किसी सम्मिश्र संख्या को भिन्नात्मक घात तक बढ़ाना। सम्मिश्र संख्याओं को घातों तक बढ़ाना
आइए अपने पसंदीदा वर्ग से शुरुआत करें।
उदाहरण 9
किसी सम्मिश्र संख्या का वर्ग करें
यहां आप दो तरीकों से जा सकते हैं, पहला तरीका यह है कि डिग्री को कारकों के उत्पाद के रूप में फिर से लिखें और बहुपदों को गुणा करने के नियम के अनुसार संख्याओं को गुणा करें।
दूसरी विधि संक्षिप्त गुणन के लिए प्रसिद्ध स्कूल सूत्र का उपयोग करना है:
किसी सम्मिश्र संख्या के लिए अपना स्वयं का संक्षिप्त गुणन सूत्र प्राप्त करना आसान है:
अंतर के वर्ग के साथ-साथ योग के घन और अंतर के घन के लिए भी एक समान सूत्र प्राप्त किया जा सकता है। लेकिन ये सूत्र जटिल विश्लेषण समस्याओं के लिए अधिक प्रासंगिक हैं। यदि आपको किसी सम्मिश्र संख्या को, मान लीजिए, 5वीं, 10वीं या 100वीं घात तक बढ़ाने की आवश्यकता हो तो क्या होगा? यह स्पष्ट है कि बीजगणितीय रूप में ऐसी चाल को निष्पादित करना वास्तव में लगभग असंभव है, इस बारे में सोचें कि आप इस तरह के उदाहरण को कैसे हल करेंगे?
और यहाँ एक जटिल संख्या का त्रिकोणमितीय रूप बचाव के लिए आता है और तथाकथित मोइवरे का सूत्र: यदि किसी सम्मिश्र संख्या को त्रिकोणमितीय रूप में दर्शाया जाता है, तो जब इसे प्राकृतिक घात तक बढ़ाया जाता है, तो निम्नलिखित सूत्र मान्य होता है:
यह बिल्कुल अपमानजनक है.
उदाहरण 10
एक सम्मिश्र संख्या दी गई है, ज्ञात कीजिए।
क्या किया जाने की जरूरत है? सबसे पहले आपको इस संख्या को त्रिकोणमितीय रूप में प्रस्तुत करना होगा। चौकस पाठकों ने देखा होगा कि उदाहरण 8 में हम पहले ही यह कर चुके हैं:
फिर, मोइवरे के सूत्र के अनुसार:
भगवान न करें, आपको कैलकुलेटर पर भरोसा करने की ज़रूरत नहीं है, लेकिन ज्यादातर मामलों में कोण को सरल बनाया जाना चाहिए। सरलीकरण कैसे करें? लाक्षणिक रूप से कहें तो, आपको अनावश्यक घुमावों से छुटकारा पाने की आवश्यकता है। एक क्रांति एक रेडियन या 360 डिग्री है। आइए जानें कि हमारी बहस में कितने मोड़ हैं। सुविधा के लिए, हम अंश को सही बनाते हैं:, जिसके बाद यह स्पष्ट रूप से दिखाई देने लगता है कि आप एक चक्कर कम कर सकते हैं:। मुझे आशा है कि हर कोई यह समझेगा कि यह वही कोण है।
इस प्रकार, अंतिम उत्तर इस प्रकार लिखा जाएगा:
घातांक समस्या का एक अलग रूप विशुद्ध रूप से काल्पनिक संख्याओं का घातांक है।
उदाहरण 12
सम्मिश्र संख्याओं को घातों तक बढ़ाएँ
यहां भी, सब कुछ सरल है, मुख्य बात प्रसिद्ध समानता को याद रखना है।
यदि काल्पनिक इकाई को सम घात तक बढ़ाया जाता है, तो समाधान तकनीक इस प्रकार है:
यदि काल्पनिक इकाई को एक विषम शक्ति तक बढ़ाया जाता है, तो हम एक को "चुटकी" देते हैं और, एक समान शक्ति प्राप्त करते हैं:
यदि कोई ऋण (या कोई वास्तविक गुणांक) है, तो उसे पहले अलग किया जाना चाहिए:
सम्मिश्र संख्याओं से मूल निकालना. जटिल जड़ों वाला द्विघात समीकरण
आइए एक उदाहरण देखें:
जड़ नहीं निकाल सकते? अगर हम वास्तविक संख्याओं के बारे में बात कर रहे हैं, तो यह वास्तव में असंभव है। सम्मिश्र संख्याओं का मूल निकालना संभव है! ज्यादा ठीक, दोजड़:
क्या जड़ें वास्तव में समीकरण का हल पाई गई हैं? की जाँच करें:
जिसे जांचने की जरूरत है.
एक संक्षिप्त संकेतन का अक्सर उपयोग किया जाता है; दोनों जड़ों को "एक ही कंघी" के नीचे एक पंक्ति में लिखा जाता है:।
इन जड़ों को भी कहा जाता है जटिल जड़ों को संयुग्मित करें.
मुझे लगता है कि हर कोई समझता है कि ऋणात्मक संख्याओं से वर्गमूल कैसे निकाला जाता है: ,,,, आदि। सभी मामलों में ऐसा ही होता है दोजटिल जड़ों को संयुग्मित करें।
उदाहरण 13
द्विघात समीकरण हल करें
आइए विभेदक की गणना करें:
विवेचक नकारात्मक है, और समीकरण का वास्तविक संख्याओं में कोई हल नहीं है। लेकिन जड़ को सम्मिश्र संख्याओं में निकाला जा सकता है!
प्रसिद्ध स्कूल फ़ार्मुलों का उपयोग करके, हमें दो जड़ें प्राप्त होती हैं: - संयुग्मित जटिल जड़ें
इस प्रकार, समीकरण में दो संयुग्मित जटिल जड़ें हैं:,
अब आप किसी भी द्विघात समीकरण को हल कर सकते हैं!
सामान्य तौर पर, "एनवें" डिग्री के बहुपद वाले किसी भी समीकरण की जड़ें समान होती हैं, जिनमें से कुछ जटिल हो सकती हैं।
स्वयं हल करने के लिए एक सरल उदाहरण:
उदाहरण 14
समीकरण के मूल खोजें और द्विघात द्विपद का गुणनखंड करें।
मानक स्कूल फॉर्मूले के अनुसार गुणनखंडन फिर से किया जाता है।
आइए अपने पसंदीदा वर्ग से शुरुआत करें।
उदाहरण 9
किसी सम्मिश्र संख्या का वर्ग करें
यहां आप दो तरीकों से जा सकते हैं, पहला तरीका यह है कि डिग्री को कारकों के उत्पाद के रूप में फिर से लिखें और बहुपदों को गुणा करने के नियम के अनुसार संख्याओं को गुणा करें।
दूसरी विधि संक्षिप्त गुणन के लिए प्रसिद्ध स्कूल सूत्र का उपयोग करना है:
किसी सम्मिश्र संख्या के लिए अपना स्वयं का संक्षिप्त गुणन सूत्र प्राप्त करना आसान है:
अंतर के वर्ग के साथ-साथ योग के घन और अंतर के घन के लिए भी एक समान सूत्र प्राप्त किया जा सकता है। लेकिन ये सूत्र जटिल विश्लेषण समस्याओं के लिए अधिक प्रासंगिक हैं। यदि आपको किसी सम्मिश्र संख्या को, मान लीजिए, 5वीं, 10वीं या 100वीं घात तक बढ़ाने की आवश्यकता हो तो क्या होगा? यह स्पष्ट है कि बीजगणितीय रूप में ऐसी चाल को निष्पादित करना वास्तव में लगभग असंभव है, इस बारे में सोचें कि आप इस तरह के उदाहरण को कैसे हल करेंगे?
और यहाँ एक जटिल संख्या का त्रिकोणमितीय रूप बचाव के लिए आता है और तथाकथित मोइवरे का सूत्र: यदि किसी सम्मिश्र संख्या को त्रिकोणमितीय रूप में दर्शाया जाता है, तो जब इसे प्राकृतिक घात तक बढ़ाया जाता है, तो निम्नलिखित सूत्र मान्य होता है:
यह बिल्कुल अपमानजनक है.
उदाहरण 10
एक सम्मिश्र संख्या दी गई है, ज्ञात कीजिए।
क्या किया जाने की जरूरत है? सबसे पहले आपको इस संख्या को त्रिकोणमितीय रूप में प्रस्तुत करना होगा। चौकस पाठकों ने देखा होगा कि उदाहरण 8 में हम पहले ही यह कर चुके हैं:
फिर, मोइवरे के सूत्र के अनुसार:
भगवान न करें, आपको कैलकुलेटर पर भरोसा करने की ज़रूरत नहीं है, लेकिन ज्यादातर मामलों में कोण को सरल बनाया जाना चाहिए। सरलीकरण कैसे करें? लाक्षणिक रूप से कहें तो, आपको अनावश्यक घुमावों से छुटकारा पाने की आवश्यकता है। एक क्रांति एक रेडियन या 360 डिग्री है। आइए जानें कि हमारी बहस में कितने मोड़ हैं। सुविधा के लिए, हम अंश को सही बनाते हैं:, जिसके बाद यह स्पष्ट रूप से दिखाई देने लगता है कि आप एक चक्कर कम कर सकते हैं:। मुझे आशा है कि हर कोई यह समझेगा कि यह वही कोण है।
इस प्रकार, अंतिम उत्तर इस प्रकार लिखा जाएगा:
घातांक समस्या का एक अलग रूप विशुद्ध रूप से काल्पनिक संख्याओं का घातांक है।
उदाहरण 12
सम्मिश्र संख्याओं को घातों तक बढ़ाएँ
यहां भी, सब कुछ सरल है, मुख्य बात प्रसिद्ध समानता को याद रखना है।
यदि काल्पनिक इकाई को सम घात तक बढ़ाया जाता है, तो समाधान तकनीक इस प्रकार है:
यदि काल्पनिक इकाई को एक विषम शक्ति तक बढ़ाया जाता है, तो हम एक को "चुटकी" देते हैं और, एक समान शक्ति प्राप्त करते हैं:
यदि कोई ऋण (या कोई वास्तविक गुणांक) है, तो उसे पहले अलग किया जाना चाहिए:
सम्मिश्र संख्याओं से मूल निकालना. जटिल जड़ों वाला द्विघात समीकरण
आइए एक उदाहरण देखें:
जड़ नहीं निकाल सकते? अगर हम वास्तविक संख्याओं के बारे में बात कर रहे हैं, तो यह वास्तव में असंभव है। सम्मिश्र संख्याओं का मूल निकालना संभव है! ज्यादा ठीक, दोजड़:
क्या जड़ें वास्तव में समीकरण का हल पाई गई हैं? की जाँच करें:
जिसे जांचने की जरूरत है.
एक संक्षिप्त संकेतन का अक्सर उपयोग किया जाता है; दोनों जड़ों को "एक ही कंघी" के नीचे एक पंक्ति में लिखा जाता है:।
इन जड़ों को भी कहा जाता है जटिल जड़ों को संयुग्मित करें.
मुझे लगता है कि हर कोई समझता है कि ऋणात्मक संख्याओं से वर्गमूल कैसे निकाला जाता है: ,,,, आदि। सभी मामलों में ऐसा ही होता है दोजटिल जड़ों को संयुग्मित करें।