ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಅದರ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥ. ಪಾಠದ ವಿಷಯ "ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ"

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ.

1. ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಅದರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ.

2. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ.

3. ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ.

4. ಹೈಯರ್ ಆರ್ಡರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು.

5. ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ.

6. ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ.

ಪರಿಚಯ.

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಗಳು 17 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ಬೇಡಿಕೆಗಳಿಂದ ಎದ್ದ ಎರಡು ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಾಗಿವೆ.

1) ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ನೀಡಿದ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ವೇಗವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಪ್ರಶ್ನೆ.

2) ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ನೀಡಿದ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ (ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು) ಪ್ರಶ್ನೆ.

ಕೆಲವು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಎಳೆಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಸ್ (ಕ್ರಿ.ಪೂ. 287-212) ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಿದರು.

ಆದರೆ 17 ನೇ ಮತ್ತು 18 ನೇ ಶತಮಾನಗಳಲ್ಲಿ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ಪ್ರಗತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸರಿಯಾದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡವು.

ಯಾವುದೇ ಭೌತಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವೇಗದ ಪ್ರಶ್ನೆ, ಸಂಭವಿಸುವ ವಿದ್ಯಮಾನದ ವೇಗ.

ವಿಮಾನ ಅಥವಾ ಕಾರು ಚಲಿಸುವ ವೇಗವು ಯಾವಾಗಲೂ ಅದರ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯ ಪ್ರಮುಖ ಸೂಚಕವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರಾಜ್ಯದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ದರವು ಅದರ ಸಾಮಾಜಿಕ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಮುಖ್ಯ ಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.

ವೇಗದ ಮೂಲ ಕಲ್ಪನೆಯು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಈ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಾವು ವೇಗ ಎಂದು ಕರೆಯುವ ಈ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕೆ ಅಂತಹ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಅಂತಹ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ನಿರ್ಣಯದ ಅಗತ್ಯವು ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ರಚನೆಗೆ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರೋತ್ಸಾಹಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಭಾಗವು ಈ ಮೂಲಭೂತ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮತ್ತು ಈ ಪರಿಹಾರದಿಂದ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಮೀಸಲಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಈ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಅದರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡೋಣ (ಎ, ಸಿ)ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ.

1. ವಾದವನ್ನು ನೀಡೋಣ Xಹೆಚ್ಚಳ , ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ

ಹೆಚ್ಚಳ:

2. ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಮಾಡೋಣ .

3. ನಲ್ಲಿ ಮಿತಿಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವುದು ಮತ್ತು ಮಿತಿ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ

ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ನಾವು ಎಂಬ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ವಾದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ X.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು →0 ಆಗಿರುವಾಗ ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ.

ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಬಿಂದುವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ X, ಇದರಲ್ಲಿ ಇದು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ X. ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಅಥವಾ (3)

ಉದಾಹರಣೆ.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

1. ;

ಕೆಲವು ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ y = f(x).

ನಾವು ಅದರ ಮೇಲೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (x, f(x)) ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವನ್ನು ಗುರುತಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿಲ್ಲದ B ಬಿಂದುವನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (x+h, f(x+h). ನಾವು ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು (AB) ಎಳೆಯೋಣ. ಈ ಅಂಶಗಳ ಮೂಲಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ . f(x+h)-f(x) ವ್ಯತ್ಯಾಸವು BL ದೂರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು AL ಅಂತರವು h ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. BL/AL ಅನುಪಾತವು ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ε ಆಗಿದೆ - ನೇರ ರೇಖೆಯ (AB) ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನ. ಈಗ h ನ ಮೌಲ್ಯವು ತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣ. ನಂತರ ನೇರ ರೇಖೆಯು (AB) y = f(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಪಾಯಿಂಟ್ x ನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕದೊಂದಿಗೆ ಬಹುತೇಕ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೆಲವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ.

ಪಾಯಿಂಟ್ x ನಲ್ಲಿ y = f(x) ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ h ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವಂತೆ. ಅವರು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ:

ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವು ಸ್ಪರ್ಶದ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿದೆ.

ಉತ್ಪನ್ನವು ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ, ವೇಗವನ್ನು ಸಮಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ದೂರ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಿಜ ಜೀವನದಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇಡೀ ಪ್ರಯಾಣದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಕಾರಿನ ವೇಗವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಮಾರ್ಗವು ಸಮಯದ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯವಾಗಲಿ - S(t) ಸಮಯದ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸೋಣ. t ನಿಂದ t+h ವರೆಗಿನ ಅಲ್ಪಾವಧಿಯಲ್ಲಿ, ಕಾರು S(t+h)-S(t) ಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಪಾವಧಿಯಲ್ಲಿ, ವೇಗವು ಹೆಚ್ಚು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಾಲೆಯಿಂದ ತಿಳಿದಿರುವ ವೇಗದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀವು ಬಳಸಬಹುದು . ಮತ್ತು h ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

x0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವ f (x) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ Δx ನ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ x0 ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿ (ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ) ಆಗಿದೆ, ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನ ಹೆಚ್ಚಳವು ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು f '(x0) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಡಿಫರೆನ್ಸಿಯೇಶನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವಾಗಿದೆ.

ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ. ಪಾಯಿಂಟ್ x0 ನಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ y=f(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಇಳಿಜಾರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉತ್ಪನ್ನದ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥ.ಒಂದು ಬಿಂದುವು x ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು x (t) ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಬದಲಾದರೆ, ನಂತರ ಬಿಂದುವಿನ ತ್ವರಿತ ವೇಗ:

ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ, ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ x ಕಾರ್ಯದ ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಯು ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳದ ಮುಖ್ಯ, ರೇಖಾತ್ಮಕ ಭಾಗವಾಗಿದೆ y = f(x) ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. (ವಾದ).

ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

ಅಥವಾ

ಅಥವಾ


ವಿಭಿನ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಉತ್ಪನ್ನದಂತೆಯೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:





TO ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೂಲ ನಿಯಮಗಳುಸೇರಿವೆ:
1) ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯ ಹೊರಗೆ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ಇರಿಸುವುದು
2) ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ, ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
3) ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ
4) ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ (ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ)

ಉದಾಹರಣೆಗಳು.
ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ: ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅಂಶವನ್ನು ಮಿತಿಗೆ ಅಂಗೀಕಾರದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಮೀರಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು (ಇದು ಮಿತಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ), ಆದ್ದರಿಂದ

ಉದಾಹರಣೆಗೆ:ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಪರಿಹಾರ:ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಹೊರಗೆ ಗುಣಕವನ್ನು ಇರಿಸುವ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸೋಣ :

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯದ ರೂಪವನ್ನು ಮೊದಲು ಸರಳೀಕರಿಸುವುದು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಇದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ದೃಢೀಕರಿಸುತ್ತವೆ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರಗಳು. ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್. ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗಳು.
ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಬಳಸಿ, ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ
ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನಾವು ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ
ನಾವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣನೆಗೆ ಪರಿಚಯಿಸೋಣ ಮತ್ತು ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ
ನಂತರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ

ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಉತ್ತರ:

16. 0/0 ಅಥವಾ ∞/∞ ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗಳನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಲು L'Hopital ನಿಯಮ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು.
ಎರಡು ಅನಂತ ಸಣ್ಣ ಅಥವಾ ಎರಡು ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಯು ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

1)

17. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು. ಕಾರ್ಯದ ವಿಪರೀತ. ಏಕತಾನತೆ ಮತ್ತು ತೀವ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್. ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಈ ಮಧ್ಯಂತರದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಗೊಂಡಿದ್ದರೆ, ಅಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ವಾದದ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವು ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಮೇಲಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಪ್ರದರ್ಶನ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ

ಅಂತೆಯೇ, ಕಾರ್ಯ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆಒಂದು ಮಧ್ಯಂತರದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅಂದರೆ, ಅಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ವಾದದ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವು ಕಾರ್ಯದ ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ "ಮೇಲಿನಿಂದ ಕೆಳಕ್ಕೆ" ಹೋಗುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮದು ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ .

ವಿಪರೀತಗಳುಒಂದು ಬಿಂದುವು y=f(x) ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಟ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಅಸಮಾನತೆಯು ಅದರ ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ. ಗರಿಷ್ಠ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠಮತ್ತು ಸೂಚಿಸಿ.
ಒಂದು ಬಿಂದುವು y=f(x) ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಅಸಮಾನತೆಯು ಅದರ ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ ಎಲ್ಲಾ x ಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯಮತ್ತು ಸೂಚಿಸಿ.
ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ , ಅಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಣ್ಣ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ.
ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆ.

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸಲು ಏಕತಾನತೆಗೆ, ಕೆಳಗಿನ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ:
- ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ;
- ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ;
- ಉತ್ಪನ್ನದ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ಅಂದರೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ವಾದದ ಮೌಲ್ಯ;
- ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗವನ್ನು ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ - ಉತ್ಪನ್ನದ ಸೊನ್ನೆಗಳು;
- ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ;
- ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಯಾವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ;
- ಸೆಮಿಕೋಲನ್‌ಗಳಿಂದ ಬೇರ್ಪಟ್ಟ ಸೂಕ್ತ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಏಕತಾನತೆ ಮತ್ತು ತೀವ್ರತೆಗಾಗಿ ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯ y = f(x) ಅನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್:
1) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ f′(x) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
2) y = f(x) ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಾಯಿ (f′(x) = 0) ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಾಯಕ (f′(x) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ) ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
3) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಯಿ ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.
4) ಕಾರ್ಯದ ಏಕತಾನತೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

18. ಕಾರ್ಯದ ಪೀನತೆ. ಇನ್ಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳು. ಕಾನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿ (ಕಾನ್ಕಾವಿಟಿ) ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್.

ಕೆಳಗೆ ಪೀನ X ಮಧ್ಯಂತರದ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ X ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ.

ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬೇಕಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಪ್ ಪೀನ X ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ X ಮಧ್ಯಂತರದ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ.

ಪಾಯಿಂಟ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಗ್ರಾಫ್ನ ಇನ್ಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಫಂಕ್ಷನ್ y=f(x), ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಿದ್ದರೆ (ಅದು Oy ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರಬಹುದು) ಮತ್ತು ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲಕ್ಕೆ ಇರುವ ಸೂತ್ರದ ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆ ಇದ್ದರೆ ಪಾಯಿಂಟ್ M ನ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಪೀನದ ವಿಭಿನ್ನ ದಿಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಪೀನತೆಗೆ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು:

y=f(x) ಕಾರ್ಯವು X ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾದ ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (), ನಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ X ನಲ್ಲಿ ಕೆಳಮುಖವಾಗಿ (ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ) ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾದ ಪೀನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಕಾರ್ಯದ ಕಾನ್ಕೇವಿಟಿ ಮತ್ತು ಪೀನದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮೂಲ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ನೀವು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ: ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್ ಯಾವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಯಾವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಒಂದು ಪೀನವನ್ನು ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಮುಖವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ ಪೀನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಒಂದು ಪೀನವನ್ನು ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಮುಖವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ ಪೀನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
ಪರಿಹಾರ:ಈ ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ.
ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಮೂಲ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾನ್ಕಾವಿಟಿ ಮತ್ತು ಪೀನದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಸಾಕು. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರ ಸೂತ್ರದ ಮೇಲೆ ಕೆಳಮುಖವಾಗಿ ಪೀನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರ ಸೂತ್ರದ ಮೇಲೆ ಪೀನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

19) ಕ್ರಿಯೆಯ ಲಕ್ಷಣಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಲಂಬವಾದ ಲಕ್ಷಣಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಮಿತಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ .

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಲಂಬವಾದ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕ್ರಿಯೆಯ ಸ್ಥಗಿತದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಲಂಬವಾದ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಬೇಕು.

ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮತಲ ಲಕ್ಷಣಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಮಿತಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್ ಕೇವಲ ಬಲ ಸಮತಲ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ ಅಥವಾ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರಬಹುದು.

ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಓರೆಯಾದ ಲಕ್ಷಣಫಂಕ್ಷನ್ ಗ್ರಾಫ್ ವೇಳೆ

ಉದಾಹರಣೆ:

ವ್ಯಾಯಾಮ.ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ.ಕಾರ್ಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿ:

a) ಲಂಬವಾದ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು: ನೇರ ರೇಖೆ - ಲಂಬ ಲಕ್ಷಣ, ರಿಂದ

ಬೌ) ಸಮತಲ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್‌ಗಳು: ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ಅಂದರೆ, ಸಮತಲವಾದ ಲಕ್ಷಣಗಳಿಲ್ಲ.

ಸಿ) ಓರೆಯಾದ ರೋಗಲಕ್ಷಣಗಳು:

ಹೀಗಾಗಿ, ಓರೆಯಾದ ಲಕ್ಷಣವು: .

ಉತ್ತರ.ಲಂಬವಾದ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ ನೇರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಓರೆಯಾದ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ ನೇರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

20) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯ ಯೋಜನೆ. ಉದಾಹರಣೆ.

ಎ.
ಕಾರ್ಯದ ODZ ಮತ್ತು ಸ್ಥಗಿತದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಬಿ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ನ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

2. ಮೊದಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ನಡೆಸುವುದು, ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಳ ಮತ್ತು ಇಳಿಕೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

3. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡಿ, ಅಂದರೆ, ಫಂಕ್ಷನ್ ಗ್ರಾಫ್ನ ಇನ್ಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅದರ ಪೀನ ಮತ್ತು ಕಾನ್ಕಾವಿಟಿಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

4. ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ನ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ: a) ಲಂಬ, ಬಿ) ಓರೆ.

5. ಸಂಶೋಧನೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ.

ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಮೊದಲು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವು ಬೆಸ ಅಥವಾ ಸಮವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೂ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದಿದ್ದರೂ ಸಹ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ: f(-x) = f(x)ಮತ್ತು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬೆಸ ವೇಳೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ f(-x) = -f(x).

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ODZ ಗೆ ಸೇರಿದ ವಾದದ ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಕು. ವಾದದ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ, ಸಮ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಅದು ಅಕ್ಷದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಓಹ್, ಮತ್ತು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಬೆಸಕ್ಕೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು.ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ.

ಕಾರ್ಯ ಡೊಮೇನ್ D(y)= (–∞; +∞).ಯಾವುದೇ ಬ್ರೇಕಿಂಗ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳಿಲ್ಲ.

ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಛೇದಕ ಎತ್ತು: x = 0,y= 0.

ಕಾರ್ಯವು ಬೆಸವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬಹುದು )