Pamoka „konstravimas su kompasais ir liniuote“. Atkarpos, lygios dviejų sandaugai arba kitų santykiui, sukūrimas naudojant kompasą ir liniuotę - kūrybinis darbas Figūrų konstravimas naudojant kompasą

Instrukcijos

Įdėkite kompaso adatą į pažymėtą tašką. Naudodami koją su rašikliu, nubrėžkite išmatuoto spindulio apskritimo lanką.

Padėkite tašką bet kurioje nubrėžto lanko perimetro vietoje. Tai bus antroji kuriamo trikampio viršūnė B.

Panašiai uždėkite koją ant antrosios smailės. Nubrėžkite kitą apskritimą, kad jis kirstų pirmąjį.

Trečioji sukurto trikampio viršūnė C yra abiejų nubrėžtų lankų susikirtimo taške. Pažymėkite jį paveikslėlyje.

Gavę visas tris viršūnes, sujunkite jas tiesiomis linijomis naudodami bet kokį plokščią paviršių (geriausia liniuotę). Sukonstruotas trikampis ABC.

Jei apskritimas liečia visas tris duoto trikampio kraštines, o jo centras yra trikampio viduje, tada jis vadinamas įrašytu į trikampį.

Jums reikės

  • liniuotė, kompasas

Instrukcijos

Iš trikampio viršūnių (skilimo kampui priešingos kraštinės) kompasu brėžiami savavališko spindulio apskritimo lankai, kol jie susikerta;

Lankų susikirtimo taškas išilgai liniuotės sujungtas su dalijamojo kampo viršūne;

Tas pats daroma su bet kokiu kitu kampu;

Į trikampį įbrėžto apskritimo spindulys bus trikampio ploto ir jo pusperimetro santykis: r=S/p, kur S yra trikampio plotas, o p=(a+ b+c)/2 – trikampio pusperimetras.

Į trikampį įbrėžto apskritimo spindulys yra vienodu atstumu nuo visų trikampio kraštinių.

Šaltiniai:

  • http://www.alleng.ru/d/math/math42.htm

Panagrinėkime trikampio sudarymo problemą, jei žinomos trys jo kraštinės arba viena kraštinė ir du kampai.

Jums reikės

  • - kompasas
  • - valdovas
  • - transporteris

Instrukcijos

Tarkime, yra trys pusės: a, b ir c. Su tokiomis pusėmis jį naudoti nėra sunku. Pirmiausia pasirinkite ilgiausią iš šių kraštinių, tegul ji yra c kraštinė, ir nubrėžkime ją. Tada kompaso angą nustatome į kitos kraštinės a reikšmę ir nubrėžiame apskritimą spindulio a kompasu, kurio centras yra viename iš kraštinės c galų. Dabar nustatykite kompaso angą b kraštinės dydžio ir nubrėžkite apskritimą, kurio centras yra kitame c kraštinės gale. Šio apskritimo spindulys yra b. Sujungkime apskritimų susikirtimo tašką su centrais ir gaukime trikampį su reikiamomis kraštinėmis.

Norėdami nubrėžti trikampį su nurodyta kraštine ir dviem gretimais kampais, naudokite transporterį. Nubrėžkite nurodyto ilgio kraštinę. Jos kraštuose kampus pažymėkite transporteriu. Kampų kraštinių sankirtoje gaukite trečiąją trikampio viršūnę.

Video tema

pastaba

Trikampio kraštinėms galioja toks teiginys: bet kurių dviejų kraštinių ilgių suma turi būti didesnė už trečiąją. Jei to nesilaikoma, tokio trikampio sukurti neįmanoma.

1 veiksme apskritimai susikerta dviejuose taškuose. Galite pasirinkti bet kurį, trikampiai bus lygūs.

Taisyklingas trikampis yra toks, kurio visos kraštinės yra vienodo ilgio. Remiantis šiuo apibrėžimu, tokio tipo trikampio sukūrimas nėra sudėtinga užduotis.

Jums reikės

  • Liniuotė, linijinio popieriaus lapas, pieštukas

Instrukcijos

Naudodami liniuotę, nuosekliai, vieną po kito sujunkite ant popieriaus lapo pažymėtus taškus, kaip parodyta 2 pav.

pastaba

Taisyklingo (lygiakraščio) trikampio visi kampai lygūs 60 laipsnių.

Naudingas patarimas

Lygiakraštis trikampis taip pat yra lygiakraštis trikampis. Jei trikampis yra lygiašonis, tai reiškia, kad 2 iš 3 jo kraštinių yra lygios, o trečioji kraštinė laikoma pagrindu. Bet kuris taisyklingas trikampis yra lygiašonis, o atvirkščiai – netiesa.

Bet kuris lygiakraštis trikampis turi tas pačias ne tik kraštines, bet ir kampus, kurių kiekvienas yra lygus 60 laipsnių. Tačiau tokio trikampio brėžinys, sukonstruotas naudojant transporterį, nebus labai tikslus. Todėl norint sukurti šią figūrą, geriau naudoti kompasą.

Jums reikės

  • Pieštukas, liniuotė, kompasas

Instrukcijos

Tada paimkite kompasą, padėkite jį ant galų (būsimos trikampio viršūnės) ir nubrėžkite apskritimą, kurio spindulys lygus šios atkarpos ilgiui. Nereikia nubrėžti viso apskritimo, o tik ketvirtadalį jo iš priešingo segmento krašto.

Dabar perkelkite kompasą į kitą segmento galą ir vėl nubrėžkite to paties spindulio apskritimą. Čia pakaks sukonstruoti apskritimą, einantį nuo tolimiausio atkarpos galo iki susikirtimo su jau sukonstruotu lanku. Gautas taškas bus trečioji jūsų trikampio viršūnė.

Norėdami užbaigti konstrukciją, vėl paimkite liniuotę ir pieštuką ir sujunkite dviejų apskritimų susikirtimo tašką su abiem segmento galais. Gausite trikampį, kurio visos trys kraštinės yra visiškai lygios – tai galima nesunkiai patikrinti liniuote.

Video tema

Trikampis yra daugiakampis, turintis tris kraštines. Lygiakraštis arba taisyklingasis trikampis yra trikampis, kurio visos kraštinės ir kampai yra lygūs. Pažiūrėkime, kaip nubrėžti įprastą trikampį.

Jums reikės

  • Liniuotė, kompasas.

Instrukcijos

Kompasu nubrėžkite kitą apskritimą, kurio centras bus taške B, o spindulys bus lygus atkarpai BA.

Apskritimai susikirs dviejuose taškuose. Pasirinkite bet kurį iš jų. Pavadinkite jį C. Tai bus trečioji trikampio viršūnė.

Sujunkite viršūnes kartu. Gautas trikampis bus teisingas. Tuo įsitikinkite liniuote išmatuodami jo šonus.

Apsvarstykime būdą, kaip sukurti taisyklingą trikampį naudojant dvi liniuotes. Nubrėžkite atkarpą Gerai, ji bus viena iš trikampio kraštinių, o taškai O ir K bus jo viršūnės.

Nejudindami liniuotės sukonstravę atkarpą OK, pritvirtinkite jai kitą liniuotę statmenai. Nubrėžkite tiesę m, kertančią atkarpą OK viduryje.

Liniuote išmatuokite atkarpą OE, lygią atkarpai OK, kad vienas galas sutaptų su tašku O, o kitas būtų tiesėje m. Taškas E bus trečioji trikampio viršūnė.

Trikampio konstrukciją užbaikite sujungdami taškus E ir K. Konstrukcijos teisingumą patikrinkite liniuote.

pastaba

Galite įsitikinti, kad trikampis yra taisyklingas, naudodami transporterį, matuodami kampus.

Naudingas patarimas

Lygiakraštį trikampį taip pat galima nupiešti ant languoto popieriaus lapo, naudojant vieną liniuotę. Užuot naudoję kitą liniuotę, naudokite statmenas linijas.

Šaltiniai:

  • Trikampių klasifikacija. Lygiakraščiai trikampiai
  • Kas yra trikampis
  • statant taisyklingąjį trikampį

Įbrėžtasis trikampis yra tas, kurio visos viršūnės yra apskritime. Galite pastatyti, jei žinote bent vieną pusę ir kampą. Apskritimas vadinamas apskritimu ir šiam trikampiui bus vienintelis.

Jums reikės

  • - ratas;
  • - trikampio kraštinė ir kampas;
  • - popierius;
  • - kompasas;
  • - liniuotė;
  • - transporteris;
  • - skaičiuotuvas.

Instrukcijos

Iš taško A naudokite transporterį, kad nubrėžtumėte nurodytą kampą. Tęskite kampo kraštinę, kol ji susikirs su apskritimu, ir pastatykite tašką C. Sujunkite taškus B ir C. Turite trikampį ABC. Jis gali būti bet kokio tipo. Smailaus trikampio apskritimo centras yra išorėje, bukojo trikampio – išorėje, o stačiakampio – ant hipotenuzės. Jei jums duotas ne kampas, o, pavyzdžiui, trys trikampio kraštinės, apskaičiuokite vieną iš kampų iš spindulio ir žinomos kraštinės.

Daug dažniau tenka susidurti su atvirkštine konstrukcija, kai duodamas trikampis ir reikia apibūdinti aplink jį esantį apskritimą. Apskaičiuokite jo spindulį. Tai galima padaryti naudojant kelias formules, priklausomai nuo to, kas jums duota. Spindulį galima rasti, pavyzdžiui, pagal priešingo kampo šoną ir sinusą. Šiuo atveju jis lygus kraštinės ilgiui, padalintam iš priešingo kampo sinuso du kartus. Tai yra, R=a/2sinCAB. Jis gali būti išreikštas ir per kraštinių sandaugą, šiuo atveju R=abc/√(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a).

Nustatykite apskritimo centrą. Padalinkite visas puses per pusę ir nubrėžkite statmenus vidurio taškams. Jų susikirtimo taškas bus apskritimo centras. Nubrėžkite jį taip, kad jis kirstų visas kampų viršūnes.

Dvi trumposios stačiojo trikampio kraštinės, kurios paprastai vadinamos kojomis, pagal apibrėžimą turi būti statmenos viena kitai. Ši figūros savybė labai palengvina jos konstrukciją. Tačiau ne visada įmanoma tiksliai nustatyti statmenumą. Tokiais atvejais galite paskaičiuoti visų kraštinių ilgius – jie leis trikampį sukonstruoti vieninteliu įmanomu, taigi ir teisingu, būdu.

Jums reikės

  • Popierius, pieštukas, liniuotė, transporteris, kompasas, kvadratas.

Enciklopedinis „YouTube“.

    1 / 5

    ✪ 7 klasė, 22 pamoka, Konstrukcijos su kompasais ir liniuote

    ✪ Geometry 7 apskritimo konstrukcijos su kompasu ir liniuote

    ✪ Trikampio konstravimas naudojant dvi kraštines ir kampą tarp jų

    ✪ Geometrija 7 Konstravimo problemų pavyzdžiai

    ✪ 7 klasė, 23 pamoka, Statybos problemų pavyzdžiai

    Subtitrai

Pavyzdžiai

Bisekcijos problema. Norėdami padalinti šį segmentą, naudokite kompasą ir liniuotę ABį dvi lygias dalis. Vienas iš sprendimų parodytas paveikslėlyje:

  • Kompasu nubrėžiame apskritimus su centrais taškuose A Ir B spindulys AB.
  • Susikirtimo taškų paieška P Ir K du sukonstruoti apskritimai (lankai).
  • Naudodami liniuotę, nubrėžkite atkarpą arba liniją, einančią per taškus P Ir K.
  • Norimo atkarpos vidurio taško radimas AB- susikirtimo taškas AB Ir PQ.

Formalus apibrėžimas

Konstravimo uždaviniuose atsižvelgiama į daugelį šių objektų: visi plokštumos taškai, visos plokštumos tiesės ir visi plokštumos apskritimai. Problemos sąlygomis iš pradžių nurodomas tam tikras objektų rinkinys (laikomas sukonstruotu). Į pastatytų objektų rinkinį leidžiama pridėti (statyti):

  1. savavališkas taškas;
  2. savavališkas taškas duotoje tiesėje;
  3. savavališkas taškas duotame apskritime;
  4. dviejų nurodytų tiesių susikirtimo taškas;
  5. duotosios tiesės ir duoto apskritimo susikirtimo/lietimo taškai;
  6. dviejų duotųjų apskritimų susikirtimo/lietimo taškai;
  7. savavališka tiesė, einanti per nurodytą tašką;
  8. tiesi linija, einanti per du duotus taškus;
  9. savavališkas apskritimas, kurio centras yra tam tikrame taške;
  10. savavališkas apskritimas, kurio spindulys lygus atstumui tarp dviejų nurodytų taškų;
  11. apskritimas, kurio centras yra tam tikrame taške, o spindulys lygus atstumui tarp dviejų nurodytų taškų.

Naudojant baigtinį šių operacijų skaičių, reikia sukurti kitą objektų rinkinį, kuris yra tam tikrame santykyje su pradine rinkiniu.

Statybos problemos sprendimą sudaro trys esminės dalys:

  1. Pateikto rinkinio sudarymo metodo aprašymas.
  2. Įrodymas, kad aibė, sudaryta aprašytu būdu, iš tikrųjų yra tam tikrame santykyje su pradine rinkiniu. Paprastai konstrukcijos įrodymas atliekamas kaip įprastas teoremos įrodymas, remiantis aksiomomis ir kitomis įrodytomis teoremomis.
  3. Aprašyto konstravimo metodo pritaikomumo skirtingoms pradinių sąlygų versijoms, taip pat aprašytu būdu gauto sprendimo unikalumo ar nepakartojamumo analizė.

žinomos problemos

Kita gerai žinoma ir neišsprendžiama problema, naudojant kompasą ir liniuotę, yra trikampio sukūrimas naudojant tris duotus bisektorių ilgius. Ši problema išlieka neišsprendžiama net naudojant įrankį, kuris atlieka kampo trisiciją, pvz., Tomahawk.

Priimtini segmentai statybai naudojant kompasą ir liniuotę

Naudojant šiuos įrankius galima sudaryti atkarpą, kurios ilgis yra:

Norint sudaryti atkarpą, kurios ilgis skaitiniu būdu lygus duotųjų atkarpų ilgių sandaugai, daliniui ir kvadratinei šaknei, konstravimo plokštumoje reikia nurodyti vienetinį segmentą (tai yra 1 ilgio atkarpą). Naudojant kompasą ir liniuotę neįmanoma ištraukti šaknų iš segmentų su kitomis natūraliomis galiomis, kurios nėra 2 galios. Taigi, pavyzdžiui, naudojant kompasą ir liniuotę neįmanoma sukurti ilgio segmento iš vienetinio segmento. Iš šio fakto visų pirma išplaukia, kad kubo padvigubinimo problema yra neišsprendžiama.

Galimos ir neįmanomos konstrukcijos

Formaliu požiūriu bet kurios konstravimo problemos sprendimas redukuojamas į grafinį kokios nors algebrinės lygties sprendimą, o šios lygties koeficientai yra susieti su duotųjų atkarpų ilgiais. Todėl galime sakyti, kad konstravimo užduotis yra rasti tikrąsias algebrinės lygties šaknis.

Todėl patogu kalbėti apie skaičiaus konstravimą – tam tikro tipo lygties grafinį sprendimą.

Atsižvelgiant į galimas segmentų konstrukcijas, galimos šios konstrukcijos:

  • Tiesinių lygčių sprendinių konstravimas.
  • Lygčių sprendinių, redukuojančių į kvadratinių lygčių sprendinius, konstravimas.

Kitaip tariant, naudojant pradinių skaičių kvadratinę šaknį (nurodytas atkarpų ilgis), galima sudaryti tik atkarpas, lygias aritmetinėms išraiškoms.

Svarbu pažymėti, kad labai svarbu, kad sprendimas būtų išreikštas naudojant kvadratasšaknys, o ne savavališko laipsnio radikalai. Net jei algebrinė lygtis turi sprendinį radikaluose, tai nereiškia, kad kompasu ir liniuote galima sudaryti atkarpą, lygią jos sprendiniui. Paprasčiausia lygtis yra tokia: x 3 − 2 = 0, (\displaystyle x^(3)-2=0,) siejamas su garsiąja kubo padvigubinimo problema, kuri redukuojasi iki šios kubinės lygties. Kaip minėta aukščiau, šios lygties sprendimas ( 2 3 (\displaystyle (\sqrt[(3)](2)))) negali būti sukonstruotas naudojant kompasą ir liniuotę.

Galimybė sukonstruoti taisyklingą 17 kampų išplaukia iš jo kraštinės centrinio kampo kosinuso išraiškos:

cos ⁡ (2 π 17) = − 1 16 + 1 16 17 + 1 16 34 − 2 17 + (\displaystyle \cos (\left((\frac (2\pi )(17))\right))=- (\frac (1)(16))\;+\;(\frac (1)(16))(\sqrt (17))\;+\;(\frac (1)(16))(\sqrt (34-2(\sqrt (17))))\;+\;) + 1 8 17 + 3 17 − 34 − 2 17 − 2 34 + 2 17 , (\displaystyle +(\frac (1)(8))(\sqrt (17+3(\sqrt (17))-(\ sqrt (34-2(\sqrt (17))))-2(\sqrt (34+2(\sqrt (17))))))) o tai savo ruožtu išplaukia iš galimybės redukuoti formos lygtį x F n − 1 = 0, (\displaystyle x^(F_(n))-1=0,) Kur F n (\displaystyle F_(n))- bet koks pirminis skaičius Fermat, naudojant kintamojo pakeitimą kvadratine lygtimi.

Variacijos ir apibendrinimai

  • Konstrukcijos naudojant vieną kompasą. Pagal Mohr-Mascheroni teoremą, vieno kompaso pagalba galima sukonstruoti bet kokią figūrą, kurią galima sukonstruoti kompasu ir liniuote. Šiuo atveju tiesi linija laikoma nutiesta, jei joje nurodyti du taškai.
  • Konstrukcijos naudojant vieną liniuotę. Akivaizdu, kad naudojant vieną liniuotę galima atlikti tik projekcines-kintamąsias konstrukcijas. Visų pirma,
    • net neįmanoma padalinti segmento į dvi lygias dalis,
    • Taip pat neįmanoma rasti nurodyto apskritimo centro.
Tačiau
  • Jei plokštumoje yra iš anksto nupieštas apskritimas su pažymėtu centru ir viena liniuote, galite atlikti tokias pačias konstrukcijas kaip ir su kompasu ir liniuote (

Jei visiškai natūralu, kad su didesne įrankių įvairove galima išspręsti didesnį konstrukcinių problemų rinkinį, tai galima būtų numatyti, kad, priešingai, su apribojimais įrankiams, sprendžiamų problemų klasė bus susiaurintas. Juo labiau įsidėmėtinas italo Mascheroni (1750-1800) atradimas: visas geometrines konstrukcijas, kurias galima padaryti su kompasu ir liniuote, galima padaryti tiesiog su kompasu. Žinoma, reikia pažymėti, kad iš tikrųjų neįmanoma nubrėžti tiesios linijos per du duotus taškus be liniuotės, todėl šios pagrindinės konstrukcijos Mascheroni teorija neapima. Vietoj to turime daryti prielaidą, kad linija yra duota, jei pateikti du jos taškai. Bet vien kompaso pagalba galima rasti dviejų taip apibrėžtų tiesių susikirtimo tašką arba tiesės susikirtimo su apskritimu tašką.

Turbūt paprasčiausias Mascheroni konstrukcijos pavyzdys yra duotosios atkarpos padvigubinimas.Sprendimas jau buvo pateiktas 185 puslapyje. Be to, 186 puslapyje sužinojome, kaip duotąją atkarpą padalinti per pusę. Dabar pažiūrėkime, kaip padalinti apskritimo lanką, kurio centras yra O. Štai šios konstrukcijos aprašymas. Nubrėžiame du lankus su centrais, kurių spindulys. Iš taško O ant šių lankų nubraižome du tokius lankus ir kad Tada randame lanko susikirtimo tašką su centru P ir spindulį bei lanką su centru ir spinduliu. , imant spindulį atkarpą aprašome lanką su centru P arba tol, kol sankirta su lanko susikirtimo tašku bus norima lanko vidurio taške. Įrodymą paliekame skaitytojui kaip pratimą.

Ryžiai. 48. Apskritimo ir tiesės, nekertančios per centrą, sankirta

Neįmanoma įrodyti pagrindinio Mascheroni teiginio, parodant kiekvienai konstrukcijai, kurią galima padaryti su kompasu ir tiesiuoju, kaip tai galima padaryti tik su kompasu: juk galimų konstrukcijų yra nesuskaičiuojama. Bet mes pasieksime tą patį tikslą, jei nustatysime, kad kiekviena iš šių pagrindinių konstrukcijų yra įmanoma naudojant vieną kompasą:

1. Nubrėžkite apskritimą, jei nurodytas centras ir spindulys.

2. Raskite dviejų apskritimų susikirtimo taškus.

3. Raskite tiesės ir apskritimo susikirtimo taškus.

4. Raskite dviejų tiesių susikirtimo tašką.

Bet kokia geometrinė konstrukcija (įprasta prasme, darant kompaso ir tiesiosios linijos prielaidą) susideda iš baigtinės šių elementariųjų konstrukcijų sekos. Iš karto aišku, kad pirmus du iš jų galima atlikti naudojant vieną kompasą. Sunkesnės 3 ir 4 konstrukcijos atliekamos naudojant ankstesnėje pastraipoje aptartas inversijos savybes.

Pereikime prie 3 konstrukcijos: rasime duoto apskritimo C susikirtimo taškus su tiese, einančia per šiuos taškus. Nubraižysime lankus, kurių centrai ir spinduliai yra atitinkamai lygūs ir, išskyrus tašką O, susikirs ties tašku. taškas P. Tada apskritimo C atžvilgiu sukonstruosime atvirkštinį tašką P (žr. konstrukciją aprašyta 186 psl.). Galiausiai nubrėžkime apskritimą su centru ir spinduliu (jis tikrai susikirs su C): jo susikirtimo taškai su apskritimu C bus norimi. Norėdami tai įrodyti, pakanka nustatyti, kad kiekvienas iš taškų yra vienodu atstumu nuo (kaip ir taškų, jų panaši savybė iš karto išplaukia iš konstrukcijos). Iš tiesų, pakanka nurodyti faktą, kad taško grįžtamasis taškas yra atskirtas nuo taškų atstumu, lygiu apskritimo C spinduliui (žr. 184 psl.). Verta pažymėti, kad apskritimas, einantis per taškus, yra atvirkštinė tiesė, apsukta apskritimo C atžvilgiu, nes šis apskritimas ir tiesė susikerta

Ryžiai. 49. Apskritimo ir tiesės, einančios per centrą, sankirta

su C tuose pačiuose taškuose. (Kai apversta, pagrindinio apskritimo taškai lieka nejudantys.)

Nurodyta konstrukcija neįmanoma tik tuo atveju, jei tiesė eina per centrą C. Bet tada susikirtimo taškus galima rasti naudojant konstrukciją, aprašytą 188 puslapyje, kaip gaunama nubrėžus savavališką apskritimą, kurio centras B kerta C taške taškai Tiesės, jungiančios du duotus taškus, atvirkštinio apskritimo braižymo metodas iš karto duoda 4 uždavinį išsprendžiančią konstrukciją. Tegul tiesės pateikiamos taškais (50 pav.).

Ryžiai. 50. Dviejų tiesių sankirta

Nubraižykime savavališką apskritimą C ir aukščiau pateiktu metodu sudarykime apskritimus, atvirkštinius tiesėms ir. Šie apskritimai susikerta taške O ir kitame taške Taškas X, atvirkštinis taško taškas, yra norimas susikirtimo taškas: kaip statyti tai jau buvo paaiškinta aukščiau. Kad X yra norimas taškas, aišku iš to, kad yra unikalus taškas, atvirkštinis taškui, kuris vienu metu priklauso abiem tiesėms, todėl taškas X, atvirkštinis, turi būti vienu metu abiejose

Šios dvi konstrukcijos užbaigia Mascheroni konstrukcijų, kuriose leidžiama naudoti tik kompasą, ir įprastų geometrinių konstrukcijų su kompasu ir liniuote lygiavertiškumo įrodymą.

Mums nerūpėjo individualių problemų sprendimo elegancija, kurią čia svarstėme, nes mūsų tikslas buvo išsiaiškinti vidinę Mascheroni konstrukcijų prasmę. Bet kaip pavyzdį nurodysime ir taisyklingo penkiakampio konstrukciją; tiksliau, mes kalbame apie kokių penkių apskritimo taškų, kurie gali tarnauti kaip taisyklingo įrašyto penkiakampio viršūnės, suradimą.

Tegu A yra savavališkas apskritimo K taškas. Kadangi taisyklingo įbrėžto šešiakampio kraštinė yra lygi apskritimo spinduliui, nebus sunku nubrėžti taškus K taip, kad

Žinomas nuo seniausių laikų.

Statybos užduotyse galimos šios operacijos:

  • Pažymėkite bet kurį tašką plokštumoje, taškas vienoje iš sudarytų tiesių arba dviejų sudarytų tiesių susikirtimo taškas.
  • Naudojant kompasas nubrėžkite apskritimą, kurio centras yra pastatytame taške, o spindulys lygus atstumui tarp dviejų jau sukonstruotų taškų.
  • Naudojant valdovai nubrėžkite tiesią liniją, einančią per du sukonstruotus taškus.

Šiuo atveju kompasas ir liniuotė laikomi idealiais įrankiais, visų pirma:


1. Paprastas pavyzdys

Segmento padalijimas per pusę

Užduotis. Norėdami padalinti šį segmentą, naudokite kompasą ir liniuotę ABį dvi lygias dalis. Vienas iš sprendimų parodytas paveikslėlyje:

  • Naudodami kompasą sudarome apskritimą, kurio centras yra taške A spindulys AB.
  • Apskritimo, kurio centras yra taške, kūrimas B spindulys AB.
  • Susikirtimo taškų paieška P Ir K du sukonstruoti apskritimai.
  • Naudodamiesi liniuote nubrėžkite liniją, jungiančią taškus P Ir K.
  • Susikirtimo taško radimas AB Ir P.Q. Tai yra norimas atkarpos vidurio taškas AB.

2. Taisyklingieji daugiakampiai

Senovės geometrai žinojo teisingo konstravimo metodus n-gonai už ir .


4. Galimos ir neįmanomos konstrukcijos

Visos konstrukcijos yra ne kas kita, kaip kokios nors lygties sprendimas, o šios lygties koeficientai yra susiję su duotųjų atkarpų ilgiais. Todėl patogu kalbėti apie skaičiaus konstravimą – tam tikro tipo lygties grafinį sprendimą.

Pagal statybos reikalavimus galimi šie pastatai:

Kitaip tariant, jūs galite sudaryti tik skaičius, lygius aritmetinėms išraiškoms, naudodami pradinių skaičių kvadratinę šaknį (segmentų ilgius). Pavyzdžiui,


5. Variacijos ir apibendrinimai


6. Linksmi faktai

  • GeoGebra, Kig, KSEG – programos, leidžiančios atlikti konstrukcijas naudojant kompasus ir liniuotes.

Literatūra

  • A. Adleris. Geometrinių konstrukcijų teorija, Iš vokiečių kalbos vertė G. M. Fikhtengoltsas. Trečias leidimas. L., Navchpedvid, 1940-232 p.
  • I. Aleksandrovas, Geometrinės konstrukcijos uždavinių rinkinys, Aštuonioliktas leidimas, M., Navchpedvid, 1950-176 p.
  • B. I. Argunovas, M B Balk.

Šioje pastraipoje pateikta medžiaga gali būti naudojama pasirenkamosiose pamokose. Jis gali būti pristatomas studentams tiek paskaitos, tiek studentų pranešimų forma.

Problemos, kurios nuo seno buvo žinomos kaip „žymiosios antikos problemos“, daugelį amžių traukė daug dėmesio. Šiuo pavadinimu dažniausiai pasirodydavo trys žinomos problemos:

1) apskritimo kvadratas,

2) kampo trisekcija,

3) kubo padvigubinimas.

Visos šios užduotys senovėje kilo iš praktinių žmonių poreikių. Pirmajame jų egzistavimo etape jie veikė kaip skaičiavimo problemos: naudojant kai kuriuos „receptus“, buvo apskaičiuotos apytikslės norimų kiekių reikšmės (apskritimo plotas, apskritimas ir kt.). Antrajame šių problemų istorijos etape įvyksta reikšmingi jų pobūdžio pokyčiai: jie tampa geometrinėmis (konstruktyvinėmis) problemomis.

Senovės Graikijoje šiuo laikotarpiu jiems buvo suteiktos klasikinės formuluotės:

1) pastatyti kvadratą, kurio dydis lygus duotam apskritimui;

2) padalinkite šį kampą į tris lygias dalis;

3) sukonstruoti naujo kubo briauną, kurios tūris būtų du kartus didesnis nei duoto kubo.

Visas šias geometrines konstrukcijas buvo pasiūlyta atlikti naudojant kompasą ir liniuotę.

Šių problemų formulavimo paprastumas ir „neįveikiami sunkumai“, iškilę sprendžiant jas, prisidėjo prie jų populiarumo augimo. Siekdami pateikti griežtus šių problemų sprendimus, senovės graikų mokslininkai „pakeliui“ gavo daug svarbių matematikos rezultatų, kurie prisidėjo prie skirtingų matematinių žinių pavertimo nepriklausomu dedukciniu mokslu (išėjo pitagoriečiai, Hipokratas iš Chijo ir Archimedas). tuo metu ypač pastebimas ženklas).

Kubo padvigubinimo problema.

Kubo padvigubinimo problema yra tokia: žinodami duoto kubo kraštą, sukonstruokite kubo kraštą, kurio tūris būtų du kartus didesnis už duotojo kubo tūrį.

Tegu a yra nurodyto kubo briaunos ilgis, x – norimo kubo krašto ilgis. Tegul yra duoto kubo tūris, o norimo kubo tūris, tada pagal kubo tūrio apskaičiavimo formulę gauname: =, o kadangi pagal uždavinio sąlygas mes prieikite prie lygties.

Iš algebros žinoma, kad pateiktos lygties racionalios šaknys su sveikųjų skaičių koeficientais gali būti tik sveikosios ir būti tarp lygties laisvojo nario daliklių. Tačiau vieninteliai skaičiaus 2 dalikliai yra skaičiai +1, - 1, +2, - 2, ir nė vienas iš jų netenkina pradinės lygties. Todėl lygtis neturi racionalių šaknų, o tai reiškia, kad kubo padvigubinimo problemos negalima išspręsti naudojant kompasą ir liniuotę.

Kubo padvigubinimo naudojant kompasą ir liniuotę problemą galima išspręsti tik apytiksliai. Štai vienas iš paprasčiausių būdų, kaip apytiksliai išspręsti šią problemą.

Tegu AB=BC=a ir ABC. Konstruojame AD=AC, tada CD 1% tikslumu. Iš tiesų, CD 1.2586…. Tuo pačiu metu =1,2599….

Apskritimo kvadratūros problema.

Problemos neišsprendžiamumo pagrindimas naudojant kompasą ir liniuotę.

Apskritimo kvadrato uždavinys yra toks: sukonstruokite kvadratą, kurio dydis lygus apskritimui.

Leisti būti nurodyto apskritimo spindulys ir tegul norimos kvadrato kraštinės ilgis. Tada iš čia.

Vadinasi, apskritimo kvadratūros problema bus išspręsta, jei sukonstruosime ilgio atkarpą. Jei tam tikro apskritimo spindulys laikomas vienetine atkarpa (=1), tada materija bus sumažinta iki ilgio atkarpos sudarymo iš vienetinės atkarpos.

Kaip žinoma, žinodami vienetinį segmentą, kompasu ir liniuote galime sudaryti tik tuos segmentus, kurių ilgiai išreiškiami racionaliaisiais skaičiais, naudojant baigtinį racionalių operacijų rinkinį ir išskiriant kvadratines šaknis, taigi yra algebriniai skaičiai. Tokiu atveju bus naudojami ne visi algebriniai skaičiai. Pavyzdžiui, negalite sukurti ilgio segmento ir pan.

1882 m. Lindemannas įrodė, kad tai yra transcendentinė. Iš to išplaukia, kad kompasu ir liniuote neįmanoma sukurti ilgio atkarpos, todėl šiomis priemonėmis apskritimo kvadratūros problema yra neišsprendžiama.

Apytikslis problemos sprendimas naudojant kompasą ir liniuotę.

Panagrinėkime vieną iš apytikslės ilgio segmentų konstravimo būdų. Ši technika yra tokia. Ketvirtadalis apskritimo AB, kurio centras yra taške O, o spindulys lygus vienam, yra padalintas per pusę iš taško C. Tęsiant skersmenį CD, atimame atkarpą DE, lygią spinduliui. Iš taško E brėžiame spindulius EA ir EB, kol jie susikerta su liestine taške C. Nupjautoji atkarpa AB yra maždaug lygi lanko AB ilgiui, o padvigubinta atkarpa lygi puslankiui.

Šio aproksimavimo santykinė paklaida neviršija 0,227%.

Kampo trisekcijos problema.

Problemos neišsprendžiamumo pagrindimas naudojant kompasą ir liniuotę.

Kampo trisekcijos problema yra tokia: Padalinkite šį kampą į tris lygias dalis.

Apsiribokime uždavinio sprendimu kampams, neviršijantiems 90. Jei yra bukas kampas, tai =180-, kur<90, так что, и поэтому задача о трисекции тупого угла сводится к задаче о трисекции острого угла.

Atkreipkite dėmesį, kad (esant vienetinei atkarpai) kampo (90) sudarymo problema yra lygiavertė atkarpos x=cos konstravimo problemai. Tiesą sakant, jei kampas yra sudarytas, atkarpos x = cos konstrukcija sumažinama iki stačiojo trikampio konstrukcijos, naudojant hipotenuzę ir smailųjį kampą.

Atgal. Jei sudaroma atkarpa x, tada kampo, kad x = cos, konstrukcija sumažinama iki stačiojo trikampio, naudojant hipotenuzę ir koją.

Tegul yra nurodytas kampas ir norimas kampas, taigi =. Tada cos=cos 3. Yra žinoma, kad cos 3= 4cos-3cos. Taigi, darydami prielaidą, kad cos = ir cos =, gauname lygtį:

cos = 4cos-3cos,

Atkarpą, taigi ir kampą, galima sudaryti tik tuo atveju, jei ši lygtis turi bent vieną racionaliąją šaknį. Tačiau taip nutinka ne visiems, todėl kampo trisekcija, paprastai kalbant, negali būti išspręsta naudojant kompasą ir liniuotę. Pavyzdžiui. Jei =60 gauname =1, o rasta lygtis yra tokia: . Nesunku patikrinti, ar ši lygtis neturi jokios racionalios šaknies, o tai reiškia, kad naudojant kompasą ir liniuotę neįmanoma padalyti 60 kampo į tris lygias dalis. Taigi kampo trisekcija negali būti išspręsta naudojant kompasą ir liniuotę bendra forma.

Apytikslis problemos sprendimas naudojant kompasą ir liniuotę.

Panagrinėkime vieną iš Alberto Durerio (1471-1528) pasiūlytų apytikslių problemos sprendimo būdų naudojant kompasą ir liniuotę.

Tegu nurodytas kampas ASB. Iš viršūnės S aprašome savavališko spindulio apskritimą ir kampo kraštinių susikirtimo taškus su apskritimu sujungiame styga AB. Šią stygą padaliname į tris lygias dalis taškuose R ir R (A R = R R = RB). Iš taškų A ir B, kaip ir iš centrų, kurių spindulys A R = RB, aprašome lankus, kertančius apskritimą taškuose T ir T. Atlikime RSAB. Spinduliais A S= BS nubrėžiame lankus, kertančius AB taškuose U ir U. Lankai AT, SS ir TB yra lygūs vienas kitam, nes juos nubrėžia lygios stygos.

Norėdamas rasti kampų X ir X triskyrybos taškus, Diureris padalija atkarpas RU ir RU į tris lygias dalis taškais PV ir PV. Tada nubrėžiame lankus su spinduliais AV ir BV, kurie kerta apskritimą taškuose X ir X. Sujungę šiuos taškus su S, gauname šio kampo padalijimą į tris lygias dalis, gerai priartindamos tikrąsias reikšmes.