तीन बिंदुओं का उपयोग करके प्रिज्म का क्रॉस सेक्शन कैसे बनाएं। समांतर चतुर्भुज में अनुभागों के निर्माण में समस्याएँ

GBPOU MO "क्रास्नोगोर्स्क कॉलेज" आर्टेमयेव वासिली इलिच की शेल्कोवो शाखा के गणित शिक्षक।

"खंडों के निर्माण में समस्याओं का समाधान" विषय का अध्ययन 10वीं कक्षा या एनजीओ संस्थानों के पहले वर्ष में शुरू होता है। यदि गणित कक्षा मल्टीमीडिया उपकरणों से सुसज्जित है, तो विभिन्न कार्यक्रमों की सहायता से सीखने की समस्या को हल करना आसान हो जाता है। ऐसा ही एक प्रोग्राम है सॉफ़्टवेयरगतिशील गणित जियोजेब्रा 4.0.12। यह शिक्षा के किसी भी चरण में अध्ययन और शिक्षण के लिए उपयुक्त है; यह छात्रों को गणितीय निर्माण और मॉडल बनाने की सुविधा प्रदान करता है, जो उन्हें वस्तुओं को हिलाने और मापदंडों को बदलने पर इंटरैक्टिव अनुसंधान करने की अनुमति देता है।

आइए एक विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करके इस सॉफ़्टवेयर उत्पाद के उपयोग पर विचार करें।

काम। समतल PQR द्वारा पिरामिड के एक खंड का निर्माण करें, यदि बिंदु P रेखा SA पर स्थित है, बिंदु Q रेखा SB पर स्थित है, बिंदु R रेखा SC पर स्थित है।

समाधान। आइए दो मामलों पर विचार करें। केस 1. मान लीजिए कि बिंदु P किनारे SA से संबंधित है।

1. "प्वाइंट" टूल का उपयोग करके, मनमाने बिंदु ए, बी, सी, डी को चिह्नित करें। बिंदु डी पर राइट-क्लिक करें और "नाम बदलें" चुनें। आइए D का नाम बदलकर S करें और इस बिंदु की स्थिति निर्धारित करें, जैसा चित्र 1 में दिखाया गया है।

2. "दो बिंदुओं द्वारा खंड" टूल का उपयोग करके, खंड SA, SB, SC, AB, AC, BC का निर्माण करें।

3. खंड AB पर राइट-क्लिक करें और "गुण" - "शैली" चुनें। एक बिंदीदार रेखा स्थापित करें.

4. खंड SA, SB, CS पर बिंदु P, Q, R अंकित करें।

5. "दो बिंदुओं द्वारा सीधी रेखा" टूल का उपयोग करके, एक सीधी रेखा PQ बनाएं।

6. रेखा PQ और बिंदु R पर विचार करें। छात्रों से प्रश्न: रेखा PQ और बिंदु R से कितने विमान गुजरते हैं? अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध करें। (उत्तर: एक विमान, और केवल एक, एक सीधी रेखा और उस पर नहीं पड़े एक बिंदु से होकर गुजरता है)।

7. हम प्रत्यक्ष पीआर और क्यूआर बनाते हैं।

8. "बहुभुज" टूल का चयन करें और एक-एक करके PQRP बिंदुओं पर क्लिक करें।

9. "मूव" टूल का उपयोग करके, बिंदुओं की स्थिति बदलें और अनुभाग में परिवर्तनों का निरीक्षण करें।

चित्र 1.

10. बहुभुज पर राइट-क्लिक करें और "गुण" - "रंग" चुनें। बहुभुज को किसी मुलायम रंग से भरें।

11. ऑब्जेक्ट पैनल पर, मार्करों पर क्लिक करें और लाइनों को छुपाएं।

12. एक अतिरिक्त कार्य के रूप में, आप क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र को माप सकते हैं।

ऐसा करने के लिए, "क्षेत्र" टूल का चयन करें और बहुभुज पर बायाँ-क्लिक करें।

केस 2. बिंदु P रेखा SA पर स्थित है। इस मामले में समस्या के समाधान पर विचार करने के लिए, आप पिछली समस्या के चित्र का उपयोग कर सकते हैं। आइए केवल बहुभुज और बिंदु P को छिपाएँ।

1. "दो बिंदुओं द्वारा सीधी रेखा" टूल का उपयोग करके, एक सीधी रेखा SA बनाएं।

2. रेखा SA पर बिंदु P1 अंकित करें, जैसा चित्र 2 में दिखाया गया है।

3. आइए सीधी रेखा P1Q खींचें।

4. "दो वस्तुओं का प्रतिच्छेदन" टूल का चयन करें, और सीधी रेखाओं AB और P1Q पर बायाँ-क्लिक करें। आइए उनका प्रतिच्छेदन बिंदु K ज्ञात करें।

5. आइए एक सीधी रेखा P1R खींचें। आइए हम इस रेखा का रेखा AC के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु M ज्ञात करें।

छात्रों के लिए प्रश्न: रेखाओं P1Q और P1R से होकर कितने तल खींचे जा सकते हैं? अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध करें। (उत्तर: एक विमान दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से होकर गुजरता है, और केवल एक)।

6. आइए सीधा KM और QR पूरा करें। छात्रों के लिए प्रश्न. बिंदु K और M एक साथ किस तल से संबंधित हैं? किन तलों का प्रतिच्छेदन सीधी रेखा KM है?

7. आइए QRKMQ बहुभुज का निर्माण करें। इसे हल्के रंग से भरें और सहायक रेखाओं को छिपा दें।

चित्र 2.

"मूव" टूल का उपयोग करके, हम बिंदु को लाइन एएस के साथ ले जाते हैं, हम सेक्शन प्लेन की विभिन्न स्थितियों पर विचार करते हैं।

अनुभागों के निर्माण के लिए कार्य:

1. समानांतर रेखाओं AA1 और CC1 द्वारा परिभाषित एक खंड का निर्माण करें। कितने विमान समानांतर रेखाओं से होकर गुजरते हैं?

2. प्रतिच्छेदी रेखाओं से गुजरने वाले एक खंड का निर्माण करें। प्रतिच्छेदी रेखाओं से गुजरने वाले कितने तल हैं?

3. समानांतर विमानों के गुणों का उपयोग करके अनुभागों का निर्माण:

ए) बिंदु एम और सीधी रेखा एसी से गुजरने वाले विमान के साथ समांतर चतुर्भुज के एक खंड का निर्माण करें।

ख) किनारे AB और किनारे B1C1 के मध्य से गुजरने वाले समतल के साथ प्रिज्म के एक खंड का निर्माण करें।

ग) बिंदु K से गुजरने वाले और पिरामिड के आधारों के तल के समानांतर एक विमान के साथ पिरामिड के एक खंड का निर्माण करें।

4. ट्रेस विधि का उपयोग करके अनुभागों का निर्माण:

a) एक पिरामिड SABCD दिया गया है। बिंदु P, Q और R से गुजरने वाले समतल के साथ पिरामिड के एक खंड का निर्माण करें।

5) एक सीधी रेखा QF खींचें और किनारे SB के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु H ज्ञात करें।

6) हम सीधे एचआर और पीजी का संचालन करेंगे।

7) पॉलीगॉन टूल से परिणामी अनुभाग का चयन करें और भरण रंग बदलें।

बी) बिंदु P, K और M से गुजरने वाले विमान के साथ समानांतर चतुर्भुज ABCDA1B1C1D1 का एक खंड स्वयं बनाएं। स्रोतों की सूची।

1. इलेक्ट्रॉनिक संसाधन http://www.geogebra.com/indexcf.php

2. इलेक्ट्रॉनिक संसाधन http://geogebra.ru/www/index.php (साइबेरियन इंस्टीट्यूट जियोजेब्रा की वेबसाइट)

3. इलेक्ट्रॉनिक संसाधन http://cdn.scipeople.com/materials/16093/projective_geometry_geogebra.PDF

4. इलेक्ट्रॉनिक संसाधन. http://nesmel.jimdo.com/geogebra-rus/

5. इलेक्ट्रॉनिक संसाधन http://forum.sosna24k.ru/viewforum.php?f=35&sid=(शिक्षकों और स्कूली बच्चों के लिए जियोजेब्रा फोरम)।

6. इलेक्ट्रॉनिक संसाधन www.geogebratube.org (कार्यक्रम के साथ काम करने पर इंटरैक्टिव सामग्री)

चित्रों पर अनुभागों और अनुभागों का निर्माण

एक भाग ड्राइंग का निर्माण क्रमिक रूप से आवश्यक अनुमानों, अनुभागों और अनुभागों को जोड़कर किया जाता है। प्रारंभ में बनाया गया मनमाना दृश्यउपयोगकर्ता-निर्दिष्ट मॉडल के साथ, उस मॉडल अभिविन्यास को निर्दिष्ट करना जो मुख्य दृश्य के लिए सबसे उपयुक्त है। इसके बाद, इसका और निम्नलिखित दृश्यों का उपयोग करके, आवश्यक कट और अनुभाग बनाए जाते हैं।

मुख्य दृश्य (सामने का दृश्य) का चयन किया जाता है ताकि यह भाग के आकार और आयामों का सबसे संपूर्ण विचार दे सके।

चित्र में अनुभाग

काटने वाले तल की स्थिति के आधार पर, निम्नलिखित प्रकार के कटों को प्रतिष्ठित किया जाता है:

ए) क्षैतिज, यदि काटने वाला विमान प्रक्षेपण के क्षैतिज विमान के समानांतर स्थित है;

बी) ऊर्ध्वाधर, यदि काटने वाला विमान प्रक्षेपण के क्षैतिज विमान के लंबवत है;

सी) झुका हुआ - काटने वाला विमान प्रक्षेपण विमानों की ओर झुका हुआ है।

लंबवत अनुभागों को इसमें विभाजित किया गया है:

· ललाट - काटने वाला विमान प्रक्षेपण के ललाट तल के समानांतर है;

· प्रोफाइल - कटिंग प्लेन प्रक्षेपण के प्रोफाइल प्लेन के समानांतर है।
छेदक तलों की संख्या के आधार पर, कट इस प्रकार हैं:

· सरल - एक काटने वाले विमान के साथ (चित्र 107);

· जटिल - दो या दो से अधिक काटने वाले विमानों के साथ (चित्र 108)
मानक निम्नलिखित प्रकार के जटिल कटों का प्रावधान करता है:

· चरणबद्ध, जब काटने वाले तल समानांतर होते हैं (चित्र 108 ए) और टूटे होते हैं - काटने वाले तल प्रतिच्छेद करते हैं (चित्र 108 बी)

चित्र 107 सरल खंड

ए) बी)

चित्र: 108 जटिल कट

कटौती का पदनाम

ऐसे मामले में जब एक साधारण खंड में छेदक तल वस्तु की समरूपता के तल के साथ मेल खाता है, तो खंड को इंगित नहीं किया जाता है (चित्र 107)। अन्य सभी मामलों में, चीरों को निर्दिष्ट किया जाता है बड़े अक्षर मेंरूसी वर्णमाला, अक्षर ए से शुरू होती है, उदाहरण के लिए ए-ए।

ड्राइंग में कटिंग प्लेन की स्थिति को एक सेक्शन लाइन - एक मोटी खुली लाइन द्वारा दर्शाया गया है। जटिल कट के मामले में, सेक्शन लाइन के मोड़ पर भी स्ट्रोक बनाए जाते हैं। तीर को प्रारंभिक और अंतिम स्ट्रोक पर रखा जाना चाहिए जो दृश्य की दिशा दर्शाता है; तीर स्ट्रोक के बाहरी छोर से 2-3 मिमी की दूरी पर होना चाहिए। साथ बाहरदेखने की दिशा बताने वाले प्रत्येक तीर को समान बड़े अक्षर से चिह्नित किया गया है।

KOMPAS प्रणाली में कट और अनुभागों को नामित करने के लिए, एक ही बटन का उपयोग किया जाता है पदनाम पृष्ठ पर स्थित कटिंग लाइन (चित्र 109)।

चित्र 109 कट लाइन बटन

आधे दृश्य को आधे खंड से जोड़ना

यदि दृश्य और अनुभाग सममित आकृतियाँ हैं (चित्र 110), तो आप आधे दृश्य और आधे अनुभाग को जोड़ सकते हैं, उन्हें एक पतली डैश-बिंदीदार रेखा से अलग कर सकते हैं, जो समरूपता की धुरी है। अनुभाग का भाग आमतौर पर समरूपता अक्ष के दाईं ओर स्थित होता है, जो दृश्य के भाग को अनुभाग के भाग से या समरूपता अक्ष के नीचे अलग करता है। किसी दृश्य और अनुभाग के कनेक्टिंग हिस्सों पर छिपी हुई समोच्च रेखाएं आमतौर पर नहीं दिखाई जाती हैं। यदि किसी रेखा का प्रक्षेपण, उदाहरण के लिए, किसी पहलू वाली आकृति का किनारा, दृश्य और अनुभाग को विभाजित करने वाली अक्षीय रेखा से मेल खाता है, तो दृश्य और अनुभाग को अक्ष के बाईं ओर खींची गई एक ठोस लहरदार रेखा से अलग किया जाता है। यदि किनारा आंतरिक सतह पर है तो समरूपता, या यदि किनारा बाहरी है तो दाईं ओर।

चावल। 110 एक दृश्य और एक अनुभाग का कनेक्टिंग भाग

अनुभागों का निर्माण

हम प्रिज्म के चित्र के निर्माण के उदाहरण का उपयोग करके KOMPAS प्रणाली में अनुभागों के निर्माण का अध्ययन करेंगे, जिसका कार्य चित्र 111 में दिखाया गया है।

ड्राइंग का क्रम इस प्रकार है:

1. दिए गए आयामों के आधार पर, हम प्रिज्म का एक ठोस मॉडल बनाएंगे (चित्र 109 बी)। आइए मॉडल को कंप्यूटर की मेमोरी में "प्रिज़्म" नामक फ़ाइल में सहेजें।

चित्र 112 लाइन्स पैनल

3. एक प्रोफ़ाइल अनुभाग का निर्माण करने के लिए (चित्र 113) बटन का उपयोग करके मुख्य दृश्य पर एक अनुभाग रेखा А-А बनाएंकट रेखा।

चित्र 113 प्रोफ़ाइल अनुभाग का निर्माण

देखने की दिशा और प्रतीक के पाठ को स्क्रीन के नीचे कमांड कंट्रोल पैनल पर चुना जा सकता है (चित्र 114)। क्रिएट ऑब्जेक्ट बटन पर क्लिक करके कटिंग लाइन का निर्माण पूरा हो जाता है।

चित्र: 114 अनुभागों और अनुभागों के निर्माण के आदेश के लिए नियंत्रण कक्ष

4. एसोसिएटिव व्यू पैनल (चित्र 115) पर, कट लाइन बटन का चयन करें, फिर कट लाइन को इंगित करने के लिए स्क्रीन पर दिखाई देने वाले ट्रैप का उपयोग करें। यदि सब कुछ सही ढंग से किया गया है (काटने की रेखा अवश्य खींची जानी चाहिए)। सक्रिय रूप), कट लाइन लाल हो जाएगी। कट लाइन ए-ए निर्दिष्ट करने के बाद, एक समग्र आयत के रूप में एक प्रेत छवि स्क्रीन पर दिखाई देगी।

चित्र 115 पैनल सहयोगी दृश्य

गुण पैनल पर अनुभाग/अनुभाग स्विच का उपयोग करके, आप छवि प्रकार - अनुभाग (चित्र 116) और प्रदर्शित अनुभाग के पैमाने का चयन करते हैं।

चित्र: 116 अनुभागों और अनुभागों के निर्माण के आदेश के लिए नियंत्रण कक्ष

प्रोफ़ाइल अनुभाग प्रक्षेपण कनेक्शन में और मानक पदनाम के साथ स्वचालित रूप से निर्मित किया जाएगा। यदि आवश्यक हो, तो प्रक्षेपण संचार को एक स्विच से बंद किया जा सकता है प्रोजेक्शन कनेक्शन (चित्र 116)।निर्मित अनुभाग (अनुभाग) में उपयोग किए जाने वाले हैचिंग के मापदंडों को कॉन्फ़िगर करने के लिए, हैचिंग टैब पर नियंत्रणों का उपयोग करें।

चित्र 117 क्षैतिज का निर्माण अनुभाग बी-बीऔर अनुभाग बी-बी

यदि किसी अनुभाग का निर्माण करते समय चयनित कटिंग विमान भाग की समरूपता के विमान के साथ मेल खाता है, तो मानक के अनुसार ऐसा अनुभाग निर्दिष्ट नहीं है। लेकिन यदि आप किसी अनुभाग के पदनाम को आसानी से मिटा देते हैं, तो इस तथ्य के कारण कि कंप्यूटर मेमोरी में दृश्य और अनुभाग आपस में जुड़े हुए हैं, पूरा अनुभाग मिटा दिया जाएगा। इसलिए, किसी पदनाम को हटाने के लिए, आपको पहले दृश्य और अनुभाग के बीच संबंध को नष्ट करना होगा। ऐसा करने के लिए, अनुभाग का चयन करने के लिए बाईं माउस बटन पर क्लिक करें, और फिर संदर्भ मेनू लाने के लिए दाएं माउस बटन पर क्लिक करें, जिसमें से नष्ट दृश्य आइटम का चयन करें (चित्र 97)। कट चिन्ह को अब हटाया जा सकता है।

5. एक क्षैतिज खंड का निर्माण करने के लिए, सामने के दृश्य में छेद के निचले तल के माध्यम से एक कटिंग लाइन बी-बी खींचें। आपको सबसे पहले बाईं माउस बटन पर डबल-क्लिक करके सामने का दृश्य चालू करना होगा। फिर एक क्षैतिज खंड का निर्माण किया जाता है (चित्र 117)।

6. ललाट अनुभाग का निर्माण करते समय, दृश्य के भाग और अनुभाग के भाग को संयोजित करें, क्योंकि ये सममित आकृतियाँ हैं। प्रिज्म का बाहरी किनारा दृश्य और अनुभाग को विभाजित करने वाली रेखा पर प्रक्षेपित होता है, इसलिए हम अंतर करेंगे समरूपता के अक्ष के दाईं ओर खींची गई एक ठोस पतली लहरदार रेखा के साथ दृश्य और अनुभाग, क्योंकि बाहरी पसली. एक लहरदार रेखा खींचने के लिए, बटन का उपयोग करेंज्यामिति पैनल पर स्थित बेज़ियर वक्र, फॉर ब्रेक लाइन शैली (चित्र 118) के साथ खींचा गया है। क्रमिक रूप से उन बिंदुओं को निर्दिष्ट करें जिनसे होकर बेज़ियर वक्र गुजरना चाहिए। आप ऑब्जेक्ट बनाएं बटन पर क्लिक करके कमांड निष्पादित करना समाप्त कर सकते हैं।

चित्र 118 विराम के लिए एक पंक्ति शैली का चयन करना

अनुभागों का निर्माण

अनुभाग किसी वस्तु की एक छवि है जो किसी समतल से वस्तु को मानसिक रूप से विच्छेदित करके प्राप्त की जाती है। अनुभाग केवल वही दिखाता है जो काटने वाले तल में स्थित है।

कटिंग प्लेन की स्थिति, जिसकी मदद से सेक्शन बनता है, ड्राइंग में सेक्शन लाइन द्वारा दर्शाया जाता है, जैसे कि कट्स के लिए।

अनुभागों को, चित्रों में उनके स्थान के आधार पर, विस्तारित और सुपरइम्पोज़्ड में विभाजित किया गया है। निकाले गए अनुभाग अक्सर ड्राइंग के मुक्त क्षेत्र पर स्थित होते हैं और एक मुख्य रेखा के साथ रेखांकित होते हैं। आरोपित अनुभागों को सीधे वस्तु की छवि पर रखा जाता है और रेखांकित किया जाता है पतली रेखाएँ(चित्र 119)।

चित्र 119 अनुभागों का निर्माण

आइए एक ऑफसेट झुकाव वाले प्रिज्म का चित्र बनाने के क्रम पर विचार करें अनुभाग बी-बी(चित्र 117)।

1. दृश्य पर बाईं माउस बटन को सक्रिय रूप से डबल-क्लिक करके सामने का दृश्य बनाएं और बटन का उपयोग करके एक अनुभाग रेखा बनाएं कट रेखा . शिलालेख В-В के पाठ का चयन करें।

2. एसोसिएटिव व्यू पैनल (चित्र 115) पर स्थित कट लाइन बटन का उपयोग करते हुए, दिखाई देने वाला जाल छेदक रेखा को इंगित करेगा विमान बी-बी. प्रॉपर्टी बार पर सेक्शन/सेक्शन स्विच का उपयोग करके, छवि प्रकार - सेक्शन (चित्र 116) का चयन करें, प्रदर्शित अनुभाग का स्केल स्केल विंडो से चुना जाता है।

निर्मित अनुभाग एक प्रक्षेपण लिंक में स्थित है, जो ड्राइंग में इसके आंदोलन को सीमित करता है, लेकिन प्रक्षेपण लिंक को बटन का उपयोग करके अक्षम किया जा सकता है प्रक्षेपण संचार.

तैयार ड्राइंग पर आपको चित्र बनाना चाहिए केंद्र रेखाएँ, यदि आवश्यक हो, तो आयाम दर्ज करें।

पाठ के दौरान हर कोई विषय का अंदाजा लगा सकेगा"समांतर चतुर्भुज में अनुभागों के निर्माण में समस्याएँ।" सबसे पहले, हम समांतर चतुर्भुज के चार बुनियादी समर्थन गुणों की समीक्षा करेंगे। फिर, उनका उपयोग करके, हम कुछ हल करते हैं विशिष्ट कार्यएक समानांतर चतुर्भुज में अनुभागों के निर्माण के लिए और एक समानांतर चतुर्भुज के क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए।

विषय: रेखाओं और तलों की समानता

पाठ: समांतर चतुर्भुज में अनुभागों के निर्माण पर समस्याएँ

पाठ के दौरान हर कोई विषय का अंदाजा लगा सकेगा "समानांतर चतुर्भुज में अनुभागों के निर्माण में समस्याएँ".

आइए समांतर चतुर्भुज ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (चित्र 1) पर विचार करें। आइए इसके गुणों को याद करें।

चावल। 1. समांतर चतुर्भुज के गुण

1) विपरीत फलक (समान समांतर चतुर्भुज) समांतर तलों में स्थित होते हैं।

उदाहरण के लिए, समांतर चतुर्भुज एबीसीडी और ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 बराबर हैं (अर्थात, उन्हें आरोपित किया जा सकता है) और समानांतर विमानों में स्थित हैं।

2) समानांतर किनारों की लंबाई बराबर होती है।

उदाहरण के लिए, AD = BC = A 1 D 1 = B 1 C 1 (चित्र 2)।

चावल। 2. समांतर चतुर्भुज के विपरीत किनारों की लंबाई बराबर होती है

3) समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इस बिंदु से द्विभाजित होते हैं।

उदाहरण के लिए, समांतर चतुर्भुज BD 1 और B 1 D के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इस बिंदु से द्विभाजित होते हैं (चित्र 3)।

4) समांतर चतुर्भुज का अनुप्रस्थ काट त्रिभुज, चतुर्भुज, पंचकोण, षट्भुज हो सकता है।

समांतर चतुर्भुज के खंड पर समस्या

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित समस्या को हल करने पर विचार करें। एक समांतर चतुर्भुज ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 और किनारों AA 1, A 1 D 1, A 1 B 1 पर क्रमशः बिंदु M, N, K दिया गया है (चित्र 4)। एमएनके विमान का उपयोग करके समांतर चतुर्भुज के अनुभागों का निर्माण करें। बिंदु एम और एन एक साथ विमान एए 1 डी 1 और काटने वाले विमान में स्थित हैं। इसका मतलब यह है कि एमएन दो संकेतित विमानों की प्रतिच्छेदन रेखा है। इसी प्रकार हम एमके और केएन प्राप्त करते हैं। अर्थात्, अनुभाग त्रिभुज MKN होगा।

1. ज्यामिति. ग्रेड 10-11: छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक शिक्षण संस्थानों(बुनियादी और प्रोफ़ाइल स्तर) / आई. एम. स्मिरनोवा, वी. ए. स्मिरनोव। - 5वां संस्करण, संशोधित और विस्तारित - एम.: मेनेमोसिन, 2008. - 288 पीपी.: बीमार।

कार्य 13, 14, 15 पी

2. एक समांतर चतुर्भुज ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 दिया गया है। एम और एन किनारों डीसी और ए 1 बी 1 के मध्य बिंदु हैं।

a) चेहरे के तल BB 1 C 1 C के साथ सीधी रेखाओं AM और AN के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की रचना करें।

बी) समतल एएमएन और बीबी 1 सी 1 के प्रतिच्छेदन की रेखा का निर्माण करें

3. बीसी 1 और किनारे डीडी 1 के मध्य एम से गुजरने वाले विमान के साथ समांतर चतुर्भुज एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1 के खंड बनाएं।

कार्य स्वयं आमतौर पर इस तरह लगता है: "एक खंड आकृति का प्राकृतिक दृश्य बनाएं". निःसंदेह, हमने इस मुद्दे को एक तरफ नहीं छोड़ने और यदि संभव हो तो यह समझाने का प्रयास करने का निर्णय लिया कि झुके हुए खंड का निर्माण कैसे किया जाता है।

यह समझाने के लिए कि एक झुके हुए खंड का निर्माण कैसे किया जाता है, मैं कई उदाहरण दूंगा। निःसंदेह, मैं प्रारंभिक उदाहरणों से शुरुआत करूंगा, धीरे-धीरे उदाहरणों की जटिलता को बढ़ाता जाऊंगा। मुझे आशा है कि अनुभाग रेखाचित्रों के इन उदाहरणों का विश्लेषण करने के बाद, आप समझ जाएंगे कि यह कैसे किया जाता है और आप अपना अध्ययन कार्य स्वयं पूरा करने में सक्षम होंगे।

आइए 40x60x80 मिमी आयाम और एक मनमाना झुकाव वाले विमान के साथ एक "ईंट" पर विचार करें। कटिंग प्लेन इसे 1-2-3-4 बिंदुओं पर काटता है। मुझे लगता है यहां सब कुछ स्पष्ट है.

आइए अनुभाग आकृति का प्राकृतिक दृश्य बनाने की ओर आगे बढ़ें।
1. सबसे पहले, अनुभाग अक्ष बनाएं। अक्ष को अनुभाग विमान के समानांतर खींचा जाना चाहिए - उस रेखा के समानांतर जिसमें विमान को मुख्य दृश्य में प्रक्षेपित किया जाता है - आमतौर पर यह मुख्य दृश्य में होता है जिसके लिए कार्य होता है एक झुके हुए खंड का निर्माण(आगे मैं हमेशा उल्लेख करूंगा प्रमुख राय, यह ध्यान में रखते हुए कि यह लगभग हमेशा शैक्षिक चित्रों में होता है)।
2. अक्ष पर हम अनुभाग की लंबाई आलेखित करते हैं। मेरे चित्र में इसे एल के रूप में नामित किया गया है। आकार एल मुख्य दृश्य में निर्धारित किया गया है और भाग में अनुभाग के प्रवेश बिंदु से उससे बाहर निकलने के बिंदु तक की दूरी के बराबर है।
3. अक्ष पर परिणामी दो बिंदुओं से, इसके लंबवत, हम इन बिंदुओं पर अनुभाग की चौड़ाई को प्लॉट करते हैं। भाग में प्रवेश के बिंदु पर और भाग से बाहर निकलने के बिंदु पर अनुभाग की चौड़ाई शीर्ष दृश्य में निर्धारित की जा सकती है। इस मामले में, दोनों खंड 1-4 और 2-3 60 मिमी के बराबर हैं। जैसा कि आप ऊपर की तस्वीर से देख सकते हैं, अनुभाग के किनारे सीधे हैं, इसलिए हम बस अपने दो परिणामी खंडों को जोड़ते हैं, जिससे एक आयत 1-2-3-4 प्राप्त होता है। यह एक झुके हुए तल द्वारा हमारी ईंट के क्रॉस सेक्शन का प्राकृतिक दृश्य है।

अब आइए अपने हिस्से को जटिल बनाएं। आइए 120x80x20 मिमी के आधार पर एक ईंट रखें और आकृति में कड़ी पसलियों को जोड़ें। आइए एक काटने वाला विमान बनाएं ताकि वह आकृति के सभी चार तत्वों (आधार, ईंट और दो स्टिफ़नर के माध्यम से) से गुजर सके। नीचे दी गई तस्वीर में आप इस हिस्से के तीन दृश्य और एक यथार्थवादी छवि देख सकते हैं।

आइए इस झुके हुए भाग का प्राकृतिक दृश्य बनाने का प्रयास करें। आइए अनुभाग अक्ष के साथ फिर से शुरू करें: इसे मुख्य दृश्य में दर्शाए गए अनुभाग तल के समानांतर बनाएं। आइए इस पर अनुभाग की लंबाई आलेखित करें ए-ई के बराबर. बिंदु ए, भाग में अनुभाग का प्रवेश बिंदु है, और किसी विशेष मामले में, आधार में अनुभाग का प्रवेश बिंदु है। आधार से निकास बिंदु बिंदु बी है। अनुभाग अक्ष पर बिंदु बी को चिह्नित करें। इसी तरह, हम किनारे, "ईंट" और दूसरे किनारे तक प्रवेश और निकास बिंदुओं को चिह्नित करते हैं। बिंदु ए और बी से, अक्ष के लंबवत, हम आधार की चौड़ाई के बराबर खंड बिछाएंगे (अक्ष से प्रत्येक दिशा में 40, कुल 80 मिमी)। आइए जुड़ें चरम बिंदु- हमें एक आयत मिलता है, जो भाग के आधार का एक प्राकृतिक क्रॉस-सेक्शन है।

अब अनुभाग के एक टुकड़े का निर्माण करने का समय आ गया है, जो कि भाग के किनारे का एक भाग है। बिंदु बी और सी से हम प्रत्येक दिशा में 5 मिमी के लंब डालेंगे - हमें 10 मिमी के खंड मिलेंगे। आइए चरम बिंदुओं को जोड़ें और पसली का एक भाग प्राप्त करें।

बिंदु सी और डी से हम "ईंट" की चौड़ाई के बराबर लंबवत खंड बनाते हैं - इस पाठ के पहले उदाहरण के समान।

दूसरे किनारे की चौड़ाई के बराबर बिंदु डी और ई से लंबों को अलग करके और चरम बिंदुओं को जोड़कर, हम इसके खंड का एक प्राकृतिक दृश्य प्राप्त करते हैं।

जो कुछ बचा है वह परिणामी अनुभाग के अलग-अलग तत्वों के बीच जंपर्स को मिटाना और छायांकन लागू करना है। यह कुछ इस तरह दिखना चाहिए:

यदि हम आकृति को किसी दिए गए अनुभाग में विभाजित करते हैं, तो हम देखेंगे अगला दृश्य:

मुझे आशा है कि आप एल्गोरिथम का वर्णन करने वाले कठिन अनुच्छेदों से भयभीत नहीं होंगे। यदि आपने उपरोक्त सभी बातें पढ़ ली हैं और अभी भी पूरी तरह से समझ नहीं पाए हैं, एक झुका हुआ खंड कैसे बनाएं, मैं आपको दृढ़ता से सलाह देता हूं कि आप कागज का एक टुकड़ा और एक पेंसिल उठाएं और मेरे बाद सभी चरणों को दोहराने का प्रयास करें - इससे आपको सामग्री सीखने में लगभग 100% मदद मिलेगी।

मैंने एक बार इस लेख को जारी रखने का वादा किया था। अंत में, मैं आपको होमवर्क के स्तर के करीब, एक हिस्से के झुके हुए खंड के चरण-दर-चरण निर्माण के साथ प्रस्तुत करने के लिए तैयार हूं। इसके अलावा, झुका हुआ खंड तीसरे दृश्य में परिभाषित किया गया है (झुका हुआ खंड बाएं दृश्य में परिभाषित किया गया है)

याहमारा फ़ोन नंबर लिखें और अपने दोस्तों को हमारे बारे में बताएं - शायद कोई व्यक्ति चित्रों को पूरा करने का तरीका ढूंढ रहा है

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हां, सब कुछ ठीक है, लेकिन मैं यह देखना चाहूंगा कि उदाहरण के लिए, चैम्बर और शंकु के आकार के छेद के साथ, अधिक जटिल हिस्से पर भी यही काम कैसे किया जाए।

धन्यवाद। क्या खंडों पर कड़ी पसलियाँ नहीं रची गई हैं?
बिल्कुल। वे वही हैं जो अंडे सेते नहीं हैं। क्योंकि वे ऐसे ही हैं सामान्य नियमकटौती करना. हालाँकि, एक्सोनोमेट्रिक अनुमानों - आइसोमेट्री, डिमेट्री, आदि में कटौती करते समय उन्हें आमतौर पर छायांकित किया जाता है। झुके हुए खंड बनाते समय, स्टिफ़नर से संबंधित क्षेत्र को भी छायांकित किया जाता है।

धन्यवाद, बहुत सुलभ। मुझे बताएं, क्या एक झुका हुआ अनुभाग शीर्ष दृश्य में या बाएं दृश्य में किया जा सकता है, कृपया मैं एक सरल उदाहरण देखना चाहूंगा।

ऐसे अनुभाग बनाना संभव है. लेकिन दुर्भाग्य से अभी मेरे पास कोई उदाहरण नहीं है। और एक और दिलचस्प बात है: एक तरफ, वहां कुछ भी नया नहीं है, लेकिन दूसरी तरफ, व्यवहार में ऐसे खंडों को चित्रित करना वास्तव में अधिक कठिन है। किसी कारण से दिमाग में हर चीज उलझने लगती है और ज्यादातर छात्रों को दिक्कत होने लगती है। लेकिन हार मत मानो!

हां, सब कुछ ठीक है, लेकिन मैं देखना चाहूंगा कि वही काम कैसे किया जाता है, लेकिन छेद के साथ (के माध्यम से और नहीं के माध्यम से), अन्यथा वे कभी भी सिर में दीर्घवृत्त में नहीं बदलते हैं

एक जटिल समस्या में मेरी मदद करें

यह अफ़सोस की बात है कि आपने यहाँ लिखा। यदि आप हमें ईमेल द्वारा लिख ​​सकें, तो शायद हमारे पास हर चीज़ पर चर्चा करने का समय हो सकता है।

आप अच्छा समझाते हैं. यदि भाग की एक भुजा अर्धवृत्ताकार हो तो क्या होगा? हिस्से में छेद भी हैं.

इल्या, वर्णनात्मक ज्यामिति पर अनुभाग "एक झुके हुए विमान द्वारा एक सिलेंडर का अनुभाग" से पाठ का उपयोग करें। इसकी मदद से आप यह पता लगा सकते हैं कि छेदों (वे अनिवार्य रूप से सिलेंडर भी हैं) और अर्धवृत्ताकार पक्ष के साथ क्या करना है।

मैं लेख के लिए लेखक को धन्यवाद देता हूँ! यह संक्षिप्त और समझने में आसान है। लगभग 20 साल पहले मैं विज्ञान के ग्रेनाइट को कुतर रहा था, अब मैं अपने बेटे की मदद कर रहा हूँ। मैं बहुत कुछ भूल गया, लेकिन आपके लेख ने मुझे वापस ला दिया मौलिक समझविषय। मैं सिलेंडर के झुके हुए भाग का पता लगाऊंगा)

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इस विधि में, पहली क्रिया (इन बिंदुओं के द्वितीयक प्रक्षेपणों को खोजने के बाद) प्रिज्म के ऊपरी या निचले आधार के तल पर काटने वाले विमान का एक निशान बनाना है या छोटा पिरामिडया पिरामिड के आधार पर

पीछे 2. एक त्रिकोणीय प्रिज्म की छवि दी गई है एबीसीए 1 बी 1 सी 1 और तीन अंकएम, एन, पी, जो क्रमशः किनारे सीसी पर स्थित हैं 1 और किनारे एबीबी 1 ए 1 , बीसीसी 1 बी 1 . समतल द्वारा प्रिज्म के एक खंड का निर्माण करें, के माध्यम से गुजरते हुए एम, एन, पी.

समाधान। प्रिज्म के ऊपरी आधार पर हमारे पास पहले से ही एक बिंदु है, इसलिए हम ऊपरी आधार पर निशान बनाएंगे। बिंदुओं के द्वितीयक अनुमानों का निर्माण एनऔर पी शीर्ष आधार पर फिर: 1 .एनपीएन 3 पी 3 =एक्स; 2 .एमएक्स=पी-रास्ता; 3 .पीबी 1 सी 1 =डी.

आगे की कार्रवाइयां ऊपर ड्राइंग में पहले ही दिखाई जा चुकी हैं।

पीछे 3. दिसम्बर हम प्रिज्म के निचले आधार पर कटिंग प्लेन का एक निशान बनाएंगे।

हम निर्माण करते हैं:1. एमएनईडी=एक्स, एमपीई.पी. 3 =वाई;

2. पी=XY– ट्रेस;3. पीबीसी=जी, पीडीसी=एच.

हमें किनारे पर एक बिंदु खोजने की जरूरत है बी बी 1 या किनारे पर ए.ए. 1 .

में किनारों एबीबी 1 ए 1 हमारे पास पहले से ही एक बिंदु है पी. इसलिए, इस चेहरे का निचला किनारा, यानी। अब, हम पगडंडी के साथ चौराहे तक चलते रहते हैं।

4. एबीपी=जेड.

5. पीजेडए.ए. 1 =एफ; पीजेडबी बी 1 =के.आगे की कार्रवाई पहले से ही ऊपर दिखाई गई है।

यदि यह पता चला कि रेखा अब ट्रेस के साथ प्रतिच्छेद नहीं करता है, फिर वांछित एफ.के पथ के समानांतर भी होगा। पीछे 4. दिसम्बर 1. पीएनपीहे एनओ = एक्स;

2. एमएनसीएनओ = वाई;3. पी=XY- पता लगाना;

3. सीबीपी=जेड;4. जेडएमएसबी=ई;

5. ईएनएसए=जी 6. जीईएमएफ- दावा अनुभाग.

17. सिलेंडर के एक खंड का निर्माण।

यदि काटने का तल तीन बिंदुओं द्वारा दिया गया है, तो हम हमेशा सिलेंडर या शंकु के आधार के तल और बिंदु पर इसका निशान पा सकते हैं ( पी, हे) अपनी धुरी पर। इसलिए, हमारा मानना ​​है कि कटिंग प्लेन को इन तत्वों द्वारा परिभाषित किया गया है।

साथ मामले की शुरुआत तब होती है जब विमान केवल प्रतिच्छेद करता है पार्श्व सतहसिलेंडर. तब सिलेंडर का क्रॉस-सेक्शन एक दीर्घवृत्त (;¯) होगा और इसकी छवि भी एक दीर्घवृत्त है। हम एक दीर्घवृत्त बनाने का एक तरीका जानते हैं यदि इसके दो संयुग्मी व्यास ज्ञात हों। अब हम दिखाएंगे कि आप एक छवि कैसे पा सकते हैं एक दीर्घवृत्त के मुख्य व्यास (;¯.

मान लीजिए  और  1 बेलन के निचले और ऊपरी आधारों का प्रतिनिधित्व करने वाले दीर्घवृत्त हैं, हे और हे 1-उनके केंद्र. आइए व्यास बनाएं ए 3 बी 3 निचले आधार, ट्रैक और उसके संयुग्म व्यास के समानांतर सी 3 डी 3. निर्माण करने के लिए सी 3 डी 3 हम कॉर्ड का उपयोग करते हैं के 3 एल 3, जिसका एक सिरा कंटूर जेनरेट्रिक्स से संबंधित है। आइए हम आपको वो याद दिला दें ए 3 बी 3 और सी 3 डी 3 लंबवत व्यास दिखाता है। आगे है सी 3 डी 3 पगडंडी वाले चौराहे तक। आइए सटीक जानकारी प्राप्त करें एक्स. सीधा। पिक्सल अनुभाग अक्ष कहा जाता है.

चलिए मुद्दे बढ़ाते हैं सी 3 और डीअनुभाग अक्ष पर 3. हम पाते हैं सीऔर डी. खंडसीडी ए 3 बीएक बड़े क्रॉस-अनुभागीय व्यास की एक छवि है। आइए खंड को बढ़ाएं 3 से ऊंचाईसेशन अब. हमें खंड मिलता है अब और खंड , जो एक छोटे क्रॉस-अनुभागीय व्यास की एक छवि है। नकारात्मक

- संभोग दीया। दीर्घवृत्त . एन वाई 3 =के 3 एल 3 सी 3 डीऐसे और बिंदु खोजें जिन पर दीर्घवृत्त सिलेंडर के दृश्य पक्ष से अदृश्य की ओर गुजरता है, जिसका अर्थ है कि ठोस रेखा एक बिंदीदार रेखा में बदल जाती है। ये समोच्च जेनरेटर के साथ काटने वाले विमान के प्रतिच्छेदन के बिंदु हैं। होने देना वाई 3. चलो बढ़ाओ वाईअनुभाग अक्ष पर 3. आइए एक बात समझ लें के 3 एल. चलो सुर बढ़ाएँ 3 से ऊंचाईहाँ 3. हमें खंड मिलता हैके.एल के. हमें आवश्यक बिंदु मिल गया है , और रास्ते में, एक और एलअतिरिक्त बिंदु एम. डॉट के, दूसरे समोच्च जेनरेटर के साथ छेदक तल के प्रतिच्छेदन को दर्शाते हुए बिंदु के सममित है पीबिंदु के सापेक्ष एन.इसके अतिरिक्त, हम एक सटीक निर्माण करेंगे एल , सममित पी

बिंदु-सापेक्ष

आइए इन व्यासों का उपयोग किए बिना किसी अनुभाग पर किसी भी संख्या में बिंदु खोजने का एक तरीका दिखाएं। कोई भी चुनें बिंदुवी कोई भी चुनें बिंदु 3 दीर्घवृत्त पर 3 . हम व्यास खींचते हैं 3 और इसे तब तक जारी रखें जब तक यह ट्रेस के साथ प्रतिच्छेद न कर ले यू. अंक बढ़ाना कोई भी चुनें बिंदु 3 और दीर्घवृत्त पर 3 . हम व्यास खींचते हैं 3 से सीधे ऊपर।. हमें दो अंक मिलते हैं कोई भी चुनें बिंदुऔर दीर्घवृत्त पर 3 . हम व्यास खींचते हैंअनुभाग पर. इसके बजाय चुनना कोई भी चुनें बिंदु 3 अन्य बिंदु, यदि आप एक बिंदु चुनते हैं तो हमें प्रति अनुभाग 2 अन्य अंक मिलते हैं के 3 समोच्च जनरेटर पर झूठ बोलते हुए, हम बिंदु पाएंगे के और एम, जिसमें खंड पर ठोस रेखा एक बिंदीदार रेखा में बदल जानी चाहिए।