Matematica în Egiptul Antic: semne, numere, exemple.
Sistemul numeric egiptean nepozițional, care a fost folosit în Egiptul Antic, ne este introdus clar de puținele papirusuri supraviețuitoare. Exemplele de probleme și soluțiile lor sunt atât de interesante încât nu se poate decât să regrete că sunt atât de puține.
Din ele reiese clar că matematica și sistemul numeric egiptean erau strâns legate de nevoile economice și aplicare practică. În fiecare an, după viitura Nilului, clădirile trebuiau restaurate, terenurile trebuiau remarcate, suprafețele și limitele trebuiau calculate, trebuiau păstrate registrele de recoltă și calendarele.
Ce sunt sistemele numerice poziționale și nepoziționale?
Răspunsul este ascuns în numele însuși. Dacă poziția unei cifre afectează rezultatul calculelor, avem un sistem de numere pozițional, dacă nu, este un sistem non-pozițional;
Dacă scriem 12, acesta este doisprezece, iar cu aceleași numere, 21 este douăzeci și unu. Conform sistemului numeric egiptean: pentru a scrie 12, va trebui să utilizați simbolul unității de două ori și simbolul zece o dată, iar 21 va arăta ca un semn de unitate și două semne de zece, adică trebuie să scrieți trei semne în total .
Cele non-poziționale includ: sistemul roman familiar, în care numerele erau notate cu litere romane, sistemul slav, unde fiecare literă denota și un fel de cifră sau număr. Sistemul roman a făcut față funcțiilor sale în Europa de Vest până în secolul al XVI-lea.
Sistemul de numere pe care îl folosim este viata moderna- sistem zecimal pozițional.
Sistemele non-poziționale erau potrivite pentru simplu operatii aritmetice, deoarece calculele complexe au necesitat înregistrări greoaie, care nu au interferat cu dezvoltarea cu succes a algebrei și geometriei în Egiptul Antic.
Ce credeau egiptenii?
Care este sistemul de numere egiptean? Pentru a scrie un număr, hieroglifele au fost folosite pentru a indica anumite numere, a căror sumă a egalat valoarea dorită.
Au existat notații speciale pentru numerele 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000. La scrierea numărului necesar, fiecare notație a fost folosită de până la 9 ori. Sistemul numeric egiptean a fost scris în ordine crescătoare: mai întâi unități, apoi zeci, sute și așa mai departe.
Mai mult, de regulă, scriau de la dreapta la stânga, dar era posibil și de la stânga la dreapta, suma nu s-a schimbat. Se folosea și scrierea pe verticală, dar apoi se număra de sus în jos.
Au fost folosite două metode de scriere:
- Hieroglife, în care au fost folosite hieroglife acceptate.
- Hieratic, care era mai schematic și mai convenabil în practică.
Excursie în istorie
Istoria sistemului de numere egiptean datează din cele mai vechi timpuri, primele manuscrise cu numere datează din mileniul II î.Hr. Nu existau bani atunci, așa că sistemul a fost folosit atât pentru probleme matematice de o complexitate și măreție incredibile, cât și pentru rezolvarea problemelor cotidiene.
La urma urmei, cunoștințele de matematică au fost folosite în topografia terenurilor și în construirea de calendare, hărți în astronomie, navigație, în construcția de palate, canale și fortificații militare.
Sistemul egiptean de numere nepoziționale a fost folosit până în secolul al X-lea d.Hr.
Avea și o semnificație mistică, al cărei secret a fost luat cu ei de către preoți, dar a fost parțial dezvăluit lumii de către Pitagora. Are scrieri în care descrie semnificațiile simbolice date hieroglifelor digitale, pe care le-a scris după șederea sa în Egipt. Prin urmare, descrierea lor este atribuită sistemului de numere egiptean.
Au supraviețuit doar câteva papirusuri din acele vremuri, din care se poate înțelege că nivelul de matematică era ridicat. Se știe cu încredere că grecii au studiat matematica egipteană antică. Una dintre cunoștințele ascunse este sistemul egiptean de numere non-poziționale.
Papirusul Ahmes
Papirusul Ahmes datează din 1650 î.Hr., conținând 84 probleme de matematică. A fost găsit la Teba și este păstrat la British Museum.
Toate problemele din papirus sunt discutate la exemple concrete Sistemul de numere egiptean. Acestea prezintă exemple de calcule cu fracții, numere întregi, împărțiri și înmulțiri.
Se fac calcule pentru a găsi zone forme geometrice: patrulater, cerc, triunghi.
Informațiile din papirus demonstrează că matematicienii egipteni au știut să extragă rădăcini, să creeze progresii aritmetice și geometrice și ecuații cu necunoscute.
Fracții alicote
Este interesant că în calcule s-au folosit numai fracții alicote, în care numărătorul era egal cu unu și era desemnat printr-un astfel de semn, iar sub el au fost scrise valorile numitorului, iar toate celelalte fracții pentru calcule au avut mai întâi. pentru a fi descompuse în alicote. Dar fracțiile 2/3 și 3/4 au fost folosite și au avut o denumire specială.
Pentru a aduce fracțiile obișnuite în stare alicotă conform sistemului numeric egiptean, a fost necesar să muncim din greu:
4/5 = 16/20 = 10/20 + 5/20 + 1/20 = 1/2+1/4 + 1/20
2/5 = 1/5 + 1/5, 2/7 = 1/4 + 1/28
3/7 = 12/28 = 24/56 = 14/56+7/56+3/56 = 1/4+1/8+1/18+1/56.
S-au adăugat fracții într-un mod modern: reducere la un numitor comun, pentru multe valori au existat numeroase tabele gata făcute.
Multiplicare
Egiptenii au învățat rezultatul dorit fără să cunoască tabla înmulțirii, dar folosind cunoștințele că dacă un factor este dublat și celălalt este micșorat, rezultatul nu se va schimba:
32*13=16*26=8*52=4*104=2*208=1*416
Interesant este că această metodă de înmulțire era cunoscută în Rus’, și se credea că provine din Egiptul Antic, iar în Europa se numea rusă.
Papirus Golenishchev
Datorită eforturilor savantului egiptolog V.S Golenishchev, papirusul este păstrat la Moscova încă 200 de ani mai vechi decât papirusul scribul Ahmes. Omul de știință l-a cumpărat în timpul lucrului său la Teba.
A fost scrisă în stil hieratic, cu caractere cursive și examinează 25 de probleme, descriindu-le folosind sistemul numeric egiptean și oferind soluții. Lungimea sa este mai mare de 5 m și lățimea sa este de 7 cm Nu există comentarii cu privire la aceste probleme, ca în papirusul precedent, există doar calcule matematice.
Arată că egiptenii au putut să calculeze ariile unui triunghi, trapez, dreptunghi, cerc, precum și volumele unei piramide, prisme, paralelipiped, cilindru și trunchi de piramidă cu mare acuratețe și multe formule coincid complet cu cele moderne.
Folosind sistemul de numere egiptean, numărul „pi” a fost calculat ca 3,16, ceea ce aproape corespundea sens modern 3.14, deși în acele zile valoarea egală cu 3 era folosită peste tot în Est.
Toate lucrurile sunt numere
Se crede că Pitagora a trăit în Egipt timp de 22 de ani, studiind profund geometria, filosofia și misticismul numerelor. Acele descoperiri pe care școala pitagoreică le-a făcut mai târziu ar fi putut fi făcute în Egiptul Antic.
Prin urmare, se crede că lucrările lui Pitagora despre misticismul numerelor, pe care le-a scris mai târziu, se bazează pe cunoștințe secrete, primit de el de la preotii egipteni. Nu acceptau străini la antrenament el venea la ei prin înalt patronaj, după un interviu cu preotul cel mai mare, care îl considera demn de inițiat în secrete.
Numerele erau entități vii, reflectând proprietățile spațiului, muzicii și energiei. Totul poate fi exprimat prin matematică, descriind fenomene vizibile cu formule și prezicând pe cele invizibile, bazându-se pe logica și legile matematice.
Înălțimea, lățimea bazei și unghiul de înclinare ale piramidei Keops din Egipt corespund cu regula matematica construcția piramidei pitagoreice, care confirmă și relația dintre descoperirile pe care le-a făcut și cunoștințele primite de la preoții egipteni antici care foloseau sistemul numeric egiptean.
Lucrând cu numerele, gânditorii antici nu numai că au înțeles esența lucrurilor, ci au putut și să le influențeze.
Studiind matematica Egiptului Antic, folosind sistemul numeric egiptean, se poate doar admira cât de multe au fost dezvăluite oamenilor cu mii de ani înainte de epoca noastră.
Limba oficială a Egiptului modern este așa-numita arabă „înaltă”.Scrierea arabă, inclusiv scrierea dialectală, este scrisă și citită de la dreapta la stânga. Nu există nicăieri majuscule – chiar și în nume proprii și denumirile geografice. Dar atenție: numerele se scriu și se citesc de la stânga la dreapta. Dacă doriți să înțelegeți monedele și prețurile, este mai bine să învățați numerele arabe, și nu ceea ce obișnuiam să numim cifre arabe.
Un studiu mai detaliat al problemei arată că numerele noastre „arabe” sunt parțial, dar departe de a fi complet, derivate din cele reale. cifre arabe. Potrivit unor surse, numerele 2, 3, 7 au fost derivate din arabă prin rotirea lor cu 90 de grade pentru o mai mare ușurință a înregistrării. Dacă nu alegi prea mult, pare adevărul. Numerele 1 și 9 sunt, de asemenea, de origine arabă și nicio răsturnare nu le-a afectat ortografia. Într-adevăr, asemănările aici sunt evidente, ceea ce nu se poate spune despre 4, 5, 6 și 8.
Uneori se pare că simbolurile matematice sunt un instrument științific non-național, comun și uniform pentru toate țările și popoarele.
Cu toate acestea, numerele noastre „arabe” diferă, după cum ați înțeles deja, de numerele „arabe” din Egipt. Sistemul pozițional european pentru scrierea numerelor de la sus la jos, de la stânga la dreapta, nu este, de asemenea, singurul. În Orient, se folosește și un sistem de scriere a numerelor de la dreapta la stânga. În Egipt, numerele sunt scrise și citite de la stânga la dreapta, la fel ca aici.
Plăcuțele de înmatriculare ale mașinilor din Egipt cu cifre arabe reale.
Atât scrierea arabă, cât și cea latină sunt adesea folosite pe semnele rutiere și pe numele străzilor.
Alfabetul arab este alfabetul folosit pentru scriere arabicși (cel mai adesea sub formă modificată) alte limbi, în special persană și unele limbi turcice. Este format din 28 de litere și este folosit pentru a scrie de la dreapta la stânga. Alfabetul arab este derivat din alfabetul fenician prin încorporarea tuturor literelor sale și adăugarea acestora litere care reflectă sunete specific arabe. Aceste litere sunt sa, ha, zal, dad, for, gain.
Literele au patru poziții grafice (stiluri, scriere):
- independent(separat, izolat de alte litere), când litera nu are nicio legătură nici la dreapta, nici la stânga ei;
- iniţială, adică având o legătură doar în stânga (cu excepția alif, zal, dal, zane, pa, vav);
- median, adică având o legătură atât în dreapta cât și în stânga;
- final(doar cu conexiune pe partea dreaptă).
Notarea consoanelor
Fiecare dintre cele 28 de litere, cu excepția literei alif, reprezintă o consoană. Stilul literelor se schimbă în funcție de locația lor în cuvânt. Toate literele unui cuvânt sunt scrise împreună, cu excepția a șase litere (alif, dal, zal, ra, zay, vav), care nu sunt legate de următoarea literă.
„Alif” este singura literă a alfabetului arab care nu reprezintă niciun sunet consonantic. În funcție de context, poate fi folosită pentru a desemna vocala lungă a, sau ca semn ortografic auxiliar care nu are un sunet propriu.
Notația vocală
Cele trei sunete vocale lungi în arabă sunt reprezentate de literele alif, waw și ya. Vocalele scurte în scris, de regulă, nu sunt transmise. În cazurile în care este necesar să se transmită sunetul exact al unui cuvânt (de exemplu, în Coran și în dicționare), vocalele superscript și subscript (harakat) sunt folosite pentru a indica sunetele vocale.
Cele 28 de litere date mai sus se numesc Khuruf. Pe lângă acestea, litera arabă folosește încă trei caractere suplimentare care nu sunt litere independente ale alfabetului.
1. Hamza (oprire glotală) poate fi scrisă ca o literă separată sau pe o literă „stand” („alif”, „vav” sau „ya”). Modul în care este scris hamza este determinat de contextul său în conformitate cu un număr de reguli de ortografie. Indiferent de felul în care este scrisă, hamza înseamnă întotdeauna același sunet.
2. Ta-marbuta („legat ta”) este o formă a literei ta. Se scrie numai la sfârşitul unui cuvânt şi numai după vocalizarea fatahului. Când litera ta-marbuta nu are vocală (de exemplu, la sfârșitul unei fraze), se citește ca litera ha. Forma obișnuită a literei ta se numește „ta deschisă”.
3. Alif-maksura („alif scurtat”) este o formă a literei alif. Se scrie numai la sfârșitul unui cuvânt și se scurtează la un sunet scurt a înainte de alif-vasla cuvântul următor(în special, înainte de prefixul al-). Forma obișnuită a literei alif se numește „alif extins”.
Egiptenii au venit cu acest sistem acum aproximativ 5.000 de ani. Acesta este unul dintre cele mai vechi sisteme de scriere a numerelor cunoscute de om.
|
1. Ca majoritatea oamenilor, egiptenii foloseau bețe pentru a număra un număr mic de obiecte. |
|
|
Dacă trebuie reprezentate mai multe bețe, atunci acestea au fost reprezentate în două rânduri, iar cel de jos ar trebui să aibă același număr de bețe ca și cel de sus sau încă unul. |
|
|
10. Egiptenii legau vacile cu astfel de lanțuri |
|
|
Dacă trebuie să înfățișați câteva zeci, atunci hieroglifa s-a repetat cantitatea necesară dată. Același lucru este valabil și pentru alte hieroglife. |
|
|
100. Aceasta este o frânghie de măsurare care a fost folosită pentru măsurare terenuri după viitura Nilului. |
|
|
1.000 Ați văzut vreodată un lotus înflorit? |
|
|
Dacă nu, atunci nu veți înțelege niciodată de ce egiptenii au atribuit o asemenea semnificație imaginii acestei flori. 10.000 „B numere mari |
|
|
Fii atent!” spune degetul arătător ridicat. |
|
|
100.000. Acesta este un mormoloc. Mormoloc de broasca comuna. 1.000.000 văzând un astfel de număr persoană obișnuită |
|
|
va fi foarte surprins și va ridica mâinile spre cer. Aceasta este ceea ce reprezintă această hieroglifă |
10.000.000 Egiptenii îl venerau pe Amon Ra, zeul Soarelui, și probabil de aceea și-au reprezentat cel mai mare număr sub forma soarelui răsărit. Cifrele numărului au fost înregistrate începând de la valori mari
- 1207, - 1 023 029
și terminând cu altele mai mici. Dacă nu existau zeci, unități sau altă cifră, atunci am trecut la următoarea cifră.
Încercați să adăugați aceste două numere, știind că nu puteți folosi mai mult de 9 hieroglife identice.
Numerotarea greacă veche : , , , . În cele mai vechi timpuri, așa-numita numerotare atică a fost larg răspândită în Grecia. În această numerotare, numerele 1, 2, 3, 4 au fost reprezentate de numărul corespunzător de dungi verticale .
Numărul 5 a fost scris cu un semn (forma antică a literei „Pi”, cu care a început cuvântul „cinci” - „pente”. Numerele 6, 7, 8, 9 au fost desemnate prin combinații ale acestor semne:
A fost desemnat numărul 10 - capitală „Delta” din cuvântul „deka” - „zece”. Numerele 100, 1.000 și 10.000 au fost notate cu H, X, M. Numerele 50, 500, 5.000 au fost notate prin combinații de numere 5 și 10, 5 și 100, 5 și 1.000.
În jurul secolului al III-lea î.Hr., numerotarea attică în Grecia a fost înlocuită de o alta, așa-numitul sistem „ionian”. În ea, numerele 1 - 9 sunt indicate de primele litere ale alfabetului grecesc:
Numerele 10, 20, ... 90 au fost reprezentate de următoarele nouă litere: ѓ
numerele 100, 200, ... 900 cu ultimele nouă litere:
Pentru a desemna mii și zeci de mii, au fost folosite aceleași numere, dar numai cu adăugarea unei pictograme speciale.” Orice literă cu această pictogramă a devenit imediat de o mie de ori mai mare.
În antichitate, evreii, arabii și multe alte popoare din Orientul Mijlociu aveau un sistem de numere organizat bazat pe aproximativ același principiu.
Puțini oameni își dau seama că tehnicile pe care le folosim pentru scriere și numărare s-au format de-a lungul multor mii de ani. Ni se par evidente, ei bine, gândiți-vă, înmulțiți într-o coloană, mutați toți termenii cu necunoscutul într-o parte. Este atât de simplu! De fapt, acestea sunt realizări intelectuale uriașe ale umanității, care erau adesea inaccesibile cei mai deștepți oameni trecut. Am de gând (dacă am răbdare și timp) să scriu câteva note despre cum erau numărate lucrurile în trecut. În acest articol vă voi spune despre cum gândeau egiptenii.
Întotdeauna am fost puțin interesat de Egiptul antic. Ei bine, în primul rând, Egiptul este unul dintre primele state despre care știm multe și, în plus, este un stat foarte mare care a lăsat o moștenire uriașă. Nu mă refer la dimensiunea enormă a piramidelor. Până și scrierea noastră, atât latină, cât și chirilică, se întoarce la Egiptul antic. De asemenea, mi-a plăcut întotdeauna sculptura egipteană și moda bărbieritului în capul femeilor și bărbaților. Pare foarte modern. Dar acest articol nu este despre cultura artistică. Deci, să începem.
Numere și numere
Egiptenii foloseau non-pozițional sistem zecimal Socoteala. Cifrele arătau cam așa:
Aceste cifre se referă la așa-numitele. scrierea hieroglifică, care mai târziu a fost înlocuită cu hieratică. Îmi place foarte mult scrisul hieratic. Arată foarte elegant. Dar aici voi folosi stilul hieroglific.
Toate numerele întregi au fost formate prin repetarea semnelor date mai sus (și altele pentru cifre chiar mai mari). De exemplu, 3215 ar fi:
Un sistem foarte clar, deși nu prea concis. Este ușor de învățat, dar numerele nu sunt foarte convenabile. Este greu de văzut la prima vedere valoarea exacta numere. Egiptenii au scris în direcții diferite, dar eu scriu aici așa cum ne-am obișnuit, de la stânga la dreapta.
Acum despre fracții. Au existat pictograme speciale pentru trei fracții:
Toate celelalte fracții care aveau una în numărător au fost indicate printr-un numitor și o pictogramă în formă de ochi deasupra. De exemplu, mai jos am scris 1/14 
Toate fracțiile proprii au fost scrise ca sumă a acestor fracții. De exemplu: 
Pe un site am citit că „în unele cazuri” fracțiile egiptene sunt „mai bune decât ale noastre”. Și chiar și în wiki-ul englezesc, există un exemplu atât de minunat: „Fracțiunile egiptene fac uneori mai ușor de comparat dimensiunea fracțiilor. De exemplu, dacă cineva dorește să știe dacă 4/5 este mai mare decât ¾, le poate converti în fracții egiptene:
4/5= 1/2 + 1/4+ 1/20
3/4= 1/2 +1/4"
Pentru mine asta" cale usoara„Îmi amintește de o glumă despre Feynman, care de dragul unei sarcini curs şcolar a rezumat rândurile din mintea mea. Sunt un umanitar și nu prea știu cum să număr, dar pot compara în mintea mea fracții obișnuiteîn notația lor normală mi se pare mult mai ușor decât traducerea lor în forma egipteană. Poate că comparațiile de acest fel erau mai convenabile pentru egipteni, deoarece ei nu cunoșteau fracțiunile noastre.
Adunarea și înmulțirea
Ei bine, aici ajungem la principalul lucru. Ce credeau egiptenii? Au adăugat și scăzut numere întregi la fel ca noi, și poate chiar mai simplu, pentru că trebuiau doar să combine hieroglifele și să țină cont de schimbarea cifrelor. Dar înmulțirea și împărțirea? În lumea egipteană antică, aceasta nu era deloc o sarcină banală.
Egiptenii foloseau acest algoritm pentru multiplicare. Numerele erau scrise pe două coloane. Prima coloană începea cu unu, iar a doua cu multiplicand. Fiecare număr din coloană a fost apoi dublat până când unele numere din prima coloană au putut fi adăugate la un factor. Înțelegi? Un exemplu face mai clar. De exemplu, 7 pe 22
1+4+8=13
Şi 57+228+456=741
Uneori, pentru a accelera procesul, au recurs la înmulțirea cu 10.
Poate apărea întrebarea: este întotdeauna posibil să se reprezinte multiplicatorul în această formă? Da, de fapt avem de-a face cu sistemul de numere binar: 1*2 0 +0*2 1 +1*2 2 +1*2 3
aceste. 1+100+ 1000=1101
Împărțirea a fost efectuată folosind un algoritm similar. Împărțiți 238 la 17:
Din nou facem un semn pe o parte, care costă 17 pe cealaltă parte. Procesul de dublare se oprește la numărul care, atunci când este dublat, va fi mai mare decât dividendul.
Ne vom opri aici, pentru că de 128 ori 2 = 256, care este mai mult de 213. 128+64<213. 128+64+32 уже опять больше. Не подходит. 128+64+16<213 Пока все ОК. 128+64+16+8 уже больше. Значит мы смогли набрать только 208=128+64+16 из 213. И нам осталось разделить 213-208=5
Împărțim divizorul pe gen folosind tabelul deja familiar. Din fericire, 5 este 1+4.
| 1/2* | 4 |
| 1/4 | 2 |
| 1/8* | 1 |
Deci rezultatul final va fi
213/8 = 2+8+16+1/2+1/8 =26+1/2+1/8
Acum avem un caz de succes, dar acest lucru nu merge întotdeauna.
Originea cunoștințelor matematice în rândul egiptenilor antici este asociată cu dezvoltarea nevoilor economice. Fără abilități matematice, vechii scribi egipteni nu ar fi fost capabili să efectueze topografie, să calculeze numărul de muncitori și întreținerea acestora sau să calculeze deduceri fiscale. Deci, apariția matematicii poate fi datată în epoca apariției celor mai timpurii formațiuni statale din Egipt.
Cifrele egiptene
Sistemul de numărare zecimală în Egiptul Antic a fost dezvoltat pe baza numărului de degete de pe ambele mâini pentru a număra obiectele. Numerele de la unu la nouă erau indicate prin numărul corespunzător de liniuțe pentru zeci, sute, mii și așa mai departe, existau semne hieroglifice speciale;
Cel mai probabil, simbolurile egiptene digitale au apărut ca urmare a consonanței unuia sau altuia și a numelui unui obiect, deoarece în epoca formării scrisului, semnele pictogramelor aveau o semnificație strict obiectivă. Deci, de exemplu, sute au fost indicate printr-o hieroglifă înfățișând o frânghie, zeci de mii de imaginea unui deget.
În epocă (începutul mileniului II î.Hr.), a apărut o formă de scriere hieratică mai simplificată, convenabilă pentru scrierea pe papirus, iar scrierea caracterelor digitale s-a schimbat în consecință. Celebrele papirusuri matematice sunt scrise în scriere hieratică. Hieroglifele au fost folosite în principal pentru inscripțiile pe perete.
Nu s-a schimbat de mii de ani. Vechii egipteni nu cunoșteau un mod pozițional de a scrie numere, deoarece nu abordaseră încă conceptul de zero nu doar ca mărime independentă, ci și pur și simplu ca absență a cantității într-o anumită categorie (matematica a ajuns în această etapă inițială în Babilon). ).
Fracții în matematica egipteană antică
Egiptenii aveau un concept de fracții și știau să efectueze unele operații cu numere fracționale. Fracțiile egiptene sunt numere de forma 1/n (așa-numitele fracții alicote), deoarece egiptenii credeau că o fracție este o parte a ceva. Excepție fac fracțiile 2/3 și 3/4. Un element integral al scrierii unui număr fracționar a fost o hieroglifă, de obicei tradusă ca „unul dintre (un anumit număr).” Au existat semne speciale pentru cele mai comune fracții.
Scribul egiptean a înțeles o fracțiune, al cărei numărător este diferit de unul, literal, ca mai multe părți ale unui număr și a notat-o literal. De exemplu, 1/5 de două ori la rând, dacă doriți să descrieți numărul 2/5. Deci sistemul egiptean de fracțiuni a fost destul de greoi.
Interesant, unul dintre simbolurile sacre ale egiptenilor - așa-numitul „Ochiul lui Horus” - are și o semnificație matematică. O versiune a mitului despre lupta dintre zeitatea furiei și distrugerii Set și nepotul său, zeul soarelui Horus, spune că Set i-a lovit ochiul stâng al lui Horus și l-a rupt sau călcat în picioare. Zeii au restaurat ochiul, dar nu complet. Ochiul lui Horus a reprezentat diverse aspecte ale ordinii divine în ordinea mondială, cum ar fi ideea de fertilitate sau puterea faraonului.
Imaginea ochiului, venerată ca o amuletă, conține elemente care denotă o serie specială de numere. Acestea sunt fracții, fiecare având jumătate din dimensiunea celei precedente: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 și 1/64. Simbolul ochiului divin reprezintă astfel suma lor - 63/64. Unii istorici matematici cred că acest simbol reflectă conceptul egiptean de progresie geometrică. Componentele imaginii Ochiului lui Horus au fost folosite în calcule practice, de exemplu la măsurarea volumului de solide în vrac, cum ar fi cerealele.
Principiile operațiilor aritmetice
Metoda pe care o foloseau egiptenii atunci când efectuau operații aritmetice simple a fost de a calcula numărul total care denota cifrele. Unitățile au fost adăugate la unu, zeci la zeci și așa mai departe, după care s-a făcut înregistrarea finală a rezultatului. Dacă însumarea a rezultat în mai mult de zece caractere în orice categorie, zece „în plus” au trecut la categoria cea mai înaltă și au fost scrise cu hieroglifa corespunzătoare. Scăderea s-a făcut în același mod.
Fără utilizarea unei tabele de înmulțire, pe care egiptenii nu o cunoșteau, procesul de calcul al produsului a două numere, în special a celor cu mai multe cifre, era extrem de greoi. De regulă, egiptenii foloseau metoda de dublare secvențială. Unul dintre factori a fost extins într-o sumă de numere pe care astăzi le-am numi puteri a doi. Pentru egiptean, aceasta a însemnat numărul de duble consecutive ale celui de-al doilea multiplicator și însumarea finală a rezultatelor. De exemplu, atunci când înmulțește 53 cu 46, un scrib egiptean ar factora 46 în 32 + 8 + 4 + 2 și ar crea tableta pe care o poți vedea mai jos.
| * 1 | 53 |
| * 2 | 106 |
| * 4 | 212 |
| * 8 | 424 |
| * 16 | 848 |
| * 32 | 1696 |
Adunând rezultatele în liniile marcate, el ar obține 2438 - la fel ca și astăzi, dar într-un mod diferit. În mod interesant, această metodă de înmulțire binară este folosită astăzi în calcul.
Uneori, pe lângă dublare, numărul putea fi înmulțit cu zece (din moment ce s-a folosit sistemul zecimal) sau cu cinci, ca jumătate de zece. Iată un alt exemplu de înmulțire scris cu simboluri egiptene (rezultatele adăugate au fost marcate cu o bară oblică).
Operația de împărțire a fost efectuată și după principiul dublării divizorului. Numărul necesar, atunci când este înmulțit cu un divizor, ar fi trebuit să ofere dividendul indicat în enunțul problemei.
Cunoștințele și aptitudinile matematice ale egiptenilor
Se știe că egiptenii cunoșteau exponentiația și foloseau și operația inversă - extragerea rădăcinii pătrate. În plus, au avut o înțelegere a progresiei și au rezolvat probleme care s-au redus la ecuații. Adevărat, ecuațiile ca atare nu au fost compilate, deoarece nu se înțelegea încă că relațiile matematice dintre cantități sunt universale. Sarcinile au fost grupate pe subiecte: delimitarea terenurilor, distribuția produselor etc.
În condițiile de problemă, există o cantitate necunoscută care trebuie găsită. Este notat cu hieroglifa „mult”, „grămadă” și este un analog al valorii „x” în algebra modernă. Condițiile sunt deseori enunțate într-o formă care ar părea să necesite pur și simplu configurarea și rezolvarea unei ecuații algebrice simple, de exemplu: „heap” adăugat la 1/4, care conține și „heap”, iar rezultatul este 15. Dar Egipteanul nu a rezolvat ecuația x + x/ 4 = 15 și a selectat valoarea dorită care să satisfacă condițiile.
Matematica Egiptului Antic a obținut un succes semnificativ în rezolvarea problemelor geometrice legate de nevoile de construcție și de topografie. Cunoaștem gama de sarcini cu care s-au confruntat scribii și metodele de rezolvare a acestora datorită faptului că s-au păstrat mai multe monumente scrise pe papirus care conțin exemple de calcule.
Cartea cu probleme din Egiptul Antic
Una dintre cele mai complete surse despre istoria matematicii din Egipt este așa-numitul papirus matematic al lui Rhinda (numit după primul proprietar). Este păstrat la British Museum în două părți. Mici fragmente se află și în Muzeul Societății Istorice din New York. Se mai numește și papirusul Ahmes, numit după scribul care a copiat acest document în jurul anului 1650 î.Hr. e.
Papirusul este o colecție de probleme cu soluții. În total, conține peste 80 de exemple matematice în aritmetică și geometrie. De exemplu, problema distribuirii egale a 9 pâini între 10 muncitori a fost rezolvată astfel: 7 pâini sunt împărțite în 3 părți fiecare, iar muncitorilor li se dau 2/3 din pâine, lăsând 1/3 ca rest. Două pâini sunt împărțite în 5 părți fiecare, se dă 1/5 de persoană. Treimea rămasă din pâine este împărțită în 10 părți.
Există și o problemă cu distribuirea inegală a 10 măsuri de cereale între 10 persoane. Rezultatul este o progresie aritmetică cu o diferență de 1/8 din măsură.
Problema progresiei geometrice este o glumă: 7 case trăiesc în 7 pisici, fiecare dintre ele a mâncat 7 șoareci. Fiecare șoarece a mâncat 7 spice, fiecare spic aduce 7 măsuri de pâine. Este necesar să se calculeze numărul total de case, pisici, șoareci, spice și măsuri de cereale. Este anul 19607.
Probleme geometrice
De un interes considerabil sunt exemplele matematice care demonstrează nivelul de cunoștințe al egiptenilor în domeniul geometriei. Aceasta înseamnă găsirea volumului unui cub, aria unui trapez, calcularea pantei unei piramide. Panta nu a fost exprimată în grade, ci a fost calculată ca raportul dintre jumătatea bazei piramidei și înălțimea acesteia. Această cantitate, similară cotangentei moderne, a fost numită „seced”. Unitățile principale de lungime au fost cotul, care era de 45 cm („cotul regal” - 52,5 cm) și het - 100 de coți, unitatea de bază de suprafață era seshat-ul, egal cu 100 de coți pătrați (aproximativ 0,28 hectare).
Egiptenii au făcut față cu succes calculului ariilor triunghiurilor, folosind o metodă similară celei moderne. Iată o problemă din papirusul Rind: care este aria unui triunghi cu o înălțime de 10 Khet (1000 de coți) și o bază de 4 Khet? Soluția este zece înmulțit cu jumătate din patru. Vedem că metoda de soluție este absolut corectă, este prezentată într-o formă numerică specifică, și nu într-o formă formalizată - înmulțiți înălțimea cu jumătate din bază.
O problemă foarte interesantă este calcularea ariei unui cerc. Conform soluției de mai sus, este egal cu 8/9 din diametrul pătrat. Dacă acum calculăm numărul „pi” din aria rezultată (ca raport de patru ori suprafața și pătratul diametrului), atunci acesta va fi aproximativ 3,16, adică destul de aproape de valoarea adevărată a lui „pi” . Astfel, metoda egipteană de rezolvare a zonei unui cerc a fost destul de precisă.
Papirusul Moscovei
O altă sursă importantă a cunoștințelor noastre despre nivelul matematicii în rândul egiptenilor antici este Papirusul Matematic din Moscova (alias Papirusul Golenishchev), depozitat în Muzeul de Arte Frumoase. A. S. Pușkin. Aceasta este, de asemenea, o carte de probleme cu soluții. Nu este la fel de extins, conținând 25 de probleme, dar este mai vechi - cu aproximativ 200 de ani mai vechi decât papirusul Rhinda. Cele mai multe dintre exemplele din papirus sunt geometrice, inclusiv problema calculării ariei unui coș (adică a unei suprafețe curbe).
Una dintre probleme arată o metodă de găsire a volumului unei piramide trunchiate, complet similară cu formula modernă. Dar din moment ce toate soluțiile din cărțile cu probleme egiptene sunt de natură „rețetă” și sunt date fără pași logici intermediari, fără nicio explicație, rămâne necunoscut cum au găsit egiptenii această formulă.
Astronomie, matematică și calendar
Matematica egipteană antică este, de asemenea, asociată cu calculele calendaristice bazate pe reapariția anumitor fenomene astronomice. În primul rând, este o predicție a creșterii anuale a Nilului. Preoții egipteni au observat că începutul inundației râului la latitudinea Memphis coincide de obicei cu ziua în care Sirius devine vizibil în sud înainte de răsărit (această stea nu este vizibilă la această latitudine în cea mai mare parte a anului).
Inițial, cel mai simplu calendar agricol nu era legat de evenimente astronomice și se baza pe simpla observare a schimbărilor sezoniere. Apoi a primit o referință exactă la înălțarea lui Sirius și, odată cu aceasta, a venit și posibilitatea de rafinament și complicație ulterioară. Fără abilități matematice, preoții nu au putut clarifica calendarul (cu toate acestea, egiptenii nu au fost niciodată capabili să elimine complet deficiențele calendarului).
Nu mai puțin importantă a fost și capacitatea de a alege momente favorabile pentru desfășurarea anumitor sărbători religioase, de asemenea cronometrate pentru a coincide cu diverse fenomene astronomice. Deci, dezvoltarea matematicii și a astronomiei în Egiptul Antic este cu siguranță asociată cu calculele calendaristice.
În plus, cunoştinţele matematice sunt necesare pentru cronometrie atunci când se observă cerul înstelat. Se știe că astfel de observații au fost efectuate de un grup special de preoți - „maeștrii ceasului”.
O parte integrantă a istoriei timpurii a științei
Luând în considerare caracteristicile și nivelul de dezvoltare a matematicii în Egiptul Antic, este vizibilă o imaturitate semnificativă, care nu a fost niciodată depășită în cei trei mii de ani de existență a civilizației egiptene antice. Nicio sursă informativă din epoca formării matematicii nu a ajuns la noi și nu știm cum s-a întâmplat. Dar este clar că, după o anumită dezvoltare, nivelul de cunoștințe și abilități a înghețat într-o „rețetă”, sub formă de subiect fără semne de progres timp de multe sute de ani.
Aparent, o gamă stabilă și monotonă de probleme rezolvate folosind metode deja consacrate nu a creat o „cerere” de idei noi în matematică, care deja facea față soluționării problemelor din construcții, agricultură, impozitare și distribuție, comerțul primitiv și întreținerea calendarului și timpurie. astronomie. În plus, gândirea arhaică nu necesită formarea unei baze logice stricte, evidențiale - urmează o rețetă ca ritual, iar acest lucru a afectat și natura stagnantă a matematicii egiptene antice.
În același timp, trebuie menționat că cunoștințele științifice în general și matematica în special făceau încă primii pași și sunt întotdeauna cei mai dificili. În exemplele pe care ni le arată papirusurile cu sarcini, sunt deja vizibile etapele inițiale ale generalizării cunoștințelor – până acum fără încercări de formalizare. Putem spune că matematica Egiptului Antic așa cum o cunoaștem (din cauza sursei de bază insuficiente pentru perioada târzie a istoriei egiptene antice) nu este încă o știință în sensul modern, ci chiar începutul căii către ea.