समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों और परिमापों का अनुपात। समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के अनुपात पर प्रमेय
पाठ 34. समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के अनुपात पर प्रमेय। प्रमेय. दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात समरूपता गुणांक के वर्ग के बराबर होता है। जहाँ k समानता गुणांक है। दो समरूप त्रिभुजों की परिमापों का अनुपात समरूपता गुणांक के बराबर होता है। वी. ए. एस. आर. एम. के. समस्याओं का समाधान: संख्या 545, 549। गृहकार्य: पृष्ठ 56-58, संख्या 544, 548।
स्लाइड 6प्रेजेंटेशन से "ज्यामिति "समान त्रिभुज". प्रेजेंटेशन के साथ संग्रह का आकार 232 KB है।ज्यामिति आठवीं कक्षा
सारांशअन्य प्रस्तुतियाँ"अक्षीय समरूपता की परिभाषा" - प्रकृति में समरूपता। संकेत। समरूपता के अक्ष. एक बिंदु बनाएं. एक बिंदु का निर्माण. त्रिभुज का निर्माण. एक खंड का निर्माण. लोग। कविता में समरूपता. वे आकृतियाँ जिनमें अक्षीय समरूपता नहीं है। समरूपता के दो अक्षों वाली आकृतियाँ। आयत। समरूपता. सीधा। बिंदुओं को प्लॉट करें. अक्षीय समरूपता. रेखा खंड। समरूपता की धुरी। दो सीधी रेखाएँ खींचिए। एक ही लम्ब पर स्थित बिन्दु। आनुपातिकता.
"समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना" - समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल. ऊंचाई। वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये. एक वर्ग का क्षेत्रफल. समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई. त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये. समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण. आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करें। समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई निर्धारित करना. आधार। एक त्रिभुज का क्षेत्रफल. वर्ग का परिमाप ज्ञात कीजिये. क्षेत्रों के गुण. मौखिक व्यायाम.
"क्षेत्र खोजने के कार्य" - पाठ - "पावर पॉइंट" प्रस्तुति के रूप में बनाई गई नई सामग्री की व्याख्या। प्राथमिक लक्ष्य। "समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल।" "एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्र।" सीखी गई सामग्री की जाँच करना। एक समस्या का समाधान। वर्कबुकसंख्या 42, अध्ययन किए गए सभी सूत्रों को दोहराएं। आयत, समांतर चतुर्भुज, समलम्ब चतुर्भुज और त्रिभुज के क्षेत्रफलों के लिए सूत्र व्युत्पन्न करें। क्षेत्र माप के बारे में अपनी समझ का विस्तार और गहन करें। छात्रों के बीच क्षेत्र की अवधारणा तैयार करना।
"ज्यामिति "समान त्रिभुज" - दो त्रिभुज समरूप कहलाते हैं। किसी कोण की भुजाओं की आनुपातिकता. साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा का मान. त्रिभुजों की समानता का पहला संकेत. एक समकोण त्रिभुज में आनुपातिक खंड। त्रिभुज के समद्विभाजक का गुण. गणितीय श्रुतलेख. एक समद्विबाहु का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए सही त्रिकोण. आनुपातिक खंड. 30°, 45°, 60° के कोणों के लिए ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखा मान।
"आयत" - यार. विपरीत दिशाएं। एक आयत की भुजा. एक आयत की कहानी. एक आयत की भुजाएँ. जीवन में आयत. एक आयत का परिमाप. आयत। विकर्ण. चित्रों। विकर्ण. परिभाषा। एक आयत का क्षेत्रफल.
""एक आयत का क्षेत्रफल" 8वीं कक्षा" - छायांकित वर्ग का क्षेत्रफल। प्रत्येक आयत की भुजाएँ. ABCD और DСМK वर्ग हैं। भुजा AB पर एक समांतर चतुर्भुज बनाया गया है। क्षेत्र माप की इकाइयाँ. वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये. एक आयत का क्षेत्रफल. ABCD एक समांतर चतुर्भुज है. क्षेत्रों के गुण. चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये. एक आयत के किनारों पर बने वर्गों का क्षेत्रफल। कमरे का फर्श एक आयत के आकार का है। एक वर्ग का क्षेत्रफल उसकी भुजा के वर्ग के बराबर होता है।
समरूप त्रिभुजों की परिभाषा एवं गुण
संख्याएँ a 1 , a 2 , a 3 , …, a n को संख्याओं b 1 , b 2 , b 3 , …, b n के समानुपाती कहा जाता है यदि समानता हो: a 1 / b 1 = a 2 / b 2 = a 3 / बी 3 = … = ए एन /बी एन = के, जहां के एक निश्चित संख्या है जिसे आनुपातिकता गुणांक कहा जाता है।
उदाहरण।संख्या 6; 7.5 और 15 संख्या -4 के समानुपाती हैं; 5 और 10. आनुपातिकता गुणांक संख्या -1.5 है, चूँकि
6/-4 = -7,5/5 = 15/-10 = -1,5.
संख्याओं की आनुपातिकता तब होती है जब ये संख्याएँ अनुपात से संबंधित हों।
यह ज्ञात है कि एक अनुपात कम से कम चार संख्याओं से बना हो सकता है, इसलिए आनुपातिकता की अवधारणा कम से कम चार संख्याओं पर लागू होती है (संख्याओं का एक जोड़ा दूसरे जोड़े के समानुपाती होता है, या संख्याओं का एक त्रिक दूसरे त्रिक के समानुपाती होता है, वगैरह।)।
आइए देखें चावल। 1समान जोड़ीदार कोण वाले दो त्रिभुज ABC और A 1 B 1 C 1: A = A 1, B = B 1, C = C 1.
वे भुजाएँ जो दोनों त्रिभुजों के कोणों के समान युग्मों के सम्मुख होती हैं, कहलाती हैं समान. हाँ, चालू चावल। 1भुजाएँ AB और A 1 B 1, AC और A 1 C 1, BC और B 1 C 1, समान हैं क्योंकि वे क्रमशः त्रिभुज ABC और A 1 B 1 C 1 के समान कोणों के विपरीत स्थित हैं।
आइए हम समरूप त्रिभुजों को परिभाषित करें:
दो त्रिभुज कहलाते हैं समान, यदि उनके कोण जोड़ीवार बराबर हों और समान भुजाएँ समानुपाती हों।
समरूप त्रिभुजों की समरूप भुजाओं का अनुपात कहलाता है समानता गुणांक.
समान त्रिभुजों को इस प्रकार दर्शाया गया है: Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1।
जल्द ही चावल। 2हमारे पास है: Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1
कोण A = A 1, B = B 1, C = C 1 और AB/A 1 B 1 = BC/B 1 C 1 = AC/A 1 C 1 = k, जहां k समानता गुणांक है। से चावल। 2यह स्पष्ट है कि समान त्रिभुजों का अनुपात समान होता है, और वे केवल पैमाने में भिन्न होते हैं।
नोट 1: समान त्रिभुज 1 के गुणनखंड से समरूप होते हैं।
नोट 2: समरूप त्रिभुजों को नामित करते समय, उनके शीर्षों को इस प्रकार व्यवस्थित किया जाना चाहिए कि उनके कोण जोड़ीवार समान हों। उदाहरण के लिए, चित्र 2 में दिखाए गए त्रिभुजों के लिए, यह कहना गलत है कि Δ ABC ~ Δ B 1 C 1 A 1। शीर्षों के सही क्रम को ध्यान में रखते हुए, ड्राइंग का संदर्भ दिए बिना त्रिभुजों की समान भुजाओं को जोड़ने वाले अनुपात को लिखना सुविधाजनक है: संबंधित अनुपात के अंश और हर में शीर्षों के जोड़े शामिल होने चाहिए जो समान पदनाम में समान स्थान रखते हैं। त्रिभुज। उदाहरण के लिए, संकेतन "Δ ABC ~ Δ KNL" से यह पता चलता है कि कोण A = K, B = N, C = L, और AB/KN = BC/NL = AC/KL है।
नोट 3: वे आवश्यकताएँ जो समरूप त्रिभुजों की परिभाषा में सूचीबद्ध हैं, निरर्थक हैं। हम थोड़ी देर बाद उन त्रिभुजों के लिए समानता मानदंड सिद्ध करेंगे जिनमें समरूप त्रिभुजों के लिए कम आवश्यकताएं हैं।
आइए सूत्रबद्ध करें समरूप त्रिभुजों के गुण:
- समरूप त्रिभुजों के संगत रैखिक तत्वों का अनुपात उनकी समानता के गुणांक के बराबर होता है। समरूप त्रिभुजों के ऐसे तत्वों में वे तत्व शामिल होते हैं जिन्हें लंबाई की इकाइयों में मापा जाता है। ये हैं, उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज की भुजा, परिधि, माध्यिका। ऐसे तत्वों पर कोण या क्षेत्रफल लागू नहीं होता।
- समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनके समरूपता गुणांक के वर्ग के बराबर होता है।
माना त्रिभुज ABC और A 1 B 1 C 1 गुणांक k के समान हैं (अंक 2)।
आइए हम सिद्ध करें कि S ABC /S A1 B1 C1 = k 2।
चूँकि समरूप त्रिभुजों के कोण जोड़े में बराबर होते हैं, अर्थात A = A 1, और प्रत्येक त्रिभुज के क्षेत्रफलों के अनुपात पर प्रमेय के अनुसार समान कोण, हमारे पास है:
एस एबीसी /एस ए1 बी1 सी1 = (एबी · एसी) / (ए 1 बी 1 · ए 1 सी 1) = एबी/ए 1 बी 1 · एसी/ए 1 सी 1।
त्रिभुज AB/A 1 B 1 = k और AC/A 1 C 1 = k की समानता के कारण,
इसलिए एस एबीसी /एस ए1 बी1 सी1 = एबी/ए 1 बी 1 · एसी/ए 1 सी 1 = के · के = के 2।
नोट: ऊपर दिए गए समरूप त्रिभुजों के गुण मनमानी आकृतियों के लिए भी मान्य हैं।
त्रिभुजों की समानता के लक्षण
परिभाषा के अनुसार समान त्रिभुजों पर जो आवश्यकताएँ लगाई जाती हैं (ये कोणों की समानता और भुजाओं की आनुपातिकता हैं) निरर्थक हैं। कम संख्या में तत्वों का उपयोग करके त्रिभुजों की समानता स्थापित करना संभव है।
इस प्रकार, समस्याओं को हल करते समय, त्रिभुजों की समानता का पहला मानदंड सबसे अधिक बार उपयोग किया जाता है, जिसमें कहा गया है कि दो त्रिभुजों के समान होने के लिए, उनके कोणों की समानता पर्याप्त है:
त्रिभुजों की समानता का पहला संकेत
(दो कोणों द्वारा): यदि एक त्रिभुज के दो कोण क्रमशः दूसरे त्रिभुज के दो कोणों के बराबर हों, तो ये त्रिभुज समरूप होते हैं (चित्र 3).
माना त्रिभुज Δ ABC, Δ A 1 B 1 C 1 दिया गया है, जिसमें कोण A = A 1, B = B 1 है। यह सिद्ध करना आवश्यक है कि Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1।
सबूत।
1) त्रिभुज के कोणों के योग पर प्रमेय के अनुसार, हमारे पास है:
कोण C = 180° (कोण A + कोण B) = 180° (कोण A 1 + कोण B 1) = कोण C 1.
2) समान कोण वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के अनुपात पर प्रमेय के अनुसार,
एस एबीसी /एस ए1 बी1 सी1 = (एबी एसी) / (ए 1 बी 1 ए 1 सी 1) = (एबी बीसी) / (ए 1 बी 1 बी 1 सी 1) = (एसी बीसी) / (ए 1 सी 1) · बी 1 सी 1).
3) समानता से (एबी एसी) / (ए 1 बी 1 ए 1 सी 1) = (एबी बीसी) / (ए 1 बी 1 बी 1 सी 1) यह निम्नानुसार है कि एसी/ए 1 सी 1 = बीसी /बी 1 सी 1.
4) समानता (एबी बीसी) / (ए 1 बी 1 बी 1 सी 1) = (एसी बीसी) / (ए 1 सी 1 बी 1 सी 1) से यह निष्कर्ष निकलता है कि एबी/ए 1 बी 1 = एसी /ए 1 सी 1.
इस प्रकार, त्रिभुज ABC और A 1 B 1 C 1 DA = DA 1, DB = DB 1, DC = DC 1, और AB/A 1 B 1 = AC/A 1 C 1।
5) AB/A 1 B 1 = AC/A 1 C 1 = BC/B 1 C 1, अर्थात समान भुजाएँ समानुपाती होती हैं। इसका मतलब यह है कि परिभाषा के अनुसार Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1।
आनुपातिक खंडों पर प्रमेय. किसी खंड को दिए गए अनुपात में विभाजित करना
आनुपातिक खंड प्रमेय थेल्स प्रमेय का सामान्यीकरण है।
थेल्स प्रमेय का उपयोग करने के लिए, यह आवश्यक है कि दो दी गई रेखाओं को प्रतिच्छेद करने वाली समानांतर रेखाएँ उनमें से एक पर समान खंडों को काट दें। थेल्स के सामान्यीकृत प्रमेय में कहा गया है कि यदि समानांतर रेखाएं दो दी गई रेखाओं को काटती हैं, तो एक रेखा पर उनके द्वारा काटे गए खंड दूसरी रेखा पर काटे गए खंडों के समानुपाती होते हैं।
आनुपातिक खंडों पर प्रमेय थेल्स प्रमेय के समान ही सिद्ध होता है (केवल त्रिकोणों की समानता के बजाय, उनकी समानता का उपयोग यहां किया जाता है)।
आनुपातिक खंडों पर प्रमेय (सामान्यीकृत थेल्स प्रमेय):समानांतर रेखाएँ जो दो दी गई रेखाओं को काटती हैं, उन पर आनुपातिक खंड काट देती हैं।
एक त्रिभुज की माध्यिकाओं का गुण
त्रिभुजों की समानता के लिए पहला मानदंड हमें त्रिभुज की माध्यिकाओं के गुण को सिद्ध करने की अनुमति देता है:
एक त्रिभुज की माध्यिकाओं का गुण:एक त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, और इस बिंदु से शीर्ष से गिनती करते हुए 2:1 के अनुपात में विभाजित होती हैं (चित्र 4).
माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु कहलाता है केन्द्रकत्रिकोण.
मान लीजिए Δ ABC दिया गया है, जिसके लिए AA 1, BB 1, CC 1 माध्यिकाएँ हैं, इसके अतिरिक्त, AA 1 ∩CC 1 = O. यह सिद्ध करना आवश्यक है कि BB 1 ∩ CC 1 = O और AO/OA 1 = VO /ओबी 1 = सीओ/ओएस 1 = 2.
सबूत।
1) मध्य रेखा A 1 C 1 खींचिए। त्रिभुज A 1 C 1 || की मध्य रेखा पर प्रमेय के अनुसार एसी, और ए 1 सी 1 = एसी/2।
2) त्रिभुज AOC और A 1 OC 1 दो कोणों में समान हैं (कोण AOC = कोण A 1 OC 1 ऊर्ध्वाधर के रूप में, कोण OAC = कोण OA 1 C 1 आंतरिक क्रॉसवाइज के रूप में A 1 C 1 || AC और छेदक AA 1 के साथ स्थित हैं ) इसलिए, समरूप त्रिभुजों की परिभाषा के अनुसार AO/A 1 O = OC/OS 1 = AC/A 1 C 1 = 2.
3) मान लीजिए BB 1 ∩CC 1 = O 1। बिंदु 1 और 2 के समान, यह सिद्ध किया जा सकता है कि VO/O 1 B 1 = CO 1 /O 1 C = 2. लेकिन चूंकि खंड CC 1 पर एक एकल बिंदु O है जो इसे CO: OS 1 के अनुपात में विभाजित करता है। = 2:1, तो बिंदु O और O 1 संपाती हैं। इसका मतलब यह है कि त्रिभुज की सभी माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, उनमें से प्रत्येक को शीर्ष से गिनती करते हुए 2:1 के अनुपात में विभाजित करती हैं।
ज्यामिति पाठ्यक्रम में, "बहुभुज का क्षेत्रफल" विषय में, यह तथ्य सिद्ध होता है कि माध्यिका एक मनमाना त्रिभुज को दो समान भागों में विभाजित करती है। इसके अलावा, जब एक त्रिभुज की तीन माध्यिकाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, तो छह समान त्रिभुज बनते हैं।
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आनुपातिक खंड
समानता की अवधारणा को प्रस्तुत करने के लिए, हमें सबसे पहले आनुपातिक खंडों की अवधारणा को याद करना होगा। आइए हम दो खंडों के अनुपात की परिभाषा को भी याद करें।
परिभाषा 1
दो खंडों का अनुपात उनकी लंबाई का अनुपात है।
खंडों की आनुपातिकता की अवधारणा भी लागू होती है अधिकखंड. मान लीजिए, उदाहरण के लिए, $AB=2$, $CD=4$, $A_1B_1=1$, $C_1D_1=2$, $A_2B_2=4$, $C_2D_2=8$, फिर
अर्थात्, खंड $AB$, $A_1B_1$, $\A_2B_2$ खंड $CD$, $C_1D_1$, $C_2D_2$ के समानुपाती हैं।
समरूप त्रिभुज
आइए सबसे पहले यह याद रखें कि समानता की अवधारणा आम तौर पर क्या दर्शाती है।
परिभाषा 3
आकृतियाँ समान कहलाती हैं यदि उनका आकार समान हो लेकिन आकार अलग-अलग हों।
आइए अब समरूप त्रिभुजों की अवधारणा को समझें। चित्र 1 पर विचार करें.
चित्र 1. दो त्रिभुज
मान लीजिए कि इन त्रिभुजों में $\कोण A=\कोण A_1,\ \कोण B=\कोण B_1,\ \कोण C=\कोण C_1$ है। आइए निम्नलिखित परिभाषा प्रस्तुत करें:
परिभाषा 4
दो त्रिभुजों की भुजाएँ समरूप कहलाती हैं यदि वे इन त्रिभुजों के समान कोणों के विपरीत स्थित हों।
चित्र 1 में, भुजाएँ $AB$ और $A_1B_1$, $BC$ और $B_1C_1$, $AC$ और $A_1C_1$ समान हैं। आइए अब समरूप त्रिभुजों की परिभाषा प्रस्तुत करें।
परिभाषा 5
दो त्रिभुज समरूप कहलाते हैं यदि एक त्रिभुज के सभी कोणों के कोण क्रमशः दूसरे और त्रिभुज के कोणों के बराबर हों और इन त्रिभुजों की सभी समान भुजाएँ समानुपाती हों, अर्थात
\[\कोण A=\कोण A_1,\ \कोण B=\कोण B_1,\ \कोण C=\कोण C_1,\] \[\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C) _1)=\frac(AC)(A_1C_1)\]
चित्र 1 समरूप त्रिभुज दिखाता है।
पदनाम: $ABC\sim A_1B_1C_1$
समानता की अवधारणा के लिए समानता गुणांक की अवधारणा भी है।
परिभाषा 6
समान आकृतियों की समान भुजाओं के अनुपात के बराबर की संख्या $k$ को इन आकृतियों का समानता गुणांक कहा जाता है।
समरूप त्रिभुजों का क्षेत्रफल
आइए अब समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के अनुपात पर प्रमेय पर विचार करें।
प्रमेय 1
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात समरूपता गुणांक के वर्ग के बराबर होता है, अर्थात
\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\]
सबूत।
आइए दो समान त्रिभुजों पर विचार करें और उनके क्षेत्रफलों को क्रमशः $S$ और $S_1$ के रूप में निरूपित करें (चित्र 2)।
चित्र 2।
इस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए निम्नलिखित प्रमेय को याद करें:
प्रमेय 2
यदि एक त्रिभुज का कोण दूसरे त्रिभुज के कोण के बराबर है, तो उनका क्षेत्रफल इस कोण की आसन्न भुजाओं के गुणनफल के रूप में संबंधित होता है।
चूँकि त्रिभुज $ABC$ और $A_1B_1C_1$ समान हैं, तो, परिभाषा के अनुसार, $\कोण A=\कोण A_1$। फिर, प्रमेय 2 द्वारा, हम उसे प्राप्त करते हैं
चूँकि $\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(AC)(A_1C_1)=k$, हमें मिलता है
प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
त्रिभुज समानता की अवधारणा से संबंधित समस्याएँ
उदाहरण 1
समान त्रिभुज $ABC$ और $A_1B_1C_1 दिए गए हैं।$ पहले त्रिभुज की भुजाएँ $AB=2,\ BC=5,\ AC=6$ हैं। इन त्रिभुजों का समानता गुणांक $k=2$ है। दूसरे त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
समाधान।
इस समस्या के दो संभावित समाधान हैं.
मान लीजिए $k=\frac(A_1B_1)(AB)=\frac((B_1C)_1)(BC)=\frac(A_1C_1)(AC)$.
फिर $A_1B_1=kAB,\ (B_1C)_1=kBC,\ A_1C_1=kAC$.
इसलिए, $A_1B_1=4,\ (B_1C)_1=10,\ A_1C_1=12$
मान लीजिए $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C)_1)=\frac(AC)(A_1C_1)$
फिर $A_1B_1=\frac(AB)(k),\ (B_1C)_1=\frac(BC)(k),\ A_1C_1=\frac(AC)(k)$.
इसलिए, $A_1B_1=1,\ (B_1C)_1=2.5,\ \ A_1C_1=3$.
उदाहरण 2
समान त्रिभुज $ABC$ और $A_1B_1C_1 दिए गए हैं। पहले त्रिभुज की भुजा $AB=2$ है, दूसरे त्रिभुज की संगत भुजा $A_1B_1=6$ है। पहले त्रिभुज की ऊंचाई $CH=4$ है। दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये.
समाधान।
चूँकि त्रिभुज $ABC$ और $A_1B_1C_1$ समान हैं, तो $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(1)(3)$.
आइए पहले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
प्रमेय 1 के अनुसार, हमारे पास है:
\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\] \[\frac(4)(S_(A_1B_1C_1))=\frac(1)(9)\] \
पाठ का उद्देश्य:समरूप त्रिभुजों की परिभाषा दीजिए, समरूप त्रिभुजों के संबंध पर एक प्रमेय सिद्ध कीजिए।
पाठ मकसद:
- शैक्षिक:छात्रों को समरूप त्रिभुजों की परिभाषा, समरूप त्रिभुजों के संबंध के बारे में प्रमेय को जानना चाहिए, समस्याओं को हल करते समय उन्हें लागू करने में सक्षम होना चाहिए, और बीजगणित और भौतिकी के साथ अंतःविषय संबंधों को लागू करना चाहिए।
- शैक्षिक:कड़ी मेहनत, सावधानी, परिश्रम और छात्र व्यवहार की संस्कृति विकसित करना।
- शैक्षिक:छात्रों के ध्यान का विकास, तर्क करने की क्षमता का विकास, तार्किक रूप से सोचना, निष्कर्ष निकालना, छात्रों के सक्षम गणितीय भाषण और सोच का विकास, आत्म-विश्लेषण और स्वतंत्रता के कौशल का विकास।
- स्वास्थ्य की बचत:स्वच्छता और स्वास्थ्यकर मानकों का अनुपालन, पाठ में गतिविधियों के प्रकार बदलना।
उपकरण:कंप्यूटर, प्रोजेक्टर, शिक्षण सामग्री: स्वतंत्र और परीक्षण पत्रग्रेड 8 ए.पी. के लिए बीजगणित और ज्यामिति में एर्शोवा, आदि।
पाठ का प्रकार:नई सामग्री सीखना.
कक्षाओं के दौरान
मैं। आयोजन का समय (अभिवादन, पाठ के लिए तैयारी की जाँच करना)।
द्वितीय. पाठ विषय संदेश.
अध्यापक:में रोजमर्रा की जिंदगीएक ही आकार की, लेकिन अलग-अलग आकार की वस्तुएं हैं।
उदाहरण:फुटबॉल और टेनिस गेंदें.
ज्यामिति में, एक ही आकार की आकृतियों को समान कहा जाता है: कोई दो वृत्त, कोई दो वर्ग।
आइए हम समरूप त्रिभुजों की अवधारणा का परिचय दें।
परिभाषा:दो त्रिभुज समरूप कहलाते हैं यदि उनके कोण क्रमशः बराबर हों और एक त्रिभुज की भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की समरूप भुजाओं के समानुपाती हों।
संख्या क,समरूप त्रिभुजों की समरूप भुजाओं के अनुपात के बराबर को समरूपता गुणांक कहा जाता है। Δएबीसी ~ ए 1 बी 1 सी 1
1. मौखिक रूप से:क्या त्रिभुज समरूप हैं? क्यों? (स्क्रीन पर ड्राइंग तैयार)।
a) त्रिभुज ABC और त्रिभुज A 1 B 1 C 1, यदि AB = 7, BC = 5, AC = 4, ∠A = 46˚, ∠C = 84˚, ∠A 1 = 46˚, ∠B 1 = 50 ˚, ए 1 बी 1 = 10.5, बी 1 सी 1 = 7.5, ए 1 सी 1 = 6।
बी) एक समद्विबाहु त्रिभुज में, शीर्ष कोण 24˚ है, और दूसरे समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार कोण 78˚ है।
दोस्तो! आइए समान कोण वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के अनुपात पर प्रमेय को याद करें।
प्रमेय:यदि एक त्रिभुज का कोण दूसरे त्रिभुज के कोण के बराबर है, तो इन त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान कोणों को घेरने वाली भुजाओं के गुणनफल के रूप में संबंधित होते हैं।
2. लिखित कार्यतैयार चित्र के अनुसार.
स्क्रीन पर ड्राइंग:
ए) दिया गया है: बीएन: एनसी = 1:2,
बीएम = 7 सेमी, एएम = 3 सेमी,
एस एमबीएन = 7 सेमी 2।
खोजें: एस एबीसी
(उत्तर: 30 सेमी 2.)
बी) दिया गया है: एई = 2 सेमी,
एस एईके = 8 सेमी 2।
खोजें: एस एबीसी
(उत्तर: 56 सेमी 2.)
3. आइए हम समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के अनुपात पर प्रमेय को सिद्ध करें ( छात्र ब्लैकबोर्ड पर प्रमेय सिद्ध करता है, पूरी कक्षा मदद करती है).
प्रमेय:दो समरूप त्रिभुजों का अनुपात समरूपता गुणांक के वर्ग के बराबर होता है।
4. ज्ञान को अद्यतन करना।
समस्या को सुलझाना:
1. दो समरूप त्रिभुजों का क्षेत्रफल 75 सेमी 2 और 300 सेमी 2 है। दूसरे त्रिभुज की एक भुजा 9 सेमी है। पहले त्रिभुज की समरूप भुजा ज्ञात कीजिए। ( उत्तर: 4.5 सेमी)
2. समरूप त्रिभुजों की समान भुजाएँ 6 सेमी और 4 सेमी हैं, और उनके क्षेत्रफलों का योग 78 सेमी 2 है। इन त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ( उत्तर: 54 सेमी 2 और 24 सेमी 2.)
अगर आपके पास समय है स्वतंत्र काम प्रकृति में शैक्षिक.
विकल्प 1
समान त्रिभुजों की समान भुजाएँ 7 सेमी और 35 सेमी के बराबर होती हैं।
पहले त्रिभुज का क्षेत्रफल 27 सेमी 2 है।
दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये। ( उत्तर: 675 सेमी 2.)
विकल्प 2
समरूप त्रिभुजों का क्षेत्रफल 17 सेमी 2 और 68 सेमी 2 है। पहले त्रिभुज की भुजा 8 सेमी है। दूसरे त्रिभुज की समरूप भुजा ज्ञात कीजिए। ( उत्तर: 4 सेमी)
5. गृहकार्य:ज्यामिति पाठ्यपुस्तक 7-9 एल.एस. अतानास्यान और अन्य, पैराग्राफ 57, 58, संख्या 545, 547।
6. पाठ का सारांश।
पाठ का प्रकार: नई सामग्री से परिचय पर पाठ।पाठ का उद्देश्य: समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के गुण को सिद्ध करना और समस्याओं को हल करने में इसका व्यावहारिक महत्व दिखाना।
पाठ मकसद:
शिक्षण - समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों की संपत्ति को सिद्ध करना और समस्याओं को हल करने में इसका व्यावहारिक महत्व दिखाना;
विकसित करना - किसी समस्या को हल करते समय तर्कों का विश्लेषण और चयन करने की क्षमता विकसित करना, जिसे हल करने की विधि अज्ञात है;
शैक्षिक - सामग्री के माध्यम से विषय में रुचि पैदा करना शैक्षिक प्रक्रियाऔर सफलता की स्थिति बनाना, समूह में काम करने की क्षमता विकसित करना।
छात्र को निम्नलिखित ज्ञान है:
गतिविधि सामग्री की इकाई जिसे छात्रों को सीखने की आवश्यकता है:
कक्षाओं के दौरान.
1. संगठनात्मक क्षण.
2. ज्ञान को अद्यतन करना।
3. समस्याग्रस्त स्थिति के साथ कार्य करना।
4. पाठ का सारांश और होमवर्क रिकॉर्ड करना, चिंतन।
शिक्षण विधियाँ: मौखिक, दृश्य, समस्या-खोज।
प्रशिक्षण के रूप: फ्रंटल कार्य, मिनी-समूहों में कार्य, व्यक्तिगत और स्वतंत्र कार्य।
प्रौद्योगिकियाँ: कार्य-उन्मुख, सूचान प्रौद्योगिकी, योग्यता-आधारित दृष्टिकोण।
उपकरण:
प्रस्तुतियों को प्रदर्शित करने के लिए कंप्यूटर, प्रोजेक्टर, इंटरैक्टिव बोर्ड, दस्तावेज़ कैमरा;
Microsoft PowerPoint में कंप्यूटर प्रस्तुति;
सहायक सारांश;
कक्षाओं के दौरान
1. संगठनात्मक क्षण.
आज पाठ में हम नोटबुक में नहीं, बल्कि संदर्भ नोट्स में काम करेंगे, जिन्हें आप पूरे पाठ की निरंतरता के लिए भरेंगे। इस पर हस्ताक्षर करें। पाठ के ग्रेड में दो घटक शामिल होंगे: सहायक नोट्स के लिए और पाठ में सक्रिय कार्य के लिए।
2. विद्यार्थियों के ज्ञान को अद्यतन करना। पाठ के मुख्य चरण में सक्रिय शैक्षिक और संज्ञानात्मक गतिविधि की तैयारी।
हम "त्रिकोणों की समानता" विषय का अध्ययन करना जारी रखते हैं। तो आइए याद करें कि हमने पिछले पाठ में क्या पढ़ा था।
सैद्धांतिक वार्म-अप. परीक्षा। आपके संदर्भ नोट्स में, पहला कार्य परीक्षण प्रकृति का है। प्रस्तावित उत्तर विकल्पों में से किसी एक को चुनकर प्रश्नों का उत्तर दें और जहां आवश्यक हो अपना उत्तर दर्ज करें।
अध्यापक: दो खण्डों के अनुपात को क्या कहते हैं?
उत्तर: दो खंडों के दो खंडों का अनुपात उनकी लंबाई का अनुपात है।
अध्यापक: किस मामले में खंड हैंअबऔर सीडीखंडों के आनुपातिकए 1 बी 1 और सी 1 डी 1
उत्तर: खंड अबऔर सीडीखंडों के आनुपातिकए 1 बी 1 और सी 1 डी 1 यदि
आपके विकल्प. अच्छा। जिस किसी की भी गलती हो उसे सुधारना न भूलें।
अध्यापक: समरूप त्रिभुजों को परिभाषित करें? अपने संदर्भ नोट का संदर्भ लें. इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए आपके पास तीन विकल्प हैं। सही को चुनें. इस पर घेरा लगाओ।
तो कृपया, आपने कौन सा विकल्प चुना_______
उत्तर: दो त्रिभुज समरूप कहलाते हैं यदि उनके कोण क्रमशः बराबर हों और एक त्रिभुज की भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की भुजाओं के समानुपाती हों।
बहुत अच्छा! जिस किसी की भी गलती हो उसे सुधारें।
अध्यापक: दो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात क्या है जिनके कोण समान हैं?
उत्तर: यदि एक त्रिभुज का कोण दूसरे त्रिभुज के कोण के बराबर है, तो इन त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान कोणों को घेरने वाली भुजाओं के गुणनफल के रूप में संबंधित होते हैं।
तैयार चित्रों का उपयोग करके समस्याओं का समाधान करना।इसके बाद, तैयार चित्रों का उपयोग करके समस्याओं को हल करते समय हमारा वार्म-अप होगा। आप इन कार्यों को अपने संदर्भ नोट्स में भी देख सकते हैं।
प्रतिबिंब। आइए स्पष्ट करें कि किस ज्ञान और कौशल ने हमें इन समस्याओं को हल करने की अनुमति दी। हमने किन समाधान विधियों का उपयोग किया (बोर्ड पर उत्तर रिकॉर्ड करते हुए)।
संभावित उत्तर:
समरूप त्रिभुजों का निर्धारण;
समस्याओं को सुलझाने में समरूप त्रिभुजों की परिभाषा का अनुप्रयोग;
समान कोण वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के अनुपात पर प्रमेय;
और अब मैं कई समस्याओं का समाधान प्रस्तावित करता हूं, जिनमें पाठ के विषय के साथ कुछ समानताएं हैं, लेकिन वे भूगोल से अधिक संबंधित हैं।
सफलता की स्थिति.
पहला काम आपके सामने है. हम स्वयं इस समस्या पर काम कर रहे हैं। इसे हल करने वाला पहला व्यक्ति बोर्ड पर अपना समाधान दिखाएगा, और कोई अन्य व्यक्ति दस्तावेज़ कैमरे के माध्यम से अपना समाधान प्रदर्शित करेगा, इसलिए हम सुंदर और सटीक लिखते हैं।
उत्तर: बरमूडा त्रिभुज की भुजाएँ 2000 किमी, 1840 किमी, 2220 किमी हैं। सीमा की लंबाई 6060 किमी है।
प्रतिबिंब।
संभावित उत्तर: समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
सफलता की स्थिति.
हमने बरमूडा त्रिभुज के आयामों का पता लगाया। खैर, अब आइए फूलों की क्यारी का माप पता करें। हम सहायक नोट्स को पलट देते हैं। दूसरा कार्य. हम जोड़ियों में काम करके इस समस्या का समाधान करते हैं। हम इसी तरह से जांच करते हैं, लेकिन परिणाम केवल कार्य पूरा करने वाले पहले जोड़े द्वारा प्रस्तुत किया जाएगा।
उत्तर: एक त्रिकोणीय फूलों की क्यारी की भुजाएँ 10 मी और 11 मी 20 सेमी हैं।
तो, आइए इसकी जाँच करें। क्या हर कोई सहमत है? किसने अलग तरीके से निर्णय लिया?
प्रतिबिंब।
इस समस्या को हल करने के लिए आपने किस पद्धति का उपयोग किया? इसे अपने संदर्भ नोट में लिखें.
संभावित उत्तर:
समरूप त्रिभुजों के संगत कोण समान होते हैं;
समान कोण वाले त्रिभुजों का क्षेत्रफल समान कोण वाली भुजाओं का गुणनफल होता है।
असफलता की स्थिति.
5. नई सामग्री का अध्ययन.
तीसरी समस्या को हल करते समय छात्रों को एक समस्या का सामना करना पड़ता है। वे समस्या को हल करने में असमर्थ हैं क्योंकि, उनकी राय में, समस्या की स्थितियाँ पर्याप्त रूप से पूर्ण नहीं हैं या उन्हें निराधार उत्तर मिलता है।
छात्रों को पहले इस प्रकार की समस्या का सामना नहीं करना पड़ा था, इसलिए समस्या का समाधान करने में असफलता मिली।
प्रतिबिंब।
आपने किस विधि से हल करने का प्रयास किया?
आप अंतिम समीकरण को हल क्यों नहीं कर सके?
छात्र: हम किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात नहीं कर सकते यदि केवल समरूप त्रिभुज का क्षेत्रफल और समानता का गुणांक ज्ञात हो।
इस प्रकार, हमारे पाठ का उद्देश्य यदि केवल समरूप त्रिभुज का क्षेत्रफल और समरूपता का गुणांक ज्ञात हो तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
आइए समस्या को ज्यामितीय भाषा में पुन: प्रस्तुत करें। आइए इसे हल करें और फिर इस समस्या पर वापस आएं।
निष्कर्ष: समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात समरूपता गुणांक के वर्ग के बराबर होता है।
खैर, अब समस्या संख्या 3 पर लौटते हैं और इसे एक सिद्ध तथ्य के आधार पर हल करते हैं।
7. पाठ सारांश
आज आपने कौन सी नई चीज़ें करना सीखा?
उन समस्याओं को हल करें जिनमें समरूप त्रिभुजों में से किसी एक का समरूपता गुणांक और क्षेत्रफल ज्ञात हो।
इसमें किस ज्यामितीय गुण ने हमारी सहायता की?
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात समरूपता गुणांक के वर्ग के बराबर होता है।
गृहकार्य।
पी. 58 पी. 139 नंबर 546, 548
रचनात्मक कार्य.
ज्ञात कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों (संख्या 547) के परिमापों का अनुपात क्या है
अलविदा।