ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ ಸಮಗ್ರ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ

ಉಪನ್ಯಾಸ ಸಂಖ್ಯೆ 4.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯ w=f(z) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೆಟ್ನ ಪ್ರದರ್ಶನವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ z- ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೆಟ್‌ಗೆ ವಿಮಾನಗಳು ಡಬ್ಲ್ಯೂ- ವಿಮಾನ. ಡಾಟ್ ಡಬ್ಲ್ಯೂÎ ಜಿಎಂದು ಕರೆದರು ದಾರಿ ಅಂಕಗಳು zಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದಾಗ w=f(z), ಪಾಯಿಂಟ್ zÎ ಡಿ – ಮೂಲಮಾದರಿ ಅಂಕಗಳು ಡಬ್ಲ್ಯೂ.

ಎಲ್ಲರೂ ಇದ್ದರೆ zಕೇವಲ ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ w=f(z), ನಂತರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧ (w=|z|,w=,w=ರೆ zಇತ್ಯಾದಿ) ಕೆಲವು ವೇಳೆ zಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಡಬ್ಲ್ಯೂ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಹುಶಬ್ದಾರ್ಥಕ (w=ಆರ್ಗ್ z).

ಒಂದು ವೇಳೆ (ಅಂದರೆ ಪ್ರದೇಶದ ವಿವಿಧ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಡಿಕಾರ್ಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ವಿಭಿನ್ನ ಅರ್ಥಗಳು), ನಂತರ ಕಾರ್ಯ ಡಬ್ಲ್ಯೂ=f(z) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕರೂಪಿ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಡಿ.

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯ ಡಬ್ಲ್ಯೂ=f(z) ಒಬ್ಬರಿಂದ ಒಬ್ಬರು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ ಡಿಮೇಲೆ ಜಿ. ಏಕ-ಹಾಳೆ ಪ್ರದರ್ಶನದೊಂದಿಗೆ ಡಬ್ಲ್ಯೂ=f(z) ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ವಿಲೋಮ ಚಿತ್ರ ಡಬ್ಲ್ಯೂÎ ಜಿಒಂದೇ ಅಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ: : . ಅದಕ್ಕೇ zವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಡಬ್ಲ್ಯೂ, ರಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಜಿ. ಇದನ್ನು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ .

ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಡಿಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಬಿಂದುಗಳಿವೆ, ನಂತರ ಕಾರ್ಯ f(z) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಹು ಎಲೆ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಡಿ.

ಪ್ರದರ್ಶನ ವೇಳೆ ಡಬ್ಲ್ಯೂ=f(z) ಮಲ್ಟಿಲೀಫ್ ಆನ್ ಆಗಿದೆ ಡಿ(ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಡಬ್ಲ್ಯೂ=z n), ನಂತರ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳು ಡಬ್ಲ್ಯೂÎ ಜಿಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಂಕಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ zÎ ಡಿ:f(z)=ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಏಕ-ಮೌಲ್ಯವಲ್ಲ, ಇದು ಬಹು-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರದೇಶದ ಮೇಲೆ ಒಂದೇ ಅಂಕೆ ಡಿಕಾರ್ಯ ಡಬ್ಲ್ಯೂ=f(z) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಹುಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯದ ಶಾಖೆಎಫ್, ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ fಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ zÎ ಡಿಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಫ್ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ.

ಬಹು-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯದ ಏಕ-ಮೌಲ್ಯದ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ: ಡಿಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಏಕರೂಪತೆಯ ಡೊಮೇನ್‌ಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ ಡಬ್ಲ್ಯೂ=f(z) ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪ್ರದೇಶಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಪಾಯಿಂಟ್ zÎ ಡಿಈ ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಗಡಿಗೆ ಸೇರಿದವು. ಏಕರೂಪತೆಯ ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಡೊಮೇನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಲೋಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಡಬ್ಲ್ಯೂ=f(z) ಇದು ಬಹು-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯದ ಏಕ-ಮೌಲ್ಯದ ಶಾಖೆಯಾಗಿದೆ.

ಕಾನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ಉದಾಹರಣೆ.ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಹಿಗ್ಗಿಸಲಾದ ಗುಣಾಂಕ ಮತ್ತು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ z=2iಪ್ರದರ್ಶಿಸುವಾಗ.

■ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೌಲ್ಯ .

ಸ್ಟ್ರೆಚ್ ಅನುಪಾತ ಕೆಉತ್ಪನ್ನದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ: .

ತಿರುಗುವ ಕೋನ ಜಉತ್ಪನ್ನದ ವಾದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ ನಾಲ್ಕನೇ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, . ■

ಉದಾಹರಣೆ 3.5.ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದಾಗ ವಿಮಾನದ ಯಾವ ಭಾಗವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ ಡಬ್ಲ್ಯೂ=z 2 ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಯಾವುದನ್ನು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ.

■ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಡಬ್ಲ್ಯೂ¢=2 z. ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒತ್ತಡದ ಅಂಶ zಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಕೆ=|ಡಬ್ಲ್ಯೂ¢( z)|=2|z|. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ ಕೆ>1, ಅಂದರೆ 2| z|>1 ಅಥವಾ , ಸಮತಲದ ಭಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದಾಗ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವಾಗ ಡಬ್ಲ್ಯೂ=z 2 ವೃತ್ತದ ಹೊರಭಾಗವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಒಳ ಭಾಗ- ಕುಗ್ಗುತ್ತದೆ. ■

ಪ್ರದರ್ಶನ ಡಬ್ಲ್ಯೂ=f(z) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅನುರೂಪ (ಅಂದರೆ, ಅದರ ಆಕಾರವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ) ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯ ನಿರಂತರ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ.

ಯಾವುದೇ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯ f(z) ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕನ್ಫರ್ಮಲ್ ಆಗಿದೆ.

ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ , ಈ ಪ್ರದೇಶದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತದಲ್ಲೂ ಇದು ಅನುರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ.

ಕೋನಗಳ ಉಲ್ಲೇಖದ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿರುವ ಒಂದು ಕಾನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ . ಕೋನಗಳ ದಿಕ್ಕನ್ನು ವ್ಯತಿರಿಕ್ತಗೊಳಿಸಿದ ಒಂದು ಕಾನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ΙΙ ಕುಲದ ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ,).

ಕಾನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅಭ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಡ್ಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆ ಅಥವಾ ಪ್ರದೇಶದ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮೊದಲ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ - ನೇರ ಕಾರ್ಯ .

ಎರಡನೆಯದು, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆ ಅಥವಾ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆ ಅಥವಾ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು - ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆ .

ನೇರ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಚಿತ್ರಣವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ z 0 ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದಾಗ ಡಬ್ಲ್ಯೂ=f(z) ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಡಬ್ಲ್ಯೂ 0, ಅಂತಹ ಡಬ್ಲ್ಯೂ 0 =f(z 0), ಅಂದರೆ, ಪರ್ಯಾಯದ ಫಲಿತಾಂಶ z 0 ಇಂಚು f(z) ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಸೆಟ್ನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಎರಡು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಡಬ್ಲ್ಯೂ=f(z), ಇತರವು ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ರೇಖೆಯ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಪೂರ್ವಚಿತ್ರದ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಅಸಮಾನತೆ, ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದರೆ. ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ zಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎರಡು ಅನುಪಾತಗಳಿಂದ.

ನಿಯಮ 3.3.ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ರೇಖೆಯ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಎಫ್(x,ವೈ)=0 (ಅಥವಾ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವೈ=ಜ(x)), ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವಾಗ ಡಬ್ಲ್ಯೂ=f(z) ಅಗತ್ಯ:

1. ಕಾರ್ಯದ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ f(z): ಯು=ರಿ f(z), v= Im f(z).

2. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಹೊರಗಿಡಿ Xಮತ್ತು ಯು.ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಂಬಂಧವು ಈ ಸಾಲಿನ ಚಿತ್ರದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ನಿಯಮ 3.4.ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವಾಗ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಾಲಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಡಬ್ಲ್ಯೂ=f(z) ಅಗತ್ಯ:

1. ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ z=z(ಟಿ) ಅಥವಾ ಒಳಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ರೂಪ .

2. ಸಾಲಿನ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ರೇಖೆಯನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದರೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬದಲಿಸಿ z(ಟಿ) ವಿ ಡಬ್ಲ್ಯೂ=f(z);

ರೇಖೆಯನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದರೆ, ನಂತರ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ zನಿಂದ ಡಬ್ಲ್ಯೂ=f(z), ಅಂದರೆ, ಮತ್ತು . ನಂತರ ನೀವು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಮಾಡಬೇಕು zಮತ್ತು ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಂಬಂಧವು ಈ ಸಾಲಿನ ಚಿತ್ರದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ನಿಯಮ 3.5.ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶದ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಹುಡುಕಲು, ನೀವು ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು.

ಮೊದಲ ದಾರಿ.

1. ಈ ಪ್ರದೇಶದ ಗಡಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ನಿಯಮಗಳು 3.3 ಅಥವಾ 3.4 ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶದ ಗಡಿಯ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

2. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ ಮತ್ತು ನೀಡಿರುವ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಬಿಂದುವು ಸೇರಿರುವ ಪ್ರದೇಶವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶದ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ.

ಎರಡನೇ ದಾರಿ.

1. ಎಕ್ಸ್ಪ್ರೆಸ್ zಅನುಪಾತದಿಂದ ಡಬ್ಲ್ಯೂ=f(z).

2. ಹಂತ 1 ರಲ್ಲಿ ನೀವು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದನ್ನು ಬದಲಿಸಿ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಅಸಮಾನತೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅನುಪಾತವು ಬಯಸಿದ ಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.ವೃತ್ತದ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ | z|=1 ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದಾಗ ಡಬ್ಲ್ಯೂ=z 2 .

■ 1 ದಾರಿ(ನಿಯಮ 3.3 ರ ಪ್ರಕಾರ).

1. ಅವಕಾಶ z=x+iy, w=u+iv. ನಂತರ u+iv =x 2 -ವೈ 2 +i 2xy. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

2. ಹೊರಗಿಡೋಣ Xಮತ್ತು ನಲ್ಲಿಈ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಸೇರಿಸಿ:

ಯು 2 +v 2 =x 4 -2x 2 ವೈ 2 +ವೈ 4 +2x 2 ವೈ 2 =x 4 +2x 2 ವೈ 2 +ವೈ 4 =(x 2 +ವೈ 2) 2 .

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ಯು 2 +v 2 =1 ಅಥವಾ | ಡಬ್ಲ್ಯೂ| 2 =1, ಅಂದರೆ | ಡಬ್ಲ್ಯೂ|=1. ಆದ್ದರಿಂದ, ವೃತ್ತದ ಚಿತ್ರ | z|=1 ಒಂದು ವೃತ್ತ | ಡಬ್ಲ್ಯೂ|=1, ಎರಡು ಬಾರಿ ಸಂಚರಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ. ಅಂದಿನಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಡಬ್ಲ್ಯೂ=z 2 ನಂತರ ಆರ್ಗ್ ಡಬ್ಲ್ಯೂ=2ಆರ್ಗ್ z+2pk. ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಯಿಂಟ್ ಯಾವಾಗ zಸಂಪೂರ್ಣ ವೃತ್ತವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ | z|=1, ನಂತರ ಅದರ ಚಿತ್ರವು ವೃತ್ತವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ | ಡಬ್ಲ್ಯೂ|=1 ಎರಡು ಬಾರಿ.

ವಿಧಾನ 2(ನಿಯಮ 3.4 ರ ಪ್ರಕಾರ).

1. ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ: z=ಇ ಇದು (0£ ಟಿ£2 ಪು).

2. ಬದಲಿ ಮಾಡೋಣ z=ಇ ಇದುಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಡಬ್ಲ್ಯೂ=z 2: w=e i 2 ಟಿ= cos2 ಟಿ+iಪಾಪ2 ಟಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, | ಡಬ್ಲ್ಯೂ| 2 = ವೆಚ್ಚ 2 2 ಟಿ+ ಪಾಪ 2 2 ಟಿ=1, ಅಂದರೆ | ಡಬ್ಲ್ಯೂ|=1 – ಚಿತ್ರ ಸಮೀಕರಣ. ■

ಉದಾಹರಣೆ.ರೇಖೆಯ ಚಿತ್ರದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹುಡುಕಿ y=xಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದಾಗ ಡಬ್ಲ್ಯೂ=z 3 .

■ ಕರ್ವ್ ಅನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ನಿಯಮ 3.3 ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

1. ಡಬ್ಲ್ಯೂ=z 3 =(x+iy) 3 =x 3 +3x 2 iy+3x(iy) 2 +(iy) 3 =x 3 - 3xy 2 +i(3x 2 y-y 3).

ಅಂದರೆ,

2. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ y=x: ಹೊರತುಪಡಿಸಿ Xಈ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ v=-u.

ಆದ್ದರಿಂದ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ I ಮತ್ತು III ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕೋನಗಳ ದ್ವಿಭಾಜಕದ ಚಿತ್ರ xOyವ್ಯವಸ್ಥೆಯ II ಮತ್ತು IV ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕೋನಗಳ ದ್ವಿಭಾಜಕವಾಗಿದೆ uOv. ■

1. ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯ

ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯರೂಪದ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಡಬ್ಲ್ಯೂ=az+ಬಿ, (4.1)

ಎಲ್ಲಿ ಎ, ಬಿ- ಸಂಕೀರ್ಣ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು.

ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ . ಆದ್ದರಿಂದ, ವೇಳೆ , ಆಗ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯವು ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮತಲದ ಅನುರೂಪ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಕೋನ ಆರ್ಗ್‌ನಿಂದ ತಿರುಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿನ ಒತ್ತಡವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ a= 1, ನಂತರ , ಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ ವಿಸ್ತರಣೆ ಅಥವಾ ತಿರುಗುವಿಕೆ ಇಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ w=z+b. ಈ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮತಲವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಮೂಲಕ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸಂಕೇತದ ಘಾತೀಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವುದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ, ನಾವು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ರೇಖೀಯ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮೂರು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ:

ಡಬ್ಲ್ಯೂ 1 =rz- ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆ ಆರ್=|ಎ|;

ಡಬ್ಲ್ಯೂ 2 =ಇ ಐ ಜೆ ಡಬ್ಲ್ಯೂ 1 =rze ನಾನು ಜೆ- ಒಂದು ಕೋನದಲ್ಲಿ ತಿರುಗಿ ಜ=ಆರ್ಗ್ ಎಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತ ಬಗ್ಗೆ;

ಡಬ್ಲ್ಯೂ=ಡಬ್ಲ್ಯೂ 2 +ಬಿ=re i j z+ಬಿ- ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರ ವರ್ಗಾವಣೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಡಬ್ಲ್ಯೂ=az+ಬಿಮೋಸ ಮಾಡುತ್ತಾನೆ ರೇಖೀಯ ಆಯಾಮಗಳುಯಾವುದೇ ವಿಮಾನದ ಆಕೃತಿಯಲ್ಲಿ | ಎ| ಒಮ್ಮೆ, ಈ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಕೋನದಿಂದ ತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ ಜ=ಆರ್ಗ್ ಎಮೂಲದ ಸುತ್ತಲೂ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್ನ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ.

ರೇಖೀಯ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಒಂದು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ ಅದು ವಲಯಗಳನ್ನು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ z- ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ವಿಮಾನಗಳು ಡಬ್ಲ್ಯೂ- ವಿಮಾನ (ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ); ನೇರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.ಅಕ್ಷದ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಓಹ್ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದಾಗ ಡಬ್ಲ್ಯೂ=2iz-3i.

■ 1 ದಾರಿ(ನಿಯಮ 3.4 ರ ಪ್ರಕಾರ). ನಾವು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಕ್ಷದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

1. ನೈಜ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಕ್ಷದ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಓಹ್: x=0, -¥<ವೈ<+¥, то в комплексной форме запишется как z=iy, -¥<ವೈ<+¥. Это параметрическое уравнение, в качестве параметра выбран ನಲ್ಲಿ.

2. ಬದಲಿ ಮಾಡೋಣ z=iyಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಡಬ್ಲ್ಯೂ=2iz-3i: ಡಬ್ಲ್ಯೂ=-2ವೈ-3i, -¥<ವೈ<+¥. Это уравнение образа в параметрической форме (ನಲ್ಲಿ- ನಿಯತಾಂಕ). ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಚಿತ್ರದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೈಜ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ಯು=-2ವೈ, v=-3 ಅಥವಾ v=-3, -¥<ಯು<+¥. Это есть уравнение прямой в плоскости uOv, ನಿಜವಾದ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ.

ವಿಧಾನ 2. ನಾವು ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರದ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ - ನೇರ ರೇಖೆಯ ಚಿತ್ರವು ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಅದು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಓಹ್ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಕಂಡುಬರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ z 1 =0, z 2 =i, ಅವರ ಚಿತ್ರಗಳು ಡಬ್ಲ್ಯೂ 1 =-3i, ಡಬ್ಲ್ಯೂ 2 =-2-3iಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಿದಾಗ, Im ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮಲಗಿಕೊಳ್ಳಿ ಡಬ್ಲ್ಯೂ= -3 ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಕ್ಷದ ಚಿತ್ರ ಓಹ್ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ v=-3.

3 ದಾರಿ(ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ). ಸಂಬಂಧದಿಂದ ಡಬ್ಲ್ಯೂ=2iz-3iಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎ=2i, ಬಿ=-3i, |ಎ|=2, . ಇದರರ್ಥ ನೀಡಲಾದ ನೇರ ರೇಖೆ (ಅಕ್ಷ ಓಹ್) ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೋನದಿಂದ ತಿರುಗಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ 3 ಘಟಕಗಳನ್ನು ಕೆಳಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಬೇಕು. 2 ಬಾರಿ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು ಮೂಲ ರೇಖೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ನೋಟವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ■

ಉದಾಹರಣೆ.ವೃತ್ತವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಕೆಲವು ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ | z-i|=1 ಪ್ರತಿ ಸುತ್ತಳತೆ | w- 3|=2.

■ ಒಡ್ಡಿದ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ - ನೀಡಿದ ಚಿತ್ರ ಮತ್ತು ಪೂರ್ವಚಿತ್ರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಷರತ್ತುಗಳಿಲ್ಲದೆ, ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ. ನಾವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ.

1. ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗವನ್ನು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಡಬ್ಲ್ಯೂ 1 =z-i.

2. ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಡಬ್ಲ್ಯೂ 1 ನಾವು 2 ಪಟ್ಟು ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುವ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ ಡಬ್ಲ್ಯೂ 2 =2ಡಬ್ಲ್ಯೂ 1 .

3. ವೃತ್ತವನ್ನು 3 ಘಟಕಗಳನ್ನು ಬಲಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಿ: ಡಬ್ಲ್ಯೂ=ಡಬ್ಲ್ಯೂ 2 +3. ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ಡಬ್ಲ್ಯೂ=2(z-i)+3, w= 2z+3-2i- ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕಾರ್ಯ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ನೀವು ಬೇರೆ ಕ್ರಮವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು - ಮೊದಲು ಬದಲಾಯಿಸಬೇಡಿ, ಆದರೆ ತಿರುಗಿಸಿ ಅಥವಾ ಹಿಗ್ಗಿಸಿ. ■

2. ಫ್ರಾಕ್ಷನಲ್ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯ

ಫ್ರಾಕ್ಷನಲ್ ರೇಖೀಯರೂಪದ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

, (4.2)

ಎಲ್ಲಿ ಎ, ಬಿ,ಸಿ,d-ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಂದರೆ, .

ಭಾಗಶಃ ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

1°ಅನುಸರಣೆ

ಪ್ರದರ್ಶನ ಡಬ್ಲ್ಯೂ=ಎಲ್(z) ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

2° ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಆಸ್ತಿ

ಭಾಗಶಃ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆ ಅಥವಾ ವೃತ್ತದ ಚಿತ್ರ ಡಬ್ಲ್ಯೂ=ಎಲ್(z) ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆ ಅಥವಾ ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ (ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಯ ಚಿತ್ರವು ವೃತ್ತ ಅಥವಾ ಸರಳ ರೇಖೆಯಾಗಿರಬಹುದು, ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ಚಿತ್ರವು ಸರಳ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ವೃತ್ತ ಎರಡೂ ಆಗಿರಬಹುದು). ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವಾಗ ಅದನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದು ಸುಲಭ ಡಬ್ಲ್ಯೂ=ಎಲ್(z) ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಎಲ್ಲಾ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ವಲಯಗಳು ನೇರ ಸಮತಲಗಳಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತವೆ ( ಡಬ್ಲ್ಯೂ), ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಅಥವಾ ವಲಯಗಳು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ ಡಿ, - ವಿಮಾನದ ಸುತ್ತಳತೆಯಲ್ಲಿ ( ಡಬ್ಲ್ಯೂ).

3°ಡಬಲ್ ಸಂಬಂಧದ ಅಸ್ಥಿರತೆ

ವರ್ತನೆ ಭಾಗಶಃ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಇದು ಅದರ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಾಲ್ಕು ಅಂಕಗಳ ಡಬಲ್ ಅನುಪಾತ. ಹೀಗಾಗಿ, ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಭಾಗಶಃ ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಈ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಭಾಗಶಃ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

. (4.3)

ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು z ಕೆಮತ್ತು w ಕೆ¥ ಗೆ ತಿರುಗಿ, ನೀವು ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ: ¥ ಚಿಹ್ನೆಯು ಸಂಭವಿಸುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು 1 ರಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕು.

4°ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು

ಅಂಕಗಳಿದ್ದರೆ z 1 ಮತ್ತು z 2 ಕೆಲವು ಸಾಲು ಅಥವಾ ವೃತ್ತದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ ಜಿ, ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಭಾಗಶಃ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ಗೆ ಡಬ್ಲ್ಯೂ=ಎಲ್(z) ಅವರ ಚಿತ್ರಗಳು ಡಬ್ಲ್ಯೂ 1 ಮತ್ತು ಡಬ್ಲ್ಯೂ 2 ಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಜಿ: .

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಂಕಗಳು zಮತ್ತು z*ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ವೃತ್ತದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ |z-z 0 |=ಆರ್, ಅವರು ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ಅದೇ ಕಿರಣದ ಮೇಲೆ ಮಲಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ ಅವುಗಳ ಅಂತರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅದರ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ

|z-z 0 |×| z*-z 0 |=ಆರ್ 2 . (4.4)

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಿಂದು z 0 - ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

5°ಬೌಂಡರಿ ಟ್ರಾವರ್ಸಲ್ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ತತ್ವ (ರೇಖೆಗಳು ಅಥವಾ ವಲಯಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವುದು)

ಒಂದು ವೇಳೆ, ಭಾಗಶಃ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ, ನೇರ ರೇಖೆ ಅಥವಾ ವೃತ್ತ ಜಿನೇರ ರೇಖೆ ಅಥವಾ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ತಿರುಗುತ್ತದೆ g¢, ನಂತರ ಪ್ರದೇಶ ಡಿ, ಇದು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಜಿ, ಸುತ್ತುವರಿದ ಎರಡು ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ g¢. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಗಡಿ ಬೈಪಾಸ್ನ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ತತ್ವವು ನಡೆಯುತ್ತದೆ: ಕೆಲವು ಲೈನ್ ಬೈಪಾಸ್ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಜಿಪ್ರದೇಶ ಡಿಎಡಕ್ಕೆ (ಬಲಕ್ಕೆ) ತಿರುಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ರೇಖೆಯ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಡ್ಡಹಾಯುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ g¢ಪ್ರದೇಶ D¢ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ (ಬಲ) ಸಹ ಇರಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ.ಭಾಗಶಃ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಡಬ್ಲ್ಯೂ=ಎಲ್(z), ಅಂತಹ ಡಬ್ಲ್ಯೂ(i)=2i, ಡಬ್ಲ್ಯೂ(¥)=1, ಡಬ್ಲ್ಯೂ(-1)=¥.

■ ನಾವು ಸೂಚಿಸೋಣ z 1 =i, z 2 =¥, z 3 =-1 ಮತ್ತು ಡಬ್ಲ್ಯೂ 1 =2i, ಡಬ್ಲ್ಯೂ 2 =1, ಡಬ್ಲ್ಯೂ 3 =¥. ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ (4.3), ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ z 2 ಮತ್ತು ಡಬ್ಲ್ಯೂ 3 ರಿಂದ ¥:

ಅಥವಾ .

ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ: - w-wi+ 2ನಾನು- 2=wz-wi-z+i Û ಡಬ್ಲ್ಯೂ(z+1)=z-2+iÛ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ■

ಎಲ್ಲಿ
ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಮತ್ತು - ಎಂಬ ವಿಶೇಷ ಪಾತ್ರ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕ . ಒಂದು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕಕ್ಕಾಗಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ
.

(4.1) – ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು
ಎಂದು ಕರೆದರು ನಿಜವಾದ ಭಾಗ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು
-ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗ .

ಸಂಖ್ಯೆ
ಎಂದು ಕರೆದರು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ
.

ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ
,
.

1. ಮೊತ್ತ
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

2. ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

3. ಕೆಲಸ
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

4. ಖಾಸಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಭಾಗಿಸುವುದರಿಂದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

.

ಟಿಪ್ಪಣಿ 4.1. ಅಂದರೆ, ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅಕ್ಷರಶಃ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4.1.ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಹುಡುಕಿ

.

ಪರಿಹಾರ. 1) .

4) ಛೇದದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಗದಿಂದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ರೂಪ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ:

ಎಲ್ಲಿ
- ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್,
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಾದವಾಗಿದೆ. ಮೂಲೆ ಒಂದು ಪದದವರೆಗೆ ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ
:

,
.

- ವಾದದ ಮುಖ್ಯ ಮೌಲ್ಯ, ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

, (ಅಥವಾ
).

ಪ್ರದರ್ಶನ ರೂಪ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ:

.

ರೂಟ್
ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದೆ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಇವುಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ

,

ಎಲ್ಲಿ
.

ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಕಗಳು
, ಸರಿಯಾದ ಶೃಂಗಗಳಾಗಿವೆ
ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ಚೌಕ
ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4.2.ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ
.

ಪರಿಹಾರ.ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸೋಣ
ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ:

,

, ಎಲ್ಲಿ
.

ನಂತರ
. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ (4.2)
ನಾಲ್ಕು ಅರ್ಥಗಳಿವೆ:

,
.

ನಂಬಿಕೆ
, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

,
,

, .

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ವಾದದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅದರ ಮುಖ್ಯ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ
ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ
ಚುಕ್ಕೆ
ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ
. ಮಾಡ್ಯೂಲ್
ಮತ್ತು ವಾದ
ಬಿಂದುವಿನ ಧ್ರುವೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ
.

ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ
ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ವೃತ್ತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ತ್ರಿಜ್ಯ . ಅಸಮಾನತೆ
ನೇರ ರೇಖೆಯ ಬಲಕ್ಕೆ ಇರುವ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ
, ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆ
- ನೇರ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿರುವ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲ
. ಜೊತೆಗೆ, ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ
ಕಿರಣಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ
ಮತ್ತು
, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವನ್ನು ಬಿಟ್ಟು.

ಉದಾಹರಣೆ 4.3.ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ:
.

ಪರಿಹಾರ.ಮೊದಲ ಅಸಮಾನತೆಯು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ಉಂಗುರಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ
ಮತ್ತು ಎರಡು ತ್ರಿಜ್ಯ 1 ಮತ್ತು 2, ವಲಯಗಳನ್ನು ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ (ಚಿತ್ರ 4.1).

ಎರಡನೇ ಅಸಮಾನತೆಯು ಕಿರಣಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ
(4 ನೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕೋನದ ದ್ವಿಭಾಜಕ) ಮತ್ತು
(ಧನಾತ್ಮಕ ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕು
) ಕಿರಣಗಳು ಸ್ವತಃ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸುವುದಿಲ್ಲ (ಚಿತ್ರ 4.2).

ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಪ್ರದೇಶವು ಎರಡು ಪಡೆದ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಛೇದಕವಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 4.3)

4.2. ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳು

ಏಕ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿ
ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ
, ಎ - ತುಂಡಾಗಿ ನಯವಾದ ಮುಚ್ಚಿದ ಅಥವಾ ಮುಚ್ಚದ ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ಕರ್ವ್ ಇದೆ
. ಎಂದಿನಂತೆ ಮಾಡೋಣ,
,, ಎಲ್ಲಿ
,
- ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನೈಜ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು .

ಕಾರ್ಯದ ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು
ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ

.

ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ
ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ
, ಅಂಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಮತ್ತು , ನಂತರ ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರವು ಹೊಂದಿದೆ:

,

ಎಲ್ಲಿ
- ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಕೆಲವು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್
, ಅಂದರೆ
ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ
.

ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಲ್ಲಿ, ಒಬ್ಬರು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣವು ನೈಜ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಹೇಗೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ.

ಏಕೀಕರಣದ ಮಾರ್ಗವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ರೇಖೆಯ ಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ , ಅಥವಾ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ವೃತ್ತದ ಭಾಗ , ನಂತರ ಫಾರ್ಮ್ನ ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಿ ಮಾಡಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ
. ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ
, ಎ - ನಿಜವಾದ ಏಕೀಕರಣ ವೇರಿಯಬಲ್; ಎರಡನೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ
, ಎ - ನಿಜವಾದ ಏಕೀಕರಣ ವೇರಿಯಬಲ್.

ಉದಾಹರಣೆ 4.4.ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ
ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದಿಂದ
ಬಿಂದುವಿನಿಂದ
ಬಿಂದುವಿಗೆ
(ಚಿತ್ರ 4.4).

ಪರಿಹಾರ.ನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಅನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ ನಂತರ , . ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ (4.3): ಏಕೆಂದರೆ , , ಅದು

.ಅದಕ್ಕೇ
ಉದಾಹರಣೆ 4.5. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ
,
, ಎಲ್ಲಿ

ಪರಿಹಾರ.- ವೃತ್ತದ ಚಾಪ (ಚಿತ್ರ 4.5) . , , ಹೇಳೋಣ

, ನಂತರ
.
ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ಕಾರ್ಯ

, ರಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಏಕ-ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ
ಎಂದು ಕರೆದರು , ಈ ರಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಕೊಳೆಯುತ್ತದೆ ಲಾರೆಂಟ್ ಸರಣಿ
ಎಂದು ಕರೆದರು ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ (4.5) ಸರಣಿ ಮುಖ್ಯ ಭಾಗ

ಲಾರೆಂಟ್ ಅವರ ಸರಣಿ ಮತ್ತು ಸರಣಿ ಬಲ ಭಾಗ ಲಾರೆಂಟ್ ಸರಣಿ.ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4.1. ಡಾಟ್
ಎಂದು ಕರೆದರು
ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಏಕ ಬಿಂದು .

ಕಾರ್ಯಗಳು
, ಈ ಹಂತದ ನೆರೆಹೊರೆ ಇದ್ದರೆ ಇದರಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲೆಡೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ

1) ಕಾರ್ಯ
, ಅಂದರೆ

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ಲಾರೆಂಟ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಲಾರೆಂಟ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಸಾಧ್ಯ: ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಋಣಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿಲ್ಲ ಡಾಟ್
;

2) (ಲಾರೆಂಟ್ ಸರಣಿಯು ಮುಖ್ಯ ಭಾಗವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿಲ್ಲ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ
, ಅಂದರೆ

,

ಎಂದು ಕರೆದರು
ತೆಗೆಯಬಹುದಾದ ಏಕ ಬಿಂದು ಲಾರೆಂಟ್ ಸರಣಿ. ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಋಣಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಡಾಟ್
;

3) ಮತ್ತು

.

. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ ಲಾರೆಂಟ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಲಾರೆಂಟ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಸಾಧ್ಯ: ಕ್ರಮದ ಧ್ರುವ ಡಾಟ್
.

ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:

1) ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪಾಯಿಂಟ್
ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಒಂದು ಏಕ ಬಿಂದು
ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಏಕವಚನ ಬಿಂದುವಿನ ಪಾತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಾಗ, ಲಾರೆಂಟ್ ಸರಣಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಗಾಗಿ ನೋಡುವುದು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ. ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಏಕ ಬಿಂದುಗಳ ವಿವಿಧ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೀವು ಬಳಸಬಹುದು. :

.

2) ಕಾರ್ಯದ ತೆಗೆಯಬಹುದಾದ ಏಕವಚನ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ
, ಕಾರ್ಯದ ಸೀಮಿತ ಮಿತಿ ಇದ್ದರೆ

.

3) ಹಂತದಲ್ಲಿ
ಕಾರ್ಯದ ಧ್ರುವವಾಗಿದೆ
, ವೇಳೆ

ಕಾರ್ಯದ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಏಕ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಬಲ ಭಾಗ ಲಾರೆಂಟ್ ಸರಣಿ., ವೇಳೆ
ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತವಲ್ಲ. (ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4.2. ) ಡಾಟ್
ಶೂನ್ಯ

…,

.

ಮೊದಲ ಆದೇಶ ಬಲ ಭಾಗ ಅಥವಾ ಬಹುತ್ವ
ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತವಲ್ಲ. ಡಾಟ್
, ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ:

,

ಟಿಪ್ಪಣಿ 4.2.
ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಮತ್ತು

, ಈ ಹಂತದ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಕಾರ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ (
ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ
4) ಪಾಯಿಂಟ್ ಕ್ರಮದ ಧ್ರುವವಾಗಿದೆ
.

) ಕಾರ್ಯಗಳು - , ಈ ಹಂತವು ಶೂನ್ಯ ಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದರೆ
ಉದಾಹರಣೆ 4.5.
ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ . ಮತ್ತು ಬಿಂದುವನ್ನು ಬಿಡಿ ಶೂನ್ಯ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ ಕಾರ್ಯಗಳು
ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ಆದೇಶ ಕಾರ್ಯಗಳು
.

ನಲ್ಲಿ
ಚುಕ್ಕೆ ಕಾರ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ
ಕಾರ್ಯಗಳು
.

ನಲ್ಲಿ
ಚುಕ್ಕೆ ಕಾರ್ಯದ ಒಂದು ತೆಗೆಯಬಹುದಾದ ಏಕವಚನ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ
.

ಉದಾಹರಣೆ 4.6.ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಅವುಗಳ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ
.

ಪರಿಹಾರ.ಕಾರ್ಯಗಳು
ಮತ್ತು
- ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ. ಇದರರ್ಥ ಕಾರ್ಯದ ಏಕ ಬಿಂದುಗಳು
ಛೇದದ ಸೊನ್ನೆಗಳು, ಅಂದರೆ ಬಿಂದುಗಳು
. ಅಂತಹ ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಅಂಶಗಳಿವೆ. ಎಲ್ಲಾ ಮೊದಲ, ಇದು ಪಾಯಿಂಟ್ ಆಗಿದೆ
, ಹಾಗೆಯೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಅಂಕಗಳು
. ಇಲ್ಲಿಂದ
ಮತ್ತು
.

ಅಂಶವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

,
,

,
.

ಸೊನ್ನೆಯ ಕ್ರಮವು
.

,
,

,
,

,
,

,
.

.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವಧಿ
ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಧ್ರುವವಾಗಿದೆ (
).

. ನಂತರ

,
.

ಶೂನ್ಯ ಅಂಶದ ಕ್ರಮವು
.

,
,
.

ಛೇದದ ಶೂನ್ಯದ ಕ್ರಮವು
. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂಕಗಳು
ನಲ್ಲಿ
ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ಧ್ರುವಗಳಾಗಿವೆ ( ಸರಳ ಧ್ರುವಗಳು ).

ಪ್ರಮೇಯ 4.1. (ಅವಶೇಷಗಳ ಮೇಲೆ ಕೌಚಿಯ ಪ್ರಮೇಯ ). ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ
ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಪ್ರದೇಶ
ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಏಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಪ್ರದೇಶದ ಒಳಗೆ ಎಲ್ಲೆಡೆ
, ಅದು

.

ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ಕಾರ್ಯದ ಎಲ್ಲಾ ಏಕವಚನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ
, ನಂತರ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆ ಮತ್ತು ಏಕವಚನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅದರ ನಂತರ ಏಕೀಕರಣದ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯೊಳಗೆ ಬೀಳುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ. ಚಿತ್ರವಿಲ್ಲದೆ ಸರಿಯಾದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಕಷ್ಟ.

ಕಡಿತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನ
ಏಕ ಬಿಂದುವಿನ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಶೇಷವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೊದಲು, ನೀವು ಏಕವಚನ ಬಿಂದುವಿನ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು.

1) ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಶೇಷ ಲಾರೆಂಟ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿನ ಮೈನಸ್ ಮೊದಲ ಪದವಿಯ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ
ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ :

.

ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು ಎಲ್ಲಾ ವಿಧದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಏಕವಚನದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ.

2) ತೆಗೆಯಬಹುದಾದ ಏಕವಚನ ಬಿಂದುವಿನ ಶೇಷವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

3) ವೇಳೆ ಸರಳ ಧ್ರುವವಾಗಿದೆ (ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ಧ್ರುವ), ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯ
ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು
ಉದಾಹರಣೆ 4.5.
,
(ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಿ
), ನಂತರ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಶೇಷ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ

.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ವೇಳೆ
, ಅದು
.

4) ವೇಳೆ - ಸರಳ ಧ್ರುವ, ನಂತರ

5) ವೇಳೆ - ಕಂಬ
ನೇ ಆದೇಶದ ಕಾರ್ಯ
, ಅದು

ಉದಾಹರಣೆ 4.7.ಅದಕ್ಕೇ
.

ಪರಿಹಾರ.ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ನ ಏಕವಚನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು . ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಎರಡು ಏಕ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯೊಳಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದು ಮಾತ್ರ ಬೀಳುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 4.6). ಡಾಟ್ - ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ಧ್ರುವ, ರಿಂದ .

ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಬಹು 2 ರ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ

ನಂತರ, ಸೂತ್ರವನ್ನು (4.7) ಬಳಸಿ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಶೇಷವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಪ್ರಮೇಯ 4.1 ರಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

___________________________________

ಶಿಕ್ಷಣಕ್ಕಾಗಿ ಫೆಡರಲ್ ಏಜೆನ್ಸಿ

ಸೇಂಟ್ ಪೀಟರ್ಸ್ಬರ್ಗ್ ರಾಜ್ಯ

_______________________________________

ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಟೆಕ್ನಿಕಲ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ "LETI"

ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ

ಮಾರ್ಗಸೂಚಿಗಳು

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ತರಗತಿಗಳಿಗೆ

ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ

ಸೇಂಟ್ ಪೀಟರ್ಸ್ಬರ್ಗ್

ಪಬ್ಲಿಷಿಂಗ್ ಹೌಸ್ SPbSETU "LETI"

UDC 512.64(07)

TFKP: ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನದ ಸೂಚನೆಗಳು / ಸಂಕಲನ: ವಿ.ಜಿ. ಡ್ಯುಮಿನ್, ಸೇಂಟ್ ಪೀಟರ್ಸ್ಬರ್ಗ್: ಸೇಂಟ್ ಪೀಟರ್ಸ್ಬರ್ಗ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಟೆಕ್ನಿಕಲ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ "LETI". 32 ಪು.

ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಸಂಪಾದಕೀಯ ಮತ್ತು ಪಬ್ಲಿಷಿಂಗ್ ಕೌನ್ಸಿಲ್

ಮಾರ್ಗಸೂಚಿಗಳಂತೆ

© SPbSETU "LETI", 2010

ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯಗಳು , ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೈಜ ಸಮತಲದ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ಗಳಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ
ಸ್ವತಃ ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ. ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ಉಪಯುಕ್ತ ವಸ್ತುವು ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ,

ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯಗಳಂತೆಯೇ ಅದೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳು ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ, ಆದರೆ, ನಿಯಮದಂತೆ, ವಿಭಿನ್ನ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಅವು ವಿಭಿನ್ನತೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸೂಚನೆಗಳ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಸೂಚನೆಗಳು ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹೇಗೆ ಬಳಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಕೌಶಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸರಳವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುಗಳ ಪರಿಚಿತತೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮತ್ತು ವಾದವಿಲ್ಲದೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ವಸ್ತುವಿನ ಯಶಸ್ವಿ ಪಾಂಡಿತ್ಯವು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಮಾಹಿತಿಯ ಸಾರಾಂಶವನ್ನು ಮಾರ್ಗಸೂಚಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು.

ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಉಪಕರಣ: ಮಿತಿಗಳು, ಉತ್ಪನ್ನಗಳು, ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು, ಸರಣಿಗಳನ್ನು ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿಗಳ ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ತಮ್ಮದೇ ಆದ ನಿಶ್ಚಿತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಲ್ಲಿ, ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ, ಸೂಕ್ತವಾದ ವಿವರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಮತ್ತು ನೈಜ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಉಪಕರಣವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಸಾಕು.

1. ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು

ಯಾವ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಚರ್ಚೆಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವುದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟ ಸಂಬಂಧದಿಂದ

ಯಾವುದೇ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು, ಒಂದು ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಅದರ ಒಮ್ಮುಖದ ವಲಯದಲ್ಲಿ ಪದದಿಂದ ಪದದಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು,

ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವು ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದಾದ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ, ಆದರೆ, ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಹ ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಫಂಕ್ಷನ್ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಮೇಲ್ವಿಚಾರಣೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಇದು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಗ್ರಾಫ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳು ಆಯಾಮ 4 ರ ಜಾಗದಲ್ಲಿವೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಸರಳವಾದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯದ ಕೆಲವು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.
, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಹಲವಾರು ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯ

ಈ ಸರಳ ಕಾರ್ಯವು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಒಂದಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯದ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ವಿವರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ

ಇಲ್ಲಿ
-- ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮತ್ತು -- ಅವರ ವಾದ. ಹೀಗಾಗಿ, ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯವು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು, ತಿರುಗುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಅನುವಾದವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ರೇಖೀಯ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸೆಟ್‌ಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ರೇಖೀಯ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ನೇರ ರೇಖೆಗಳಾಗಿ ಮತ್ತು ವಲಯಗಳು ವಲಯಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ.

, ನಂತರ

ಈ ಕಾರ್ಯವು ರೇಖೀಯ ನಂತರ ಮುಂದಿನ ಅತ್ಯಂತ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಇದು ಯಾವುದೇ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸರಳ ರೇಖೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುವುದು ಕಷ್ಟ, ಮತ್ತು ವೃತ್ತವನ್ನು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಇದು ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಕಾರ್ಯವು ಎಲ್ಲಾ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ವಲಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು; ಸ್ವತಃ. ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ನ ನೈಜ (ಸಮನ್ವಯ) ವಿವರಣೆಗೆ ಹೋಗಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ

ಪುರಾವೆಗೆ ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ನ ವಿವರಣೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ

ಇದ್ದರೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
, ನಂತರ ನಾವು ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ
, ಅದು

ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವಾಗ
ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವೇಳೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ
ಮತ್ತು
, ನಂತರ ವೃತ್ತವು ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ
ಮತ್ತು
, ನಂತರ ನೀವು ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.

ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

, (
)

ಅಥವಾ . ಇದು ವೃತ್ತಗಳು ಅಥವಾ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು. ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎಂದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಮತ್ತು
ಬದಲಾಯಿಸಿದ ಸ್ಥಳಗಳು, ಅಂದರೆ ವಿಲೋಮ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, 0 ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ವೃತ್ತಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು 0 ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ವಲಯಗಳು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ.

ಶಕ್ತಿ ಕಾರ್ಯಗಳು

ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಈ ಹಿಂದೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಪ್ರಮುಖ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಅವುಗಳು ಒಂದರಿಂದ ಒಂದಲ್ಲ (
) ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲವನ್ನು ಒಂದೇ ಸಮತಲದ ಎರಡು ಪ್ರತಿಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಷಯದ ನಿಖರವಾದ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯು ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ತೊಡಕಿನ ಉಪಕರಣದ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಬಯಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಮೀರಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲವನ್ನು ವಲಯಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಸ್ಥಗಿತವಾಗಿದೆ
ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ ಸಮತಲವು ಕಾರ್ಯದ ಮೂಲಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಮ್ಯಾಪ್ ಆಗಿದೆ
. ಅಂತಹ ಚಿತ್ರಗಳಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿರೂಪಗಳನ್ನು ವಿಲೋಮ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಿಂತ ವಿವರಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟ. ವ್ಯಾಯಾಮವಾಗಿ, ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವಾಗ ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ ಸಮತಲದ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಗ್ರಿಡ್ ಏನನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು

ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಗ್ರಿಡ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು.
. ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಸಮತಲದ ವಿಭಜನೆಯು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ
ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ ಇಡೀ ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ವಲಯಗಳು. ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ಮತ್ತು ರಿವರ್ಸ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ನ ವಿವರಣೆಯು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ

ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾರ್ಯ
ಹೊಂದಿದೆ ವಿವಿಧ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳು,

ವಿಮಾನದ ವಿವಿಧ ವಲಯಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ

ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಬಹು-ಶೀಟ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಝುಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಕಾರ್ಯ

ಈ ಕಾರ್ಯವು ತನ್ನದೇ ಆದ ಹೆಸರನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಝುಕೋವ್ಸ್ಕಿ ರಚಿಸಿದ ವಿಮಾನದ ರೆಕ್ಕೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ (ಈ ವಿನ್ಯಾಸದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು). ಕಾರ್ಯವು ಹಲವಾರು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸೋಣ - ಈ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದರಿಂದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಯಾವ ಸೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

, ಎಲ್ಲಿ
.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಝುಕೊವ್ಸ್ಕಿ ಕಾರ್ಯವು ಯಾವುದೇ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಇವುಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ತೆರೆದ ಘಟಕ ವೃತ್ತ
ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ಘಟಕ ವೃತ್ತದ ಪೂರಕ
.

ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಝುಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ, ನಾವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

,
.

ಒಂದು ವೇಳೆ
, ನಂತರ ಈ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮತಲವನ್ನು ತುಂಬುತ್ತವೆ. ವಿಭಾಗಗಳ ಚಿತ್ರಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳು ಎಂದು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು

.

ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯ

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿರುವ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯವು ಒಂದರಿಂದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಇರುವ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ನಾವು ವಿವರಿಸೋಣ. ಸ್ಪಷ್ಟ ಸಮಾನತೆ
ಸಮತಲವನ್ನು ಸ್ಟ್ರಿಪ್‌ಗಳ ಕುಟುಂಬವಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ, ಅಥವಾ, ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳು ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಈ ವಿಭಾಗವು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪಟ್ಟೆಗಳ ಮೇಲೆ ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಇದೆ

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವು ಬಹುವೇಲೆಂಟ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿವರಣೆಯು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ: ನೇರ ರೇಖೆಗಳು
ಕಿರಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ
, ವಿಭಾಗಗಳು

ವಲಯಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ
.