गणित में उच्च डिग्री के समीकरण. उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करना

समीकरणों का उपयोग हमारे जीवन में व्यापक है। इनका उपयोग कई गणनाओं, संरचनाओं के निर्माण और यहां तक ​​कि खेलों में भी किया जाता है। प्राचीन काल में मनुष्य ने समीकरणों का प्रयोग किया और तब से इनका प्रयोग बढ़ता ही गया। गणित में, पूर्णांक गुणांक वाले उच्च डिग्री के समीकरण काफी सामान्य हैं। इस प्रकार के समीकरण को हल करने के लिए आपको चाहिए:

समीकरण की तर्कसंगत जड़ें निर्धारित करें;

समीकरण के बाईं ओर बहुपद का गुणनखंड करें;

समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि हमें समीकरण दिया गया है निम्न प्रकार:

आइए इसकी सभी वास्तविक जड़ें खोजें। समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को \ से गुणा करें

आइए वेरिएबल्स में बदलाव करें\

इस प्रकार, हमारे पास निम्नलिखित चौथी-डिग्री समीकरण है, जिसे मानक एल्गोरिदम का उपयोग करके हल किया जा सकता है: हम विभाजकों की जांच करते हैं, विभाजन करते हैं, और परिणामस्वरूप हमें पता चलता है कि समीकरण की दो वास्तविक जड़ें हैं\ और दो जटिल हैं। हमें अपने चौथे-डिग्री समीकरण का निम्नलिखित उत्तर मिलता है:

मैं सॉल्वर का उपयोग करके उच्च डिग्री समीकरणों को ऑनलाइन कहां हल कर सकता हूं?

आप हमारी वेबसाइट https://site पर समीकरण हल कर सकते हैं। मुफ़्त ऑनलाइन सॉल्वर आपको किसी भी जटिलता के ऑनलाइन समीकरण को कुछ ही सेकंड में हल करने की अनुमति देगा। आपको बस सॉल्वर में अपना डेटा दर्ज करना है। आप हमारी वेबसाइट पर वीडियो निर्देश भी देख सकते हैं और समीकरण को हल करना सीख सकते हैं। और यदि आपके पास अभी भी प्रश्न हैं, तो आप उन्हें हमारे VKontakte समूह http://vk.com/pocketteacher में पूछ सकते हैं। हमारे समूह से जुड़ें, हम आपकी मदद करने में हमेशा खुश रहेंगे।

समीकरणों को हल करने की विधियाँ: n n n समीकरण h(f(x)) = h(g(x)) को समीकरण f(x) = g(x) गुणनखंड से बदलना। एक नये चर का परिचय. कार्यात्मक - ग्राफिक विधि। जड़ों का चयन. विएटा के सूत्रों का अनुप्रयोग.

समीकरण h(f(x)) = h(g(x)) को समीकरण f(x) = g(x) से प्रतिस्थापित करना। विधि का उपयोग केवल उस स्थिति में किया जा सकता है जब y = h(x) एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन है जो प्रत्येक मान को एक बार लेता है। यदि फ़ंक्शन गैर-मोनोटोनिक है, तो जड़ों का नुकसान संभव है।

समीकरण को हल करें (3 x + 2)²³ = (5 x – 9)²³ y = x ²³ एक बढ़ता हुआ फलन है, इसलिए समीकरण (3 x + 2)²³ = (5 x – 9)²³ से आप जा सकते हैं समीकरण 3 x + 2 = 5 x – 9, जहाँ से हमें x = 5, 5 मिलता है। उत्तर: 5, 5।

गुणनखंडीकरण। समीकरण f(x)g(x)h(x) = 0 को समीकरणों के एक सेट f(x) = 0 से बदला जा सकता है; जी(एक्स) = 0; h(x) = 0. इस सेट के समीकरणों को हल करने के बाद, आपको उन जड़ों को लेना होगा जो मूल समीकरण की परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित हैं, और बाकी को बाहरी मानकर त्याग दें।

समीकरण x³ – 7 x + 6 = 0 को हल करें। पद 7 x को x + 6 x के रूप में प्रस्तुत करने पर, हम क्रमिक रूप से प्राप्त करते हैं: x³ – x – 6 x + 6 = 0 ) = 0 x (x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) = 0 (x – 1)(x² + x – 6) = 0 अब समस्या समीकरणों के एक सेट को हल करने के लिए कम हो गई है x – 1 = 0; x² + x – 6 = 0. उत्तर: 1, 2, – 3.

एक नये चर का परिचय. यदि समीकरण y(x) = 0 को p(g(x)) = 0 के रूप में बदला जा सकता है, तो आपको एक नया चर u = g(x) प्रस्तुत करना होगा, समीकरण p(u) = 0 को हल करें, और फिर समीकरणों के सेट को हल करें g( x) = u 1; जी(एक्स) = यू 2; ... ; g(x) = un, जहां u 1, u 2, …, un समीकरण p(u) = 0 के मूल हैं।

समीकरण को हल करें इस समीकरण की एक विशेष विशेषता इसके बायीं ओर के गुणांकों की समानता है, जो इसके सिरों से समान दूरी पर हैं। ऐसे समीकरणों को व्युत्क्रम कहा जाता है। चूँकि 0 इस समीकरण का मूल नहीं है, x² से विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है

आइए एक नया चर प्रस्तुत करें। फिर हमें एक द्विघात समीकरण मिलता है। इसलिए मूल y 1 = - 1 को नजरअंदाज किया जा सकता है। हमें उत्तर मिलता है: 2, 0, 5.

समीकरण 6(x² – 4)² + 5(x² – 4)(x² – 7 x +12) + (x² – 7 x + 12)² = 0 को हल करें इस समीकरण को एक सजातीय समीकरण के रूप में हल किया जा सकता है। आइए समीकरण के दोनों पक्षों को (x² – 7 x +12)² से विभाजित करें (यह स्पष्ट है कि x का मान ऐसा है कि x² – 7 x +12=0 समाधान नहीं हैं)। अब हम निरूपित करते हैं कि हमारे पास यहाँ से उत्तर है:

कार्यात्मक - ग्राफिक विधि। यदि फलन y = f(x), y = g(x) में से एक बढ़ता है, और दूसरा घटता है, तो समीकरण f(x) = g(x) का या तो कोई मूल नहीं है या एक मूल है।

समीकरण को हल करें यह बिल्कुल स्पष्ट है कि x = 2 समीकरण का मूल है। आइये सिद्ध करें कि यही एकमात्र जड़ है। आइए समीकरण को इस रूप में रूपांतरित करें कि हम देखते हैं कि फलन बढ़ता है, और फलन घटता है। इसका मतलब यह है कि समीकरण का केवल एक ही मूल है। उत्तर: 2.

मूलों का चयन n n n प्रमेय 1: यदि एक पूर्णांक m पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद का मूल है, तो बहुपद का मुक्त पद m से विभाज्य है। प्रमेय 2: पूर्णांक गुणांक वाले लघु बहुपद का कोई भिन्नात्मक मूल नहीं होता। प्रमेय 3:-पूर्णांक मान गुणांक वाला समीकरण। यदि एक संख्या और एक भिन्न जहां p और q अप्रासंगिक पूर्णांक हैं, समीकरण का मूल है, तो p मुक्त पद a का भाजक है, और q अग्रणी पद a 0 के गुणांक का भाजक है।

बेज़ाउट का प्रमेय. किसी बहुपद को द्विपद (x – a) से विभाजित करने पर शेषफल x = a पर विभाजित होने वाले बहुपद के मान के बराबर होता है। बेज़ाउट के प्रमेय के परिणाम n n n n दो संख्याओं की समान घातों के अंतर को समान संख्याओं के अंतर से बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जाता है; दो संख्याओं की समान सम घातों के बीच के अंतर को इन संख्याओं के अंतर और उनके योग दोनों से बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जाता है; दो संख्याओं की समान विषम घातों के बीच का अंतर इन संख्याओं के योग से विभाज्य नहीं है; दो गैर-संख्याओं की समान घातों का योग इन संख्याओं के अंतर से विभाजित होता है; दो संख्याओं की समान विषम घातों के योग को इन संख्याओं के योग से बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जाता है; दो संख्याओं की समान सम घातों का योग इन संख्याओं के अंतर या उनके योग से विभाज्य नहीं होता है; एक बहुपद एक द्विपद (x - a) से विभाज्य होता है यदि और केवल यदि संख्या a दिए गए बहुपद का मूल हो; एक शून्येतर बहुपद की विशिष्ट जड़ों की संख्या उसकी डिग्री से अधिक नहीं होती है।

समीकरण x³ – 5 x² – x + 21 = 0 को हल करें बहुपद x³ – 5 x² – x + 21 में पूर्णांक गुणांक हैं। प्रमेय 1 के अनुसार, इसके पूर्णांक मूल, यदि कोई हों, मुक्त पद के विभाजकों में से हैं: ± 1, ± 3, ± 7, ± 21। जाँच करके हम आश्वस्त हैं कि संख्या 3 एक मूल है। बेज़ाउट प्रमेय के परिणाम के अनुसार, बहुपद (x – 3) से विभाज्य है। इस प्रकार, x³– 5 x² – x + 21 = (x – 3)(x²– 2 x – 7). उत्तर:

समीकरण 2 x³ – 5 x² – x + 1 = 0 को हल करें। प्रमेय 1 के अनुसार, केवल संख्याएँ ± 1 ही समीकरण के पूर्णांक मूल हो सकती हैं। जाँच से पता चलता है कि ये संख्याएँ मूल नहीं हैं। चूँकि समीकरण कम नहीं हुआ है, इसमें भिन्नात्मक तर्कसंगत जड़ें हो सकती हैं। आइए उन्हें खोजें. ऐसा करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को 4 से गुणा करें: 8 x³ – 20 x² – 4 x + 4 = 0, 2 x = t प्रतिस्थापित करने पर, हमें t³ – 5 t² – 2 t + 4 = 0 प्राप्त होता है। प्रमेय 2 के अनुसार, सभी इस दिए गए समीकरण की तर्कसंगत जड़ें बरकरार रहनी चाहिए। उन्हें मुक्त पद के विभाजकों में पाया जा सकता है: ± 1, ± 2, ± 4. इस मामले में, t = - 1 उपयुक्त है, इसलिए, बेज़ौट के प्रमेय के परिणाम के अनुसार, बहुपद 2 x³ - 5 x² - x + 1 (x + 0, 5 ) से विभाज्य है: 2 x³ – 5 x² – x + 1 = (x + 0. 5)(2 x² – 6 x + 2) द्विघात समीकरण 2 x² – 6 x + 2 को हल करने के बाद = 0, हम शेष मूल पाते हैं: उत्तर:

समीकरण 6 x³ + x² – 11 x – 6 = 0 को हल करें प्रमेय 3 के अनुसार, इस समीकरण के तर्कसंगत मूलों को समीकरण में एक-एक करके प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि वे समीकरण को संतुष्ट करते हैं। वे समीकरण की सभी जड़ों को समाप्त कर देते हैं। उत्तर:

विएटा के प्रमेय द्वारा समीकरण x³ + 3 x² – 7 x +1 = 0 के वर्गमूलों का योग ज्ञात कीजिए। ध्यान दें कि कहाँ

बताएं कि इनमें से प्रत्येक समीकरण को कैसे हल किया जा सकता है। समीकरण क्रमांक 1, 4, 15, 17 को हल करें।

उत्तर और निर्देश: 1. एक नए चर का परिचय। 2. कार्यात्मक - ग्राफिक विधि। 3. समीकरण h(f(x)) = h(g(x)) को समीकरण f(x) = g(x) से बदलना। 4. गुणनखंडीकरण। 5. जड़ों का चयन. 6 कार्यात्मक - ग्राफिक विधि। 7. विएटा फ़ार्मुलों का अनुप्रयोग। 8. जड़ों का चयन. 9. समीकरण h(f(x)) = h(g(x)) को समीकरण f(x) = g(x) से बदलना। 10. एक नये चर का परिचय. 11. गुणनखंडीकरण। 12. एक नये चर का परिचय. 13. जड़ों का चयन. 14. विएटा फ़ार्मुलों का अनुप्रयोग। 15. कार्यात्मक - ग्राफिक विधि। 16. गुणनखंडन. 17. एक नये चर का परिचय. 18. गुणनखंडन.

1. निर्देश. समीकरण को 4(x²+17 x+60)(x+16 x+60)=3 x² के रूप में लिखें, दोनों पक्षों को x² से विभाजित करें। वेरिएबल उत्तर दर्ज करें: x 1 = – 8; x 2 = – 7.5. निर्देश. समीकरण के बाईं ओर 6 y और – 6 y जोड़ें और इसे (y³ – 2 y²) + (- 3 y² + 6 y) + (– 8 y + 16) = (y – 2)(y² – के रूप में लिखें) 3 y - 8). उत्तर:

14. निर्देश. विएटा के प्रमेय के अनुसार चूंकि ये पूर्णांक हैं, समीकरण की जड़ें केवल संख्याएं हो सकती हैं - 1, - 2, - 3. उत्तर: 15. उत्तर: - 1. 17. निर्देश. समीकरण के दोनों पक्षों को x² से विभाजित करें और इसे एक चर दर्ज करें के रूप में लिखें उत्तर: 1; 15; 2; 3.

ग्रंथ सूची. एन एन एन कोलमोगोरोव ए.एन. "बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत, 10 - 11" (एम.: प्रोस्वेशचेनी, 2003)। बश्माकोव एम.आई. "बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत, 10 - 11" (एम.: प्रोस्वेशचेनी, 1993)। मोर्दकोविच ए.जी. "बीजगणित और विश्लेषण के सिद्धांत, 10 - 11" (एम.: मेनेमोसिना, 2003)। अलीमोव श्री ए., कोल्यागिन यू. एम. एट अल। "बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत, 10 - 11" (एम.: प्रोस्वेशचेनी, 2000)। गैलिट्स्की एम.एल., गोल्डमैन ए.एम., ज़वाविच एल.आई. "बीजगणित में समस्याओं का संग्रह, 8 - 9" (एम.: प्रोस्वेशचेनी, 1997)। कार्प ए.पी. "बीजगणित और विश्लेषण के सिद्धांतों पर समस्याओं का संग्रह, 10 - 11" (एम.: प्रोस्वेशचेनी, 1999)। शैरगिन आई. एफ. "गणित में वैकल्पिक पाठ्यक्रम, समस्या समाधान, 10" (एम.: शिक्षा. 1989)। स्कोपेट्स जेड ए. "गणित के पाठ्यक्रम पर अतिरिक्त अध्याय, 10" (एम.: प्रोस्वेशचेनी, 1974)। लिटिंस्की जी.आई. "गणित पाठ" (मॉस्को: असलान, 1994)। मुराविन जी.के. "समीकरण, असमानताएँ और उनकी प्रणालियाँ" (गणित, समाचार पत्र "फर्स्ट ऑफ़ सितंबर", नंबर 2, 3, 2003 का पूरक)। कोल्यागिन यू. एम. "बहुपद और उच्च डिग्री के समीकरण" (गणित, समाचार पत्र "फर्स्ट ऑफ़ सितंबर", नंबर 3, 2005 का पूरक)।

मूल लक्ष्य:

  1. वें डिग्री के संपूर्ण तर्कसंगत समीकरण की अवधारणा को सुदृढ़ करें।
  2. उच्च डिग्री (एन) के समीकरणों को हल करने के लिए बुनियादी तरीकों का निर्माण करें > 3).
  3. उच्च-क्रम समीकरणों को हल करने की बुनियादी विधियाँ सिखाएँ।
  4. सबसे अधिक कैसे निर्धारित करें यह सिखाने के लिए प्रभावी तरीकाउसके फैसले.

कक्षा में शिक्षक द्वारा उपयोग किए जाने वाले रूप, तरीके और शैक्षणिक तकनीक:

  • व्याख्यान-संगोष्ठी शिक्षण प्रणाली (व्याख्यान - नई सामग्री की व्याख्या, सेमिनार - समस्या समाधान)।
  • सूचना और संचार प्रौद्योगिकी (फ्रंटल सर्वेक्षण, कक्षा के साथ मौखिक कार्य)।
  • विभेदित शिक्षण, समूह और व्यक्तिगत रूप।
  • शिक्षण में एक शोध पद्धति का उपयोग करना जिसका उद्देश्य प्रत्येक व्यक्तिगत छात्र के गणितीय उपकरण और सोचने की क्षमताओं को विकसित करना है।
  • मुद्रित सामग्री - व्यक्तिगत संक्षिप्त सारांशपाठ (बुनियादी अवधारणाएँ, सूत्र, कथन, आरेख या तालिकाओं के रूप में संक्षिप्त व्याख्यान सामग्री)।

शिक्षण योजना:

  1. आयोजन का समय.
    मंच का उद्देश्य: छात्रों को इसमें शामिल करना शैक्षणिक गतिविधियां, पाठ की सामग्री रूपरेखा निर्धारित करें।
  2. छात्रों के ज्ञान को अद्यतन करना।
    मंच का उद्देश्य: पहले अध्ययन किए गए संबंधित विषयों पर छात्रों के ज्ञान को अद्यतन करना
  3. पढ़ना नया विषय(भाषण)। चरण का लक्ष्य: उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए बुनियादी तरीकों को तैयार करना (एन)। > 3)
  4. संक्षेपण।
    मंच का उद्देश्य: पाठ में अध्ययन की गई सामग्री के मुख्य बिंदुओं को एक बार फिर से उजागर करना।
  5. गृहकार्य।
    मंच का उद्देश्य: छात्रों के लिए होमवर्क तैयार करना।

पाठ सारांश

1. संगठनात्मक क्षण.

पाठ विषय का निरूपण: “उच्च शक्तियों के समीकरण। उन्हें हल करने के तरीके।"

2. विद्यार्थियों के ज्ञान को अद्यतन करना।

सैद्धांतिक सर्वेक्षण - बातचीत. सिद्धांत से पहले अध्ययन की गई कुछ जानकारी की पुनरावृत्ति। छात्र बुनियादी परिभाषाएँ बनाते हैं और आवश्यक प्रमेय बनाते हैं। पहले अर्जित ज्ञान के स्तर को प्रदर्शित करने के लिए उदाहरण दीजिए।

  • एक चर वाले समीकरण की अवधारणा.
  • किसी समीकरण के मूल की अवधारणा, किसी समीकरण का समाधान।
  • अवधारणा रेखीय समीकरणएक चर के साथ, एक चर के साथ द्विघात समीकरण की अवधारणा।
  • समीकरणों की समतुल्यता की अवधारणा, समीकरण-परिणाम (बाहरी जड़ों की अवधारणा), परिणाम से नहीं संक्रमण (मूलों के नुकसान का मामला)।
  • एक चर के साथ संपूर्ण तर्कसंगत अभिव्यक्ति की अवधारणा।
  • संपूर्ण तर्कसंगत समीकरण की अवधारणा एनवें डिग्री. संपूर्ण तर्कसंगत समीकरण का मानक रूप। संपूर्ण तर्कसंगत समीकरण कम हो गया।
  • मूल समीकरण को गुणनखंडित करके निम्न डिग्री के समीकरणों के एक सेट में संक्रमण।
  • बहुपद की अवधारणा एनसेवीं डिग्री एक्स. बेज़ाउट का प्रमेय. बेज़ाउट के प्रमेय से परिणाम। मूल प्रमेय ( जेड-जड़ें और क्यू-मूल) पूर्णांक गुणांक (क्रमशः कम और कम) के साथ एक संपूर्ण तर्कसंगत समीकरण की।
  • हॉर्नर की योजना.

3. किसी नये विषय का अध्ययन करना।

हम संपूर्ण तर्कसंगत समीकरण पर विचार करेंगे एनएक अज्ञात चर के साथ मानक रूप की -वीं शक्ति एक्स:पीएन(एक्स)= 0, कहाँ पी एन (एक्स) = ए एन एक्स एन + ए एन-1 एक्स एन-1 + ए 1 एक्स + ए 0– बहुपद एनसेवीं डिग्री एक्स, एएन ≠ 0. अगर ए n = 1 तो ऐसे समीकरण को लघु पूर्णांक परिमेय समीकरण कहा जाता है एनवें डिग्री. आइए ऐसे समीकरणों पर विचार करें विभिन्न अर्थ एनऔर उन्हें हल करने की मुख्य विधियाँ सूचीबद्ध करें।

एन= 1 – रैखिक समीकरण.

एन= 2 – द्विघात समीकरण.विभेदक सूत्र. जड़ों की गणना के लिए सूत्र. विएटा का प्रमेय. एक पूर्ण वर्ग का चयन करना.

एन= 3 – घन समीकरण.

समूहीकरण विधि.

उदाहरण: एक्स 3 - 4एक्स 2 - एक्स+ 4 = 0 (एक्स – 4)(एक्स 2– 1) = 0 एक्स 1 = 4 , एक्स 2 = 1,एक्स 3 = -1.

प्रपत्र का व्युत्क्रम घन समीकरण कुल्हाड़ी 3 + बीएक्स 2 + बीएक्स + ए= 0. हम समान गुणांक वाले पदों को मिलाकर हल करते हैं।

उदाहरण: एक्स 3 – 5एक्स 2 – 5एक्स + 1 = 0 (एक्स + 1)(एक्स 2 – 6एक्स + 1) = 0 एक्स 1 = -1, एक्स 2 = 3 + 2, एक्स 3 = 3 – 2.

प्रमेय के आधार पर Z-मूलों का चयन। हॉर्नर की योजना. इस विधि को लागू करते समय, इस बात पर जोर देना आवश्यक है कि इस मामले में खोज सीमित है, और हम प्रमेय के अनुसार एक निश्चित एल्गोरिदम का उपयोग करके जड़ों का चयन करते हैं जेड-पूर्णांक गुणांकों के साथ दिए गए संपूर्ण तर्कसंगत समीकरण की जड़ें।

उदाहरण: एक्स 3 – 9एक्स 2 + 23एक्स– 15 = 0. समीकरण दिया गया है. आइए हम मुक्त पद के विभाजक लिखें ( + 1; + 3; + 5; + 15). आइए हॉर्नर की योजना लागू करें:

एक्स 3 एक्स 2 एक्स 1 एक्स 0 निष्कर्ष
1 -9 23 -15
1 1 1 x 1 – 9 = -8 1 x (-8) + 23 = 15 1 x 15 – 15 = 0 1-जड़
एक्स 2 एक्स 1 एक्स 0

हम पाते हैं ( एक्स – 1)(एक्स 2 – 8एक्स + 15) = 0 एक्स 1 = 1, एक्स 2 = 3, एक्स 3 = 5.

पूर्णांक गुणांकों वाला समीकरण. प्रमेय के आधार पर Q-मूलों का चयन। हॉर्नर की योजना. इस विधि को लागू करते समय, इस बात पर जोर देना आवश्यक है कि इस मामले में खोज सीमित है और हम प्रमेय के अनुसार एक निश्चित एल्गोरिदम का उपयोग करके जड़ों का चयन करते हैं क्यू-पूर्णांक गुणांकों के साथ एक अघटीकृत पूर्णांक परिमेय समीकरण की जड़ें।

उदाहरण: 9 एक्स 3 + 27एक्स 2 – एक्स– 3 = 0. समीकरण अप्रमाणित है। आइए हम मुक्त पद के विभाजक लिखें ( + 1; + 3). आइए हम अज्ञात की उच्चतम घात पर गुणांक के विभाजक लिखें। ( + 1; + 3; + 9) नतीजतन, हम मूल्यों के बीच जड़ों की तलाश करेंगे ( + 1; + ; + ; + 3). आइए हॉर्नर की योजना लागू करें:

एक्स 3 एक्स 2 एक्स 1 एक्स 0 निष्कर्ष
9 27 -1 -3
1 9 1 x 9 + 27 = 36 1 x 36 – 1 = 35 1 x 35 – 3 = 32 ≠ 0 1 - जड़ नहीं
-1 9 -1 x 9 + 27 = 18 -1 x 18 – 1 = -19 -1 x (-19) – 3 = 16 ≠ 0 -1 – जड़ नहीं
9 x 9 + 27 = 30 x 30 – 1 = 9 x 9 – 3 = 0 जड़
एक्स 2 एक्स 1 एक्स 0

हम पाते हैं ( एक्स – )(9एक्स 2 + 30एक्स + 9) = 0 एक्स 1 = , एक्स 2 = - , एक्स 3 = -3.

Q का चयन करते समय गणना में आसानी के लिए -जड़ेंचर में परिवर्तन करना, दिए गए समीकरण पर जाना और Z का चयन करना सुविधाजनक हो सकता है -जड़ें.

  • यदि डमी पद 1 है
.

  • यदि आप प्रपत्र के प्रतिस्थापन का उपयोग कर सकते हैं वाई = केएक्स
.

कार्डानो फॉर्मूला. घन समीकरणों को हल करने की एक सार्वभौमिक विधि है - यह कार्डानो सूत्र है। यह सूत्र इतालवी गणितज्ञ गेरोलामो कार्डानो (1501-1576), निकोलो टार्टाग्लिया (1500-1557) और स्किपियोन डेल फेरो (1465-1526) के नामों से जुड़ा है। यह फ़ॉर्मूला हमारे पाठ्यक्रम के दायरे से बाहर है.

एन= 4 – चौथी डिग्री का समीकरण.

समूहीकरण विधि.

उदाहरण: एक्स 4 + 2एक्स 3 + 5एक्स 2 + 4एक्स – 12 = 0 (एक्स 4 + 2एक्स 3) + (5एक्स 2 + 10एक्स) – (6एक्स + 12) = 0 (एक्स + 2)(एक्स 3 + 5एक्स - 6) = 0 (एक्स + 2)(एक्स– 1)(एक्स 2 + एक्स + 6) = 0 एक्स 1 = -2, एक्स 2 = 1.

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि.

  • रूप का द्विघात समीकरण कुल्हाड़ी 4 + बीएक्स 2 + एस = 0 .

उदाहरण: एक्स 4 + 5एक्स 2 - 36 = 0. प्रतिस्थापन य = एक्स 2. यहाँ से य 1 = 4, य 2 = -9. इसीलिए एक्स 1,2 = + 2 .

  • प्रपत्र की चौथी डिग्री का पारस्परिक समीकरण कुल्हाड़ी 4 + बीएक्स 3+सी एक्स 2 + बीएक्स + ए = 0.

हम प्रपत्र को प्रतिस्थापित करके समान गुणांक वाले पदों को संयोजित करके हल करते हैं

  • कुल्हाड़ी 4 + बीएक्स 3 + सीएक्स 2 – बीएक्स + ए = 0.

  • फॉर्म की चौथी डिग्री का सामान्यीकृत आवर्ती समीकरण कुल्हाड़ी 4 + बीएक्स 3 + सीएक्स 2 + केबीएक्स + क 2ए = 0.

  • सामान्य प्रतिस्थापन. कुछ मानक प्रतिस्थापन.

उदाहरण 3 . सामान्य दृश्य प्रतिस्थापन(विशिष्ट समीकरण के प्रकार से अनुसरण करता है)।

एन = 3.

पूर्णांक गुणांकों वाला समीकरण. Q- जड़ों का चयन एन = 3.

सामान्य सूत्र. चतुर्थ डिग्री समीकरणों को हल करने की एक सार्वभौमिक विधि है। यह फॉर्मूला लुडोविको फेरारी (1522-1565) के नाम से जुड़ा है। यह फ़ॉर्मूला हमारे पाठ्यक्रम के दायरे से बाहर है.

एन > 5 - पाँचवीं और उच्चतर डिग्री के समीकरण।

पूर्णांक गुणांकों वाला समीकरण. प्रमेय के आधार पर Z-मूलों का चयन। हॉर्नर की योजना. एल्गोरिथ्म ऊपर चर्चा के समान है एन = 3.

पूर्णांक गुणांकों वाला समीकरण. Q- जड़ों का चयनप्रमेय के आधार पर. हॉर्नर की योजना. एल्गोरिथ्म ऊपर चर्चा के समान है एन = 3.

सममित समीकरण. विषम डिग्री के किसी भी पारस्परिक समीकरण का एक मूल होता है एक्स= -1 और इसे कारकों में विभाजित करने के बाद हम पाते हैं कि एक कारक का रूप है ( एक्स+ 1), और दूसरा कारक सम डिग्री का व्युत्क्रम समीकरण है (इसकी डिग्री मूल समीकरण की डिग्री से एक कम है)। सम अंश का कोई भी पारस्परिक समीकरण, मूल सहित, रूप का होता है एक्स = φइसमें प्रजाति की जड़ भी शामिल है। इन कथनों का उपयोग करके, हम अध्ययन के तहत समीकरण की डिग्री को कम करके समस्या का समाधान करते हैं।

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि. समरूपता का प्रयोग.

पाँचवीं डिग्री के संपूर्ण समीकरणों को हल करने के लिए कोई सामान्य सूत्र नहीं है (यह इतालवी गणितज्ञ पाओलो रफ़िनी (1765-1822) और नॉर्वेजियन गणितज्ञ नील्स हेनरिक एबेल (1802-1829) द्वारा दिखाया गया था) और उच्च डिग्री (यह द्वारा दिखाया गया था) फ़्रांसीसी गणितज्ञ एवरिस्ट गैलोइस (1811-1832) )).

  • आइए एक बार फिर याद करें कि व्यवहार में इसका उपयोग संभव है युग्मऊपर सूचीबद्ध तरीके. इससे कम डिग्री वाले समीकरणों के सेट को पास करना सुविधाजनक है मूल समीकरण का गुणनखंडन.
  • आज हमारी चर्चा के दायरे से बाहर वे हैं जो व्यवहार में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं। चित्रमय तरीकेसमीकरणों को हल करना और अनुमानित समाधान विधियाँउच्च डिग्री के समीकरण.
  • ऐसी स्थितियाँ होती हैं जब समीकरण में R-मूल नहीं होते हैं।
    • फिर समाधान यह दिखाने पर निर्भर करता है कि समीकरण की कोई जड़ नहीं है। इसे साबित करने के लिए, हम एकरसता अंतराल पर विचाराधीन कार्यों के व्यवहार का विश्लेषण करते हैं। उदाहरण: समीकरण एक्स 8 – एक्स 3 + 1 = 0 का कोई मूल नहीं है।
  • कार्यों की एकरसता के गुण का उपयोग करना
    • . ऐसी स्थितियाँ होती हैं जब फ़ंक्शन के विभिन्न गुणों का उपयोग आपको कार्य को सरल बनाने की अनुमति देता है।
    उदाहरण 1: समीकरण एक्स 5 + 3एक्स– 4 = 0 का एक मूल है एक्स= 1. विश्लेषित फलनों की एकरसता के गुण के कारण कोई अन्य मूल नहीं हैं।
    उदाहरण 2: समीकरण एक्स 4 + (एक्स– 1) 4 = 97 की जड़ें हैं एक्स 1 = -2 और एक्स 2 = 3। एकरसता के अंतराल पर संबंधित कार्यों के व्यवहार का विश्लेषण करने के बाद, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि कोई अन्य जड़ें नहीं हैं।

4. सारांश.

सारांश: अब हमने उच्च डिग्री (एन के लिए) के विभिन्न समीकरणों को हल करने की बुनियादी विधियों में महारत हासिल कर ली है > 3). हमारा काम यह सीखना है कि ऊपर सूचीबद्ध एल्गोरिदम का प्रभावी ढंग से उपयोग कैसे करें। समीकरण के प्रकार के आधार पर, हमें यह निर्धारित करना सीखना होगा कि किसी दिए गए मामले में समाधान की कौन सी विधि सबसे प्रभावी है, साथ ही चुनी गई विधि को सही ढंग से लागू करना होगा।

5. गृहकार्य.

: पैराग्राफ 7, पृ. 164-174, संख्या 33-36, 39-44, 46.47।

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

इस विषय पर रिपोर्ट या सार के लिए संभावित विषय:

  • कार्डानो फॉर्मूला
  • समीकरणों को हल करने के लिए ग्राफिकल विधि. समाधान के उदाहरण.
  • समीकरणों के अनुमानित समाधान की विधियाँ।

विद्यार्थियों के सीखने और विषय में रुचि का विश्लेषण:

अनुभव से पता चलता है कि छात्रों की रुचि मुख्य रूप से चयन की संभावना से पैदा होती है जेड-जड़ें और क्यू-हॉर्नर की योजना का उपयोग करके काफी सरल एल्गोरिदम का उपयोग करके समीकरणों की जड़ें। छात्र विभिन्न मानक प्रकार के चरों के प्रतिस्थापन में भी रुचि रखते हैं, जो समस्या के प्रकार को काफी सरल बना सकते हैं। ग्राफ़िकल समाधान विधियाँ आमतौर पर विशेष रुचि रखती हैं। इस मामले में, आप समीकरणों को हल करने के लिए ग्राफिकल विधि का उपयोग करके समस्याओं का अतिरिक्त विश्लेषण कर सकते हैं; चर्चा करना सामान्य फ़ॉर्म 3, 4, 5 डिग्री के बहुपदों के लिए ग्राफ़िक्स; विश्लेषण करें कि डिग्री 3, 4, 5 के समीकरणों की जड़ों की संख्या संबंधित ग्राफ़ की उपस्थिति से कैसे संबंधित है। नीचे पुस्तकों की एक सूची दी गई है जहाँ आप इस विषय पर अतिरिक्त जानकारी पा सकते हैं।

ग्रंथ सूची:

  1. विलेनकिन एन.वाई.ए.और अन्य। 9वीं कक्षा के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक गहन अध्ययनगणित" - एम., शिक्षा, 2007 - 367 पी.
  2. विलेनकिन एन.वाई.ए., शिबासोव एल.पी., शिबासोवा जेड.एफ.“गणित की पाठ्यपुस्तक के पन्नों के पीछे। अंकगणित। बीजगणित. 10-11 ग्रेड" - एम., शिक्षा, 2008 - 192 पी।
  3. वायगोडस्की एम.वाई.ए."गणित की पुस्तिका" - एम., एएसटी, 2010 - 1055 पी।
  4. गैलिट्स्की एम.एल.“बीजगणित में समस्याओं का संग्रह। ट्यूटोरियलगणित के गहन अध्ययन के साथ ग्रेड 8-9 के लिए" - एम., प्रोस्वेशचेनी, 2008 - 301 पी।
  5. ज़वाविच एल.आई.और अन्य "बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत।" 8-11 ग्रेड गणित के उन्नत अध्ययन वाले स्कूलों और कक्षाओं के लिए एक मैनुअल" - एम., ड्रोफ़ा, 1999 - 352 पी।
  6. ज़वाविच एल.आई., एवरीनोव डी.आई., पिगारेव बी.पी., ट्रुशानिना टी.एन."9वीं कक्षा में लिखित परीक्षा की तैयारी के लिए गणित असाइनमेंट" - एम., प्रोस्वेशचेनी, 2007 - 112 पी।
  7. इवानोव ए.ए., इवानोव ए.पी."गणित में ज्ञान को व्यवस्थित करने के लिए विषयगत परीक्षण" भाग 1 - एम., फ़िज़मैटनिगा, 2006 - 176 पी।
  8. इवानोव ए.ए., इवानोव ए.पी."गणित में ज्ञान को व्यवस्थित करने के लिए विषयगत परीक्षण" भाग 2 - एम., फ़िज़मैटनिगा, 2006 - 176 पी।
  9. इवानोव ए.पी.“परीक्षण और परीक्षण पत्रअंक शास्त्र। ट्यूटोरियल"। - एम., फ़िज़मैटनिगा, 2008 - 304 पी।
  10. लीबसन के.एल.“गणित में व्यावहारिक कार्यों का संग्रह। भाग 2-9 ग्रेड" - एम., एमटीएसएनएम, 2009 - 184 पी।
  11. माकार्यचेव यू.एन., मिंड्युक एन.जी."बीजगणित. अतिरिक्त अध्याय स्कूल की पाठ्यपुस्तक 9 वां दर्जा। गणित के गहन अध्ययन के साथ स्कूलों और कक्षाओं में छात्रों के लिए एक पाठ्यपुस्तक। - एम., शिक्षा, 2006 - 224 पी.
  12. मोर्दकोविच ए.जी."बीजगणित. गहन अध्ययन। 8 वीं कक्षा। पाठ्यपुस्तक" - एम., मेनेमोसिन, 2006 - 296 पी।
  13. सविन ए.पी. “विश्वकोश शब्दकोशयुवा गणितज्ञ" - एम., शिक्षाशास्त्र, 1985 - 352 पी।
  14. सर्विलो जी.एस., सिमोनोव ए.एस."गणित के गहन अध्ययन के साथ ग्रेड 9 के लिए बीजगणित पर उपदेशात्मक सामग्री" - एम., प्रोस्वेशचेनी, 2006 - 95 पी।
  15. चुलकोव पी.वी."समीकरण और असमानताएँ स्कूल पाठ्यक्रमगणितज्ञ
  16. चुलकोव पी.वी.व्याख्यान 1-4" - एम., 1 सितंबर, 2006 - 88 पी।

“स्कूल गणित पाठ्यक्रम में समीकरण और असमानताएँ। व्याख्यान 5-8" - एम., 1 सितंबर 2009 - 84 पी।
ट्रिफ़ानोवा मरीना अनातोल्येवना

गणित शिक्षक, नगरपालिका शैक्षणिक संस्थान "जिमनैजियम नंबर 48 (बहुविषयक)", तलनाख:

पाठ का तिहरा उद्देश्य
शैक्षिक:
उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने पर ज्ञान का व्यवस्थितकरण और सामान्यीकरण।
विकासात्मक: विकास को बढ़ावा देनातर्कसम्मत सोच
, स्वतंत्र रूप से काम करने की क्षमता, आपसी नियंत्रण और आत्म-नियंत्रण का कौशल, बोलने और सुनने का कौशल।
शिक्षित करना:

निरंतर रोजगार की आदत विकसित करना, जवाबदेही, कड़ी मेहनत और सटीकता को बढ़ावा देना।:

पाठ का प्रकार

ज्ञान, कौशल और क्षमताओं के एकीकृत अनुप्रयोग में एक पाठ।:

पाठ रूप

वेंटिलेशन, शारीरिक व्यायाम, काम के विभिन्न रूप।

उपकरण:

सहायक नोट्स, कार्य कार्ड, पाठ निगरानी मैट्रिक्स।

कक्षाओं के दौरान

  1. I. संगठनात्मक क्षण
  2. छात्रों को पाठ के उद्देश्य के बारे में बताना।

उनमें से प्रत्येक के समीकरण और उत्तर बोर्ड पर लिखे गए हैं। छात्र अपने उत्तर जांच कर दें संक्षिप्त विश्लेषणप्रत्येक समीकरण का समाधान या शिक्षक के प्रश्नों का उत्तर दें (फ्रंटल सर्वेक्षण)। आत्म-नियंत्रण - छात्र स्वयं ग्रेड देते हैं और ग्रेड सुधार या अनुमोदन के लिए अपनी नोटबुक शिक्षक को सौंप देते हैं। स्कूल के ग्रेड बोर्ड पर लिखे गए हैं:

"5+" - 6 समीकरण;
"5" - 5 समीकरण;
"4" - 4 समीकरण;
"3" - 3 समीकरण.

होमवर्क के बारे में शिक्षक के प्रश्न:

1 समीकरण

  1. समीकरण में चरों में क्या परिवर्तन किया गया है?
  2. चर बदलने पर कौन सा समीकरण प्राप्त होता है?

2 समीकरण

  1. समीकरण के दोनों पक्षों को विभाजित करने के लिए किस बहुपद का उपयोग किया गया था?
  2. चरों में क्या परिवर्तन प्राप्त हुआ?

3 समीकरण

  1. इस समीकरण के समाधान को सरल बनाने के लिए किन बहुपदों को गुणा करने की आवश्यकता है?

4 समीकरण

  1. फ़ंक्शन को नाम दें f(x).
  2. शेष जड़ें कैसे पाई गईं?

5 समीकरण

  1. समीकरण को हल करने के लिए कितने अंतराल प्राप्त हुए?

6 समीकरण

  1. इस समीकरण को कैसे हल किया जा सकता है?
  2. कौन सा समाधान अधिक तर्कसंगत है?

द्वितीय. समूह कार्य पाठ का मुख्य भाग है।

कक्षा को 4 समूहों में बांटा गया है। प्रत्येक समूह को सैद्धांतिक और व्यावहारिक (परिशिष्ट 3) प्रश्नों वाला एक कार्ड दिया जाता है: "समीकरण को हल करने के लिए प्रस्तावित विधि की जांच करें और इस उदाहरण का उपयोग करके इसे समझाएं।"

  1. समूह कार्य 15 मिनट।
  2. उदाहरण बोर्ड पर लिखे गए हैं (बोर्ड को 4 भागों में विभाजित किया गया है)।
  3. समूह रिपोर्ट में 2-3 मिनट लगते हैं।
  4. शिक्षक समूह रिपोर्टों को सही करता है और कठिनाइयों में मदद करता है।

समूहों में कार्य कार्ड संख्या 5-8 पर जारी रहता है। प्रत्येक समीकरण के लिए, समूह में चर्चा के लिए 5 मिनट का समय दिया जाता है। फिर बोर्ड इस समीकरण पर एक रिपोर्ट देता है - समाधान का एक संक्षिप्त विश्लेषण। समीकरण पूरी तरह से हल नहीं हो सकता है - इसे घर पर अंतिम रूप दिया जा रहा है, लेकिन इसके समाधान के क्रम पर कक्षा में चर्चा की जाती है।

तृतीय. स्वतंत्र काम।परिशिष्ट 4.

  1. प्रत्येक छात्र को एक व्यक्तिगत असाइनमेंट प्राप्त होता है।
  2. काम में 20 मिनट लगते हैं.
  3. पाठ की समाप्ति से 5 मिनट पहले, शिक्षक प्रत्येक समीकरण के लिए खुले उत्तर देता है।
  4. छात्र एक मंडली में नोटबुक का आदान-प्रदान करते हैं और एक दोस्त के साथ अपने उत्तर जांचते हैं। वे ग्रेड देते हैं.
  5. जाँच और ग्रेड सुधार के लिए शिक्षक को नोटबुक सौंपी जाती हैं।

चतुर्थ. पाठ सारांश.

गृहकार्य।

अधूरे समीकरणों का समाधान तैयार करें। नियंत्रण कटौती के लिए तैयारी करें.

ग्रेडिंग.

चलो गौर करते हैं दूसरे से अधिक डिग्री वाले एक चर वाले समीकरणों को हल करना।

समीकरण P(x) = 0 की घात बहुपद P(x) की घात है, अर्थात। इसके पदों की सबसे बड़ी घात जिसका गुणांक शून्य के बराबर नहीं है।

इसलिए, उदाहरण के लिए, समीकरण (x 3 – 1) 2 + x 5 = x 6 – 2 में पांचवीं डिग्री है, क्योंकि कोष्ठकों को खोलने और समान कोष्ठक लाने के संचालन के बाद, हम पाँचवीं डिग्री के समतुल्य समीकरण x 5 - 2x 3 + 3 = 0 प्राप्त करते हैं।

आइए उन नियमों को याद करें जिनकी आवश्यकता दो से अधिक डिग्री वाले समीकरणों को हल करने के लिए होगी।

एक बहुपद के मूल और उसके भाजक के बारे में कथन:

1. बहुपद nवाँडिग्री में मूलों की संख्या n से अधिक नहीं होती है, और बहुलता m की जड़ें ठीक m बार आती हैं।

2. विषम घात वाले बहुपद का कम से कम एक वास्तविक मूल होता है।

3. यदि α, P(x) का मूल है, तो P n (x) = (x – α) · Q n – 1 (x), जहां Q n – 1 (x) घात (n – 1) का एक बहुपद है .

4.

5. पूर्णांक गुणांक वाले घटे हुए बहुपद में भिन्नात्मक परिमेय मूल नहीं हो सकते।

6. तृतीय डिग्री बहुपद के लिए

पी 3 (एक्स) = एएक्स 3 + बीएक्स 2 + सीएक्स + डी दो चीजों में से एक संभव है: या तो इसे तीन द्विपदों के उत्पाद में विघटित किया जाता है

Р 3 (x) = а(х – α)(х – β)(х – γ), या एक द्विपद और एक वर्ग त्रिपद के गुणनफल में विघटित होता है Р 3 (x) = а(х – α)(х 2 + βх + γ ).

7. चौथी डिग्री के किसी भी बहुपद को दो वर्ग त्रिपदों के गुणनफल में विस्तारित किया जा सकता है।

8. एक बहुपद f(x) एक बहुपद g(x) से बिना किसी शेषफल के विभाज्य होता है यदि कोई बहुपद q(x) इस प्रकार हो कि f(x) = g(x) · q(x)। बहुपदों को विभाजित करने के लिए, "कोण विभाजन" नियम का उपयोग किया जाता है।

9. बहुपद P(x) को द्विपद (x – c) से विभाज्य बनाने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि संख्या c, P(x) का मूल हो (बेज़आउट के प्रमेय का परिणाम)।

10. विएटा का प्रमेय: यदि x 1, x 2, ..., x n बहुपद की वास्तविक जड़ें हैं

पी(एक्स) = ए 0 एक्स एन + ए 1 एक्स एन - 1 + ... + ए एन, तो निम्नलिखित समानताएं मान्य हैं:

एक्स 1 + एक्स 2 + … + एक्स एन = -ए 1 /ए 0,

एक्स 1 एक्स 2 + एक्स 1 एक्स 3 + … + एक्स एन – 1 एक्स एन = ए 2 /ए 0,

x 1 x 2 x 3 + … + x n – 2 x n – 1 x n = -a 3 / a 0,

x 1 · x 2 · x 3 · x n = (-1) n a n / a 0।

उदाहरण हल करना

उदाहरण 1।

भाग P(x) = x 3 + 2/3 x 2 – 1/9 का (x – 1/3) शेषफल ज्ञात कीजिए।

समाधान।

बेज़ाउट के प्रमेय के परिणाम के अनुसार: "एक द्विपद (x - c) से विभाजित बहुपद का शेषफल c के बहुपद के मान के बराबर होता है।" आइए P(1/3) = 0 ज्ञात करें। इसलिए, शेषफल 0 है और संख्या 1/3 बहुपद का मूल है।

उत्तर: आर = 0.

उदाहरण 2.

एक "कोने" 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 को (x + 2) से विभाजित करें। शेषफल और अपूर्ण भागफल ज्ञात कीजिए।

समाधान:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| एक्स + 2

2x 3 + 4 x 2 2x 2 – x

एक्स 2 – 2 एक्स

उत्तर: आर = 3; भागफल: 2x 2 – x.

उच्च डिग्री समीकरणों को हल करने की बुनियादी विधियाँ

1. एक नये चर का परिचय

एक नए चर को प्रस्तुत करने की विधि द्विघात समीकरणों के उदाहरण से पहले से ही परिचित है। इसमें यह तथ्य शामिल है कि समीकरण f(x) = 0 को हल करने के लिए, एक नया चर (प्रतिस्थापन) t = x n या t = g(x) पेश किया जाता है और f(x) को t के माध्यम से व्यक्त किया जाता है, जिससे एक नया समीकरण r प्राप्त होता है। (टी)। फिर समीकरण r(t) को हल करने पर मूल ज्ञात होते हैं:

(टी 1, टी 2, …, टी एन)। इसके बाद n समीकरण q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , … , q(x) = t n का एक सेट प्राप्त होता है, जिससे मूल समीकरण के मूल ज्ञात होते हैं।

उदाहरण 1।

(x 2 + x + 1) 2 – 3x 2 – 3x – 1 = 0.

समाधान:

(एक्स 2 + एक्स + 1) 2 – 3(एक्स 2 + एक्स) – 1 = 0.

(एक्स 2 + एक्स + 1) 2 – 3(एक्स 2 + एक्स + 1) + 3 – 1 = 0.

प्रतिस्थापन (x 2 + x + 1) = t.

टी 2 – 3टी + 2 = 0.

टी 1 = 2, टी 2 = 1. उलटा प्रतिस्थापन:

एक्स 2 + एक्स + 1 = 2 या एक्स 2 + एक्स + 1 = 1;

एक्स 2 + एक्स - 1 = 0 या एक्स 2 + एक्स = 0;

उत्तर: पहले समीकरण से: x 1, 2 = (-1 ± √5)/2, दूसरे से: 0 और -1.

2. समूहीकरण और संक्षिप्त गुणन सूत्रों द्वारा गुणनखंडन

बुनियाद यह विधियह भी नया नहीं है और इसमें शब्दों को इस तरह से समूहीकृत किया गया है कि प्रत्येक समूह में एक सामान्य कारक शामिल हो। ऐसा करने के लिए कभी-कभी कुछ कृत्रिम तकनीकों का उपयोग करना आवश्यक होता है।

उदाहरण 1।

x 4 – 3x 2 + 4x – 3 = 0.

समाधान।

आइए कल्पना करें - 3x 2 = -2x 2 – x 2 और समूह:

(x 4 – 2x 2) – (x 2 – 4x + 3) = 0.

(x 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4x + 3 + 1 – 1) = 0.

(x 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.

(एक्स 2 – 1) 2 – (एक्स – 2) 2 = 0.

(एक्स 2 – 1 – एक्स + 2)(एक्स 2 – 1 + एक्स - 2) = 0.

(एक्स 2 – एक्स + 1)(एक्स 2 + एक्स – 3) = 0.

x 2 – x + 1 = 0 या x 2 + x – 3 = 0.

उत्तर: पहले समीकरण में कोई जड़ें नहीं हैं, दूसरे से: x 1, 2 = (-1 ± √13)/2।

3. अनिर्धारित गुणांकों की विधि द्वारा गुणनखंडन

विधि का सार यह है कि मूल बहुपद को अज्ञात गुणांकों के साथ गुणनखंडित किया जाता है। इस गुण का उपयोग करते हुए कि बहुपद समान होते हैं यदि उनके गुणांक समान घातों के लिए समान हों, तो अज्ञात विस्तार गुणांक पाए जाते हैं।

उदाहरण 1।

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

समाधान।

घात 3 के बहुपद को रैखिक और द्विघात गुणनखंडों के गुणनफल में विस्तारित किया जा सकता है।

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x – a)(x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 +bx 2 + cх – ax 2 – abх – ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (बी - ए)x 2 + (सीएक्स - एबी)एक्स - एसी।

सिस्टम को हल करने के बाद:

(बी - ए = 4,
(सी - एबी = 5,
(-एसी = 2,

(ए = -1,
(बी = 3,
(सी = 2, यानी

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x + 1)(x 2 + 3x + 2).

समीकरण (x + 1)(x 2 + 3x + 2) = 0 के मूल खोजना आसान है।

उत्तर 1; -2.

4. उच्चतम और मुक्त गुणांक का उपयोग करके जड़ का चयन करने की विधि

यह विधि प्रमेयों के अनुप्रयोग पर आधारित है:

1) पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद का प्रत्येक पूर्णांक मूल मुक्त पद का भाजक होता है।

2) अघुलनशील भिन्न p/q (p एक पूर्णांक है, q एक प्राकृतिक संख्या है) को पूर्णांक गुणांक वाले समीकरण का मूल बनाने के लिए, यह आवश्यक है कि संख्या p मुक्त पद a 0 का पूर्णांक विभाजक हो, और q अग्रणी गुणांक का प्राकृतिक विभाजक है।

उदाहरण 1।

6x 3 + 7x 2 – 9x + 2 = 0.

समाधान:

6: क्यू = 1, 2, 3, 6.

इसलिए, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6।

एक मूल खोजने के बाद, उदाहरण के लिए - 2, हम कोने के विभाजन, अनिश्चित गुणांक की विधि या हॉर्नर की योजना का उपयोग करके अन्य जड़ें ढूंढेंगे।

उत्तर:-2; 1/2; 1/3.

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