तीन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना। तीन या अधिक संख्याओं का सिर हिलाना और सिर हिलाना

एलसीएम (न्यूनतम समापवर्त्य) कैसे ज्ञात करें

दो पूर्णांकों का एक सामान्य गुणज एक पूर्णांक होता है जो बिना कोई शेष छोड़े दोनों दी गई संख्याओं से समान रूप से विभाज्य होता है।

दो पूर्णांकों का लघुत्तम समापवर्त्य सभी पूर्णांकों में सबसे छोटा होता है जो बिना कोई शेष छोड़े दोनों दी गई संख्याओं से विभाज्य होता है।

विधि 1. आप दी गई प्रत्येक संख्या के लिए एलसीएम पा सकते हैं, उन सभी संख्याओं को आरोही क्रम में लिखकर, जो उन्हें 1, 2, 3, 4, इत्यादि से गुणा करके प्राप्त की जाती हैं।

उदाहरणसंख्या 6 और 9 के लिए.
हम संख्या 6 को क्रमिक रूप से 1, 2, 3, 4, 5 से गुणा करते हैं।
हमें मिलता है: 6, 12, 18 , 24, 30
हम संख्या 9 को क्रमिक रूप से 1, 2, 3, 4, 5 से गुणा करते हैं।
हमें मिलता है: 9, 18 , 27, 36, 45
जैसा कि आप देख सकते हैं, संख्या 6 और 9 का एलसीएम 18 के बराबर होगा।

यह विधि तब सुविधाजनक होती है जब दोनों संख्याएँ छोटी हों और उन्हें पूर्णांकों के अनुक्रम से गुणा करना आसान हो। हालाँकि, ऐसे मामले भी होते हैं जब आपको दो-अंकीय या तीन-अंकीय संख्याओं के लिए एलसीएम खोजने की आवश्यकता होती है, और तब भी जब तीन या उससे अधिक प्रारंभिक संख्याएँ होती हैं।

विधि 2. आप मूल संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके एलसीएम पा सकते हैं।
अपघटन के बाद, परिणामी श्रृंखला से अभाज्य कारकों को हटाना आवश्यक है समान संख्याएँ. पहली संख्या की शेष संख्याएँ दूसरी के लिए गुणक होंगी, और दूसरी की शेष संख्याएँ पहली के लिए गुणक होंगी।

उदाहरणसंख्या 75 और 60 के लिए.
संख्याओं 75 और 60 का लघुत्तम समापवर्त्य इन संख्याओं के गुणजों को एक पंक्ति में लिखे बिना पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आइए 75 और 60 को सरल कारकों में विभाजित करें:
75 = 3 * 5 *5, ए
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
जैसा कि आप देख सकते हैं, कारक 3 और 5 दोनों पंक्तियों में दिखाई देते हैं। हम मानसिक रूप से उन्हें "क्रॉस आउट" करते हैं।
आइए इनमें से प्रत्येक संख्या के विस्तार में शामिल शेष कारकों को लिखें। संख्या 75 को विघटित करने पर हमारे पास संख्या 5 बचती है और संख्या 60 को विघटित करने पर हमारे पास 2*2 बचता है
इसका मतलब यह है कि संख्या 75 और 60 के लिए एलसीएम निर्धारित करने के लिए, हमें 75 (यह 5 है) के विस्तार से शेष संख्याओं को 60 से गुणा करना होगा, और 60 के विस्तार से शेष संख्याओं को गुणा करना होगा (यह 2 है) *2) 75 से। यानी समझने में आसानी के लिए हम कहते हैं कि हम "आड़े-तिरछे" गुणा कर रहे हैं।
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
इस प्रकार हमने संख्या 60 और 75 के लिए एलसीएम पाया। यह संख्या 300 है।

उदाहरण. संख्या 12, 16, 24 के लिए एलसीएम निर्धारित करें
इस मामले में, हमारे कार्य कुछ अधिक जटिल होंगे। लेकिन पहले, हमेशा की तरह, आइए सभी संख्याओं का गुणनखंड करें
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
एलसीएम को सही ढंग से निर्धारित करने के लिए, हम सभी संख्याओं में से सबसे छोटी संख्या का चयन करते हैं (यह संख्या 12 है) और क्रमिक रूप से इसके कारकों से गुजरते हैं, यदि संख्याओं की अन्य पंक्तियों में से कम से कम एक में हमें वही कारक मिलता है जो अभी तक नहीं आया है काट दिया गया.

स्टेप 1 । हम देखते हैं कि 2 * 2 संख्याओं की सभी श्रृंखलाओं में होता है। आइए उन्हें पार करें।
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

चरण 2. संख्या 12 के अभाज्य गुणनखंडों में केवल संख्या 3 ही रहती है, लेकिन यह संख्या 24 के अभाज्य गुणनखंडों में मौजूद होती है। हम संख्या 3 को दोनों पंक्तियों से काट देते हैं, जबकि संख्या 16 के लिए कोई कार्रवाई अपेक्षित नहीं है। .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

जैसा कि आप देख सकते हैं, संख्या 12 को विघटित करते समय, हमने सभी संख्याओं को "काट" दिया। इसका मतलब है कि एलओसी की खोज पूरी हो गई है। जो कुछ बचा है वह इसके मूल्य की गणना करना है।
संख्या 12 के लिए, संख्या 16 के शेष गुणनखंड लें (आरोही क्रम में अगला)
12 * 2 * 2 = 48
यह एनओसी है

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस मामले में, एलसीएम ढूंढना कुछ अधिक कठिन था, लेकिन जब आपको इसे तीन या अधिक संख्याओं के लिए खोजने की आवश्यकता होती है, यह विधिआपको इसे तेजी से करने की अनुमति देता है। हालाँकि, LCM ज्ञात करने की दोनों विधियाँ सही हैं।

आइए लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के तीन तरीकों पर गौर करें।

गुणनखंडन द्वारा ज्ञात करना

पहली विधि दी गई संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना है।

मान लीजिए कि हमें संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करना है: 99, 30 और 28। ऐसा करने के लिए, आइए इनमें से प्रत्येक संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें:

वांछित संख्या को 99, 30 और 28 से विभाजित करने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इसमें इन भाजक के सभी अभाज्य गुणनखंड शामिल हों। ऐसा करने के लिए, हमें इन संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों को अधिकतम संभव घात तक ले जाना होगा और उन्हें एक साथ गुणा करना होगा:

2 2 3 2 5 7 11 = 13,860

इस प्रकार, एलसीएम (99, 30, 28) = 13,860। 13,860 से कम कोई अन्य संख्या 99, 30, या 28 से विभाज्य नहीं है।

दी गई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, आप उन्हें उनके अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें, फिर प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड को उसके सबसे बड़े घातांक के साथ लें, और उन गुणनखंडों को एक साथ गुणा करें।

चूँकि अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याओं में उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं होते हैं, इसलिए उनका लघुत्तम समापवर्त्य इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, तीन संख्याएँ: 20, 49 और 33 अपेक्षाकृत अभाज्य हैं। इसीलिए

एलसीएम (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340।

विभिन्न अभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करते समय भी ऐसा ही किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, एलसीएम (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231।

चयन द्वारा ढूँढना

दूसरी विधि चयन द्वारा लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना है।

उदाहरण 1. जब दी गई संख्याओं में से सबसे बड़ी संख्या को किसी अन्य संख्या से विभाजित किया जाता है, तो इन संख्याओं का एलसीएम उनमें से सबसे बड़ी संख्या के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, चार संख्याएँ दी गई हैं: 60, 30, 10 और 6। उनमें से प्रत्येक 60 से विभाज्य है, इसलिए:

एलसीएम(60, 30, 10, 6) = 60

अन्य मामलों में, लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, निम्नलिखित प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है:

1. दी गई संख्याओं में से सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।
2. इसके बाद, हम उन संख्याओं को ज्ञात करते हैं जो सबसे बड़ी संख्या से गुणा करके उसके गुणज हैं पूर्णांकोंआरोही क्रम में और जाँच करें कि क्या शेष संख्याएँ परिणामी उत्पाद से विभाज्य हैं।

उदाहरण 2. तीन संख्याएँ 24, 3 और 18 दी गई हैं। हम उनमें से सबसे बड़ी संख्या निर्धारित करते हैं - यह संख्या 24 है। इसके बाद, हम वे संख्याएँ पाते हैं जो 24 के गुणज हैं, यह जाँचते हुए कि क्या उनमें से प्रत्येक 18 और 3 से विभाज्य है:

24 · 1 = 24 - 3 से विभाज्य, लेकिन 18 से विभाज्य नहीं।

24 · 2 = 48 - 3 से विभाज्य, लेकिन 18 से विभाज्य नहीं।

24 · 3 = 72 - 3 और 18 से विभाज्य।

इस प्रकार, एलसीएम (24, 3, 18) = 72.

क्रमिक रूप से एलसीएम ज्ञात करके ज्ञात करना

तीसरी विधि क्रमिक रूप से एलसीएम ज्ञात करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना है।

दो दी गई संख्याओं का एलसीएम इन संख्याओं के गुणनफल को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक से विभाजित करने के बराबर होता है।

उदाहरण 1. दो दी गई संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करें: 12 और 8। उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक निर्धारित करें: जीसीडी (12, 8) = 4। इन संख्याओं को गुणा करें:

हम उत्पाद को उनकी जीसीडी द्वारा विभाजित करते हैं:

इस प्रकार, एलसीएम (12, 8) = 24।

तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, निम्नलिखित प्रक्रिया का उपयोग करें:

1. सबसे पहले, इनमें से किन्हीं दो संख्याओं का LCM ज्ञात करें।
2. फिर, पाए गए लघुत्तम समापवर्त्य का LCM और तीसरी दी गई संख्या।
3. फिर, परिणामी लघुत्तम समापवर्त्य और चौथी संख्या का एलसीएम, आदि।
4. इस प्रकार, LCM की खोज तब तक जारी रहती है जब तक संख्याएँ मौजूद हैं।

उदाहरण 2. आइए दी गई तीन संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करें: 12, 8 और 9. हमने पिछले उदाहरण में संख्या 12 और 8 का एलसीएम पहले ही पा लिया है (यह संख्या 24 है)। संख्या 24 और दी गई तीसरी संख्या - 9 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना बाकी है। उनका सबसे बड़ा समापवर्तक ज्ञात कीजिए: जीसीडी (24, 9) = 3। एलसीएम को संख्या 9 से गुणा करें:

हम उत्पाद को उनकी जीसीडी द्वारा विभाजित करते हैं:

इस प्रकार, एलसीएम (12, 8, 9) = 72.

दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य सीधे तौर पर उन संख्याओं के सबसे बड़े समापवर्तक से संबंधित होता है। यह जीसीडी और एनओसी के बीच संबंधनिम्नलिखित प्रमेय द्वारा निर्धारित किया जाता है।

प्रमेय.

दो धनात्मक पूर्णांकों a और b का लघुत्तम समापवर्तक a और b के सबसे बड़े उभयनिष्ठ विभाजक द्वारा विभाजित a और b के गुणनफल के बराबर है, अर्थात, एलसीएम(ए, बी)=ए बी:जीसीडी(ए, बी).

सबूत।

होने देना M, संख्याओं a और b का कुछ गुणज है। अर्थात्, M, a से विभाज्य है, और विभाज्यता की परिभाषा के अनुसार, कुछ पूर्णांक k है जैसे कि समानता M=a·k सत्य है। लेकिन M, b से भी विभाज्य है, तो a·k, b से विभाज्य है।

आइए gcd(a, b) को d के रूप में निरूपित करें। तब हम समानताएँ a=a 1 ·d और b=b 1 ·d लिख सकते हैं, और a 1 =a:d और b 1 =b:d अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ होंगी। नतीजतन, पिछले पैराग्राफ में प्राप्त शर्त कि a · k, b से विभाज्य है, को निम्नानुसार पुनर्निर्मित किया जा सकता है: a 1 · d · k को b 1 · d से विभाजित किया गया है, और यह, विभाज्यता गुणों के कारण, स्थिति के बराबर है कि a 1 · k, b 1 से विभाज्य है।

आपको विचारित प्रमेय से दो महत्वपूर्ण परिणाम भी लिखने होंगे।

दो संख्याओं के सामान्य गुणज उनके लघुत्तम समापवर्त्य के गुणजों के समान होते हैं।

यह वास्तव में मामला है, क्योंकि संख्याओं ए और बी के एम के किसी भी सामान्य गुणक को कुछ पूर्णांक मान टी के लिए समानता एम = एलएमके (ए, बी)·टी द्वारा निर्धारित किया जाता है।

सहअभाज्य का लघुत्तम समापवर्त्य सकारात्मक संख्याए और बी उनके उत्पाद के बराबर हैं।

इस तथ्य का तर्क बिल्कुल स्पष्ट है। चूँकि a और b अपेक्षाकृत अभाज्य हैं, तो gcd(a, b)=1, इसलिए, GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने को क्रमिक रूप से दो संख्याओं का LCM ज्ञात करने तक कम किया जा सकता है। यह कैसे किया जाता है यह निम्नलिखित प्रमेय में दर्शाया गया है। और चूँकि संख्या m k का सबसे छोटा धनात्मक गुणज संख्या m k ही है, तो संख्याओं a 1, a 2, ..., a k का सबसे छोटा सामान्य गुणज m k है।

ग्रंथ सूची.

• विलेनकिन एन.वाई.ए. और अन्य। छठी कक्षा: सामान्य शिक्षा संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक।
• विनोग्रादोव आई.एम. संख्या सिद्धांत के मूल सिद्धांत.
• मिखेलोविच श.एच. संख्या सिद्धांत।
• कुलिकोव एल.वाई.ए. और अन्य। बीजगणित और संख्या सिद्धांत में समस्याओं का संग्रह: ट्यूटोरियलभौतिकी और गणित के छात्रों के लिए। शैक्षणिक संस्थानों की विशिष्टताएँ।

हम उन संख्याओं को कहते हैं जो 10 के 10 गुणकों से विभाज्य होती हैं। उदाहरण के लिए, 30 या 50, 10 के गुणज हैं। 28, 14 का गुणज है। जो संख्याएँ 10 और 14 दोनों से विभाज्य होती हैं, उन्हें स्वाभाविक रूप से 10 और 14 के सामान्य गुणज कहा जाता है।

हम जितने चाहें उतने सामान्य गुणज ढूंढ सकते हैं। उदाहरण के लिए, 140, 280, आदि।

एक स्वाभाविक प्रश्न यह है: सबसे छोटा समापवर्त्य, लघुत्तम समापवर्त्य कैसे खोजा जाए?

10 और 14 के लिए पाए गए गुणजों में से, अब तक का सबसे छोटा गुणज 140 है। लेकिन क्या यह सबसे छोटा सामान्य गुणज है?

आइए अपनी संख्याओं का गुणनखंड करें:

आइए एक ऐसी संख्या बनाएं जो 10 और 14 से विभाज्य हो। 10 से विभाज्य होने के लिए, आपके पास 2 और 5 के गुणनखंड होने चाहिए। 14 से विभाज्य होने के लिए, आपके पास 2 और 7 के गुणनखंड होने चाहिए। लेकिन 2 पहले से ही मौजूद है, आपको बस 7 जोड़ना है। परिणामी संख्या 70, 10 और 14 का सामान्य गुणज है। हालाँकि, इससे छोटी संख्या बनाना संभव नहीं होगा ताकि यह भी एक सामान्य गुणज हो।

तो यही है न्यूनतम समापवर्तक. इसके लिए हम एनओसी नोटेशन का उपयोग करते हैं।

आइए संख्या 182 और 70 के लिए जीसीडी और एलसीएम खोजें।

अपने लिए गणना करें:

3.

हम जाँच:

यह समझने के लिए कि जीसीडी और एलसीएम क्या हैं, आप गुणनखंडन के बिना नहीं कर सकते। लेकिन, जब हम पहले से ही समझ जाते हैं कि यह क्या है, तो हर बार इसे ध्यान में रखना आवश्यक नहीं है।

उदाहरण के लिए:

आप आसानी से सत्यापित कर सकते हैं कि दो संख्याओं के लिए, जहां एक दूसरे से विभाज्य है, छोटी संख्या उनकी जीसीडी है और बड़ी संख्या उनका एलसीएम है। स्वयं को समझाने का प्रयास करें कि ऐसा क्यों है।

एक पिता के कदम की लंबाई 70 सेमी है, और एक छोटी बेटी के कदम की लंबाई 15 सेमी है, वे उसी निशान पर अपने पैरों के साथ चलना शुरू करते हैं। उनके पैर फिर से समतल होने से पहले वे कितनी दूर तक चलेंगे?

पिताजी और बेटी चलना शुरू करते हैं। सबसे पहले, पैर एक ही निशान पर हैं। कुछ कदम चलने के बाद उनके पैर उसी स्तर पर आ गये। इसका मतलब यह है कि पिता और बेटी दोनों को इस मुकाम तक पहुंचने के लिए कई सीढ़ियां मिलीं। इसका मतलब यह है कि उससे दूरी को पिता और बेटी दोनों के कदम की लंबाई से विभाजित किया जाना चाहिए।

अर्थात्, हमें खोजना होगा:

यानी 210 सेमी = 2 मीटर 10 सेमी में ऐसा होगा.

यह समझना कठिन नहीं है कि पिता 3 कदम उठाएगा और बेटी 14 कदम चलाएगी (चित्र 1)।

चावल। 1. समस्या के लिए चित्रण

समस्या 1

पेट्या के VKontakte नेटवर्क पर 100 मित्र हैं, और वान्या के 200 मित्र हैं। पेट्या और वान्या के कुल कितने मित्र हैं, यदि उनके 30 पारस्परिक मित्र हैं?

उत्तर 300 ग़लत है, क्योंकि हो सकता है उन्होंने ऐसा किया हो परस्पर मित्र.

आइए इस समस्या को ऐसे सुलझाएं. आइए पेट्या के सभी दोस्तों के एक समूह का चित्रण करें। आइए वान्या के कई दोस्तों को दूसरे, बड़े घेरे में चित्रित करें।

इन मंडलियों का एक सामान्य भाग होता है। वहाँ परस्पर मित्र हैं। इस सामान्य भाग को दो सेटों का "प्रतिच्छेदन" कहा जाता है। अर्थात्, पारस्परिक मित्रों का समुच्चय सभी के मित्रों के समुच्चयों का प्रतिच्छेदन है।

चावल। 2. अनेक मित्रों की मंडली

यदि 30 परस्पर मित्र हैं, तो बाईं ओर 70 केवल पेटिना के मित्र हैं, और 170 केवल वनीना के मित्र हैं (चित्र 2 देखें)।

कुल कितना?

दो वृत्तों से युक्त संपूर्ण बड़े समुच्चय को दो समुच्चयों का मिलन कहा जाता है।

वास्तव में, वीके स्वयं हमारे लिए दो सेटों के प्रतिच्छेदन की समस्या को हल करता है; जब आप किसी अन्य व्यक्ति के पेज पर जाते हैं तो यह तुरंत कई पारस्परिक मित्रों को इंगित करता है।

दो संख्याओं के जीसीडी और एलसीएम की स्थिति बहुत समान है।

समस्या 2

दो संख्याओं पर विचार करें: 126 और 132।

आइए हम उनके अभाज्य गुणनखंडों को वृत्तों में चित्रित करें (चित्र 3 देखें)।

चावल। 3. अभाज्य गुणनखंडों वाले वृत्त

समुच्चयों का प्रतिच्छेदन उनका उभयनिष्ठ भाजक है। जीसीडी में वे शामिल हैं।

दो सेटों का मिलन हमें LCM देता है।

ग्रन्थसूची

1. विलेनकिन एन.वाई.ए., झोखोव वी.आई., चेस्नोकोव ए.एस., श्वार्ट्सबर्ड एस.आई. गणित 6. - एम.: मेनेमोसिन, 2012।

2. मर्ज़लियाक ए.जी., पोलोनस्की वी.वी., याकिर एम.एस. गणित छठी कक्षा. - व्यायामशाला। 2006.

3. डेपमैन आई.वाई.ए., विलेनकिन एन.वाई.ए. गणित की पाठ्यपुस्तक के पन्नों के पीछे। - एम.: शिक्षा, 1989।

4. रुरुकिन ए.एन., त्चिकोवस्की आई.वी. ग्रेड 5-6 के लिए गणित पाठ्यक्रम के लिए असाइनमेंट। - एम.: जेडएसएच एमईपीएचआई, 2011।

5. रुरुकिन ए.एन., सोचिलोव एस.वी., त्चिकोवस्की के.जी. गणित 5-6. एमईपीएचआई पत्राचार विद्यालय में छठी कक्षा के छात्रों के लिए एक मैनुअल। - एम.: जेडएसएच एमईपीएचआई, 2011।

6. शेवरिन एल.एन., गेइन ए.जी., कोर्याकोव आई.ओ., वोल्कोव एम.वी. गणित: ग्रेड 5-6 के लिए पाठ्यपुस्तक-वार्ताकार हाई स्कूल. - एम.: शिक्षा, गणित शिक्षक पुस्तकालय, 1989।

3. वेबसाइट "स्कूल सहायक" ()

गृहकार्य

1. बंदरगाह शहर में तीन पर्यटक नाव यात्राएँ शुरू होती हैं, जिनमें से पहली 15 दिन, दूसरी - 20 और तीसरी - 12 दिन तक चलती है। बंदरगाह पर लौटने के बाद, जहाज उसी दिन फिर से रवाना हुए। आज तीनों मार्गों पर जहाज बंदरगाह से रवाना हुए। वे कितने दिनों में पहली बार एक साथ फिर से यात्रा करेंगे? प्रत्येक जहाज कितनी यात्राएँ करेगा?

2. संख्याओं का LCM ज्ञात करें:

3. लघुत्तम समापवर्त्य के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए:

और अगर: , , .

ऑनलाइन कैलकुलेटरआपको दो और किसी भी अन्य संख्या के सबसे बड़े सामान्य विभाजक और सबसे छोटे सामान्य गुणज को तुरंत खोजने की अनुमति देता है।

जीसीडी और एलसीएम खोजने के लिए कैलकुलेटर

जीसीडी और एलओसी खोजें

जीसीडी और एलओसी मिला: 11074

कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

• इनपुट फ़ील्ड में नंबर दर्ज करें
• यदि आप गलत वर्ण दर्ज करते हैं, तो इनपुट फ़ील्ड लाल रंग में हाइलाइट हो जाएगी
• "जीसीडी और एलसीएम ढूंढें" बटन पर क्लिक करें

नंबर कैसे दर्ज करें

• संख्याओं को रिक्त स्थान, अवधि या अल्पविराम से अलग करके दर्ज किया जाता है
• दर्ज संख्याओं की लंबाई सीमित नहीं है, इसलिए लंबी संख्याओं का GCD और LCM ज्ञात करना कठिन नहीं है

जीसीडी और एनओसी क्या हैं?

महत्तम सामान्य भाजकअनेक संख्याएँ सबसे बड़ा प्राकृतिक पूर्णांक है जिससे सभी मूल संख्याएँ बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती हैं। सबसे बड़े सामान्य भाजक को संक्षिप्त रूप में कहा जाता है जीसीडी.
न्यूनतम समापवर्तककई संख्या है सबसे छोटी संख्या, जो बिना किसी शेषफल के प्रत्येक मूल संख्या से विभाज्य है। लघुत्तम समापवर्त्य को इस प्रकार संक्षिप्त किया जाता है अनापत्ति प्रमाण पत्र.

यह कैसे जांचें कि कोई संख्या किसी अन्य संख्या से बिना किसी शेषफल के विभाज्य है?

यह पता लगाने के लिए कि क्या एक संख्या बिना किसी शेषफल के दूसरी संख्या से विभाज्य है, आप संख्याओं की विभाज्यता के कुछ गुणों का उपयोग कर सकते हैं। फिर, उन्हें संयोजित करके, आप उनमें से कुछ की विभाज्यता और उनके संयोजन की जांच कर सकते हैं।

संख्याओं की विभाज्यता के कुछ लक्षण

1. किसी संख्या के लिए 2 से विभाज्यता परीक्षण
यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई संख्या दो से विभाज्य है (चाहे वह सम हो), इस संख्या के अंतिम अंक को देखना पर्याप्त है: यदि यह 0, 2, 4, 6 या 8 के बराबर है, तो संख्या सम है, जिसका अर्थ है कि यह 2 से विभाज्य है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि संख्या 34938 2 से विभाज्य है या नहीं।
समाधान:हम अंतिम अंक देखते हैं: 8 - इसका मतलब है कि संख्या दो से विभाज्य है।

2. किसी संख्या का 3 से विभाज्यता परीक्षण
कोई संख्या 3 से विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग तीन से विभाज्य हो। इस प्रकार, यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई संख्या 3 से विभाज्य है, आपको अंकों के योग की गणना करने और यह जांचने की आवश्यकता है कि क्या यह 3 से विभाज्य है। भले ही अंकों का योग बहुत बड़ा हो, आप उसी प्रक्रिया को दोबारा दोहरा सकते हैं।
उदाहरण:निर्धारित करें कि संख्या 34938 3 से विभाज्य है या नहीं।
समाधान:हम संख्याओं का योग गिनते हैं: 3+4+9+3+8 = 27. 27 3 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या तीन से विभाज्य है।

3. किसी संख्या का 5 से विभाज्यता परीक्षण
कोई संख्या 5 से विभाज्य होती है जब उसका अंतिम अंक शून्य या पांच हो।
उदाहरण:निर्धारित करें कि संख्या 34938 5 से विभाज्य है या नहीं।
समाधान:अंतिम अंक देखें: 8 का अर्थ है कि संख्या पाँच से विभाज्य नहीं है।

4. किसी संख्या का 9 से विभाज्यता परीक्षण
यह चिन्ह तीन से विभाज्यता के चिन्ह के समान है: एक संख्या 9 से विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य होता है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि संख्या 34938 9 से विभाज्य है या नहीं।
समाधान:हम संख्याओं का योग गिनते हैं: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 9 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या नौ से विभाज्य है।

दो संख्याओं का GCD और LCM कैसे ज्ञात करें

दो नंबरों की जीसीडी कैसे पता करें

अधिकांश सरल तरीके सेदो संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य भाजक की गणना करने का अर्थ है इन संख्याओं के सभी संभावित भाजक ढूंढना और उनमें से सबसे बड़े का चयन करना।

आइए जीसीडी(28, 36) खोजने के उदाहरण का उपयोग करके इस विधि पर विचार करें:

1. हम दोनों संख्याओं का गुणनखंड करते हैं: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. हम सामान्य गुणनखंड ढूंढते हैं, अर्थात् वे जो दोनों संख्याओं में हैं: 1, 2 और 2।
3. हम इन कारकों के उत्पाद की गणना करते हैं: 1 2 2 = 4 - यह संख्या 28 और 36 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है।

दो संख्याओं का एलसीएम कैसे ज्ञात करें

दो संख्याओं का लघुत्तम गुणज ज्ञात करने के दो सबसे सामान्य तरीके हैं। पहली विधि यह है कि आप दो संख्याओं के पहले गुणजों को लिख सकते हैं, और फिर उनमें से एक ऐसी संख्या चुन सकते हैं जो दोनों संख्याओं में उभयनिष्ठ हो और साथ ही सबसे छोटी हो। और दूसरा इन नंबरों की gcd ज्ञात करना है। आइये इस पर ही विचार करें.

एलसीएम की गणना करने के लिए, आपको मूल संख्याओं के उत्पाद की गणना करनी होगी और फिर इसे पहले पाए गए जीसीडी से विभाजित करना होगा। आइए समान संख्या 28 और 36 के लिए LCM ज्ञात करें:

1. संख्या 28 और 36 का गुणनफल ज्ञात कीजिए: 28·36 = 1008
2. जीसीडी(28, 36), जैसा कि पहले से ज्ञात है, 4 के बराबर है
3. एलसीएम(28, 36) = 1008/4 = 252।

कई संख्याओं के लिए जीसीडी और एलसीएम ढूँढना

सबसे बड़ा सामान्य भाजक केवल दो नहीं, बल्कि कई संख्याओं के लिए पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, सबसे बड़े सामान्य भाजक के लिए पाई जाने वाली संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाता है, फिर इन संख्याओं के सामान्य अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल पाया जाता है। आप कई संख्याओं की gcd ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित संबंध का भी उपयोग कर सकते हैं: जीसीडी(ए, बी, सी) = जीसीडी(जीसीडी(ए, बी), सी).

एक समान संबंध लघुत्तम समापवर्त्य पर लागू होता है: एलसीएम(ए, बी, सी) = एलसीएम(एलसीएम(ए, बी), सी)

उदाहरण:संख्या 12, 32 और 36 के लिए जीसीडी और एलसीएम खोजें।

1. सबसे पहले, आइए संख्याओं का गुणनखंड करें: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. आइए सामान्य गुणनखंड खोजें: 1, 2 और 2।
3. उनका उत्पाद GCD देगा: 1·2·2 = 4
4. आइए अब एलसीएम ढूंढें: ऐसा करने के लिए, आइए पहले एलसीएम(12, 32): 12·32 / 4 = 96 ढूंढें।
5. तीनों संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, आपको GCD(96, 36) ज्ञात करना होगा: 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
6. एलसीएम(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.