Kompleksinio skaičiaus didinimas iki trupmeninės laipsnio. Kompleksinių skaičių pakėlimas į laipsnius
Pradėkime nuo mėgstamos aikštės.
9 pavyzdys
Kompleksinio skaičiaus kvadratu
Čia galite eiti dviem būdais, pirmasis būdas yra perrašyti laipsnį kaip veiksnių sandaugą ir padauginti skaičius pagal daugianario dauginimo taisyklę.
Antrasis būdas yra naudoti gerai žinomą mokyklos formulę sutrumpintai daugybai:
Kompleksiniam skaičiui lengva išvesti savo sutrumpintą daugybos formulę:
Panašią formulę galima išvesti skirtumo kvadratui, taip pat sumos kubui ir skirtumo kubui. Tačiau šios formulės labiau tinka sudėtingoms analizės problemoms spręsti. Ką daryti, jei reikia pakelti kompleksinį skaičių, tarkime, iki 5, 10 ar 100 laipsnio? Akivaizdu, kad tokio triuko atlikti algebrine forma iš tikrųjų yra beveik neįmanoma, pagalvokite, kaip išspręsite tokį pavyzdį?
O čia į pagalbą ateina kompleksinio skaičiaus trigonometrinė forma ir vadinamoji Moivre'o formulė: Jei kompleksinis skaičius pavaizduotas trigonometrine forma, tada, kai jis padidinamas iki natūraliosios laipsnio, galioja ši formulė:
Tai tiesiog piktina.
10 pavyzdys
Duotas kompleksinis skaičius, raskite.
Ką reikėtų daryti? Pirmiausia turite pavaizduoti šį skaičių trigonometrine forma. Dėmesingi skaitytojai pastebės, kad 8 pavyzdyje mes tai jau padarėme:
Tada pagal Moivre formulę:
Neduok Dieve, jums nereikia skaičiuoti skaičiuotuvo, tačiau daugeliu atvejų kampas turėtų būti supaprastintas. Kaip supaprastinti? Vaizdžiai tariant, reikia atsikratyti nereikalingų posūkių. Vienas apsisukimas yra radianas arba 360 laipsnių. Sužinokime, kiek posūkių turime ginče. Kad būtų patogiau, mes padarome teisingą trupmeną:, po kurios tampa aiškiai matoma, kad galite sumažinti vieną apsisukimą:. Tikiuosi, kad visi supranta, kad tai tas pats kampas.
Taigi galutinis atsakymas bus parašytas taip:
Atskira eksponencijos problemos atmaina yra grynai įsivaizduojamų skaičių eksponencija.
12 pavyzdys
Pakelkite kompleksinius skaičius į laipsnius
Čia taip pat viskas paprasta, svarbiausia prisiminti garsiąją lygybę.
Jei įsivaizduojamas vienetas pakeliamas iki tolygios galios, tada sprendimo technika yra tokia:
Jei įsivaizduojamas vienetas pakeliamas iki nelyginės galios, tada „nuimame“ vieną „ir“, gaudami lyginę galią:
Jei yra minusas (arba bet koks tikrasis koeficientas), pirmiausia jį reikia atskirti:
Šaknų ištraukimas iš kompleksinių skaičių. Kvadratinė lygtis su sudėtingomis šaknimis
Pažiūrėkime į pavyzdį:
Negalite išgauti šaknies? Jei kalbame apie realius skaičius, tai tikrai neįmanoma. Galima išskirti kompleksinių skaičių šaknį! Tiksliau, dušaknis:
Ar tikrai rastos šaknys yra lygties sprendimas? Patikrinkime:
Ką ir reikėjo patikrinti.
Dažnai vartojamas sutrumpintas žymėjimas vienoje eilutėje po tomis pačiomis šukomis: .
Šios šaknys taip pat vadinamos konjuguotos kompleksinės šaknys.
Manau, visi supranta, kaip iš neigiamų skaičių išgauti kvadratines šaknis: ,,, ir t.t. Visais atvejais paaiškėja du konjuguotos kompleksinės šaknys.
13 pavyzdys
Išspręskite kvadratinę lygtį
Apskaičiuokime diskriminantą:
Diskriminantas yra neigiamas, o lygtis neturi sprendinio realiaisiais skaičiais. Bet šaknį galima išgauti kompleksiniais skaičiais!
Naudodami gerai žinomas mokyklines formules gauname dvi šaknis: – konjuguotas kompleksines šaknis
Taigi lygtis turi dvi konjuguotas kompleksines šaknis:,
Dabar galite išspręsti bet kurią kvadratinę lygtį!
Ir apskritai bet kuri lygtis su „n-ojo“ laipsnio daugianariu turi lygias šaknis, kai kurios iš jų gali būti sudėtingos.
Paprastas pavyzdys, kurį galite išspręsti patys:
14 pavyzdys
Raskite lygties šaknis ir pakoreguokite kvadratinį dvinarį.
Faktorizacija vėl atliekama pagal standartinę mokyklos formulę.
Pradėkime nuo mėgstamos aikštės.
9 pavyzdys
Kompleksinio skaičiaus kvadratu
Čia galite eiti dviem būdais, pirmasis būdas yra perrašyti laipsnį kaip veiksnių sandaugą ir padauginti skaičius pagal daugianario dauginimo taisyklę.
Antrasis būdas yra naudoti gerai žinomą mokyklos formulę sutrumpintai daugybai:
Kompleksiniam skaičiui lengva išvesti savo sutrumpintą daugybos formulę:
Panašią formulę galima išvesti skirtumo kvadratui, taip pat sumos kubui ir skirtumo kubui. Tačiau šios formulės labiau tinka sudėtingoms analizės problemoms spręsti. Ką daryti, jei reikia pakelti kompleksinį skaičių, tarkime, iki 5, 10 ar 100 laipsnio? Akivaizdu, kad tokio triuko atlikti algebrine forma iš tikrųjų yra beveik neįmanoma, pagalvokite, kaip išspręsite tokį pavyzdį?
O čia į pagalbą ateina kompleksinio skaičiaus trigonometrinė forma ir vadinamoji Moivre'o formulė: Jei kompleksinis skaičius pavaizduotas trigonometrine forma, tada, kai jis padidinamas iki natūraliosios laipsnio, galioja ši formulė:
Tai tiesiog piktina.
10 pavyzdys
Duotas kompleksinis skaičius, raskite.
Ką reikėtų daryti? Pirmiausia turite pavaizduoti šį skaičių trigonometrine forma. Dėmesingi skaitytojai pastebės, kad 8 pavyzdyje mes tai jau padarėme:
Tada pagal Moivre formulę:
Neduok Dieve, jums nereikia skaičiuoti skaičiuotuvo, tačiau daugeliu atvejų kampas turėtų būti supaprastintas. Kaip supaprastinti? Vaizdžiai tariant, reikia atsikratyti nereikalingų posūkių. Vienas apsisukimas yra radianas arba 360 laipsnių. Sužinokime, kiek posūkių turime ginče. Kad būtų patogiau, mes padarome teisingą trupmeną:, po kurios tampa aiškiai matoma, kad galite sumažinti vieną apsisukimą:. Tikiuosi, kad visi supranta, kad tai tas pats kampas.
Taigi galutinis atsakymas bus parašytas taip:
Atskira eksponencijos problemos atmaina yra grynai įsivaizduojamų skaičių eksponencija.
12 pavyzdys
Pakelkite kompleksinius skaičius į laipsnius
Čia taip pat viskas paprasta, svarbiausia prisiminti garsiąją lygybę.
Jei įsivaizduojamas vienetas pakeliamas iki tolygios galios, tada sprendimo technika yra tokia:
Jei įsivaizduojamas vienetas pakeliamas iki nelyginės galios, tada „nuimame“ vieną „ir“, gaudami lyginę galią:
Jei yra minusas (arba bet koks tikrasis koeficientas), pirmiausia jį reikia atskirti:
Šaknų ištraukimas iš kompleksinių skaičių. Kvadratinė lygtis su sudėtingomis šaknimis
Pažiūrėkime į pavyzdį:
Negalite išgauti šaknies? Jei kalbame apie realius skaičius, tai tikrai neįmanoma. Galima išskirti kompleksinių skaičių šaknį! Tiksliau, dušaknis:
Ar tikrai rastos šaknys yra lygties sprendimas? Patikrinkime:
Ką ir reikėjo patikrinti.
Dažnai vartojamas sutrumpintas žymėjimas vienoje eilutėje po tomis pačiomis šukomis: .
Šios šaknys taip pat vadinamos konjuguotos kompleksinės šaknys.
Manau, visi supranta, kaip iš neigiamų skaičių išgauti kvadratines šaknis: ,,, ir t.t. Visais atvejais paaiškėja du konjuguotos kompleksinės šaknys.