ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನವು ಬೀಜಗಣಿತದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮಾಡಲು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ರೂಪವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ.
ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಎರಡು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ:
ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಆದರೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಕಾರ
ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಅವುಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿಗಳು ಮತ್ತು ವಾದಗಳು ಗುಣಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ
ಮಡಚಿ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಾದಗಳು - ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಮಾಡುವುದು ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪಕ್ಕಿಂತ ಸುಲಭವಾಗಿದೆ.
ಸಮಾನತೆಯಿಂದ (1) ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ:
ವಿಭಜನೆಯು ಗುಣಾಕಾರದ ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ಅಂಶದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಲಾಭಾಂಶ ಮತ್ತು ಭಾಜಕದ ಮಾಡ್ಯುಲಿಗಳ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂಶದ ವಾದವು ಲಾಭಾಂಶ ಮತ್ತು ಭಾಜಕದ ವಾದಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ.
ಈಗ ನಾವು ವಾಸಿಸೋಣ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು. ಸೂತ್ರಗಳು (1) - (3) ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಲು, ನೀವು ಮೊದಲು ಅದರ ವಾದವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ O ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹೋಮೋಥೆಟಿ ಎಂದರ್ಥ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಎಂದರೆ O ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಕೋನದಿಂದ ತಿರುಗುವಿಕೆ ಎಂದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಶ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಕೆಳಗಿನಂತೆ: ಸೂತ್ರ
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನವು ಬೀಜಗಣಿತದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮಾಡಲು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ರೂಪವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ.
ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಎರಡು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ:
ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಆದರೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಕಾರ
ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಅವುಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿಗಳು ಮತ್ತು ವಾದಗಳು ಗುಣಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ
ಮಡಚಿ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಾದಗಳು - ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಮಾಡುವುದು ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪಕ್ಕಿಂತ ಸುಲಭವಾಗಿದೆ.
ಸಮಾನತೆಯಿಂದ (1) ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ:
ವಿಭಜನೆಯು ಗುಣಾಕಾರದ ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ಅಂಶದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಲಾಭಾಂಶ ಮತ್ತು ಭಾಜಕದ ಮಾಡ್ಯುಲಿಗಳ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂಶದ ವಾದವು ಲಾಭಾಂಶ ಮತ್ತು ಭಾಜಕದ ವಾದಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥದ ಮೇಲೆ ಈಗ ನಾವು ವಾಸಿಸೋಣ. ಸೂತ್ರಗಳು (1) - (3) ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಲು, ನೀವು ಮೊದಲು ಅದರ ವಾದವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ O ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹೋಮೋಥೆಟಿ ಎಂದರ್ಥ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಎಂದರೆ O ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ತಿರುಗುವಿಕೆಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಕೋನದಿಂದ ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಶವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಕೆಳಗಿನಂತೆ: ಸೂತ್ರ
ನಾವು ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧದಂತೆಯೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ: ಒಂದು ಅಂಶವು ಘಟಕದಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿರುವಂತೆಯೇ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಗುಣಕದಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ನಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು, ಅದರ ಉದ್ದವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕು OX ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಅಂಶದಿಂದ ಉದ್ದಗೊಳಿಸಿ ತಿರುಗುವ ಮೂಲಕ ಇದು ಕೋನದಿಂದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿದೆ
ವೆಕ್ಟರ್ನಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉತ್ಪನ್ನವು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ ಪಡೆಯಲಾಗುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ, ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್ನಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ನಿಜವಾದ ಘಟಕ.
ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗಳು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ:
ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅಂಶಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿಯ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವಾದವು ಅಂಶಗಳ ವಾದಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವಾಗ, ನಾವು ಹೊಂದಿರುತ್ತೇವೆ
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ರಚಿಸುವ ನಿಯಮವನ್ನು ಈಗ ನಾವು ಪಡೆಯೋಣ:
ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳ ವಾದಗಳಿಗೆ ಮೇಲಿನ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು
ಗುಣಾಕಾರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ (6):
ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಅಂಶಗಳು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ aag ಗೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾನತೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (7) ನೀಡುತ್ತದೆ
ಅಂದರೆ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕದ ಚೌಕವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಮಾಡುವುದು ಧನಾತ್ಮಕ ಪದವಿಗಳು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಒಟ್ಟಾರೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಜೊತೆ
ಸಮಾನತೆ (7) ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾದ ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಬಹುದು: ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಕ್ಷರ ಬಹುಪದಗಳಂತೆ ಗುಣಿಸಬೇಕು, ಎಣಿಕೆ
a ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು a ಗೆ ಸಂಯೋಗ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು a ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಕಾರ (3) ನಾವು ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ (7) ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ
ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ
ಅಂದರೆ, ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ನ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ನಾವು ಸ್ಪಷ್ಟ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸಹ ಗಮನಿಸೋಣ
(4) ಮತ್ತು (7) ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರವು ಪರಿವರ್ತಕ ಕಾನೂನನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಕ್ಷಣವೇ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಮೊತ್ತವು ನಿಯಮಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವು ನಿಯಮಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂಶಗಳು. ಕೆಳಗಿನ ಗುರುತುಗಳಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾದ ಸಂಯೋಜಿತ ಮತ್ತು ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ:
ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ನಾವು ಓದುಗರಿಗೆ ಬಿಡುತ್ತೇವೆ.
ಗಮನಿಸಿ, ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಹಲವಾರು ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಅಂಶಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ, ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳ ವಾದಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ವಾದ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ.
ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಎರಡು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ: ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಅಂಶವು ಘಟಕದಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ r ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ j ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ನಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು, ಅದರ ಉದ್ದವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ದಿಕ್ಕು OX ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು r ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಜೆ ಕೋನದಿಂದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕು. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವೆಕ್ಟರ್ a 1 ರಿಂದ ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ a 2 ನ ಉತ್ಪನ್ನವು ವೆಕ್ಟರ್ a 1 ಗೆ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ ಸಿಗುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ, ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್ a 2 ಅನ್ನು ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್ನಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ನಿಜವಾದ ಘಟಕಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. (r 1 , ? 1), (r 2 , ? 2) ವಾಹಕಗಳು a 1 ಮತ್ತು a 2 ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆರ್ 1 ಆರ್ 2 ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ (ಜೆ 1 + ಜೆ 2). ಹೀಗಾಗಿ, ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅಂಶಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿಯ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವಾದವು ಅಂಶಗಳ ವಾದಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ
r 1 (cos? 1 + i sin? 1) * r 2 (cos? 2 + i sin? 2) = r 1 r 2.
ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = x + yi, ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳ ವಾದಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು:
a 1 = r 1 cos? 1 ; b 1 = r 1 ಪಾಪ? 1 ; a 2 = r 2 cos? 2 ; ಬಿ 2 = ಆರ್ 2 ಪಾಪ? 2 ;
ಗುಣಾಕಾರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ:
x = r 1 r 2 cos(? 1 + ? 2); y = r 1 r 2 ಪಾಪ(? 1 + ? 2),
x = r 1 r 2 (cos? 1 cos? 2 - sin? 1 sin? 2) = = r 1 cos? 1 ಆರ್ 2 ಕಾಸ್? 2 - ಆರ್ 1 ಪಾಪ? 1 ಆರ್ 2 ಪಾಪ? 2 = a 1 a 2 - b 1 b 2
y = r 1 r 2 (ಪಾಪ? 1 cos? 2 + cos? 1 sin? 2) = = r 1 ಪಾಪ? 1 ಆರ್ 2 ಕಾಸ್? 2 + ಆರ್ 1 ಕಾಸ್? 1 ಆರ್ 2 ಪಾಪ? 2 = b 1 a 2 + a 1 b 2,
ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
(a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2)i.
ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ b 1 = b 2 = 0, ಅಂಶಗಳು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a 1 ಮತ್ತು a 2 ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ 1 a 2 ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ
a 1 = a 2 = 0 ಮತ್ತು b 1 = b 2 = 1,
ಸಮಾನತೆ (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2) ನಾನು ನೀಡುತ್ತೇನೆ: i???i = i 2 = -1, ಅಂದರೆ. ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕದ ವರ್ಗ -1. ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
i 2 = -1; i 3 = -i; i 4 = 1; i 5 = i; i 6 = -1; ...
ಮತ್ತು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಕೆ:
i 4k = 1; i 4k+1 = i; i 4k+2 = -1; i 4k+3 = -i
ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾದ ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮ (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2) ನಾನು ಆಗಿರಬಹುದು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ: ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಬಹುಪದಗಳಂತೆ ಗುಣಿಸಬೇಕು, i 2 = -1 ಅನ್ನು ಎಣಿಸಬೇಕು.
ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರವು ಪರಿವರ್ತಕ ಕಾನೂನನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಕ್ಷಣವೇ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಮೊತ್ತವು ನಿಯಮಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವು ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಕೆಳಗಿನ ಗುರುತುಗಳಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾದ ಸಂಯೋಜಿತ ಮತ್ತು ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ:
(? 1 + ? 2) + ? 3 = ? 1 + (? 2 + ? 3); (? 1 ? 2)? 3 = ? 1 (? 2 ? 3); (? 1 + ? 2)? = ? 1 ? + ? 2 ? .
ಹಲವಾರು ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅಂಶಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿಯ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳ ವಾದಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ವಾದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ.
ಉದಾಹರಣೆ: ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ z 1 = 2 + 3i, z 2 = 5 - 7i. ಹುಡುಕಿ:
a) z 1 + z 2; ಬಿ) z 1 - z 2; ಸಿ) z 1 z 2
a) z 1 + z 2 = (2 + 3i) + (5 - 7i) = 2 + 3i + 5 - 7i = (2 + 5) + (3i - 7i) = 7 - 4i; b) z 1 - z 2 = (2 + 3i) - (5 - 7i) = 2 + 3i - 5 + 7i = (2 - 5) + (3i + 7i) = - 3 + 10i; c) z 1 z 2 = (2 + 3i)(5 - 7i) = 10 - 17i + 15i - 21i 2 = 10 - 14i + 15i + 21 = (10 + 21) + (- 14i + 15i) = 31 + i (ಇಲ್ಲಿ ನಾನು 2 = - 1 ಎಂದು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ).
ಉದಾಹರಣೆ: ಈ ಹಂತಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ:
a) (2 + 3i) 2 ; ಬಿ) (3 - 5i) 2 ; ಸಿ) (5 + 3i) 3 .
a) (2 + 3i) 2 = 4 + 2Х2Ч3i + 9i 2 = 4 + 12i - 9 = - 5 + 12i; b) (3 - 5i) 2 = 9 - 2Х3Ч5i + 25i 2 = 9 - 30i - 25 = - 16 - 30i; ಸಿ) (5 + 3i) 3 = 125 + 3Х25Ч3i + 3Ч5Ч9i 2 + 27i 3 ; i 2 = - 1, ಮತ್ತು i 3 = - i, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (5 + 3i) 3 = 125 + 225i - 135 - - 27i = - 10 + 198i.
ಉದಾಹರಣೆ: ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿ
a) (5 + 3i)(5 - 3i); ಬಿ) (2 + 5i)(2 - 5i); c) (1 + i)(1 - i).
a) (5 + 3i)(5 - 3i) = 5 2 - (3i) 2 = 25 - 9i 2 = 25 + 9 = 34; ಬಿ) (2 + 5i)(2 - 5i) = 2 2 - (5i) 2 = 4 + 25 = 29; c) (1 + i)(1 - i) = 1 2 - i 2 = 1 + 1 = 2.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯು ರೂಪದ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ , ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕ. ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿಜವಾದ ಭಾಗ () ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗ () ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಮಾನ:
ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಅಕ್ಷರವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅನೇಕಅದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "ದಪ್ಪ" ಅಥವಾ ದಪ್ಪನಾದ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪತ್ರವನ್ನು ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಇರಿಸಬೇಕು, ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಸಮತಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆ
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ
ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು, ನೀವು ಅವುಗಳ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:
z 1 + z 2 = (a 1 + a 2) + i*(b 1 + b 2).
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ಮೊದಲ ವರ್ಗದ ನಿಯಮವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 - ಮೊತ್ತವು ನಿಯಮಗಳ ಮರುಹೊಂದಿಸುವಿಕೆಯಿಂದ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು
ಕ್ರಿಯೆಯು ಸೇರ್ಪಡೆಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಕೇವಲ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯೆಂದರೆ, ಉಪಗ್ರಹವನ್ನು ಆವರಣದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಆವರಣವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತೆರೆಯಬೇಕು:
z 1 + z 2 = (a 1 – a 2) + i*(b 1 – b 2)
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೂಲ ಸಮಾನತೆ:
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ:
z 1 * z 2 = (a 1 + i*b 1)*(a 2 + i*b 2) = a 1 *a 2 + a 1 *i*b 2 + a 2 *i*b 1 + i 2 *b 1 *b 2 = a 1 *a 2 - b 1 *b 2 +i*(a 1 *b 2 +a 2 *b 1).
ಮೊತ್ತದಂತೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಪರಿವರ್ತನೀಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಸಮಾನತೆ ನಿಜ: .
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಭಾಗ
ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಛೇದ ಮತ್ತು ಅಂಶವನ್ನು ಛೇದದ ಸಂಯೋಜಿತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ.
2 ಪ್ರಶ್ನೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಮಾನ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮತ್ತು ವಾದಗಳು
ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ z = a + i*b ಅನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (a;b) ಒಂದು ಬಿಂದುದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (c;d) ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು w = c + i* ಡಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮತಲದ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ನಡುವೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಸಮತಲವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಮಾನ.
ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು O ಬಿಂದುವಿನ ಪ್ರಾರಂಭದೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಂತೆ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ z = a + i*b ಅನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (a;b) ಬಿಂದುವಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಂತೆ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿತ್ರವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ: 
ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತದ ಚಿತ್ರಣವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು . ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದಾಗ, ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಕೂಡ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ z = a + i*b ಅನ್ನು ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಿ. ನಂತರ ಈ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಸಂಖ್ಯೆ z ಮತ್ತು ಇದನ್ನು |z| ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ .
|
|
ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ನಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಾದಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು arg z ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯೊಳಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು 0 ರಿಂದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಅಥವಾ -to ನಿಂದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯೆಯು ವಿವರಿಸಲಾಗದ ವಾದವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಾದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:
ಇದಲ್ಲದೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಿತ್ರವು ಮೊದಲ ಅಥವಾ ನಾಲ್ಕನೇ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು, ಅದು ಎರಡನೆಯ ಅಥವಾ ಮೂರನೆಯದಾಗಿದ್ದರೆ ಮೊದಲ ಸೂತ್ರವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವೇಳೆ , ನಂತರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು Oy ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ /2 ಅಥವಾ 3*/2 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ ಉಪಯುಕ್ತ ಸೂತ್ರ. z = a + i*b ಎಂದು ಬಿಡಿ. ನಂತರ,