Kaip išvesti tiesės lygtį. Bendroji tiesės plokštumoje lygtis

Tegul tiesė eina per taškus M 1 (x 1; y 1) ir M 2 (x 2; y 2). Tiesės, einančios per tašką M 1, lygtis yra y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)

Kur k – dar nežinomas koeficientas.

Kadangi tiesė eina per tašką M 2 (x 2 y 2), šio taško koordinatės turi atitikti (10.6) lygtį: y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Iš čia randame Rastos vertės pakeitimą k į (10.6) lygtį gauname tiesės, einančios per taškus M 1 ir M 2, lygtį:

Daroma prielaida, kad šioje lygtyje x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Jei x 1 = x 2, tai tiesė, einanti per taškus M 1 (x 1,y I) ir M 2 (x 2,y 2), yra lygiagreti ordinačių ašiai. Jo lygtis yra x = x 1 .

Jei y 2 = y I, tai tiesės lygtį galima parašyti kaip y = y 1, tiesė M 1 M 2 lygiagreti abscisių ašiai.

Atkarpų tiesės lygtis

Tegul tiesė kerta Ox ašį taške M 1 (a;0), o Oy ašį taške M 2 (0;b). Lygtis bus tokia:
tie.
. Ši lygtis vadinama tiesės lygtis atkarpose, nes skaičiai a ir b nurodo, kuriuos atkarpas linija nukerta koordinačių ašyse.

Tiesės, einančios per tam tikrą tašką, statmeną tam tikram vektoriui, lygtis

Raskime tiesės, einančios pro šalį, lygtį duotas taškas Mo (x O; y o) yra statmenas duotam nuliniam vektoriui n = (A; B).

Paimkime savavališką tiesės tašką M(x; y) ir apsvarstykime vektorių M 0 M (x - x 0; y - y o) (žr. 1 pav.). Kadangi vektoriai n ir M o M yra statmeni, jų skaliarinė sandauga lygi nuliui: tai yra

A(x – xo) + B(y – yo) = 0. (10.8)

Lygtis (10.8) vadinama tiesės, einančios per tam tikrą tašką, statmeną tam tikram vektoriui, lygtis .

Vektorius n= (A; B), statmenas tiesei, vadinamas normaliuoju šios linijos normalusis vektorius .

Lygtį (10.8) galima perrašyti kaip Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

kur A ir B yra normaliojo vektoriaus koordinatės, C = -Ax o - Vu o yra laisvasis narys. Lygtis (10.9) yra bendroji linijos lygtis(žr. 2 pav.).

1 pav.2 pav

Kanoninės tiesės lygtys

,

Kur
- taško, per kurį linija eina, koordinates ir
- krypties vektorius.

Antros eilės kreivės Apskritimas

Apskritimas yra visų plokštumos taškų, nutolusių vienodu atstumu nuo tam tikro taško, vadinamo centru, rinkinys.

Kanoninė spindulio apskritimo lygtis R centruojamas taške
:

Visų pirma, jei statymo centras sutampa su koordinačių pradžia, lygtis atrodys taip:

Elipsė

Elipsė yra plokštumos taškų rinkinys, atstumų nuo kiekvieno iš jų iki dviejų nurodytų taškų suma Ir , kurie vadinami židiniais, yra pastovus dydis
, didesnis nei atstumas tarp židinių
.

Kanoninė elipsės lygtis, kurios židiniai yra ant Ox ašies, o koordinačių pradžia viduryje tarp židinių turi formą
G de a pusiau pagrindinės ašies ilgis; b – pusiau mažosios ašies ilgis (2 pav.).

Tiesės, einančios per tam tikrą tašką tam tikra kryptimi, lygtis. Tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtis. Kampas tarp dviejų tiesių. Dviejų tiesių lygiagretumo ir statmenumo sąlyga. Dviejų tiesių susikirtimo taško nustatymas

1. Tiesės, einančios per nurodytą tašką, lygtis A(x 1 , y 1) tam tikra kryptimi, nustatyta nuolydis k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ši lygtis apibrėžia linijų, einančių per tašką, pieštuką A(x 1 , y 1), kuris vadinamas spindulio centru.

2. Tiesės, einančios per du taškus, lygtis: A(x 1 , y 1) ir B(x 2 , y 2), parašyta taip:

Tiesės, einančios per du duotus taškus, kampinis koeficientas nustatomas pagal formulę

3. Kampas tarp tiesių linijų A Ir B yra kampas, kuriuo turi būti pasukta pirmoji tiesi linija A aplink šių linijų susikirtimo tašką prieš laikrodžio rodyklę, kol jis sutampa su antrąja linija B. Jei dvi tiesės pateiktos lygtimis su nuolydžiu

y = k 1 x + B 1 ,

Šiame straipsnyje tęsiama tiesės lygties plokštumoje tema: tokio tipo lygtį laikysime bendrąja tiesės lygtimi. Apibrėžkime teoremą ir pateiksime jos įrodymą; Išsiaiškinkime, kas yra neišsami bendroji linijos lygtis ir kaip atlikti perėjimus iš bendrosios lygties į kitų tipų linijos lygtis. Visą teoriją sustiprinsime iliustracijomis ir praktinių problemų sprendimais.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Plokštumoje nurodykime stačiakampę koordinačių sistemą O x y.

1 teorema

Bet kuri pirmojo laipsnio lygtis, turinti formą A x + B y + C = 0, kur A, B, C yra kai kurie realieji skaičiai (A ir B tuo pačiu metu nėra lygūs nuliui), apibrėžia tiesę stačiakampė sistema koordinates lėktuve. Savo ruožtu bet kuri tiesė stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje yra nustatoma pagal lygtį, kurios forma yra A x + B y + C = 0 tam tikram reikšmių rinkiniui A, B, C.

Įrodymas

Ši teorema susideda iš dviejų punktų, įrodysime kiekvieną iš jų.

1. Įrodykime, kad lygtis A x + B y + C = 0 apibrėžia tiesę plokštumoje.

Tebūnie koks nors taškas M 0 (x 0 , y 0), kurio koordinatės atitinka lygtį A x + B y + C = 0. Taigi: A x 0 + B y 0 + C = 0. Iš kairės ir dešinės lygčių A x + B y + C = 0 pusių atimkite lygties A x 0 + B y 0 + C = 0 kairę ir dešinę puses, gausime naują lygtį, kuri atrodo kaip A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Jis lygus A x + B y + C = 0.

Gauta lygtis A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 yra būtina ir pakankama vektorių n → = (A, B) ir M 0 M → = (x - x) statmenumo sąlyga. 0, y - y 0) . Taigi taškų aibė M (x, y) apibrėžia tiesę stačiakampėje koordinačių sistemoje, statmenoje vektoriaus n → = (A, B) krypčiai. Galime manyti, kad taip nėra, bet tada vektoriai n → = (A, B) ir M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) nebūtų statmeni, o lygybė A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 nebūtų teisinga.

Vadinasi, lygtis A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 apibrėžia tam tikrą tiesę stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje, todėl lygiavertė lygtis A x + B y + C = 0 apibrėžia ta pati linija. Taip įrodėme pirmąją teoremos dalį.

1. Pateiksime įrodymą, kad bet kurią tiesę stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje galima nurodyti pirmojo laipsnio lygtimi A x + B y + C = 0.

Apibrėžkime tiesę a stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje; taškas M 0 (x 0 , y 0), per kurį eina ši tiesė, taip pat šios tiesės normalusis vektorius n → = (A, B) .

Tegul taip pat yra tam tikras taškas M (x, y) – tiesės slankusis taškas. Šiuo atveju vektoriai n → = (A, B) ir M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) yra statmeni vienas kitam, o jų skaliarinis produktas yra nulis:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Perrašykime lygtį A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, apibrėžkime C: C = - A x 0 - B y 0 ir kaip galutinį rezultatą gausime lygtį A x + B y + C = 0.

Taigi, mes įrodėme antrąją teoremos dalį ir įrodėme visą teoremą kaip visumą.

1 apibrėžimas

Formos lygtis A x + B y + C = 0 - Tai bendroji tiesės lygtis plokštumoje stačiakampėje koordinačių sistemojeOxy.

Remdamiesi įrodyta teorema, galime daryti išvadą, kad tiesė ir jos bendroji lygtis, apibrėžta plokštumoje fiksuotoje stačiakampėje koordinačių sistemoje, yra neatsiejamai susijusios. Kitaip tariant, pradinė eilutė atitinka jos bendrąją lygtį; bendroji tiesės lygtis atitinka duotąją tiesę.

Iš teoremos įrodymo taip pat išplaukia, kad kintamųjų x ir y koeficientai A ir B yra tiesės normaliojo vektoriaus koordinatės, kurią pateikia bendroji tiesės lygtis A x + B y + C = 0.

Pasvarstykime konkretus pavyzdys bendroji tiesės lygtis.

Tegu yra lygtis 2 x + 3 y - 2 = 0, kuri atitinka tiesę duotoje stačiakampėje koordinačių sistemoje. Normalus šios linijos vektorius yra vektorius n → = (2, 3) . Nubrėžkime brėžinyje nurodytą tiesią liniją.

Taip pat galime teigti: tiesė, kurią matome brėžinyje, yra nustatoma pagal bendrąją lygtį 2 x + 3 y - 2 = 0, nes visų duotoje tiesėje esančių taškų koordinatės atitinka šią lygtį.

Lygtį λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 galime gauti padauginę abi bendrosios tiesės lygties puses iš skaičiaus λ, nelygaus nuliui. Gauta lygtis yra lygiavertė pradinei bendrajai lygčiai, todėl ji apibūdins tą pačią tiesę plokštumoje.

2 apibrėžimas

Užbaikite bendrąją linijos lygtį– tokia bendroji tiesės A x + B y + C = 0 lygtis, kurioje skaičiai A, B, C skiriasi nuo nulio. Priešingu atveju lygtis yra Nebaigtas.

Išanalizuokime visus nepilnos bendrosios tiesės lygties variantus.

1. Kai A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, bendroji lygtis įgauna formą B y + C = 0. Tokia nepilna bendroji lygtis stačiakampėje koordinačių sistemoje O x y apibrėžia tiesę, lygiagrečią O x ašiai, nes bet kuriai realiajai x reikšmei kintamasis y įgaus reikšmę - C B. Kitaip tariant, bendroji tiesės A x + B y + C = 0 lygtis, kai A = 0, B ≠ 0, nurodo taškų (x, y), kurių koordinatės lygios tam pačiam skaičiui, vietą. - C B.
2. Jei A = 0, B ≠ 0, C = 0, bendroji lygtis yra y = 0. Tai nepilna lygtis apibrėžia abscisių ašį O x .
3. Kai A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, gauname nepilną bendrąją lygtį A x + C = 0, apibrėžiančią tiesę, lygiagrečią ordinatėms.
4. Tegu A ≠ 0, B = 0, C = 0, tada nepilna bendroji lygtis bus x = 0, ir tai yra koordinačių tiesės O y lygtis.
5. Galiausiai, kai A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, nepilna bendroji lygtis įgauna formą A x + B y = 0. Ir ši lygtis apibūdina tiesią liniją, kuri eina per pradžią. Tiesą sakant, skaičių pora (0, 0) atitinka lygybę A x + B y = 0, nes A · 0 + B · 0 = 0.

Grafiškai pavaizduokime visus aukščiau išvardintus nepilnos bendrosios tiesės lygties tipus.

1 pavyzdys

Yra žinoma, kad duota tiesė yra lygiagreti ordinačių ašiai ir eina per tašką 2 7, - 11. Būtina užrašyti bendrąją duotosios tiesės lygtį.

Sprendimas

Ordinačių ašiai lygiagreti tiesė pateikiama A x + C = 0 formos lygtimi, kurioje A ≠ 0. Sąlyga taip pat nurodo taško, per kurį eina tiesė, koordinates, o šio taško koordinatės atitinka nepilnos bendrosios lygties A x + C = 0 sąlygas, t.y. lygybė yra tiesa:

A 2 7 + C = 0

Iš jo galima nustatyti C, jei A suteikiame kokią nors ne nulį reikšmę, pavyzdžiui, A = 7. Šiuo atveju gauname: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Žinome abu koeficientus A ir C, juos pakeisime lygtimi A x + C = 0 ir gauname reikiamą tiesės lygtį: 7 x - 2 = 0

Atsakymas: 7 x - 2 = 0

2 pavyzdys

Brėžinyje pavaizduota tiesė, reikia užrašyti jos lygtį.

Sprendimas

Pateiktas brėžinys leidžia lengvai paimti pradinius duomenis, kad išspręstume problemą. Brėžinyje matome, kad duotoji tiesė yra lygiagreti O x ašiai ir eina per tašką (0, 3).

Tiesi linija, lygiagreti abscisei, nustatoma nepilna bendroji lygtis B y + C = 0. Raskime B ir C reikšmes. Taško (0, 3) koordinatės, kadangi per jį eina duotoji tiesė, tenkins tiesės B y + C = 0 lygtį, tuomet galioja lygybė: B · 3 + C = 0. Nustatykime B vertę, kuri skiriasi nuo nulio. Tarkime B = 1, tokiu atveju iš lygybės B · 3 + C = 0 galime rasti C: C = - 3. Mes naudojame žinomos vertės B ir C, gauname reikiamą tiesės lygtį: y - 3 = 0.

Atsakymas: y-3 = 0.

Bendroji tiesės, einančios per tam tikrą plokštumos tašką, lygtis

Tegul duotoji tiesė eina per tašką M 0 (x 0 , y 0), tada jos koordinatės atitinka bendrąją tiesės lygtį, t.y. lygybė yra teisinga: A x 0 + B y 0 + C = 0. Atimkime kairę ir dešinę šios lygties puses iš kairės ir dešinės bendrosios pusės pilna lygtis tiesiai. Gauname: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, ši lygtis yra lygiavertė pradinei bendrajai, eina per tašką M 0 (x 0, y 0) ir turi normalią vektorius n → = (A, B) .

Gautas rezultatas leidžia užrašyti bendrąją tiesės lygtį su žinomomis normalaus linijos vektoriaus koordinatėmis ir tam tikro šios linijos taško koordinatėmis.

3 pavyzdys

Duotas taškas M 0 (- 3, 4), per kurį eina tiesė, ir šios tiesės normalusis vektorius n → = (1 , - 2) . Būtina užrašyti duotosios tiesės lygtį.

Sprendimas

Pradinės sąlygos leidžia gauti reikiamus duomenis lygčiai sudaryti: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Tada:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Problema galėjo būti išspręsta kitaip. Bendroji tiesės lygtis yra A x + B y + C = 0. Pateiktas normalus vektorius leidžia gauti koeficientų A ir B reikšmes, tada:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Dabar suraskime C reikšmę naudodami tašką M 0 (- 3, 4), nurodytą uždavinio sąlygos, per kurį eina tiesė. Šio taško koordinatės atitinka lygtį x - 2 · y + C = 0, t.y. - 3 - 2 4 + C = 0. Taigi C = 11. Reikiama tiesės lygtis yra tokia: x - 2 · y + 11 = 0.

Atsakymas: x - 2 y + 11 = 0 .

4 pavyzdys

Duota tiesė 2 3 x - y - 1 2 = 0 ir taškas M 0, esantis šioje tiesėje. Žinoma tik šio taško abscisė ir ji lygi – 3. Būtina nustatyti duoto taško ordinates.

Sprendimas

Taško M 0 koordinates pažymėkime x 0 ir y 0 . Šaltiniai duomenys rodo, kad x 0 = - 3. Kadangi taškas priklauso duotai tiesei, tai jo koordinatės atitinka bendrąją šios tiesės lygtį. Tada lygybė bus tiesa:

2 3 x 0 – y 0 – 1 2 = 0

Apibrėžkite y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Atsakymas: - 5 2

Perėjimas nuo bendrosios tiesės lygties prie kito tipo tiesės lygčių ir atvirkščiai

Kaip žinome, yra keletas lygčių tipų, skirtų tai pačiai tiesei plokštumoje. Lygties tipo pasirinkimas priklauso nuo uždavinio sąlygų; galima pasirinkti patogiau sprendžiant. Čia labai praverčia įgūdžiai konvertuoti vieno tipo lygtį į kito tipo lygtį.

Pirmiausia panagrinėkime perėjimą nuo bendrosios A x + B y + C = 0 lygties į kanoninę lygtį x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Jei A ≠ 0, tai terminą B y perkeliame į dešinę bendrosios lygties pusę. Kairėje pusėje mes išimame A iš skliaustų. Dėl to gauname: A x + C A = - B y.

Šią lygybę galima parašyti kaip proporciją: x + C A - B = y A.

Jei B ≠ 0, kairėje bendrosios lygties pusėje paliekame tik terminą A x, kitus perkeliame į dešinę, gauname: A x = - B y - C. Iš skliaustų paimame – B, tada: A x = - B y + C B .

Perrašykime lygybę proporcijos forma: x - B = y + C B A.

Žinoma, nereikia įsiminti gautų formulių. Pereinant nuo bendrosios lygties prie kanoninės, pakanka žinoti veiksmų algoritmą.

5 pavyzdys

Pateikiama bendroji tiesės 3 lygtis y - 4 = 0. Būtina jį paversti kanonine lygtimi.

Sprendimas

Parašykime pradinę lygtį kaip 3 y – 4 = 0. Toliau einame pagal algoritmą: terminas 0 x lieka kairėje pusėje; o dešinėje pusėje dedame - 3 iš skliaustų; gauname: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Gautą lygybę parašykime proporcija: x - 3 = y - 4 3 0 . Taigi, mes gavome kanoninės formos lygtį.

Atsakymas: x - 3 = y - 4 3 0.

Norėdami konvertuoti bendrąją tiesės lygtį į parametrinę, pirmiausia eikite į kanoninė forma, o tada perėjimas nuo kanoninės tiesės lygties prie parametrinių lygčių.

6 pavyzdys

Tiesi linija pateikiama lygtimi 2 x - 5 y - 1 = 0. Užrašykite šios eilutės parametrines lygtis.

Sprendimas

Pereikime nuo bendrosios lygties prie kanoninės:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Dabar paimame abi gautos kanoninės lygties puses, lygias λ, tada:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Atsakymas:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Bendrąją lygtį galima konvertuoti į tiesės, kurios nuolydis y = k · x + b, lygtį, bet tik tada, kai B ≠ 0. Perėjimui terminą B y paliekame kairėje pusėje, likusieji perkeliami į dešinę. Gauname: B y = - A x - C . Padalinkime abi gautos lygybės puses iš B, kurios skiriasi nuo nulio: y = - A B x - C B.

7 pavyzdys

Pateikiama bendroji tiesės lygtis: 2 x + 7 y = 0. Turite konvertuoti šią lygtį į nuolydžio lygtį.

Sprendimas

Atlikime reikiamus veiksmus pagal algoritmą:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Atsakymas: y = - 2 7 x .

Iš bendrosios tiesės lygties pakanka tiesiog gauti lygtį x a + y b = 1 formos atkarpose. Norėdami atlikti tokį perėjimą, skaičių C perkeliame į dešinę lygybės pusę, gautos lygybės abi puses padaliname iš – C ir galiausiai perkeliame kintamųjų x ir y koeficientus į vardiklius:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

8 pavyzdys

Reikia paversti bendrąją tiesės x - 7 y + 1 2 = 0 lygtį į tiesės lygtį atkarpomis.

Sprendimas

Perkelkime 1 2 į dešinę pusę: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Abi lygybės puses padalinkime iš -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Atsakymas: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Apskritai atvirkštinis perėjimas taip pat yra lengvas: nuo kitų tipų lygčių prie bendrosios.

Linijos lygtis atkarpose ir lygtis su kampiniu koeficientu gali būti lengvai konvertuojama į bendrą, tiesiog surinkus visus terminus kairėje lygybės pusėje:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Kanoninė lygtis konvertuojama į bendrąją pagal šią schemą:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Norėdami pereiti nuo parametrinių, pirmiausia pereikite prie kanoninio, o tada prie bendro:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

9 pavyzdys

Pateikiamos tiesės x = - 1 + 2 · λ y = 4 parametrinės lygtys. Būtina užrašyti bendrąją šios tiesės lygtį.

Sprendimas

Pereikime nuo parametrinių lygčių prie kanoninių:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Pereikime nuo kanoninio prie bendro:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Atsakymas: y – 4 = 0

10 pavyzdys

Pateikta tiesės lygtis atkarpose x 3 + y 1 2 = 1. Būtina pereiti prie bendra išvaizda lygtys

Sprendimas:

Tiesiog perrašome lygtį reikiama forma:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Atsakymas: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Bendrosios tiesės lygties sudarymas

Aukščiau sakėme, kad bendrąją lygtį galima parašyti žinomomis normaliojo vektoriaus koordinatėmis ir taško, per kurį eina linija, koordinatėmis. Tokia tiesė apibrėžiama lygtimi A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Ten taip pat išanalizavome atitinkamą pavyzdį.

Dabar pažiūrėkime daugiau sudėtingų pavyzdžių, kuriame pirmiausia reikia nustatyti normalaus vektoriaus koordinates.

11 pavyzdys

Duota tiesė, lygiagreti tiesei 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Taip pat žinomas taškas M 0 (4, 1), per kurį eina duotoji tiesė. Būtina užrašyti duotosios tiesės lygtį.

Sprendimas

Pradinės sąlygos mums sako, kad tiesės yra lygiagrečios, tada kaip normalųjį tiesės vektorių, kurios lygtį reikia parašyti, imame tiesės n → = (2, - 3) krypties vektorių: 2 x – 3 m. + 3 3 = 0. Dabar mes žinome visus reikalingus duomenis, kad sukurtume bendrą linijos lygtį:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Atsakymas: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

12 pavyzdys

Duota tiesė eina per pradžią statmenai tiesei x - 2 3 = y + 4 5. Būtina sukurti bendrąją lygtį duotai linijai.

Sprendimas

Normalusis tam tikros linijos vektorius bus tiesės x - 2 3 = y + 4 5 krypties vektorius.

Tada n → = (3, 5) . Tiesi linija eina per pradžią, t.y. per tašką O (0, 0). Sukurkime bendrąją duotosios linijos lygtį:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Atsakymas: 3 x + 5 y = 0 .

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Bendroji tiesės lygtis:

Ypatingi bendrosios tiesės lygties atvejai:

ir jeigu C= 0, (2) lygtis turės formą

Ax + Autorius = 0,

o šios lygties apibrėžta tiesė eina per pradžios tašką, nes pradžios koordinatės yra x = 0, y= 0 tenkina šią lygtį.

b) Jei bendrojoje tiesės lygtyje (2) B= 0, tada lygtis įgauna formą

Ax + SU= 0 arba .

Lygtyje nėra kintamojo y, o šia lygtimi apibrėžta tiesė yra lygiagreti ašiai Oy.

c) Jei bendrojoje tiesės lygtyje (2) A= 0, tada ši lygtis įgis tokią formą

Autorius + SU= 0 arba ;

lygtyje nėra kintamojo x, o jo apibrėžta tiesė yra lygiagreti ašiai Jautis.

Reikėtų prisiminti: jei tiesė yra lygiagreti tam tikrai koordinačių ašiai, tada jos lygtyje nėra termino, turinčio tokio paties pavadinimo koordinatę kaip ši ašis.

d) Kada C= 0 ir A= 0 lygtis (2) įgauna formą Autorius= 0 arba y = 0.

Tai yra ašies lygtis Jautis.

d) Kada C= 0 ir B= 0 lygtis (2) bus parašyta forma Ax= 0 arba x = 0.

Tai yra ašies lygtis Oy.

Santykinė linijų padėtis plokštumoje. Kampas tarp tiesių plokštumoje. Lygiagrečių linijų sąlyga. Linijų statmenumo sąlyga.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 Vektoriai S 1 ir S 2 vadinami jų linijų kreiptuvais.

Kampas tarp tiesių l 1 ir l 2 nustatomas pagal kampą tarp krypties vektorių.
1 teorema: kampo tarp l 1 ir l 2 cos = cos(l 1 ; l 2) =

2 teorema: Kad 2 eilutės būtų lygios, būtina ir pakanka:

3 teorema: Kad 2 tiesios linijos būtų statmenos, būtina ir pakanka:

L 1 l 2 – A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Bendrosios plokštumos lygtis ir jos specialieji atvejai. Plokštumos atkarpomis lygtis.

Bendroji plokštumos lygtis:

Ax + By + Cz + D = 0

Ypatingi atvejai:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – plokštuma eina per pradžios tašką

2. С=0 Ax+By+D = 0 – plokštuma || OZ

3. B=0 Ax+Cz+d = 0 – plokštuma || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – plokštuma || JAUTIS

5. A=0 ir D=0 By+Cz = 0 – plokštuma eina per OX

6. B=0 ir D=0 Ax+Cz = 0 – plokštuma eina per OY

7. C=0 ir D=0 Ax+By = 0 – plokštuma eina per OZ

Santykinė plokštumų ir tiesių padėtis erdvėje:

1. Kampas tarp tiesių erdvėje yra kampas tarp jų krypties vektorių.

Cos (l 1 ; l 2) = cos (S 1 ; S 2) = =

2. Kampas tarp plokštumų nustatomas per kampą tarp jų normaliųjų vektorių.

Cos (l 1 ; l 2) = cos (N 1 ; N 2) = =

3. Kampo tarp tiesės ir plokštumos kosinusą galima rasti per kampo tarp tiesės krypties vektoriaus ir plokštumos normaliojo vektoriaus sin.

4. 2 tiesūs || erdvėje, kai jų || vektoriniai kreiptuvai

5. 2 lėktuvai || kada || normalūs vektoriai

6. Panašiai įvedamos tiesių ir plokštumų statmenumo sąvokos.

Klausimas Nr.14

Įvairių tipų tiesės lygtis plokštumoje (tiesės lygtis atkarpose, su kampo koeficientu ir kt.)

Tiesios linijos atkarpomis lygtis:
Tarkime, kad bendrojoje tiesės lygtyje:

1. C = 0 Ах + Ву = 0 – tiesė eina per pradžią.

2. a = 0 Vu + C = 0 y =

3. b = 0 Ax + C = 0 x =

4. b=C=0 Ax = 0 x = 0

5. a=C=0 Ву = 0 у = 0

Tiesios linijos su nuolydžiu lygtis:

Bet kuri tiesi linija, kuri nėra lygi op-amp ašiai (B ne = 0), gali būti užrašoma kitoje eilutėje. forma:

k = tanα α – kampas tarp tiesės ir teigiamai nukreiptos linijos OX

b – tiesės susikirtimo taškas su operacinės stiprintuvo ašimi

Dokumentas:

Ax+By+C = 0

Wu= -Ah-S |:B

Tiesios linijos lygtis, pagrįsta dviem taškais:

16 klausimas

Baigtinė funkcijos riba taške ir x→∞

Pabaigos riba ties x0:

Skaičius A vadinamas funkcijos y = f(x) riba x→x 0, jei bet kuriam E > 0 yra b > 0, kad esant x ≠x 0, tenkinanti nelygybę |x – x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Riba žymima: = A

Pabaigos riba taške +∞:

Skaičius A vadinamas funkcijos y = f(x) riba x → + ∞ , jei bet kuriam E > 0 yra C > 0, kad x > C nelygybė |f(x) - A|< Е

Riba žymima: = A

Pabaigos riba taške -∞:

Skaičius A vadinamas funkcijos y = f(x) for riba x→-∞, jei dėl kokių nors E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

Tiesios linijos savybės Euklido geometrijoje.

Per bet kurį tašką galima nubrėžti begalinį skaičių tiesių.

Per bet kuriuos du nesutampančius taškus galima nubrėžti vieną tiesią liniją.

Dvi besiskiriančios plokštumos tiesės arba susikerta viename taške, arba yra

lygiagretus (seka nuo ankstesnio).

Trimatėje erdvėje yra trys variantai santykinė padėtis dvi tiesios linijos:

• linijos susikerta;

• linijos lygiagrečios;

• susikerta tiesios linijos.

Tiesiai linija— pirmosios eilės algebrinė kreivė: tiesė Dekarto koordinačių sistemoje

plokštumoje pateikiama pirmojo laipsnio lygtimi (tiesine lygtimi).

Bendroji tiesės lygtis.

Apibrėžimas. Bet kuri tiesi linija plokštumoje gali būti nurodyta pirmosios eilės lygtimi

Ax + Wu + C = 0,

ir pastovus A, B tuo pačiu metu nėra lygūs nuliui. Ši pirmosios eilės lygtis vadinama bendras

tiesios linijos lygtis. Priklausomai nuo konstantų reikšmių A, B Ir SU Galimi šie ypatingi atvejai:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- per pradžią eina tiesi linija

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (pagal + C = 0)- tiesi linija, lygiagreti ašiai Oi

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- tiesi linija, lygiagreti ašiai OU

. B = C = 0, A ≠0- tiesi linija sutampa su ašimi OU

. A = C = 0, B ≠0- tiesi linija sutampa su ašimi Oi

Tiesios linijos lygtis gali būti pavaizduota įvairiomis formomis priklausomai nuo bet kurio duoto

pradines sąlygas.

Tiesės iš taško ir normalaus vektoriaus lygtis.

Apibrėžimas. Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje vektorius su komponentais (A, B)

statmena lygties nurodytai tiesei

Ax + Wu + C = 0.

Pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per tašką, lygtį A(1, 2) statmenai vektoriui (3, -1).

Sprendimas. Kai A = 3 ir B = -1, sudarykime tiesės lygtį: 3x - y + C = 0. Norėdami rasti koeficientą C

Į gautą išraišką pakeisime duoto taško A koordinates Gauname: 3 - 2 + C = 0, todėl

C = -1. Iš viso: reikalinga lygtis: 3x - y - 1 = 0.

Tiesės, einančios per du taškus, lygtis.

Tegu erdvėje pateikti du taškai M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Ir M2 (x 2, y 2, z 2), Tada tiesės lygtis,

eina per šiuos taškus:

Jei kuris nors iš vardiklių yra lygus nuliui, atitinkamas skaitiklis turi būti lygus nuliui. Įjungta

plokštumoje, aukščiau parašyta tiesės lygtis yra supaprastinta:

Jeigu x 1 ≠ x 2 Ir x = x 1, Jei x 1 = x 2 .

Frakcija = k paskambino nuolydis tiesiai.

Pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per taškus A(1, 2) ir B(3, 4), lygtį.

Sprendimas. Taikydami aukščiau parašytą formulę, gauname:

Tiesios linijos lygtis naudojant tašką ir nuolydį.

Jei bendroji tiesės lygtis Ax + Wu + C = 0 Vesti į:

ir paskirti , tada gauta lygtis vadinama

tiesės su nuolydžiu k lygtis.

Tiesės iš taško ir krypties vektoriaus lygtis.

Pagal analogiją su tašku, kuriame atsižvelgiama į tiesės linijos per normalųjį vektorių lygtį, galite įvesti užduotį

tiesė per tašką ir tiesės krypties vektorius.

Apibrėžimas. Kiekvienas nulinis vektorius (α 1 , α 2), kurio komponentai atitinka sąlygą

Aα 1 + Bα 2 = 0 paskambino nukreipiantis tiesės vektorius.

Ax + Wu + C = 0.

Pavyzdys. Raskite tiesės su krypties vektoriumi (1, -1) ir einančios per tašką A(1, 2) lygtį.

Sprendimas. Ieškosime norimos eilutės lygties formoje: Ax + By + C = 0. Pagal apibrėžimą,

koeficientai turi atitikti šias sąlygas:

1 * A + (-1) * B = 0, t.y. A = B.

Tada tiesės lygtis turi tokią formą: Ax + Ay + C = 0, arba x + y + C / A = 0.

adresu x = 1, y = 2 mes gauname C/A = -3, t.y. reikalinga lygtis:

x + y - 3 = 0

Tiesios linijos atkarpose lygtis.

Jei bendrojoje tiesės lygtyje Ах + Ву + С = 0 С≠0, tada dalijant iš -С gauname:

arba kur

Geometrinė reikšmė koeficientai yra tai, kad koeficientas a yra susikirtimo taško koordinatė

tiesiai su ašimi Oi, A b- tiesės susikirtimo su ašimi taško koordinatė OU.

Pavyzdys. Pateikta bendroji tiesės lygtis x - y + 1 = 0. Raskite šios tiesės lygtį atkarpomis.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normalioji tiesės lygtis.

Jei abi lygties pusės Ax + Wu + C = 0 padalinti iš skaičiaus kuris vadinamas

normalizuojantis veiksnys, tada gauname

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalioji tiesės lygtis.

Normalizuojančio koeficiento ženklas ± turi būti parinktas taip μ*C< 0.

R- statmens ilgis, nukritęs nuo pradžios iki tiesės,

A φ - kampas, sudarytas šio statmens su teigiama ašies kryptimi Oi.

Pavyzdys. Pateikiama bendroji linijos lygtis 12x - 5m - 65 = 0. Reikalingas rašyti Įvairių tipų lygtys

ši tiesi linija.

Šios tiesės lygtis atkarpomis:

Šios tiesės lygtis su nuolydžiu: (padalinkite iš 5)

Linijos lygtis:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Reikėtų pažymėti, kad ne kiekviena tiesė gali būti pavaizduota lygtimi atkarpose, pavyzdžiui, tiesės,

lygiagrečios ašims arba einančios per pradžią.

Kampas tarp tiesių plokštumoje.

Apibrėžimas. Jei pateiktos dvi eilutės y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, tada smailusis kampas tarp šių linijų

bus apibrėžtas kaip

Dvi tiesės lygiagrečios, jei k 1 = k 2. Du tiesios linijos yra statmenos,

Jeigu k 1 = -1/ k 2 .

Teorema.

Tiesioginis Ax + Wu + C = 0 Ir A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 lygiagrečiai, kai koeficientai yra proporcingi

A 1 = λA, B 1 = λB. Jei taip pat С 1 = λС, tada linijos sutampa. Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės

randami kaip šių tiesių lygčių sistemos sprendimas.

Tiesės, einančios per tam tikrą tašką statmenai nurodytai tiesei, lygtis.

Apibrėžimas. Tiesė, einanti per tašką M 1 (x 1, y 1) ir statmenai tiesei y = kx + b

pavaizduota lygtimi:

Atstumas nuo taško iki linijos.

Teorema. Jei skiriamas taškas M(x 0, y 0), tada atstumas iki tiesės Ax + Wu + C = 0 apibrėžtas kaip:

Įrodymas. Tegul taškas M 1 (x 1, y 1)- iš taško nukritusio statmens pagrindas M už duotą

tiesioginis. Tada atstumas tarp taškų M Ir M 1:

(1)

Koordinatės x 1 Ir 1 val galima rasti kaip lygčių sistemos sprendimą:

Antroji sistemos lygtis yra tiesės, einančios per tam tikrą tašką M 0 statmenai lygtis

duota tiesi linija. Jei paversime pirmąją sistemos lygtį į formą:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada išspręsdami gauname:

Pakeitę šias išraiškas į (1) lygtį, randame:

Teorema įrodyta.