Reducerea la forma canonică a unei forme biliniare online. Reducerea unei curbe de ordinul doi la forma canonică

Aducând formă pătratică La formă canonică.

Forma canonică și normală a formei pătratice.

Transformări liniare ale variabilelor.

Conceptul de formă pătratică.

Forme pătrate.

Definiţie: Forma pătratică a variabilelor este un polinom omogen de gradul doi în raport cu aceste variabile.

Variabilele pot fi considerate ca coordonate afine puncte ale spațiului aritmetic A n sau ca coordonate ale unui vector de spațiu n-dimensional V n . Vom nota forma pătratică a variabilelor ca.

Exemplul 1:

Dacă termeni similari au fost deja reduși în formă pătratică, atunci se notează coeficienții pentru, iar pentru () - . Astfel, se crede că. Forma pătratică poate fi scrisă după cum urmează:

Exemplul 2:

Matricea sistemului (1):

- sunat matrice de formă pătratică.

Exemplu: Matricele formelor pătratice din Exemplul 1 au forma:

Matricea formei pătratice din exemplul 2:

Transformarea liniară a variabilelor numiți o astfel de tranziție de la un sistem de variabile la un sistem de variabile în care variabilele vechi sunt exprimate prin altele noi folosind formele:

unde coeficienții formează o matrice nesingulară.

Dacă variabilele sunt considerate coordonatele unui vector în spațiul euclidian în raport cu o anumită bază, atunci transformarea liniară (2) poate fi considerată ca o tranziție în acest spațiu către o nouă bază, în raport cu care același vector are coordonate.

În cele ce urmează, vom considera formele pătratice numai cu coeficienți reali. Vom presupune că variabilele iau doar valori reale. Daca in forma patratica (1) variabilele sunt supuse unei transformari liniare (2), atunci se va obtine o forma patratica a noilor variabile. În cele ce urmează, vom arăta că, cu o alegere adecvată a transformării (2), forma pătratică (1) poate fi redusă la o formă care conține doar pătratele noilor variabile, adică. . Acest tip de formă pătratică se numește canonic. Matricea de formă pătratică în acest caz este diagonală: .

Dacă toți coeficienții pot lua doar una dintre valorile: -1,0,1 se numește tipul corespunzător normal.

Exemplu: Ecuația curbei centrale de ordinul doi prin trecerea la sistem nou coordonate

poate fi redusă la forma: , iar forma pătratică în acest caz va lua forma:

Lema 1: Dacă forma pătratică(1)nu conține pătratele variabilelor, apoi folosind o transformare liniară poate fi adus într-o formă care conține pătratul a cel puțin unei variabile.

Dovada: Prin convenție, forma pătratică conține numai termeni cu produse ale variabilelor. Lasă pentru orice sensuri diferite i și j sunt diferiți de zero, adică. este unul dintre acești termeni incluși în forma pătratică. Dacă efectuați o transformare liniară și lăsați totul neschimbat, de exemplu. (determinantul acestei transformări este diferit de zero), atunci chiar doi termeni cu pătrate de variabile vor apărea în formă pătratică: . Acești termeni nu pot dispărea atunci când se adaugă termeni similari, deoarece fiecare dintre termenii rămași conține cel puțin o variabilă diferită de sau de la.

Exemplu:

Lema 2: Dacă formă pătrată (1) conține un termen cu pătratul variabilei, de exemplu, și cel puțin încă un termen cu o variabilă , apoi folosind o transformare liniară,f poate fi convertit în formă variabilă , având forma: (2), Unde g – formă pătratică fără variabilă .

Dovada: Să selectăm în formă pătratică (1) suma termenilor care conțin: (3) aici g 1 denotă suma tuturor termenilor care nu conțin.

Să notăm

(4), unde denotă suma tuturor termenilor care nu conțin.

Să împărțim ambele părți ale lui (4) și să scădem egalitatea rezultată din (3), după ce le aducem pe cele similare vom avea:

Expresia din partea dreaptă nu conține o variabilă și este o formă pătratică a variabilelor. Să notăm această expresie cu g, iar coeficientul cu, iar atunci f va fi egal cu: . Dacă facem o transformare liniară: , al cărei determinant este diferit de zero, atunci g va fi o formă pătratică a variabilelor, iar forma pătratică f se va reduce la forma (2). Lema este dovedită.

Teorema: Orice formă pătratică poate fi redusă la formă canonică folosind o transformare a variabilelor.

Dovada: Să efectuăm inducția asupra numărului de variabile. Forma pătratică a lui are forma: , care este deja canonică. Să presupunem că teorema este adevărată pentru forma pătratică în n-1 variabile și să demonstrăm că este adevărată pentru forma pătratică în n variabile.

Dacă f nu conține pătrate de variabile, atunci prin Lema 1 poate fi redusă la o formă care conține pătratul a cel puțin unei variabile prin Lema 2 forma pătratică rezultată poate fi reprezentată în forma (2). Deoarece forma pătratică este dependentă de n-1 variabile, apoi prin presupunerea inductivă poate fi redusă la formă canonică folosind o transformare liniară a acestor variabile în variabile, dacă adăugăm o formulă la formulele acestei tranziții, atunci obținem formule pentru un liniar. transformare care conduce la forma canonică forma pătratică cuprinsă în egalitate (2). Compoziția tuturor transformărilor variabilelor luate în considerare este transformarea liniară dorită, conducând la forma canonică a formei pătratice (1).

Dacă forma pătratică (1) conține pătratul oricărei variabile, atunci lema 1 nu trebuie aplicată. Metoda dată este numită Metoda Lagrange.

De la forma canonică, unde, puteți merge la forma normală, unde, dacă și, dacă, folosind transformarea:

Exemplu: Reduceți forma pătratică la forma canonică folosind metoda Lagrange:

Deoarece Deoarece forma pătratică f conține deja pătratele unor variabile, lema 1 nu trebuie aplicată.

Selectăm membri care conțin:

3. Pentru a obține o transformare liniară care reduce direct forma f la forma (4), găsim mai întâi transformările inverse transformărilor (2) și (3).

Acum, folosind aceste transformări, vom construi compoziția lor:

Dacă înlocuim valorile obținute (5) în (1), obținem imediat o reprezentare a formei pătratice în forma (4).

Din forma canonică (4) folosind transformarea

puteți merge la vizualizarea normală:

O transformare liniară care aduce forma pătratică (1) la forma normală este exprimată prin formulele:

Bibliografie:

1. Voevodin V.V. Algebră liniară. Sankt Petersburg: Lan, 2008, 416 p.

2. Beklemishev D.V. Curs de geometrie analitică și algebră liniară. M.: Fizmatlit, 2006, 304 p.

3. Kostrikin A.I. Introducere în algebră. partea a II-a. Fundamentele algebrei: manual pentru universități, -M. : Literatură de fizică și matematică, 2000, 368 p.

Curs nr. 26 (semestrul II)

Subiect: Legea inerției. Forme pozitive definite.

O formă pătratică se numește canonică dacă toate i.e.

Orice formă pătratică poate fi redusă la formă canonică folosind transformări liniare. În practică, se folosesc de obicei următoarele metode.

1. Transformarea ortogonală a spațiului:

Unde - valori proprii matrici O.

2. Metoda Lagrange - selectie secventiala pătrate pline. De exemplu, dacă

Apoi se efectuează o procedură similară cu forma pătratică etc Dacă în formă pătratică totul este dar apoi după transformarea prealabilă problema se reduce la procedura avută în vedere. Deci, dacă, de exemplu, atunci presupunem

3. Metoda Jacobi (în cazul în care toți minorii majori forma pătratică este diferită de zero):

Orice linie dreaptă de pe plan poate fi specificată printr-o ecuație de ordinul întâi

Ax + Wu + C = 0,

Mai mult, constantele A și B nu sunt egale cu zero în același timp. Această ecuație de ordinul întâi se numește ecuația generală a unei drepte. In functie de valori constanta A, Bși C sunt posibile următoarele cazuri speciale:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – dreapta trece prin origine

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - linie dreaptă paralelă cu axa Ox

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – linie dreaptă paralelă cu axa Oy

B = C = 0, A ≠0 – linia dreaptă coincide cu axa Oy

A = C = 0, B ≠0 – linia dreaptă coincide cu axa Ox

Ecuația unei linii drepte poate fi reprezentată în sub diverse formeîn funcţie de orice condiţii iniţiale date.

O linie dreaptă în spațiu poate fi specificată:

1) ca o linie de intersecție a două plane, adică sistem de ecuații:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3,2)

2) prin cele două puncte ale sale M 1 (x 1, y 1, z 1) și M 2 (x 2, y 2, z 2), atunci linia dreaptă care trece prin ele este dată de ecuațiile:

= ; (3.3)

3) punctul M 1 (x 1, y 1, z 1) care îi aparține și vectorul o(m, n, p), coliniar cu acesta. Apoi linia dreaptă este determinată de ecuațiile:

. (3.4)

Se numesc ecuațiile (3.4). ecuații canonice ale dreptei.

Vector o numit vector directie drept.

Obținem ecuații parametrice ale dreptei echivalând fiecare dintre relațiile (3.4) cu parametrul t:

x = x 1 +mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + rt. (3,5)

Rezolvarea sistemului (3.2) ca sistem ecuații liniare relativ necunoscut xŞi y, ajungem la ecuațiile dreptei în proiecții sau la ecuații date ale dreptei:

x = mz + a, y = nz + b. (3,6)

Din ecuațiile (3.6) putem trece la ecuațiile canonice, constatând z din fiecare ecuație și echivalând valorile rezultate:

.

Din ecuații generale(3.2) poate fi trecută la canonic într-un alt mod, dacă găsim orice punct al acestei drepte și vectorul ei de direcție n= [n 1 , n 2], unde n 1 (A 1, B 1, C 1) și n 2 (A 2 , B 2 , C 2 ) - vectori normali ai planurilor date. Dacă unul dintre numitori m, n sau rîn ecuațiile (3.4) se dovedește a fi egal cu zero, atunci numărătorul fracției corespunzătoare trebuie setat egal cu zero, adică. sistem

este echivalent cu sistemul ; o astfel de linie dreaptă este perpendiculară pe axa Ox.

Sistem este echivalent cu sistemul x = x 1, y = y 1; linia dreaptă este paralelă cu axa Oz.

Fiecare ecuație de gradul I în raport cu coordonatele x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3,1)

definește un plan și invers: orice plan poate fi reprezentat prin ecuația (3.1), care se numește ecuația plană.

Vector n(A, B, C) ortogonală la plan se numește vector normal avion. În ecuația (3.1), coeficienții A, B, C nu sunt egali cu 0 în același timp.

Cazuri speciale ale ecuației (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - planul trece prin origine.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - planul este paralel cu axa Oz.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - planul trece prin axa Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - planul este paralel cu planul Oyz.

Ecuații ale planurilor de coordonate: x = 0, y = 0, z = 0.

O linie dreaptă poate aparține sau nu unui plan. Aparține unui plan dacă cel puțin două dintre punctele sale se află pe plan.

Dacă o dreaptă nu aparține planului, aceasta poate fi paralelă cu aceasta sau o poate intersecta.

O linie este paralelă cu un plan dacă este paralelă cu o altă dreaptă situată în acel plan.

O linie dreaptă poate intersecta un plan sub unghiuri diferiteși, în special, să fie perpendicular pe acesta.

Un punct în raport cu planul poate fi situat în felul următor: îi aparțin sau nu îi aparține. Un punct aparține unui plan dacă este situat pe o dreaptă situată în acest plan.

În spațiu, două linii se pot intersecta, fie paralele sau încrucișate.

Paralelismul segmentelor de dreaptă se păstrează în proiecții.

Dacă liniile se intersectează, atunci punctele de intersecție ale proiecțiilor lor cu același nume sunt pe aceeași linie de legătură.

Liniile de trecere nu aparțin aceluiași plan, adică. nu se intersectează sau paralel.

în desen, proiecțiile liniilor cu același nume, luate separat, au caracteristicile unor linii de intersectare sau paralele.

Elipsă. O elipsă este un loc geometric al punctelor pentru care suma distanțelor până la două puncte fixe (focare) este aceeași valoare constantă pentru toate punctele elipsei (această valoare constantă trebuie să fie mai mare decât distanța dintre focare).

Cea mai simplă ecuație a unei elipse

Unde o- semiaxa mare a elipsei, b- semiaxa mică a elipsei. Daca 2 c- distanta intre focus, apoi intre o, bŞi c(Dacă o > b) există o relație

o 2 - b 2 = c 2 .

Excentricitatea unei elipse este raportul dintre distanța dintre focarele acestei elipse și lungimea axei sale principale.

Elipsa are excentricitate e < 1 (так как c < o), iar focarele sale se află pe axa majoră.

Ecuația hiperbolei prezentată în figură.

Parametri:
a, b – semiaxele;
- distanta dintre focus,
- excentricitate;
- asimptote;
- directoare.
Dreptunghiul prezentat în centrul imaginii este dreptunghiul principal; diagonalele sale sunt asimptote.