दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। दो सीधी रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु - परिभाषा (पद्धतिगत विकास)

समन्वय विधि का उपयोग करके कुछ ज्यामितीय समस्याओं को हल करते समय, आपको रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजने होंगे। अक्सर आपको एक समतल पर दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजने होते हैं, लेकिन कभी-कभी अंतरिक्ष में दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करने की आवश्यकता होती है। इस लेख में हम उस बिंदु के निर्देशांक खोजने से निपटेंगे जिस पर दो रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं।

पेज नेविगेशन.

दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु एक परिभाषा है।

आइए सबसे पहले दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को परिभाषित करें।

इस प्रकार, एक समतल पर परिभाषित दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना सामान्य समीकरण, आपको दी गई रेखाओं के समीकरणों से बनी एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है।

आइए उदाहरण समाधान देखें.

उदाहरण।

में परिभाषित दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए आयताकार प्रणालीसमीकरण x-9y+14=0 और 5x-2y-16=0 द्वारा समतल पर निर्देशांक।

समाधान।

हमें रेखाओं के दो सामान्य समीकरण दिए गए हैं, आइए उनसे एक प्रणाली बनाएं: . चर x के संबंध में इसके पहले समीकरण को हल करके और इस अभिव्यक्ति को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करके समीकरणों की परिणामी प्रणाली का समाधान आसानी से पाया जा सकता है:

समीकरणों की प्रणाली का पाया गया समाधान हमें दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के वांछित निर्देशांक देता है।

उत्तर:

एम 0 (4, 2) x-9y+14=0 और 5x-2y-16=0 .

तो, समतल पर सामान्य समीकरणों द्वारा परिभाषित दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना, दो की एक प्रणाली को हल करने के लिए आता है रेखीय समीकरणदो अज्ञात चर के साथ. लेकिन क्या होगा यदि किसी समतल पर रेखाएँ सामान्य समीकरणों द्वारा नहीं, बल्कि एक अलग प्रकार के समीकरणों द्वारा दी गई हों (किसी समतल पर रेखा के समीकरणों के प्रकार देखें)? इन मामलों में, आप पहले रेखाओं के समीकरणों को एक सामान्य रूप में कम कर सकते हैं, और उसके बाद ही प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक पा सकते हैं।

उदाहरण।

और ।

समाधान।

दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने से पहले, हम उनके समीकरणों को कम करते हैं सामान्य उपस्थिति. पैरामीट्रिक सीधी रेखा समीकरणों से संक्रमण इस रेखा का सामान्य समीकरण इस प्रकार है:

अब चलो अमल करते हैं आवश्यक कार्यवाहीरेखा के विहित समीकरण के साथ:

इस प्रकार, रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के वांछित निर्देशांक फॉर्म के समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान हैं . इसे हल करने के लिए हम इसका उपयोग करते हैं:

उत्तर:

एम 0 (-5, 1)

किसी समतल पर दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने का एक और तरीका है। इसका उपयोग तब सुविधाजनक होता है जब किसी एक पंक्ति को प्रपत्र के पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा दिया जाता है , और दूसरा एक भिन्न प्रकार की सीधी रेखा का समीकरण है। इस स्थिति में, किसी अन्य समीकरण में, चर x और y के बजाय, आप व्यंजकों को प्रतिस्थापित कर सकते हैं और , जहां से वह मान प्राप्त करना संभव होगा जो दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु से मेल खाता है। इस मामले में, रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक होते हैं।

आइए इस विधि का उपयोग करके पिछले उदाहरण से रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें।

उदाहरण।

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करें और ।

समाधान।

आइए समीकरण में सीधी रेखा अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करें:

परिणामी समीकरण को हल करने पर, हमें मिलता है। यह मान रेखाओं के उभयनिष्ठ बिंदु से मेल खाता है और । हम पैरामीट्रिक समीकरणों में एक सीधी रेखा प्रतिस्थापित करके प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक की गणना करते हैं:
.

उत्तर:

म0(-5,1) .

तस्वीर को पूरा करने के लिए एक और बिंदु पर चर्चा की जानी चाहिए.

किसी समतल पर दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने से पहले, यह सुनिश्चित करना उपयोगी होता है कि दी गई रेखाएँ वास्तव में प्रतिच्छेद करती हैं। यदि यह पता चलता है कि मूल रेखाएँ मेल खाती हैं या समानांतर हैं, तो ऐसी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजने का कोई सवाल ही नहीं उठता।

आप निश्चित रूप से, इस तरह की जांच के बिना कर सकते हैं और तुरंत फॉर्म के समीकरणों की एक प्रणाली बना सकते हैं और इसे हल करें. यदि समीकरणों की एक प्रणाली है एकमात्र समाधान, तो यह उस बिंदु के निर्देशांक देता है जिस पर मूल रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं। यदि समीकरणों की प्रणाली में समाधान नहीं हैं, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि मूल रेखाएँ समानांतर हैं (क्योंकि वास्तविक संख्याओं x और y का कोई जोड़ा नहीं है जो एक साथ दी गई रेखाओं के दोनों समीकरणों को संतुष्ट करेगा)। समीकरणों की प्रणाली के अनंत संख्या में समाधानों की उपस्थिति से, यह निष्कर्ष निकलता है कि मूल सीधी रेखाओं में अनंत रूप से कई सामान्य बिंदु होते हैं, अर्थात वे संपाती होते हैं।

आइए ऐसे उदाहरण देखें जो इन स्थितियों में फिट बैठते हों।

उदाहरण।

पता लगाएँ कि क्या रेखाएँ और प्रतिच्छेद करती हैं, और यदि वे प्रतिच्छेद करती हैं, तो प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें।

समाधान।

रेखाओं के दिए गए समीकरण समीकरणों के अनुरूप हैं और . आइए इन समीकरणों से बनी प्रणाली को हल करें .

यह स्पष्ट है कि सिस्टम के समीकरण एक दूसरे के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किए जाते हैं (सिस्टम का दूसरा समीकरण पहले से उसके दोनों भागों को 4 से गुणा करके प्राप्त किया जाता है), इसलिए, समीकरणों की प्रणाली में अनंत संख्या में समाधान होते हैं। इस प्रकार, समीकरण एक ही रेखा को परिभाषित करते हैं, और हम इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजने के बारे में बात नहीं कर सकते हैं।

उत्तर:

समीकरण आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सी में एक ही सीधी रेखा को परिभाषित करते हैं, इसलिए हम प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजने के बारे में बात नहीं कर सकते हैं।

उदाहरण।

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और , अगर संभव हो तो।

समाधान।

समस्या की स्थिति यह अनुमति देती है कि रेखाएँ एक दूसरे को नहीं काट सकतीं। आइए इन समीकरणों से एक प्रणाली बनाएं। आइए इसे हल करने के लिए आवेदन करें, क्योंकि यह हमें समीकरणों की प्रणाली की अनुकूलता या असंगतता स्थापित करने की अनुमति देता है, और यदि यह संगत है, तो एक समाधान खोजें:

गॉस विधि के सीधे पारित होने के बाद प्रणाली का अंतिम समीकरण गलत समानता में बदल गया, इसलिए, समीकरणों की प्रणाली का कोई समाधान नहीं है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि मूल रेखाएँ समानांतर हैं, और हम इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजने के बारे में बात नहीं कर सकते हैं।

दूसरा उपाय.

आइए जानें कि दी गई रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं या नहीं।

- सामान्य रेखा सदिश , और वेक्टर एक सामान्य रेखा वेक्टर है . आइए निष्पादन की जाँच करें और : समानता सत्य है, इसलिए, दी गई रेखाओं के सामान्य सदिश संरेख होते हैं। तब ये रेखाएँ समान्तर या संपाती होती हैं। इस प्रकार, हम मूल रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक नहीं पा सकते हैं।

उत्तर:

दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना असंभव है, क्योंकि ये रेखाएँ समानांतर हैं।

उदाहरण।

रेखाओं 2x-1=0 और के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें, यदि वे प्रतिच्छेद करते हैं।

समाधान।

आइए समीकरणों की एक प्रणाली बनाएं जो दी गई रेखाओं के सामान्य समीकरण हों: . समीकरणों की इस प्रणाली के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्येतर है , इसलिए समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान है, जो दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन को इंगित करता है।

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, हमें सिस्टम को हल करने की आवश्यकता है:

परिणामी समाधान हमें रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक देता है, अर्थात, 2x-1=0 और .

उत्तर:

अंतरिक्ष में दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक समान रूप से पाए जाते हैं।

आइए उदाहरणों के समाधान देखें।

उदाहरण।

समीकरणों द्वारा अंतरिक्ष में दी गई दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें और .

समाधान।

आइए दी गई रेखाओं के समीकरणों से समीकरणों की एक प्रणाली बनाएं: . इस प्रणाली का समाधान हमें अंतरिक्ष में रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के वांछित निर्देशांक देगा। आइए समीकरणों की लिखित प्रणाली का समाधान खोजें।

सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का रूप है , और विस्तारित - .

आइए परिभाषित करें ए और मैट्रिक्स टी की रैंक। हम उपयोग करते हैं

द्वि-आयामी अंतरिक्ष में, दो रेखाएं केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जो निर्देशांक (x,y) द्वारा परिभाषित होती हैं। चूँकि दोनों रेखाएँ अपने प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरती हैं, निर्देशांक (x,y) को इन रेखाओं का वर्णन करने वाले दोनों समीकरणों को संतुष्ट करना होगा। कुछ अतिरिक्त कौशल के साथ, आप परवलय और अन्य द्विघात वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु पा सकते हैं।

कदम

दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु

समीकरण के बाईं ओर चर "y" को अलग करते हुए, प्रत्येक पंक्ति का समीकरण लिखें।समीकरण के अन्य पदों को समीकरण के दाईं ओर रखा जाना चाहिए। शायद आपको दिए गए समीकरण में "y" के बजाय चर f(x) या g(x) होगा; इस मामले में, ऐसे चर को अलग करें। किसी चर को अलग करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों पर उचित गणित करें।

यदि आपको ज्ञात जानकारी के आधार पर रेखाओं के समीकरण नहीं दिए गए हैं।
उदाहरण. समीकरणों द्वारा वर्णित सीधी रेखाएँ दी गई हैं और y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12=-2x). दूसरे समीकरण में "y" को अलग करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों में संख्या 12 जोड़ें:

आप दोनों रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु की तलाश कर रहे हैं, यानी एक ऐसा बिंदु जिसके निर्देशांक (x, y) दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। चूँकि चर "y" प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर है, इसलिए प्रत्येक समीकरण के दाईं ओर स्थित अभिव्यक्तियों को बराबर किया जा सकता है। एक नया समीकरण लिखें.
- उदाहरण. क्योंकि y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)और y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x), तो हम निम्नलिखित समानता लिख सकते हैं: .
चर "x" का मान ज्ञात कीजिए।नए समीकरण में केवल एक चर, "x" है। "x" खोजने के लिए, समीकरण के दोनों ओर उचित गणित करके समीकरण के बाईं ओर उस चर को अलग करें। आपको x = __ के रूप का एक समीकरण मिलना चाहिए (यदि आप ऐसा नहीं कर सकते, तो यह अनुभाग देखें)।
- उदाहरण. x + 3 = 12 − 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
- जोड़ना 2 एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल 2x)समीकरण के प्रत्येक पक्ष के लिए:
- 3 x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
- समीकरण के प्रत्येक पक्ष से 3 घटाएँ:
- 3 x = 9 (\displaystyle 3x=9)
- समीकरण के प्रत्येक पक्ष को 3 से विभाजित करें:
- x = 3 (\displaystyle x=3).
वेरिएबल "y" के मान की गणना करने के लिए वेरिएबल "x" के पाए गए मान का उपयोग करें।ऐसा करने के लिए, "x" के पाए गए मान को सीधी रेखा के समीकरण (किसी भी) में प्रतिस्थापित करें।
- उदाहरण. x = 3 (\displaystyle x=3)और y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
- y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
- y = 6 (\displaystyle y=6)
उत्तर की जाँच करें.ऐसा करने के लिए, रेखा के अन्य समीकरण में "x" का मान रखें और "y" का मान ज्ञात करें। यदि आपको प्राप्त होता है अलग अर्थ"y", अपनी गणना की शुद्धता की जाँच करें।
- उदाहरण: x = 3 (\displaystyle x=3)और y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x)
- y = 12 − 2 (3) (\displaystyle y=12-2(3))
- y = 12 − 6 (\displaystyle y=12-6)
- y = 6 (\displaystyle y=6)
- आपको y के लिए समान मान मिला है, इसलिए आपकी गणना में कोई त्रुटि नहीं है।
निर्देशांक (x,y) लिखिए।"x" और "y" के मानों की गणना करने के बाद, आपको दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक मिल गए हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांकों को (x,y) रूप में लिखें।
- उदाहरण. x = 3 (\displaystyle x=3)और y = 6 (\displaystyle y=6)
- इस प्रकार, दो सीधी रेखाएँ निर्देशांक (3,6) वाले एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
विशेष मामलों में गणना.कुछ मामलों में, वेरिएबल "x" का मान नहीं पाया जा सकता है। लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि आपने गलती की है. एक विशेष मामला तब घटित होता है जब निम्नलिखित में से कोई एक शर्त पूरी होती है:
- यदि दो रेखाएँ समान्तर हों तो वे प्रतिच्छेद नहीं करतीं। इस स्थिति में, चर "x" आसानी से कम हो जाएगा, और आपका समीकरण एक अर्थहीन समानता में बदल जाएगा (उदाहरण के लिए, 0 = 1 (\डिस्प्लेस्टाइल 0=1)). ऐसी स्थिति में अपने उत्तर में लिखिए कि रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं करतीं अथवा कोई हल नहीं है।
- यदि दोनों समीकरण एक सीधी रेखा का वर्णन करते हैं, तो अनंत संख्या में प्रतिच्छेदन बिंदु होंगे। इस स्थिति में, चर "x" आसानी से कम हो जाएगा, और आपका समीकरण एक सख्त समानता में बदल जाएगा (उदाहरण के लिए, 3 = 3 (\डिस्प्लेस्टाइल 3=3)). इस स्थिति में, अपने उत्तर में लिखिए कि दोनों पंक्तियाँ संपाती हैं।
द्विघात कार्यों के साथ समस्याएँ
1. द्विघात फलन की परिभाषा.एक द्विघात फ़ंक्शन में, एक या अधिक चर की दूसरी डिग्री होती है (लेकिन उच्चतर नहीं), उदाहरण के लिए, x 2 (\displaystyle x^(2))या y 2 (\displaystyle y^(2)). द्विघात फलनों के ग्राफ़ ऐसे वक्र होते हैं जो प्रतिच्छेद नहीं कर सकते हैं या एक या दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद कर सकते हैं। इस अनुभाग में, हम आपको बताएंगे कि द्विघात वक्रों का प्रतिच्छेदन बिंदु या बिंदु कैसे खोजें।
2. समीकरण के बाईं ओर चर "y" को अलग करके प्रत्येक समीकरण को फिर से लिखें।समीकरण के अन्य पदों को समीकरण के दाईं ओर रखा जाना चाहिए।
  - उदाहरण. ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए x 2 + 2 x - y = - 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1)और
  - समीकरण के बाईं ओर चर "y" को अलग करें:
  - और y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
  - इस उदाहरण में, आपको एक द्विघात फलन और एक रैखिक फलन दिया गया है। याद रखें कि यदि आपको दो दिए गए हैं द्विघात कार्य, गणना नीचे उल्लिखित चरणों के समान है।
3. प्रत्येक समीकरण के दाईं ओर के भावों को बराबर करें।चूँकि चर "y" प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर है, इसलिए प्रत्येक समीकरण के दाईं ओर स्थित अभिव्यक्तियों को बराबर किया जा सकता है।
  - उदाहरण. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1)और y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)
4. परिणामी समीकरण के सभी पदों को इसमें स्थानांतरित करें बाईं तरफ, और दाईं ओर 0 लिखें।ऐसा करने के लिए, कुछ बुनियादी गणित करें। यह आपको परिणामी समीकरण को हल करने की अनुमति देगा।
  - उदाहरण. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
  - समीकरण के दोनों पक्षों से "x" घटाएँ:
  - x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
  - समीकरण के दोनों पक्षों से 7 घटाएँ:
5. तय करना द्विघात समीकरण. समीकरण के सभी पदों को बाईं ओर ले जाने पर, आपको एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है। इसे तीन तरीकों से हल किया जा सकता है: एक विशेष सूत्र का उपयोग करके, और।
  - उदाहरण. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
  - जब आप किसी समीकरण का गुणनखंड करते हैं, तो आपको दो द्विपद मिलते हैं, जिन्हें गुणा करने पर आपको मूल समीकरण मिलता है। हमारे उदाहरण में, पहला पद x 2 (\displaystyle x^(2)) x*x में विघटित किया जा सकता है। इसे लिख लें: (x)(x) = 0
  - हमारे उदाहरण में, मुक्त पद -6 को निम्नलिखित कारकों में विभाजित किया जा सकता है: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
  - हमारे उदाहरण में, दूसरा पद x (या 1x) है। डमी पद के गुणनखंडों के प्रत्येक जोड़े को (हमारे उदाहरण में -6) तब तक जोड़ें जब तक आपको 1 न मिल जाए। हमारे उदाहरण में, डमी पद के गुणनखंडों का उपयुक्त युग्म संख्याएँ -2 और 3 हैं ( - 2 * 3 = - 6 (\displaystyle -2*3=-6)), क्योंकि - 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
  - पाए गए संख्याओं के जोड़े से रिक्त स्थान भरें: .
6. दो ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन के दूसरे बिंदु के बारे में मत भूलना।यदि आप समस्या को शीघ्रता से और बहुत सावधानी से नहीं हल करते हैं, तो आप दूसरे प्रतिच्छेदन बिंदु के बारे में भूल सकते हैं। यहां बताया गया है कि दो प्रतिच्छेदन बिंदुओं के x निर्देशांक कैसे ज्ञात करें:
  - उदाहरण (कारकीकरण). यदि समीकरण में. (x − 2) (x + 3) = 0 (\displaystyle (x-2)(x+3)=0)कोष्ठक में कोई एक व्यंजक 0 के बराबर होगा, तो संपूर्ण समीकरण 0 के बराबर होगा। इसलिए, हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) और x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (अर्थात्, आपको समीकरण की दो जड़ें मिलीं)।
  - उदाहरण (सूत्र का उपयोग या जोड़) पूर्ण वर्ग) . इनमें से किसी एक विधि का उपयोग करने पर समाधान दिखाई देगा वर्गमूल. उदाहरण के लिए, हमारे उदाहरण से समीकरण रूप लेगा x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). याद रखें कि वर्गमूल निकालने पर आपको दो समाधान मिलेंगे। हमारे मामले में: 25 = 5 * 5 (\displaystyle (\sqrt (25))=5*5), और 25 = (− 5) * (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). तो दो समीकरण लिखिए और x के दो मान ज्ञात कीजिए।
7. ग्राफ़ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं या बिल्कुल भी प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।ऐसी स्थितियाँ तब उत्पन्न होती हैं जब निम्नलिखित स्थितियाँ पूरी होती हैं:
  - यदि ग्राफ़ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो द्विघात समीकरण समान कारकों में विघटित हो जाता है, उदाहरण के लिए, (x-1) (x-1) = 0, और 0 का वर्गमूल सूत्र में दिखाई देता है ( 0 (\displaystyle (\sqrt (0)))). इस स्थिति में, समीकरण का केवल एक ही हल है।
  - यदि ग्राफ बिल्कुल भी प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, तो समीकरण का गुणनखंड नहीं किया जा सकता है, और का वर्गमूल ऋणात्मक संख्या(उदाहरण के लिए, − 2 (\displaystyle (\sqrt (-2)))). ऐसे में अपने उत्तर में लिखें कि इसका कोई समाधान नहीं है.

फ़ंक्शंस के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए, आपको दोनों फ़ंक्शंस को एक-दूसरे के बराबर करने की आवश्यकता है, उन्हें स्थानांतरित करें बाईं तरफ$ x $ वाले सभी पद, और दाईं ओर शेष तथा परिणामी समीकरण के मूल खोजें।
दूसरी विधि समीकरणों की एक प्रणाली बनाना और एक फ़ंक्शन को दूसरे में प्रतिस्थापित करके हल करना है
तीसरी विधि में ग्राफ़िक रूप से कार्यों का निर्माण करना और प्रतिच्छेदन बिंदु को दृष्टिगत रूप से निर्धारित करना शामिल है।

दो रैखिक फलनों का मामला

दो रैखिक फलनों पर विचार करें $ f(x) = k_1 x+m_1 $ और $ g(x) = k_2 x + m_2 $। इन कार्यों को प्रत्यक्ष कहा जाता है। इन्हें बनाना काफी आसान है; आपको कोई भी दो मान $ x_1 $ और $ x_2 $ लेने होंगे और $ f(x_1) $ और $ (x_2) $ ढूंढना होगा। फिर फ़ंक्शन $ g(x) $ के साथ इसे दोहराएं। इसके बाद, फ़ंक्शन ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु के समन्वय को दृष्टिगत रूप से ढूंढें।

आपको पता होना चाहिए कि रैखिक कार्यों में केवल एक प्रतिच्छेदन बिंदु होता है और केवल $ k_1 \neq k_2 $ होने पर। अन्यथा, $ k_1=k_2 $ के मामले में फ़ंक्शन एक दूसरे के समानांतर हैं, क्योंकि $ k $ ढलान गुणांक है। यदि $ k_1 \neq k_2 $ लेकिन $ m_1=m_2 $, तो प्रतिच्छेदन बिंदु $ M(0;m) $ होगा। समस्याओं के त्वरित समाधान के लिए इस नियम को याद रखने की सलाह दी जाती है।

उदाहरण 1
मान लीजिए $ f(x) = 2x-5 $ और $ g(x)=x+3 $ दिया गया है। फ़ंक्शन ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें।
समाधान
यह कैसे करें? चूंकि दो रैखिक फ़ंक्शन प्रस्तुत किए गए हैं, पहली चीज़ जो हम देखते हैं वह दोनों फ़ंक्शन $ k_1 = 2 $ और $ k_2 = 1 $ का ढलान गुणांक है। हम ध्यान दें कि $ k_1 \neq k_2 $, इसलिए एक प्रतिच्छेदन बिंदु है। आइए इसे समीकरण $ f(x)=g(x) $ का उपयोग करके खोजें: $$ 2x-5 = x+3 $$ हम $ x $ वाले शब्दों को बाईं ओर और शेष को दाईं ओर ले जाते हैं: $$ 2x - x = 3+5 $$ हमने ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज $ x=8 $ प्राप्त कर लिया है, और अब कोटि ज्ञात करते हैं। ऐसा करने के लिए, आइए $ x = 8 $ को किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित करें, या तो $ f(x) $ में या $ g(x) $ में: $$ f(8) = 2\cdot 8 - 5 = 16 - 5 = 11 $$ तो, $ M (8;11) $ दो रैखिक कार्यों के ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। यदि आप अपनी समस्या का समाधान नहीं कर सकते तो हमें भेजें। हम विस्तृत समाधान प्रदान करेंगे. आप गणना की प्रगति देख सकेंगे और जानकारी प्राप्त कर सकेंगे। इससे आपको समय पर अपने शिक्षक से अपना ग्रेड प्राप्त करने में मदद मिलेगी!
उत्तर
$$ एम (8;11) $$

दो अरेखीय कार्यों का मामला

उदाहरण 3
फ़ंक्शन ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजें: $ f(x)=x^2-2x+1 $ और $ g(x)=x^2+1 $
समाधान
दो अरेखीय कार्यों के बारे में क्या? एल्गोरिथ्म सरल है: हम समीकरणों को एक-दूसरे से बराबर करते हैं और मूल ढूंढते हैं: $$ x^2-2x+1=x^2+1 $$ हमने इसे चारों ओर फैलाया अलग-अलग पार्टियों को$x$ के साथ और उसके बिना समीकरण की शर्तें: $$ x^2-2x-x^2=1-1 $$ वांछित बिंदु का भुज मिल गया है, लेकिन यह पर्याप्त नहीं है। कोर्डिनेट $y$ अभी भी गायब है। हम समस्या स्थिति के दो समीकरणों में से किसी एक में $ x = 0 $ प्रतिस्थापित करते हैं। उदाहरण के लिए: $$ f(0)=0^2-2\cdot 0 + 1 = 1 $$ $ M (0;1) $ - फ़ंक्शन ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन बिंदु
उत्तर
$$ एम (0;1) $$

श्रृंखला "ज्यामितीय एल्गोरिदम" से पाठ

नमस्ते प्रिय पाठक!

आइए ज्यामितीय एल्गोरिदम से परिचित होना जारी रखें। पिछले पाठ में, हमने दो बिंदुओं के निर्देशांक का उपयोग करके एक सीधी रेखा का समीकरण पाया। हमें इस रूप का एक समीकरण मिला:

आज हम एक फ़ंक्शन लिखेंगे, जो दो सीधी रेखाओं के समीकरणों का उपयोग करके, उनके प्रतिच्छेदन बिंदु (यदि कोई हो) के निर्देशांक ढूंढेगा। वास्तविक संख्याओं की समानता की जांच करने के लिए, हम विशेष फ़ंक्शन RealEq() का उपयोग करेंगे।

समतल पर बिंदुओं का वर्णन वास्तविक संख्याओं की एक जोड़ी द्वारा किया जाता है। वास्तविक प्रकार का उपयोग करते समय, विशेष कार्यों का उपयोग करके तुलना संचालन को लागू करना बेहतर होता है।

कारण ज्ञात है: पास्कल प्रोग्रामिंग सिस्टम में वास्तविक प्रकार पर कोई ऑर्डर संबंध नहीं है, इसलिए फॉर्म ए = बी के रिकॉर्ड का उपयोग न करना बेहतर है, जहां ए और बी वास्तविक संख्याएं हैं।
आज हम "=" (सख्ती से बराबर) ऑपरेशन को लागू करने के लिए RealEq() फ़ंक्शन पेश करेंगे:

फ़ंक्शन RealEq(कॉन्स्ट ए, बी:रियल):बूलियन; (पूरी तरह से बराबर) प्रारंभ RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

काम। दो सीधी रेखाओं के समीकरण दिए गए हैं: और। उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु ज्ञात कीजिए।

समाधान। स्पष्ट समाधान रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना है: आइए इस प्रणाली को थोड़ा अलग तरीके से फिर से लिखें:
(1)

आइए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें: , , . यहां डी सिस्टम का निर्धारक है, और संबंधित अज्ञात के लिए गुणांक के कॉलम को मुक्त शब्दों के कॉलम के साथ बदलने से उत्पन्न निर्धारक हैं। यदि, तो सिस्टम (1) निश्चित है, अर्थात इसका एक अद्वितीय समाधान है। यह समाधान निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है: जिन्हें कहा जाता है क्रैमर सूत्र. मैं आपको याद दिला दूं कि दूसरे क्रम के निर्धारक की गणना कैसे की जाती है। निर्धारक दो विकर्णों को अलग करता है: मुख्य और द्वितीयक। मुख्य विकर्ण में निर्धारक के ऊपरी बाएँ कोने से निचले दाएँ कोने तक दिशा में लिए गए तत्व शामिल होते हैं। पार्श्व विकर्ण - ऊपरी दाएँ से निचले बाएँ तक। दूसरे क्रम का निर्धारक मुख्य विकर्ण के तत्वों के उत्पाद को घटाकर द्वितीयक विकर्ण के तत्वों के उत्पाद के बराबर है।

समानता की जांच करने के लिए कोड RealEq() फ़ंक्शन का उपयोग करता है। वास्तविक संख्याओं पर गणना _Eps=1e-7 की सटीकता के साथ की जाती है।

प्रोग्राम जियोम2; स्थिरांक _ईपीएस: वास्तविक=1e-7;(गणना सटीकता) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:वास्तविक;<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

फ़ंक्शन RealEq(कॉन्स्ट ए, बी:रियल):बूलियन; (पूरी तरह से बराबर) प्रारंभ RealEq:=Abs(a-b)

हमने एक प्रोग्राम संकलित किया है जिसकी सहायता से आप रेखाओं के समीकरणों को जानकर, उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कर सकते हैं।

दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु एक परिभाषा है।

आइए सबसे पहले दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को परिभाषित करें।

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एक समतल पर रेखाओं की सापेक्ष स्थिति पर अनुभाग में, यह दिखाया गया है कि एक समतल पर दो रेखाएँ या तो संपाती हो सकती हैं (और उनमें अपरिमित रूप से कई उभयनिष्ठ बिंदु हैं), या समानांतर हो सकती हैं (और दो रेखाओं में कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है), या एक दूसरे को काट सकती हैं , एक सामान्य बात है। अंतरिक्ष में दो रेखाओं की सापेक्ष स्थिति के लिए और भी विकल्प हैं - वे संपाती हो सकती हैं (अनंत रूप से कई सामान्य बिंदु हो सकते हैं), वे समानांतर हो सकती हैं (अर्थात, एक ही तल में स्थित हो सकती हैं और प्रतिच्छेद नहीं करती हैं), वे प्रतिच्छेद कर सकती हैं (नहीं) एक ही तल में स्थित हों), और उनमें एक उभयनिष्ठ बिंदु भी हो सकता है, अर्थात प्रतिच्छेद। इसलिए, समतल और अंतरिक्ष दोनों पर दो रेखाओं को प्रतिच्छेदी कहा जाता है यदि उनमें एक उभयनिष्ठ बिंदु हो। प्रतिच्छेदी रेखाओं की परिभाषा से यह निम्नानुसार हैरेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्धारण

: वह बिंदु जिस पर दो रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं, इन रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु कहलाता है। दूसरे शब्दों में, दो प्रतिच्छेदी रेखाओं का एकमात्र उभयनिष्ठ बिंदु इन रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

स्पष्टता के लिए, हम एक समतल और अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का एक चित्रमय चित्रण प्रस्तुत करते हैं।

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एक समतल पर दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना।

किसी समतल पर दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक उनके ज्ञात समीकरणों का उपयोग करके ज्ञात करने से पहले, एक सहायक समस्या पर विचार करें। ऑक्सीऔर एबी ऑक्सी. हम इसे सीधा मान लेंगे एफॉर्म की सीधी रेखा और सीधी रेखा के सामान्य समीकरण से मेल खाती है - प्रकार । मान लीजिए कि समतल पर कोई बिंदु है, और हमें यह पता लगाना होगा कि क्या बिंदु हैम 0

दी गई रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु.

आइए समस्या का समाधान करें. अगर ऑक्सीऔर एएम 0 ऑक्सीऔर सीधा ए, यानी, इसके निर्देशांक को समीकरण और समीकरण दोनों को संतुष्ट करना होगा। इसलिए, हमें बिंदु के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है - प्रकार । मान लीजिए कि समतल पर कोई बिंदु है, और हमें यह पता लगाना होगा कि क्या बिंदु हैदी गई रेखाओं के समीकरणों में देखें और देखें कि क्या इसका परिणाम दो सही समानताएँ हैं। यदि बिंदु के निर्देशांक - प्रकार । मान लीजिए कि समतल पर कोई बिंदु है, और हमें यह पता लगाना होगा कि क्या बिंदु हैदोनों समीकरणों को संतुष्ट करें और, फिर रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है ऑक्सीऔर ए, अन्यथा - प्रकार । मान लीजिए कि समतल पर कोई बिंदु है, और हमें यह पता लगाना होगा कि क्या बिंदु है .

मुद्दा यह है - प्रकार । मान लीजिए कि समतल पर कोई बिंदु है, और हमें यह पता लगाना होगा कि क्या बिंदु हैनिर्देशांक के साथ (2, -3) रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु 5x-2y-16=0और 2x-5y-19=0?

आइए समस्या का समाधान करें. - प्रकार । मान लीजिए कि समतल पर कोई बिंदु है, और हमें यह पता लगाना होगा कि क्या बिंदु हैवास्तव में दी गई रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है, तो इसके निर्देशांक रेखाओं के समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। आइए बिंदु के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करके इसकी जाँच करें - प्रकार । मान लीजिए कि समतल पर कोई बिंदु है, और हमें यह पता लगाना होगा कि क्या बिंदु हैदिए गए समीकरणों में:

इसलिए, हमें दो सच्ची समानताएँ मिलीं, म 0 (2, -3)- रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु 5x-2y-16=0और 2x-5y-19=0.

स्पष्टता के लिए, हम एक चित्र प्रस्तुत करते हैं जो सीधी रेखाएँ दिखाता है और उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक दिखाई देते हैं।

हाँ, अवधि म 0 (2, -3)रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है 5x-2y-16=0और 2x-5y-19=0.

क्या रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं? 5x+3y-1=0और 7x-2y+11=0बिंदु पर म 0 (2, -3)?

आइए बिंदु के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करें - प्रकार । मान लीजिए कि समतल पर कोई बिंदु है, और हमें यह पता लगाना होगा कि क्या बिंदु हैसीधी रेखाओं के समीकरणों में, यह क्रिया जाँच करेगी कि बिंदु किसका है - प्रकार । मान लीजिए कि समतल पर कोई बिंदु है, और हमें यह पता लगाना होगा कि क्या बिंदु हैएक ही समय में दोनों सीधी रेखाएँ:

चूँकि दूसरे समीकरण में बिंदु के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करते समय - प्रकार । मान लीजिए कि समतल पर कोई बिंदु है, और हमें यह पता लगाना होगा कि क्या बिंदु हैसच्ची समानता में नहीं बदला, तो बिंदु - प्रकार । मान लीजिए कि समतल पर कोई बिंदु है, और हमें यह पता लगाना होगा कि क्या बिंदु हैलाइन से संबंधित नहीं है 7x-2y+11=0. इस तथ्य से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बात - प्रकार । मान लीजिए कि समतल पर कोई बिंदु है, और हमें यह पता लगाना होगा कि क्या बिंदु हैदी गई रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है।

चित्र भी उस बिंदु को स्पष्ट रूप से दर्शाता है - प्रकार । मान लीजिए कि समतल पर कोई बिंदु है, और हमें यह पता लगाना होगा कि क्या बिंदु हैरेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है 5x+3y-1=0और 7x-2y+11=0. जाहिर है, दी गई रेखाएं निर्देशांक वाले एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं (-1, 2) .

म 0 (2, -3)रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है 5x+3y-1=0और 7x-2y+11=0.

अब हम एक समतल पर रेखाओं के दिए गए समीकरणों का उपयोग करके दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजने के कार्य पर आगे बढ़ सकते हैं।

मान लीजिए कि समतल पर एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली स्थापित की गई है किसी समतल पर दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक उनके ज्ञात समीकरणों का उपयोग करके ज्ञात करने से पहले, एक सहायक समस्या पर विचार करें।और दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ दी गई हैं ऑक्सीऔर एसमीकरण और क्रमशः। आइए हम दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को इस प्रकार निरूपित करें - प्रकार । मान लीजिए कि समतल पर कोई बिंदु है, और हमें यह पता लगाना होगा कि क्या बिंदु हैऔर निम्नलिखित समस्या को हल करें: दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें ऑक्सीऔर एइन रेखाओं के ज्ञात समीकरणों के अनुसार और।

डॉट अगरप्रत्येक प्रतिच्छेदी रेखा से संबंधित है ऑक्सीऔर एपरिभाषा से। फिर रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ऑक्सीऔर एसमीकरण और समीकरण दोनों को संतुष्ट करें। इसलिए, दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ऑक्सीऔर एसमीकरणों की एक प्रणाली का समाधान हैं (रेखीय बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली को हल करने वाला लेख देखें)।

इस प्रकार, सामान्य समीकरणों द्वारा एक समतल पर परिभाषित दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए, आपको दी गई सीधी रेखाओं के समीकरणों से बनी एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है।

आइए उदाहरण समाधान देखें.

समीकरणों द्वारा एक समतल पर आयताकार समन्वय प्रणाली में परिभाषित दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें x-9y+14=0और 5x-2y-16=0.

हमें रेखाओं के दो सामान्य समीकरण दिए गए हैं, आइए उनसे एक प्रणाली बनाएं:। चर के संबंध में इसके पहले समीकरण को हल करके समीकरणों की परिणामी प्रणाली का समाधान आसानी से पाया जा सकता है एक्सऔर इस अभिव्यक्ति को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

म0 (4,2)– रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु x-9y+14=0और 5x-2y-16=0.

तो, एक समतल पर सामान्य समीकरणों द्वारा परिभाषित दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना, दो अज्ञात चर वाले दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए आता है। लेकिन क्या होगा यदि किसी समतल पर रेखाएँ सामान्य समीकरणों द्वारा नहीं, बल्कि एक अलग प्रकार के समीकरणों द्वारा दी गई हों (किसी समतल पर रेखा के समीकरणों के प्रकार देखें)? इन मामलों में, आप पहले रेखाओं के समीकरणों को एक सामान्य रूप में कम कर सकते हैं, और उसके बाद ही प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक पा सकते हैं।

दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने से पहले, हम उनके समीकरणों को एक सामान्य रूप में बदल देते हैं। किसी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण से इस रेखा के सामान्य समीकरण में संक्रमण इस तरह दिखता है:

आइए अब सीधी रेखा के विहित समीकरण के साथ आवश्यक क्रियाएं करें:

इस प्रकार, रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के वांछित निर्देशांक फॉर्म के समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान हैं। इसे हल करने के लिए हम क्रैमर विधि का उपयोग करते हैं:

एम 0 (-5, 1)

किसी समतल पर दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने का एक और तरीका है। इसका उपयोग तब सुविधाजनक होता है जब एक रेखा फॉर्म के पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा दी जाती है, और दूसरी एक अलग प्रकार के रेखा समीकरण द्वारा दी जाती है। इस मामले में, चर के बजाय किसी अन्य समीकरण में एक्सऔर यआप अभिव्यक्तियों को प्रतिस्थापित कर सकते हैं और, जहां से आप वह मान प्राप्त कर सकते हैं जो दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु से मेल खाता है। इस मामले में, रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक होते हैं।

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करें और।

आइए समीकरण में सीधी रेखा अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करें:

परिणामी समीकरण को हल करने पर, हमें मिलता है। यह मान रेखाओं के उभयनिष्ठ बिंदु से मेल खाता है और। हम पैरामीट्रिक समीकरणों में एक सीधी रेखा प्रतिस्थापित करके प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक की गणना करते हैं:
.

एम 0 (-5, 1).

तस्वीर को पूरा करने के लिए एक और बिंदु पर चर्चा की जानी चाहिए.

बेशक, आप ऐसी जांच के बिना कर सकते हैं, लेकिन तुरंत फॉर्म के समीकरणों की एक प्रणाली बनाएं और इसे हल करें। यदि समीकरणों की प्रणाली का एक अद्वितीय समाधान है, तो यह उस बिंदु के निर्देशांक देता है जिस पर मूल रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं। यदि समीकरणों की प्रणाली में समाधान नहीं हैं, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि मूल रेखाएँ समानांतर हैं (क्योंकि वास्तविक संख्याओं की ऐसी कोई जोड़ी नहीं है) एक्सऔर य, जो एक साथ दी गई रेखाओं के दोनों समीकरणों को संतुष्ट करेगा)। समीकरणों की प्रणाली के अनंत संख्या में समाधानों की उपस्थिति से, यह निष्कर्ष निकलता है कि मूल सीधी रेखाओं में अनंत रूप से कई सामान्य बिंदु होते हैं, अर्थात वे संपाती होते हैं।

आइए ऐसे उदाहरण देखें जो इन स्थितियों में फिट बैठते हों।

रेखाओं के दिए गए समीकरण समीकरणों के अनुरूप हैं और। आइए इन समीकरणों से बनी प्रणाली को हल करें।

यह स्पष्ट है कि सिस्टम के समीकरण एक दूसरे के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किए जाते हैं (सिस्टम का दूसरा समीकरण इसके दोनों भागों को गुणा करके पहले से प्राप्त किया जाता है) 4 ), इसलिए, समीकरणों की प्रणाली में अनंत संख्या में समाधान होते हैं। इस प्रकार, समीकरण एक ही रेखा को परिभाषित करते हैं, और हम इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजने के बारे में बात नहीं कर सकते हैं।

समीकरण और एक आयताकार समन्वय प्रणाली में परिभाषित हैं किसी समतल पर दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक उनके ज्ञात समीकरणों का उपयोग करके ज्ञात करने से पहले, एक सहायक समस्या पर विचार करें।वही सीधी रेखा, इसलिए हम प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजने के बारे में बात नहीं कर सकते।

यदि संभव हो तो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें।

समस्या की स्थिति यह अनुमति देती है कि रेखाएँ एक दूसरे को नहीं काट सकतीं। आइए इन समीकरणों से एक प्रणाली बनाएं। आइए इसे हल करने के लिए गॉस विधि लागू करें, क्योंकि यह हमें समीकरणों की प्रणाली की अनुकूलता या असंगतता स्थापित करने की अनुमति देती है, और यदि यह संगत है, तो एक समाधान खोजें:

दूसरा उपाय.

आइए जानें कि दी गई रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं या नहीं।

एक सामान्य सदिश एक रेखा है, और एक सदिश एक रेखा का एक सामान्य सदिश है। आइए जाँच करें कि क्या सदिशों की संरेखता की स्थिति और : समानता सत्य है, क्योंकि, इसलिए, दी गई सीधी रेखाओं के सामान्य सदिश संरेख हैं। तब ये रेखाएँ समान्तर या संपाती होती हैं। इस प्रकार, हम मूल रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक नहीं पा सकते हैं।

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए 2x-1=0और, यदि वे प्रतिच्छेद करते हैं।

आइए समीकरणों की एक प्रणाली बनाएं जो दी गई रेखाओं के सामान्य समीकरण हों:। समीकरणों की इस प्रणाली के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक गैर-शून्य है, इसलिए समीकरणों की प्रणाली में एक अद्वितीय समाधान होता है, जो दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन को इंगित करता है।

परिणामी समाधान हमें रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक देता है, अर्थात रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु 2x-1=0और ।

अंतरिक्ष में दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना।

चलो प्रतिच्छेदी रेखाएँ ऑक्सीऔर एएक आयताकार समन्वय प्रणाली में निर्दिष्ट ऑक्सीज़दो प्रतिच्छेदी तलों के समीकरण, अर्थात् एक सीधी रेखा ऑक्सीप्रपत्र की एक प्रणाली और सीधी रेखा द्वारा निर्धारित किया जाता है ए- . होने देना - प्रकार । मान लीजिए कि समतल पर कोई बिंदु है, और हमें यह पता लगाना होगा कि क्या बिंदु है– रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ऑक्सीऔर ए. फिर इंगित करें - प्रकार । मान लीजिए कि समतल पर कोई बिंदु है, और हमें यह पता लगाना होगा कि क्या बिंदु हैपरिभाषा के अनुसार भी रेखा से संबंधित है ऑक्सीऔर सीधा एइसलिए, इसके निर्देशांक दोनों रेखाओं के समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। इस प्रकार, रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ऑक्सीऔर एप्रपत्र के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान का प्रतिनिधित्व करें। यहां हमें रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने वाले अनुभाग से जानकारी की आवश्यकता होगी जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या से मेल नहीं खाती है।

आइए उदाहरणों के समाधान देखें।

समीकरणों द्वारा अंतरिक्ष में परिभाषित दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें।

आइए दी गई रेखाओं के समीकरणों से समीकरणों की एक प्रणाली बनाएं:। इस प्रणाली का समाधान हमें अंतरिक्ष में रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के वांछित निर्देशांक देगा। आइए समीकरणों की लिखित प्रणाली का समाधान खोजें।

सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का रूप है, और विस्तारित का - है।

आइए मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करें एऔर मैट्रिक्स रैंक टी. हम अवयस्कों को बॉर्डर करने की विधि का उपयोग करते हैं, लेकिन हम निर्धारकों की गणना का विस्तार से वर्णन नहीं करेंगे (यदि आवश्यक हो, तो मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना लेख देखें):

इस प्रकार, मुख्य मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर है और तीन के बराबर है।

नतीजतन, समीकरणों की प्रणाली का एक अद्वितीय समाधान होता है।

हम निर्धारक को आधार गौण के रूप में लेंगे, इसलिए अंतिम समीकरण को समीकरणों की प्रणाली से बाहर रखा जाना चाहिए, क्योंकि यह आधार गौण के निर्माण में भाग नहीं लेता है। इसलिए,

परिणामी प्रणाली का समाधान खोजना आसान है:

इस प्रकार, रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक होते हैं (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान होता है यदि और केवल यदि सीधी रेखाएँ हों ऑक्सीऔर एप्रतिच्छेद. अगर सीधा है एऔर एसमानांतर या क्रॉसिंग, तो समीकरणों की अंतिम प्रणाली का कोई समाधान नहीं है, क्योंकि इस मामले में रेखाओं में सामान्य बिंदु नहीं होते हैं। अगर सीधा है ऑक्सीऔर एसंयोग करते हैं, तो उनके पास अनंत संख्या में सामान्य बिंदु होते हैं, इसलिए, समीकरणों की संकेतित प्रणाली में अनंत संख्या में समाधान होते हैं। हालाँकि, इन मामलों में हम रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजने के बारे में बात नहीं कर सकते, क्योंकि रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं कर रही हैं।

इस प्रकार, यदि हमें पहले से पता नहीं है कि दी गई रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं या नहीं ऑक्सीऔर एया नहीं, तो फॉर्म के समीकरणों की एक प्रणाली बनाना और गॉस विधि द्वारा इसे हल करना उचित है। यदि हमें कोई अद्वितीय समाधान मिलता है, तो वह रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक के अनुरूप होगा ऑक्सीऔर ए. यदि सिस्टम असंगत हो जाता है, तो प्रत्यक्ष ऑक्सीऔर एप्रतिच्छेद न करें. यदि सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं, तो सीधी रेखाएँ ऑक्सीऔर एमिलान।

आप गॉसियन विधि का उपयोग किए बिना ऐसा कर सकते हैं। वैकल्पिक रूप से, आप इस प्रणाली के मुख्य और विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक की गणना कर सकते हैं, और प्राप्त आंकड़ों और क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय के आधार पर, या तो एक समाधान के अस्तित्व, या कई समाधानों के अस्तित्व, या की अनुपस्थिति का निष्कर्ष निकाल सकते हैं। समाधान. यह स्वाद का मामला है.

यदि रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं, तो प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करें।

आइए दिए गए समीकरणों से एक प्रणाली बनाएं:। आइए इसे गाऊसी विधि का उपयोग करके मैट्रिक्स रूप में हल करें:

यह स्पष्ट हो गया कि समीकरणों की प्रणाली का कोई समाधान नहीं है, इसलिए, दी गई रेखाएं प्रतिच्छेद नहीं करती हैं, और इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजने का कोई सवाल ही नहीं हो सकता है।

हम दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक नहीं ढूंढ सकते, क्योंकि ये रेखाएं प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

जब प्रतिच्छेदी रेखाओं को अंतरिक्ष में एक रेखा के विहित समीकरणों या अंतरिक्ष में एक रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा दिया जाता है, तो पहले दो प्रतिच्छेदी विमानों के रूप में उनके समीकरण प्राप्त करना चाहिए, और उसके बाद ही प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ढूंढना चाहिए।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में दो प्रतिच्छेदी रेखाओं को परिभाषित किया गया है ऑक्सीज़समीकरण और. इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

आइए हम दो प्रतिच्छेदी तलों के समीकरणों द्वारा प्रारंभिक सीधी रेखाओं को परिभाषित करें:

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए समीकरणों की प्रणाली को हल करना बाकी है। इस प्रणाली के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर है और तीन के बराबर है (हम इस तथ्य की जांच करने की सलाह देते हैं)। आइए हम नाबालिग को आधार मानें, इसलिए हम सिस्टम से अंतिम समीकरण को हटा सकते हैं। किसी भी विधि (उदाहरण के लिए, क्रैमर विधि) का उपयोग करके परिणामी प्रणाली को हल करने के बाद, हम समाधान प्राप्त करते हैं। इस प्रकार, रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक होते हैं (-2, 3, -5) .

दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु एक परिभाषा है।

अंतरिक्ष में दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना।

कदम

दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु

द्विघात कार्यों के साथ समस्याएँ

दो रैखिक फलनों का मामला

दो अरेखीय कार्यों का मामला

दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु एक परिभाषा है।

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अंतरिक्ष में दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना।

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