Compararea valorilor a două mărimi. Valori relative
Subiectul lecției: Mai mult sau mai puțin? Cât timp?
Scopul lecției : Formarea ideilor inițiale despre legătura dintre operațiile aritmetice și numere crescătoare/descrescătoare în egalități.
Sarcini :
Sistematizați cunoștințele copiilor despre compoziția primelor zece numere.
Învață să modelezi compoziția numerelor folosind carduri.
Fă-ți o idee despre legătura dintre adunare și creștere și scădere cu scăderea numărului.
Îmbunătățiți capacitatea de a modela starea unei probleme pentru soluția ulterioară a acesteia.
Dezvoltați capacitatea de a face alegeri conștiente operație aritmetică la rezolvarea problemelor.
Pentru a promova dezvoltarea capacității de a observa, de a vedea tipare și de a trage concluzii.
Încurajați dorința de a coopera cu tovarășii atunci când lucrați în perechi.
Dezvoltați capacitatea de a compara informațiile prezentate în diferite tipuri: text, desen, diagramă, expresie numerică.
Îmbunătățiți abilitățile de autocontrol.
Dezvoltați capacitatea de a vă asculta partenerul.
Echipament: manual Matematica clasa I, registrul de lucru matematică clasa I, un set de numere demonstrative magnetice de la 1 la 10, semne demonstrative magnetice „+” și „=”, fișă „mănuși” cu numere de la 1 la 9 și egalități, un set de cartonașe cu numere de la 1 la 9 pt. fiecare copil laptop, proiect, carduri de semnalizare în roșu și albastru.
Planul de lecție.
Etapa de actualizare a cunoștințelor.
Moment organizatoric 1 min.
„Însuflețirea” experienței studenților pentru a crea o „situație de succes” 5 min.
Actualizarea cunoștințelor de bază 2 min.
Munca diferentiata 5 min.
Crearea unei situații problematice 1 min.
Etapa de familiarizare cu material nou.
Soluţie situații problematice cu comentariile profesorului 7 min.
Etapa operațională și executivă.
Lucrați în subgrupe 4 min.
Etapa de dezvoltare a aptitudinilor.
Aplicarea cunoștințelor dobândite în activități independente 4 min.
Lucrați în perechi 1 min.
Etapa de reflecție 2 min.
Rezumatul lecției.
Etapa lecției
Sarcini de scenă
Activitățile profesorului
Forme de organizare a activităţilor studenţeşti
Munca diferentiata
Feedback
Rezultatul prognozat
1. Etapa de actualizare a cunoștințelor
moment organizatoric
Pregătește copiii pentru muncă activă
Apelul ne-a dat un semnal:
A venit timpul să lucrăm.
Deci, să nu pierdem timpul
Și începem să lucrăm.Să mergem într-o excursie,Ne vom găsi într-o pădure minunată.
Frontal
Atragerea atenției copiilor asupra lecției.
Aducerea experienței studenților la viață
Sistematizați cunoștințele copiilor și încurajați-i să lucreze activ.
De Revelion, nu numai oamenii, ci și locuitorii pădurii se pregătesc de sărbătoare. Și astăzi vom vizita o pădure de zâne. Moș Crăciun a avut grijă ca și animalele să aibă vacanță. Uite, brazii de Crăciun sunt deja cu ghirlande, dar luminile de pe ei nu ard. Pentru ca acestea să se aprindă, trebuie să selectați corect numerele care se adună la numărul de pe fiecare brad de Crăciun. (6,7,8,9,10)
Frontal
Copiii care lucrează cu cartonașe, răspunsurile elevilor, analiza reciprocă a opțiunilor de răspuns
Crearea interesului și a unei atitudini pozitive.
Ei vor consolida și sistematiza cunoștințele despre compoziția numerelor.
Actualizarea cunoștințelor de bază.
Să revigoreze și să sistematizeze abilitățile copiilor în efectuarea operațiilor de calcul cu numere în 10.
Brazii de Crăciun sunt gata, dar nu sunt destule jucării, nici Moș Crăciun nu a uitat de asta. Le-a pregătit jucării. 5 bile roșii și 7 albastre. Ce mingi sunt mai multe? Ce este mai mare decât 5 sau 7? Cât este mai mult 5 decât 7?
Frontal
După gradul de asistență, conducând la răspunsurile corecte.
Analiza reciprocă a opțiunilor de răspuns.
Abilitatea de a compara numere, de a efectua adunări și scăderi pe baza cunoașterii compoziției numărului.
Munca diferentiata
Capacitatea de a modela condițiile unei probleme pentru rezolvarea ei ulterioară, capacitatea de a alege în mod conștient o operație aritmetică la rezolvarea problemelor.
Copiii își planifică propriile activități. Diferenţierea conţinutului sarcinilor educaţionale se organizează în funcţie de nivelul de dificultate. Pentru grupele 3 și 2 - veverițe și iepurași, se folosește o metodă de căutare parțială. Pentru copiii din grupa 1 cu nivel scăzut capacitatea de învățare folosește o sarcină reproductivă. Caracter activitate cognitivă la copiii din grupa 1 - reproductivă, la copiii din grupa a 2-a și a 3-a - productivă
Toată lumea așteaptă cadouri de sărbătoare. Moș Crăciun nu știe de câte cadouri are nevoie.
Demonstrarea condițiilor de problemă pe ecran.
"Pe Vacanta de Anul Nou Au venit 7 iepurași și apoi încă 2 câți animale au venit în vacanță?”
Subgrupa 1: reprezentarea independentă a diagramei problemei și întocmirea ecuației acesteia.
Subgrupa 2: asistență în realizarea diagramei și întocmirea independentă a ecuațiilor.
Subgrupa 3: redactarea diagramelor și ecuațiilor împreună cu profesorul.
Subgrup
După gradul de dificultate.
Întocmirea unei diagrame a problemei și a ecuațiilor pentru aceasta într-un caiet, răspunsurile copiilor, lucru la tablă.
Ei exersează modalități de a întocmi diagrame și ecuații pentru o problemă.
Lecție de educație fizică „Amintiți-vă și arătați”.
Dacă arăt un număr par, atunci trebuie să te ghemuiești de atâtea ori cât numărul pe care l-am arătat, iar dacă sun un număr impar, sarcina ta este să dai atâtea palme peste cap câte numărul pe care l-am arătat.
Crearea unei situații problematice.
Acceptarea și formularea sarcinilor copiilor.
O altă sarcină este afișată pe ecran
„La început au fost 7 iepurași la festival, apoi au fost 9. Câte animale au mai devenit acolo la festival?”
Este schema noastră potrivită pentru această problemă?
Ce lipsește din schema noastră?
Ce știm despre problemă?
Care este întrebarea?
De ce schema noastră nu este potrivită pentru această problemă?
Frontal.
Formularea comună a problemei Răspunsurile copiilor.
Acceptarea problemei de către copii.
2. Etapa de familiarizare cu material nou.
Rezolvarea situațiilor problematice cu comentariile profesorului
Rezolvarea și concluzia problemelor în colaborare.
Dezvoltare operatii mentale, formarea si dezvoltarea operatiilor logice
În timpul discuției, elevii ajung la concluzia că este nevoie de o diagramă diferită și o descriu pe baza condițiilor problemei.
Băieți, uite, acum vedem câți iepurași au venit la început și câți au fost mai târziu.
Cum putem arăta pe diagramă câte animale mai sunt?
Vom tăia numărul de animale care au provenit numărul total animalelor. Profesorul demonstrează acest lucru pe diagramă prin tăierea a 7 cercuri.
Câte cercuri au mai rămas?
Cum am obținut numărul 2?
Suntem din Mai mult scade cu atât mai puțin.
Concluzie: pentru a afla cât de mult este un număr mai mare decât altul, trebuie să scazi numărul mai mic din numărul mai mare. Această afirmație este însoțită de gesturi schematice.
Individual și frontal
Răspunsurile copiilor, lucrul cu diagrama și egalitatea în caiet.
Corelați cunoștințele dvs. cu material nou
Minut de educație fizică.
Sesiune de educație fizică interactivă muzicală și dinamică folosind instalația multimedia „Fun Exercise”.
3. Etapa operațională și executivă
Lucrați în subgrupe
Crearea unei oportunitati de a-și exprima punctul de vedere, capacitatea de a lucra într-un subgrup, dezvoltarea abilităților de comunicare
Lucrul cu fișe folosind „mănuși”.
Băieți, toți iepurașii au nevoie de mănuși pentru a rămâne cald, să-i ajutăm să aleagă o pereche.
Pe mănuși există egalități la care trebuie să selectați numărul necesar.
Controlul se exercită prin prezentarea de către echipe a rezultatelor muncii. Pe mănușile suplimentare rămase se compară numerele și se află cât de mult un număr este mai mare sau mai mic decât celălalt. Răspunsul fiecărui subgrup este evaluat de alte subgrupuri folosind un card de semnalizare.
Grup
Răspunsurile copiilor
Ei exersează rezolvarea egalităților bazate pe cunoașterea compoziției numerelor și pe compararea numerelor.
4. Etapa de dezvoltare a aptitudinilor.
Aplicarea cunoștințelor dobândite în activități independente
Sistematizarea ideilor despre legătura dintre adunare și creștere și scădere cu scăderea numărului.
Lucrul cu manualul.
Băieți, uite, trebuie să punem semne< sau> .
Prima egalitate se discută împreună, cele ulterioare sunt finalizate de către elevi în mod independent.
Grup, pereche, individual.
Dupa gradul de asistenta.
Răspunsurile copiilor, lucrați în caiete, lucrați în perechi.
Îmbunătățirea abilităților de comparare a numerelor.
Lucrați în perechi.
Lucrul în perechi contribuie la dezvoltarea abilităților de comunicare și, de asemenea, creează o situație de succes pentru elevii slabi și moderat slabi care se simt și ei importanți. Băieții au ocazia să-și demonstreze unii altora corectitudinea deciziei.
Băieți, acum voi și vecinul dvs. faceți schimb de caiete și haideți să verificăm dacă ați finalizat sarcina corect.
Baia de aburi
După gradul de asistență
Abilitatea de a lucra în perechi
Îmbunătățirea abilităților de a compara numere și de a plasa semne> Şi< .
5. Etapa de reflecție.
Elevii își evaluează munca în stăpânirea noului material și munca lor generală în lecție.
Băieți, acum marcați pe traseul nostru cum ați învățat să comparați două numere. Cei care înțeleg și acum știu să facă asta - pune * în vârful pistei, cei care mai au dificultăți - la mijloc. Pentru cei cărora le este greu și încă mai trebuie să învețe.
Și folosește o emoticon pentru a indica atitudinea ta față de lecție. Dacă lucrați activ și erați interesat, atunci zâmbește.
Și dacă a fost dificil și neclar pentru tine, atunci tristețe.
Frontal.
Capacitatea de a reflecta.
Ei realizează că schema problemei depinde de condiția declarată și sunt aprobați metoda de comparare a două numere.
Valery Galasyuk– Academician al Academiei de Științe Economice din Ucraina, director general firma de audit „COWPERWOOD” (Dnepropetrovsk), membru al Prezidiului Consiliului Uniunii Auditorilor din Ucraina, membru al Camerei de Audit a Ucrainei, președinte al comisiei de audit a Societății Ucrainene a Evaluatorilor, vicepreședinte al Consiliului Asociația Contribuabililor din Ucraina, vicepreședinte al Comisiei pentru evaluarea eficienței activităților de investiții ale Societății Ucrainene a Analiştilor Financiari, evaluator principal al Societății Ucrainene a Evaluatorilor
Victor Galasyuk– Director al Departamentului de Consultanță în Credit al firmei de informare și consultanță „INCON-CENTER” (grup de consultanță „COWPERWOOD”), Master of Business Economics, laureat al concursurilor pentru tineri evaluatori al Societății Ucrainene a Evaluatorilor
Matematica este singura metodă perfectă
lăsându-se păcălit de nas
Einstein
Treaba mea este să spun adevărul, nu să te fac să crezi.
Rousseau
Acest articol este dedicat problema fundamentala, apărute în procesul de comparare numerică a mărimilor. Esența acestei probleme este că în anumite condiții diverse moduri compararea numerică a acelorași mărimi înregistrează grade diferite ale inegalității lor. Unicitatea acestei probleme constă nu atât în faptul că nu a fost încă rezolvată, deși s-ar părea că procedurile de comparare numerică au fost temeinic studiate și nu ridică întrebări nici măcar în rândul școlarilor, ci în faptul că a încă nu a fost reflectată corespunzător în conștiința publică și, mai important, în activitățile practice.
După cum știți, puteți compara numeric două cantități fie răspunzând la întrebarea „Cât este o cantitate mai mare decât cealaltă?”, fie răspunzând la întrebarea „De câte ori este o cantitate mai mare decât cealaltă?” Adică, pentru a compara numeric două mărimi, trebuie fie să scădeți una din cealaltă () fie să împărțiți una la alta (). În plus, după cum au arătat cercetările, există doar două tipuri inițiale de criterii pentru compararea numerică a cantităților: și , și niciunul dintre ele nu are dreptul exclusiv de a exista.
Există doar 13 opțiuni calitativ diferite pentru relația pe axa numerică a valorilor celor două mărimi comparate X și Y (vezi Fig. 1).
Când se compară două valori X și Y pe baza criteriului de comparație cu orice variantă a relației lor pe axa numerelor nu apar probleme. La urma urmei, indiferent de valorile lui X și Y, criteriul de comparație caracterizează în mod unic distanța dintre punctele X și Y de pe axa numerică.
În același timp, utilizarea unui criteriu de comparație pentru compararea valorilor lui X și Y în unele cazuri ale relației lor pe axa numerelor poate duce la probleme, deoarece în aceste cazuri valorile valorilor lui X și Y pot avea un impact semnificativ asupra comparației rezultate. De exemplu, când se compară valorile 0,0100000001 și 0,0000000001, corespunzătoare opțiunii 5 de pe „Rozariul Galasyuk”, utilizarea criteriului de comparare arată că primul număr este mai mare decât al doilea cu 0,01, iar utilizarea criteriului de comparare arată că primul număr este cu 100 mai mult decât al doilea de 000 001 de ori. Astfel, cu un anumit raport al valorilor comparate pe axa numerică, criteriul de comparare indică grad ușor de inegalitate valorile comparate ale lui X și Y, iar criteriul de comparație indică.
grad semnificativ de inegalitate
1 000 000 000 000, corespunzătoare aceleiași opțiuni 5 pe „rozariul Galasyuk”, utilizarea criteriului de comparare arată că primul număr este mai mare decât al doilea cu 100, iar utilizarea criteriului de comparație arată că primul număr este aproximativ egală cu al doilea, deoarece este mai mare decât al doilea număr de 1,0000000001 ori. Astfel, cu un anumit raport al valorilor comparate pe axa numerică, criteriul de comparare indică grad semnificativ de inegalitate valorile comparate ale lui X și Y, iar criteriul de comparație indică gradul nesemnificativ al inegalității lor.
Deoarece problema discutată în acest articol apare numai atunci când se utilizează criteriul de comparație, atunci pentru a o studia vom lua în considerare compararea a două cantități mŞi n pe baza criteriului de comparare. Pentru a compara aceste valori, împărțim m pe n: .
Analiza rezultatelor compararii valorilor mŞi n se va desfășura în două etape: în prima, vom lua numitorul raportului neschimbat - cantitatea n, pe al doilea numărător - valoarea m(vezi fig. 2).
Pentru a efectua prima etapă a analizei, vom reprezenta grafic dependența raportului de valoare m(vezi Fig. 3), trebuie remarcat că atunci când n=0 relația nu este definită.
După cum se poate observa în Figura 3, dacă n=const, n¹0, atunci pentru |m|→∞ raportul | |→∞, iar pentru |m|→0 relația | |→0.
Pentru a efectua a doua etapă a analizei, vom reprezenta grafic dependența raportului de valoare n(vezi Fig. 4), trebuie remarcat că atunci când n=0 relația nu este definită.
După cum se poate observa în Figura 4, dacă m=const, m¹0, n¹0, atunci pentru |n|→∞ relația | |→0, iar pentru |n|→0 relația | |→∞. n Trebuie remarcat faptul că, pe măsură ce valorile lui | n| modificări egale | n| implică schimbări tot mai mici de atitudine | |. Și pe măsură ce valorile se apropie de zero | n| modificări egale |
| implică schimbări tot mai mari de atitudini | |.
După ce au rezumat rezultatele etapelor I și II ale analizei, le prezentăm sub forma următorului tabel, incluzând și rezultatele analizei comparative pe baza tipului inițial de criterii (vezi Tabelul 1). Situațiile în care X=0 și Y=0 nu sunt luate în considerare aici. Sperăm să le analizăm pe viitor.
Tabelul 1Rezultate generalizate ale analizei de comparare a valorilorXŞi
Y
(Rezultate generalizate ale analizei de comparare a valorilor¹ pe baza a două tipuri originale de criterii de comparareŞi¹ 0)
|
0 și 7. Galasyuk V.V. Câte tipuri de criterii inițiale ar trebui să existe? eficienta economica costuri: unu, doi, trei...?//Bursa.-2000.-Nr.3.-P.39-42. 9. Poincare Henri. Despre știință: Per. din franceză-M.-Science. 20.10.2002 |
[email protected] Valoare relativă – este rezultatul împărțirii (comparării) a două valori absolute. Numătorul fracției conține valoarea care este comparată, iar numitorul conține valoarea cu care este comparată (baza de comparație). De exemplu, dacă comparăm valorile exporturilor Statelor Unite și Rusiei, care în 2005 s-au ridicat la 904,383 și, respectiv, 243,569 miliarde de dolari, atunci valoarea relativă va arăta că valoarea exporturilor americane este de 3,71 ori (904.383/243.569). ) mai mare decât exporturile rusești, în timp ce comparația de bază este valoarea exporturilor rusești. Valoarea relativă rezultată este exprimată ca coeficient , care arată de câte ori valoarea absolută comparată este mai mare decât valoarea de bază. În acest exemplu, baza de comparație este considerată una. Dacă baza este considerată 100, valoarea relativă este exprimată în (% la sută ), dacă pentru 1000 – in (‰ ppm
). Alegerea unei forme sau alteia unei marimi relative depinde de valoarea sa absoluta:
– dacă valoarea comparată este de 2 ori sau mai mare decât baza de comparație, atunci alegeți forma coeficientului (ca în exemplul de mai sus);
– dacă valoarea relativă este aproape de unitate, atunci, de regulă, este exprimată ca procent (de exemplu, comparând valorile exporturilor rusești în 2006 și 2005, care s-au ridicat la 304,5 și, respectiv, 243,6 miliarde de dolari, putem spune că exporturile în 2006 reprezintă 125% din 2005); ‰ – dacă valoarea relativă este semnificativ mai mică de unu (aproape de zero), aceasta este exprimată în ppm (de exemplu, în 2004, Rusia a exportat doar 4142 mii tone de produse petroliere în țările CSI, inclusiv 10,7 mii tone în Georgia, ceea ce reprezintă 0,0026 sau 2,6
din toate exporturile de produse petroliere către ţările CSI). Distinge valori relative dinamică, structură, coordonare, comparație și intensitate, denumite în continuare pentru concizie ca.
indici Indicele de dinamică
caracterizează schimbarea unui fenomen în timp. Reprezintă raportul dintre valorile aceleiași valori absolute în diferite perioade de timp. Acest indice este determinat de formula (2):
Valoarea de criteriu a indicelui de dinamică este una (sau 100%), adică dacă >1, atunci există o creștere (creștere) a fenomenului în timp; dacă =1 – stabilitate; Dacă<1 – наблюдается спад (уменьшение) явления. Еще одно название индекса динамики – modificarea indicelui, scăzând unul (100%) din care obținem rata de schimbare (dinamica) cu o valoare de criteriu de 0, care este determinată de formula (3):
Dacă T>0, atunci are loc o creștere a fenomenului; T=0 – stabilitate, T<0 – спад.
În exemplul discutat mai sus despre exporturile rusești în 2006 și 2005, indicele de dinamică a fost calculat folosind formula (2): eu D= 304,5/243,6*100% = 125%, care este mai mult decât valoarea criteriului de 100%, ceea ce indică o creștere a exporturilor. Folosind formula (3) obținem rata de schimbare: T= 125% – 100% = 25%, ceea ce arată că exporturile au crescut cu 25%.
Varietățile indicelui de dinamică sunt indicii sarcinii planificate și implementării planului, calculate pentru planificarea diferitelor cantități și monitorizarea implementării acestora.
Programează indexul sarcinilor– acesta este raportul dintre valoarea planificată a atributului și valoarea de bază. Se determină prin formula (4):
Unde X' 1– valoarea planificată; X 0– valoarea de bază a atributului.
De exemplu, departamentul vamal a transferat 160 de miliarde de ruble la bugetul federal în 2006, iar anul următor au planificat să transfere 200 de miliarde de ruble, ceea ce înseamnă conform formulei (4): i pz= 200/160 = 1,25, adică ținta pentru departamentul vamal pentru anul 2007 este de 125% față de anul precedent.
Pentru a determina procentul de finalizare a planului, este necesar să se calculeze indicele de execuție a planului, adică raportul dintre valoarea observată a atributului și valoarea planificată (optimă, maximă posibilă) conform formulei (5):
De exemplu, pentru ianuarie-noiembrie 2006, autoritățile vamale au planificat să transfere 1.955 trilioane la bugetul federal. ruble, dar a transferat de fapt 2,59 trilioane. frecare, apoi conform formulei (5): eu VP= 2,59/1,955 = 1,325, sau 132,5%, adică sarcina planificată a fost finalizată cu 132,5%.
Indicele de structură (cota) este relația oricărei părți a unui obiect (mult) cu întregul obiect. Se determină prin formula (6):
În exemplul discutat mai sus despre exportul de produse petroliere către țările CSI, ponderea acestui export către Georgia a fost calculată folosind formula (6): d=10,7/4142 = 0,0026 sau 2,6 ‰ .
Indicele de coordonare- aceasta este relația oricărei părți a unui obiect cu o altă parte a acestuia, luată ca bază (bază de comparație). Se determină prin formula (7):
De exemplu, importurile Rusiei în 2006 s-au ridicat la 163,9 miliarde USD, apoi, comparându-l cu exporturile (bază de comparație), calculăm indicele de coordonare folosind formula (7): eu K= 163,9/304,5 = 0,538, ceea ce arată relația dintre cele două componente ale cifrei de afaceri din comerțul exterior, adică valoarea importurilor rusești în 2006 a fost de 53,8% din valoarea exporturilor. Schimbând baza de comparație în import, folosind aceeași formulă obținem: eu K= 304,5/163,9 = 1,858, adică exporturile Rusiei în 2006 sunt de 1.858 de ori mai mari decât importurile, sau exporturile reprezintă 185,8% din importuri.
Indicele de comparație– aceasta este o comparație (corelare) a diferitelor obiecte după aceleași caracteristici. Se determină prin formula (8):
Unde O, B– obiectele care se compară.
În exemplul discutat mai sus, în care au fost comparate valorile de export ale Statelor Unite și ale Rusiei, indicele de comparație a fost calculat folosind formula (8): eu s= 904,383/243,569 = 3,71. Schimbând baza de comparație (adică exporturile rusești sunt obiectul A, iar exporturile SUA sunt obiectul B), folosind aceeași formulă obținem: eu s= 243,569/904,383 = 0,27, adică exporturile rusești reprezintă 27% din exporturile SUA.
Indicele de intensitate- aceasta este relația dintre diferitele caracteristici ale unui obiect. Se determină prin formula (9):
Unde Rezultate generalizate ale analizei de comparare a valorilor– un semn al unui obiect; Şi– un alt semn al aceluiași obiect
De exemplu, indicatorii producției de produs pe unitatea de timp de lucru, costurile pe unitatea de producție, prețurile unitare etc.
Din cele mai vechi timpuri, oamenii au fost serios interesați de întrebarea cum să compare cel mai bine cantitățile exprimate în valori diferite. Și aceasta nu este doar o chestiune de curiozitate naturală. Oamenii celor mai vechi civilizații pământești au acordat acestei chestiuni destul de dificile o semnificație pur practică. Măsurarea corectă a terenului, determinarea greutății produsului pe piață, calcularea raportului necesar de mărfuri în timpul barterului, determinarea ratei corecte de struguri la prepararea vinului - acestea sunt doar câteva dintre sarcinile care au apărut adesea în viața deja dificilă. a strămoșilor noștri. Prin urmare, oamenii slab educați și analfabeți, atunci când era necesar să se compare valorile, mergeau după sfaturi la tovarășii lor mai experimentați și, deseori, luau mită adecvată pentru un astfel de serviciu și, de altfel, una destul de bună.
Ce se poate compara
În zilele noastre, această activitate joacă un rol semnificativ și în procesul de studiere a științelor exacte. Toată lumea, desigur, știe că este necesar să se compare cantități omogene, adică mere cu mere și sfeclă cu sfeclă. Nimănui nu i-ar trece prin cap să încerce să exprime grade Celsius în kilometri sau kilograme în decibeli, dar știm lungimea unui boa constrictor la papagali încă din copilărie (pentru cei care nu-și amintesc: într-un boa constrictor sunt 38 de papagali ). Deși și papagalii sunt diferiți și, de fapt, lungimea boa constrictor va varia în funcție de subspecia papagalului, dar acestea sunt detalii pe care vom încerca să le dăm seama.
Dimensiuni
Când sarcina spune: „Comparați valorile cantităților”, este necesar să aduceți aceleași cantități la același numitor, adică să le exprimați în aceleași valori pentru ușurință de comparare. Este clar că pentru mulți dintre noi nu este dificil să comparăm valoarea exprimată în kilograme cu valoarea exprimată în cenți sau tone. Există însă mărimi omogene care pot fi exprimate în diferite dimensiuni și, mai mult, în diferite sisteme de măsurare. Încercați, de exemplu, să comparați valorile vâscozității cinematice și să determinați care dintre lichide este mai vâscos în centistokes și metri pătrați pe secundă. Nu merge? Și nu va funcționa. Pentru a face acest lucru, trebuie să reflectați ambele valori în aceleași cantități și, deja, prin valoarea numerică, determinați care dintre ele este superior adversarului.
Sistem de măsurare
Pentru a înțelege ce mărimi pot fi comparate, să încercăm să reamintim sistemele de măsurare existente. Pentru a optimiza și accelera procesele de decontare, în 1875, șaptesprezece țări (inclusiv Rusia, SUA, Germania etc.) au semnat convenția metrică și au definit sistemul metric de măsuri. Pentru a dezvolta și consolida standardele metrului și kilogramului, a fost înființat Comitetul Internațional de Greutăți și Măsuri, iar Biroul Internațional de Greutăți și Măsuri a fost înființat la Paris. Acest sistem a evoluat de-a lungul timpului în Sistemul Internațional de Unități, SI. În prezent, acest sistem este adoptat de majoritatea țărilor din domeniul calculelor tehnice, inclusiv de acele țări în care cele naționale sunt utilizate în mod tradițional în viața de zi cu zi (de exemplu, SUA și Anglia).
GHS
Cu toate acestea, în paralel cu standardul general acceptat de standarde, s-a dezvoltat și un alt sistem GHS, mai puțin convenabil (centimetru-gram-secundă). A fost propusă în 1832 de către fizicianul german Gauss, iar modernizată în 1874 de Maxwell și Thompson, în principal în domeniul electrodinamicii. În 1889, a fost propus un sistem ISS mai convenabil (metru-kilogram-secundă). Compararea obiectelor în funcție de valorile standard de metru și kilogram este mult mai convenabilă pentru ingineri decât utilizarea derivatelor lor (centi-, mili-, deci- etc.). Cu toate acestea, acest concept nu a găsit un răspuns masiv în inimile celor cărora le-a fost destinat. A fost dezvoltat și utilizat în mod activ în întreaga lume, astfel încât calculele în GHS au fost efectuate din ce în ce mai rar, iar după 1960, odată cu introducerea sistemului SI, GHS aproape că a căzut complet din uz. În prezent, GHS este de fapt folosit în practică doar în calcule în mecanică teoretică și astrofizică, iar apoi din cauza formei mai simple de înregistrare a legilor electromagnetismului.
Instrucțiuni pas cu pas
Să ne uităm la un exemplu în detaliu. Să presupunem că sarcina sună așa: „Comparați valorile de 25 de tone și 19570 kg Care este mai mare?” Primul lucru pe care trebuie să-l facem este să stabilim în ce cantități sunt date valorile noastre. Deci, prima valoare este dată în tone, iar a doua în kilograme. La al doilea pas, verificăm dacă autorii problemei nu încearcă să ne inducă în eroare încercând să ne obligă să comparăm cantități diferite. Există și astfel de sarcini de capcană, mai ales în testele rapide, în care vi se acordă 20-30 de secunde pentru a răspunde la fiecare întrebare. După cum vedem, valorile sunt omogene: măsurăm masa și greutatea corpului atât în kilograme, cât și în tone, așa că al doilea test a trecut cu un rezultat pozitiv. Al treilea pas este convertirea kilogramelor în tone sau, dimpotrivă, a tonelor în kilograme pentru a facilita compararea. În prima variantă rezultă 25 și 19,57 de tone, iar în a doua: 25.000 și 19.570 de kilograme. Și acum puteți compara mărimile acestor valori cu liniște sufletească. După cum se poate observa clar, prima valoare (25 t) în ambele cazuri este mai mare decât a doua (19.570 kg).
Capcane
După cum am menționat mai sus, testele moderne conțin o mulțime de sarcini de înșelăciune. Acestea nu sunt neapărat sarcinile pe care le-am analizat, o întrebare destul de inofensivă se poate dovedi a fi o capcană, mai ales una care sugerează un răspuns complet logic. Cu toate acestea, insidiositatea, de regulă, constă în detaliile sau într-o mică nuanță pe care scriitorii sarcinii încearcă să le mascheze în toate modurile posibile. De exemplu, în loc de întrebarea deja familiară pentru dvs. din sarcinile analizate: „Comparați valorile acolo unde este posibil”, autorii testului vă pot cere pur și simplu să comparați valorile specificate și să alegeți ei înșiși valorile care sunt uimitor de similare. unul la altul. De exemplu, kg*m/s 2 și m/s 2. În primul caz, aceasta este forța care acționează asupra obiectului (newtoni), iar în al doilea, este accelerația corpului, sau m/s 2 și m/s, unde vi se cere să comparați accelerația cu viteza corpului, adică cantități complet diferite.
Comparații complexe
Cu toate acestea, foarte des în sarcini sunt date două valori, exprimate nu numai în unități de măsură diferite și în sisteme de calcul diferite, ci și diferite unele de altele în sensul fizic specific. De exemplu, declarația problemei spune: „Comparați valorile vâscozităților dinamice și cinematice și determinați care fluid este mai vâscos”. În acest caz, valorile sunt indicate în unități SI, adică în m 2 / s, și dinamice - în CGS, adică în poises. Ce să faci în acest caz?
Pentru a rezolva astfel de probleme, puteți folosi instrucțiunile prezentate mai sus cu un mic adaos. Noi decidem în ce sistem vom lucra: să fie general acceptat în rândul inginerilor. În al doilea pas, verificăm și dacă aceasta este o capcană? Dar și în acest exemplu, totul este curat. Comparăm două lichide pe baza parametrului de frecare internă (vâscozitate), deci ambele cantități sunt omogene. Al treilea pas este convertirea de la poises la pascal secunde, adică la unități SI general acceptate. În continuare, transformăm vâscozitatea cinematică în vâscozitate dinamică, înmulțind-o cu valoarea corespunzătoare a densității lichidului (valoare tabelară) și comparăm rezultatele obținute.
În afara sistemului
Există și unități de măsură nesistemice, adică unități care nu sunt incluse în SI, dar conform rezultatelor hotărârilor reunirii Conferinței Generale pentru Greutăți și Măsuri (GCWM), acceptabile pentru utilizare în comun cu SI. Astfel de cantități pot fi comparate între ele numai atunci când sunt reduse la forma lor generală în standardul SI. Unitățile non-sistemice includ unități precum minut, oră, zi, litru, electron-volt, nod, hectar, bar, angstrom și multe altele.
În primul rând, să luăm în considerare problema comparării unei mărimi măsurate într-un experiment cu o constantă a. Valoarea poate fi determinată doar aproximativ prin calcularea mediei măsurătorilor. Trebuie să aflăm dacă relația este valabilă. În acest caz, sunt puse două sarcini, directe și inverse:
a) folosind o valoare cunoscută, găsiți constanta a, pe care o depășește cu o probabilitate dată
b) găsiți probabilitatea ca , unde a este o constantă dată.
Evident, dacă atunci probabilitatea că este mai mică de 1/2. Acest caz nu prezintă interes și de acum înainte vom presupune că
Problema se rezumă la problemele discutate în paragraful 2. Fie X și standardul său să fie determinate din măsurători
Vom presupune că numărul de dimensiuni nu este foarte mic, astfel încât există o variabilă aleatoare cu o distribuție normală. Apoi, din criteriul lui Student (9), ținând cont de simetria distribuției normale, rezultă că pentru o probabilitate aleasă arbitrar condiția este îndeplinită
Presupunând că rescriem această expresie în următoarea formă:
unde sunt coeficienții Student specificați în Tabelul 23. Astfel, se rezolvă problema directă: se găsește o constantă a, care cu probabilitate depășește
Problema inversă se rezolvă folosind cea directă. Să rescriem formulele (23) după cum urmează:
Aceasta înseamnă că trebuie să calculați t din valorile cunoscute ale lui a, să selectați un rând cu datele din tabelul 23 - și să găsiți valoarea corespunzătoare din valoarea lui t. Determină probabilitatea dorită
Două variabile aleatorii. Este adesea necesar să se stabilească influența unui factor asupra valorii studiate - de exemplu, dacă (și cu cât) un anumit aditiv crește rezistența metalului. Pentru a face acest lucru, trebuie să măsurați rezistența metalului original și rezistența metalului aliat y și să comparați aceste două valori, adică să găsiți
Valorile comparate sunt aleatorii; Astfel, proprietățile unui anumit grad de metal variază de la căldură la căldură, deoarece materiile prime și modul de topire nu sunt strict aceleași. Să notăm aceste mărimi cu . Mărimea efectului studiat este egală și este necesar să se determine dacă condiția este îndeplinită
Astfel, problema a fost redusă la compararea variabilei aleatoare cu constanta a, discutată mai sus. Problemele de comparație directă și inversă în acest caz sunt formulate după cum urmează:
a) pe baza rezultatelor măsurătorilor, găsiți constanta a, pe care o depășește cu o probabilitate dată (adică, estimați amploarea efectului studiat);
b) determinați probabilitatea ca unde a este mărimea efectului dorit; aceasta înseamnă că este necesar să se determine probabilitatea cu care
Pentru a rezolva aceste probleme, este necesar să se calculeze z și dispersia acestei cantități. Să ne uităm la două moduri de a le găsi.
Măsurătorile independente. Să măsurăm mărimea în experimente și amploarea în experimente independent de primele experimente. Să calculăm valorile medii folosind formulele obișnuite:
Aceste medii sunt ele însele variabile aleatoare, iar standardele lor (care nu trebuie confundate cu standardele măsurătorilor unice!) sunt determinate aproximativ de estimări imparțiale:
Deoarece experimentele sunt independente, variabilele aleatoare x și y sunt, de asemenea, independente, deci atunci când se calculează așteptările lor matematice, ele sunt scăzute și varianțele sunt adăugate:
O estimare puțin mai precisă a varianței este:
Astfel, s-a găsit dispersia sa, iar calculele ulterioare sunt efectuate folosind formulele (23) sau (24).
Măsurători consistente. O precizie mai mare este atinsă printr-o altă metodă de procesare, atunci când în fiecare dintre experimente măsurăm simultan. De exemplu, după ce se eliberează jumătate din căldură, se adaugă un aditiv la metalul rămas în cuptor și apoi se compară mostre de metal din fiecare jumătate de căldură.
În acest caz, în esență, în fiecare experiment se măsoară o dată valoarea unei variabile aleatoare, care trebuie comparată cu constanta a. Măsurătorile sunt apoi procesate conform formulelor (21)-(24), unde z trebuie înlocuit peste tot.
Dispersia cu măsurători consistente va fi mai mică decât cu cele independente, deoarece se datorează doar unei părți a factorilor aleatori: acei factori care se modifică constant nu afectează răspândirea diferenței lor. Prin urmare, această metodă ne permite să obținem concluzii mai fiabile.
Exemplu. O ilustrare interesantă a comparării valorilor este determinarea câștigătorului în acele sporturi în care jurizarea se efectuează „cu ochi” - gimnastică, patinaj artistic etc.
Tabelul 24. Scorurile arbitrilor în puncte
Tabelul 24 prezintă protocolul pentru competițiile de dresaj de la Jocurile Olimpice din 1972. Se poate observa că răspândirea punctajelor arbitrilor este mare și nici un punctaj nu poate fi considerat extrem de eronat și eliminat. La prima vedere, se pare că fiabilitatea determinării câștigătorului este scăzută.
Să calculăm cât de corect este determinat câștigătorul, adică care este probabilitatea evenimentului. Deoarece ambii călăreți au fost marcați de aceiași arbitri, poate fi utilizată o metodă de măsurare consecventă. Folosind Tabelul 24, calculăm prin înlocuirea acestor valori în formula (24) și obținem .
Selectând rândul 23 din tabel, constatăm că această valoare t corespunde. Prin urmare, cu o probabilitate de 90%, medalia de aur a fost acordată corect.
O comparație independentă a măsurilor va produce un scor puțin mai slab, deoarece nu utilizează informațiile pe care aceiași judecători le-au dat punctajelor.
Comparația varianțelor. Să presupunem că doriți să comparați două tehnici experimentale. Evident, metoda mai precisă este cea în care varianța unei singure măsurători este mai mică (desigur, dacă aceasta nu crește eroarea sistematică). Aceasta înseamnă că trebuie să stabilim dacă inegalitatea este valabilă.