Priešais modulį yra minuso ženklas. Lygtys su moduliu

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą El. paštas ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų surinkta Asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, tokiais kaip auditas, duomenų analizė ir įvairūs tyrimai siekdami pagerinti mūsų teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, kad apsaugotume jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir nesąžiningas naudojimas, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, modifikavimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

MBOU 17 vidurinė mokykla, Ivanovas

« Lygtys su moduliu"
Metodinis tobulinimas

Sudaryta

matematikos mokytojas

Lebedeva N.V.

20010 m

Aiškinamasis raštas

1 skyrius. Įvadas

2 skyrius. Pagrindinės savybės 3 skyrius. Skaičiaus modulio sampratos geometrinis aiškinimas 4 skyrius. Funkcijos y = |x| grafikas 5 skyrius. Konvencijos

2 skyrius. Modulio turinčių lygčių sprendimas

1 skirsnis. Formos |F(x)| lygtys = m (paprasčiausias) 2 skyrius. F(|x|) = m formos lygtys 3 skirsnis. Formos |F(x)| lygtys = G(x) 4 skirsnis. Formos |F(x)| lygtys = ± F(x) (gražiausias) 5 skirsnis. Formos |F(x)| lygtys = |G(x)| 6 skyrius. Nestandartinių lygčių sprendimo pavyzdžiai 7 skirsnis. Formos |F(x)| lygtys + |G(x)| = 0 8 skirsnis. Formos |a 1 x ± b 1 | lygtys ± |a 2 x ± in 2 | ± …|a n x ± per n | = m 9 skyrius. Lygtys, susidedančios iš kelių modulių

3 skyrius. Įvairių lygčių su moduliu sprendimo pavyzdžiai.

1 skyrius. Trigonometrinės lygtys 2 skyrius. Eksponentinės lygtys 3 skyrius. Logaritminės lygtys 4 skyrius. Iracionaliosios lygtys 5 skyrius. Išplėstinės užduotys Atsakymai į pratimus Bibliografija

Aiškinamasis raštas.

Realiojo skaičiaus absoliučios vertės (modulio) samprata yra viena iš esminių jo charakteristikų. Ši sąvoka plačiai paplitusi įvairiose fizinių, matematikos ir technikos mokslų srityse. Matematikos kursų dėstymo praktikoje m vidurinė mokykla pagal Rusijos Federacijos gynybos ministerijos programą ne kartą pasirodo sąvoka „absoliuti skaičiaus vertė“: 6 klasėje pristatomas modulio apibrėžimas, jo geometrine prasme; 8 klasėje formuojama absoliučios paklaidos samprata, nagrinėjamas paprasčiausių modulį turinčių lygčių ir nelygybių sprendimas, studijuojamos aritmetikos savybės kvadratinė šaknis; 11 klasėje sąvoka randama skyrelyje „Šaknis n– laipsnis“. Dėstymo patirtis rodo, kad mokiniai dažnai susiduria su sunkumais spręsdami žinių reikalaujančias užduotis šios medžiagos, ir dažnai jie praleidžia tai nepradėję įgyvendinti. Tekstuose egzamino užduotis Panašios užduotys įtrauktos ir į 9 ir 11 klasių kursus. Be to, skiriasi ir reikalavimai, kuriuos universitetai kelia abiturientams, būtent daugiau aukštas lygis nei mokyklos programos reikalavimai. Už gyvenimą šiuolaikinė visuomenė Labai svarbu ugdyti matematinį mąstymo stilių, kuris pasireiškia tam tikrais protiniais įgūdžiais. Sprendžiant problemas su moduliais, reikia mokėti naudoti tokias technikas kaip apibendrinimas ir specifikavimas, analizė, klasifikavimas ir sisteminimas bei analogija. Sprendžiant tokias užduotis galima pasitikrinti savo žinias apie pagrindinius skyrius mokyklos kursas, lygis loginis mąstymas, pradiniai tyrimo įgūdžiai. Šis darbas skirtas vienai iš skyrių – lygčių, kuriose yra modulis, sprendimas. Jį sudaro trys skyriai. Pirmame skyriuje pateikiamos pagrindinės sąvokos ir svarbiausi teoriniai svarstymai. Antrame skyriuje siūlomi devyni pagrindiniai lygčių tipai su moduliu, aptariami jų sprendimo būdai ir nagrinėjami įvairaus sudėtingumo pavyzdžiai. Trečiame skyriuje pateikiamos sudėtingesnės ir nestandartinės lygtys (trigonometrinės, eksponentinės, logaritminės ir neracionalios). Kiekvienam lygties tipui yra pratimų savarankiškas sprendimas(atsakymai ir instrukcijos pridedami). Pagrindinis šio darbo tikslas – teikti metodinę pagalbą mokytojams ruošiantis pamokoms bei organizuojant pasirenkamuosius kursus. Medžiaga taip pat gali būti naudojama kaip mokymo priemonė aukštųjų mokyklų moksleiviams. Darbe siūlomos užduotys įdomios ir ne visada lengvai išsprendžiamos, o tai leidžia atlikti mokymosi motyvacija mokiniams tapti sąmoningesniems, pasitikrinti savo gebėjimus, gerinti abiturientų pasirengimo stojimui į universitetus lygį. Diferencijuotas siūlomų pratimų pasirinkimas apima perėjimą nuo reprodukcinio medžiagos įsisavinimo į kūrybinį lygį, taip pat galimybę išmokyti pritaikyti savo žinias sprendžiant nestandartines problemas.

1 skyrius. Įvadas.

1 skyrius. Absoliučios vertės nustatymas .

Apibrėžimas : Realiojo skaičiaus absoliuti reikšmė (modulis). A neneigiamas skaičius vadinamas: A arba -A. Pavadinimas: │ A │ Įrašas skamba taip: „skaičiaus a modulis“ arba „absoliuti skaičiaus a reikšmė“

│ a, jei a > 0

│a│ = │ 0, jei a = 0 (1)

│ - ir jei a
Pavyzdžiai: 1) │2,5│ = 2,5 2) │-7│ = 7 3) │1 - √2│ = √2 – 1

Išskleisti išraiškos modulį:

a) │x - 8│, jei x > 12 b) │2x + 3│, jei x ≤ -2 │x – 8│= x – 8 │ 2x + 3│= - 2x – 3

2 skyrius. Pagrindinės savybės.

Panagrinėkime pagrindines absoliučios vertės savybes. 1 nuosavybė: Priešingi skaičiai turi vienodus modulius, t.y. │а│=│- а│ Parodykime, kad lygybė yra tiesa. Užrašykime skaičiaus apibrėžimą – A : │- a│= (2) Palyginkime aibes (1) ir (2). Akivaizdu, kad apibrėžimai absoliučios vertės numeriai A Ir – A susilyginti. Vadinasi, │а│=│- а│
Atsižvelgdami į šias savybes, apsiribosime jų formulavimu, nes jų įrodymas yra pateiktas 2 nuosavybė: Baigtinio realiųjų skaičių sumos absoliuti vertė neviršija terminų absoliučių verčių sumos: │а 1 + а 2 +…+ а n │ ≤│а 1 │+│а 2 │ + … + │а n │ 3 nuosavybė: Dviejų realiųjų skaičių skirtumo absoliuti reikšmė neviršija jų absoliučių verčių sumos: │а - в│ ≤│а│+│в│ 4 nuosavybė: Baigtinio realiųjų skaičių sandaugos absoliuti vertė yra lygi faktorių absoliučių verčių sandaugai: │а·в│=│а│·│в│ 5 nuosavybė: Realiųjų skaičių dalinio absoliuti reikšmė yra lygi jų absoliučių dydžių daliniui:

3 skyrius. Skaičiaus modulio sąvokos geometrinis aiškinimas.

Kiekvienas realusis skaičius gali būti susietas su skaičių linijos tašku, kuris bus šio tikrojo skaičiaus geometrinis vaizdas. Kiekvienas skaičių linijos taškas atitinka jo atstumą nuo pradžios, t.y. atkarpos ilgis nuo pradžios iki nurodyto taško. Šis atstumas visada laikomas neneigiama reikšme. Todėl atitinkamo segmento ilgis bus geometrinė tam tikro tikrojo skaičiaus absoliučios vertės interpretacija

Pateikta geometrinė iliustracija aiškiai patvirtina savybę Nr.1, t.y. priešingų skaičių moduliai lygūs. Iš čia nesunkiai suprantamas lygybės pagrįstumas: │х – а│= │а – x│. Lygties │х│= m, kur m ≥ 0, ty x 1,2 = ± m, sprendimas taip pat tampa akivaizdesnis. Pavyzdžiai: 1) │х│ = 4 x 1,2 = ± 4 2) │х - 3│ = 1
x 1,2 = 2; 4

4 skyrius. Funkcijos y = │х│ grafikas

Šios funkcijos sritis yra visi realieji skaičiai.

5 skyrius. Konvencijos.

Ateityje, svarstant lygčių sprendimo pavyzdžius, bus naudojami šie simboliai: ( - sistemos ženklas [ - visumos ženklas Sprendžiant lygčių (nelygybių) sistemą, randama į sistemą įtrauktų lygčių (nelygybių) sprendinių sankirta. Sprendžiant lygčių (nelygybių) aibę, randama į lygčių (nelygybių) aibę įtrauktų sprendinių sąjunga.

2 skyrius. Modulio turinčių lygčių sprendimas.

Šiame skyriuje apžvelgsime algebrinius lygčių, turinčių vieną ar daugiau modulių, sprendimo metodus.

1 skyrius. Formos lygtys │F (x)│= m

Tokio tipo lygtis vadinama paprasčiausia. Jis turi sprendimą tada ir tik tada, kai m ≥ 0. Pagal modulio apibrėžimą pradinė lygtis yra lygiavertė dviejų lygčių rinkiniui: │ F(x)│=m
Pavyzdžiai:
№1. Išspręskite lygtį: │7х - 2│= 9


Atsakymas: x 1 = - 1; X 2 = 1 4 / 7 №2
│x 2 + 3x + 1│= 1

x 2 + 3x + 2 = 0 x 2 + 3x = 0 x 1 = -1; x 2 = -2 x (x + 3) = 0 x 1 = 0; x 2 = -3 Atsakymas: šaknų suma yra - 2.№3
│x 4 -5x 2 + 2│= 2 x 4 – 5x 2 = 0 x 4 – 5x 2 + 4 = 0 x 2 (x 2 – 5) = 0 reiškia x 2 = m, m ≥ 0 x = 0 ; ±√5 m 2 – 5m + 4 = 0 m = 1; 4 – abi reikšmės tenkina sąlygą m ≥ 0 x 2 = 1 x 2 = 4 x = ± 1 x = ± 2 Atsakymas: 7 lygties šaknų skaičius. Pratimai:
№1. Išspręskite lygtį ir nurodykite šaknų sumą: │х - 5│= 3 №2 . Išspręskite lygtį ir nurodykite mažesnę šaknį: │x 2 + x│= 0 №3 . Išspręskite lygtį ir nurodykite didesnę šaknį: │x 2 – 5x + 4│= 4 №4 .Išspręskite lygtį ir nurodykite visą šaknį: │2x 2 – 7x + 6│= 1 №5 .Išspręskite lygtį ir nurodykite šaknų skaičių: │x 4 – 13x 2 + 50│= 14

2 skyrius. Formos lygtys F(│х│) = m

Funkcijos argumentas kairėje pusėje yra po modulio ženklu, o dešinioji pusė nepriklauso nuo kintamojo. Panagrinėkime du būdus, kaip išspręsti tokio tipo lygtis. 1 būdas: Pagal absoliučiosios vertės apibrėžimą pradinė lygtis yra lygiavertė dviejų sistemų deriniui. Kiekviename iš jų submodulinei išraiškai yra nustatyta sąlyga. F(│х│) =m
Kadangi funkcija F(│x│) yra lygi visoje apibrėžimo srityje, lygčių F(x) = m ir F(- x) = m šaknys yra priešingų skaičių poros. Todėl pakanka išspręsti vieną iš sistemų (taip nagrinėjant pavyzdžius, bus pateiktas vienos sistemos sprendimas). 2 būdas: Naujo kintamojo įvedimo metodo taikymas. Šiuo atveju įvedamas žymėjimas │x│= a, kur a ≥ 0. Šis metodas mažiau tūrinio dizaino.
Pavyzdžiai: №1 . Išspręskite lygtį: 3x 2 – 4│x│= - 1 Pasinaudokime naujo kintamojo įvedimu. Pažymime │x│= a, kur a ≥ 0. Gauname lygtį 3a 2 - 4a + 1 = 0 D = 16 – 12 = 4 a 1 = 1 a 2 = 1 / 3 Grįžti į pradinį kintamąjį: │ x│=1 ir │х│= 1/3. Kiekviena lygtis turi dvi šaknis. Atsakymas: x 1 = 1; X 2 = - 1; X 3 = 1 / 3 ; X 4 = - 1 / 3 . №2. Išspręskite lygtį: 5x 2 + 3│x│- 1 = 1 / 2 │x│ + 3x 2
Raskime pirmosios visumos sistemos sprendimą: 4x 2 + 5x – 2 =0 D = 57 x 1 = -5+√57 / 8 x 2 = -5-√57 / 8 Atkreipkite dėmesį, kad x 2 netenkina sąlyga x ≥ 0. Sprendimas antroji sistema bus skaičius, priešingas reikšmei x 1. Atsakymas: x 1 = -5+√57 / 8 ; X 2 = 5-√57 / 8 .№3 . Išspręskite lygtį: x 4 – │х│= 0 Pažymime │х│= a, kur a ≥ 0. Gauname lygtį a 4 – a = 0 a · (a 3 – 1) = 0 a 1 = 0 a 2 = 1 Grįžti į pradinį kintamąjį: │х│=0 ir │х│= 1 x = 0; ± 1 Atsakymas: x 1 = 0; X 2 = 1; X 3 = - 1.
Pratimai: №6. Išspręskite lygtį: 2│х│ - 4,5 = 5 - 3 / 8 │х│ №7 . Išspręskite lygtį, savo atsakyme nurodykite šaknų skaičių: 3x 2 - 7│x│ + 2 = 0 №8 . Išspręskite lygtį, savo atsakyme nurodykite sveikuosius sprendinius: x 4 + │x│ - 2 = 0

3 skyrius. Formos lygtys │F(x)│ = G(x)

Dešinė tokio tipo lygties pusė priklauso nuo kintamojo, todėl turi sprendimą tada ir tik tada, kai dešinioji yra funkcija G(x) ≥ 0. Pradinė lygtis gali būti sprendžiama dviem būdais. : 1 būdas: Standartas, pagrįstas modulio atskleidimu remiantis jo apibrėžimu ir susidedantis iš lygiaverčio perėjimo prie dviejų sistemų derinio. │ F(x)│ =G(X)

Šį metodą galima racionaliai panaudoti, kai funkcijai G(x) yra sudėtinga išraiška, o funkcijai F(x) – mažiau sudėtingai, nes daroma prielaida, kad bus išspręstos nelygybės su funkcija F(x). 2 būdas: Susideda iš perėjimo prie lygiavertės sistemos, kurioje sąlyga yra nustatyta dešinėje pusėje. │ F(x)│= G(x)

Šį metodą patogiau naudoti, jei funkcijos G(x) išraiška yra mažiau sudėtinga nei funkcijos F(x), nes nelygybės G(x) ≥ 0 sprendimas. Be to, tuo atveju iš kelių modulių, rekomenduojama naudoti antrąjį variantą. Pavyzdžiai: №1. Išspręskite lygtį: │x + 2│= 6 -2x
(1 kryptis) Atsakymas: x = 1 1 / 3 №2.
│x 2 – 2x - 1│= 2 (x + 1)
(2 kryptimis) Atsakymas: šaknų sandauga yra 3.
№3. Išspręskite lygtį ir savo atsakyme nurodykite šaknų sumą:
│x – 6│= x 2 – 5x + 9

Atsakymas: šaknų suma yra 4.
Pratimai: №9. │x + 4│= - 3x №10. Išspręskite lygtį, savo atsakyme nurodykite sprendinių skaičių:│x 2 + x - 1│= 2x – 1 №11 . Išspręskite lygtį, savo atsakyme nurodykite šaknų sandaugą:│x + 3│= x 2 + x – 6

4 skyrius. Formos lygtys │F(x)│= F(x) ir │F(x)│= - F(x)

Šio tipo lygtys kartais vadinamos „gražiausiomis“. Kadangi dešinioji lygčių pusė priklauso nuo kintamojo, sprendiniai egzistuoja tada ir tik tada, kai dešinioji pusė yra neneigiama. Todėl pradinės lygtys yra lygiavertės nelygybėms:
│F(x)│= F(x) F(x) ≥ 0 ir │F(x)│= - F(x) F(x) Pavyzdžiai: №1 . Išspręskite lygtį, savo atsakyme nurodykite mažesnę visą šaknį: │5x - 3│= 5x - 3 5x - 3 ≥ 0 5x ≥ 3 x ≥ 0,6 Atsakymas: x = 1№2. Išspręskite lygtį, atsakyme nurodykite intervalo ilgį: │х 2 - 9│= 9 – x 2 x 2 – 9 ≤ 0 (x – 3) (x + 3) ≤ 0 [- 3; 3] Atsakymas: tarpo ilgis yra 6.№3 . Išspręskite lygtį ir savo atsakyme nurodykite sveikųjų skaičių sprendinių skaičių: │2 + x – x 2 │= 2 + x – x 2 2 + x – x 2 ≥ 0 x 2 – x – 2 ≤ 0 [- 1; 2] Atsakymas: 4 sveiki sprendimai.№4 . Išspręskite lygtį ir savo atsakyme nurodykite didžiausią šaknį:
│4 – x –
│= 4 – x –
x 2 – 5x + 5 = 0 D = 5 x 1,2 =
≈ 1,4

Atsakymas: x = 3.

Pratimai: №12. Išspręskite lygtį, savo atsakyme nurodykite visą šaknį: │x 2 + 6x + 8│= x 2 + 6x + 8 №13. Išspręskite lygtį, savo atsakyme nurodykite sveikųjų skaičių sprendinių skaičių: │13x – x 2 - 36│+ x 2 – 13x + 36 = 0 №14. Atsakyme išspręskite lygtį, nurodykite sveikąjį skaičių, kuris nėra lygties šaknis:

5 skyrius. Formos lygtys │F(x)│= │G(x)│

Kadangi abi lygties pusės yra neneigiamos, sprendimas apima du atvejus: submodulinės išraiškos yra lygios arba priešingos. Todėl pradinė lygtis yra lygiavertė dviejų lygčių deriniui: │ F(x)│= │ G(x)│
Pavyzdžiai: №1. Išspręskite lygtį, savo atsakyme nurodykite visą šaknį: │x + 3│=│2x - 1│
Atsakymas: visa šaknis x = 4.№2. Išspręskite lygtį: │ x – x 2 – 1│=│2x – 3 – x 2 │
Atsakymas: x = 2.№3 . Išspręskite lygtį ir savo atsakyme nurodykite šaknų sandaugą:




Šakninės lygtys 4x 2 + 2x – 1 = 0 x 1,2 = - 1±√5 / 4 Atsakymas: šaknų sandauga – 0,25. Pratimai: №15 . Išspręskite lygtį ir savo atsakyme nurodykite visą sprendimą: │x 2 – 3x + 2│= │x 2 + 6x - 1│ №16. Išspręskite lygtį, atsakyme nurodykite mažesnę šaknį:│5x - 3│=│7 - x│ №17 . Išspręskite lygtį ir savo atsakyme nurodykite šaknų sumą:

6 skyrius. Nestandartinių lygčių sprendimo pavyzdžiai

Šioje dalyje apžvelgsime nestandartinių lygčių pavyzdžius, kurias sprendžiant apibrėžimu atskleidžiama absoliuti išraiškos reikšmė. Pavyzdžiai:

№1. Išspręskite lygtį, savo atsakyme nurodykite šaknų sumą: x · │x│- 5x – 6 = 0
Atsakymas: šaknų suma yra 1 №2. . Išspręskite lygtį, savo atsakyme nurodykite mažesnę šaknį: x 2 - 4x ·
- 5 = 0
Atsakymas: mažesnė šaknis x = - 5. №3. Išspręskite lygtį:

Atsakymas: x = -1. Pratimai: №18. Išspręskite lygtį ir nurodykite šaknų sumą: x · │3x + 5│= 3x 2 + 4x + 3
№19. Išspręskite lygtį: x 2 – 3x =

№20. Išspręskite lygtį:

7 skyrius. Formos │F(x)│+│G(x)│=0 lygtys

Nesunku pastebėti, kad kairėje šio tipo lygties pusėje yra neneigiamų dydžių suma. Todėl pradinė lygtis turi sprendimą tada ir tik tada, kai abu terminai yra lygūs nuliui tuo pačiu metu. Lygtis yra lygiavertė lygčių sistemai: │ F(x)│+│ G(x)│=0
Pavyzdžiai: №1 . Išspręskite lygtį:
Atsakymas: x = 2. №2. Išspręskite lygtį: Atsakymas: x = 1. Pratimai: №21. Išspręskite lygtį: №22 . Išspręskite lygtį ir savo atsakyme nurodykite šaknų sumą: №23 . Išspręskite lygtį ir savo atsakyme nurodykite sprendimų skaičių:

8 skyrius. Formos lygtys │a 1 x + b 1 │±│a 2 x + b 2 │± … │a n x +b n │= m

Šio tipo lygtims išspręsti naudojamas intervalų metodas. Jei ją išspręsime nuosekliai plečiant modulius, gausime n sistemų rinkinius, o tai labai sudėtinga ir nepatogu. Panagrinėkime intervalų metodo algoritmą: 1). Raskite kintamąsias reikšmes X, kurio kiekvienas modulis yra lygus nuliui (submodulinių išraiškų nuliai):
2). Rastas reikšmes pažymėkite skaičių eilutėje, kuri yra padalinta į intervalus (intervalų skaičius yra atitinkamai lygus n+1 ) 3). Nustatykite, kokiu ženklu atskleidžiamas kiekvienas modulis kiekviename iš gautų intervalų (formuluodami sprendimą galite naudoti skaičių eilutę, pažymėdami joje esančius ženklus) 4). Pradinė lygtis yra lygiavertė visumai n+1 sistemos, kurių kiekvienoje nurodoma kintamojo priklausymas X vienas iš intervalų. Pavyzdžiai: №1 . Išspręskite lygtį ir savo atsakyme nurodykite didžiausią šaknį:
1). Raskime submodulinių reiškinių nulius: x = 2; x = -3 2). Pažymėkime rastas reikšmes skaičių eilutėje ir nustatykime, kokiu ženklu kiekvienas modulis atskleidžiamas gautuose intervaluose:
x – 2 x – 2 x – 2 – + - 3 2 x 2x + 6 2x + 6 2x + 6 - + + 3)
- sprendinių nėra. Lygtis turi dvi šaknis. Atsakymas: didžiausia šaknis x = 2. №2. Išspręskite lygtį ir savo atsakyme pateikite visą šaknį:
1). Raskime submodulinių reiškinių nulius: x = 1,5; x = - 1 2). Pažymėkime rastas reikšmes skaičių eilutėje ir nustatykime, kokiu ženklu kiekvienas modulis atskleidžiamas gautuose intervaluose: x + 1 x + 1 x + 1 - + +
-1 1,5 x 2x - 3 2x - 3 2x - 3 - - +
3).
Paskutinė sistema neturi sprendinių, todėl lygtis turi dvi šaknis. Spręsdami lygtį, turėtumėte atkreipti dėmesį į „-“ ženklą prieš antrąjį modulį. Atsakymas: visa šaknis x = 7. №3. Išspręskite lygtį, savo atsakyme nurodykite šaknų sumą: 1). Raskime submodulinių reiškinių nulius: x = 5; x = 1; x = - 2 2). Skaičių eilutėje pažymėkime rastas reikšmes ir nustatykime, kokiu ženklu atskleidžiamas kiekvienas modulis gautais intervalais: x – 5 x – 5 x – 5 x – 5 - - - +
-2 1 5 x x – 1 x – 1 x – 1 x – 1 - - + + x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 - + + +
3).
Lygtis turi dvi šaknis x = 0 ir 2. Atsakymas: šaknų suma yra 2. №4 . Išspręskite lygtį: 1). Raskime submodulinių reiškinių nulius: x = 1; x = 2; x = 3. 2). Nustatykime, kokiu ženklu kiekvienas modulis atskleidžiamas gautuose intervaluose. 3).
Sujungkime pirmųjų trijų sistemų sprendimus. Atsakymas: ; x = 5.
Pratimai: №24. Išspręskite lygtį:
№25. Išspręskite lygtį ir savo atsakyme nurodykite šaknų sumą: №26. Išspręskite lygtį ir savo atsakyme nurodykite mažesnę šaknį: №27. Išspręskite lygtį ir savo atsakyme nurodykite didesnę šaknį:

9 skyrius. Kelių modulių lygtys

Lygtys, kuriose yra keli moduliai, daro prielaidą, kad submodulinėse išraiškose yra absoliučios vertės. Pagrindinis tokio tipo lygčių sprendimo principas yra nuoseklus modulių atskleidimas, pradedant nuo „išorinio“. Sprendžiant naudojamos technikos, aptartos skyriuose Nr.1, Nr.3.

Pavyzdžiai: №1. Išspręskite lygtį:
Atsakymas: x = 1; - vienuolika. №2. Išspręskite lygtį:
Atsakymas: x = 0; 4; – 4. №3. Išspręskite lygtį ir savo atsakyme nurodykite šaknų sandaugą:
Atsakymas: šaknų sandauga yra – 8. №4. Išspręskite lygtį:
Pažymėkime populiacijos lygtis (1) Ir (2) ir apsvarstykite kiekvieno iš jų sprendimą atskirai, kad būtų lengviau kurti. Kadangi abi lygtys turi daugiau nei vieną modulį, patogiau atlikti lygiavertį perėjimą prie sistemų rinkinių. (1)

(2)


Atsakymas:
Pratimai: №36. Išspręskite lygtį, savo atsakyme nurodykite šaknų sumą: 5 │3x-5│ = 25 x №37. Išspręskite lygtį, jei yra daugiau nei viena šaknis, savo atsakyme nurodykite šaknų sumą: │x + 2│ x – 3x – 10 = 1 №38. Išspręskite lygtį: 3 │2x -4│ = 9 │x│ №39. Išspręskite lygtį, atsakyme nurodykite šaknų skaičių: 2 │ sin x│ = √2 №40 . Išspręskite lygtį ir savo atsakyme nurodykite šaknų skaičių:

3 skyrius. Logaritminės lygtys.

Prieš sprendžiant šias lygtis, būtina apžvelgti logaritmų ir logaritminės funkcijos savybes. Pavyzdžiai: №1. Išspręskite lygtį, savo atsakyme nurodykite šaknų sandaugą: log 2 (x+1) 2 + log 2 │x+1│ = 6 O.D.Z. x+1≠0 x≠ – 1

1 atvejis: jei x ≥ - 1, tai log 2 (x+1) 2 + log 2 (x+1) = 6 log 2 (x+1) 3 = log 2 2 6 (x+1) 3 = 2 6 x+1 = 4 x = 3 – tenkina sąlygą x ≥ - 1 2 atvejis: jei x log 2 (x+1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x+1) 2 + log 2 (-(x+1)) = 6 log 2 (-(x+1) 3) = log 2 2 6- (x+1) 3 = 2 6- (x+1) = 4 x = - 5 – atitinka x - 1 sąlygą
Atsakymas: šaknų sandauga yra – 15.
№2. Išspręskite lygtį, savo atsakyme nurodykite šaknų sumą: lg
O.D.Z.

Atsakymas: šaknų suma lygi 0,5.
№3. Išspręskite lygtį: log 5
O.D.Z.

Atsakymas: x = 9. №4. Išspręskite lygtį: │2 + log 0,2 x│+ 3 = │1 + log 5 x│ O.D.Z. x > 0 Perėjimo į kitą bazę formulę naudokime. │2 – log 5 x│+ 3 = │1 + log 5 x│
│2 - log 5 x│- │1 + log 5 x│= - 3 Raskime submodulinių reiškinių nulius: x = 25; x = Šie skaičiai padalija plotą priimtinos vertėsį tris intervalus, todėl lygtis yra lygi trijų sistemų rinkiniui.
Atsakymas:)