Dați definiții ale funcțiilor trigonometrice inverse. Identități trigonometrice de bază, formulările și derivarea acestora

LA funcții trigonometrice inverse Următoarele 6 funcții includ: arcsinus , arc cosinus , arctangent , arccotangent , arcsecantŞi arccosecant .

De la original funcții trigonometrice periodic, atunci funcții inverse, în general, sunt polisemantic . Pentru a asigura o corespondență unu-la-unu între două variabile, domeniile de definiție ale funcțiilor trigonometrice originale sunt limitate prin luarea în considerare doar a acestora. ramuri principale . De exemplu, funcția \(y = \sin x\) este considerată numai în intervalul \(x \in \left[ ( - \pi /2,\pi /2) \right]\). În acest interval, funcția arcsinus invers este definită în mod unic.

Funcția arcsinus
Arcsinusul numărului \(a\) (notat cu \(\arcsin a\)) este valoarea unghiului \(x\) în intervalul \(\left[ ( - \pi /2,\pi / 2) \right]\), pentru care \(\sin x = a\). Funcția inversă \(y = \arcsin x\) este definită la \(x \in \left[ ( -1,1) \right]\), intervalul său de valori este \(y \in \left[ (- \pi / 2,\pi /2) \right]\).

Funcția arc cosinus
Arccosinusul numărului \(a\) (notat \(\arccos a\)) este valoarea unghiului \(x\) în intervalul \(\left[ (0,\pi) \right]\) , la care \(\cos x = a\). Funcția inversă \(y = \arccos x\) este definită pentru \(x \in \left[ ( -1,1) \right]\), intervalul său de valori aparține segmentului \(y \in \left[ (0,\pi)\dreapta]\).



Funcția arctangentă
Arctangent al numărului o(notat cu \(\arctan a\)) este valoarea unghiului \(x\) în intervalul deschis \(\left((-\pi/2, \pi/2) \right)\), la care \(\tan x = a\). Funcția inversă \(y = \arctan x\) este definită pentru toate \(x \in \mathbb(R)\), intervalul arctangent este egal cu \(y \in \left((-\pi/2, \pi/2 )\dreapta)\).



Funcția arc tangentă
Arccotangente a numărului \(a\) (notat cu \(\text(arccot ​​​​) a\)) este valoarea unghiului \(x\) în intervalul deschis \(\left[ (0,\) pi) \right]\), la care \(\cot x = a\). Funcția inversă \(y = \text(arccot ​​​​) x\) este definită pentru toate \(x \in \mathbb(R)\), intervalul său de valori este în intervalul \(y \in \ stânga[ (0,\pi) \dreapta]\).



Funcția arcsecantă
Arcsecanta numărului \(a\) (notat cu \(\text(arcsec ) a\)) este valoarea unghiului \(x\) la care \(\sec x = a\). Funcția inversă \(y = \text(arcsec ) x\) este definită la \(x \in \left(( - \infty , - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty ) \right )\ ), intervalul său de valori aparține mulțimii \(y \in \left[ (0,\pi /2) \right) \cup \left((\pi /2,\pi ) \right] \).



Funcția arccosecantă
Arccosecanta numărului \(a\) (notat \(\text(arccsc ) a\) sau \(\text(arccosec ) a\)) este valoarea unghiului \(x\) la care \(\ csc x = a\ ). Funcția inversă \(y = \text(arccsc ) x\) este definită la \(x \in \left(( - \infty , - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty ) \right )\ ), intervalul valorilor sale aparține mulțimii \(y \in \left[ ( - \pi /2,0) \right) \cup \left((0,\pi /2) \right ]\).



Valorile principale ale funcțiilor arcsinus și arccosinus (în grade)

\(x\)	\(-1\)	\(-\sqrt 3/2\)	\(-\sqrt 2/2\)	\(-1/2\)	\(0\)	\(1/2\)	\(\sqrt 2/2\)	\(\sqrt 3/2\)	\(1\)
\(\arcsin x\)	\(-90^\circ\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)	\(90^\circ\)
\(\arccos x\)	\(180^\circ\)	\(150^\circ\)	\(135^\circ\)	\(120^\circ\)	\(90^\circ\)	\(60^\circ\)	\(45^\circ\)	\(30^\circ\)	\(0^\circ\)

Valorile principale ale funcțiilor arctangente și arccotangente (în grade)

\(x\)	\(-\sqrt 3\)	\(-1\)	\(-\sqrt 3/3\)	\(0\)	\(\sqrt 3/3\)	\(1\)	\(\sqrt 3\)
\(\arctan x\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)
\(\text(arccot ​​​​) x\)	\(150^\circ\)	\(135^\circ\)	\(120^\circ\)	\(90^\circ\)	\(60^\circ\)	\(45^\circ\)	\(30^\circ\)

Definiție și notare

Arcsin (y = arcsin x) este funcția inversă a sinusului (x = siny -1 ≤ x ≤ 1și setul de valori -π /2 ≤ y ≤ π/2.
sin(arcsin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .

Arcsinul este uneori notat după cum urmează:
.

Graficul funcției arcsinus

Graficul funcției y = arcsin x

Graficul arcsinus este obținut din graficul sinus dacă axele absciselor și ordonatelor sunt schimbate. Pentru a elimina ambiguitatea, intervalul de valori este limitat la intervalul în care funcția este monotonă. Această definiție se numește valoarea principală a arcsinusului.

Arccosine, arccos

Definiție și notare

Arccosinus (y = arccos x) este funcția inversă a cosinusului (x = ca si). Are un domeniu de aplicare -1 ≤ x ≤ 1și multe sensuri 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x ;
arccos(cos x) = x .

Arccosinul este uneori notat după cum urmează:
.

Graficul funcției arc cosinus

Graficul funcției y = arccos x

Graficul arc-cosinus este obținut din graficul cosinus dacă axele absciselor și ordonatelor sunt schimbate. Pentru a elimina ambiguitatea, intervalul de valori este limitat la intervalul în care funcția este monotonă. Această definiție se numește valoarea principală a arcului cosinus.

Paritate

Funcția arcsinus este impară:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Funcția arc cosinus nu este pară sau impară:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

Proprietăți - extreme, creștere, scădere

Funcțiile arcsinus și arccosinus sunt continue în domeniul lor de definiție (vezi dovada continuității). Principalele proprietăți ale arcsinusului și arccosinului sunt prezentate în tabel.

	y= arcsin x	y= arccos x
Domeniul de aplicare și continuitatea	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Gama de valori
Urcând, coborând	crește monoton	scade monoton
Înalte
Minime
Zerouri, y = 0	x = 0	x = 1
Interceptarea punctelor cu axa ordonatelor, x = 0	y= 0	y = π/ 2

Tabel de arcsinus și arccosinus

Acest tabel prezintă valorile arcsinusurilor și arccosinusului, în grade și radiani, pentru anumite valori ale argumentului.

x	arcsin x		arccos x
	grindină	bucuros.	grindină	bucuros.
- 1	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
-	- 45°	-	135°
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Formule

Vezi și: Derivarea formulelor pentru funcții trigonometrice inverse

Formule de sumă și diferență

la sau

la şi

la şi

la sau

la şi

la şi

la

la

la

la

Expresii prin logaritmi, numere complexe

Vezi și: Formule derivate

Expresii prin funcții hiperbolice

Derivate

;
.
Vezi Derivarea derivaților arcsinus și arccosinus > > >

Derivate de ordin superior:
,
unde este un polinom de grad .
;
;
.

Acesta este determinat de formulele:

Vezi Derivarea derivatelor de ordin superior ale arcsinusului și arccosinului > > >

Integrale Facem substituția x = sin t ., Integram pe parti, tinand cont ca -π/:
.

2 ≤ t ≤ π/2
.

cos t ≥ 0

Să exprimăm arc cosinus prin arc sinus:< 1 Extinderea seriei
;
.

Când |x|

are loc următoarea descompunere:

Funcții inverse
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

Inversurile arcsinusului și arccosinusului sunt sinus și cosinus, respectiv.
arcsin(sin x) = x Următoarele formule sunt valabile în întregul domeniu de definiție:
arccos(cos x) = x Următoarele formule sunt valabile numai pentru setul de valori arcsinus și arccosinus:

la
la .

Literatura folosita:

ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.

Vezi și:

Funcția cosinus invers 2

Gama de valori ale funcției y=cos x (vezi Fig. 2) este un segment. Pe segment funcția este continuă și monoton descrescătoare.

Orez.

Aceasta înseamnă că funcția inversă funcției y=cos x este definită pe segment. Această funcție inversă se numește arc cosinus și se notează y=arccos x.

Definiţie

Arccosinusul unui număr a, dacă |a|1, este unghiul al cărui cosinus aparține segmentului; se notează cu arccos a.

Funcția y = arccos x (Fig. 3) este definită pe un segment de valori ale acestuia; Pe segment, funcția y=arccos x este continuă și scade monoton de la p la 0 (deoarece y=cos x este o funcție continuă și monoton descrescătoare pe segment); la capetele segmentului atinge valorile sale extreme: arccos(-1)= p, arccos 1= 0. De observat ca arccos 0 = . Graficul funcției y = arccos x (vezi Fig. 3) este simetric cu graficul funcției y = cos x raportat la dreapta y=x.

Funcția cosinus invers 3

Să arătăm că egalitatea arccos(-x) = p-arccos x este valabilă.

De fapt, prin definiție 0? arccos x? r. Înmulțind cu (-1) toate părțile ultimei inegalități duble, obținem - p? arccos x? 0. Adăugând p la toate părțile ultimei inegalități, aflăm că 0? p-arccos x? r.

Astfel, valorile unghiurilor arccos(-x) și p - arccos x aparțin aceluiași segment. Deoarece cosinusul scade monoton pe un segment, nu pot exista doi unghiuri diferite, având cosinusuri egale. Să găsim cosinusurile unghiurilor arccos(-x) și p-arccos x. Prin definiție, cos (arccos x) = - x, după formulele de reducere și prin definiție avem: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. Deci, cosinusurile unghiurilor sunt egale, ceea ce înseamnă că unghiurile în sine sunt egale.

Funcția sinus invers

Să considerăm funcția y=sin x (Fig. 6), care pe segmentul [-р/2;р/2] este crescător, continuă și ia valori din segmentul [-1; 1]. Aceasta înseamnă că pe segmentul [- p/2; p/2] este definită funcția inversă a funcției y=sin x.

Funcția cosinus invers 6

Această funcție inversă se numește arcsinus și se notează y=arcsin x. Să introducem definiția arcsinusului unui număr.

Arcsinusul unui număr este un unghi (sau arc) al cărui sinus este egal cu numărul a și care aparține segmentului [-р/2; p/2]; se notează cu arcsin a.

Astfel, arcsin a este unghiul satisfăcător urmatoarele conditii: sin (arcsin a)=a, |a| ?1; -r/2 ? arcsin huh? r/2. De exemplu, din moment ce sin și [- p/2; p/2]; arcsin, deoarece sin = u [- p/2; p/2].

Funcția y=arcsin x (Fig. 7) este definită pe segmentul [- 1; 1], intervalul valorilor sale este segmentul [-р/2;р/2]. Pe segmentul [- 1; 1] funcția y=arcsin x este continuă și crește monoton de la -p/2 la p/2 (asta rezultă din faptul că funcția y=sin x pe segmentul [-p/2; p/2] este continuă si creste monoton). Cea mai mare valoare se ia la x =1: arcsin 1 = p/2, iar cel mai mic la x = -1: arcsin (-1) = -p/2. La x = 0 funcția este zero: arcsin 0 = 0.

Să arătăm că funcția y = arcsin x este impară, adică. arcsin(-x) = - arcsin x pentru orice x [ - 1; 1].

Într-adevăr, prin definiție, dacă |x| ?1, avem: - p/2 ? arcsin x ? ? r/2. Astfel, unghiurile arcsin(-x) și - arcsin x aparțin aceluiași segment [ - p/2; p/2].

Să găsim sinusurile acestora unghiuri: sin (arcsin(-x)) = - x (prin definiție); întrucât funcția y=sin x este impară, atunci sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x. Deci, sinusurile unghiurilor aparținând aceluiași interval [-р/2; p/2], sunt egale, ceea ce înseamnă că unghiurile în sine sunt egale, adică arcsin (-x)= - arcsin x. Aceasta înseamnă că funcția y=arcsin x este impară. Graficul funcției y=arcsin x este simetric față de origine.

Să arătăm că arcsin (sin x) = x pentru orice x [-р/2; p/2].

Într-adevăr, prin definiție -p/2? arcsin (sin x) ? p/2, iar prin condiția -p/2? x? r/2. Aceasta înseamnă că unghiurile x și arcsin (sin x) aparțin aceluiași interval de monotonitate al funcției y=sin x. Dacă sinusurile unor astfel de unghiuri sunt egale, atunci unghiurile în sine sunt egale. Să găsim sinusurile acestor unghiuri: pentru unghiul x avem sin x, pentru unghiul arcsin (sin x) avem sin (arcsin(sin x)) = sin x. Am constatat că sinusurile unghiurilor sunt egale, prin urmare, unghiurile sunt egale, adică. arcsin(sin x) = x. .

Funcția cosinus invers 7

Funcția cosinus invers 8

Graficul funcției arcsin (sin|x|) se obține prin transformările uzuale asociate cu modulul din graficul y=arcsin (sin x) (prezentat prin linia întreruptă în Fig. 8). Graficul dorit y=arcsin (sin |x-/4|) se obține din acesta prin deplasarea cu /4 la dreapta de-a lungul axei x (prezentat ca o linie continuă în Fig. 8)

Funcția inversă a tangentei

Funcția y=tg x pe interval ia toate valorile numerice: E (tg x)=. În acest interval este continuă și crește monoton. Aceasta înseamnă că pe interval este definită o funcție inversă funcției y = tan x. Această funcție inversă se numește arctangentă și se notează y = arctan x.

Arctangenta lui a este un unghi dintr-un interval a cărui tangentă este egală cu a. Astfel, arctg a este un unghi care îndeplinește următoarele condiții: tg (arctg a) = a și 0? arctg a ? r.

Deci, orice număr x corespunde întotdeauna unei singure valori a funcției y = arctan x (Fig. 9).

Este evident că D (arctg x) = , E (arctg x) = .

Funcția y = arctan x crește deoarece funcția y = tan x crește pe interval. Nu este greu de demonstrat că arctg(-x) = - arctgx, i.e. acea arctangentă este o funcție ciudată.

Funcția cosinus invers 9

Graficul funcției y = arctan x este simetric cu graficul funcției y = tan x față de linia dreaptă y = x, graficul y = arctan x trece prin origine (deoarece arctan 0 = 0) și este simetric relativ la origine (ca graficul unei funcții impare).

Se poate dovedi că arctan (tan x) = x dacă x.

Funcția inversă cotangentă

Funcția y = ctg x pe un interval ia toate valorile numerice din interval. Intervalul valorilor sale coincide cu setul tuturor numerelor reale. În interval, funcția y = cot x este continuă și crește monoton. Aceasta înseamnă că pe acest interval este definită o funcție care este inversă funcției y = cot x. Funcția inversă a cotangentei se numește arccotangent și se notează y = arcctg x.

Cotangenta arcului lui a este un unghi aparținând unui interval a cărui cotangentă este egală cu a.

Astfel, аrcctg a este un unghi care îndeplinește următoarele condiții: ctg (arcctg a)=a și 0? arcctg a ? r.

Din definiția funcției inverse și definiția arctangentei rezultă că D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . Cotangenta arcului este o funcție descrescătoare deoarece funcția y = ctg x scade în interval.

Graficul funcției y = arcctg x nu intersectează axa Ox, deoarece y > 0 R. Pentru x = 0 y = arcctg 0 =.

Graficul funcției y = arcctg x este prezentat în Figura 11.

Funcția cosinus invers 11

Rețineți că pentru toate valorile reale ale lui x identitatea este adevărată: arcctg(-x) = p-arcctg x.

Deoarece funcțiile trigonometrice sunt periodice, funcțiile lor inverse nu sunt unice. Deci, ecuația y = sin x, pentru un dat, are infinit de rădăcini. Într-adevăr, datorită periodicității sinusului, dacă x este o astfel de rădăcină, atunci așa este x + 2πn(unde n este un număr întreg) va fi, de asemenea, rădăcina ecuației. Astfel, funcțiile trigonometrice inverse sunt multivalorice. Pentru a facilita lucrul cu ei, este introdus conceptul semnificațiilor lor principale. Luați în considerare, de exemplu, sinusul: y = sin x. sin x Dacă limităm argumentul x la intervalul , atunci pe el funcția y = crește monoton. Prin urmare, are o funcție inversă unică, care se numește arcsinus: x =.

arcsin y

Dacă nu se specifică altfel, prin funcții trigonometrice inverse înțelegem valorile lor principale, care sunt determinate de următoarele definiții. Arcsin ( arcsin x y= ) este funcția inversă a sinusului ( siny
x = Arcsin ( arccos x Arccosinus ( ) este funcția inversă a sinusului ( ca si) este funcția inversă a cosinusului (
), având un domeniu de definiție și un set de valori. Arcsin ( Arctangent ( arctan x ) este funcția inversă a sinusului ( ) este funcția inversă a tangentei () este funcția inversă a cosinusului (
tg y Arcsin ( arccotangent ( arcctg x ) este funcția inversă a sinusului ( ) este funcția inversă a cotangentei ( ctg y

), având un domeniu de definiție și un set de valori.

Grafice ale funcțiilor trigonometrice inverse Graficele funcțiilor trigonometrice inverse se obțin din graficele funcțiilor trigonometrice imagine în oglindă

Arcsin ( arcsin x

Arcsin ( arccos x

Arcsin ( Arctangent (

Arcsin ( arccotangent (

relativ la dreapta y = x.

Vezi secțiunile Sinus, cosinus, Tangent, cotangent.

arcsin(sin x) = x Următoarele formule sunt valabile în întregul domeniu de definiție:
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x Următoarele formule sunt valabile în întregul domeniu de definiție:
cos(arccos x) = x

arctan(tg x) = x Următoarele formule sunt valabile în întregul domeniu de definiție:
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x Următoarele formule sunt valabile în întregul domeniu de definiție:
ctg(arcctg x) = x

Formule care raportează funcții trigonometrice inverse

Vezi și: Derivarea formulelor pentru funcții trigonometrice inverse

Formule de sumă și diferență

la sau

la şi

la şi

la sau

la şi

la şi

la

la

la

la

la

la

la

la

la

la

la
la .

În acest articol ne vom uita la concepte atât de importante în trigonometrie precum arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent. Putem găsi valorile numerelor (unghiurilor) dacă cunoaștem datele funcțiilor trigonometrice; tocmai aceasta este problema care ne conduce la funcții inverse.

Mai jos nu vom oferi doar definiții ale conceptelor de bază și notații general acceptate, dar vom oferi și calcule din care va fi clar care sunt acestea. În cele din urmă, vom încerca să conectăm conceptele de arccotangent, arctangent, arccosinus și arcsinus cu conceptul de cerc unitar.

Definiții de bază

Toate conceptele enumerate mai sus - arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent - pot fi considerate atât ca număr, cât și ca unghi. Mai devreme am vorbit deja despre aceeași dualitate în percepția funcțiilor directe (sinus, cosinus etc.) Să luăm în considerare ambele abordări separat.

Arcsinus și alte funcții inverse ca unghi

Să presupunem că avem un anumit unghi al cărui sinus este egal cu 1 2. Să o notăm cu litera alfa.

Deci sin α = 1 2 . Un număr infinit de unghiuri poate avea o astfel de valoare de sinus: α = (− 1) k · 30 ° + 180 ° · k (α = (− 1) k · π / 6 + π · k), unde k ∈ Z. Prin urmare, va trebui să intrăm conditii suplimentare. Fie unghiul alfa nu mai mic de - 90 și nu mai mult de 90 de grade (adică (în radiani va aparține segmentului [ − π 2 , π 2 ]),). În acest caz, egalitatea noastră sin α = 1 2 ne va permite să desemnăm mai clar unghiul alfa: în astfel de condiții va exista un singur unghi - 30 de grade (π 6 radiani).

Pe baza acestei egalități, putem concluziona că unghiul alfa este determinat sub rezerva oricărui număr a ∈ [− 1, 1] și condiției − 90 ° ≤ α ≤ 90 °. Acest unghi este arcsinusul numărului a.

Să formulăm definițiile de bază.

Definiția 1

• arcsinus este funcția inversă a păcatului. Pentru un anumit număr a, acesta reprezintă un unghi de la -90 la 90 de grade, al cărui păcat este egal cu a.
• arc cosinus- funcţia inversă cosinusului. Pentru numărul a, acesta este un unghi al cărui cos este egal cu a și care se află în intervalul de la 0 la 180 de grade.
• Arctangent-functie trigonometrica, inversa tangentei. Pentru un anumit număr a u 1 este un unghi a cărui valoare este în intervalul de la -90 la 90 de grade, a cărui tangentă este egală cu a.
• Arccotangent numărul a este, de asemenea, un unghi cuprins între 0 și 190 de grade, a cărui cotangentă este egală cu a.

Să rezumam: de exemplu, scrierea unui r c sin 0, 3 înseamnă doar un unghi al cărui sinus este egal cu 0, 3; a r c cos 0, 7 - unghi cu cosinus 0, 7 și așa mai departe.

Semnăturile de forma a r c sin , a r c cos , a r c t g și a r c c t g sunt în general acceptate pentru scrierea funcțiilor trigonometrice inverse. Uneori în cărți de referință, în special cele compilate în engleză, puteți găsi denumiri ușor diferite pentru arc tangente și arc tangente - a r c tan și a r c c o t. Ele înseamnă același lucru, dar nu sunt comune printre noi, așa că nu le vom folosi.

Definițiile de mai sus pot fi formulate într-o formă mai concisă și mai simbolică:

Definiția 2

• arcsin numerele a în intervalul de la minus unu la unu este un unghi cu sin α = a de mărime − 90 ° ≤ α ≤ 90 ° (− π 2 ≤ α ≤ π 2)
• arccos numerele a în intervalul de la minus unu la unu există un unghi cu cos = a cu o valoare de 0 ° ≤ α ≤ 180 ° (0 ≤ α ≤ π)
• arctg orice număr a este un unghi cu t g α = a de mărime − 90 °< α < 90 ° (− π 2 < α < π 2)
• arctg din orice număr a există un unghi cu c t g α = o valoare care este 0 °< α < 180 ° (0 < α < π)

Vă rugăm să rețineți că în definițiile arcsin și arccos intervalul este de la minus unu la plus unu, dar pentru celelalte două funcții a poate fi orice număr. Se pare că arcsinus 3 este o notație eronată, deoarece trei nu aparțin intervalului specificat. De asemenea, fără sens sunt intrările a r c sin 5, a r c cos - 7, a r c sin - 3, 7 2 3 și cu orice alte valori care depășesc limitele segmentului de care avem nevoie, deoarece sinusul și cosinusul nu pot fi mai mari decât unu și mai puțin de minus unu. În cazul arctangentei și arccotangentei, nu există o astfel de problemă pentru ele, inclusiv zero, pi și așa mai departe.

Exemplul 1

Acum să ne uităm la exemple de funcții inverse ale unui număr. Mai întâi, să luăm arcsinusul. Din definiția sa de bază rezultă că unghiul π 3 este arcsinusul numărului 3 2, astfel (în acest caz α = 3 2 și α = π 3).

3 2 este un număr care este mai mic decât unu și mai mare decât minus unu, iar unghiul π 3 este în intervalul de la - π 2 la π 2 și sin π 3 = 3 2.

Exemplul 2

Alte exemple de r c sin sunt înregistrările de forma a r c sin (− 1) = − 90 °, a r c sin (0, 5) = π 6, a r c sin (- 2 2) = - π 4. În acest caz, π 10 nu poate fi un r c sin 1 2, deoarece sin (π 10) ≠ 1 2.

Exemplul 3

Să luăm următorul exemplu: sin 270 de grade - minus unu, dar opusul nu este adevărat: unghiul 270 nu este arcsinus - 1, deoarece un r c sin ar trebui să fie mai mare de 90 de grade. Un unghi de 270 de grade nu este arcsinus al niciunui număr, deoarece se află în afara intervalului necesar.

Exemplul 4

Să găsim exemple de alte funcții inverse. Deci, un unghi de 0 radiani este arc-cosinus 1, adică a r c cos 1 = 0. Aici sunt îndeplinite toate condițiile arc-cosinus, numărul aparține segmentului dorit, unghiul unei valori date este în intervalul de la zero la pi și cos 0 = 1. Unghiul π 2 - arc cosinus de zero: a r c cos 0 = π 2.

Exemplul 5

Conform definiției arctangentei, valorile sunt a r c t g (− 1) = − π 4 sau a r c t g (− 1) = − 45 °. Arctangenta rădăcinii lui trei este de 60 de grade (π 3 rad). Din aceasta putem concluziona că a r c c t g 0 = π 2, deoarece unghiul π 2 se află în intervalul de la 0 la π și c t g (π 2) = 0.

Dacă doriți să studiați această abordare a definirii funcțiilor trigonometrice inverse mai detaliat, vă recomandăm manualul lui Kochetkov (partea 1, pp. 260-278)

Arcsinus și alte funcții inverse ca numere

Dacă problema se referă, să zicem, sinusul unui unghi, atunci este logic să-i percepem arcsinusul ca un unghi. Dacă avem nevoie, de exemplu, să calculăm cosinusul unui anumit număr, atunci este important să luăm un alt punct de vedere și să considerăm funcțiile inverse ca numere. Pe baza celei de-a doua abordări, putem reformula ușor definițiile:

Definiția 3

• arcsinusși există un număr, t ∈ [ − π 2 , π 2 ], al cărui sinus este egal cu a.
• arc cosinus numărul a ∈ [−1, 1] este un număr t ∈ [0, π] al cărui cosinus este egal cu a.
• Arctangent numărul a ∈ (− ∞, + ∞) este un număr t ∈ (− π 2, π 2) a cărui tangentă este egală cu a.
• Arccotangent numărul a ∈ (− ∞, + ∞) este un număr t ∈ (0, π) a cărui cotangentă este egală cu a.

Astfel de formulări sunt tipice pentru majoritatea manualelor moderne de matematică.

Exemplul 6

Ce abordare ar trebui să alegi? Cum înțelegeți când este mai bine să luați în considerare valorile arcsinusului și ale altor funcții ca unghiuri și când ca numere? Acest lucru poate fi înțeles din contextul sarcinii. De obicei, dacă menționează, să zicem, a r c sin a - 11°, atunci este un unghi. Dacă vedem o notație de forma π − a r c t g a , atunci cel mai probabil este doar un număr sau un unghi măsurat în radiani. Dacă există pur și simplu formulări de forma a r c sin, a r c c t g etc. fără a indica numere și valori, atunci suntem liberi să alegem orice abordare dorim.

Funcțiile inverse ale unui număr pot fi reprezentate mai clar geometric: la urma urmei, dacă acestea sunt unghiuri, acestea pot fi reprezentate într-un desen. Acest lucru este ușor de făcut dacă nu ați uitat definițiile de bază ale funcțiilor directe de bază.

Pentru a face acest lucru, avem nevoie de cercul unității care ne este deja familiar. Arcurile sale care leagă unghiurile principale vor corespunde valorilor funcțiilor inverse.

De exemplu, să luăm un arc care va ilustra arcsinusul unui anumit număr a. Să desenăm o linie de sinusuri și să indicăm un punct pe ea în conformitate cu valoarea lui a. Din acest punct trebuie să ajungem la axa x (luați direcția pozitivă). Avem o rază care va intersecta cercul într-un punct special. Arcsinusul numărului a este partea arcului de cerc de la acest punct până la origine. Să ne amintim două abordări de a considera funcțiile: ca unghi și ca număr. Unghiul corespunzător arcului este o ilustrare a arcsinusului în prima abordare, iar lungimea arcului, exprimată cantitativ, ilustrează arcsinusul în a doua.

Acum să desenăm arce care vor ilustra funcțiile inverse rămase pentru noi. În al doilea grafic sunt marcate cu linii albastre. Uitați-vă la modul în care puteți afișa grafic conceptele a rc sin , a r c cos , a r c t g , a r c c t g pentru un număr arbitrar a (în intervalele de mai sus):

Concluzie: ce sunt funcțiile arcului

Ca urmare, putem formula următoarele: pentru orice număr a a ∈ [ − 1, 1 ] putem calcula unghiurile - arcsinus și arccosinus, iar pentru fiecare număr real - unghiurile arctangent și arccotangent. Acest punct de vedere ne permite să comparăm valoare numerică argument și un unghi specific, care este valoarea funcției.

Putem privi conceptele a r c sin , a r c cos , a r c t g și a r c c t g ca numere și ca unghiuri. Dacă le luăm drept numere, atunci sunt funcții numerice: fiecare valoare a lui a corespunde unui număr.

Să rezumam: toate aceste patru concepte sunt funcții trigonometrice inverse. Numele este clar: arcsinus este opus sinusului, arccosinus este opus cosinusului, arctangent este opus tangentei, arccotangent este opus cotangentei. Prin urmare, un alt nume colectiv comun pentru ele este funcțiile arc.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter