Raskite tikrus lygties su kompleksiniais skaičiais sprendinius. Sudėtingi skaičiai

Prisiminkime reikiamą informaciją apie kompleksinius skaičius.

Sudėtingas skaičius yra formos išraiška a + bi, Kur a, b yra realūs skaičiai ir i- vadinamasis įsivaizduojamas vienetas, simbolis, kurio kvadratas lygus –1, tai yra i 2 = –1. Skaičius a paskambino tikroji dalis, ir numerį b - įsivaizduojama dalis kompleksinis skaičius z = a + bi. Jeigu b= 0, tada vietoj a + 0i jie rašo paprastai a. Galima pastebėti, kad realieji skaičiai yra ypatingas kompleksinių skaičių atvejis.

Aritmetinės operacijos su kompleksiniais skaičiais yra tokios pačios kaip ir su realiaisiais skaičiais: juos galima sudėti, atimti, dauginti ir padalyti vienas iš kito. Sudėjimas ir atėmimas vyksta pagal taisyklę ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, o daugyba vyksta pagal taisyklę ( a + bi) · ( c + di) = (ak – bd) + (Reklama + bc)i(čia jis naudojamas i 2 = –1). Skaičius = a – bi paskambino kompleksinis konjugatasĮ z = a + bi. Lygybė z · = a 2 + b 2 leidžia suprasti, kaip padalyti vieną kompleksinį skaičių iš kito (ne nulio) kompleksinio skaičiaus:

(Pavyzdžiui, .)

Sudėtiniai skaičiai turi patogų ir vaizdinį geometrinį vaizdą: skaičių z = a + bi gali būti pavaizduotas vektoriumi su koordinatėmis ( a; b) Dekarto plokštumoje (arba, kas yra beveik tas pats, taškas – vektoriaus su šiomis koordinatėmis pabaiga). Šiuo atveju dviejų kompleksinių skaičių suma vaizduojama kaip atitinkamų vektorių suma (kurią galima rasti naudojant lygiagretainio taisyklę). Pagal Pitagoro teoremą, vektoriaus ilgis su koordinatėmis ( a; b) yra lygus . Šis kiekis vadinamas modulis kompleksinis skaičius z = a + bi ir žymimas | z|. Kampas, kurį šis vektorius sudaro teigiama x ašies kryptimi (skaičiuojant prieš laikrodžio rodyklę), vadinamas argumentas kompleksinis skaičius z ir žymimas Arg z. Argumentas neapibrėžiamas vienareikšmiškai, o tik pridedant 2 kartotinį π radianų (arba 360°, jei skaičiuojant laipsniais) – juk aišku, kad tokiu kampu apsisukus aplink pradžią vektoriaus nepakeisi. Bet jei ilgio vektorius r sudaro kampą φ su teigiama x ašies kryptimi, tada jos koordinatės yra lygios ( r cos φ ; r nuodėmė φ ). Iš čia paaiškėja trigonometrinis žymėjimas kompleksinis skaičius: z = |z| · (cos(Arg z) + i nuodėmė (Arg z)). Šia forma dažnai patogu rašyti kompleksinius skaičius, nes tai labai supaprastina skaičiavimus. Padauginti kompleksinius skaičius trigonometrine forma yra labai paprasta: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + i nuodėmė (Arg z 1 + Arg z 2)) (dauginant du kompleksinius skaičius, jų moduliai dauginami ir jų argumentai pridedami). Iš čia sekti Moivre'o formulės: z n = |z|n· (cos( n· (Arg z)) + i nuodėmė ( n· (Arg z))). Naudojant šias formules, lengva išmokti iš kompleksinių skaičių išskirti bet kokio laipsnio šaknis. n-oji z šaknis– tai kompleksinis skaičius w, Ką w n = z. Tai aišku , Ir kur k gali gauti bet kokią reikšmę iš aibės (0, 1, ..., n– 1). Tai reiškia, kad visada yra tiksliai nšaknys n kompleksinio skaičiaus laipsnis (plokštumoje jie yra dėsnio viršūnėse n-gon).

Sudėtingi skaičiai

Įsivaizduojamas Ir kompleksiniai skaičiai. Abscisė ir ordinatė

kompleksinis skaičius. Konjuguoti kompleksinius skaičius.

Operacijos su kompleksiniais skaičiais. Geometrinis

kompleksinių skaičių vaizdavimas. Sudėtinga plokštuma.

Kompleksinio skaičiaus modulis ir argumentas. Trigonometrinis

kompleksinių skaičių forma. Operacijos su kompleksu

skaičiai trigonometrine forma. Moivre'o formulė.

Pagrindinė informacija apie įsivaizduojamas Ir kompleksiniai skaičiai pateikiami skyriuje „Įsivaizduojami ir kompleksiniai skaičiai“. Šių naujo tipo skaičių poreikis iškilo sprendžiant atvejo kvadratines lygtisD< 0 (здесь D– kvadratinės lygties diskriminantas). Ilgą laiką šie skaičiai nerado fizinio pritaikymo, todėl jie buvo vadinami „įsivaizduojamais“ skaičiais. Tačiau dabar jie labai plačiai naudojami įvairiose fizikos srityse.

ir technologijos: elektrotechnika, hidro- ir aerodinamika, tamprumo teorija ir kt.

Sudėtingi skaičiai yra parašyti tokia forma:a+bi. Čia a Ir b – realūs skaičiai , A i – menamasis vienetas, t.y. e. i 2 = –1. Skaičius a paskambino abscisė, a b – ordinatėskompleksinis skaičiusa + bi.Du kompleksiniai skaičiaia+bi Ir a–bi yra vadinami konjugatas kompleksiniai skaičiai.

Pagrindinės sutartys:

1. Tikrasis skaičiusAtaip pat galima parašyti formojekompleksinis skaičius:+ 0 i arba a – 0 i. Pavyzdžiui, įrašai 5 + 0i ir 5-0 ireiškia tą patį skaičių 5 .

2. Kompleksinis skaičius 0 + bipaskambino grynai įsivaizduojamas numerį. Įrašasbireiškia tą patį kaip 0 + bi.

3. Du kompleksiniai skaičiaia+bi Irc + dilaikomi lygiaverčiais, jeia = c Ir b = d. Priešingu atveju kompleksiniai skaičiai nėra lygūs.

Papildymas. Kompleksinių skaičių sumaa+bi Ir c + divadinamas kompleksiniu skaičiumi (a+c ) + (b+d ) i.Taigi, pridedant kompleksiniai skaičiai, jų abscisės ir ordinatės pridedami atskirai.

Šis apibrėžimas atitinka operacijų su įprastais daugianariais taisykles.

Atimtis. Dviejų kompleksinių skaičių skirtumasa+bi(sumažėjęs) ir c + di(subdėlis) vadinamas kompleksiniu skaičiumi (a–c ) + (b–d ) i.

Taigi, Atimant du kompleksinius skaičius, jų abscisės ir ordinatės atimamos atskirai.

Daugyba. Kompleksinių skaičių sandaugaa+bi Ir c + di vadinamas kompleksiniu skaičiumi:

(ac-bd ) + (ad+bc ) i.Šis apibrėžimas išplaukia iš dviejų reikalavimų:

1) skaičiai a+bi Ir c + dituri būti dauginama kaip algebrinė dvinariai,

2) skaičius ituri pagrindinę savybę:i 2 = – 1.

PAVYZDYS ( a+ bi )(a–bi) =a 2 +b 2 . Vadinasi, dirbti

du konjuguoti kompleksiniai skaičiai yra lygūs tikrajam

teigiamas skaičius.

Padalinys. Padalinkite kompleksinį skaičiųa+bi (dalomas) iš kitoc + di(daliklis) - reiškia surasti trečiąjį skaičiųe + f i(pokalbis), kurį padauginus iš daliklioc + di, gaunamas dividendasa + bi.

Jei daliklis nėra nulis, dalyba visada galima.

PAVYZDYS Rasti (8+i ) : (2 – 3 i) .

Sprendimas Perrašykime šį santykį trupmena:

Jo skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš 2 + 3i

IR Atlikę visas transformacijas, gauname:

Geometrinis kompleksinių skaičių vaizdavimas. Tikrieji skaičiai žymimi taškais skaičių eilutėje:

Čia yra esmė Areiškia skaičių –3, taškąB– numeris 2 ir O- nulis. Priešingai, kompleksiniai skaičiai vaizduojami taškais koordinačių plokštumoje. Tam tikslui pasirenkame stačiakampes (Dekarto) koordinates, kurių abiejų ašių masteliai yra vienodi. Tada kompleksinis skaičiusa+bi bus pavaizduotas tašku P su abscisėmis a ir ordinatė b (žr. paveikslėlį). Ši koordinačių sistema vadinama sudėtinga plokštuma .

Modulis kompleksinis skaičius yra vektoriaus ilgisOP, reiškia kompleksinį skaičių koordinatėje ( visapusiškas) lėktuvas. Kompleksinio skaičiaus modulisa+bižymimas | a+bi| arba laiškas r

§ 1. Sudėtiniai skaičiai: apibrėžimai, geometrinė interpretacija, veiksmai algebrinėmis, trigonometrinėmis ir eksponencinėmis formomis

Kompleksinio skaičiaus apibrėžimas

Sudėtingos lygybės

Geometrinis kompleksinių skaičių vaizdavimas

Kompleksinio skaičiaus modulis ir argumentas

Algebrinės ir trigonometrinės kompleksinio skaičiaus formos

Eksponentinė kompleksinio skaičiaus forma

Eilerio formulės

§ 2. Visos funkcijos (polinomai) ir pagrindinės jų savybės. Algebrinių lygčių sprendimas kompleksinių skaičių aibėje

Laipsnio algebrinės lygties apibrėžimas

Pagrindinės daugianario savybės

Algebrinių lygčių kompleksinių skaičių aibėje sprendimo pavyzdžiai

Savitikros klausimai

Žodynėlis

§ 1. Sudėtiniai skaičiai: apibrėžimai, geometrinė interpretacija, operacijos algebrinėmis, trigonometrinėmis ir eksponentinėmis formomis

Kompleksinio skaičiaus apibrėžimas ( Pateikite kompleksinio skaičiaus apibrėžimą)

Kompleksinis skaičius z yra šios formos išraiška:

Kompleksinis skaičius algebrine forma, (1)

kur x, y Î;

- kompleksinis konjuguotas skaičius numeris z ;

- priešingas skaičius numeris z ;

- kompleksinis nulis ;

– taip žymima kompleksinių skaičių aibė.

1)z = 1 + iÞ Re z= 1, Im z = 1, = 1 – aš, = –1 – i ;

2)z = –1 + iÞ Re z= –1, Im z = , = –1 – aš, = –1 –i ;

3)z = 5 + 0i= 5 Þ Re z= 5, Im z = 0, = 5 – 0i = 5, = –5 – 0i = –5

Þ jei aš z= 0, tada z = x- tikras numeris;

4)z = 0 + 3i = 3iÞ Re z= 0, Im z = 3, = 0 – 3i = –3i , = –0 – 3i = – 3i

Þ jei Re z= 0, tada z = oi - grynai įsivaizduojamas skaičius.

Sudėtingos lygybės (Suformuluokite kompleksinės lygybės reikšmę)

1) ;

2) .

Viena kompleksinė lygybė prilygsta dviejų realių lygybių sistemai. Šios tikrosios lygybės gaunamos iš kompleksinės lygybės, atskiriant tikrąją ir įsivaizduojamą dalis.

1) ;

2) .

Geometrinis kompleksinių skaičių vaizdavimas ( Koks yra kompleksinių skaičių geometrinis vaizdas?)

Sudėtingas skaičius z pavaizduotas tašku ( x , y) kompleksinėje plokštumoje arba šio taško spindulio vektoriuje.

Pasirašyti z antrajame ketvirtyje reiškia, kad Dekarto koordinačių sistema bus naudojama kaip sudėtinga plokštuma.

Kompleksinio skaičiaus modulis ir argumentas ( Koks yra kompleksinio skaičiaus modulis ir argumentas?)

Kompleksinio skaičiaus modulis yra neneigiamas realusis skaičius

.(2)

Geometriškai kompleksinio skaičiaus modulis yra skaičių reprezentuojančio vektoriaus ilgis z, arba taško poliarinis spindulys ( x , y).

Kompleksinėje plokštumoje nubrėžkite šiuos skaičius ir parašykite juos trigonometrine forma.

1)z = 1 + i Þ

,

Þ

Þ ;

,

Þ

Þ ;

,

5),

tai yra, jei z = 0 taip bus

, j neapibrėžtas.

Aritmetinės operacijos su kompleksiniais skaičiais (Pateikite apibrėžimus ir išvardykite pagrindines aritmetinių operacijų su kompleksiniais skaičiais savybes.)

Kompleksinių skaičių sudėjimas (atėmimas).

z 1 ± z 2 = (x 1 + oi 1) ± ( x 2 + oi 2) = (x 1 ± x 2) + i (y 1 ± y 2),(5)

tai yra, sudedant (atimant) kompleksinius skaičius, jų tikroji ir menamoji dalys pridedamos (atimamos).

1)(1 + i) + (2 – 3i) = 1 + i + 2 –3i = 3 – 2i ;

2)(1 + 2i) – (2 – 5i) = 1 + 2i – 2 + 5i = –1 + 7i .

Pagrindinės papildymo savybės

1)z 1 + z 2 = z 2 + z 1;

2)z 1 + z 2 + z 3 = (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3);

3)z 1 – z 2 = z 1 + (– z 2);

4)z + (–z) = 0;

Kompleksinių skaičių dauginimas algebrine forma

z 1∙z 2 = (x 1 + oi 1)∙(x 2 + oi 2) = x 1x 2 + x 1oi 2 + oi 1x 2 + i 2y 1y 2 = (6)

= (x 1x 2 – y 1y 2) + i (x 1y 2 + y 1x 2),

tai yra, kompleksiniai skaičiai algebrine forma dauginami pagal dvinario algebrinio dauginimo iš dvejetainio taisyklę, po kurios pakeičiami ir sumažinami panašūs į realią ir įsivaizduojamą skaičių.

1)(1 + i)∙(2 – 3i) = 2 – 3i + 2i – 3i 2 = 2 – 3i + 2i + 3 = 5 – i ;

2)(1 + 4i)∙(1 – 4i) = 1 – 42 i 2 = 1 + 16 = 17;

3)(2 + i)2 = 22 + 4i + i 2 = 3 + 4i .

Sudėtinių skaičių dauginimas trigonometrine forma

z 1∙z 2 = r 1 (kain j 1 + i nuodėmė j 1) × r 2 (kain j 2 + i nuodėmė j 2) =

= r 1r 2 (kain j 1cos j 2 + i cos j 1 nuodėmė j 2 + i nuodėmė j 1cos j 2 + i 2 nuodėmė j 1 nuodėmė j 2) =

= r 1r 2 ((kai j 1cos j 2 – nuodėmė j 1 nuodėmė j 2) + i(cos j 1 nuodėmė j 2 + nuodėmė j 1cos j 2))

Sudėtinių skaičių sandauga trigonometrine forma, tai yra, dauginant kompleksinius skaičius trigonometrine forma, jų moduliai dauginami ir jų argumentai pridedami.

Pagrindinės daugybos savybės

1)z 1× z 2 = z 2× z 1 - komutaciškumas;

2)z 1× z 2× z 3 = (z 1× z 2) × z 3 = z 1×( z 2× z 3) - asociatyvumas;

3)z 1×( z 2 + z 3) = z 1× z 2 + z 1× z 3 - pasiskirstymas pridėjimo atžvilgiu;

4)z×0 = 0; z×1 = z ;

Kompleksinių skaičių dalyba

Dalyba yra atvirkštinė daugybos operacija, taigi

Jeigu z × z 2 = z 1 ir z 2 ¹ 0, tada .

Atliekant padalijimą algebrine forma, trupmenos skaitiklis ir vardiklis dauginami iš vardiklio kompleksinio konjugato:

Kompleksinių skaičių dalyba algebrine forma.(7)

Atliekant skaidymą trigonometrine forma, moduliai dalijami ir argumentai atimami:

Sudėtinių skaičių dalijimas trigonometrine forma.(8)

2)
.

Kompleksinio skaičiaus didinimas iki natūralios laipsnio

Patogiau eksponentiškumą atlikti trigonometrine forma:

Moivre'o formulė, (9)

tai yra, kai kompleksinis skaičius pakeliamas iki natūraliosios laipsnio, jo modulis pakeliamas iki šios laipsnio, o argumentas padauginamas iš laipsnio.

Apskaičiuokite (1 + i)10.

Pastabos

1. Atliekant daugybos ir didinimo iki natūraliosios laipsnio operacijas trigonometrine forma, galima gauti kampo vertes, viršijančias vieną pilną apsisukimą. Bet juos visada galima sumažinti iki kampų arba numetus sveiką skaičių pilnų apsisukimų, naudojant funkcijų ir periodiškumo savybes.

2. Reikšmė vadinama pagrindine kompleksinio skaičiaus argumento reikšme;

šiuo atveju visų galimų kampų reikšmės žymimos ;

akivaizdu, kad,.

Natūralaus laipsnio šaknies išskyrimas iš kompleksinio skaičiaus

Eilerio formulės (16)

kuriam trigonometrinės funkcijos ir realusis kintamasis išreiškiami per eksponentinę funkciją (rodiklį) su grynai įsivaizduojamu rodikliu.

§ 2. Visos funkcijos (polinomai) ir pagrindinės jų savybės. Algebrinių lygčių sprendimas kompleksinių skaičių aibėje

Du to paties laipsnio daugianariai n yra identiški vienas kitam tada ir tik tada, kai jų koeficientai sutampa toms pačioms kintamojo laipsnėms x, tai yra

Įrodymas

w Identifikacija (3) galioja "xО (arba "xО)

Þ galioja ; pakeičiant , gauname an = mlrd .

Atšaukkime sąlygas (3) an Ir mlrd ir padalykite abi dalis iš x :

Ši tapatybė galioja ir „ x, įskaitant kada x = 0

Þ darant prielaidą x= 0, gauname an – 1 = mlrd – 1.

Atšaukkime sąlygas (3") an– 1 ir a n– 1 ir padalykite abi puses iš x, kaip rezultatas, mes gauname

Tęsdami samprotavimus panašiai, gauname, kad an – 2 = mlrd –2, …, A 0 = b 0.

Taigi buvo įrodyta, kad identiška 2-x daugianario lygybė reiškia jų koeficientų sutapimą tais pačiais laipsniais x .

Priešingas teiginys teisingai akivaizdus, ​​t.y. jei du daugianariai turi tuos pačius koeficientus, tai jie yra identiškos funkcijos, todėl jų reikšmės sutampa visoms argumento reikšmėms, o tai reiškia, kad jie yra identiški. 1 savybė buvo visiškai įrodyta. v

Dalijant daugianarį Pn (x) pagal skirtumą ( x – X 0) liekana lygi Pn (x 0), tai yra

Bezout teorema, (4)

Kur Qn – 1(x) - sveikoji dalybos dalis yra laipsnio daugianomas ( n – 1).

Įrodymas

w Parašykime padalijimo formulę su liekana:

Pn (x) = (x – X 0)∙Qn – 1(x) + A ,

Kur Qn – 1(x) – laipsnio daugianario ( n – 1),

A- likusi dalis, kuri yra skaičius, atsirandantis dėl gerai žinomo daugianario padalijimo iš dvejetainio algoritmo „stulpelyje“.

Ši lygybė galioja " x, įskaitant kada x = X 0 Þ

Pn (x 0) = (x 0 – x 0)× Qn – 1(x 0) + A Þ

A = Pn (X 0) ir kt. v

Bezouto teoremos išvada. Apie daugianario padalijimą iš dvejetainio be liekanos

Jei numeris X 0 yra daugianario nulis, tada šis daugianomas yra padalintas iš skirtumo ( x – X 0) be liekanos, tai yra

Þ .(5)

1), nuo P 3(1) º 0

2) nes P 4(–2) º 0

3) nes P 2(–1/2) º 0

Daugiavardžių padalijimas į dvejetainius „stulpelyje“:

_

_

_

_

_

Kiekvienas n ³ 1 laipsnio daugianomas turi bent vieną nulį, tikrąjį arba kompleksinį

Šios teoremos įrodymas nepatenka į mūsų kurso taikymo sritį. Todėl priimame teoremą be įrodymų.

Panagrinėkime šią teoremą ir Bezouto teoremą su daugianario Pn (x).

Po to n-daugkartinis šių teoremų taikymas gauname, kad

Kur a 0 yra koeficientas ties x n V Pn (x).

Pagrindinės algebros teoremos išvada. Apie daugianario skaidymą į tiesinius veiksnius

Bet kuris kompleksinių skaičių aibės laipsnio polinomas gali būti išskaidytas į n tiesiniai veiksniai, tai yra

Polinomo išplėtimas į tiesinius veiksnius, (6)

čia x1, x2, ... xn yra daugianario nuliai.

Be to, jei k numeriai iš rinkinio X 1, X 2, … xn sutampa vienas su kitu ir su skaičiumi a, tada sandaugoje (6) daugiklis ( x– a) k. Tada skaičius x= a vadinama polinomo k karto nulis Pn ( x) . Jeigu k= 1, tada vadinamas nuliu paprastas daugianario nulis Pn ( x) .

1)P 4(x) = (x – 2)(x– 4)3 Þ x 1 = 2 – paprastas nulis, x 2 = 4 - trigubas nulis;

2)P 4(x) = (x – i)4 Þ x = i- nulinis daugiklis 4.

4 savybė (apie algebrinės lygties šaknų skaičių)

Bet kuri n laipsnio algebrinė lygtis Pn(x) = 0 turi lygiai n šaknų kompleksinių skaičių aibėje, jei kiekvieną šaknį skaičiuosime tiek kartų, kiek jos dauginys.

1)x 2 – 4x+ 5 = 0 – antrojo laipsnio algebrinė lygtis

Þ x 1,2 = 2 ± = 2 ± i- dvi šaknys;

2)x 3 + 1 = 0 – trečiojo laipsnio algebrinė lygtis

Þ x 1,2,3 = - trys šaknys;

3)P 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 Þ x 1 = 1, nes P 3(1) = 0.

Padalinkite daugianarį P 3(x) ant ( x – 1):

x 3	+	x 2	–	x	–	1	x – 1
x 3	–	x 2	x 2 + 2x +1
2x 2	–	x
2x 2	–	2x
x	–	1
x	–	1
0

Pradinė lygtis

P 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 Û( x – 1)(x 2 + 2x+ 1) = 0 Û( x – 1)(x + 1)2 = 0

Þ x 1 = 1 - paprasta šaknis, x 2 = –1 - dviguba šaknis.

1) – porinės kompleksinės konjuguotos šaknys;

Bet koks daugianomas su realiaisiais koeficientais išskaidomas į tiesinių ir kvadratinių funkcijų sandaugą su realiaisiais koeficientais.

Įrodymas

w Leiskite x 0 = a + bi- daugianario nulis Pn (x). Jei visi šio daugianario koeficientai yra tikrieji skaičiai, tai jis taip pat lygus nuliui (pagal 5 savybę).

Apskaičiuokime dvinario sandaugą :

kompleksinių skaičių daugianario lygtis

Turiu ( x – a)2 + b 2 - kvadratinis trinaris su realiais koeficientais.

Taigi, bet kuri dvinario pora su sudėtingomis konjuguotomis šaknimis formulėje (6) veda į kvadratinį trinarį su realiais koeficientais. v

1)P 3(x) = x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 – x + 1);

2)P 4(x) = x 4 – x 3 + 4x 2 – 4x = x (x –1)(x 2 + 4).

Algebrinių lygčių kompleksinių skaičių aibėje sprendimo pavyzdžiai ( Pateikite kompleksinių skaičių aibės algebrinių lygčių sprendimo pavyzdžių)

1. Pirmojo laipsnio algebrinės lygtys:

, yra vienintelė paprasta šaknis.

2. Kvadratinės lygtys:

, – visada turi dvi šaknis (skirtingas arba lygias).

1) .

3. Binarinės laipsnio lygtys:

, – visada turi skirtingas šaknis.

,

Atsakymas: , .

4. Išspręskite kubinę lygtį.

Trečiojo laipsnio lygtis turi tris šaknis (tikrąją arba sudėtingą), ir kiekvieną šaknį reikia skaičiuoti tiek kartų, kiek jos yra daug. Kadangi visi šios lygties koeficientai yra tikrieji skaičiai, sudėtingos lygties šaknys, jei tokių yra, bus porų kompleksiniai konjugatai.

Pasirinkdami randame pirmąją lygties šaknį, nes .

Pagal Bezouto teoremą. Šį padalijimą apskaičiuojame „stulpelyje“:

_
_
_

Dabar pavaizduodami daugianarį kaip tiesinio ir kvadratinio koeficiento sandaugą, gauname:

.

Kitos šaknys randame kaip kvadratinės lygties šaknis:

Atsakymas: , .

5. Sukurkite mažiausio laipsnio algebrinę lygtį su realiaisiais koeficientais, jei žinoma, kad skaičiai x 1 = 3 ir x 2 = 1 + i yra jos šaknys ir x 1 yra dviguba šaknis ir x 2 - paprastas.

Skaičius taip pat yra lygties šaknis, nes lygties koeficientai turi būti tikrieji.

Iš viso reikiama lygtis turi 4 šaknis: x 1, x 1,x 2, . Todėl jo laipsnis yra 4. 4-ojo laipsnio daugianarį sudarome su nuliais x

11. Kas yra kompleksinis nulis?

13. Suformuluokite kompleksinės lygybės reikšmę.

15. Koks yra kompleksinio skaičiaus modulis ir argumentas?

17. Koks yra kompleksinio skaičiaus argumentas?

18. Koks yra formulės pavadinimas ar reikšmė?

19. Paaiškinkite šios formulės žymėjimo reikšmę:

27. Pateikite apibrėžimus ir išvardykite pagrindines aritmetinių operacijų su kompleksiniais skaičiais savybes.

28. Koks yra formulės pavadinimas ar reikšmė?

29. Paaiškinkite šios formulės žymėjimo reikšmę:

31. Koks yra formulės pavadinimas ar reikšmė?

32. Paaiškinkite šios formulės žymėjimo reikšmę:

34. Koks yra formulės pavadinimas ar reikšmė?

35. Paaiškinkite šios formulės žymėjimo reikšmę:

61. Išvardykite pagrindines daugianario savybes.

63. Nurodykite daugianario padalijimo iš skirtumo savybę (x – x0).

65. Koks yra formulės pavadinimas ar reikšmė?

66. Paaiškinkite šios formulės žymėjimo reikšmę:

67. ⌂ .

69. Nurodykite teoremą: pagrindinė algebros teorema.

70. Koks yra formulės pavadinimas ar reikšmė?

71. Paaiškinkite šios formulės žymėjimo reikšmę:

75. Nurodykite savybę apie algebrinės lygties šaknų skaičių.

78. Nurodykite daugianario su realiaisiais koeficientais išskaidymo į tiesinius ir kvadratinius veiksnius savybę.

Žodynėlis

Polinomo kkartinis nulis yra... (p. 18)

algebrinis daugianomas vadinamas... (p. 14)

n-ojo laipsnio algebrinė lygtis vadinama... (p. 14)

kompleksinio skaičiaus algebrinė forma vadinama... (p. 5)

kompleksinio skaičiaus argumentas yra... (4 psl.)

tikroji kompleksinio skaičiaus z dalis yra... (2 puslapis)

sudėtingas konjuguotas skaičius yra... (2 puslapis)

kompleksinis nulis yra... (2 puslapis)

kompleksinis skaičius vadinamas... (2 psl.)

kompleksinio skaičiaus n laipsnio šaknis vadinama... (p. 10)

lygties šaknis yra... (p. 14)

daugianario koeficientai yra... (p. 14)

įsivaizduojamas vienetas yra... (2 puslapis)

menamoji kompleksinio skaičiaus z dalis yra... (2 puslapis)

kompleksinio skaičiaus modulis vadinamas... (p. 4)

funkcijos nulis vadinamas... (p. 14)

kompleksinio skaičiaus eksponentinė forma vadinama... (p. 11)

daugianario vadinamas... (p. 14)

paprastas daugianario nulis vadinamas... (p. 18)

priešingas skaičius yra... (2 puslapis)

daugianario laipsnis yra... (p. 14)

kompleksinio skaičiaus trigonometrinė forma vadinama... (p. 5)

Moivre'o formulė yra... (p. 9)

Eulerio formulės yra... (13 psl.)

visa funkcija vadinama... (p. 14)

grynai įsivaizduojamas skaičius yra... (p. 2)

FEDERALINĖ ŠVIETIMO AGENTŪRA

VALSTYBINĖ UGDYMO ĮSTAIGA

AUKŠTESIS PROFESINIS IŠSILAVINIMAS

„VORONEŽO VALSTYBINIS PEDAGOGINIS UNIVERSITETAS“

AGLEBROS IR GEOMETRIJOS SKYRIUS

Sudėtingi skaičiai

(pasirinktos užduotys)

KVALIFIKACIJOS DARBAS

specialybė 050201.65 matematika

(su papildoma specialybe 050202.65 informatika)

Baigė: 5 kurso studentas

fizinę ir matematinę

fakultetas

Mokslinis patarėjas:

VORONEŽAS – 2008 m

1. Įvadas……………………………………………………...…………..…

2. Sudėtiniai skaičiai (pasirinktos problemos)

2.1. Sudėtiniai skaičiai algebrine forma………………….….

2.2. Geometrinis kompleksinių skaičių aiškinimas………………

2.3. Trigonometrinė kompleksinių skaičių forma

2.4. Kompleksinių skaičių teorijos taikymas sprendžiant 3 ir 4 laipsnio lygtis……………..………………………………………………………………

2.5. Sudėtingi skaičiai ir parametrai………………………………………….

3. Išvada……………………………………………………………………………….

4. Literatūros sąrašas………………………………………………………

1. Įvadas

Mokyklinėje matematikos programoje skaičių teorija supažindinama naudojant natūraliųjų skaičių, sveikųjų skaičių, racionaliųjų, iracionaliųjų aibių pavyzdžius, t.y. realiųjų skaičių aibėje, kurios atvaizdai užpildo visą skaičių eilutę. Bet jau 8 klasėje neužtenka realiųjų skaičių pasiūlos, sprendžiant kvadratines lygtis su neigiamu diskriminantu. Todėl realiųjų skaičių atsargas reikėjo papildyti kompleksiniais skaičiais, kuriems prasminga neigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis.

Temos „Sudėtiniai skaičiai“ pasirinkimas baigiamojo kvalifikacinio darbo tema yra tas, kad kompleksinio skaičiaus samprata praplečia studentų žinias apie skaičių sistemas, apie plataus tiek algebrinio, tiek geometrinio turinio uždavinių klasę, apie algebrinių skaičių sprendimą. bet kokio laipsnio lygtis ir apie parametrų uždavinių sprendimą.

Šiame darbe nagrinėjamas 82 problemų sprendimas.

Pirmoje pagrindinės skyriaus dalyje „Sudėtiniai skaičiai“ pateikiami uždavinių, susijusių su kompleksiniais skaičiais algebrine forma, sprendimai, apibrėžiamos sudėties, atimties, daugybos, dalybos operacijos, konjugacijos operacija kompleksiniams skaičiams algebrine forma, įsivaizduojamo vieneto galia. , kompleksinio skaičiaus modulis, taip pat nustato kompleksinio skaičiaus kvadratinės šaknies išskyrimo taisyklę.

Antroje dalyje sprendžiami kompleksinių skaičių geometrinio interpretavimo uždaviniai kompleksinės plokštumos taškų arba vektorių pavidalu.

Trečioje dalyje nagrinėjamos operacijos su kompleksiniais skaičiais trigonometrine forma. Naudojamos formulės: Moivre ir kompleksinio skaičiaus šaknies ištraukimas.

Ketvirtoji dalis skirta 3 ir 4 laipsnių lygtims spręsti.

Sprendžiant paskutinės dalies „Sudėtiniai skaičiai ir parametrai“ uždavinius, naudojama ir konsoliduojama ankstesnėse dalyse pateikta informacija. Eilė uždavinių skyriuje yra skirta tiesių šeimoms nustatyti kompleksinėje plokštumoje, apibrėžtoje lygtimis (nelygybėmis) su parametru. Dalyje pratimų reikia išspręsti lygtis su parametru (virš C lauko). Yra užduočių, kai sudėtingas kintamasis vienu metu tenkina keletą sąlygų. Ypatinga šio skyriaus uždavinių sprendimo ypatybė – daugelio jų redukcija iki antrojo laipsnio lygčių (nelygybių, sistemų) sprendinių, neracionalių, trigonometrinių su parametru.

Kiekvienos dalies medžiagos pateikimo ypatybė yra pradinis teorinių pagrindų įvedimas, o vėliau jų praktinis pritaikymas sprendžiant problemas.

Darbo pabaigoje pateikiamas naudotų literatūros sąrašas. Dauguma jų pakankamai išsamiai ir prieinamai pateikia teorinę medžiagą, aptaria kai kurių problemų sprendimus, pateikia praktines užduotis savarankiškam sprendimui. Ypatingą dėmesį norėčiau atkreipti į tokius šaltinius kaip:

1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Sudėtiniai skaičiai ir jų taikymas: Vadovėlis. . Vadovėlio medžiaga pateikiama paskaitų ir praktinių užduočių forma.

2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Pasirinkti elementariosios matematikos uždaviniai ir teoremos. Aritmetika ir algebra. Knygoje yra 320 uždavinių, susijusių su algebra, aritmetika ir skaičių teorija. Šios užduotys savo pobūdžiu labai skiriasi nuo įprastų mokyklinių užduočių.

2. Sudėtiniai skaičiai (pasirinktos problemos)

2.1. Sudėtiniai skaičiai algebrine forma

Daugelio matematikos ir fizikos uždavinių sprendimas susiveda į algebrinių lygčių sprendimą, t.y. formos lygtys

,

kur a0, a1, …, an yra realieji skaičiai. Todėl algebrinių lygčių tyrimas yra vienas iš svarbiausių matematikos klausimų. Pavyzdžiui, kvadratinė lygtis su neigiamu diskriminantu neturi realių šaknų. Paprasčiausia tokia lygtis yra lygtis

.

Kad ši lygtis turėtų sprendinį, reikia išplėsti realiųjų skaičių aibę, pridedant prie jos lygties šaknį

.

Pažymėkime šią šaknį

. Taigi pagal apibrėžimą arba

vadinasi,

. vadinamas įsivaizduojamu vienetu. Su jo pagalba ir realiųjų skaičių poros pagalba sudaroma formos išraiška.

Gauta išraiška buvo vadinama kompleksiniais skaičiais, nes juose buvo ir tikrosios, ir menamos dalys.

Taigi, kompleksiniai skaičiai yra formos išraiškos

, ir yra realūs skaičiai, ir yra tam tikras simbolis, atitinkantis sąlygą . Skaičius vadinamas realiąja kompleksinio skaičiaus dalimi, o skaičius yra jo įsivaizduojama dalis. Simboliai , naudojami jiems žymėti.

Sudėtiniai formos skaičiai

yra tikrieji skaičiai, todėl kompleksinių skaičių aibėje yra realiųjų skaičių aibė.

Sudėtiniai formos skaičiai

yra vadinami grynai įsivaizduojamais. Du formos ir kompleksiniai skaičiai yra lygūs, jei jų tikroji ir menamoji dalys yra lygios, t.y. jei lygybės , .

Algebrinis kompleksinių skaičių žymėjimas leidžia su jais atlikti operacijas pagal įprastas algebros taisykles.

Dviejų kompleksinių skaičių suma

ir vadinamas kompleksiniu formos skaičiumi.

Dviejų kompleksinių skaičių sandauga

Norėdami išspręsti sudėtingų skaičių problemas, turite suprasti pagrindinius apibrėžimus. Pagrindinis šio apžvalginio straipsnio tikslas – paaiškinti, kas yra kompleksiniai skaičiai, ir pateikti metodus, kaip išspręsti pagrindines problemas su kompleksiniais skaičiais. Taigi, kompleksinis skaičius bus vadinamas formos skaičiumi z = a + bi, Kur a, b- realieji skaičiai, kurie atitinkamai vadinami tikrosiomis ir įsivaizduojamomis kompleksinio skaičiaus dalimis ir žymi a = Re(z), b = Im(z).
i vadinamas įsivaizduojamu vienetu. i 2 = -1. Visų pirma, bet koks realusis skaičius gali būti laikomas sudėtingu: a = a + 0i, kur a yra tikras. Jeigu a = 0 Ir b ≠ 0, tada skaičius paprastai vadinamas tik įsivaizduojamu.

Dabar pristatykime operacijas su kompleksiniais skaičiais.
Apsvarstykite du kompleksinius skaičius z 1 = a 1 + b 1 i Ir z 2 = a 2 + b 2 i.

Pasvarstykime z = a + bi.

Kompleksinių skaičių aibė išplečia realiųjų skaičių aibę, o tai savo ruožtu praplečia racionaliųjų skaičių aibę ir pan. Šią investicijų grandinę galima pamatyti paveiksle: N – natūralieji skaičiai, Z – sveikieji skaičiai, Q – racionalus, R – realus, C – kompleksinis.

Kompleksinių skaičių vaizdavimas

Algebrinis žymėjimas.

Apsvarstykite kompleksinį skaičių z = a + bi, ši kompleksinio skaičiaus rašymo forma vadinama algebrinė. Šią įrašymo formą jau išsamiai aptarėme ankstesniame skyriuje. Šis vaizdinis piešinys naudojamas gana dažnai

Trigonometrinė forma.

Iš paveikslo matyti, kad skaičius z = a + bi galima rašyti skirtingai. Tai akivaizdu a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, vadinasi z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) vadinamas kompleksinio skaičiaus argumentu. Šis kompleksinio skaičiaus vaizdavimas vadinamas trigonometrinė forma. Trigonometrinė žymėjimo forma kartais yra labai patogi. Pavyzdžiui, patogu jį naudoti norint pakelti kompleksinį skaičių iki sveikojo skaičiaus laipsnio, būtent, jei z = rcos(φ) + rsin(φ)i, Tai z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, ši formulė vadinama Moivre'o formulė.

Demonstracinė forma.

Pasvarstykime z = rcos(φ) + rsin(φ)i- kompleksinis skaičius trigonometrine forma, parašykite jį kita forma z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, paskutinė lygybė išplaukia iš Eilerio formulės, todėl gavome naują kompleksinio skaičiaus rašymo formą: z = reiφ, kuris vadinamas orientacinis. Ši žymėjimo forma taip pat labai patogi kompleksinį skaičių pakelti į laipsnį: z n = r n e inφ, Čia n nebūtinai sveikasis skaičius, bet gali būti savavališkas realusis skaičius. Ši žymėjimo forma gana dažnai naudojama problemoms spręsti.

Pagrindinė aukštosios algebros teorema

Įsivaizduokime, kad turime kvadratinę lygtį x 2 + x + 1 = 0. Akivaizdu, kad šios lygties diskriminantas yra neigiamas ir ji neturi realių šaknų, tačiau paaiškėja, kad ši lygtis turi dvi skirtingas sudėtingas šaknis. Taigi pagrindinė aukštesnės algebros teorema teigia, kad bet kuris n laipsnio daugianomas turi bent vieną kompleksinę šaknį. Iš to išplaukia, kad bet kuris n laipsnio daugianomas turi tiksliai n sudėtingų šaknų, atsižvelgiant į jų daugumą. Ši teorema yra labai svarbus matematikos rezultatas ir plačiai naudojama. Paprasta šios teoremos pasekmė yra ta, kad yra lygiai n skirtingų vienybės n laipsnio šaknų.

Pagrindinės užduočių rūšys

Šiame skyriuje bus nagrinėjami pagrindiniai paprastų problemų, susijusių su kompleksiniais skaičiais, tipai. Paprastai problemas, susijusias su kompleksiniais skaičiais, galima suskirstyti į šias kategorijas.

• Paprastų aritmetinių operacijų su kompleksiniais skaičiais atlikimas.
• Kompleksinių skaičių daugianario šaknų radimas.
• Kompleksinių skaičių pakėlimas į laipsnius.
• Šaknų ištraukimas iš kompleksinių skaičių.
• Kompleksinių skaičių naudojimas kitoms problemoms spręsti.

Dabar pažvelkime į bendruosius šių problemų sprendimo būdus.

Paprasčiausios aritmetinės operacijos su kompleksiniais skaičiais atliekamos pagal pirmoje dalyje aprašytas taisykles, tačiau jei kompleksiniai skaičiai pateikiami trigonometrinėmis arba eksponentinėmis formomis, tokiu atveju galite konvertuoti juos į algebrinę formą ir atlikti operacijas pagal žinomas taisykles.

Daugianario šaknų radimas paprastai reiškia kvadratinės lygties šaknis. Tarkime, kad turime kvadratinę lygtį, jei jos diskriminantas yra neneigiamas, tada jos šaknys bus tikrosios ir jas galima rasti pagal gerai žinomą formulę. Jei diskriminantas yra neigiamas, tai yra, D = -1∙a 2, Kur a yra tam tikras skaičius, tada diskriminantas gali būti pavaizduotas kaip D = (ia) 2, vadinasi √D = i|a|, tada galite naudoti jau žinomą kvadratinės lygties šaknų formulę.

Pavyzdys. Grįžkime prie aukščiau minėtos kvadratinės lygties x 2 + x + 1 = 0.
Diskriminuojantis - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1 (√3) 2 = (i√3) 2.
Dabar galime lengvai rasti šaknis:

Kompleksinius skaičius pakelti į laipsnius galima keliais būdais. Jei jums reikia pakelti kompleksinį skaičių algebrine forma iki mažos laipsnio (2 arba 3), tai galite padaryti tiesioginiu dauginimu, tačiau jei galia yra didesnė (uždaviniuose ji dažnai yra daug didesnė), tada jums reikia parašykite šį skaičių trigonometrinėmis arba eksponentinėmis formomis ir naudokite jau žinomus metodus.

Pavyzdys. Apsvarstykite z = 1 + i ir padidinkite jį iki dešimtosios laipsnio.
Parašykime z eksponentinę formą: z = √2 e iπ/4.
Tada z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Grįžkime prie algebrinės formos: z 10 = -32i.

Šaknų išskyrimas iš kompleksinių skaičių yra atvirkštinė eksponencijos operacija, todėl atliekama panašiai. Šaknims išgauti dažnai naudojama eksponentinė skaičiaus rašymo forma.

Pavyzdys. Raskime visas 3 vienybės laipsnio šaknis. Tam rasime visas lygties z 3 = 1 šaknis, ieškosime šaknų eksponentinės formos.
Pakeiskime į lygtį: r 3 e 3iφ = 1 arba r 3 e 3iφ = e 0 .
Vadinasi: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, todėl φ = 2πk/3.
Skirtingos šaknys gaunamos, kai φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Todėl 1, e i2π/3, e i4π/3 yra šaknys.
Arba algebrine forma:

Paskutinis problemų tipas apima didžiulę problemų įvairovę ir nėra bendrų jų sprendimo būdų. Pateiksime paprastą tokios užduoties pavyzdį:

Raskite sumą nuodėmė (x) + nuodėmė (2x) + nuodėmė (2x) + … + nuodėmė (nx).

Nors formuluojant šią problemą nėra sudėtingų skaičių, ją galima lengvai išspręsti jų pagalba. Norėdami tai išspręsti, naudojami šie vaizdiniai:


Jei dabar šį atvaizdavimą pakeisime suma, tada problema sumažinama iki įprastos geometrinės progresijos sumavimo.

Išvada

Kompleksiniai skaičiai plačiai naudojami matematikoje naudotis specializuota literatūra.

Literatūra