Se numesc zecimale. Decimale: definiții, înregistrare, exemple, acțiuni cu zecimale

În acest tutorial vom analiza fiecare dintre aceste operații separat.

Conținutul lecției

Adăugarea de zecimale

După cum știm, o fracție zecimală este formată dintr-un număr întreg și o parte fracțională. Când se adaugă zecimale, părțile întregi și fracționale sunt adăugate separat.

De exemplu, să adăugăm zecimale 3.2 și 5.3. Este mai convenabil să adăugați fracții zecimale într-o coloană.

Să scriem mai întâi aceste două fracții într-o coloană, părțile întregi fiind neapărat sub numere întregi, iar fracțiile sub fracții. La școală se numește această cerință "virgula sub virgula" .

Să scriem fracțiile într-o coloană, astfel încât virgula să fie sub virgulă:

Adăugăm părțile fracționale: 2 + 3 = 5. Scriem cele cinci în partea fracțională a răspunsului nostru:

Acum adunăm părțile întregi: 3 + 5 = 8. Scriem un opt în întreaga parte a răspunsului nostru:

Acum separăm întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, respectăm din nou regula "virgula sub virgula" :

Am primit un răspuns de 8,5. Aceasta înseamnă că expresia 3,2 + 5,3 este egală cu 8,5

3,2 + 5,3 = 8,5

De fapt, nu totul este atât de simplu pe cât pare la prima vedere. Există și capcane aici, despre care vom vorbi acum.

Locurile în zecimale

Fracțiile zecimale, ca și numerele obișnuite, au propriile cifre. Acestea sunt locuri de zecimi, locuri de sutimi, locuri de miimi. În acest caz, cifrele încep după virgulă zecimală.

Prima cifră după virgulă zecimală este responsabilă pentru locul zecimii, a doua cifră după virgulă zecimală pentru locul sutimilor și a treia cifră după virgulă zecimală pentru locul miilor.

Locurile din fracțiile zecimale conțin unele informatii utile. Mai exact, vă spun câte zecimi, sutimi și miimi există într-o zecimală.

De exemplu, luați în considerare fracția zecimală 0,345

Poziția în care se află cei trei se numește locul zece

Poziția în care se află cei patru se numește locul sutimii

Poziția în care se află cei cinci se numește locul al miilea

Să ne uităm la acest desen. Vedem că există un trei pe locul zecimii. Acest lucru ne spune că există trei zecimi în fracția zecimală 0,345.

Dacă adunăm fracțiile, obținem fracția zecimală inițială 0,345

Am primit mai întâi răspunsul, dar l-am convertit într-o fracție zecimală și am obținut 0,345.

Când se adună fracții zecimale, se aplică aceleași reguli ca și când se adună numere obișnuite. Adunarea fracțiilor zecimale are loc în cifre: zecimi se adaugă la zecimi, sutimi la sutimi, miimi la miimi.

Prin urmare, atunci când adăugați fracții zecimale, trebuie să urmați regula "virgula sub virgula". Virgula de sub virgulă oferă ordinea în care zecimile sunt adăugate la zecimi, sutimi la sutimi, miimi la miimi.

Exemplul 1. Aflați valoarea expresiei 1,5 + 3,4

În primul rând, adunăm părțile fracționale 5 + 4 = 9. Scriem nouă în partea fracțională a răspunsului nostru:

Acum adăugăm părțile întregi 1 + 3 = 4. Scriem cele patru în partea întreagă a răspunsului nostru:

Acum separăm întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, respectăm din nou regula „virgulă sub virgulă”:

Am primit un răspuns de 4,9. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 1,5 + 3,4 este 4,9

Exemplul 2. Aflați valoarea expresiei: 3,51 + 1,22

Scriem această expresie într-o coloană, respectând regula „virgulă sub virgulă”.

În primul rând, adunăm partea fracțională, și anume sutimile din 1+2=3. Scriem un triplu în a suta parte a răspunsului nostru:

Acum adăugați zecimile 5+2=7. Scriem un șapte în a zecea parte a răspunsului nostru:

Acum adăugăm toate părțile 3+1=4. Le scriem pe cele patru în întreaga parte a răspunsului nostru:

Separăm întreaga parte de partea fracționară cu o virgulă, respectând regula „virgulă sub virgulă”:

Răspunsul pe care l-am primit a fost 4,73. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 3,51 + 1,22 este egală cu 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Ca și în cazul numerelor obișnuite, atunci când se adună zecimale, . În acest caz, o cifră este scrisă în răspuns, iar restul sunt transferate la următoarea cifră.

Exemplul 3. Aflați valoarea expresiei 2,65 + 3,27

Scriem această expresie în coloană:

Adăugați părțile sutimiilor 5+7=12. Numărul 12 nu se va încadra în a suta parte a răspunsului nostru. Prin urmare, în a suta parte scriem numărul 2 și mutam unitatea la următoarea cifră:

Acum adăugăm zecimile de 6+2=8 plus unitatea pe care am obținut-o din operația anterioară, obținem 9. Scriem numărul 9 în zecimea răspunsului nostru:

Acum adăugăm toate părțile 2+3=5. Scriem numărul 5 în partea întreagă a răspunsului nostru:

Răspunsul pe care l-am primit a fost 5,92. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 2,65 + 3,27 este egală cu 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

Exemplul 4. Aflați valoarea expresiei 9,5 + 2,8

Scriem această expresie în coloană

Adăugăm părțile fracționale 5 + 8 = 13. Numărul 13 nu se va potrivi în partea fracțională a răspunsului nostru, așa că mai întâi notăm numărul 3 și mutam unitatea la următoarea cifră sau, mai degrabă, o transferăm în parte întreagă:

Acum adăugăm părțile întregi 9+2=11 plus unitatea pe care am obținut-o din operația anterioară, obținem 12. Scriem numărul 12 în partea întreagă a răspunsului nostru:

Separați întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă:

Am primit răspunsul 12.3. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 9,5 + 2,8 este 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

Când se adună zecimale, numărul de cifre după virgulă în ambele fracții trebuie să fie același. Dacă nu există suficiente numere, atunci aceste locuri din partea fracționară sunt umplute cu zerouri.

Exemplul 5. Aflați valoarea expresiei: 12,725 + 1,7

Înainte de a scrie această expresie într-o coloană, să facem același număr de cifre după punctul zecimal din ambele fracții. Fracția zecimală 12,725 are trei cifre după virgulă, dar fracția 1,7 are doar una. Aceasta înseamnă că în fracția 1,7 trebuie să adăugați două zerouri la sfârșit. Apoi obținem fracția 1.700. Acum puteți scrie această expresie într-o coloană și puteți începe să calculați:

Adăugați părțile miimilor 5+0=5. Scriem numărul 5 în a miilea parte a răspunsului nostru:

Adăugați părțile sutimiilor 2+0=2. Scriem numărul 2 în a suta parte a răspunsului nostru:

Adaugă zecimile 7+7=14. Numărul 14 nu se va încadra într-o zecime din răspunsul nostru. Prin urmare, notăm mai întâi numărul 4 și mutam unitatea la următoarea cifră:

Acum adăugăm părțile întregi 12+1=13 plus unitatea pe care am obținut-o din operația anterioară, obținem 14. Scriem numărul 14 în partea întreagă a răspunsului nostru:

Separați întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă:

Am primit un răspuns de 14.425. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 12,725+1,700 este 14,425

12,725+ 1,700 = 14,425

Scăderea zecimale

Când scădeți fracții zecimale, trebuie să urmați aceleași reguli ca atunci când adăugați: „virgulă sub virgulă zecimală” și „număr egal de cifre după virgulă zecimală”.

Exemplul 1. Aflați valoarea expresiei 2.5 − 2.2

Scriem această expresie într-o coloană, respectând regula „virgulă sub virgulă”:

Se calculează partea fracționară 5−2=3. Scriem numărul 3 în a zecea parte a răspunsului nostru:

Se calculează partea întreagă 2−2=0. Scriem zero în partea întreagă a răspunsului nostru:

Separați întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă:

Am primit un răspuns de 0,3. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 2,5 − 2,2 este egală cu 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

Exemplul 2. Aflați valoarea expresiei 7,353 - 3,1

În această expresie cantități diferite numere după virgulă zecimală. Fracția 7,353 are trei cifre după virgulă, dar fracția 3,1 are doar una. Aceasta înseamnă că în fracția 3.1 trebuie să adăugați două zerouri la sfârșit pentru a face ca numărul de cifre din ambele fracții să fie același. Apoi obținem 3.100.

Acum puteți scrie această expresie într-o coloană și o puteți calcula:

Am primit un răspuns de 4.253. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 7,353 − 3,1 este egală cu 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Ca și în cazul numerelor obișnuite, uneori va trebui să împrumutați unul dintr-o cifră adiacentă dacă scăderea devine imposibilă.

Exemplul 3. Aflați valoarea expresiei 3,46 − 2,39

Scădeți sutimile din 6−9. Nu puteți scădea numărul 9 din numărul 6. Prin urmare, trebuie să împrumutați unul din cifra alăturată. Prin împrumut una din cifra alăturată, numărul 6 se transformă în numărul 16. Acum puteți calcula sutimile din 16−9=7. Scriem un șapte în a suta parte a răspunsului nostru:

Acum scadem zecimi. Deoarece am luat o unitate pe locul zecimii, cifra care se afla acolo a scăzut cu o unitate. Cu alte cuvinte, pe locul zecimilor nu se află acum numărul 4, ci numărul 3. Să calculăm zecimile din 3−3=0. Scriem zero în a zecea parte a răspunsului nostru:

Acum scădem toate părțile 3−2=1. Scriem unul în partea întreagă a răspunsului nostru:

Separați întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă:

Am primit un răspuns de 1.07. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 3,46−2,39 este egală cu 1,07

3,46−2,39=1,07

Exemplul 4. Aflați valoarea expresiei 3−1.2

Acest exemplu scade o zecimală dintr-un număr întreg. Să scriem această expresie într-o coloană, astfel încât întreaga parte a fracției zecimale 1,23 să fie sub numărul 3

Acum să facem același număr de cifre după virgulă zecimală. Pentru a face acest lucru, după numărul 3 punem o virgulă și adăugăm un zero:

Acum scadem zecimi: 0−2. Nu puteți scădea numărul 2 din zero. Prin urmare, trebuie să împrumutați unul din cifra alăturată. După ce a împrumutat una din cifra vecină, 0 se transformă în numărul 10. Acum puteți calcula zecimile din 10−2=8. Scriem un opt în a zecea parte a răspunsului nostru:

Acum scadem toate părțile. Anterior, numărul 3 era situat în ansamblu, dar am luat o unitate din el. Ca urmare, s-a transformat în numărul 2. Prin urmare, din 2 scadem 1. 2−1=1. Scriem unul în partea întreagă a răspunsului nostru:

Separați întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă:

Răspunsul pe care l-am primit a fost 1,8. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 3−1,2 este 1,8

Înmulțirea zecimalelor

Înmulțirea zecimalelor este simplă și chiar distractivă. Pentru a înmulți zecimale, le înmulți ca niște numere obișnuite, ignorând virgulele.

După ce ați primit răspunsul, trebuie să separați întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după punctul zecimal din ambele fracții, apoi să numărați același număr de cifre din dreapta în răspuns și să puneți o virgulă.

Exemplul 1. Aflați valoarea expresiei 2,5 × 1,5

Să înmulțim aceste fracții zecimale ca numere obișnuite, ignorând virgulele. Pentru a ignora virgulele, vă puteți imagina temporar că lipsesc cu totul:

Avem 375. În acest număr, trebuie să separați partea întreagă de partea fracționară cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după punctul zecimal din fracțiile 2,5 și 1,5. Prima fracție are o cifră după virgulă, iar a doua fracție are și una. În total două numere.

Ne întoarcem la numărul 375 și începem să ne mișcăm de la dreapta la stânga. Trebuie să numărăm două cifre la dreapta și să punem o virgulă:

Am primit un răspuns de 3,75. Deci valoarea expresiei 2,5 × 1,5 este 3,75

2,5 × 1,5 = 3,75

Exemplul 2. Aflați valoarea expresiei 12,85 × 2,7

Să înmulțim aceste fracții zecimale, ignorând virgulele:

Avem 34695. În acest număr trebuie să separați partea întreagă de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după punctul zecimal din fracțiile 12,85 și 2,7. Fracția 12,85 are două cifre după virgulă, iar fracția 2,7 are o cifră - un total de trei cifre.

Ne întoarcem la numărul 34695 și începem să ne mișcăm de la dreapta la stânga. Trebuie să numărăm trei cifre din dreapta și să punem o virgulă:

Am primit un răspuns de 34.695. Deci valoarea expresiei 12,85 × 2,7 este 34,695

12,85 × 2,7 = 34,695

Înmulțirea unei zecimale cu un număr obișnuit

Uneori apar situații când trebuie să înmulți o fracție zecimală cu un număr obișnuit.

Pentru a înmulți o zecimală și un număr, le înmulți fără să fii atent la virgulă din zecimală. După ce ați primit răspunsul, trebuie să separați întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după punctul zecimal din fracția zecimală, apoi să numărați același număr de cifre din dreapta în răspuns și să puneți o virgulă.

De exemplu, înmulțiți 2,54 cu 2

Înmulțiți fracția zecimală 2,54 cu numărul obișnuit 2, ignorând virgula:

Avem numărul 508. În acest număr trebuie să separați partea întreagă de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după punctul zecimal din fracția 2,54. Fracția 2,54 are două cifre după virgulă.

Ne întoarcem la numărul 508 și începem să ne mișcăm de la dreapta la stânga. Trebuie să numărăm două cifre la dreapta și să punem o virgulă:

Am primit un răspuns de 5.08. Deci valoarea expresiei 2,54 × 2 este 5,08

2,54 × 2 = 5,08

Înmulțirea zecimalelor cu 10, 100, 1000

Înmulțirea zecimalelor cu 10, 100 sau 1000 se face în același mod ca și înmulțirea zecimalelor cu numere obișnuite. Trebuie să efectuați înmulțirea, fără să acordați atenție virgulei din fracția zecimală, apoi, în răspuns, separați întreaga parte de partea fracțională, numărând din dreapta același număr de cifre ca și după virgulă zecimală.

De exemplu, înmulțiți 2,88 cu 10

Înmulțiți fracția zecimală 2,88 cu 10, ignorând virgula din fracția zecimală:

Avem 2880. În acest număr trebuie să separați partea întreagă de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după punctul zecimal din fracția 2,88. Vedem că fracția 2,88 are două cifre după virgulă.

Ne întoarcem la numărul 2880 și începem să ne mișcăm de la dreapta la stânga. Trebuie să numărăm două cifre la dreapta și să punem o virgulă:

Am primit un răspuns de 28,80. Să aruncăm ultimul zero și să obținem 28,8. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 2,88×10 este 28,8

2,88 × 10 = 28,8

Există o a doua modalitate de a înmulți fracțiile zecimale cu 10, 100, 1000. Această metodă este mult mai simplă și mai convenabilă. Constă în mutarea punctului zecimal la dreapta cu atâtea cifre câte zerouri sunt în factor.

De exemplu, să rezolvăm exemplul anterior 2,88×10 în acest fel. Fără să facem niciun calcul, ne uităm imediat la factorul 10. Ne interesează câte zerouri sunt în el. Vedem că există un zero în el. Acum, în fracția 2,88, mutăm punctul zecimal la dreapta o cifră, obținem 28,8.

2,88 × 10 = 28,8

Să încercăm să înmulțim 2,88 cu 100. Ne uităm imediat la factorul 100. Ne interesează câte zerouri sunt în el. Vedem că există două zerouri în el. Acum, în fracția 2,88, mutăm punctul zecimal la dreapta două cifre, obținem 288

2,88 × 100 = 288

Să încercăm să înmulțim 2,88 cu 1000. Ne uităm imediat la factorul 1000. Ne interesează câte zerouri sunt în el. Vedem că există trei zerouri în el. Acum, în fracția 2,88, mutăm punctul zecimal la dreapta cu trei cifre. Nu există a treia cifră acolo, așa că adăugăm un alt zero. Ca rezultat, obținem 2880.

2,88 × 1000 = 2880

Înmulțirea zecimalelor cu 0,1 0,01 și 0,001

Înmulțirea zecimalelor cu 0,1, 0,01 și 0,001 funcționează în același mod ca și înmulțirea unei zecimale cu o zecimală. Este necesar să înmulțiți fracțiile ca numerele obișnuite și să puneți o virgulă în răspuns, numărând atâtea cifre la dreapta câte cifre sunt după virgulă în ambele fracții.

De exemplu, înmulțiți 3,25 cu 0,1

Înmulțim aceste fracții ca numere obișnuite, ignorând virgulele:

Avem 325. În acest număr trebuie să separați partea întreagă de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după punctul zecimal din fracțiile 3,25 și 0,1. Fracția 3,25 are două cifre după virgulă, iar fracția 0,1 are o cifră. Total trei numere.

Ne întoarcem la numărul 325 și începem să ne mișcăm de la dreapta la stânga. Trebuie să numărăm trei cifre din dreapta și să punem o virgulă. După numărătoarea inversă a trei cifre, constatăm că numerele s-au epuizat. În acest caz, trebuie să adăugați un zero și să adăugați o virgulă:

Am primit un răspuns de 0,325. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 3,25 × 0,1 este 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Există o a doua modalitate de a înmulți zecimale cu 0,1, 0,01 și 0,001. Această metodă este mult mai simplă și mai convenabilă. Constă în deplasarea punctului zecimal la stânga cu atâtea cifre câte zerouri sunt în factor.

De exemplu, să rezolvăm exemplul anterior 3,25 × 0,1 în acest fel. Fără a da niciun calcul, ne uităm imediat la multiplicatorul de 0,1. Ne interesează câte zerouri sunt în el. Vedem că există un zero în el. Acum, în fracția 3,25, mutăm punctul zecimal la stânga cu o cifră. Mutând virgula cu o cifră la stânga, vedem că nu mai există cifre înaintea celor trei. În acest caz, adăugați un zero și puneți o virgulă. Rezultatul este 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Să încercăm să înmulțim 3,25 cu 0,01. Ne uităm imediat la multiplicatorul de 0,01. Ne interesează câte zerouri sunt în el. Vedem că există două zerouri în el. Acum, în fracția 3,25, mutăm punctul zecimal la stânga două cifre, obținem 0,0325

3,25 × 0,01 = 0,0325

Să încercăm să înmulțim 3,25 cu 0,001. Ne uităm imediat la multiplicatorul de 0,001. Ne interesează câte zerouri sunt în el. Vedem că există trei zerouri în el. Acum, în fracția 3,25, mutam punctul zecimal la stânga cu trei cifre, obținem 0,00325

3,25 × 0,001 = 0,00325

Nu confundați înmulțirea fracțiilor zecimale cu 0,1, 0,001 și 0,001 cu înmulțirea cu 10, 100, 1000. Greșeală comună majoritatea oamenilor.

Când înmulțiți cu 10, 100, 1000, punctul zecimal este mutat la dreapta cu același număr de cifre ca și zerouri în multiplicator.

Și atunci când înmulțiți cu 0,1, 0,01 și 0,001, punctul zecimal este mutat la stânga cu același număr de cifre ca și zerouri în multiplicator.

Dacă la început este greu de reținut, puteți folosi prima metodă, în care înmulțirea se face ca în cazul numerelor obișnuite. În răspuns, va trebui să separați întreaga parte de partea fracțională, numărând același număr de cifre în partea dreaptă, așa cum există cifre după virgulă zecimală în ambele fracții.

Împărțirea unui număr mai mic la un număr mai mare. Nivel avansat.

Într-una din lecțiile anterioare, am spus că la împărțirea unui număr mai mic la un număr mai mare se obține o fracție, al cărei numărător este dividendul, iar numitorul este divizorul.

De exemplu, pentru a împărți un măr între doi, trebuie să scrieți 1 (un măr) la numărător și 2 (doi prieteni) la numitor. Ca rezultat, obținem fracția . Aceasta înseamnă că fiecare prieten va primi un măr. Cu alte cuvinte, o jumătate de măr. Fracția este răspunsul la problemă „Cum să împarți un măr în două”

Se pare că puteți rezolva această problemă în continuare dacă împărțiți 1 la 2. La urma urmei, linia fracțională din orice fracție înseamnă divizare și, prin urmare, această împărțire este permisă în fracție. Dar cum? Suntem obișnuiți cu faptul că dividendul este întotdeauna mai mare decât divizorul. Dar aici, dimpotrivă, dividendul este mai mic decât divizorul.

Totul va deveni clar dacă ne amintim că o fracție înseamnă zdrobire, împărțire, împărțire. Aceasta înseamnă că unitatea poate fi împărțită în câte părți se dorește, și nu doar în două părți.

Când împărțiți un număr mai mic la un număr mai mare, obțineți o fracție zecimală în care partea întreagă este 0 (zero). Partea fracționată poate fi orice.

Deci, să împărțim 1 la 2. Să rezolvăm acest exemplu cu un colț:

Unul nu poate fi împărțit complet în două. Dacă pui o întrebare „câți doi sunt într-unul” , atunci răspunsul va fi 0. Prin urmare, în coeficient scriem 0 și punem virgulă:

Acum, ca de obicei, înmulțim câtul cu divizorul pentru a obține restul:

A venit momentul în care unitatea poate fi împărțită în două părți. Pentru a face acest lucru, adăugați un alt zero la dreapta celui rezultat:

Am primit 10. Împărțim 10 la 2, obținem 5. Scriem cele cinci în partea fracționară a răspunsului nostru:

Acum scoatem ultimul rest pentru a finaliza calculul. Înmulțiți 5 cu 2 pentru a obține 10

Am primit un răspuns de 0,5. Deci fracția este 0,5

Jumătate de măr poate fi scris și folosind fracția zecimală 0,5. Dacă adăugăm aceste două jumătăți (0,5 și 0,5), obținem din nou un măr întreg original:

Acest punct poate fi înțeles și dacă vă imaginați cum 1 cm este împărțit în două părți. Dacă împărțiți 1 centimetru în 2 părți, obțineți 0,5 cm

Exemplul 2. Găsiți valoarea expresiei 4:5

Câte cinci sunt într-un patru? Deloc. Scriem 0 în coeficient și punem virgulă:

Înmulțim 0 cu 5, obținem 0. Scriem un zero sub patru. Scădeți imediat acest zero din dividend:

Acum să începem să împărțim (împărțim) cele patru în 5 părți. Pentru a face acest lucru, adăugați un zero la dreapta lui 4 și împărțiți 40 la 5, obținem 8. Scriem opt în coeficient.

Terminăm exemplul înmulțind 8 cu 5 pentru a obține 40:

Am primit un răspuns de 0,8. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 4:5 este 0,8

Exemplul 3. Aflați valoarea expresiei 5: 125

Câte numere sunt 125 din cinci? Deloc. Scriem 0 în coeficient și punem virgulă:

Înmulțim 0 cu 5, obținem 0. Scriem 0 sub cinci. Scădeți imediat 0 din cinci

Acum să începem să împărțim (împărțim) cele cinci în 125 de părți. Pentru a face acest lucru, scriem un zero la dreapta acestor cinci:

Împărțiți 50 la 125. Câte numere sunt 125 în numărul 50? Deloc. Deci în coeficient scriem din nou 0

Înmulțind 0 cu 125, obținem 0. Scrieți acest zero sub 50. Scădeți imediat 0 din 50

Acum împărțiți numărul 50 în 125 de părți. Pentru a face acest lucru, scriem un alt zero la dreapta lui 50:

Împărțiți 500 la 125. Câte numere sunt 125 în numărul 500 Există patru numere 125 în numărul 500. Scrieți cele patru în cât:

Terminăm exemplul înmulțind 4 cu 125 pentru a obține 500

Am primit un răspuns de 0,04. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 5: 125 este 0,04

Împărțirea numerelor fără rest

Deci, să punem o virgulă după unitatea din coeficient, indicând astfel că împărțirea părților întregi s-a încheiat și trecem la partea fracțională:

Să adăugăm zero la restul de 4

Acum împărțim 40 la 5, obținem 8. Scriem opt în coeficient:

40−40=0. Mai avem 0. Aceasta înseamnă că împărțirea este complet finalizată. Împărțirea 9 la 5 dă fracția zecimală 1,8:

9: 5 = 1,8

Exemplul 2. Împărțiți 84 la 5 fără rest

Mai întâi, împarte 84 la 5, ca de obicei, cu un rest:

Avem 16 în privat și încă 4 au mai rămas. Acum să împărțim acest rest la 5. Puneți o virgulă în coeficient și adăugați 0 la restul 4

Acum împărțim 40 la 5, obținem 8. Scriem opt în coeficient după virgulă:

și completați exemplul verificând dacă mai există un rest:

Împărțirea unei zecimale la un număr obișnuit

O fracție zecimală, după cum știm, constă dintr-un număr întreg și o parte fracțională. Când împărțiți o fracție zecimală la un număr obișnuit, mai întâi trebuie să:

• împărțiți întreaga parte a fracției zecimale la acest număr;
• după ce întreaga parte este împărțită, trebuie să puneți imediat o virgulă în coeficient și să continuați calculul, ca în diviziunea normală.

De exemplu, împărțiți 4,8 la 2

Să scriem acest exemplu într-un colț:

Acum să împărțim întreaga parte la 2. Patru împărțit la doi este egal cu doi. Scriem doi în coeficient și punem imediat virgulă:

Acum înmulțim câtul cu divizorul și vedem dacă există un rest din împărțire:

4−4=0. Restul este zero. Nu notăm încă zero, deoarece soluția nu este finalizată. În continuare, continuăm să calculăm ca în diviziunea obișnuită. Luați 8 și împărțiți-l la 2

8: 2 = 4. Scriem cele patru în cât și îl înmulțim imediat cu divizorul:

Am primit un răspuns de 2,4. Valoarea expresiei 4,8:2 este 2,4

Exemplul 2. Aflați valoarea expresiei 8.43: 3

Împărțiți 8 la 3, obținem 2. Puneți imediat o virgulă după 2:

Acum înmulțim câtul cu divizorul 2 × 3 = 6. Scriem șase sub opt și aflăm restul:

Împărțim 24 la 3, obținem 8. Scriem opt în coeficient. Înmulțiți-l imediat cu divizorul pentru a găsi restul împărțirii:

24−24=0. Restul este zero. Încă nu notăm zero. Luăm ultimele trei din dividend și împărțim la 3, obținem 1. Înmulțim imediat 1 cu 3 pentru a completa acest exemplu:

Răspunsul pe care l-am primit a fost 2,81. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 8,43: 3 este 2,81

Împărțirea unei zecimale la o zecimală

Pentru a împărți o fracție zecimală la o fracție zecimală, trebuie să mutați punctul zecimal în dividend și divizor la dreapta cu același număr de cifre ca și după punctul zecimal în divizor, apoi împărțiți la numărul obișnuit.

De exemplu, împărțiți 5,95 la 1,7

Să scriem această expresie cu un colț

Acum, în dividend și în divizor, mutăm punctul zecimal la dreapta cu același număr de cifre ca și după punctul zecimal din divizor. Împărțitorul are o cifră după virgulă. Aceasta înseamnă că în dividend și divizor trebuie să mutăm punctul zecimal la dreapta cu o cifră. Transferam:

După mutarea punctului zecimal la dreapta cu o cifră, fracția zecimală 5,95 a devenit fracția 59,5. Iar fracția zecimală 1,7, după ce a mutat punctul zecimal la dreapta cu o cifră, s-a transformat în numărul obișnuit 17. Și știm deja cum să împărțim o fracție zecimală la un număr obișnuit. Calculul suplimentar nu este dificil:

Virgula este mutată spre dreapta pentru a face împărțirea mai ușoară. Acest lucru este permis deoarece la înmulțirea sau împărțirea dividendului și a divizorului cu același număr, coeficientul nu se modifică. Ce înseamnă?

Acesta este unul dintre caracteristici interesante diviziune. Se numește proprietatea coeficientului. Luați în considerare expresia 9: 3 = 3. Dacă în această expresie dividendul și divizorul sunt înmulțite sau împărțite cu același număr, atunci coeficientul 3 nu se va modifica.

Să înmulțim dividendul și divizorul cu 2 și să vedem ce rezultă din el:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3

După cum se poate vedea din exemplu, coeficientul nu s-a schimbat.

Același lucru se întâmplă atunci când mutăm virgula în dividend și în divizor. În exemplul anterior, în care am împărțit 5,91 la 1,7, am mutat virgula în dividend și divizor cu o cifră la dreapta. După mutarea punctului zecimal, fracția 5,91 a fost transformată în fracția 59,1, iar fracția 1,7 a fost transformată în numărul obișnuit 17.

De fapt, în cadrul acestui proces a existat o înmulțire cu 10. Iată cum arăta:

5,91 × 10 = 59,1

Prin urmare, numărul de cifre după punctul zecimal din divizor determină cu ce vor fi înmulțite dividendul și divizorul. Cu alte cuvinte, numărul de cifre după punctul zecimal din divizor va determina câte cifre din dividend, iar în divizor punctul zecimal va fi mutat la dreapta.

Împărțirea unei zecimale la 10, 100, 1000

Împărțirea unei zecimale la 10, 100 sau 1000 se face în același mod ca . De exemplu, împărțiți 2,1 la 10. Rezolvați acest exemplu folosind un colț:

Dar există o a doua cale. E mai usoara. Esența acestei metode este că virgula din dividend este mutată la stânga cu atâtea cifre câte zerouri există în divizor.

Să rezolvăm exemplul anterior în acest fel. 2.1: 10. Ne uităm la divizor. Ne interesează câte zerouri sunt în el. Vedem că există un zero. Aceasta înseamnă că în dividendul de 2,1 trebuie să mutați punctul zecimal la stânga cu o cifră. Mutăm virgula la stânga cu o cifră și vedem că nu mai sunt cifre. În acest caz, adăugați încă un zero înaintea numărului. Ca rezultat, obținem 0,21

Să încercăm să împărțim 2,1 la 100. Există două zerouri în 100. Aceasta înseamnă că în dividendul 2.1 trebuie să mutăm virgula la stânga cu două cifre:

2,1: 100 = 0,021

Să încercăm să împărțim 2,1 la 1000. Există trei zerouri în 1000. Aceasta înseamnă că în dividendul 2.1 trebuie să mutați virgula la stânga cu trei cifre:

2,1: 1000 = 0,0021

Împărțirea unei zecimale la 0,1, 0,01 și 0,001

Împărțirea unei fracții zecimale la 0,1, 0,01 și 0,001 se face în același mod ca . În dividend și în divizor, trebuie să mutați punctul zecimal la dreapta cu atâtea cifre câte sunt după punctul zecimal din divizor.

De exemplu, să împărțim 6,3 la 0,1. Mai întâi de toate, să mutăm virgulele din dividend și divizor la dreapta cu același număr de cifre ca și după punctul zecimal din divizor. Împărțitorul are o cifră după virgulă. Aceasta înseamnă că mutăm virgulele din dividend și divizor la dreapta cu o cifră.

După mutarea punctului zecimal la o cifră din dreapta, fracția zecimală 6,3 devine numărul obișnuit 63, iar fracția zecimală 0,1 după mutarea punctului zecimal la o cifră din dreapta se transformă într-una. Și împărțirea a 63 la 1 este foarte simplă:

Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 6,3: 0,1 este 63

Dar există o a doua cale. E mai usoara. Esența acestei metode este că virgula din dividend este mutată la dreapta cu atâtea cifre câte zerouri sunt în divizor.

Să rezolvăm exemplul anterior în acest fel. 6,3: 0,1. Să ne uităm la divizor. Ne interesează câte zerouri sunt în el. Vedem că există un zero. Aceasta înseamnă că în dividendul de 6,3 trebuie să mutați punctul zecimal la dreapta cu o cifră. Mutați virgula la o cifră din dreapta și obțineți 63

Să încercăm să împărțim 6,3 la 0,01. Divizorul lui 0,01 are două zerouri. Aceasta înseamnă că în dividendul 6.3 trebuie să mutăm punctul zecimal la dreapta cu două cifre. Dar în dividend există doar o cifră după virgulă. În acest caz, trebuie să adăugați un alt zero la sfârșit. Ca rezultat, obținem 630

Să încercăm să împărțim 6,3 la 0,001. Divizorul lui 0,001 are trei zerouri. Aceasta înseamnă că în dividendul 6.3 trebuie să mutăm punctul zecimal la dreapta cu trei cifre:

6,3: 0,001 = 6300

Sarcini pentru soluție independentă

Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă noastre grup nou VKontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții

Dintre multele fracții găsite în aritmetică, cele care au 10, 100, 1000 la numitor - în general, orice putere a lui zece - merită o atenție deosebită. Aceste fracții au un nume și o notație specială.

O zecimală este orice fracție numerică al cărei numitor este puterea lui zece.

Exemple de fracții zecimale:

De ce a fost necesar să separăm astfel de fracții? De ce au nevoie de propria lor formă de înregistrare? Există cel puțin trei motive pentru aceasta:

1. Decimalele sunt mult mai ușor de comparat. Amintiți-vă: pentru comparație fracții obișnuite ele trebuie scăzute una de la alta și, în special, să aducă fracțiile la un numitor comun. La zecimale nu este necesar nimic de genul acesta;
2. Reduceți calculul. Decimalele se adună și se înmulțesc conform propriilor reguli și, cu puțină practică, vei putea lucra cu ele mult mai repede decât cu fracțiile obișnuite;
3. Ușurință de înregistrare. Spre deosebire de fracțiile obișnuite, zecimale sunt scrise pe o singură linie fără pierderea clarității.

Majoritatea calculatoarelor dau răspunsuri și în zecimale. În unele cazuri, un format de înregistrare diferit poate cauza probleme. De exemplu, ce se întâmplă dacă cereți o schimbare în magazin în valoare de 2/3 dintr-o rublă :)

Reguli pentru scrierea fracțiilor zecimale

Principalul avantaj al fracțiilor zecimale este notația convenabilă și vizuală. Anume:

Notația zecimală este o formă de scriere a fracțiilor zecimale în care partea întreagă este separată de partea fracțională printr-o punct regulat sau virgulă. În acest caz, separatorul în sine (punct sau virgulă) se numește punct zecimal.

De exemplu, 0,3 (a se citi: „punctul zero, 3 zecimi”); 7,25 (7 întregi, 25 sutimi); 3.049 (3 întregi, 49 miimi). Toate exemplele sunt preluate din definiția anterioară.

În scris, virgula este de obicei folosită ca punct zecimal. Aici și mai departe pe tot site-ul, va fi folosită și virgula.

Pentru a scrie o fracție zecimală arbitrară în această formă, trebuie să urmați trei pași simpli:

1. Scrieți separat numărătorul;
2. Deplasați punctul zecimal la stânga cu atâtea locuri câte zerouri există în numitor. Să presupunem că inițial punctul zecimal este la dreapta tuturor cifrelor;
3. Dacă punctul zecimal s-a mutat, iar după ea există zerouri la sfârșitul înregistrării, acestea trebuie tăiate.

Se întâmplă ca în pasul al doilea numărătorul să nu aibă suficiente cifre pentru a finaliza schimbarea. În acest caz, pozițiile lipsă sunt umplute cu zerouri. Și, în general, în stânga oricărui număr puteți atribui orice număr de zerouri fără a vă afecta sănătatea. Este urât, dar uneori util.

La prima vedere, acest algoritm poate părea destul de complicat. De fapt, totul este foarte, foarte simplu - trebuie doar să exersați puțin. Aruncă o privire la exemple:

Sarcină. Pentru fiecare fracție, indicați notația sa zecimală:

Numătorul primei fracții este: 73. Deplasăm punctul zecimal cu un loc (deoarece numitorul este 10) - obținem 7,3.

Numărătorul celei de-a doua fracții: 9. Deplasăm punctul zecimal cu două locuri (deoarece numitorul este 100) - obținem 0,09. A trebuit să adaug un zero după virgulă zecimală și încă unul înaintea ei, pentru a nu lăsa o intrare ciudată precum „.09”.

Numătorul celei de-a treia fracții: 10029. Deplasăm punctul zecimal cu trei locuri (deoarece numitorul este 1000) - obținem 10,029.

Numătorul ultimei fracții: 10500. Din nou deplasăm punctul cu trei cifre - obținem 10.500. Există zerouri suplimentare la sfârșitul numărului. Tăiați-le și obținem 10,5.

Fiți atenți la ultimele două exemple: numerele 10.029 și 10.5. Conform regulilor, zerourile din dreapta trebuie tăiate, așa cum sa făcut în ultimul exemplu. Cu toate acestea, nu ar trebui să faceți niciodată acest lucru cu zerouri în interiorul unui număr (care sunt înconjurate de alte numere). De aceea am primit 10.029 și 10.5, și nu 1.29 și 1.5.

Deci, ne-am dat seama de definiția și forma de scriere a fracțiilor zecimale. Acum să aflăm cum să convertim fracțiile obișnuite în zecimale - și invers.

Conversia din fracții în zecimale

Să considerăm o fracție numerică simplă de forma a /b. Puteți folosi proprietatea de bază a unei fracții și înmulțiți numărătorul și numitorul cu un astfel de număr încât partea de jos să se dovedească a fi o putere a zece. Dar înainte de a o face, citiți următoarele:

Există numitori care nu pot fi reduse la puteri de zece. Învățați să recunoașteți astfel de fracții, deoarece nu se poate lucra cu ele folosind algoritmul descris mai jos.

Așa stau lucrurile. Ei bine, de unde înțelegeți dacă numitorul este redus la o putere de zece sau nu?

Răspunsul este simplu: factorizarea numitorului în factori primi. Dacă expansiunea conține doar factorii 2 și 5, acest număr poate fi redus la o putere de zece. Dacă există alte numere (3, 7, 11 - orice), puteți uita de puterea lui zece.

Sarcină. Verificați dacă fracțiile indicate pot fi reprezentate ca zecimale:

Să scriem și să factorizăm numitorii acestor fracții:

20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - sunt prezente doar numerele 2 și 5. Prin urmare, fracția poate fi reprezentată ca zecimală.

12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 - există un factor „interzis” 3. Fracția nu poate fi reprezentată ca zecimală.

640 = 8 · 8 · 10 = 2 3 · 2 3 · 2 · 5 = 2 7 · 5. Totul este în ordine: nu există nimic în afară de numerele 2 și 5. O fracție poate fi reprezentată ca zecimală.

48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 4 · 3. Factorul 3 „a ieșit la suprafață” nu poate fi reprezentat ca o fracție zecimală.

Deci, am aranjat numitorul - acum să ne uităm la întregul algoritm pentru trecerea la fracții zecimale:

1. Factorizați numitorul fracției originale și asigurați-vă că aceasta este în general reprezentabilă ca zecimală. Aceste. verificați dacă doar factorii 2 și 5 sunt prezenți în expansiune. În caz contrar, algoritmul nu funcționează;
2. Numărați câte doi și cinci sunt prezenți în expansiune (nu vor fi alte numere acolo, vă amintiți?). Alegeți un factor suplimentar, astfel încât numărul de doi și cinci să fie egal.
3. De fapt, înmulțiți numărătorul și numitorul fracției originale cu acest factor - obținem reprezentarea dorită, adică. numitorul va fi o putere de zece.

Desigur, factorul suplimentar va fi, de asemenea, descompus doar în doi și cinci. În același timp, pentru a nu vă complica viața, ar trebui să alegeți cel mai mic multiplicator dintre toate posibilele.

Și încă ceva: dacă fracția inițială conține o parte întreagă, asigurați-vă că convertiți această fracție într-o fracție necorespunzătoare - și abia apoi aplicați algoritmul descris.

Sarcină. Traduceți datele fracții numerice la zecimală:

Să factorizăm numitorul primei fracții: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Prin urmare, fracția poate fi reprezentată ca zecimală. Expansiunea conține doi doi și nu un singur cinci, deci factorul suplimentar este 5 2 = 25. Cu ea, numărul de doi și cinci va fi egal. Avem:

Acum să ne uităm la a doua fracție. Pentru a face acest lucru, rețineți că 24 = 3 8 = 3 2 3 - există un triplu în expansiune, deci fracția nu poate fi reprezentată ca zecimală.

Ultimele două fracții au numitori 5 (număr prim) și respectiv 20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - doar doi și cinci sunt prezenți peste tot. Mai mult, în primul caz, „pentru fericire deplină” un factor de 2 nu este suficient, iar în al doilea - 5. Obținem:

Conversia din zecimale în fracții comune

Conversia inversă - de la notație zecimală la notație obișnuită - este mult mai simplă. Nu există restricții sau verificări speciale aici, așa că puteți oricând converti o fracție zecimală în fracția clasică „cu două etaje”.

Algoritmul de traducere este următorul:

1. Tăiați toate zerourile din partea stângă a zecimalei, precum și punctul zecimal. Acesta va fi numărătorul fracției dorite. Principalul lucru este să nu exagerați și să nu tăiați zerourile interioare înconjurate de alte numere;
2. Numărați câte zecimale sunt după virgulă. Luați numărul 1 și adăugați atâtea zerouri la dreapta câte caractere numărați. Acesta va fi numitorul;
3. De fapt, notează fracția al cărei numărător și numitor tocmai am găsit. Dacă este posibil, reduceți-l. Dacă fracția originală conținea o parte întreagă, vom obține acum o fracție necorespunzătoare, ceea ce este foarte convenabil pentru calcule ulterioare.

Sarcină. Convertiți fracțiile zecimale în fracții ordinare: 0,008; 3,107; 2,25; 7,2008.

Trimite zerourile din stânga și virgulele - obținem următoarele numere (aceștia vor fi numărătorii): 8; 3107; 225; 72008.

În prima și a doua fracție există 3 zecimale, în a doua - 2, iar în a treia - până la 4 zecimale. Obținem numitorii: 1000; 1000; 100; 10000.

În cele din urmă, să combinăm numărătorii și numitorii în fracții obișnuite:

După cum se poate vedea din exemple, fracția rezultată poate fi foarte des redusă. Permiteți-mi să remarc încă o dată că orice fracție zecimală poate fi reprezentată ca o fracție obișnuită. Este posibil ca conversia inversă să nu fie întotdeauna posibilă.

O fracție comună (sau număr mixt) în care numitorul este unul urmat de unul sau mai multe zerouri (adică 10, 100, 1000 etc.):

poate fi scris într-o formă mai simplă: fără numitor, separând părțile întregi și fracționale una de cealaltă prin virgulă (în acest caz, se consideră că partea întreagă a unei fracții proprii este egală cu 0). Mai întâi, se scrie întreaga parte, apoi se pune o virgulă, iar după aceasta se scrie partea fracțională:

Se numesc fracții comune (sau numere mixte) scrise în această formă zecimale.

Citirea și scrierea zecimalelor

Fracțiile zecimale sunt scrise după aceleași reguli care sunt folosite pentru a scrie numerele naturale sistem zecimal Socoteala. Aceasta înseamnă că în fracții zecimale, ca în numere naturale, fiecare cifră exprimă unități care sunt de zece ori mai mari decât unitățile adiacente din dreapta.

Luați în considerare următoarea intrare:

Numărul 8 reprezintă unitățile prime. Numărul 3 înseamnă unități care sunt de 10 ori mai mici decât unitățile simple, adică zecimi. 4 înseamnă sutimi, 2 înseamnă miimi etc.

Sunt numite numerele care apar în dreapta după virgulă zecimale.

Fracțiile zecimale se citesc astfel: mai întâi se numește întreaga parte, apoi partea fracțională. Când citiți o parte întreagă, ar trebui să răspundă întotdeauna la întrebarea: câte unități întregi există în întreaga parte? . Cuvântul întreg (sau întreg) este adăugat la răspuns, în funcție de numărul de unități întregi. De exemplu, un număr întreg, două numere întregi, trei numere întregi etc. La citirea părții fracționale, se numește numărul de acțiuni și la sfârșit se adaugă numele acelor părți cu care se termină partea fracțională:

3.1 se citește astfel: trei virgulă o zecime.

2.017 se citește astfel: două virgulă șaptesprezece miimi.

Pentru a înțelege mai bine regulile de scriere și citire a fracțiilor zecimale, luați în considerare tabelul de cifre și exemplele de scriere a numerelor date în acesta:

Vă rugăm să rețineți că după virgulă există tot atâtea cifre câte zerouri sunt în numitorul fracției ordinare corespunzătoare:

În acest articol vom înțelege ce este o fracție zecimală, ce caracteristici și proprietăți are. Să mergem! 🙂

O fracție zecimală este un caz special de fracții obișnuite (unde numitorul este un multiplu al lui 10).

Definiţie

Decimalele sunt fracții ai căror numitori sunt numere formate din unu și un număr de zerouri care le urmează. Adică, acestea sunt fracții cu numitorul 10, 100, 1000 etc. În caz contrar, o fracție zecimală poate fi caracterizată ca o fracție cu numitorul lui 10 sau una dintre puterile lui zece.

Exemple de fracții:

, ,

Fracțiile zecimale sunt scrise diferit de fracțiile obișnuite. Operațiile cu aceste fracții sunt, de asemenea, diferite de operațiile cu cele obișnuite. Regulile pentru operațiunile cu ele sunt în mare măsură similare cu regulile pentru operațiunile cu numere întregi. Acest lucru, în special, explică cererea lor de a rezolva probleme practice.

Reprezentarea fracțiilor în notație zecimală

Fracția zecimală nu are numitor; afișează numărul numărătorului. ÎN vedere generală Fracția zecimală se scrie după următoarea schemă:

unde X este partea întreagă a fracției, Y este partea sa fracțională, „,” este punctul zecimal.

Pentru a reprezenta corect o fracție ca zecimală, este nevoie să fie o fracție obișnuită, adică cu partea întreagă evidențiată (dacă este posibil) și un numărător care este mai mic decât numitorul. Apoi, în notație zecimală, partea întreagă este scrisă înainte de virgulă zecimală (X), iar numărătorul fracției comune este scris după virgulă zecimală (Y).

Dacă numărătorul conține un număr cu mai puține cifre decât numărul de zerouri din numitor, atunci în partea Y numărul de cifre lipsă din notația zecimală este completat cu zerouri înaintea cifrelor numărătorului.

Exemplu:

Dacă o fracție comună este mai mică de 1, adică nu are o parte întreagă, atunci pentru X în zecimal scrie 0.

În partea fracționară (Y), după ultima cifră semnificativă (diferită de zero), se poate introduce un număr arbitrar de zerouri. Acest lucru nu afectează valoarea fracției. În schimb, toate zerourile de la sfârșitul părții fracționale a zecimalei pot fi omise.

Citirea zecimale

Partea X este, în general, citită după cum urmează: „X numere întregi”.

Partea Y se citește în funcție de numărul din numitor. Pentru numitorul 10 ar trebui să citiți: „Y zecimi”, pentru numitorul 100: „Y sutimi”, pentru numitorul 1000: „Y zecimi” și așa mai departe... 😉

O altă abordare a citirii, bazată pe numărarea numărului de cifre ale părții fracționale, este considerată mai corectă. Pentru a face acest lucru, trebuie să înțelegeți că cifrele fracționale sunt situate în imagine în oglindăîn raport cu cifrele întregii părți a fracției.

Numele pentru citirea corectă sunt date în tabel:

Pe baza acestui fapt, citirea ar trebui să se bazeze pe respectarea numelui cifrei ultimei cifre a părții fracționale.

• 3.5 se citește ca „trei virgulă cinci”
• 0,016 spune „zero virgulă șaisprezece miimi”

Conversia unei fracții arbitrare într-o zecimală

Dacă numitorul unei fracții comune este 10 sau o putere a lui zece, atunci fracția este convertită așa cum este descris mai sus. În alte situații, sunt necesare transformări suplimentare.

Există 2 metode de traducere.

Prima metodă de transfer

Numătorul și numitorul trebuie înmulțite cu un astfel de număr întreg încât numitorul să producă numărul 10 sau una dintre puterile lui zece. Și apoi fracția este reprezentată în notație zecimală.

Această metodă este aplicabilă pentru fracțiile al căror numitor poate fi extins doar în 2 și 5. Deci, în exemplul anterior . Dacă expansiunea conține alți factori primi (de exemplu, ), atunci va trebui să recurgeți la metoda a 2-a.

A doua metodă de traducere

A doua metodă este de a împărți numărătorul la numitor într-o coloană sau pe un calculator. Toată parte, dacă există, nu participă la transformare.

Regula pentru împărțirea lungă care are ca rezultat o fracție zecimală este descrisă mai jos (vezi Împărțirea zecimalelor).

Transformarea unei fracții zecimale într-o fracție comună

Pentru a face acest lucru, ar trebui să scrieți partea sa fracțională (în dreapta punctului zecimal) ca numărător, iar rezultatul citirii părții fracționale ca număr corespunzător în numitor. Apoi, dacă este posibil, trebuie să reduceți fracția rezultată.

Fracție zecimală finită și infinită

O fracție zecimală se numește fracție finală, a cărei parte fracțională este formată dintr-un număr finit de cifre.

Toate exemplele de mai sus conțin fracții zecimale finale. Cu toate acestea, nu toate fracție comună poate fi reprezentat ca o zecimală finală. Dacă prima metodă de conversie nu este aplicabilă pentru o anumită fracție, iar cea de-a doua metodă demonstrează că împărțirea nu poate fi finalizată, atunci se poate obține doar o fracție zecimală infinită.

Este imposibil să scrieți o fracție infinită în forma sa completă. Într-o formă incompletă, astfel de fracții pot fi reprezentate:

1. ca urmare a reducerii la numărul dorit de zecimale;
2. ca fracție periodică.

O fracție se numește periodică dacă după virgulă zecimală este posibil să se distingă o secvență de cifre care se repetă la nesfârșit.

Fracțiile rămase se numesc neperiodice. Pentru fracțiile neperiodice este permisă doar prima metodă de reprezentare (rotunjire).

Un exemplu de fracție periodică: 0,8888888... Aici există un număr 8 care se repetă, care, evident, se va repeta la infinit, întrucât nu există niciun motiv să presupunem altfel. Această cifră se numește perioada fracției.

Fracțiile periodice pot fi pure sau mixte. O fracție zecimală pură este una a cărei perioadă începe imediat după virgulă. U fracție mixtă există 1 sau mai multe cifre înainte de virgulă zecimală.

54,33333… – fracție zecimală pură periodică

2,5621212121… – fracție mixtă periodică

Exemple de scriere a fracțiilor zecimale infinite:

Al doilea exemplu arată cum să formatați corect o perioadă în scrierea unei fracții periodice.

Conversia fracțiilor zecimale periodice în fracții obișnuite

Pentru a converti o fracție periodică pură într-o perioadă obișnuită, scrieți-o la numărător și scrieți un număr format din nouă într-o sumă egală cu numărul de cifre din perioada la numitor.

Fracția zecimală periodică mixtă se traduce după cum urmează:

1. trebuie să formați un număr format din numărul după virgulă zecimală înainte de punct și prima perioadă;
2. Din numărul rezultat, scădeți numărul după punctul zecimal dinaintea punctului. Rezultatul va fi numărătorul fracției comune;
3. la numitor trebuie să introduceți un număr format dintr-un număr de nouă egal cu numărul de cifre ale perioadei, urmat de zerouri, al căror număr este egal cu numărul de cifre ale numărului după virgulă zecimală înainte de prima perioadă.

Comparația zecimale

Fracțiile zecimale sunt comparate inițial după părțile lor întregi. Fracția a cărei întreaga parte este mai mare este mai mare.

Dacă părțile întregi sunt aceleași, atunci comparați cifrele cifrelor corespunzătoare ale părții fracționale, începând de la prima (de la zecimi). Același principiu se aplică și aici: fracția mai mare este cea cu mai multe zecimi; dacă cifrele zecimiilor sunt egale, cifrele zecimii sunt comparate și așa mai departe.

Din moment ce

, deoarece cu părți întregi egale și zecimi egale în partea fracțională, a 2-a fracție are o sutimă mai mare.

Adunarea și scăderea zecimalelor

Decimalele se adună și se scad în același mod ca și numerele întregi prin scrierea cifrelor corespunzătoare una sub alta. Pentru a face acest lucru, trebuie să aveți puncte zecimale una sub alta. Apoi unitățile (zecile etc.) ale părții întregi, precum și zecimile (sutimele etc.) ale părții fracționale, vor fi în concordanță. Cifrele lipsă ale părții fracționale sunt umplute cu zerouri. Direct Procesul de adunare și scădere se efectuează în același mod ca pentru numerele întregi.

Înmulțirea zecimalelor

Pentru a înmulți zecimale, trebuie să le scrieți una sub alta, aliniate cu ultima cifră și fără să acordați atenție locației punctelor zecimale. Apoi, trebuie să înmulți numerele în același mod ca atunci când înmulți numerele întregi. După primirea rezultatului, ar trebui să recalculați numărul de cifre după punctul zecimal din ambele fracții și să separați numărul total de cifre fracționale din numărul rezultat cu o virgulă. Dacă nu sunt suficiente cifre, acestea sunt înlocuite cu zerouri.

Înmulțirea și împărțirea zecimalelor cu 10n

Aceste acțiuni sunt simple și se reduc la mutarea punctului zecimal. P La înmulțire, punctul zecimal este mutat la dreapta (fracția este mărită) cu numărul de cifre, egală cu numărul zerouri în 10 n, unde n este o putere întreagă arbitrară. Adică, un anumit număr de cifre sunt transferate din partea fracțională în întreaga parte. La împărțire, în consecință, virgula este mutată la stânga (numărul scade), iar unele dintre cifre sunt transferate din partea întreagă în partea fracțională. Dacă nu sunt suficiente numere de transferat, atunci cifrele lipsă sunt umplute cu zerouri.

Sub forma:

± d m … d 1 d 0 , d -1 d -2 …

unde ± este semnul fracției: fie +, fie -,

, este un punct zecimal care servește ca separator între părțile întregi și fracționale ale unui număr,

dk- numere zecimale.

În acest caz, ordinea numerelor înainte de virgulă zecimală (în stânga acesteia) are un sfârșit (ca min 1 pe cifră), iar după virgulă zecimală (în dreapta) poate fi atât finită (opțional, este posibil să nu existe deloc cifre după virgulă zecimală) și infinit.

Valoare zecimală ± d m … d 1 d 0 , d -1 d -2 … este un numar real:

care este egală cu suma unui număr finit sau infinit de termeni.

Reprezentarea numerelor reale folosind fracții zecimale este o generalizare a scrierii numerelor întregi în sistemul numeric zecimal. Reprezentarea zecimală a unui număr întreg nu are cifre după virgulă, deci reprezentarea arată astfel:

± d m … d 1 d 0 ,

Și aceasta coincide cu scrierea numărului nostru în sistemul numeric zecimal.

Zecimal- acesta este rezultatul împărțirii lui 1 în 10, 100, 1000 și așa mai departe. Aceste fracții sunt destul de convenabile pentru calcule, deoarece se bazează pe același sistem pozițional pe care se bazează numărarea și înregistrarea numerelor întregi. Datorită acestui fapt, notația și regulile de lucru cu fracții zecimale sunt aproape aceleași ca pentru numerele întregi.

Când scrieți fracții zecimale, nu trebuie să marcați numitorul, acesta este determinat de locul ocupat de cifra corespunzătoare. Mai întâi scriem întreaga parte a numărului, apoi punem un punct zecimal în dreapta. Prima cifră după virgulă indică numărul de zecimi, a doua - numărul de sutimi, a treia - numărul de miimi și așa mai departe. Numerele care sunt situate după virgulă zecimală sunt zecimale.

De exemplu:

Unul dintre avantajele fracțiilor zecimale este că pot fi reduse foarte ușor la fracții obișnuite: numărul după virgulă zecimală (la noi este 5047) este numărător; numitor egală n-a putere de 10, unde n- numărul de zecimale (pentru noi acesta este n=4):

Când nu există o parte întreagă într-o fracție zecimală, punem un zero înaintea virgulei zecimale:

Proprietățile fracțiilor zecimale.

1. Decimala nu se schimbă atunci când se adaugă zerouri la dreapta:

13.6 =13.6000.

2. Decimala nu se schimbă atunci când zerourile de la sfârșitul zecimalei sunt eliminate:

0.00123000 = 0.00123.

Atenţie! Nu puteți elimina zerourile care NU sunt situate la sfârșitul fracției zecimale!

3. Fracția zecimală crește cu 10, 100, 1000 și așa mai departe ori când mutam punctul zecimal în pozițiile 1, 2, 2 și așa mai departe la dreapta, respectiv:

3,675 → 367,5 (fracția crescută de o sută de ori).

4. Fracția zecimală devine de zece, o sută, mie și așa mai mică de ori mai departe atunci când mutăm punctul zecimal la 1, 2, 3 și așa mai departe pozițiile la stânga, respectiv:

1536,78 → 1,53678 (fracția a devenit de o mie de ori mai mică).

Tipuri de fracții zecimale.

Fracțiile zecimale sunt împărțite în final, fără sfârşitŞi zecimale periodice.

Fracția zecimală finală este aceasta este o fracție care conține un număr finit de cifre după virgulă zecimală (sau nu există deloc), adică arata asa:

Un număr real poate fi reprezentat ca o fracție zecimală finită numai dacă acest număr este rațional și atunci când este scris ca o fracție ireductibilă p/q numitor q nu are alți factori primi decât 2 și 5.

Decimală infinită.

Conține un grup de numere care se repetă la infinit perioadă. Perioada este scrisă între paranteze. De exemplu, 0,12345123451234512345... = 0.(12345).

Decimală periodică- aceasta este o fracție zecimală infinită în care succesiunea de cifre după virgulă, începând de la un anumit loc, este un grup de cifre care se repetă periodic. Cu alte cuvinte, fracție periodică- o fracție zecimală care arată astfel:

O astfel de fracție este de obicei scrisă pe scurt după cum urmează:

Grup de numere b 1 … b l, care se repetă, este perioada fracției, numărul de cifre din acest grup este durata perioadei.

Când într-o fracție periodică, perioada vine imediat după virgulă, înseamnă că fracția este periodic pur. Când există numere între virgulă zecimală și prima perioadă, atunci fracția este periodic mixt, iar grupul de cifre după virgulă zecimală până la prima cifră a perioadei este preperioada de fracție.

De exemplu, fracția 1,(23) = 1,2323... este periodică pură, iar fracția 0,1(23) = 0,12323... este periodică mixtă.

Principala proprietate a fracțiilor periodice, datorită căruia se deosebesc de întregul set de fracții zecimale, constă în faptul că fracțiile periodice și numai ele reprezintă numere raționale. Mai precis, se întâmplă următoarele:

Orice fracție zecimală infinit periodică reprezintă un număr rațional. În schimb, atunci când un număr rațional este extins într-o fracție zecimală infinită, înseamnă că această fracție va fi periodică.