Ecuația unei tangente la o dreaptă paralelă online. Coeficientul unghiular al unei tangente ca tangente a unghiului de înclinare
Instrucţiuni
Determinăm coeficientul unghiular al tangentei la curbă în punctul M.
Curba reprezentând graficul funcției y = f(x) este continuă într-o anumită vecinătate a punctului M (inclusiv punctul M însuși).
Dacă valoarea f‘(x0) nu există, atunci fie nu există tangentă, fie rulează vertical. Având în vedere acest lucru, prezența unei derivate a funcției în punctul x0 se datorează existenței unei tangente neverticale tangente la graficul funcției în punctul (x0, f(x0)). În acest caz, coeficientul unghiular al tangentei va fi egal cu f "(x0). Astfel, sensul geometric al derivatei devine clar - calculul coeficientului unghiular al tangentei.
Găsiți valoarea de abscisă a punctului tangent, care este notat cu litera „a”. Dacă coincide cu un punct tangent dat, atunci „a” va fi coordonata sa x. Determinați valoarea funcții f(a) prin substituirea în ecuație funcții valoare de abscisă.
Determinați prima derivată a ecuației funcții f’(x) și înlocuiți valoarea punctului „a” în ea.
Ia ecuație generală tangentă, care este definită ca y = f(a) = f (a)(x – a), și înlocuiți valorile găsite ale lui a, f(a), f „(a) în ea. Ca rezultat, se va găsi soluţia graficului şi tangentei.
Rezolvați problema într-un mod diferit dacă punctul tangent dat nu coincide cu punctul tangent. În acest caz, este necesar să înlocuiți „a” în loc de numere în ecuația tangentei. După aceasta, în loc de literele „x” și „y”, înlocuiți valoarea coordonatelor punctului dat. Rezolvați ecuația rezultată în care „a” este necunoscutul. Introduceți valoarea rezultată în ecuația tangentei.
Scrieți o ecuație pentru o tangentă cu litera „a” dacă enunțul problemei specifică ecuația funcțiiși ecuația unei drepte paralele în raport cu tangentei dorite. După aceasta avem nevoie de derivată funcții, la coordonatele din punctul „a”. Înlocuiți valoarea corespunzătoare în ecuația tangentei și rezolvați funcția.
Tangentă este o linie dreaptă care trece printr-un punct de pe curbă și coincide cu acesta în acest punct până la ordinul întâi (Fig. 1).
O altă definiție: aceasta este poziția limită a secantei la Δ x→0.
Explicație: Luați o linie dreaptă care intersectează curba în două puncte: OŞi b(vezi poza). Aceasta este o secanta. O vom roti în sensul acelor de ceasornic până când va găsi un singur punct comun cu curba. Acest lucru ne va oferi o tangentă.
Definiție strictă a tangentei:
Tangenta la graficul unei functii f, diferentiabil la punct xO, este o dreaptă care trece prin punctul ( xO; f(xO)) și având o pantă f′( xO).
Factorul de pantă are o linie dreaptă a formei y =kx +b. Coeficient k si este pantă această linie dreaptă.
Coeficientul unghiular este egal cu tangentei unghiului ascuțit format de această dreaptă cu axa absciselor:
|
Aici unghiul α este unghiul dintre linia dreaptă y =kx +bși direcția pozitivă (adică în sens invers acelor de ceasornic) a axei x. Se numește unghiul de înclinare al unei linii drepte(Fig. 1 și 2). 
Dacă unghiul de înclinare este drept y =kx +b acută, atunci panta este număr pozitiv. Graficul este în creștere (Fig. 1).
Dacă unghiul de înclinare este drept y =kx +b este obtuz, atunci panta este un număr negativ. Graficul este în scădere (Fig. 2).
Dacă linia dreaptă este paralelă cu axa x, atunci unghiul de înclinare al dreptei este zero. În acest caz, panta dreptei este, de asemenea, zero (deoarece tangenta lui zero este zero). Ecuația dreptei va arăta ca y = b (Fig. 3).
Dacă unghiul de înclinare al unei drepte este de 90º (π/2), adică este perpendicular pe axa absciselor, atunci linia dreaptă este dată de egalitate x =c, Unde c– un număr real (Fig. 4).
Ecuația tangentei la graficul unei funcțiiy = f(x) la un moment dat xO:
Exemplu: Găsiți ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = x 3 – 2x 2 + 1 în punctul cu abscisa 2.
Soluție.
Urmăm algoritmul.
1) Punct de atingere xO este egal cu 2. Calculați f(xO):
f(xO) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1
2) Găsiți f′( x). Pentru a face acest lucru, aplicăm formulele de diferențiere prezentate în secțiunea anterioară. Conform acestor formule, X 2 = 2X, A X 3 = 3X 2. Mijloace:
f′( x) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.
Acum, folosind valoarea rezultată f′( x), calculează f′( xO):
f′( xO) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.
3) Deci, avem toate datele necesare: xO = 2, f(xO) = 1, f ′( xO) = 4. Înlocuiți aceste numere în ecuația tangentei și găsiți soluția finală:
y = f(xO) + f′( xO) (x – x o) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.
Răspuns: y = 4x – 7.
Pe scena modernă dezvoltarea educației, una dintre sarcinile sale principale este formarea unei personalități care gândesc creativ. Capacitatea de creativitate la elevi poate fi dezvoltată doar dacă aceștia sunt implicați sistematic în elementele de bază activitati de cercetare. Fundația pentru ca elevii să-și folosească puterile, abilitățile și talentele creative este formată de cunoștințe și abilități cu drepturi depline. În acest sens, problema formării unui sistem cunoștințe de bazăși abilități pentru fiecare subiect curs şcolar matematica are o importanță nu mică. În același timp, abilitățile cu drepturi depline ar trebui să fie scopul didactic nu al sarcinilor individuale, ci al unui sistem atent gândit al acestora. În sensul cel mai larg, un sistem este înțeles ca un set de elemente interconectate care interacționează care au integritate și o structură stabilă.
Să luăm în considerare o tehnică pentru a-i învăța pe elevi cum să scrie o ecuație pentru o tangentă la graficul unei funcții. În esență, toate problemele de găsire a ecuației tangentei se rezumă la necesitatea de a selecta dintr-o mulțime (mănunchi, familie) de linii pe acelea care satisfac o anumită cerință - sunt tangente la graficul unei anumite funcții. În acest caz, setul de linii din care se efectuează selecția poate fi specificat în două moduri:
a) un punct situat pe planul xOy (creion central de linii);
b) coeficient unghiular (fascicul paralel de drepte).
În acest sens, la studierea subiectului „Tangentă la graficul unei funcții” pentru a izola elementele sistemului, am identificat două tipuri de probleme:
1) probleme tangente, dat de punct, prin care trece;
2) probleme pe o tangentă dată de panta acesteia.
Instruirea în rezolvarea problemelor tangente a fost realizată folosind algoritmul propus de A.G. Mordkovici. Diferența sa fundamentală față de cele deja cunoscute este că abscisa punctului tangent se notează cu litera a (în loc de x0) și, prin urmare, ecuația tangentei ia forma
y = f(a) + f "(a)(x – a)
(comparați cu y = f(x 0) + f „(x 0)(x – x 0)). Această tehnică metodologică, în opinia noastră, permite elevilor să înțeleagă rapid și ușor unde sunt scrise coordonatele punctului curent în ecuația tangentei generale și unde sunt punctele de contact.
Algoritm pentru alcătuirea ecuației tangente la graficul funcției y = f(x)
1. Desemnați abscisa punctului tangent cu litera a.
2. Găsiți f(a).
3. Aflați f „(x) și f „(a).
4. Înlocuiți numerele găsite a, f(a), f "(a) în ecuația tangentă generală y = f(a) = f "(a)(x – a).
Acest algoritm poate fi compilat pe baza identificării independente a operațiunilor de către elevi și a secvenței de implementare a acestora.
Practica a arătat că soluție secvențială fiecare dintre sarcinile cheie folosind un algoritm vă permite să dezvoltați abilitățile de a scrie o ecuație a unei tangente la graficul unei funcții în etape, iar pașii algoritmului servesc ca puncte de referință pentru acțiuni. Această abordare corespunde teoriei formării treptate a acțiunilor mentale dezvoltată de P.Ya. Galperin și N.F. Talizina.
În primul tip de sarcini au fost identificate două sarcini cheie:
- tangenta trece printr-un punct situat pe curbă (problema 1);
- tangenta trece printr-un punct care nu se află pe curbă (problema 2).
Sarcina 1. Scrieți o ecuație pentru tangenta la graficul funcției 
în punctul M(3; – 2).
Soluţie. Punctul M(3; – 2) este un punct tangent, deoarece
1. a = 3 – abscisa punctului tangent.
2. f(3) = – 2.
3. f „(x) = x 2 – 4, f „(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – ecuația tangentei.
Problema 2. Scrieți ecuațiile tuturor tangentelor la graficul funcției y = – x 2 – 4x + 2 care trece prin punctul M(– 3; 6).
Soluţie. Punctul M(– 3; 6) nu este un punct tangent, deoarece f(– 3) 6 (Fig. 2).
2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f „(x) = – 2x – 4, f „(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – ecuația tangentei.
Tangenta trece prin punctul M(– 3; 6), prin urmare, coordonatele ei satisfac ecuația tangentei.
6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.
Dacă a = – 4, atunci ecuația tangentei este y = 4x + 18.
Dacă a = – 2, atunci ecuația tangentei are forma y = 6.
În al doilea tip, sarcinile cheie vor fi următoarele:
- tangenta este paralelă cu o dreaptă (problema 3);
- tangenta trece la un anumit unghi fata de dreapta data (problema 4).
Problema 3. Scrieți ecuațiile tuturor tangentelor la graficul funcției y = x 3 – 3x 2 + 3, paralele cu dreapta y = 9x + 1.
1. a – abscisa punctului tangent.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f „(x) = 3x 2 – 6x, f „(a) = 3a 2 – 6a.
Dar, pe de altă parte, f "(a) = 9 (condiția de paralelism). Aceasta înseamnă că trebuie să rezolvăm ecuația 3a 2 – 6a = 9. Rădăcinile sale sunt a = – 1, a = 3 (Fig. 3). ).
4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);
y = 9x + 8 – ecuația tangentei;
1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f „(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);
y = 9x – 24 – ecuația tangentei.
Problema 4. Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției y = 0,5x 2 – 3x + 1, trecând cu un unghi de 45° la dreapta y = 0 (Fig. 4).
Soluţie. Din condiția f „(a) = tan 45° găsim a: a – 3 = 1 ^ a = 4.
1. a = 4 – abscisa punctului tangent.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f „(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).
y = x – 7 – ecuația tangentei.
Este ușor de demonstrat că rezolvarea oricărei alte probleme se rezumă la rezolvarea uneia sau mai multor probleme cheie. Luați în considerare următoarele două probleme ca exemplu.
1. Scrieți ecuațiile tangentelor la parabola y = 2x 2 – 5x – 2, dacă tangentele se intersectează în unghi drept și una dintre ele atinge parabola în punctul cu abscisa 3 (Fig. 5).
Soluţie. Deoarece abscisa punctului de tangență este dată, prima parte a soluției este redusă la problema cheie 1.
1. a = 3 – abscisa punctului de tangenta a uneia dintre laturi unghi drept.
2. f(3) = 1.
3. f „(x) = 4x – 5, f „(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – ecuația primei tangente.
Fie a unghiul de înclinare al primei tangente. Deoarece tangentele sunt perpendiculare, atunci este unghiul de înclinare al celei de-a doua tangente. Din ecuația y = 7x – 20 a primei tangente avem tg a = 7. Să aflăm
Aceasta înseamnă că panta celei de-a doua tangente este egală cu .
Soluția ulterioară se reduce la sarcina cheie 3.
Fie B(c; f(c)) punctul de tangență al celei de-a doua drepte, atunci
1. – abscisa celui de-al doilea punct de tangenta.
2. 
3. 
4. 
– ecuația celei de-a doua tangente.
Nota. Coeficientul unghiular al tangentei poate fi găsit mai ușor dacă elevii cunosc raportul dintre coeficienții dreptelor perpendiculare k 1 k 2 = – 1.
2. Scrieți ecuațiile tuturor tangentelor comune la graficele funcțiilor
Soluţie. Sarcina se rezumă la găsirea abscisei punctelor tangente ale tangentelor comune, adică rezolvarea problemei cheie 1 în formă generală, elaborarea unui sistem de ecuații și apoi rezolvarea acestuia (Fig. 6).
1. Fie a abscisa punctului tangent situat pe graficul funcției y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f „(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .
1. Fie c abscisa punctului tangent situat pe graficul funcției 
2. 
3. f „(c) = c.
4.
Din moment ce tangentele sunt generale, atunci
Deci y = x + 1 și y = – 3x – 3 sunt tangente comune.
Scopul principal al sarcinilor luate în considerare este de a pregăti elevii să recunoască în mod independent tipul de problemă cheie atunci când rezolvă mai multe sarcini complexe, care necesită anumite abilități de cercetare (capacitatea de a analiza, compara, generaliza, formula o ipoteză etc.). Astfel de sarcini includ orice sarcină în care sarcina cheie este inclusă ca componentă. Să luăm ca exemplu problema (inversa cu problema 1) de a găsi o funcție din familia tangentelor sale.
3. Pentru ce b și c sunt dreptele y = x și y = – 2x tangente la graficul funcției y = x 2 + bx + c?
Fie t abscisa punctului de tangență al dreptei y = x cu parabola y = x 2 + bx + c; p este abscisa punctului de tangență al dreptei y = – 2x cu parabola y = x 2 + bx + c. Atunci ecuația tangentei y = x va lua forma y = (2t + b)x + c – t 2 , iar ecuația tangentei y = – 2x va lua forma y = (2p + b)x + c – p 2 .
Să compunem și să rezolvăm un sistem de ecuații
Răspuns: 
Luați în considerare următoarea figură:
Acesta descrie o anumită funcție y = f(x), care este diferențiabilă în punctul a. Punctul M cu coordonatele (a; f(a)) este marcat. O secantă MR este trasată printr-un punct arbitrar P(a + ∆x; f(a + ∆x)) al graficului.
Dacă acum punctul P este deplasat de-a lungul graficului către punctul M, atunci linia dreaptă MR se va roti în jurul punctului M. În acest caz, ∆x va tinde spre zero. De aici putem formula definiția unei tangente la graficul unei funcții.
Tangenta la graficul unei functii
Tangenta la graficul unei funcții este poziția limită a secantei, deoarece incrementul argumentului tinde spre zero. Trebuie înțeles că existența derivatei funcției f în punctul x0 înseamnă că în acest punct al graficului există tangentă la el.
În acest caz, coeficientul unghiular al tangentei va fi egal cu derivata acestei funcții în acest punct f’(x0). Acesta este sensul geometric al derivatului. Tangenta la graficul unei functii f diferentiabila in punctul x0 este o anumita dreapta care trece prin punctul (x0;f(x0)) si avand un coeficient unghiular f’(x0).
Ecuația tangentei
Să încercăm să obținem ecuația tangentei la graficul unei funcții f în punctul A(x0; f(x0)). Ecuația unei drepte cu panta k are următoarea vedere:
Deoarece coeficientul nostru de pantă este egal cu derivata f’(x0), atunci ecuația va lua următoarea formă: y = f’(x0)*x + b.
Acum să calculăm valoarea lui b. Pentru a face acest lucru, folosim faptul că funcția trece prin punctul A.
f(x0) = f’(x0)*x0 + b, de aici exprimăm b și obținem b = f(x0) - f’(x0)*x0.
Inlocuim valoarea rezultata in ecuatia tangentei:
y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).
y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).
Luați în considerare următorul exemplu: găsiți ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 în punctul x = 2.
2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.
3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.
4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.
5. Înlocuiți valorile obținute în formula tangentei, obținem: y = 1 + 4*(x - 2). Deschizând parantezele și aducând termeni similari obținem: y = 4*x - 7.
Răspuns: y = 4*x - 7.
Schema generala de alcatuire a ecuatiei tangentei la graficul funcției y = f(x):
1. Determinați x0.
2. Calculați f(x0).
3. Calculați f’(x)
O tangentă este o linie dreaptă , care atinge graficul unei funcții într-un punct și toate punctele fiind pe distanța cea mai scurtă din graficul funcției. Prin urmare, tangenta trece tangentă la graficul funcției la un anumit unghi și mai multe tangente la unghiuri diferite nu pot trece prin punctul de tangență. Ecuațiile tangente și ecuațiile normale la graficul unei funcții sunt construite folosind derivata.
Ecuația tangentei este derivată din ecuația dreptei .
Să derivăm ecuația tangentei și apoi ecuația normalei la graficul funcției.
y = kx + b .
În ea k- coeficientul unghiular.
De aici obținem următoarea intrare:
y - y 0 = k(x - x 0 ) .
Valoarea derivată f "(x 0 ) funcții y = f(x) la punct x0 egală cu panta k= tg φ tangentă la graficul unei funcții trasate printr-un punct M0 (x 0 , y 0 ) , Unde y0 = f(x 0 ) . Aceasta este sensul geometric al derivatului .
Astfel, putem înlocui k pe f "(x 0 ) și obțineți următoarele ecuația tangentei la graficul unei funcții :
y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .
În problemele care implică alcătuirea ecuației unei tangente la graficul unei funcții (și vom trece la ele în curând), este necesar să reducem ecuația obținută din formula de mai sus la ecuația unei drepte în formă generală. Pentru a face acest lucru, trebuie să transferați toate literele și numerele în partea stângă ecuație și lăsați zero în partea dreaptă.
Acum despre ecuația normală. Normal - aceasta este o dreaptă care trece prin punctul de tangență la graficul funcției perpendiculară pe tangentă. Ecuație normală :
(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0
Pentru a vă încălzi, vi se cere să rezolvați singur primul exemplu, apoi să priviți soluția. Există toate motivele să sperăm că această sarcină nu va fi un „duș rece” pentru cititorii noștri.
Exemplul 0. Creați o ecuație tangentă și o ecuație normală pentru graficul unei funcții într-un punct M (1, 1) .
Exemplul 1. Scrieți o ecuație tangentă și o ecuație normală la graficul unei funcții 
, dacă abscisa este tangentă .
Să găsim derivata funcției:
Acum avem tot ce trebuie înlocuit în intrarea dată în ajutorul teoretic pentru a obține ecuația tangentei. Primim
În acest exemplu, am avut noroc: panta s-a dovedit a fi zero, așa că reducem separat ecuația la aspectul general nu era nevoie. Acum putem crea ecuația normală:
În figura de mai jos: graficul unei funcții de culoare visiniu, tangentă verde, portocaliu normal.
Următorul exemplu nu este, de asemenea, complicat: funcția, ca și în cea precedentă, este și un polinom, dar panta nu va fi egală cu zero, așa că se va adăuga încă un pas - aducând ecuația la o formă generală.
Exemplul 2.
Soluţie. Să găsim ordonata punctului tangent:
Să găsim derivata funcției:
.
Să găsim valoarea derivatei în punctul de tangență, adică panta tangentei:
Înlocuim toate datele obținute în „formula goală” și obținem ecuația tangentei:
Aducem ecuația la forma ei generală (colectăm toate literele și numerele, altele decât zero în partea stângă și lăsăm zero în dreapta):
Compunem ecuația normală:
Exemplul 3. Scrieți ecuația tangentei și ecuația normalei la graficul funcției dacă abscisa este punctul de tangență.
Soluţie. Să găsim ordonata punctului tangent:
Să găsim derivata funcției:
.
Să găsim valoarea derivatei în punctul de tangență, adică panta tangentei:
.
Găsim ecuația tangentei:
Înainte de a aduce ecuația la forma sa generală, trebuie să o „pieptănați” puțin: înmulțiți termen cu termen cu 4. Facem acest lucru și aducem ecuația la forma sa generală:
Compunem ecuația normală:
Exemplul 4. Scrieți ecuația tangentei și ecuația normalei la graficul funcției dacă abscisa este punctul de tangență.
Soluţie. Să găsim ordonata punctului tangent:
.
Să găsim derivata funcției:
Să găsim valoarea derivatei în punctul de tangență, adică panta tangentei:
.
Obtinem ecuatia tangentei:
Aducem ecuația la forma ei generală:
Compunem ecuația normală:
O greșeală comună atunci când scrieți ecuații tangente și normale este să nu observați că funcția dată în exemplu este complexă și să calculați derivata ei ca derivată a unei funcții simple. Următoarele exemple sunt deja din funcții complexe(lecția corespunzătoare se va deschide într-o fereastră nouă).
Exemplul 5. Scrieți ecuația tangentei și ecuația normalei la graficul funcției dacă abscisa este punctul de tangență.
Soluţie. Să găsim ordonata punctului tangent:
Atenţie! Această funcție- complex, deoarece argumentul tangentei (2 x) este în sine o funcție. Prin urmare, găsim derivata unei funcții ca derivată a unei funcții complexe.