Mazgų ir skaičių priskyrimas. Kaip rasti LCM (mažiausias bendras kartotinis)

Internetinis skaičiuotuvas leidžia greitai rasti dviejų ir bet kurio kito skaičių didžiausią bendrą daliklį ir mažiausią bendrą kartotinį.

Skaičiuoklė GCD ir LCM paieškai

Raskite GCD ir LOC

Rasta GCD ir LOC: 5806

Kaip naudotis skaičiuokle

Įvesties lauke įveskite skaičius
Jei įvesite neteisingus simbolius, įvesties laukas bus paryškintas raudonai
spustelėkite mygtuką „Rasti GCD ir LCM“.

Kaip įvesti skaičius

Skaičiai įvedami atskirti tarpu, tašku arba kableliu
Įvestų skaičių ilgis neribojamas, todėl nėra sunku rasti ilgų skaičių GCD ir LCM

Kas yra GCD ir NOC?

Didžiausias bendras daliklis keli skaičiai yra didžiausias natūralusis skaičius, iš kurio visi pradiniai skaičiai dalijasi be liekanos. Didžiausias bendras daliklis yra sutrumpintas kaip GCD.
Mažiausias bendras kartotinis yra keli skaičiai mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno pradinio skaičiaus be liekanos. Mažiausias bendras kartotinis sutrumpintas kaip NOC.

Kaip patikrinti, ar skaičius dalijasi iš kito skaičiaus be liekanos?

Norėdami sužinoti, ar vienas skaičius dalijasi iš kito be liekanos, galite naudoti kai kurias skaičių dalijimosi savybes. Tada juos sujungę galite patikrinti kai kurių iš jų ir jų derinių dalijamumą.

Kai kurie skaičių dalijimosi ženklai

1. Skaičiaus dalijimosi iš 2 testas
Norint nustatyti, ar skaičius dalijasi iš dviejų (ar jis lyginis), pakanka pažvelgti į paskutinį šio skaičiaus skaitmenį: jei jis lygus 0, 2, 4, 6 arba 8, tada skaičius yra lyginis, tai reiškia, kad jis dalijasi iš 2.
Pavyzdys: nustatyti, ar skaičius 34938 dalijasi iš 2.
Sprendimas: Mes žiūrime į paskutinį skaitmenį: 8 - tai reiškia, kad skaičius dalijasi iš dviejų.

2. Skaičiaus dalijimosi iš 3 testas
Skaičius dalijasi iš 3, kai jo skaitmenų suma dalijasi iš trijų. Taigi, norint nustatyti, ar skaičius dalijasi iš 3, reikia apskaičiuoti skaitmenų sumą ir patikrinti, ar ji dalijasi iš 3. Net jei skaitmenų suma yra labai didelė, tą patį procesą galima pakartoti dar kartą.
Pavyzdys: nustatyti, ar skaičius 34938 dalijasi iš 3.
Sprendimas: Skaičiuojame skaičių sumą: 3+4+9+3+8 = 27. 27 dalijasi iš 3, vadinasi, skaičius dalijasi iš trijų.

3. Skaičiaus dalijimosi iš 5 testas
Skaičius dalijasi iš 5, kai paskutinis jo skaitmuo yra nulis arba penki.
Pavyzdys: nustatyti, ar skaičius 34938 dalijasi iš 5.
Sprendimas: pažiūrėkite į paskutinį skaitmenį: 8 reiškia, kad skaičius NĖRA dalijamas iš penkių.

4. Skaičiaus dalijamumo iš 9 testas
Šis ženklas labai panašus į dalijimosi iš trijų ženklą: skaičius dalijasi iš 9, kai jo skaitmenų suma dalijasi iš 9.
Pavyzdys: nustatyti, ar skaičius 34938 dalijasi iš 9.
Sprendimas: Skaičiuojame skaičių sumą: 3+4+9+3+8 = 27. 27 dalijasi iš 9, vadinasi, skaičius dalijasi iš devynių.

Kaip rasti dviejų skaičių GCD ir LCM

Kaip rasti dviejų skaičių gcd

Dauguma paprastu būdu Apskaičiuojant didžiausią bendrą dviejų skaičių daliklį, reikia rasti visus galimus šių skaičių daliklius ir pasirinkti didžiausią iš jų.

Panagrinėkime šį metodą naudodami GCD(28, 36) radimo pavyzdį:

Suskaičiuojame abu skaičius: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
Randame bendrus veiksnius, tai yra tuos, kuriuos turi abu skaičiai: 1, 2 ir 2.
Apskaičiuojame šių veiksnių sandaugą: 1 2 2 = 4 - tai didžiausias bendras skaičių 28 ir 36 daliklis.

Kaip rasti dviejų skaičių LCM

Yra du dažniausiai pasitaikantys būdai, kaip rasti mažiausią dviejų skaičių kartotinį. Pirmasis būdas yra tas, kad galite užrašyti pirmuosius dviejų skaičių kartotinius, o tada pasirinkti iš jų skaičių, kuris bus bendras abiem skaičiams ir tuo pačiu mažiausias. O antrasis – rasti šių skaičių gcd. Apsvarstykime tik tai.

Norėdami apskaičiuoti LCM, turite apskaičiuoti pradinių skaičių sandaugą ir padalyti iš anksčiau rasto GCD. Raskime tų pačių skaičių 28 ir 36 LCM:

Raskite skaičių 28 ir 36 sandaugą: 28·36 = 1008
GCD(28, 36), kaip jau žinoma, yra lygus 4
LCM(28; 36) = 1008 / 4 = 252 .

Kelių skaičių GCD ir LCM radimas

Didžiausią bendrą daliklį galima rasti keliems skaičiams, o ne tik dviems. Norėdami tai padaryti, didžiausio bendrojo daliklio skaičiai išskaidomi į pirminius veiksnius, tada randama šių skaičių bendrųjų pirminių koeficientų sandauga. Norėdami rasti kelių skaičių gcd, taip pat galite naudoti šį ryšį: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

Panašus ryšys taikomas mažiausiam bendram kartotiniui: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Pavyzdys: suraskite GCD ir LCM numeriams 12, 32 ir 36.

Pirma, suskaidykime skaičius: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
Raskime bendruosius veiksnius: 1, 2 ir 2.
Jų sandauga duos GCD: 1·2·2 = 4
Dabar suraskime LCM: norėdami tai padaryti, pirmiausia suraskime LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
Norėdami rasti visų trijų skaičių LCM, turite rasti GCD(96, 36): 96 = 1 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 , 36 = 1 · 2 · 2 · 3 · 3 , GCD = 1 · 2 · 2 3 = 12.
LCM(12, 32, 36) = 96,36 / 12 = 288.

5 klasėje mokomasi tema „Daugeliai“. vidurinė mokykla. Jo tikslas – tobulinti matematinio skaičiavimo raštu ir žodžiu įgūdžius. Šioje pamokoje pristatomos naujos sąvokos - „dauginiai skaičiai“ ir „dalikliai“, praktikuojama natūraliojo skaičiaus daliklių ir kartotinių paieškos technika, galimybė įvairiais būdais rasti LCM.

Ši tema labai svarbi. Jo žinias galima pritaikyti sprendžiant pavyzdžius su trupmenomis. Norėdami tai padaryti, turite rasti bendrą vardiklį, apskaičiuodami mažiausią bendrąjį kartotinį (LCM).

A kartotinis yra sveikasis skaičius, kuris dalijasi iš A be liekanos.

Kiekvienas natūralusis skaičius turi begalinį jo kartotinių skaičių. Ji pati laikoma mažiausia. Daugiakalbis negali būti mažesnis už patį skaičių.

Turite įrodyti, kad skaičius 125 yra 5 kartotinis. Norėdami tai padaryti, turite padalyti pirmąjį skaičių iš antrojo. Jei 125 dalijasi iš 5 be liekanos, atsakymas yra taip.

Šis metodas tinka mažiems skaičiams.

Skaičiuojant LOC yra ypatingų atvejų.

1. Jei reikia rasti bendrą 2 skaičių kartotinį (pavyzdžiui, 80 ir 20), kur vienas iš jų (80) dalijasi iš kito (20), tada šis skaičius (80) yra mažiausias šių skaičių kartotinis du skaičiai.

LCM(80; 20) = 80.

2. Jei du neturi bendro daliklio, tai galime sakyti, kad jų LCM yra šių dviejų skaičių sandauga.

LCM(6; 7) = 42.

Pažvelkime į paskutinį pavyzdį. 6 ir 7, palyginti su 42, yra dalikliai. Jie dalija skaičiaus kartotinį be liekanos.

Šiame pavyzdyje 6 ir 7 yra suporuoti veiksniai. Jų sandauga yra lygus labiausiai kartotiniam skaičiui (42).

Skaičius vadinamas pirminiu, jei jis dalijasi tik iš savęs arba iš 1 (3:1=3; 3:3=1). Likusieji vadinami sudėtiniais.

Kitas pavyzdys apima nustatymą, ar 9 yra 42 daliklis.

42:9 = 4 (likęs 6)

Atsakymas: 9 nėra 42 daliklis, nes atsakymas turi likutį.

Daliklis nuo kartotinio skiriasi tuo, kad daliklis yra skaičius, iš kurio dalijami natūralieji skaičiai, o pats kartotinis dalijasi iš šio skaičiaus.

Didžiausias bendras skaičių daliklis a Ir b, padauginus iš mažiausio jų kartotinio, gausite pačių skaičių sandaugą a Ir b.

Būtent: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

Bendrieji sudėtingesnių skaičių kartotiniai randami tokiu būdu.

Pavyzdžiui, suraskite 168, 180, 3024 LCM.

Šiuos skaičius sudedame į pirminius veiksnius ir užrašome kaip galių sandaugą:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹ = 15120

LCM(168; 180; 3024) = 15120.

Didžiausias bendras daliklis ir mažiausias bendras kartotinis yra pagrindinės aritmetinės sąvokos, leidžiančios veikti be pastangų paprastosios trupmenos. LCM ir dažniausiai naudojami kelių trupmenų bendram vardikliui rasti.

Pagrindinės sąvokos

Sveikojo skaičiaus X daliklis yra kitas sveikasis skaičius Y, iš kurio X dalijamas nepaliekant liekanos. Pavyzdžiui, 4 daliklis yra 2, o 36 yra 4, 6, 9. Sveikojo skaičiaus X kartotinis yra skaičius Y, kuris dalijasi iš X be liekanos. Pavyzdžiui, 3 yra 15 kartotinis, o 6 yra 12 kartotinis.

Bet kuriai skaičių porai galime rasti bendrus jų daliklius ir kartotinius. Pavyzdžiui, 6 ir 9 bendras kartotinis yra 18, o bendras daliklis yra 3. Akivaizdu, kad poros gali turėti kelis daliklius ir kartotinius, todėl skaičiuojant naudojamas didžiausias daliklis GCD ir mažiausias kartotinis LCM.

Mažiausias daliklis yra beprasmis, nes bet kuriam skaičiui jis visada yra vienas. Didžiausias kartotinis taip pat yra beprasmis, nes kartotinių seka eina iki begalybės.

Rasti gcd

Yra daug būdų, kaip rasti didžiausią bendrą daliklį, iš kurių žinomiausi yra šie:

nuosekli daliklių paieška, bendrų poros parinkimas ir didžiausio iš jų paieška;
skaičių skaidymas į nedalomus veiksnius;
Euklido algoritmas;
dvejetainis algoritmas.

Šiandien val švietimo įstaigos Populiariausi yra pirminio faktoriaus metodai ir Euklido algoritmas. Pastarasis, savo ruožtu, naudojamas sprendžiant diofantines lygtis: reikia ieškoti GCD, kad būtų galima patikrinti lygtį, ar yra sveikųjų skaičių skiriamoji geba.

NOC radimas

Mažiausias bendras kartotinis taip pat nustatomas atliekant nuoseklią paiešką arba skaidymą į nedalomus veiksnius. Be to, nesunku rasti LCM, jei didžiausias daliklis jau nustatytas. Skaičių X ir Y atveju LCM ir GCD yra susiję tokiu ryšiu:

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

Pavyzdžiui, jei GCM(15,18) = 3, tada LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Akivaizdžiausias LCM naudojimo pavyzdys yra rasti bendrą vardiklį, kuris yra mažiausias bendras kartotinis duotosios trupmenos.

Kopirminiai skaičiai

Jei skaičių pora neturi bendrų daliklių, tada tokia pora vadinama koprime. Tokių porų gcd visada yra lygus vienetui, o remiantis ryšiu tarp daliklių ir kartotinių, kopirminių porų gcd yra lygus jų sandaugai. Pavyzdžiui, skaičiai 25 ir 28 yra santykinai pirminiai, nes neturi bendrų daliklių, o LCM(25, 28) = 700, o tai atitinka jų sandaugą. Bet kurie du nedalomi skaičiai visada bus santykinai pirminiai.

Bendras daliklis ir daugkartinis skaičiuotuvas

Naudodami mūsų skaičiuotuvą galite apskaičiuoti GCD ir LCM tam tikram skaičių pasirinkimui. Bendrųjų daliklių ir kartotinių skaičiavimo užduotys yra 5 ir 6 aritmetikos klasėse, tačiau GCD ir LCM yra pagrindinės sąvokos matematika ir naudojami skaičių teorijoje, planimetrijoje ir komunikacinėje algebroje.

Realaus gyvenimo pavyzdžiai

Bendras trupmenų vardiklis

Mažiausias bendras kartotinis naudojamas ieškant kelių trupmenų bendrąjį vardiklį. Įleisti aritmetinis uždavinys reikia susumuoti 5 trupmenas:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Norint pridėti trupmenas, išraiška turi būti sumažinta iki bendro vardiklio, o tai sumažina iki LCM radimo problemos. Norėdami tai padaryti, skaičiuoklėje pasirinkite 5 skaičius ir atitinkamuose langeliuose įveskite vardiklių reikšmes. Programa apskaičiuos LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Dabar kiekvienai trupmenai reikia apskaičiuoti papildomus koeficientus, kurie apibrėžiami kaip LCM ir vardiklio santykis. Taigi papildomi daugikliai atrodytų taip:

360/8 = 45
360/9 = 40
360/12 = 30
360/15 = 24
360/18 = 20.

Po to visas trupmenas padauginame iš atitinkamo papildomo koeficiento ir gauname:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Mes galime lengvai susumuoti tokias trupmenas ir gauti rezultatą kaip 159/360. Sumažiname trupmeną 3 ir matome galutinį atsakymą – 53/120.

Tiesinių diofantinių lygčių sprendimas

Tiesinės diofantinės lygtys yra ax + by = d formos išraiškos. Jei santykis d / gcd(a, b) yra sveikasis skaičius, tai lygtis gali būti išspręsta sveikaisiais skaičiais. Patikrinkime keletą lygčių, kad pamatytume, ar jos turi sveikąjį skaičių. Pirmiausia patikrinkime lygtį 150x + 8y = 37. Naudodami skaičiuotuvą randame GCD (150,8) = 2. Padalinkite 37/2 = 18,5. Skaičius nėra sveikasis skaičius, todėl lygtis neturi sveikųjų skaičių šaknų.

Patikrinkime lygtį 1320x + 1760y = 10120. Skaičiuotuvu raskite GCD(1320, 1760) = 440. Padalykime 10120/440 = 23. Rezultate gauname sveikąjį skaičių, taigi, Diofantinos koeficiento formulė. .

Išvada

GCD ir LCM vaidina didelį vaidmenį skaičių teorijoje, o pačios sąvokos yra plačiai naudojamos įvairiose matematikos srityse. Naudokite mūsų skaičiuotuvą, kad apskaičiuotumėte didžiausius bet kokio skaičių daliklius ir mažiausius kartotinius.

Mažiausias bendras dviejų skaičių kartotinis yra tiesiogiai susijęs su didžiausiu bendruoju tų skaičių dalikliu. Tai ryšys tarp GCD ir NOC nustatoma pagal šią teoremą.

Teorema.

Mažiausias bendras dviejų teigiamų sveikųjų skaičių a ir b kartotinis yra lygus a ir b sandaugai, padalytai iš didžiausio bendro a ir b daliklio, tai yra, LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

Įrodymas.

Leisti M yra tam tikras skaičių a ir b kartotinis. Tai yra, M dalijasi iš a, o pagal dalijimosi apibrėžimą yra koks nors sveikasis skaičius k, kad lygybė M=a·k yra teisinga. Bet M taip pat dalijasi iš b, tada a·k dalijasi iš b.

Pažymėkime gcd(a, b) kaip d. Tada galime užrašyti lygybes a=a 1 ·d ir b=b 1 ·d, o a 1 =a:d ir b 1 =b:d bus santykinai pirminiai skaičiai. Vadinasi, ankstesnėje pastraipoje gautą sąlygą, kad a · k dalijasi iš b, galima performuluoti taip: a 1 · d · k dalijama iš b 1 · d , ir tai dėl dalijamumo savybių yra lygiavertė sąlygai kad a 1 · k dalijasi iš b 1 .

Taip pat turite užsirašyti dvi svarbias nagrinėjamos teoremos pasekmes.

Dviejų skaičių bendrieji kartotiniai yra tokie patys kaip jų mažiausio bendro kartotiniai.

Taip yra iš tikrųjų, nes bet kuris bendras skaičių a ir b M kartotinis yra nulemtas lygybės M=LMK(a, b)·t kai kuriai sveikojo skaičiaus reikšmei t.

Mažiausias koprime bendras kartotinis teigiami skaičiai a ir b yra lygūs jų sandaugai.

Šio fakto priežastis yra gana akivaizdi. Kadangi a ir b yra santykinai pirminiai, tada gcd(a, b)=1, todėl GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Mažiausias bendras trijų ar daugiau skaičių kartotinis

Mažiausio trijų ar daugiau skaičių bendro kartotinio radimas gali būti sumažintas iki dviejų skaičių LCM iš eilės. Kaip tai daroma, parodyta sekančioje teoremoje a 1 , a 2 , …, a k sutampa su skaičių m k-1 bendraisiais kartotiniais, todėl a k sutampa su skaičiaus m k bendraisiais kartotiniais. O kadangi mažiausias teigiamas skaičiaus m k kartotinis yra pats skaičius m k, tai mažiausias skaičių a 1, a 2, ..., a k bendras kartotinis yra m k.

Bibliografija.

Vilenkinas N.Ya. ir kiti. 6 klasė: vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms.
Vinogradovas I.M. Skaičių teorijos pagrindai.
Mikhelovičius Sh.H. Skaičių teorija.
Kulikovas L.Ya. ir kiti algebros ir skaičių teorijos uždaviniai: Pamoka fizikos ir matematikos studentams. pedagoginių institutų specialybės.

Daug daliklių

Panagrinėkime tokią problemą: raskite skaičiaus 140 daliklį. Akivaizdu, kad skaičius 140 turi ne vieną daliklį, o kelis. Tokiais atvejais sakoma, kad problema yra krūva sprendimus. Suraskime juos visus. Pirmiausia išskaidykime šį skaičių į paprastus veiksnius:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

Dabar galime lengvai užrašyti visus daliklius. Pradėkime nuo pagrindinių veiksnių, ty tų, kurie yra aukščiau pateiktoje išplėtime:

Tada užrašome tuos, kurie gaunami poromis dauginant pirminius daliklius:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

Tada - tie, kuriuose yra trys pirminiai dalikliai:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

Galiausiai nepamirškime vieneto ir paties išskaidyto skaičiaus:

Formuojasi visi dalikliai, kuriuos radome krūva skaičiaus 140, kuris parašytas naudojant riestinius skliaustus, dalikliai:

Skaičiaus 140 daliklių rinkinys =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

Kad būtų lengviau suvokti, čia surašėme daliklius ( rinkinio elementai) didėjimo tvarka, tačiau paprastai tai nėra būtina. Be to, pristatome žymėjimo santrumpą. Vietoj „Skaičiaus 140 daliklių rinkinys“ rašysime „D(140)“. Taigi,

Taip pat galite rasti bet kurio kito natūraliojo skaičiaus daliklių rinkinį. Pavyzdžiui, nuo skilimo

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

mes gauname:

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).

Iš visų daliklių aibės reikėtų atskirti paprastųjų daliklių aibę, kurios skaičiams 140 ir 105 yra atitinkamai lygūs:

PD(140) = (2, 5, 7).

PD(105) = (3, 5, 7).

Ypač reikia pabrėžti, kad išskaidant skaičių 140 į pirminius veiksnius, du pasirodo du kartus, o aibėje PD(140) yra tik vienas. PD(140) aibė iš esmės yra visi atsakymai į problemą: „Rasti pirminį skaičiaus 140 koeficientą“. Akivaizdu, kad tas pats atsakymas neturėtų būti kartojamas daugiau nei vieną kartą.

Mažinančios frakcijos. Didžiausias bendras daliklis

Apsvarstykite trupmeną

Žinome, kad šią trupmeną galima sumažinti skaičiumi, kuris yra ir skaitiklio (105) ir vardiklio (140) daliklis. Pažvelkime į aibes D(105) ir D(140) ir užrašykime jų bendruosius elementus.

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);

D(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).

Bendrieji aibių D(105) ir D(140) elementai =

Paskutinę lygybę galima parašyti trumpiau, būtent:

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35).

Čia speciali piktograma „∩“ („krepšys su skylute“) rodo, kad iš dviejų rinkinių, parašytų pagal skirtingos pusės iš jo reikia pasirinkti tik bendrus elementus. Įrašas „D(105) ∩ D(140)“ yra „ sankryža rinkiniai De nuo 105 ir De nuo 140.

[Atkreipkite dėmesį, kad su rinkiniais galite atlikti įvairias dvejetaines operacijas, beveik kaip su skaičiais. Kita įprasta dvejetainė operacija yra sąjunga, kuri pažymėta „∪“ piktograma („krepšys su skylute į viršų“). Dviejų rinkinių sąjunga apima visus abiejų rinkinių elementus:

PD(105) = (3, 5, 7);

PD(140) = (2, 5, 7);

PD(105) ∪ PD(140) = (2, 3, 5, 7). ]

Taigi, mes sužinojome, kad trupmena

gali būti sumažintas bet kuriuo iš rinkiniui priklausančių skaičių

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35)

ir negali būti sumažintas jokiu kitu natūraliuoju skaičiumi. Tai viskas galimi būdai santrumpos (išskyrus neįdomų santrumpą vienu):

Akivaizdu, kad praktiškiausia trupmeną sumažinti kuo didesniu skaičiumi. Šiuo atveju tai yra skaičius 35, kuris, kaip teigiama, yra didžiausias bendras daliklis (GCD) skaičiai 105 ir 140. Tai parašyta kaip

GCD(105; 140) = 35.

Tačiau praktiškai, jei mums yra duoti du skaičiai ir reikia rasti didžiausią jų bendrą daliklį, neturėtume sudaryti jokių aibių. Pakanka tiesiog išskaidyti abu skaičius į pirminius veiksnius ir išryškinti tuos iš šių veiksnių, kurie yra bendri abiem skilimams, pavyzdžiui:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Padauginus pabrauktus skaičius (bet kuriame išplėtime), gauname:

gcd(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

Žinoma, gali būti, kad bus pabrėžti daugiau nei du veiksniai:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

Iš to aišku, kad

gcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

Atskirai verta paminėti situaciją, kai apskritai nėra bendrų veiksnių ir nėra ką pabrėžti, pvz.

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

Tokiu atveju,

GCD(42; 55) = 1.

Iškviečiami du natūralieji skaičiai, kurių GCD lygus vienetui abipusiai pirminis. Jei iš tokių skaičių padarysite trupmeną, pavyzdžiui,

tada tokia trupmena yra nesumažinamas.

Paprastai tariant, trupmenų mažinimo taisyklę galima parašyti taip:

		a/ gcd ( a, b)
		b/ gcd ( a, b)

Čia daroma prielaida, kad a Ir b yra natūralūs skaičiai, o visa trupmena yra teigiama. Jei dabar prie abiejų šios lygybės pusių pridėsime minuso ženklą, gautume atitinkamą neigiamų trupmenų taisyklę.

Trupmenų pridėjimas ir atėmimas. Mažiausias bendras kartotinis

Tarkime, kad reikia apskaičiuoti dviejų trupmenų sumą:

Mes jau žinome, kaip vardikliai įskaičiuojami į pagrindinius veiksnius:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Iš šio skilimo iš karto matyti, kad norint suvesti trupmenas į bendrą vardiklį, pakanka pirmosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginti iš 2∙ 2 (antrojo vardiklio nekirčiuotų pirminių koeficientų sandauga) ir antrosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį 3 („produkto“ nekirčiuoti pirmojo vardiklio pirminiai koeficientai). Dėl to abiejų trupmenų vardikliai taps lygūs skaičiui, kurį galima pavaizduoti taip:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

Nesunku pastebėti, kad abu pradiniai vardikliai (ir 105, ir 140) yra skaičiaus 420 dalikliai, o skaičius 420 savo ruožtu yra abiejų vardiklių kartotinis – ir ne tik kartotinis, tai yra mažiausias bendras kartotinis (NOC) skaičiai 105 ir 140. Rašoma taip:

LCM(105; 140) = 420.

Atidžiau pažvelgę į skaičių 105 ir 140 skaidymą, matome, kad

105 ∙ 140 = GCD(105, 140) ∙ GCD(105, 140).

Lygiai taip pat, savavališkai natūraliuosius skaičius b Ir d:

b ∙ d= LOC( b, d) ∙ GCD( b, d).

Dabar užbaigkime savo trupmenų sumavimą:


3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7


2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7


2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7


2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7


2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

Pastaba. Norėdami išspręsti kai kurias problemas, turite žinoti, koks yra skaičiaus kvadratas. Skaičius kvadratu a skambino numeriu a, padauginta iš savęs, tai yra a∙a. (Kaip nesunku pastebėti, jis lygus kvadrato su kraštine plotui a).