Teseract keturmatė erdvė. Hiperkubas

Geometrijoje hiperkubas- Tai n- kvadrato matmenų analogija ( n= 2) ir kubas ( n= 3). Tai uždara išgaubta figūra, susidedanti iš lygiagrečių linijų grupių, esančių priešinguose figūros kraštuose ir sujungtų viena su kita stačiu kampu.

Ši figūra taip pat žinoma kaip tesseraktas(tesseraktas). Tesraktas yra prie kubo, kaip kubas yra prie kvadrato. Formaliau tesseraktą galima apibūdinti kaip taisyklingą išgaubtą keturių dimensijų politopą (daugiakampį), kurio ribą sudaro aštuonios kubinės ląstelės.

Remiantis Oksfordo anglų kalbos žodynu, žodį „tesseraktas“ 1888 m. sukūrė Charlesas Howardas Hintonas ir pavartojo savo knygoje „Nauja minties era“. Šis žodis buvo kilęs iš graikų kalbos „τεσσερες ακτινες“ („keturi spinduliai“), keturių koordinačių ašių pavidalu. Be to, kai kuriuose šaltiniuose ta pati figūra buvo vadinama tetrakubas(tetrakubas).

n-dimensinis hiperkubas taip pat vadinamas n-kubas.

Taškas yra 0 matmens hiperkubas. Jei perkeliate tašką ilgio vienetu, gausite vieneto ilgio atkarpą - 1 matmens hiperkubą. Be to, jei atkarpą perkeliate ilgio vienetu statmena kryptimi į atkarpos kryptį gausite kubą – 2 matmens hiperkubą. Kvadratą ilgio vienetu paslinkus kryptimi, statmena kvadrato plokštumai, gaunamas kubas – 3 matmens hiperkubas. galima apibendrinti bet kokiam matmenų skaičiui. Pavyzdžiui, jei perkeliate kubą vienu ilgio vienetu ketvirtoje dimensijoje, gausite tesseraktą.

Hiperkubų šeima yra viena iš nedaugelio taisyklingų daugiakampių, kuriuos galima pavaizduoti bet kokiais matmenimis.

Hiperkubo elementai

Hiperkubo matmenys n turi 2 n„pusės“ (vienmatė linija turi 2 taškus; dvimatis kvadratas – 4 kraštines; erdvinis kubas – 6 veideliai; keturmatė tesaraktas – 8 langeliai). Hiperkubo viršūnių (taškų) skaičius yra 2 n(pavyzdžiui, kubui – 2 3 viršūnės).

Kiekis m-dimensiniai hiperkubai ant ribos n-kubas lygus

Pavyzdžiui, ant hiperkubo ribos yra 8 kubai, 24 kvadratai, 32 briaunos ir 16 viršūnių.

Hiperkubų elementai

n-kubas	vardas	Viršūnė (0 veidas)	Kraštas (1 veidas)	Kraštas (dviejų veidų)	Ląstelė (trijų veidų)	(4 veidai)	(5 veidai)	(6 pusių)	(7 veidai)	(8 veidai)
0-kubas	Taškas	1
1-kubas	Linijos segmentas	2	1
2-kubas	Kvadratas	4	4	1
3-kubas	kubas	8	12	6	1
4-kubas	Tesseraktas	16	32	24	8	1
5-kubas	Penteract	32	80	80	40	10	1
6-kubas	Hekseraktas	64	192	240	160	60	12	1
7-kubas	Hepteract	128	448	672	560	280	84	14	1
8-kubas	Octeract	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9-kubas	Eneneract	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

Projekcija į plokštumą

Hiperkubo susidarymą galima pavaizduoti taip:

Du taškai A ir B gali būti sujungti, kad sudarytų linijos atkarpą AB.
Galima sujungti du lygiagrečius segmentus AB ir CD, kad susidarytų kvadratas ABCD.
Du lygiagrečiai kvadratai ABCD ir EFGH gali būti sujungti, kad susidarytų kubas ABCDEFGH.
Galima sujungti du lygiagrečius kubus ABCDEFGH ir IJKLMNOP, kad susidarytų hiperkubas ABCDEFGHIJKLMNOP.

Pastarąją struktūrą vizualizuoti nelengva, tačiau galima pavaizduoti jos projekciją į dvimatę ar trimatę erdvę. Be to, projekcijos į dvimatę plokštumą gali būti naudingesnės, nes leidžia pertvarkyti projektuojamų viršūnių vietas. Tokiu atveju galima gauti vaizdų, kurie nebeatspindi erdvinių elementų santykių teserakte, bet iliustruoja viršūnių jungčių struktūrą, kaip parodyta toliau pateiktuose pavyzdžiuose.

Pirmoje iliustracijoje parodyta, kaip iš principo sujungiant du kubus susidaro tesseraktas. Ši schema yra panaši į kubo kūrimo iš dviejų kvadratų schemą. Antroje diagramoje parodyta, kad visi tesserakto kraštai yra vienodo ilgio. Ši schema taip pat verčia ieškoti kubelių, sujungtų vienas su kitu. Trečioje diagramoje tesserakto viršūnės yra išdėstytos pagal atstumus išilgai paviršių, palyginti su apatiniu tašku. Ši grandinė yra įdomi, nes ji naudojama kaip pagrindinė diagrama procesorių prijungimo tinklo topologijai organizuojant lygiagretųjį skaičiavimą: atstumas tarp bet kurių dviejų mazgų neviršija 4 briaunų ilgių ir yra daug įvairių būdų, kaip subalansuoti apkrovą.

Hiperkubas mene

Hiperkubas mokslinės fantastikos literatūroje pasirodė nuo 1940 m., kai Robertas Heinleinas apsakyme „Ir jis pastatė kreivą namą“ aprašė namą, pastatytą tesaktinio skenavimo pavidalu. Istorijoje šis Kitas, šis namas griūva ir virsta keturių matmenų tesaraktu. Po to hiperkubas pasirodo daugelyje knygų ir apsakymų.

Filme „Kubas 2: Hiperkubas“ pasakojama apie aštuonis žmones, įstrigusius hiperkubų tinkle.

Salvadoro Dali paveikslas „Nukryžiavimas (Corpus Hypercubus)“, 1954 m., vaizduoja Jėzų, nukryžiuotą ant tesserakto skenavimo. Šį paveikslą galima pamatyti Metropoliteno meno muziejuje Niujorke.

Išvada

Hiperkubas yra vienas iš paprasčiausių keturių dimensijų objektų, iš kurio galima pamatyti ketvirtosios dimensijos sudėtingumą ir neįprastumą. O tai, kas atrodo neįmanoma trimis matmenimis, įmanoma keturiose, pavyzdžiui, neįmanomose figūrose. Taigi, pavyzdžiui, neįmanomo trikampio keturių matmenų strypai bus sujungti stačiu kampu. Ir ši figūra atrodys taip iš visų žiūrėjimo taškų ir nebus iškraipyta, skirtingai nei neįmanomo trikampio įgyvendinimas trimatėje erdvėje (žr.

Bakalyar Marija

Nagrinėjami keturmačio kubo (tesserakto) sąvokos pristatymo būdai, jo struktūra ir kai kurios savybės. Klausimas, kokie trimačiai objektai gaunami, kai keturmatį kubą susikerta hiperplokštumos, lygiagrečios jo trimačiams paviršiams. , taip pat kreipiamasi į jo pagrindinei įstrižai statmenas hiperplokštumas. Nagrinėjamas tyrimams naudojamas daugiamatės analitinės geometrijos aparatas.

Parsisiųsti:

Peržiūra:

Įvadas………………………………………………………………………………….2

Pagrindinė dalis………………………………………………………………..4

Išvados……………………………………………………………..12

Literatūros sąrašas………………………………………………………..13

Įvadas

Keturmatė erdvė jau seniai patraukė tiek profesionalių matematikų, tiek toli nuo šio mokslo studijuojančių žmonių dėmesį. Susidomėjimą ketvirtąja dimensija gali lemti prielaida, kad mūsų trimatis pasaulis yra „panardintas“ į keturmatę erdvę, lygiai kaip plokštuma yra „panardinta“ į trimatę erdvę, tiesi linija yra „panardinta“ į keturmatę erdvę. plokštuma, o taškas yra tiesioje linijoje. Be to, vaidina keturmatė erdvė svarbus vaidmuo V šiuolaikinė teorija reliatyvumo teorija (vadinamoji erdvė-laikas arba Minkovskio erdvė), taip pat gali būti laikomas ypatingu atvejumatmenų Euklido erdvė (su).

Keturmatis kubas (tesseraktas) yra objektas keturmatėje erdvėje, turintis didžiausią galimą matmenį (kaip ir paprastas kubas yra objektas trimatėje erdvėje). Atkreipkite dėmesį, kad tai taip pat tiesiogiai domina, ty gali atsirasti optimizavimo problemose linijinis programavimas(kaip sritis, kurioje randama keturių kintamųjų tiesinės funkcijos minimumas arba maksimumas), taip pat naudojamas skaitmeninėje mikroelektronikoje (programuojant ekrano veikimą elektroninis laikrodis). Be to, pats keturmačio kubo tyrimo procesas prisideda prie erdvinio mąstymo ir vaizduotės ugdymo.

Vadinasi, keturmačio kubo struktūros ir specifinių savybių tyrimas yra gana aktualus. Verta paminėti, kad struktūros požiūriu keturmatis kubas buvo gana gerai ištirtas. Daug įdomesnis yra jo atkarpų pobūdis įvairiais hiperplokštumais. Taigi pagrindinis šio darbo tikslas yra ištirti tesserakto struktūrą, taip pat išsiaiškinti klausimą, kokie trimačiai objektai bus gauti, jei keturmatis kubas bus išskaidytas hiperplokštumomis, lygiagrečiomis vienai iš jo trijų. matmenų paviršius arba hiperplokštumas, statmenas jos pagrindinei įstrižai. Hiperplokštuma keturmatėje erdvėje bus vadinama trimate poerdve. Galima sakyti, kad tiesė plokštumoje yra vienmatė hiperplokštuma, plokštuma trimatėje erdvėje – dvimatė hiperplokštuma.

Tikslas nulėmė tyrimo tikslus:

1) Išstudijuoti pagrindinius daugiamatės analitinės geometrijos faktus;

2) Išstudijuoti kubelių, kurių matmenys nuo 0 iki 3, konstravimo ypatumus;

3) Ištirti keturmačio kubo sandarą;

4) Analitiškai ir geometriškai apibūdinti keturmatį kubą;

5) Padaryti trimačių ir keturmačių kubų raidų ir centrinių projekcijų modelius.

6) Naudodami daugiamatės analitinės geometrijos aparatą, apibūdinkite trimačius objektus, atsirandančius susikirtus keturmačiui kubui su hiperplokštumomis, lygiagrečiomis vienam iš jo trimačių paviršių, arba hiperplokštumomis, statmenomis jo pagrindinei įstrižai.

Tokiu būdu gauta informacija leis geriau suprasti tesserakto struktūrą, taip pat nustatyti gilias analogijas skirtingų matmenų kubų struktūroje ir savybėse.

Pagrindinė dalis

Pirmiausia aprašome matematinį aparatą, kurį naudosime šio tyrimo metu.

1) Vektorių koordinatės: jei, Tai

2) Hiperplokštumos su normaliuoju vektoriumi lygtis atrodo čia

3) Lėktuvai ir yra lygiagrečios tada ir tik tada

4) Atstumas tarp dviejų taškų nustatomas taip: jeigu, Tai

5) Vektorių ortogonalumo sąlyga:

Pirmiausia išsiaiškinkime, kaip apibūdinti keturmatį kubą. Tai galima padaryti dviem būdais – geometriniu ir analitiniu.

Jei kalbame apie geometrinį patikslinimo metodą, patartina atsekti kubelių konstravimo procesą, pradedant nuo nulinio matmens. Nulinio matmens kubas yra taškas (beje, atkreipkite dėmesį, kad taškas taip pat gali atlikti nulinio matmens rutulio vaidmenį). Toliau pristatome pirmąjį matmenį (x ašį) ir atitinkamoje ašyje pažymime du taškus (du nulinio matmens kubus), esančius 1 atstumu vienas nuo kito. Rezultatas yra segmentas – vienmatis kubas. Iš karto atkreipkime dėmesį būdingas bruožas: Vienmačio kubo (segmento) riba (galai) yra du nuliniai kubai (du taškai). Toliau pristatome antrąjį matmenį (ordinačių ašį) ir plokštumojeSukonstruokime du vienmačius kubus (du atkarpas), kurių galai vienas nuo kito nutolę 1 atstumu (iš tikrųjų viena iš atkarpų yra stačiakampė kito projekcija). Sujungę atitinkamus segmentų galus, gauname kvadratą – dvimatį kubą. Vėlgi, atkreipkite dėmesį, kad dvimačio kubo (kvadrato) riba yra keturi vienmačiai kubai (keturi segmentai). Galiausiai pristatome trečiąjį matmenį (taikymo ašį) ir statome erdvėjedu kvadratus taip, kad vienas iš jų būtų stačiakampė kito projekcija (atitinkamos kvadratų viršūnės yra viena nuo kitos 1 atstumu). Atitinkamas viršūnes sujungsime atkarpomis – gauname trimatį kubą. Matome, kad trimačio kubo riba yra šeši dvimačiai kubai (šeši kvadratai). Aprašytos konstrukcijos leidžia nustatyti tokį modelį: kiekviename žingsnyjematmenų kubas „juda, palikdamas pėdsaką“.e matavimas 1 atstumu, o judėjimo kryptis yra statmena kubui. Formalus šio proceso tęsinys leidžia mums pasiekti keturmačio kubo koncepciją. Būtent, trimatį kubą priversime judėti ketvirtojo matmens kryptimi (statmenai kubui) atstumu 1. Veikdami panašiai kaip ir ankstesniame, tai yra sujungdami atitinkamas kubų viršūnes, gausime keturmatį kubą. Pažymėtina, kad geometriškai tokia konstrukcija mūsų erdvėje yra neįmanoma (nes ji yra trimatė), tačiau čia mes nesusiduriame su prieštaravimais loginiu požiūriu. Dabar pereikime prie keturmačio kubo analitinio aprašymo. Jis taip pat gaunamas formaliai, naudojant analogiją. Taigi, nulinio matmens vieneto kubo analitinė specifikacija yra tokia:

Vienmačio vienetinio kubo analitinė užduotis yra tokia:

Dvimačio vieneto kubo analitinė užduotis yra tokia:

Analitinė trimačio vienetinio kubo užduotis yra tokia:

Dabar labai lengva pateikti analitinį keturmačio kubo vaizdą, būtent:

Kaip matome, tiek geometriniame, tiek analitiniame keturmačio kubo apibrėžimo metodais buvo naudojamas analogijų metodas.

Dabar, naudodamiesi analitinės geometrijos aparatu, išsiaiškinsime, kokia yra keturmačio kubo struktūra. Pirmiausia išsiaiškinkime, kokius elementus jis apima. Čia vėlgi galime panaudoti analogiją (iškelti hipotezę). Vienmačio kubo ribos yra taškai (nuliniai kubai), dvimačio kubo - atkarpos (vienmačio kubo), trimačio kubo - kvadratai (dvimačiai veidai). Galima daryti prielaidą, kad tesserakto ribos yra trimačiai kubai. Norėdami tai įrodyti, išsiaiškinkime, ką reiškia viršūnės, briaunos ir veidai. Kubo viršūnės yra jo kampiniai taškai. Tai yra, viršūnių koordinatės gali būti nuliai arba vienetai. Taigi atskleidžiamas ryšys tarp kubo matmens ir jo viršūnių skaičiaus. Taikykime kombinatorinės sandaugos taisyklę – nuo viršūnėsišmatuotas kubas turi tiksliaikoordinates, kurių kiekviena yra lygi nuliui arba vienai (nepriklausomai nuo visų kitų), tada iš viso yraviršūnės Taigi bet kurios viršūnės visos koordinatės yra fiksuotos ir gali būti lygios arba . Jei nustatysime visas koordinates (kiekvieną jų lygiu arba , nepriklausomai nuo kitų), išskyrus vieną, gauname tiesias linijas, kuriose yra kubo briaunos. Panašiai kaip ir ankstesniame, galite suskaičiuoti, kad jų yra tiksliaidalykų. Ir jei dabar pataisysime visas koordinates (kiekvieną iš jų vienodai arba , nepriklausomai nuo kitų), išskyrus kai kurias dvi, gauname plokštumas, kuriose yra dvimačiai kubo paviršiai. Naudodami kombinatorikos taisyklę, nustatome, kad jų yra tiksliaidalykų. Kitas, panašiai - visų koordinačių fiksavimas (kiekvienas iš jų lygus arba , nepriklausomai nuo kitų), išskyrus kai kurias tris, gauname hiperplokštumas, kuriose yra trimačių kubo paviršių. Pagal tą pačią taisyklę apskaičiuojame jų skaičių – tiksliaiir tt To pakaks mūsų tyrimams. Gautus rezultatus pritaikykime keturmačio kubo struktūrai, būtent visose išvestinėse formulėse. Todėl keturmatis kubas turi: 16 viršūnių, 32 briaunas, 24 dvimačius paviršius ir 8 trimačius paviršius. Siekiant aiškumo, analitiškai apibrėžkime visus jo elementus.

Keturmačio kubo viršūnės:

Keturmačio kubo kraštai ():

Dvimačiai keturmačio kubo paviršiai (panašūs apribojimai):

Keturmačio kubo trimačiai paviršiai (panašūs apribojimai):

Dabar, kai pakankamai išsamiai aprašyta keturmačio kubo struktūra ir jos apibrėžimo metodai, pereikime prie įgyvendinimo. Pagrindinis tikslas– išaiškinti įvairių kubo dalių pobūdį. Pradėkime nuo elementaraus atvejo, kai kubo sekcijos yra lygiagrečios vienam iš jo trimačių paviršių. Pavyzdžiui, apsvarstykite jo dalis su hiperplokštumomis, lygiagrečiomis veiduiIš analitinės geometrijos žinoma, kad bet kuri tokia atkarpa bus pateikta lygtimiAnalitiškai apibrėžkime atitinkamas dalis:

Kaip matome, gavome analitinę specifikaciją trimačiam vienetiniam kubui, gulinčiam hiperplokštumoje

Norėdami nustatyti analogiją, trimačio kubo atkarpą parašykime plokštuma Mes gauname:

Tai kvadratas, esantis plokštumoje. Analogija akivaizdi.

Keturmačio kubo pjūviai pagal hiperplokštumusduoti visiškai panašius rezultatus. Tai taip pat bus pavieniai trimačiai kubai, gulintys hiperplokštumose atitinkamai.

Dabar panagrinėkime keturių dimensijų kubo dalis su hiperplokštumais, statmenomis jo pagrindinei įstrižai. Pirmiausia išspręskime šią trimačio kubo problemą. Naudodamas aukščiau aprašytą vienetinio trimačio kubo apibrėžimo metodą, jis daro išvadą, kad pagrindine įstriža gali būti, pavyzdžiui, atkarpa su galais. Ir . Tai reiškia, kad pagrindinės įstrižainės vektorius turės koordinates. Todėl bet kurios plokštumos, statmenos pagrindinei įstrižai, lygtis bus tokia:

Nustatykime parametrų kitimo ribas. Nes , tada, sudėjus šias nelygybes po termino, gauname:

Arba .

Jei tada (dėl apribojimų). Taip pat – jei, Tai. Taigi, kada ir kada pjovimo plokštuma ir kubas turi tiksliai vieną bendrą tašką ( Ir atitinkamai). Dabar atkreipkime dėmesį į tai. Jeigu(vėlgi dėl kintamų apribojimų). Atitinkamos plokštumos kerta tris veidus iš karto, nes priešingu atveju pjovimo plokštuma būtų lygiagreti vienai iš jų, o tai nevyksta pagal sąlygą. Jeigu, tada plokštuma kerta visus kubo paviršius. Jeigu, tada plokštuma kerta veidus. Pateiksime atitinkamus skaičiavimus.

Leisti Tada lėktuvaskerta liniją tiesia linija ir . Be to, kraštas. Kraštas plokštuma susikerta tiesia linija, ir

Leisti Tada lėktuvaskerta liniją:

kraštas tiesia linija ir .

Šį kartą gauname šešis segmentus, kurie turi bendrus galus:

Leisti Tada lėktuvaskerta liniją tiesia linija ir . Kraštas plokštuma susikerta tiesia linija ir . Kraštas plokštuma susikerta tiesia linija, ir . Tai reiškia, kad gauname tris segmentus, turinčius porų bendrus galus:Taigi nurodytoms parametrų reikšmėmsplokštuma kirs kubą išilgai taisyklingas trikampis su viršūnėmis

Taigi, čia pateikiamas išsamus plokštumos figūrų, gautų, kai kubas susikerta su plokštuma, statmena jo pagrindinei įstrižai, aprašymas. Pagrindinė mintis buvo tokia. Būtina suprasti, kuriuos veidus plokštuma kerta, išilgai kurių aibių jas kerta ir kaip šios aibės yra susijusios viena su kita. Pavyzdžiui, jei paaiškėjo, kad plokštuma kerta tiksliai tris veidus išilgai atkarpų, turinčių porų bendrus galus, tada atkarpa yra lygiakraštis trikampis (tai įrodoma tiesiogiai apskaičiuojant atkarpų ilgius), kurio viršūnės yra šie galai. segmentų.

Naudojant tą patį aparatą ir tą pačią sekcijų studijavimo idėją, visiškai analogišku būdu galima išvesti šiuos faktus:

1) Vienos iš pagrindinių keturmačio vienetinio kubo įstrižainių vektorius turi koordinates

2) Bet kuri hiperplokštuma, statmena pagrindinei keturmačio kubo įstrižainei, gali būti parašyta forma.

3) Sekantinės hiperplokštumos lygtyje parametrasgali svyruoti nuo 0 iki 4;

4) Kada ir sekanti hiperplokštuma ir keturmatis kubas turi vieną bendrą tašką ( Ir atitinkamai);

5) Kada skerspjūvis sudarys taisyklingą tetraedrą;

6) Kada skerspjūvyje rezultatas bus oktaedras;

7) Kada skerspjūvis sudarys taisyklingą tetraedrą.

Atitinkamai, čia hiperplokštuma kerta tesraktą išilgai plokštumos, kurioje dėl kintamųjų apribojimų priskiriama trikampė sritis (analogija - plokštuma kerta kubą išilgai tiesės, kurioje dėl kintamųjų apribojimų kintamieji, buvo priskirtas segmentas). 5 atveju hiperplokštuma kerta lygiai keturis trimačius tesserakto paviršius, tai yra, gaunami keturi trikampiai, kurie turi poromis bendras kraštines, kitaip tariant, sudaro tetraedrą (kaip tai galima apskaičiuoti, yra teisinga). 6 atveju) hiperplokštuma kerta tiksliai aštuonis trimačius tesserakto paviršius, tai yra, gaunami aštuoni trikampiai, kurie turi nuosekliai bendras kraštines, kitaip tariant, sudaro oktaedrą. 7 atvejis) yra visiškai panašus į 5 atvejį).

Iliustruojame tai, kas buvo pasakyta konkretus pavyzdys. Būtent, mes tiriame keturmačio kubo pjūvį hiperplokštumaDėl kintamų apribojimų ši hiperplokštuma kerta šiuos trimačius veidus: Kraštas susikerta išilgai plokštumosDėl kintamųjų apribojimų turime:Gauname trikampį plotą su viršūnėmisToliau,gauname trikampįKai hiperplokštuma kerta veidągauname trikampįKai hiperplokštuma kerta veidągauname trikampįTaigi tetraedro viršūnės turi šias koordinates. Kaip nesunku apskaičiuoti, šis tetraedras iš tiesų yra taisyklingas.

išvadas

Taigi šio tyrimo metu buvo išnagrinėti pagrindiniai daugiamatės analitinės geometrijos faktai, išnagrinėti kubelių, kurių matmenys nuo 0 iki 3, konstravimo ypatumai, ištirta keturmačio kubo struktūra, keturmačio kubo struktūra. analitiškai ir geometriškai aprašyti, sukurti trimačių ir keturmačių kubų raidų modeliai ir centrinės projekcijos, trimačiai kubai – analitiškai aprašyti objektai, susidarantys susikirtus keturmačiui kubui su hiperplokštumomis, lygiagrečiomis vienai iš jo trimačių. matmenų paviršius arba su hiperplokštumais, statmenomis jo pagrindinei įstrižai.

Atlikti tyrimai leido nustatyti gilias analogijas skirtingų matmenų kubų struktūroje ir savybėse. Naudojama analogijos technika gali būti taikoma atliekant tyrimus, pvz.matmenų sfera arbamatmenų simpleksas. Būtent,matmenų sfera gali būti apibrėžta kaip taškų rinkinysmatmenų erdvė vienodu atstumu nuo duotas taškas, kuris vadinamas sferos centru. Toliau,matmenų simpleksas gali būti apibrėžtas kaip dalismatmenų erdvė apribota minimaliu skaičiumimatmenų hiperplokštumos. Pavyzdžiui, vienmatis simpleksas yra atkarpa (vienmatės erdvės dalis, apribota dviem taškais), dvimatė simpleksas – trikampis (dvimatės erdvės dalis, apribota trimis linijomis), trimatis simpleksas yra tetraedras (trimatės erdvės dalis, apribota keturiomis plokštumomis). Pagaliau,matmenų simpleksą apibrėžiame kaip dalįmatmenų erdvė, ribotamatmenų hiperplokštuma.

Atkreipkite dėmesį, kad nepaisant daugybės tesserakto pritaikymų kai kuriose mokslo srityse, šis tyrimas vis dar yra matematinis tyrimas.

Bibliografija

1) Bugrovas Ya.S., Nikolsky S.M. Aukštoji matematika, t. 1 – M.: Bustard, 2005 – 284 p.

2) Kvantinė. Keturmatis kubas / Dužinas S., Rubcovas V., Nr.6, 1986 m.

3) Kvantinė. Kaip piešti matmenų kubas / Demidovičius N.B., Nr. 8, 1974 m.

2009 m. rugsėjo 19 d
Tesseract (iš senovės graikų τέσσερες ἀκτῖνες – keturi spinduliai) yra keturmatis hiperkubas – kubo analogas keturmatėje erdvėje.

Vaizdas yra keturmačio kubo projekcija (perspektyva) į trimatę erdvę.

Remiantis Oksfordo žodynu, žodį „tesseraktas“ 1888 m. sukūrė ir pavartojo Charlesas Howardas Hintonas (1853–1907) savo knygoje. Nauja era mintys“. Vėliau kai kurie žmonės tą pačią figūrą pavadino „tetrakubu“.

Geometrija

Įprastas tesraktas Euklido keturmatėje erdvėje apibrėžiamas kaip išgaubtas taškų korpusas (±1, ±1, ±1, ±1). Kitaip tariant, jis gali būti pavaizduotas kaip toks rinkinys:

Tesraktą riboja aštuonios hiperplokštumos, kurių susikirtimas su pačia tesrakta apibrėžia jos trimačius paviršius (kurie yra įprasti kubai). Kiekviena nelygiagrečių 3D veidų pora susikerta ir sudaro 2D veidus (kvadratus) ir pan. Galiausiai, tesseraktas turi 8 3D paviršius, 24 2D veidus, 32 kraštus ir 16 viršūnių.

Populiarus aprašymas

Pabandykime įsivaizduoti, kaip atrodys hiperkubas, nepaliekant trimatės erdvės.

Vienmatėje „erdvėje“ - tiesėje - pasirenkame atkarpą AB, kurios ilgis L. Dvimatėje plokštumoje L atstumu nuo AB nubrėžiame jai lygiagrečią atkarpą DC ir sujungiame jų galus. Rezultatas yra kvadratas ABCD. Kartodami šią operaciją su plokštuma, gauname trimatį kubą ABCDHEFG. O kubą ketvirtoje dimensijoje (statmenai pirmiesiems trims) perkėlus atstumu L, gauname hiperkubą ABCDEFGHIJKLMNOP.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Construction_tesseract.PNG

Vienmatis segmentas AB tarnauja kaip dvimačio kvadrato ABCD kraštinė, kvadratas - kaip kubo ABCDHEFG kraštinė, kuri, savo ruožtu, bus keturmačio hiperkubo kraštinė. Tiesios linijos atkarpa turi du ribinius taškus, kvadratas – keturias viršūnes, o kubas – aštuonias. Taigi keturių dimensijų hiperkube bus 16 viršūnių: 8 pradinio kubo viršūnės ir 8 tos, kurios buvo paslinktos ketvirtajame matmenyje. Jis turi 32 briaunas – po 12 nurodo pradinę ir galutinę pradinio kubo padėtį, o dar 8 briaunos „nubrėžia“ aštuonias jo viršūnes, kurios perėjo į ketvirtą dimensiją. Tą patį galima pasakyti ir apie hiperkubo veidus. Dvimatėje erdvėje yra tik vienas (pats kvadratas), kubas turi 6 iš jų (du veideliai nuo perkelto kvadrato ir dar keturi, apibūdinantys jo puses). Keturmatis hiperkubas turi 24 kvadratinius paviršius – 12 pradinio kubo kvadratų dviejose padėtyse ir 12 kvadratų nuo dvylikos kraštų.

Panašiai galime tęsti hiperkubų samprotavimus daugiau matmenų, bet daug įdomiau pamatyti, kaip mums, trimatės erdvės gyventojams, atrodys keturmatis hiperkubas. Tam naudosime jau žinomą analogijų metodą.

Tesserakto išvyniojimas

Paimkime vielos kubą ABCDHEFG ir pažiūrėkime į jį viena akimi iš krašto. Plokštumoje pamatysime ir galėsime nubrėžti du kvadratus (jos artimą ir tolimąją briauną), sujungtus keturiomis linijomis – šoninėmis briaunomis. Panašiai keturmatis hiperkubas trimatėje erdvėje atrodys kaip dvi kubinės „dėžės“, įterptos viena į kitą ir sujungtos aštuoniais kraštais. Tokiu atveju į „mūsų“ erdvę bus suprojektuotos pačios „dėžės“ - trimačiai veidai, o juos jungiančios linijos tęsis ketvirtoje dimensijoje. Taip pat galite pabandyti įsivaizduoti kubą ne projekcijoje, o erdviniame vaizde.

Kaip trimatį kubą sudaro kvadratas, pasislinkęs jo veido ilgiu, kubas, perkeltas į ketvirtą dimensiją, sudarys hiperkubą. Jį riboja aštuoni kubeliai, kurie ateityje atrodys kaip gražūs sudėtinga figūra. Dalis, kuri liko „mūsų“ erdvėje, brėžiama ištisinėmis linijomis, o dalis, patekusi į hipererdvę – punktyrinėmis linijomis. Pats keturmatis hiperkubas susideda iš begalinio skaičiaus kubelių, kaip ir trimatį kubą galima „supjaustyti“ į begalinį skaičių plokščių kvadratų.

Iškirpę šešis trimačio kubo paviršius, galite jį suskaidyti į plokščia figūra- nuskaityti. Jis turės kvadratą kiekvienoje originalaus veido pusėje ir dar vieną – priešingą veidą. O trimatį keturmačio hiperkubo plėtojimą sudarys originalus kubas, šeši iš jo „išaugantys“ kubeliai ir dar vienas - galutinis „hiperveidas“.

Tesrakto savybės yra savybių išplėtimas geometrines figūras mažesnis matmuo į keturmatę erdvę.

Projekcijos

Į dvimatę erdvę

Šią struktūrą sunku įsivaizduoti, tačiau galima projektuoti tesseraktą į dvimates arba trimates erdves. Be to, projektuojant į plokštumą lengva suprasti hiperkubo viršūnių vietą. Tokiu būdu galima gauti vaizdus, kurie nebeatspindi erdvinių santykių tesserakte, bet iliustruoja viršūnių ryšio struktūrą, kaip parodyta šiuose pavyzdžiuose:

Į trimatę erdvę

Tesrakto projekcija į trimatę erdvę vaizduoja du įdėtus trimačius kubus, kurių atitinkamos viršūnės yra sujungtos segmentais. Vidinis ir išorinis kubeliai turi skirtingų dydžių trimatėje erdvėje, bet keturmatėje erdvėje jie yra lygūs kubai. Norint suprasti visų tesseraktų kubelių lygybę, buvo sukurtas besisukantis tesrakto modelis.

Šešios sutrumpintos piramidės išilgai tesserakto kraštų yra lygių šešių kubelių vaizdai.
Stereo pora

Stereopora tesserakto vaizduojama kaip dvi projekcijos į trimatę erdvę. Šis tesserakto vaizdas buvo sukurtas taip, kad atspindėtų gylį kaip ketvirtą dimensiją. Stereopora žiūrima taip, kad kiekviena akis matytų tik vieną iš šių vaizdų, atsiranda stereoskopinis vaizdas, atkuriantis tesserakto gylį.

Tesserakto išvyniojimas

Tesrakto paviršius gali būti išlankstytas į aštuonis kubus (panašiai kaip kubo paviršius gali būti išlankstytas į šešis kvadratus). Yra 261 skirtingas tesserakto dizainas. Teserakto išsiskleidimą galima apskaičiuoti grafike nubraižant sujungtus kampus.

Teseraktas mene

Edwinos A. „Naujojoje Abott lygumoje“ hiperkubas veikia kaip pasakotojas.
Vienoje „Džimio Neutrono nuotykių“ serijoje „Boy Genius“ Jimmy išranda keturių dimensijų hiperkubą, identišką 1963 m. Heinleino romano „Šlovės kelias“ sulankstomai dėžutei.
Robertas E. Heinleinas hiperkubus paminėjo mažiausiai trijose mokslinės fantastikos istorijose. Knygoje „Keturių matmenų namas“ (The House That Teal Built) (1940 m.) jis aprašė namą, pastatytą kaip nesuvyniotas tesraktas.
Heinleino romane „Šlovės kelias“ aprašomi didelio dydžio indai, kurių vidus buvo didesnis nei išorė.
Henry Kuttnerio apsakyme „Mimsy Were the Borogoves“ aprašomas lavinantis žaislas vaikams iš tolimos ateities, savo struktūra panašus į tesseraktą.
Alexo Garlando (1999) romane terminas „tesseraktas“ vartojamas trimačiam keturmačio hiperkubo išskleidimui, o ne pačiam hiperkubui. Tai metafora, skirta parodyti, kad kognityvinė sistema turi būti platesnė už žinomą.
„Cube 2“ siužetas: „Hypercube“ centre yra aštuoni nepažįstamieji, įstrigę „hiperkube“ arba sujungtų kubų tinkle.
Televizijos serialas „Andromeda“ kaip siužetinį įrenginį naudoja tesseraktų generatorius. Jie pirmiausia skirti manipuliuoti erdve ir laiku.
Salvadoro Dali paveikslas „Nukryžiavimas“ (Corpus Hypercubus) (1954)
„Nextwave“ komiksų knygoje pavaizduota transporto priemonė, kurią sudaro 5 tesraktų zonos.
Albume Voivod Nothingface viena iš kompozicijų vadinasi „In my hypercube“.
Anthony Pearce'o romane „Maršruto kubas“ vienas iš Tarptautinės plėtros asociacijos orbitoje skriejančių palydovų vadinamas tesseraktu, kuris buvo suspaustas į 3 dimensijas.
Seriale „Mokykla“ Juodoji skylė„“ trečiajame sezone yra „Tesseract“ serija. Lukas paspaudžia slaptą mygtuką ir mokykla pradeda formuotis kaip matematinė tesarakta.
Terminas „tesseraktas“ ir jo išvestinis terminas „tesseratas“ yra Madeleine L’Engle apsakyme „Laiko raukšlė“.

Daugiamatių erdvių doktrina pradėjo atsirasti vidurys - 19 d amžiaus G. Grassmanno, A. Cayley, B. Riemanno, W. Cliffordo, L. Schläfli ir kitų matematikų darbuose. pradžioje, atsiradus A. Einšteino reliatyvumo teorijai ir G. Minkovskio idėjoms, fizikoje pradėta naudoti keturmatė erdvės ir laiko koordinačių sistema.

Tada keturmatės erdvės idėją iš mokslininkų pasiskolino mokslinės fantastikos rašytojai. Savo darbuose jie pasauliui papasakojo apie nuostabius ketvirtosios dimensijos stebuklus. Savo kūrinių herojai, pasinaudodami keturmatės erdvės savybėmis, nepažeisdami lukšto galėjo suvalgyti kiaušinio turinį, o atsigerti – neatplėšę butelio kamštelio. Vagys iš seifo išnešė lobį per ketvirtą dimensiją. Grandinės jungtis galima nesunkiai atjungti, o virvės mazgą atsukti neliečiant jos galų. Chirurgai atliko operacijas Vidaus organai nepjaunant paciento kūno audinių. Mistikai įkėlė išėjusiųjų sielas į ketvirtą dimensiją. Dėl paprastas žmogus keturmatės erdvės idėja išliko nesuprantama ir paslaptinga, o daugelis paprastai keturmatę erdvę laiko mokslininkų ir mokslinės fantastikos rašytojų vaizduotės vaisiumi, neturinčiu nieko bendra su realybe.

Suvokimo problema

Tradiciškai manoma, kad žmogus negali suvokti ir įsivaizduoti keturmačių figūrų, nes jis yra trimatė būtybė. Tiriamasis suvokia trimates figūras naudodamas tinklainę, kuri yra dvimatė. Norint suvokti keturmates figūras, reikalinga trimatė tinklainė, tačiau žmonės tokio gebėjimo neturi.

Kad susidarytume aiškų supratimą apie keturmates figūras, naudosime analogijas iš žemesnių matmenų erdvių, kad ekstrapoliuotume į aukštesnių matmenų figūras, naudosime modeliavimo metodą, taikysime metodus sistemos analizė ieškoti raštų tarp keturmačių figūrų elementų. Siūlomi modeliai turi adekvačiai apibūdinti keturmačių figūrų savybes, neprieštarauti viena kitai ir suteikti pakankamai supratimo apie keturmatę figūrą ir, visų pirma, jos geometrine forma. Kadangi literatūroje nėra sisteminio ir vaizdinio keturmačių figūrų aprašymo, o tik kai kurias savybes nurodantys jų pavadinimai, siūlome keturmačių figūrų tyrimą pradėti nuo paprasčiausio – keturmačio kubo, kuris vadinamas hiperkubas.

Hiperkubo apibrėžimas

Hiperkubasyra taisyklingas politopas, kurio ląstelė yra kubas.

Politopas yra keturmatė figūra, kurios riba susideda iš daugiakampių. Politopinės ląstelės analogas yra daugiakampio veidas. Hiperkubas yra trimačio kubo analogas.

Turėsime idėją apie hiperkubą, jei žinosime jo savybes. Subjektas suvokia tam tikrą objektą, reprezentuodamas jį tam tikro modelio pavidalu. Naudokime šį metodą ir pristatykime hiperkubo idėją įvairių modelių pavidalu.

Analitinis modelis

Vienmatę erdvę (tiesiąją liniją) laikysime sutvarkyta taškų rinkiniuM(x), kur x– savavališko tiesės taško koordinatė. Tada vieneto segmentas nurodomas nurodant du taškus:A(0) ir B(1).

Plokštuma (dvimatė erdvė) gali būti laikoma tvarkinga taškų rinkiniu M(x; y). Vieneto kvadratas bus visiškai apibrėžtas keturiomis jo viršūnėmis: A(0; 0), B(1; 0), C(1; 1), D(0; 1). Kvadrato viršūnių koordinatės gaunamos prie atkarpos koordinačių pridedant nulį, o po to – vieną.

Trimatė erdvė – sutvarkytas taškų rinkinys M(x; y; z). Norint apibrėžti trimatį kubą, reikia aštuonių taškų:

A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0),

E(0; 0; 1), F(1; 0; 1), G(1; 1; 1), H(0; 1; 1).

Kubo koordinatės gaunamos iš kvadrato koordinačių pridedant nulį, o po to vienetą.

Keturmatė erdvė yra sutvarkytas taškų rinkinys M(x; y; z; t). Norėdami apibrėžti hiperkubą, turite nustatyti šešiolikos jo viršūnių koordinates:

A(0; 0; 0; 0), B(1; 0; 0; 0), C(1; 1; 0; 0), D(0; 1; 0; 0),

E(0; 0; 1; 0), F(1; 0; 1; 0), G(1; 1; 1; 0), H(0; 1; 1; 0),

K(0; 0; 0; 1), L(1; 0; 0; 1), M(1; 1; 0; 1), N(0; 1; 0; 1),

O(0; 0; 1; 1), P(1; 0; 1; 1), R(1; 1; 1; 1), S(0; 1; 1; 1).

Hiperkubo koordinatės gaunamos iš trimačio kubo koordinačių, pridedant ketvirtą koordinatę, lygią nuliui, o paskui vieną.

Naudojant keturių dimensijų euklido erdvės analitinės geometrijos formules, galima gauti hiperkubo savybes.
Pavyzdžiui, apsvarstykite hiperkubo pagrindinės įstrižainės ilgio apskaičiavimą. Tarkime, kad turime rasti atstumą tarp taškų A(0, 0, 0, 0) ir R(1, 1, 1, 1). Norėdami tai padaryti, naudosime atstumo formulę keturmatėje Euklido erdvėje.

Dvimatėje erdvėje (plokštumoje) atstumas tarp taškų A(x 1 , y 1) ir B(x 2 , y 2) apskaičiuojamas pagal formulę

Ši formulė išplaukia iš Pitagoro teoremos.

Atitinkama atstumo tarp taškų formulė A(x 1 , y 1 , z 1) ir B(x 2 , y 2 , z 2) trimatėje erdvėje turi formą

Ir vienmatėje erdvėje (tiesioje linijoje) tarp taškų A( x 1) ir B( x 2) galite parašyti atitinkamą atstumo formulę:

Panašiai ir atstumas tarp taškų A(x 1 , y 1 , z 1 , t 1) ir B(x 2 , y 2 , z 2 , t 2) keturmatėje erdvėje bus apskaičiuojama pagal formulę:

Siūlomu pavyzdžiu randame

Taigi, hiperkubas egzistuoja analitiškai, o jo savybes galima apibūdinti ne blogiau nei trimačio kubo savybes.

Dinaminis modelis

Analitinis hiperkubo modelis yra labai abstraktus, todėl panagrinėkime kitą modelį – dinaminį.

Taškas (nulinė figūra), judanti viena kryptimi, sukuria atkarpą (vienmatę figūrą). Atkarpa, judanti sau statmena kryptimi, sukuria kvadratą (dvimatę figūrą). Kvadratas, judėdamas kvadrato plokštumai statmena kryptimi, sukuria kubą (trimatę figūrą).

Kubas, judantis statmenai trimatei erdvei, kurioje jis iš pradžių buvo, sukuria hiperkubą (keturmatę figūrą).

Hiperkubo riba yra trimatė, baigtinė ir uždara. Jį sudaro trimatis kubas pradinė padėtis, trimatis kubas galutinėje padėtyje ir šeši kubai, suformuoti perkeliant pradinio kubo kvadratus ketvirtojo matmens kryptimi. Visa hiperkubo riba susideda iš 8 trimačių kubelių (ląstelių).

Judant pradinėje padėtyje, kubas turėjo 8 viršūnes, o galutinėje padėtyje taip pat buvo 8 viršūnės. Todėl hiperkubas iš viso turi 16 viršūnių.

Iš kiekvienos viršūnės išeina keturios viena kitai statmenos briaunos. Hiperkubas iš viso turi 32 briaunas Pradinėje padėtyje jis turėjo 12 briaunų, galutinėje padėtyje taip pat buvo 12 briaunų, o 8 briaunos sudarė kubo viršūnes judant ketvirtoje dimensijoje.

Taigi, hiperkubo kraštinė susideda iš 8 kubelių, kurie susideda iš 24 kvadratų. Būtent 6 kvadratai pradinėje padėtyje, 6 galutinėje padėtyje ir 12 kvadratų, suformuotų judant 12 briaunų ketvirtojo matmens kryptimi.

Geometrinis modelis

Dinaminis hiperkubo modelis gali atrodyti nepakankamai aiškus. Todėl panagrinėkime geometrinį hiperkubo modelį. Kaip gauti geometrinį 3D kubo modelį? Padarome jo vystymą, o iš vystymo „sulipdome“ kubo modelį. Erdvinio kubo kūrimas susideda iš kvadrato su kvadratu, pritvirtintu prie jo šonų, ir dar vieno kvadrato. Sukame gretimus kvadratus aplink kvadrato kraštines, o gretimas kvadratų puses sujungiame viena su kita. O likusias keturias puses uždarome paskutiniu kvadratu (1 pav.).

Panašiai panagrinėkime ir hiperkubo kūrimą. Jo plėtra bus trimatė figūra, sudaryta iš originalaus trimačio kubo, šešių kubelių, esančių šalia kiekvieno originalaus kubo paviršiaus, ir dar vieno kubo. Iš viso yra aštuoni trimačiai kubai (2 pav.). Norėdami gauti keturmatį kubą (hiperkubą) iš šio kūrimo, turite pasukti kiekvieną gretimą kubą 90 laipsnių kampu. Šie gretimi kubai bus kitoje trimatėje erdvėje. Sujunkite gretimus kubelių paviršius (kvadratus) vienas su kitu. Į likusią tuščią vietą įdėkite aštuntąjį kubą su jo veidais. Gauname keturmatę figūrą – hiperkubą, kurio ribą sudaro aštuoni trimačiai kubai.

Hiperkubo vaizdas

Viršuje buvo parodyta, kaip „suklijuoti“ hiperkubo modelį iš trimačio skenavimo. Vaizdus gauname naudodami projekciją. Centrinė trimačio kubo projekcija (jo vaizdas plokštumoje) atrodo taip (3 pav.). Kvadrato viduje yra kita aikštė. Atitinkamos kvadrato viršūnės yra sujungtos atkarpomis. Gretimi kvadratai vaizduojami kaip trapecijos, nors trimatėje erdvėje jie yra kvadratai. Vidiniai ir išoriniai kvadratai yra skirtingo dydžio, tačiau tikroje trimatėje erdvėje jie yra vienodi kvadratai.

Panašiai centrinė keturmačio kubo projekcija į trimatę erdvę atrodys taip: vieno kubo viduje yra kitas kubas. Atitinkamos kubelių viršūnės yra sujungtos segmentais. Vidinis ir išorinis kubai trimatėje erdvėje yra skirtingo dydžio, tačiau keturmatėje erdvėje jie yra vienodi kubai (4 pav.).

Šešios nupjautos piramidės yra lygių šešių keturių dimensijų kubo langelių (kubelių) atvaizdai.

Šią trimatę projekciją galima nubrėžti plokštumoje ir patikrinti, ar naudojant dinaminį modelį gautos hiperkubo savybės yra teisingos.

Hiperkubas turi 16 viršūnių, 32 briaunas, 24 paviršius (kvadratus), 8 langelius (kubus). Iš kiekvienos viršūnės išeina keturios viena kitai statmenos briaunos. Hiperkubo riba yra trimatė uždara išgaubta figūra, kurios tūris (šoninis hiperkubo tūris) lygus aštuoniems vienetiniams trimačiams kubeliams. Šios figūros viduje yra vienetinis hiperkubas, kurio hipertūris lygus vieneto hiperkubo hipertūriui.

Išvada

Šio darbo tikslas buvo pateikti pradinį įvadą į keturmatę erdvę. Tai buvo padaryta naudojant paprasčiausios figūros pavyzdį – hiperkubą.

Keturių dimensijų pasaulis yra nuostabus! Jame, kartu su panašiomis figūromis trimatėje erdvėje, yra ir analogų trimatėje erdvėje neturinčios figūros.

Daugelis materialaus pasaulio reiškinių, makropasaulio ir megapasaulio, nepaisant didžiulių fizikos, chemijos ir astronomijos laimėjimų, liko nepaaiškinti.

Nėra vienos teorijos, kuri paaiškintų visas gamtos jėgas. Nėra patenkinamo Visatos modelio, kuris paaiškintų jos struktūrą ir pašalintų paradoksus.

Išmokus keturmatės erdvės ypatybes ir pasiskolavus idėjų iš keturmatės geometrijos, bus galima ne tik kurti griežtesnes materialaus pasaulio teorijas ir modelius, bet ir sukurti pagal dėsnius veikiančius įrankius bei sistemas. keturmačio pasaulio, tada žmogaus galimybės bus dar įspūdingesnės.

Jei esate filmų „Keršytojai“ gerbėjas, pirmas dalykas, kuris gali ateiti į galvą išgirdus žodį „Tesseract“, yra skaidrus kubo formos begalybės akmens indas, turintis neribotą galią.

„Marvel“ visatos gerbėjams „Tesseract“ yra švytintis mėlynas kubas, dėl kurio žmonės ne tik iš Žemės, bet ir iš kitų planetų eina iš proto. Štai kodėl visi Keršytojai susibūrė, kad apsaugotų žemiečius nuo itin destruktyvių Tesseract galių.

Tačiau tai reikia pasakyti: „Tesseract“ yra tikroji geometrinė koncepcija arba, tiksliau, forma, egzistuojanti 4D. Tai ne tik mėlynas kubas iš „Avengers“... tai tikra koncepcija.

Tesseract yra 4 matmenų objektas. Tačiau prieš tai išsamiai paaiškindami, pradėkime nuo pradžių.

Kas yra "matavimas"?

Kiekvienas žmogus yra girdėjęs terminus 2D ir 3D, kurie reiškia atitinkamai dvimačius arba trimačius objektus erdvėje. Bet kas yra šie matavimai?

Matmenys yra tiesiog kryptis, kuria galite eiti. Pavyzdžiui, jei piešiate liniją ant popieriaus lapo, galite eiti į kairę/dešinę (x ašis) arba aukštyn/žemyn (y ašis). Taigi sakome, kad popierius yra dvimatis, nes galite eiti tik dviem kryptimis.

Yra 3D gylio pojūtis.

Dabar, į realus pasaulis, be dviejų aukščiau paminėtų krypčių (kairėn/dešinėn ir aukštyn/žemyn), taip pat galite eiti "į/iš". Todėl 3D erdvėje pridedamas gylio pojūtis. Todėl mes taip sakome Tikras gyvenimas 3 dimensijos.

Taškas gali reikšti 0 matmenų (nes nejuda jokia kryptimi), linija reiškia 1 matmenį (ilgį), kvadratas – 2 matmenis (ilgį ir plotį), o kubas – 3 matmenis (ilgį, plotį ir aukštį). ).

Paimkite 3D kubą ir kiekvieną jo paviršių (kurie šiuo metu yra kvadratai) pakeiskite kubu. Ir taip! Gaunama forma yra tesseraktas.

Kas yra tesseraktas?

Paprasčiau tariant, tesseraktas yra kubas 4 matmenų erdvėje. Taip pat galite sakyti, kad tai yra 4D kubo versija. Tai 4D forma, kurioje kiekvienas veidas yra kubas.

3D projekcija tesserakto, atliekančio dvigubą sukimąsi aplink dvi statmenas plokštumas.
Nuotrauka: Jasonas Hise

Štai paprastas būdas konceptualizuoti matmenis: kvadratas yra dvimatis; todėl kiekvienas jo kampas turi po 2 linijas, besitęsiančias nuo jos 90 laipsnių kampu viena kitos atžvilgiu. Kubas yra 3D, todėl kiekvienas jo kampas turi 3 eilutes, išeinančias iš jo. Taip pat tesseraktas yra 4D formos, todėl kiekviename kampe yra 4 linijos, besitęsiančios iš jo.

Kodėl sunku įsivaizduoti tesseraktą?

Kadangi mes, kaip žmonės, evoliucionavome, kad galėtume vizualizuoti objektus trimis dimensijomis, viskas, kas patenka į papildomus matmenis, pvz., 4D, 5D, 6D ir tt, mums nėra labai prasminga, nes negalime jų visiškai pristatyti. Mūsų smegenys negali suprasti 4-osios erdvės dimensijos. Mes tiesiog negalime apie tai galvoti.

Tačiau vien todėl, kad negalime įsivaizduoti daugiamačių erdvių koncepcijos, dar nereiškia, kad ji negali egzistuoti.