃতিক সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যার গুণফল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। একই সময়ে, ফ্যাক্টরগুলির ক্রম পর্যন্ত প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলি উপস্থাপন করার এটিই একমাত্র উপায়। এর ভিত্তিতে, আমরা বলতে পারি যে মৌলিক সংখ্যাগুলি প্রাকৃতিক সংখ্যার প্রাথমিক অংশ।

একটি প্রাকৃতিক সংখ্যার এই উপস্থাপনাকে বলা হয় একটি প্রাকৃতিক সংখ্যার পচনকে মৌলিক সংখ্যায় পরিণত করা বা একটি সংখ্যার গুণিতককরণ।

সবচেয়ে প্রাচীন এক এবং কার্যকর উপায়মৌলিক সংখ্যার গণনা হল "ইরাস্টোফেনিসের চালনি"।

অনুশীলনে দেখা গেছে যে ইরাস্টোফেনিসের চালুনি ব্যবহার করে মৌলিক সংখ্যা গণনা করার পরে, প্রদত্ত সংখ্যাটি মৌলিক কিনা তা পরীক্ষা করা প্রয়োজন। এই উদ্দেশ্যে, বিশেষ পরীক্ষা তৈরি করা হয়েছে, তথাকথিত সরলতা পরীক্ষা। এই পরীক্ষার অ্যালগরিদম সম্ভাব্য। এগুলি প্রায়শই ক্রিপ্টোগ্রাফিতে ব্যবহৃত হয়।

যাইহোক, কিছু শ্রেণীর সংখ্যার জন্য বিশেষ কার্যকরী প্রাথমিক পরীক্ষা রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, মারসেন সংখ্যার প্রাথমিকতা পরীক্ষা করার জন্য, লুক-লেহমার পরীক্ষা ব্যবহার করা হয় এবং ফার্মাট সংখ্যার প্রাথমিকতা পরীক্ষা করার জন্য, পেপিন পরীক্ষা ব্যবহার করা হয়।

আমরা সবাই জানি যে অসীম অনেক সংখ্যা রয়েছে। প্রশ্ন ঠিকই জাগে: তাহলে মৌলিক সংখ্যা কত? এছাড়াও রয়েছে অসীম সংখ্যক মৌলিক সংখ্যা। এই প্রস্তাবের সবচেয়ে প্রাচীন প্রমাণ হল ইউক্লিডের প্রমাণ, যা উপাদানগুলিতে সেট করা হয়েছে। ইউক্লিড এর প্রমাণ এই মত দেখায়:

ধরা যাক মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা সসীম। আসুন তাদের গুণ করি এবং একটি যোগ করি। প্রাপ্ত সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যার সসীম সেটের কোনো দ্বারা ভাগ করা যায় না, কারণ তাদের যেকোনো একটি দ্বারা ভাগের অবশিষ্টাংশ একটি দেয়। সুতরাং, সংখ্যাটি অবশ্যই এই সেটে অন্তর্ভুক্ত নয় এমন কিছু মৌলিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।

মৌলিক সংখ্যা বন্টন উপপাদ্য বলে যে মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা n-এর চেয়ে কম, π(n) নির্দেশিত, n/ln(n) হিসাবে বৃদ্ধি পায়।

হাজার হাজার বছর ধরে মৌলিক সংখ্যা অধ্যয়ন করার পর, সবচেয়ে বড় পরিচিত মৌলিক সংখ্যা হল 243112609 − 1। এই সংখ্যাটির 12,978,189 দশমিক সংখ্যা রয়েছে এবং এটি মারসেন মৌলিক সংখ্যা (M43112609)। এই আবিষ্কারটি 23 আগস্ট, 2008 তারিখে ইউসিএলএ বিশ্ববিদ্যালয়ের গণিত অনুষদে মারসেন প্রাইম নম্বর প্রকল্প জিআইপিএসের জন্য বিতরণ করা অনুসন্ধানের অংশ হিসাবে করা হয়েছিল।

বাড়ি স্বাতন্ত্র্যসূচক বৈশিষ্ট্যমারসেন নম্বর হল একটি অত্যন্ত কার্যকরী লুক-লেমায়ার প্রাথমিক পরীক্ষার উপস্থিতি। এর সাহায্যে, মারসেন প্রাইমগুলি, দীর্ঘ সময়ের মধ্যে, সবচেয়ে বড় পরিচিত প্রাইম।

যাইহোক, আজ অবধি, মৌলিক সংখ্যা সম্পর্কিত অনেক প্রশ্নের সঠিক উত্তর পাওয়া যায়নি। গণিতের 5 তম আন্তর্জাতিক কংগ্রেসে, এডমন্ড ল্যান্ডউ মৌলিক সংখ্যার ক্ষেত্রে প্রধান সমস্যাগুলি প্রণয়ন করেছিলেন:

গোল্ডবাখের সমস্যা বা ল্যান্ডউ-এর প্রথম সমস্যা হল যে এটি প্রমাণ করা বা অস্বীকার করা প্রয়োজন যে 2-এর বেশি প্রতিটি জোড় সংখ্যা দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে এবং 5-এর বেশি প্রতিটি বিজোড় সংখ্যাকে যোগফল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। তিনটি সহজসংখ্যা
Landau-এর দ্বিতীয় সমস্যাটির জন্য প্রশ্নের উত্তর খুঁজতে হবে: "প্রাইম টুইনস" - মৌলিক সংখ্যার সেট কি 2 - অসীম?
কিংবদন্তীর অনুমান বা ল্যান্ডউয়ের তৃতীয় সমস্যা হল: এটা কি সত্য যে n2 এবং (n + 1)2 এর মধ্যে সর্বদা একটি মৌলিক সংখ্যা থাকে?
Landau এর চতুর্থ সমস্যা: n2 + 1 ফর্মের মৌলিক সংখ্যার সেট কি অসীম?
উপরের সমস্যাগুলি ছাড়াও, ফিবোনাচি সংখ্যা, ফার্ম্যাট সংখ্যা ইত্যাদির মতো অনেক পূর্ণসংখ্যা ক্রমগুলিতে অসীম সংখ্যার মৌলিক সংখ্যা নির্ধারণের সমস্যা রয়েছে।