Redukcija į kanoninę bilinijinės formos formą internete. Antros eilės kreivės sumažinimas iki kanoninės formos

Atvežimas kvadratine formaĮ kanoninė forma.

Kvadratinės formos kanoninė ir normalioji forma.

Linijinės kintamųjų transformacijos.

Kvadratinės formos samprata.

Kvadratinės formos.

Apibrėžimas: Kvadratinė kintamųjų forma yra homogeninis antrojo laipsnio daugianomas šių kintamųjų atžvilgiu.

Kintamieji gali būti laikomi afinines koordinates aritmetinės erdvės A n taškai arba kaip n-matės erdvės V n vektoriaus koordinatės. Kvadratinę kintamųjų formą pažymėsime kaip.

1 pavyzdys:

Jei panašūs nariai jau buvo sumažinti kvadratine forma, tada žymimi koeficientai už, o () - . Taigi manoma, kad. Kvadratinę formą galima parašyti taip:

2 pavyzdys:

Sistemos matrica (1):

- paskambino kvadratinės formos matrica.

Pavyzdys: 1 pavyzdžio kvadratinių formų matricos yra tokios formos:

2 pavyzdžio kvadratinės formos matrica:

Linijinė kintamųjų transformacija vadinkite tokį perėjimą nuo kintamųjų sistemos prie kintamųjų sistemos, kurioje seni kintamieji išreiškiami naujais, naudojant formas:

kur koeficientai sudaro nevienetinę matricą.

Jei kintamieji laikomi vektoriaus koordinatėmis Euklidinėje erdvėje, palyginti su kokiu nors pagrindu, tai tiesinė transformacija (2) gali būti laikoma perėjimu šioje erdvėje į naują pagrindą, kurio atžvilgiu tas pats vektorius turi koordinates.

Toliau nagrinėsime kvadratines formas tik su realiaisiais koeficientais. Darysime prielaidą, kad kintamieji turi tik realias reikšmes. Jei kvadratinėje formoje (1) kintamiesiems bus taikoma tiesinė transformacija (2), tada bus gauta kvadratinė naujų kintamųjų forma. Toliau parodysime, kad tinkamai pasirinkus transformaciją (2), kvadratinę formą (1) galima redukuoti į formą, kurioje yra tik naujųjų kintamųjų kvadratai, t.y. . Šis kvadratinės formos tipas vadinamas kanoninis. Kvadratinės formos matrica šiuo atveju yra įstrižainė: .

Jei visi koeficientai gali turėti tik vieną iš reikšmių: -1,0,1, iškviečiamas atitinkamas tipas normalus.

Pavyzdys: Antros eilės centrinės kreivės lygtis pereinant į nauja sistema koordinates

gali būti sumažintas iki formos: , o kvadratinė forma šiuo atveju bus tokia:

1 lema: Jei kvadratinė forma(1)nėra kintamųjų kvadratų, tai naudojant tiesinę transformaciją, jis gali būti suformuotas į formą, kurioje yra bent vieno kintamojo kvadratas.

Įrodymas: Pagal susitarimą kvadratinėje formoje yra tik terminai su kintamųjų sandaugomis. Leisk bet kokiam skirtingos reikšmės i ir j skiriasi nuo nulio, t.y. yra vienas iš šių terminų, įtrauktų į kvadratinę formą. Jei atliksite tiesinę transformaciją, o visa kita paliksite nepakeistą, t.y. (šios transformacijos determinantas skiriasi nuo nulio), tada net du nariai su kintamųjų kvadratais atsiras kvadratine forma: . Šie terminai negali išnykti, kai pridedami panašūs terminai, nes kiekviename iš likusių terminų yra bent vienas kintamasis, kuris skiriasi nuo arba nuo.

Pavyzdys:

2 lema: Jeigu kvadrato forma (1) yra terminas su kintamojo kvadratu, pavyzdžiui, ir dar bent vienas terminas su kintamuoju , tada naudojant tiesinę transformaciją, f galima konvertuoti į kintamą formą , turintis formą: (2), Kur g – kvadratinė forma, kurioje nėra kintamųjų .

Įrodymas: Pasirinkime kvadratine forma (1) terminų, kuriuose yra: (3) sumą, čia g 1 reiškia visų terminų, kurių nėra, sumą.

Pažymėkime

(4), kur žymi visų terminų, kuriuose nėra, sumą.

Padalinkime abi (4) puses ir iš (3) atimkime gautą lygybę, suvedę panašias turėsime:

Dešinėje pusėje esančioje išraiškoje nėra kintamojo ir ji yra kvadratinė kintamųjų forma. Šią išraišką pažymėkime g, o koeficientą – ir tada f bus lygus: . Jei atliksime tiesinę transformaciją: , kurios determinantas skiriasi nuo nulio, tai g bus kvadratinė kintamųjų forma, o kvadratinė forma f bus sumažinta iki formos (2). Lema įrodyta.

Teorema: Bet kuri kvadratinė forma gali būti sumažinta iki kanoninės formos, naudojant kintamųjų transformaciją.

Įrodymas: Atlikime kintamųjų skaičiaus indukciją. Kvadratinė forma turi formą: , kuri jau yra kanoninė. Tarkime, kad teorema teisinga n-1 kintamųjų kvadratinei formai ir įrodysime, kad ji teisinga n kintamųjų kvadratinei formai.

Jei f neturi kintamųjų kvadratų, tai pagal lemmą 1 jį galima redukuoti į formą, kurioje yra bent vieno kintamojo kvadratas pagal 2 lemą, gautą kvadratinę formą galima pavaizduoti formoje (2). Nes kvadratinė forma priklauso nuo n-1 kintamųjų, tai indukcine prielaida ją galima redukuoti į kanoninę formą naudojant tiesinę šių kintamųjų transformaciją į kintamuosius, jei prie šio perėjimo formulių pridėsime formulę, tai gausime formules tiesiniam transformacija, vedanti į kanoninę formą, kvadratinę formą, esančią lygybėje (2). Visų nagrinėjamų kintamųjų transformacijų sudėtis yra norima tiesinė transformacija, vedanti į kanoninę kvadratinės formos formą (1).

Jei kvadratinėje formoje (1) yra bet kurio kintamojo kvadratas, 1 lemos nereikia taikyti. Pateiktas metodas vadinamas Lagranžo metodas.

Iš kanoninės formos, kur, galite pereiti į įprastą formą, kur, jei ir jei, naudodami transformaciją:

Pavyzdys: Sumažinkite kvadratinę formą į kanoninę formą naudodami Lagranžo metodą:

Nes Kadangi kvadratinėje formoje f jau yra kai kurių kintamųjų kvadratai, 1 lemos nereikia taikyti.

Mes pasirenkame narius, kuriuose yra:

3. Norėdami gauti tiesinę transformaciją, kuri tiesiogiai redukuoja formą f į formą (4), pirmiausia randame atvirkštines transformacijas (2) ir (3).

Dabar, naudodami šias transformacijas, sukursime jų sudėtį:

Jei gautas reikšmes (5) pakeisime į (1), iš karto gauname kvadratinės formos atvaizdą (4).

Iš kanoninės formos (4) naudojant transformaciją

galite pereiti į įprastą rodinį:

Tiesinė transformacija, paverčianti kvadratinę formą (1) į normalią formą, išreiškiama formulėmis:

Bibliografija:

1. Voevodinas V.V. Tiesinė algebra. Sankt Peterburgas: Lan, 2008, 416 p.

2. Beklemiševas D.V. Analitinės geometrijos ir tiesinės algebros kursas. M.: Fizmatlit, 2006, 304 p.

3. Kostrikin A.I. Įvadas į algebrą. II dalis. Algebros pagrindai: vadovėlis universitetams, -M. : Fizikos ir matematikos literatūra, 2000, 368 p.

Paskaita Nr.26 (II semestras)

Tema: Inercijos dėsnis. Teigiamos apibrėžtosios formos.

Kvadratinė forma vadinama kanonine, jei visi t.y.

Bet kuri kvadratinė forma gali būti sumažinta iki kanoninės formos naudojant tiesines transformacijas. Praktikoje dažniausiai naudojami šie metodai.

1. Stačiakampė erdvės transformacija:

Kur - savąsias reikšmes matricos A.

2. Lagranžo metodas – nuoseklus pasirinkimas pilni kvadratai. Pavyzdžiui, jei

Tada panaši procedūra atliekama su kvadratine forma tt Jei kvadratine forma viskas yra bet tada po išankstinio pakeitimo reikalas pereina prie svarstytos procedūros. Taigi, jei, pavyzdžiui, tada darome prielaidą

3. Jacobi metodas (tuo atveju, kai visi pagrindiniai nepilnamečiai kvadratinė forma skiriasi nuo nulio):

Bet kuri tiesi linija plokštumoje gali būti nurodyta pirmosios eilės lygtimi

Ax + Wu + C = 0,

Be to, konstantos A ir B tuo pačiu metu nėra lygios nuliui. Ši pirmosios eilės lygtis vadinama bendroji tiesės lygtis. Priklausomai nuo vertybių konstanta A, B ir C galimi šie specialūs atvejai:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – tiesė eina per pradžios tašką

A = 0, B ≠0, C ≠0 (by + C = 0) – tiesi linija, lygiagreti Ox ašiai

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – tiesi linija, lygiagreti Oy ašiai

B = C = 0, A ≠0 – tiesė sutampa su Oy ašimi

A = C = 0, B ≠0 – tiesė sutampa su Ox ašimi

Tiesios linijos lygtis gali būti pavaizduota įvairiomis formomis priklausomai nuo bet kokių pradinių sąlygų.

Galima nurodyti tiesią liniją erdvėje:

1) kaip dviejų plokštumų susikirtimo tiesė, t.y. lygčių sistema:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) pagal du jo taškus M 1 (x 1, y 1, z 1) ir M 2 (x 2, y 2, z 2), tada per juos einanti tiesė pateikiama lygtimis:

= ; (3.3)

3) jam priklausantis taškas M 1 (x 1, y 1, z 1) ir vektorius a(m, n, p), kolinearinis jam. Tada tiesi linija nustatoma pagal lygtis:

. (3.4)

Lygtys (3.4) vadinamos tiesės kanoninės lygtys.

Vektorius a paskambino krypties vektorius tiesus.

Parametines tiesės lygtis gauname prilygindami kiekvieną ryšį (3.4) parametrui t:

x = x 1 +mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + rt. (3.5)

Sprendimo sistema (3.2) kaip sistema tiesines lygtis palyginti nežinomas x Ir y, gauname tiesės in lygtis projekcijos arba į pateiktos tiesės lygtys:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

Iš lygčių (3.6) galime pereiti prie kanoninių lygčių, radimo z iš kiekvienos lygties ir sulyginant gautas reikšmes:

.

Iš bendrosios lygtys(3.2) į kanoninį gali būti perkeltas kitu būdu, jei randame bet kurį šios linijos tašką ir jo krypties vektorių n= [n 1 , n 2], kur n 1 (A 1, B 1, C 1) ir n 2 (A 2 , B 2 , C 2 ) - duotųjų plokštumų normalieji vektoriai. Jei vienas iš vardiklių m, n arba R lygtyse (3.4) pasirodo lygus nuliui, tada atitinkamos trupmenos skaitiklis turi būti lygus nuliui, t.y. sistema

yra lygiavertis sistemai ; tokia tiesi linija yra statmena Ox ašiai.

Sistema yra lygiavertis sistemai x = x 1, y = y 1; tiesi linija lygiagreti Ozo ašiai.

Kiekviena pirmojo laipsnio lygtis koordinačių atžvilgiu x, y, z

Ax + By + Cz + D = 0 (3,1)

apibrėžia plokštumą, ir atvirkščiai: bet kurią plokštumą galima pavaizduoti (3.1) lygtimi, kuri vadinama plokštumos lygtis.

Vektorius n(A, B, C) vadinama statmena plokštumai normalus vektorius lėktuvas. (3.1) lygtyje koeficientai A, B, C tuo pačiu metu nėra lygūs 0.

Ypatingi (3.1) lygties atvejai:

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - plokštuma eina per pradžią.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 – plokštuma lygiagreti Ozo ašiai.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - plokštuma eina per Ozo ašį.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - plokštuma lygiagreti Oyz plokštumai.

Koordinačių plokštumų lygtys: x = 0, y = 0, z = 0.

Tiesi linija gali priklausyti arba nepriskirti plokštumai. Ji priklauso plokštumai, jei bent du jos taškai yra plokštumoje.

Jei tiesė nepriklauso plokštumai, ji gali būti jai lygiagreti arba ją kirsti.

Tiesė yra lygiagreti plokštumai, jei ji lygiagreti kitai toje plokštumoje esančiai tiesei.

Tiesi linija gali susikirsti po plokštuma skirtingi kampai ir ypač būti statmenai jai.

Taškas plokštumos atžvilgiu gali būti išdėstytas taip: priklausyti jam arba nepriklausyti. Taškas priklauso plokštumai, jei jis yra tiesėje, esančioje šioje plokštumoje.

Erdvėje dvi tiesės gali susikirsti, būti lygiagrečios arba kirsti.

Projekcijose išsaugomas tiesių atkarpų lygiagretumas.

Jei tiesės susikerta, tai jų to paties pavadinimo projekcijų susikirtimo taškai yra toje pačioje jungties tiesėje.

Sankirtos linijos nepriklauso tai pačiai plokštumai, t.y. nesikerta arba lygiagrečiai.

brėžinyje to paties pavadinimo tiesių projekcijos, paimtos atskirai, turi susikertančių arba lygiagrečių tiesių charakteristikas.

Elipsė. Elipsė – geometrinis taškų lokusas, kurio atstumų iki dviejų fiksuotų taškų (židinių) suma yra vienoda pastovi visų elipsės taškų vertė (ši pastovi reikšmė turi būti didesnė už atstumą tarp židinių).

Paprasčiausia elipsės lygtis

Kur a- pusiau didžioji elipsės ašis, b- pusiau mažoji elipsės ašis. Jei 2 c- atstumas tarp židinių, tada tarp a, b Ir c(Jei a > b) yra santykiai

a 2 - b 2 = c 2 .

Elipsės ekscentriškumas yra atstumo tarp šios elipsės židinių ir pagrindinės ašies ilgio santykis.

Elipsė turi ekscentriškumą e < 1 (так как c < a), o jo židiniai yra pagrindinėje ašyje.

Paveiksle parodytos hiperbolės lygtis.

Galimybės:
a, b – pusašiai;
- atstumas tarp židinių,
- ekscentriškumas;
- asimptotai;
- direktorės.
Paveikslo centre parodytas stačiakampis yra pagrindinis stačiakampis, kurio įstrižainės yra asimptotės.