Metoder for å løse likninger med én variabel. Løse enkle lineære ligninger

X og omfang X. Deretter en uttrykksform av formen f(x) = g(x) ringte ligning med én variabel.

Variabel verdi X fra mange X, hvor ligningen blir til en sann numerisk likhet kalles roten til ligningen (eller hans avgjørelse). Løs ligningen - Dette betyr å finne mange av røttene.

Settet med verdier for en variabel som uttrykkene for f(x) Og g(x) fornuftig, heter det definisjonsdomene for ligningen
f(x) = g(x). Settet med løsninger til en ligning er en undergruppe av dens definisjonsdomene.

For å løse en hvilken som helst ligning, transformeres den først, og erstatter den med en annen, enklere; den resulterende ligningen transformeres igjen, erstatter den med en enklere, etc. Denne prosessen fortsetter til en ligning er oppnådd hvis røtter kan bli funnet på kjent måte. Men for at disse røttene skal være røttene til en gitt ligning, er det nødvendig at transformasjonsprosessen produserer ligninger hvis sett med røtter sammenfaller. Slike ligninger kalles ekvivalente.

Å erstatte en ligning med en ekvivalent ligning kalles transformasjon.

Transformasjoner som gjør det mulig å oppnå ekvivalente ligninger, kan være som følger:

1. Hvis til begge sider av ligningen f(x) = g(x), definert på settet X, legg til det samme uttrykket h(x), noe som gir mening på settet X, så får vi ligningen f(x) + h(x) = g(x) + h(x), tilsvarende denne.

Av denne uttalelsen følger det konsekvenser , som brukes til å løse ligningene:

1) Hvis vi legger til samme tall på begge sider av ligningen, får vi en ligning tilsvarende den gitte.

2) Hvis et begrep (eller et uttrykk med en variabel) overføres fra en del av ligningen til en annen, og endrer begrepets fortegn til det motsatte, får vi en likning som tilsvarer den gitte.

2. Hvis begge sider av ligningen f(x) = g(x), definert på settet X, multipliser med det samme uttrykket h(x), noe som gir mening på settet X og ikke forsvinner på det, får vi ligningen f(x)× h(x) = g(x)× h(x), tilsvarende denne.

Av denne uttalelsen følger det konsekvens:

Hvis begge sider av ligningen multipliseres med samme tall annet enn null, får du en ligning tilsvarende den gitte.

Oppgave. Bestem hvilke av de følgende ligningsparene som er ekvivalente på settet med reelle tall:

EN) X 2 - 9 = 0 og (2 X + 6)(X - 3) = 0;

b) (3 X+ 1) × 2 = 6 X+ 1 og X 2 + 1 = 0;

V) X 2 - X- 2 = 0 og ( X - 1)(X + 2) = 0;

Løsning. a) ligningene er ekvivalente, siden begge har tallene 3 og -3 som sine røtter; b) ligningene er ekvivalente, siden begge ikke har røtter, dvs. løsningssettene deres faller sammen; c) ligningene er ikke ekvivalente, siden røttene til den første ligningen er tallene -1 og 2, og røttene til den andre er tallene 1 og -2.

Oppgave. Løs ligningen og begrunn alle transformasjonene som vil bli utført under løsningsprosessen.

Løsning.

Transformasjoner	Begrunnelse for transformasjoner
1. La oss bringe uttrykkene på venstre og høyre side av ligningen til en fellesnevner: .	Vi utførte en identisk transformasjon av uttrykket på venstre side av ligningen.
2. La oss forkaste fellesnevneren: 6 - 2x = x.	Vi multipliserte begge sider av ligningen med 6 (setning 2) og fikk en ligning tilsvarende denne.
3. Uttrykk --2 X flytt til høyre side av ligningen med motsatt fortegn: 6 = X+ 2X.	Vi brukte konsekvensen av teorem 1 og fikk en ligning som tilsvarer den forrige og derfor den gitte.
4. Vi presenterer lignende termer på høyre side av ligningen: 6 = 3 X.	Utførte en identisk transformasjon av uttrykket.
5. Del begge sider av ligningen med 3: x = 2.	Vi brukte konsekvensen av setning 2 og fikk en likning som tilsvarer den forrige, og derfor til denne.

Siden alle transformasjonene vi utførte da vi løste denne ligningen var likeverdige, kan vi si at 2 er roten til denne ligningen.

Hvis betingelsene i setning 1 og 2 ikke er oppfylt i prosessen med å løse ligningen, kan det oppstå tap av røtter eller fremmede røtter. Derfor er det viktig, når du transformerer en ligning for å oppnå en enklere, å sikre at de fører til en ligning tilsvarende den gitte.

Tenk for eksempel på ligningen X (X - 1) = 2X, XО R. La oss dele begge deler med X, får vi ligningen X- 1 = 2, hvorfra X= 3, dvs. denne ligningen har en enkelt rot - tallet 3. Men er dette sant? Det er lett å se at hvis i denne ligningen i stedet for en variabel
X erstatte 0, blir det en sann numerisk likhet
0 × (0 - 1) = 2 × 0. Dette betyr at 0 er roten til denne ligningen, som vi mistet når vi utførte transformasjoner. La oss analysere dem. Det første vi gjorde var å dele begge sider av ligningen med X, altså multiplisert med uttrykket, men med X= 0 det gir ikke mening. Følgelig oppfylte vi ikke betingelsen i teorem 2, noe som førte til tap av roten.

For å være sikker på at settet med røtter til denne ligningen består av to tall 0 og 3, presenterer vi en annen løsning. La oss flytte uttrykk 2 X fra høyre til venstre: X (X - 1) - 2X= 0. La oss ta den ut av parentes på venstre side av ligningen X og gi lignende vilkår:
X (X- 3) = 0. Produktet av to faktorer er lik null hvis og bare hvis minst én av dem er lik null, derfor X= 0 eller X- 3 = 0. Herfra ser vi at røttene til denne ligningen er 0 og 3.

I begynnelsen av matematikkkurset teoretisk grunnlagå løse ligninger er forholdet mellom komponentene og resultatene av handlinger.

Oppgave. Løs ligningen ( X× 9): 24 = 3, ved å bruke forholdet mellom komponenter og resultater av handlinger.

Løsning. Siden det ukjente er i utbyttet, for å finne utbyttet, må du multiplisere divisoren med kvotienten: X× 9 = 24 × 3, eller X× 9 = 72. For å finne den ukjente faktoren, må du dele produktet med den kjente faktoren: X= 72:9, eller X= 8, derfor er roten til denne ligningen tallet 8.

Øvelser for selvstendig arbeid

1. Ligning 2 X 4 + 4X 2 - 6 = 0 definert på settet naturlige tall. Forklar hvorfor tallet 1 er roten til denne ligningen, men 2 og -1 er ikke røttene.

2. Bestem hvilke av de følgende ligningsparene som er ekvivalente på settet R:

a) 3 + 7 X= -4 og 2(3 + 7 X) = -8; c) 3 + 7 X= -4 og X + 2 = 0.

b) 3 + 7 X= -4 og 6 + 7 X = -1;

3. Løs likningene og begrunn alle transformasjonene som er utført i prosessen med å forenkle dem:

EN) ; b) ; c) (2 - X) × 2 - X (X + 1,5) = 4.

4. Løs ligninger ved å bruke forholdet mellom komponenter og resultater av handlinger:

A) ( X+ 70) x 4 = 328; c) (85 X + 765) : 170 = 98;

b) 560: ( X+ 9) = 56; G) ( X - 13581) : 709 = 306.

Ligning er en likhet der en eller flere variabler er tilstede.
Vi vil vurdere tilfellet når ligningen har én variabel, det vil si ett ukjent tall. I hovedsak er en ligning en type matematisk modell. Derfor trenger vi først og fremst ligninger for å løse problemer.

La oss huske hvordan du komponerer matematisk modellå løse problemet.
For eksempel i det nye akademisk år antall elever ved skole nr. 5 doblet seg. Etter at 20 elever flyttet til en annen skole, begynte i alt 720 elever å studere ved skole nr. 5. Hvor mange elever var det i fjor?

Vi må uttrykke det som sies i tilstanden i matematisk språk. La antall elever i fjor være X. Deretter, i henhold til forholdene for problemet,
2X – 20 = 720. Vi har en matematisk modell som representerer ligning med én variabel. Mer presist er det en ligning av første grad med én variabel. Alt som gjenstår er å finne roten.

Hva er roten til en ligning?

Verdien av variabelen der ligningen vår blir til en sann likhet kalles roten til ligningen. Det er ligninger som har mange røtter. For eksempel, i ligningen 2*X = (5-3)*X, er enhver verdi av X en rot. Og ligningen X = X +5 har ingen røtter i det hele tatt, siden uansett hvilken verdi vi erstatter med X, vil vi ikke få riktig likhet. Å løse en ligning betyr å finne alle dens røtter, eller å fastslå at den ikke har noen røtter. Så for å svare på spørsmålet vårt, må vi løse ligningen 2X – 20 = 720.

Hvordan løse likninger med én variabel?

La oss først skrive ned noen grunnleggende definisjoner. Hver ligning har en høyre og venstre side. I vårt tilfelle, (2X – 20) – venstre side ligning (den er til venstre for likhetstegnet), og 720 er høyre side av ligningen. Ledene på høyre og venstre side av ligningen kalles termer av ligningen. Våre ligningsledd er 2X, -20 og 720.

La oss umiddelbart snakke om 2 egenskaper ved ligninger:

Ethvert ledd i ligningen kan overføres fra høyre side av ligningen til venstre, og omvendt. I dette tilfellet er det nødvendig å endre tegnet på denne termen av ligningen til det motsatte. Det vil si at poster på formen 2X – 20 = 720, 2X – 20 – 720 = 0, 2X = 720 + 20, -20 = 720 – 2X er ekvivalente.
Begge sider av ligningen kan multipliseres eller divideres med samme tall. Dette tallet må ikke være null. Det vil si at poster med formen 2X – 20 = 720, 5*(2X – 20) = 720*5, (2X – 20):2 = 720:2 også er ekvivalente.

La oss bruke disse egenskapene til å løse ligningen vår.

La oss flytte -20 til høyre side med motsatt fortegn. Vi får:

2X = 720 + 20. La oss legge til det vi har på høyre side. Vi får at 2X = 740.

Del nå venstre og høyre side av ligningen med 2.

2X:2 = 740:2 eller X = 370. Vi fant roten til ligningen vår og fant samtidig svaret på spørsmålet om problemet vårt. I fjor var det 370 elever ved skole nr. 5.

La oss sjekke om roten vår virkelig gjør ligningen til en ekte likhet. La oss erstatte tallet 370 i stedet for X i ligningen 2X – 20 = 720.

2*370-20 = 720.

Det stemmer.

Så for å løse en likning med én variabel, må den reduseres til en såkalt lineær likning på formen ax = b, der a og b er noen tall. Deretter deler du venstre og høyre side med tallet a. Vi får at x = b:a.

Hva vil det si å redusere en likning til en lineær likning?

Tenk på denne ligningen:

5X - 2X + 10 = 59 - 7X +3X.

Dette er også en likning med én ukjent variabel X. Vår oppgave er å redusere denne likningen til formen ax = b.

For å gjøre dette samler vi først alle leddene som har X som faktor på venstre side av ligningen, og de resterende leddene på høyre side. Termer som har samme bokstav som faktor kalles lignende termer.

5X – 2X + 7X – 3X = 59 – 10.

I henhold til den distributive egenskapen til multiplikasjon kan vi ta den samme faktoren ut av parentes og legge til koeffisientene (multiplikatorer for variabelen x). Denne prosessen kalles også reduksjon av like termer.

X(5-2+7-3) = 49.

7X = 49. Vi har redusert likningen til formen ax = b, hvor a = 7, b = 49.

Og som vi skrev ovenfor, er roten til en ligning av formen ax = b x = b:a.

Det vil si, X = 49:7 = 7.

Algoritme for å finne røttene til en ligning med én variabel.

Samle lignende ledd på venstre side av ligningen, og de resterende leddene på høyre side av ligningen.
Gi lignende vilkår.
Reduser ligningen til formen ax = b.
Finn røttene ved å bruke formelen x = b:a.

Note. I denne artikkelen vurderte vi ikke de tilfellene når en variabel heves til noen potens. Vi vurderte med andre ord ligninger av første grad med én variabel.

Forelesning 26. Ligninger med én variabel

1. Konseptet med en ligning med én variabel

2. Ekvivalente ligninger. Teoremer om ekvivalens av ligninger

3. Løse ligninger med én variabel

La oss ta to uttrykk med en variabel: 4 X og 5 X+ 2. Ved å koble dem med et likhetstegn, får vi setningen 4x= 5X+ 2. Den inneholder en variabel og, når du erstatter verdiene til variabelen, blir den til en uttalelse. For eksempel når x =-2 tilbud 4x= 5X+ 2 blir til den sanne numeriske likheten 4 ·(-2) = 5 ·(-2) + 2, og når x = 1 - til usant 4 1 = 5 1 + 2. Derfor setningen 4x = 5x + 2 det er en uttrykksform. De ringer henne ligning med én variabel.

I generelt syn En ligning med én variabel kan defineres som følger:

Definisjon. La f(x) og g(x) være to uttrykk med en variabel x og et definisjonsdomene X. Da kalles uttrykksformen til formen f(x) = g(x) en ligning med én variabel.

Variabel verdi X fra mange X, hvor ligningen blir til en sann numerisk likhet kalles roten til ligningen(eller hans avgjørelse). Løs ligningen - det betyr å finne dens mange røtter.

Altså roten til ligningen 4x = 5x+ 2, hvis vi vurderer det på settet R av reelle tall er tallet -2. Denne ligningen har ingen andre røtter. Dette betyr at settet med røttene er (-2).

La settet med reelle tall gis ligningen ( X - 1)(x+ 2) = 0. Den har to røtter - tallene 1 og -2. Derfor er settet med røtter til denne ligningen: (-2,-1).

Ligning (3x + 1)-2 = 6X+ 2, definert på settet med reelle tall, blir en sann numerisk likhet for alle reelle verdier av variabelen X: hvis vi åpner brakettene på venstre side, får vi 6x + 2 = 6x + 2. I dette tilfellet sier vi at roten er et hvilket som helst reelt tall, og settet med røtter er settet av alle reelle tall.

Ligning (3x+ 1) 2 = 6 X+ 1, definert på settet med reelle tall, blir ikke til en sann numerisk likhet for noen reell verdi X: etter å ha åpnet parentesene på venstre side får vi den 6 X + 2 = 6x + 1, noe som er umulig med noen X. I dette tilfellet sier vi at den gitte ligningen ikke har noen røtter og at settet med røttene er tomt.

For å løse en hvilken som helst ligning, transformeres den først, og erstatter den med en annen, enklere; den resulterende ligningen transformeres igjen, erstatter den med en enklere, etc. Denne prosessen fortsettes inntil en ligning er oppnådd hvis røtter kan finnes på kjent måte. Men for at disse røttene skal være røttene til en gitt ligning, er det nødvendig at transformasjonsprosessen produserer ligninger hvis sett med røtter sammenfaller. Slike ligninger kalles tilsvarende.

Når de studerte russisk på skolen, lurte mange på: hvorfor ordet vanlig skrevet gjennom EN , fordi prøveordet glatt skrevet gjennom O ? Faktisk er svaret enkelt. Tross alt er sletten så kalt fordi alle punktene er plassert på like vilkår avstand (fra havnivå) og et testord for det - lik.

OM definisjon: En likning med en variabel x er en likhet av formen A(x)=B(x), der A(x) og B(x) er uttrykk for x. Mange T-verdier av x, når de erstattes i ligningen for å oppnå en sann numerisk likhet, kalles sannhet satt gitt ligning eller avgjørelse av denne ligningen, og hver slik verdi variabel - roten til ligningen.

Dermed blir det klart at grunnlaget for enhver ligning er likheterO dens to deler. Og når man, når man løser ligninger, jobber med delene, må denne likheten alltid observeres.

Metoder for å løse likninger med én variabel

Finnes enormt beløp mest ulike typer ligninger for å løse som brukes forskjellige måter. Men for å enkelt løse ligninger må du kjenne til tre grunnleggende metoder:

Identisk transformasjon av ligninger

Faktorering av et uttrykk

Introduserer en ny variabel

Identiske transformasjoner av ligninger

Den enkleste og samtidig en av de vanligste måtene å løse likninger på er metoden for identitetstransformasjoner. I noen ligninger For å finne det ukjente, må du transformere og forenkle det originale eksemplet. Og sånn ved endring utseende essensen av ligningen har ikke endret seg. Slike transformasjoner kalles identisk eller tilsvarende. La oss vurdere hovedmetodene for identiske transformasjoner av algebraiske uttrykk.

Eksempler og formler på identitetstransformasjoner:

Første identitetstransformasjon: du kan legge til (subtrahere) til begge sider av en hvilken som helst ligning noen(men ett og samme!) tall eller uttrykk (inkludert et uttrykk med ukjent!). Dette endrer ikke essensen av ligningen.

Eksempel: 9 x 2 + 12x+ 10 = 15x+ 10 → trekk ti fra begge sider → 9 x 2 + 12x = 15x

Andre identitetstransformasjon: overføre ledd i en ligning fra den ene siden til den andre med motsatte fortegn.

Eksempel: 9 x 2 + 12x = 15x→ flytt 15x til venstre → 9 x 2 + 12x — 15x = 0. Etter forenkling får vi: 9 x 2 - 3x = 0

Tredje identitetstransformasjon: begge sider av ligningen kan multipliseres (deltes) med det samme ikke-null tall eller uttrykk. Her dukker det allerede opp en forståelig begrensning: å multiplisere med null er dumt, og å dele er helt umulig.

Eksempel: 9 x 2 - 3x =0 → del begge sider av ligningen med tre → 3x 2 - x = 0

Fjerde identitetstransformasjon: Kan heve begge sider av ligningen til en oddetall potens eller ekstraktden odde roten til begge sider av ligningen. Det må huskes at:

a) bygging i til og med kan føre å kjøpefremmede røtter;
b) feil utvinning jevn rot kan føre til tap av røtter.

Eksempel: 49 x 2 = 1225 → ta kvadratroten av begge deler → | 7 x| = 35

Faktorering av et uttrykk

La oss nå liste noen av de vanligste teknikkene for faktorisering av polynomer, som de enkleste algebraiske.

Å ta den felles faktoren ut av parentes

I tilfellet når alle ledd i et polynom har samme felles faktor, kan det tas ut av parentes, og dermed få en utvidelse av polynomet.
Eksempel: Faktor polynomet x 5 – 2x 3 + x 2.
Løsning: Hvert ledd i dette polynomet inneholder en faktor x 2. La oss ta det ut av parentesen og få svaret:

x 5 – 2x 3 + x 2 = x 2 (x 3 – 2x + 1).

Anvendelse av forkortede multiplikasjonsformler

Forkortelser brukes ganske effektivt når man faktoriserer et polynom. Det er nyttig å huske følgende formler:

1. Kvadraten av summen av to mengder er lik kvadratet av den første pluss to ganger produktet av den første og den andre pluss kvadratet av den andre.

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

2. Kvadraten av forskjellen mellom to mengder er lik kvadratet av den første minus to ganger produktet av den første og den andre pluss kvadratet av den andre.

(a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2

3. Produktet av summen av to størrelser og deres forskjell er lik forskjellen av kvadratene deres.

(a+b)(a-b)=a2-b2

4. Terningen av summen av to mengder er lik kuben av den første pluss trippel produktet av kvadratet av den første og den andre pluss trippelproduktet av den første med kvadratet av den andre pluss kuben til den andre .

(a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

5. Terningen av forskjellen mellom to mengder er lik kuben av den første minus trippelproduktet av kvadratet av den første og den andre pluss trippelproduktet av den første med kvadratet av den andre minus kuben til den andre .

(a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3

6. Produktet av summen av to mengder og partialkvadraten av differansen er lik summen av deres terninger.

(a+b)(a 2 -ab+b 2)=a 3 + b 3

7. Produktet av differansen av to mengder med partialkvadraten av summen er lik differansen av deres terninger.

(a-b)(a 2 +ab+b 2)=a 3 -b 3

Eksempel: (3x+5) 2 =9x 2 +30x+25=0

Løsning: bruk formel (1) 9x 2 +30x+25=(3x+5) 2

Bruker et utvalg full firkant

Uten å overdrive kan vi si at metoden for å isolere en komplett firkant er en av de mest effektive metoder faktorisering brukt ved pasning og

Forelesning 26. Ligninger med én variabel