Mokomoji ir metodinė medžiaga algebroje (8 klasė) tema: Atvirkštinio proporcingumo funkcija ir jos grafikas. Atvirkštinis ryšys

Pirmas lygis

Atvirkštinis ryšys. Pirmas lygis.

Dabar kalbėsime apie atvirkštinę priklausomybę, arba kitaip – ​​atvirkštinį proporcingumą, kaip funkciją. Ar prisimenate, kad funkcija yra tam tikros rūšies priklausomybė? Jei dar neskaitėte temos, primygtinai rekomenduoju viską mesti ir perskaityti, nes negalite mokytis specifinė funkcija, nesuprasdamas, kas tai yra - funkcija.

Taip pat labai naudinga prieš pradedant šią temą įsisavinti dvi paprastesnes funkcijas: ir . Ten sustiprinsite funkcijos sampratą ir išmoksite dirbti su koeficientais ir grafikais.

Taigi, ar prisimenate, kas yra funkcija?
Pakartokime: funkcija yra taisyklė, pagal kurią kiekvienas vienos aibės elementas (argumentas) yra susietas su tam tikra ( vienintelė!) kitos aibės elementas (funkcijos reikšmių rinkinys). Tai yra, jei turite funkciją, tai reiškia, kad visi priimtina vertė kintamasis (vadinamas „argumentu“) atitinka vieną kintamojo reikšmę (vadinamas „funkcija“). Ką reiškia "priimtinas"? Jei negalite atsakyti į šį klausimą, grįžkite į temą ""! Viskas yra koncepcijoje "domenas": kai kurioms funkcijoms ne visi argumentai yra vienodai naudingi ir gali būti pakeisti priklausomybėmis. Pavyzdžiui, funkcijai neleidžiamos neigiamos argumentų reikšmės.

Funkcija, apibūdinanti atvirkštinę priklausomybę

Tai yra formos kur funkcija.

Kitu būdu jis vadinamas atvirkštiniu proporcingumu: argumento padidėjimas sukelia proporcingą funkcijos sumažėjimą.
Apibrėžkime apibrėžimo sritį. Kam jis gali būti lygus? Arba, kitaip tariant, kam jis negali prilygti?

Todėl vienintelis skaičius, kurio negalima padalyti, yra:

arba kas tas pats,

(toks žymėjimas reiškia, kad tai gali būti bet koks skaičius, išskyrus: " " ženklas žymi realiųjų skaičių aibę, tai yra visus galimus skaičius; ženklas " " reiškia kažko išskyrimą iš šios aibės (analogiškai kaip "minusas" “ ženklas), o skaičius skliausteliuose reiškia tik skaičių, pasirodo, kad iš visų galimų skaičių neįtraukiame).

Funkcijų reikšmių rinkinys, pasirodo, yra visiškai tas pats: juk jei, nesvarbu, iš ko jį padalintume, jis neveiks:

Galimi ir kai kurie formulės variantai. Pavyzdžiui, tai taip pat yra funkcija, apibūdinanti atvirkštinį ryšį.
Pats nustatykite šios funkcijos apibrėžimo sritį ir verčių diapazoną. Tai turėtų atrodyti taip:

Pažvelkime į šią funkciją: . Ar tai atvirkščiai susiję?

Iš pirmo žvilgsnio sunku pasakyti: juk didėjant, didėja ir trupmenos vardiklis, ir skaitiklis, todėl neaišku, ar funkcija mažės, o jei taip, ar proporcingai mažės? Norėdami tai suprasti, turime transformuoti išraišką taip, kad skaitiklyje nebūtų kintamojo:

Iš tiesų, mes gavome atvirkštinį ryšį, bet su įspėjimu: .

Štai dar vienas pavyzdys: .

Čia sudėtingiau: juk skaitiklis ir vardiklis dabar tikrai neatšaukia. Bet vis tiek galime pabandyti:

Ar supranti, ką aš padariau? Skaitiklyje pridėjau ir atėmiau tą patį skaičių (), tad lyg ir nieko nekeičiau, bet dabar skaitiklyje yra dalis, kuri lygi vardikliui. Dabar aš padalinsiu terminą iš termino, tai yra, padalysiu šią trupmeną į dviejų trupmenų sumą:

(Iš tiesų, jei sumažinsime tai, ką gavau, iki bendro vardiklio, gausime pradinę trupmeną):

Oho! Vėl veikia atvirkštinis ryšys, tik dabar prie jo pridedamas skaičius.
Šis metodas mums labai pravers vėliau kuriant grafikus.

Dabar patys paverskite išraiškas atvirkštiniu ryšiu:

Atsakymai:

2. Čia reikia prisiminti, kaip koeficientas yra kvadratinis trinaris (tai išsamiai aprašyta temoje ""). Leiskite jums priminti, kad tam reikia rasti atitinkamo šaknis kvadratinė lygtis: . Aš juos surasiu žodžiu, naudodamas Vietos teoremą: , . Kaip tai daroma? Tai galite sužinoti skaitydami temą.
Taigi, mes gauname: , todėl:

3. Ar jau bandėte tai išspręsti patys? Koks laimikis? Tikrai faktas yra tas, kad mes turime skaitiklį ir vardiklį - tai paprasta. Tai jokia problema. Turėsime sumažinti iki, todėl skaitiklyje turėtume jį dėti iš skliaustų (kad skliausteliuose gautume jį be koeficiento):

Atvirkštinio ryšio grafikas

Kaip visada, pradėkime nuo pat pradžių paprastas atvejis: .
Padarykime lentelę:

Nubrėžkime taškus koordinačių plokštumoje:

Dabar jie turi būti sklandžiai sujungti, bet kaip? Galima pastebėti, kad taškai dešinėje ir kairėje sudaro iš pažiūros nesusijusias lenktas linijas. Taip kaip yra. Grafikas atrodys taip:

Šis grafikas vadinamas "hiperbolė"(tame pavadinime yra kažkas panašaus į „parabolę“, tiesa?). Kaip ir parabolė, taip ir hiperbolė turi dvi šakas, tik jos nesusijusios viena su kita. Kiekvienas iš jų savo galais siekia priartėti prie ašių ir, bet niekada jų nepasiekia. Jei pažvelgsite į tą pačią hiperbolę iš tolo, gausite tokį vaizdą:

Tai suprantama: kadangi grafikas negali kirsti ašies. Bet taip pat, todėl grafikas niekada nelies ašies.

Na, o dabar pažiūrėkime, ką įtakoja koeficientai. Panagrinėkime šias funkcijas:
:

Oho, koks grožis!
Visi grafikai yra sukurti skirtingos spalvos kad būtų lengviau juos atskirti vienas nuo kito.

Taigi, į ką pirmiausia turėtume atkreipti dėmesį? Pavyzdžiui, jei funkcija turi minusą prieš trupmeną, tada grafikas apverčiamas, tai yra, rodomas simetriškai ašies atžvilgiu.

Antra: nei didesnis skaičius vardiklyje, tuo toliau grafikas „bėga“ nuo pradžios.

Ką daryti, jei funkcija atrodo sudėtingesnė, pavyzdžiui, ?

Šiuo atveju hiperbolė bus lygiai tokia pati, kaip ir įprasta, tik ji šiek tiek pasislinks. Pagalvokime, kur?

Kam dabar negali prilygti? Teisingai,. Tai reiškia, kad grafikas niekada nepasieks tiesios linijos. Kam jis negali prilygti? Dabar. Tai reiškia, kad dabar grafikas bus linkęs į tiesią liniją, bet niekada jos nekirs. Taigi dabar tiesės atlieka tą patį vaidmenį kaip ir funkcijos koordinačių ašys. Tokios linijos vadinamos asimptotų(linijos, kurias grafikas linkęs pasiekti, bet nepasiekia):

Daugiau apie tai, kaip tokie grafikai konstruojami, sužinosime temoje.

Dabar pabandykite išspręsti kelis pavyzdžius, kuriuos norite konsoliduoti:

1. Paveiksle pavaizduotas funkcijos grafikas. Apibrėžkite.

2. Paveiksle pavaizduotas funkcijos grafikas. Apibrėžkite

3. Paveiksle pavaizduotas funkcijos grafikas. Apibrėžkite.

4. Paveiksle pavaizduotas funkcijos grafikas. Apibrėžkite.

5. Paveiksle pavaizduoti funkcijų grafikai ir.

Pasirinkite tinkamą santykį:

Atsakymai:

Atvirkštinė priklausomybė gyvenime

Kur randame tokią funkciją praktiškai? Yra daug pavyzdžių. Labiausiai paplitęs yra judėjimas: kuo didesniu greičiu judame, tuo mažiau laiko prireiks įveikti tą patį atstumą. Iš tiesų, prisiminkime greičio formulę: , kur greitis, kelionės laikas, atstumas (kelias).

Iš čia galime išreikšti laiką:

Pavyzdys:

Vyras eina į darbą Vidutinis greitis km/val., ir atvyksta per valandą. Kiek minučių jis praleis tame pačiame kelyje, jei važiuos km/h greičiu?

Sprendimas:

Apskritai tokias problemas jau sprendėte 5 ir 6 klasėje. Jūs sudarėte proporciją:

Tai yra, atvirkštinio proporcingumo sąvoka jums jau žinoma. Taigi mes prisiminėme. O dabar tas pats, tik suaugusiam: per funkciją.

Laiko funkcija (ty priklausomybė) minutėmis nuo greičio:

Yra žinoma, kad tada:

Reikia rasti:

Dabar pateikite keletą pavyzdžių iš gyvenimo, kuriame yra atvirkštinis proporcingumas.
Išrado? Puiku, jei taip. Sėkmės!

ATvirkštinė PRIKLAUSOMYBĖ. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

1. Apibrėžimas

Funkcija, apibūdinanti atvirkštinę priklausomybę yra formos kur funkcija.

Kitu būdu ši funkcija vadinama atvirkštiniu proporcingumu, nes argumento padidėjimas sukelia proporcingą funkcijos sumažėjimą.

arba kas tas pats,

Atvirkštinis grafikas yra hiperbolė.

2. Koeficientai ir.

Atsakingas už „plokštumas“ ir grafiko kryptis: kuo šis koeficientas didesnis, tuo hiperbolė yra toliau nuo pradžios, todėl ji „suka“ ne taip staigiai (žr. pav.). Koeficiento ženklas turi įtakos, kuriuose ketvirčiuose yra grafikas:

• jei, tada hiperbolės šakos yra ir ketvirčiuose;
• jei, tada ir.

x=a yra vertikali asimptota, tai yra vertikalė, į kurią linksta grafikas.

Skaičius yra atsakingas už funkcijos grafiko perkėlimą aukštyn dydžiu, jei , ir poslinkį žemyn, jei .

Todėl tai yra horizontalioji asimptote.

Pakartokime teoriją apie funkcijas. Funkcija yra taisyklė, pagal kurią kiekvienas vienos aibės elementas (argumentas) yra susietas su tam tikra ( vienintelė!) kitos aibės elementas (funkcijos reikšmių rinkinys). Tai yra, jei yra funkcija \(y = f(x)\), tai reiškia, kad kiekvienai galiojančiai kintamojo vertei \(x\)(vadinamas „argumentu“) atitinka vieną kintamojo reikšmę \(y\)(vadinama „funkcija“).

Funkcija, apibūdinanti atvirkštinę priklausomybę

Tai yra formos funkcija \(y = \frac(k)(x)\), kur \(k\ne 0.\)

Kitu būdu jis vadinamas atvirkštiniu proporcingumu: argumento padidėjimas sukelia proporcingą funkcijos sumažėjimą.
Apibrėžkime apibrėžimo sritį. Kam gali būti lygus \(x\)? Arba, kitaip tariant, kam jis negali prilygti?

Vienintelis skaičius, kurio negalima padalyti iš 0, taigi \(x\ne 0.\):

\(D(y) = (- \infty ;0) \puodelis (0; + \infty)\)

arba, kuris yra tas pats:

\(D(y) = R\pasvirasis brūkšnys \(0\).\)

Šis žymėjimas reiškia, kad \(x\) gali būti bet koks skaičius, išskyrus 0: ženklas „R“ žymi realiųjų skaičių aibę, tai yra, visus galimus skaičius; ženklas „\“ rodo kažko neįtraukimą į šį rinkinį (analogiškai „minuso“ ženklui), o skaičius 0 skliausteliuose tiesiog reiškia skaičių 0; Pasirodo, kad iš visų galimų skaičių neįtraukiame 0.

Funkcijų reikšmių rinkinys, pasirodo, yra lygiai toks pat: juk jei \(k \ne 0.\) , tai kad ir iš ko ją padalintume, 0 neveiks:

\(E(y) = (- \infty ;0) \puodelis (0; + \infty)\)

arba \(E(y) = R\pasvirasis brūkšnys \(0\).\)

Galimi ir kai kurie formulės variantai \(y = \frac(k)(x)\). Pavyzdžiui, \(y = \frac(k)((x + a))\) taip pat yra funkcija, apibūdinanti atvirkštinį ryšį. Šios funkcijos apimtis ir verčių diapazonas yra toks:

\(D(y) = (- \infty ; - a) \puodelis (- a; + \infty)\)

\(E(y) = (- \infty ;0) \puodelis (0; + \infty).\)

Pasvarstykime pavyzdys, sumažinkime išraišką iki atvirkštinio ryšio formos:

\(y = \frac((x + 2))((x - 3)).\)

\(y = \frac((x + 2))((x - 3)) = \frac((x - 3 + 3 + 2))((x - 3)) = \frac(((x - 3) ) + 5))((x - 3)).\)

Į skaitiklį dirbtinai įvedėme reikšmę 3, o dabar skaitiklį dalijame iš vardiklio termino pagal terminą, gauname:

\(y = \frac(((x - 3) + 5))((x - 3)) = \frac((x - 3))((x - 3)) + \frac(5)((x) -3)) = 1 + \frac(5)((x - 3)).\)

Gavome atvirkštinį ryšį ir skaičių 1.

Atvirkštinio ryšio grafikas

Pradėkime nuo paprasto atvejo \(y = \frac(1)(x).\)

Sukurkime verčių lentelę:

Nubrėžkime taškus koordinačių plokštumoje:

Sujunkite taškus, grafika atrodys taip:

Šis grafikas vadinamas "hiperbolė". Kaip ir parabolė, taip ir hiperbolė turi dvi šakas, tik jos nesusijusios viena su kita. Kiekvienas iš jų linkęs perkelti savo galus arčiau ašių Jautis Ir Oy, bet niekada jų nepasiekia.

Atkreipkite dėmesį į kai kurias funkcijos ypatybes:

1. Jei funkcija turi minusą prieš trupmeną, tada grafikas apverčiamas, tai yra, jis rodomas simetriškai ašies atžvilgiu Jautis.
2. Kuo didesnis skaičius vardiklyje, tuo toliau grafikas „bėga“ nuo pradžios.

Atvirkštinė priklausomybė gyvenime

Kur randame tokią funkciją praktiškai? Yra daug pavyzdžių. Labiausiai paplitęs yra judėjimas: kuo didesniu greičiu judame, tuo mažiau laiko prireiks įveikti tą patį atstumą. Prisiminkime greičio formulę:

\(v = \frac(S)(t),\)

čia v – greitis, t – kelionės laikas, S – atstumas (kelias).

Iš čia galime išreikšti laiką: \(t = \frac(S)(v).\)

Šiandien pažiūrėsime, kokie dydžiai vadinami atvirkščiai proporcingais, kaip atrodo atvirkštinio proporcingumo grafikas ir kuo visa tai gali būti jums naudinga ne tik matematikos pamokose, bet ir už mokyklos ribų.

Tokios skirtingos proporcijos

Proporcingumasįvardykite du dydžius, kurie yra vienas nuo kito priklausomi.

Priklausomybė gali būti tiesioginė ir atvirkštinė. Vadinasi, dydžių santykiai apibūdinami tiesioginiu ir atvirkštiniu proporcingumu.

Tiesioginis proporcingumas– tai toks ryšys tarp dviejų dydžių, kai vieno iš jų padidėjimas arba sumažėjimas lemia kito padidėjimą arba sumažėjimą. Tie. jų požiūris nesikeičia.

Pavyzdžiui, kuo daugiau pastangų įdedate studijuodami egzaminams, tuo aukštesni jūsų pažymiai. Arba kuo daugiau daiktų pasiimsite su savimi į žygį, tuo sunkesnė bus jūsų kuprinė. Tie. Egzaminų ruošimosi pastangų kiekis yra tiesiogiai proporcingas gautiems pažymiams. O į kuprinę sukrautų daiktų skaičius yra tiesiogiai proporcingas jos svoriui.

Atvirkštinis proporcingumas – tai funkcinė priklausomybė, kai nepriklausomos reikšmės sumažėjimas arba padidėjimas kelis kartus (tai vadinamas argumentu) sukelia proporcingą (t. y. tiek pat kartų) priklausomos reikšmės padidėjimą arba sumažėjimą (tai vadinama funkcija).

Iliustruojame paprastas pavyzdys. Norite nusipirkti obuolių turguje. Obuoliai ant prekystalio ir pinigų suma jūsų piniginėje yra atvirkščiai proporcinga. Tie. kuo daugiau obuolių perkate, tuo mažiau pinigų jums liks šiek tiek.

Funkcija ir jos grafikas

Atvirkštinio proporcingumo funkciją galima apibūdinti kaip y = k/x. Kuriame x≠ 0 ir k≠ 0.

Ši funkcija turi šias savybes:

1. Jo apibrėžimo sritis yra visų realiųjų skaičių, išskyrus x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Diapazonas yra visi realūs skaičiai, išskyrus y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Neturi didžiausių ar minimalių verčių.
4. Jis yra nelyginis, o jo grafikas yra simetriškas kilmei.
5. Neperiodinis.
6. Jo grafikas nekerta koordinačių ašių.
7. Neturi nulių.
8. Jeigu k> 0 (ty argumentas didėja), funkcija proporcingai mažėja kiekviename jos intervale. Jeigu k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Didėjant argumentui ( k> 0) neigiamos funkcijos reikšmės yra intervale (-∞; 0), o teigiamos reikšmės yra intervale (0; +∞). Kai argumentas sumažėja ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Atvirkštinės proporcingumo funkcijos grafikas vadinamas hiperbole. Rodoma taip:

Atvirkštinio proporcingumo problemos

Kad būtų aiškiau, pažvelkime į keletą užduočių. Jos nėra pernelyg sudėtingos, o jų sprendimas padės įsivaizduoti, kas yra atvirkštinis proporcingumas ir kuo šios žinios gali būti naudingos kasdieniame gyvenime.

Užduotis Nr.1. Automobilis važiuoja 60 km/h greičiu. Iki kelionės tikslo jam prireikė 6 valandų. Kiek laiko jam prireiks įveikti tą patį atstumą, jei judės dvigubai greičiau?

Pradėti galime užrašydami formulę, apibūdinančią laiko, atstumo ir greičio ryšį: t = S/V. Sutikite, tai mums labai primena atvirkštinio proporcingumo funkciją. Ir tai rodo, kad laikas, kurį automobilis praleidžia kelyje, ir jo judėjimo greitis yra atvirkščiai proporcingi.

Norėdami tai patikrinti, suraskime V 2, kuris pagal sąlygą yra 2 kartus didesnis: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Tada apskaičiuojame atstumą pagal formulę S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Dabar nesunku sužinoti laiką t 2, kurio mums reikia pagal uždavinio sąlygas: t 2 = 360/120 = 3 valandos.

Kaip matote, kelionės laikas ir greitis išties yra atvirkščiai proporcingi: važiuojant 2 kartus didesniu nei pradinis greitis, automobilis kelyje praleis 2 kartus mažiau laiko.

Šios problemos sprendimas taip pat gali būti parašytas kaip proporcija. Taigi pirmiausia sukurkime šią diagramą:

↓ 60 km/h – 6 val

↓120 km/h – x h

Rodyklės rodo atvirkščiai proporcingą ryšį. Jie taip pat siūlo, kad sudarant proporciją reikia apversti dešinę įrašo pusę: 60/120 = x/6. Iš kur gauname x = 60 * 6/120 = 3 valandos.

2 užduotis. Dirbtuvėse dirba 6 darbuotojai, kurie tam tikrą darbų kiekį gali atlikti per 4 valandas. Jei darbuotojų skaičius sumažės perpus, kiek laiko užtruks likę darbuotojai, kad atliktų tą patį darbų kiekį?

Užrašykime problemos sąlygas vaizdinės diagramos pavidalu:

↓ 6 darbuotojai – 4 val

↓ 3 darbuotojai – x val

Parašykime tai kaip proporciją: 6/3 = x/4. Ir gauname x = 6 * 4/3 = 8 valandas, jei bus 2 kartus mažiau darbuotojų, likę dirbdami atliks 2 kartus daugiau laiko.

Užduotis Nr.3. Į baseiną veda du vamzdžiai. Vienu vamzdžiu vanduo teka 2 l/s greičiu ir pripildo baseiną per 45 minutes. Per kitą vamzdį baseinas prisipildys per 75 minutes. Kokiu greičiu šiuo vamzdžiu vanduo patenka į baseiną?

Pirmiausia sumažinkime visus mums duotus kiekius pagal problemos sąlygas iki tų pačių matavimo vienetų. Norėdami tai padaryti, išreiškiame baseino užpildymo greitį litrais per minutę: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Kadangi sąlyga reiškia, kad baseinas lėčiau prisipildo per antrąjį vamzdį, tai reiškia, kad vandens srautas yra mažesnis. Proporcingumas yra atvirkštinis. Išreikškime nežinomą greitį per x ir sudarykime tokią diagramą:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

Ir tada mes sudarome proporciją: 120/x = 75/45, iš kur x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

Uždavinyje baseino užpildymo greitis išreiškiamas litrais per sekundę, gautą atsakymą sumažinkime iki tokios pat formos: 72/60 = 1,2 l/s.

4 užduotis. Nedidelė privati ​​spaustuvė spausdina vizitines korteles. Spaustuvės darbuotojas dirba 42 vizitinių kortelių greičiu per valandą ir dirba visą dieną – 8 valandas. Jei jis dirbtų greičiau ir per valandą atspausdintų 48 vizitines korteles, kiek anksčiau jis galėtų grįžti namo?

Mes einame įrodytu keliu ir sudarome diagramą pagal problemos sąlygas, nurodydami norimą reikšmę kaip x:

↓ 42 vizitinės kortelės/val. – 8 val

↓ 48 vizitinės kortelės/val. – x val

Turime atvirkščiai proporcingą ryšį: kiek kartų daugiau vizitinių kortelių atspausdina spaustuvės darbuotojas per valandą, tiek kartų mažiau laiko jam prireiks tam pačiam darbui atlikti. Žinodami tai, sukurkime proporciją:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 valandos.

Taigi, darbus atlikęs per 7 valandas, spaustuvės darbuotojas namo galėjo vykti valanda anksčiau.

Išvada

Mums atrodo, kad šios atvirkštinio proporcingumo problemos yra tikrai paprastos. Tikimės, kad dabar jūs taip pat galvojate apie juos. Ir pagrindinis dalykas yra žinios apie atvirkštinę pusę proporcinga priklausomybė kiekiai jums tikrai gali būti naudingi daugiau nei vieną kartą.

Ne tik matematikos pamokose ir egzaminuose. Tačiau net tada, kai susiruoši į kelionę, apsipirkinėji, nusprendi per atostogas užsidirbti šiek tiek papildomų pinigų ir pan.

Papasakokite komentaruose, kokius atvirkštinių ir tiesioginių proporcingų santykių pavyzdžius pastebite aplink save. Tebūnie toks žaidimas. Pamatysite, kaip tai įdomu. Nepamirškite pasidalinti šiuo straipsniu socialiniuose tinkluose kad jūsų draugai ir klasės draugai taip pat galėtų žaisti.

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.

1 pamoka ta tema

Atlikta:

Telegina L.B.

Pamokos tikslas:

1. pakartokite visą ištirtą medžiagą apie funkcijas.
2. pristatyti atvirkštinio proporcingumo apibrėžimą ir išmokyti sudaryti jo grafiką.
3. ugdyti loginį mąstymą.
4. ugdyti dėmesį, tikslumą, preciziškumą.

Pamokos planas:

1. Kartojimas.
2. Naujos medžiagos paaiškinimas.
3. Kūno kultūros minutė.
4. Konsolidavimas.

Įranga: plakatai.

Užsiėmimų metu:

1. Pamoka prasideda kartojimu. Mokinių prašoma išspręsti kryžiažodį (kuris iš anksto paruošiamas ant didelio popieriaus lapo).

Kryžiažodžių klausimai:

1. Priklausomybė tarp kintamųjų, kurioje kiekviena nepriklausomo kintamojo reikšmė atitinka vieną priklausomo kintamojo reikšmę. [Funkcija].

2. Nepriklausomas kintamasis. [Argumentas].

3. Abscisių koordinačių plokštumos taškų, kurie yra lygūs argumento reikšmėms, o ordinatės yra lygios funkcijos reikšmėms, rinkinys. [Tvarkaraštis].

4. Funkcija, pateikta formule y=kx+b. [Linijinis].

5. Kokiu koeficientu vadinamas skaičius? k formulėje y=kx+b? [Kampas].

6. Koks yra tiesinės funkcijos grafikas? [Tiesiai].

7. Jei k≠0, tai grafikas y=kx+b kerta šią ašį, o jei k=0, tai lygiagretus jai. Kokia raide žymima ši ašis? [X].

8. Žodis funkcijos y=kx pavadinime? [Proporcingumas].

9. Funkcija, pateikta formule y=x 2. [Kvadratinis].

10. Diagramos pavadinimas kvadratinė funkcija. [Parabolė].

11. Lotynų abėcėlės raidė, kuri dažnai reiškia funkciją. [Igrek].

12. Vienas iš funkcijos nurodymo būdų. [Formulė].

Mokytojas : Kokie yra pagrindiniai mums žinomos funkcijos nurodymo būdai?

(Vienas mokinys prie lentos gauna užduotį: užpildykite funkcijos 12/x reikšmių lentelę, naudodami nurodytas argumento reikšmes, o tada nubrėžkite atitinkamus taškus koordinačių plokštumoje).

Likusieji atsako į mokytojo klausimus: (kurie iš anksto parašyti lentoje)

1. Kokie yra šių funkcijų pavadinimai, pateiktos formulėmis: y=kx, y=kx+b, y=x 2, y=x 3?

2. Nurodykite šių funkcijų apibrėžimo sritį: y=x 2 +8, y=1/x-7, y=4x-1/5, y=2x, y=7-5x, y=2/x, y=x 3, y=-10/x.

Tada mokiniai dirba pagal lentelę, atsakydami į mokytojo pateiktus klausimus:

1. Kuriame paveikslėlyje iš lentelės pavaizduoti grafikai:

a) tiesinė funkcija;

b) tiesioginis proporcingumas;

c) kvadratinė funkcija;

d) y=kx formos funkcijos 3 ?

2. Kokį ženklą turi koeficientas k y=kx+b formos formulėse, kurios atitinka lentelės 1, 2, 4, 5 paveikslų grafikus?

3. Lentelėje raskite tiesinių funkcijų grafikus, kurių nuolydžiai:

a) lygus;

b) vienodo dydžio ir priešingo ženklo.

(Tuomet visa klasė patikrina, ar prie lentos pakviestas mokinys teisingai užpildė lentelę ir išdėstė taškus koordinačių plokštumoje).

2. Aiškinimas prasideda nuo motyvacijos.

Mokytojas: Kaip žinote, kiekviena funkcija apibūdina kai kuriuos procesus, vykstančius mus supančiame pasaulyje.

Apsvarstykite, pavyzdžiui, stačiakampį su kraštinėmis x ir y, o plotas 12 cm 2 . Yra žinoma, kad x*y=12, bet kas atsitiks, jei pradėsite keisti vieną iš stačiakampio kraštinių, tarkime, kraštinę su ilgiu x?

Šono ilgis y galima rasti iš formulės y=12/x. Jeigu x padidės 2 kartus, tai turės y=12/2x, t.y. pusėje y sumažės 2 kartus. Jei vertė x padidinti 3, 4, 5... kartus, tada reikšmė y sumažės tiek pat. Priešingai, jei x tada sumažės kelis kartus y padidės tiek pat. (Dirbkite pagal lentelę).

Todėl y=12/x formos funkcija vadinama atvirkštine proporcingumu. IN bendras vaizdas rašoma kaip y=k/x, kur k yra konstanta, o k≠0.

Tai šios dienos pamokos tema, ją užsirašėme į sąsiuvinius. Pateikiu griežtą apibrėžimą. Funkcijai y=12/x, kuri yra specialus atvirkštinio proporcingumo tipas, lentelėje jau užrašėme keletą argumento ir funkcijos reikšmių ir pavaizduosime atitinkamus taškus koordinačių plokštumoje. Kaip atrodo šios funkcijos grafikas? Sunku spręsti apie visą grafiką pagal sukonstruotus taškus, nes taškus galima sujungti bet kaip. Pabandykime kartu padaryti išvadas apie funkcijos grafiką, atsirandantį atsižvelgiant į lentelę ir formulę.

Klausimai klasei:

1. Kokia yra funkcijos y=12/x apibrėžimo sritis?
2. Ar y reikšmės yra teigiamos ar neigiamos, jei

a) x

b) x>0?

3. Kaip kinta kintamojo reikšmė y su besikeičiančia verte x?

Taigi,

1. taškas (0,0) nepriklauso grafikui, t.y. jis nesikerta nei su OX, nei su OY ašimis;
2. grafikas yra Ι ir ΙΙΙ koordinačių ketvirčiuose;
3. sklandžiai artėja prie koordinačių ašių tiek Ι koordinačių ketvirtyje, tiek ΙΙΙ, ir priartėja prie ašių taip arti, kiek norima.

Turėdami šią informaciją, jau galime sujungti paveikslėlyje esančius taškus (dėstytojas tai daro pats lentoje) ir matyti visą funkcijos y=12/x grafiką. Gauta kreivė vadinama hiperbole, kuri graikų kalba reiškia „praeiti per ką nors“. Šią kreivę atrado senovės graikų mokyklos matematikai maždaug IV amžiuje prieš Kristų. Terminą hiperbolė įvedė Apolonijus iš Pergamo miesto ( Mažoji Azija), kuris gyveno ΙΙΙ-ΙΙ amžiais. pr. Kr.

Dabar šalia funkcijos y=12/x grafiko sukonstruosime funkcijos y=-12/x grafiką. (Mokiniai šią užduotį atlieka sąsiuviniuose, o vienas mokinys – prie lentos).

Lygindami abu grafikus, mokiniai pastebi, kad antrasis užima 2 ir 4 koordinačių ketvirčius. Be to, jei funkcijos y=12/x grafikas rodomas simetriškai operacinės stiprintuvo ašies atžvilgiu, tada bus gautas funkcijos y=-12/x grafikas.

Klausimas: Kaip hiperbolės y=k/x grafiko vieta priklauso nuo ženklo ir koeficiento k reikšmės?

Studentai įsitikinę, kad jei k>0, tai grafikas yra Ι Ir ΙΙΙ koordinuoja ketvirčius, o jei k

1. Kūno kultūros pamoką veda mokytojas.

1. Įtvirtinimas to, kas studijuojama, vyksta pildant iš vadovėlio Nr.180, 185.

1. Pamoka apibendrinta, pažymiai, namų darbai: 8 Nr.179, 184.

2 pamoka šia tema

„Atvirkštinio proporcingumo funkcija ir jos grafikas“.

Atlikta:

Telegina L.B.

Pamokos tikslas:

1. įtvirtinti atvirkštinio proporcingumo funkcijos grafiko sudarymo įgūdžius;
2. ugdyti domėjimąsi dalyku, loginį mąstymą;
3. ugdyti savarankiškumą ir dėmesį.

Pamokos planas:

1. Namų darbų atlikimo tikrinimas.
2. Darbas žodžiu.
3. Problemų sprendimas.
4. Kūno kultūros minutė.
5. Kelių lygių savarankiškas darbas.
6. Apibendrinimas, įvertinimai, namų darbai.

Įranga: kortelės.

Užsiėmimų metu:

1. Mokytojas paskelbia pamokos temą, tikslus ir pamokos planą.

Tada du mokiniai lentoje užpildo priskirtus namo numerius 179, 184.

1. Likę mokiniai dirba frontaliai, atsako į mokytojo klausimus.

Klausimai:

• Apibrėžkite atvirkštinio proporcingumo funkciją.
• Kas yra atvirkštinio proporcingumo funkcijos grafikas.
• Kaip hiperbolės y=k/x grafiko vieta priklauso nuo koeficiento k reikšmės?

Užduotys:

1. Tarp formulėse nurodytų funkcijų yra atvirkštinio proporcingumo funkcijos:

a) y=x 2 +5, b) y = 1/x, c) y = 4x-1, d) y = 2x, e) y = 7-5x, f) y = -11/x, g) y = x 3, h) y = 15/x-2.

2. Atvirkštinio proporcingumo funkcijoms įvardykite koeficientą ir nurodykite, kuriuose ketvirčiuose yra grafikas.

3. Raskite atvirkštinio proporcingumo funkcijų apibrėžimo sritį.

(Tada mokiniai pieštuku patikrina vieni kitų namų darbus pagal mokytojo patikrintus skaičių lentoje sprendimus ir įvertina).

Frontalinis darbas pagal vadovėlį Nr.190, 191, 192, 193 (žodinis).

1. Vykdymas sąsiuviniuose ir lentoje iš vadovėlio Nr.186(b), 187(b), 182.

4. Kūno kultūros pamoką veda mokytojas.

5. Savarankiškas darbas duota trys variantaiįvairaus sudėtingumo (paskirstytos kortelėse).

Ι c. (lengvas).

Nubraižykite atvirkštinio proporcingumo funkcijos y=-6/x grafiką naudodami lentelę:

Naudodami grafiką raskite:

a) y reikšmė, jei x = - 1,5; 2;

b) x reikšmę, kai y = - 1; 4.

I amžius (vidutinio sunkumo)

Nubraižykite atvirkštinio proporcingumo funkcijos y=16/x grafiką, prieš tai užpildę lentelę.

Naudodami grafiką raskite, kokiomis reikšmėmis x y > 0.

ΙΙΙ amžius (padidėjęs sunkumas)

Nubraižykite atvirkštinio proporcingumo funkcijos y=10/x-2 grafiką, prieš tai užpildę lentelę.

Raskite šios funkcijos apibrėžimo sritį.

(Studentai testavimui įteikia lapus su sudarytais grafikais).

6. Apibendrina pamoką, pažymius, namų darbus: Nr.186 (a), 187 (a).