Definiția unui derivat și semnificația sa fizică. Subiectul lecției „sensul geometric al derivatului”

Derivată a unei funcții.

1. Definiția unei derivate, sensul ei geometric.

2. Derivata unei functii complexe.

3. Derivată a funcției inverse.

4. Derivate de ordin superior.

5. Funcții definite parametric și implicit.

6. Diferențierea funcțiilor specificate parametric și implicit.

Introducere.

Originile calculului diferențial au fost două întrebări ridicate de cerințele științei și tehnologiei în secolul al XVII-lea.

1) Întrebare despre calcularea vitezei pentru o lege de mișcare dată arbitrar.

2) Problema găsirii (folosind calcule) a unei tangente la o curbă dată arbitrar.

Problema trasării unei tangente la unele curbe a fost rezolvată de savantul grec antic Arhimede (287-212 î.Hr.), folosind metoda desenului.

Dar numai în secolele al XVII-lea și al XVIII-lea, în legătură cu progresul științei naturale și al tehnologiei, aceste probleme au primit dezvoltarea cuvenită.

Una dintre întrebările importante atunci când se studiază orice fenomen fizic este de obicei problema vitezei, viteza de producere a fenomenului.

Viteza cu care se deplasează un avion sau o mașină este întotdeauna cel mai important indicator al performanței sale. Rata de creștere a populației unui anumit stat este una dintre principalele caracteristici ale dezvoltării sale sociale.

Ideea originală a vitezei este clară pentru toată lumea. Cu toate acestea, această idee generală nu este suficientă pentru a rezolva majoritatea problemelor practice. Este necesar să existe o astfel de definiție cantitativă a acestei mărimi, pe care o numim viteză. Necesitatea unei asemenea determinări cantitative precise a servit istoric ca unul dintre principalele stimulente pentru crearea analizei matematice. O întreagă secțiune de analiză matematică este dedicată rezolvării acestei probleme de bază și tragerii de concluzii din această soluție. Trecem la studiul acestei secțiuni.

Definiția derivată, sensul său geometric.

Să fie dată o funcție care este definită într-un anumit interval (a,c)și continuu în ea.

1. Să dăm argumentul X increment , apoi funcția va primi

creştere:

2. Să creăm o relație .

3. Trecerea la limita la și, presupunând că limita

există, obținem o cantitate numită

derivata unei functii fata de argument X.

Definiţie. Derivata unei functii intr-un punct este limita raportului dintre incrementul functiei si incrementul argumentului cand →0.

Valoarea derivatei depinde în mod evident de punct X, în care se găsește, prin urmare derivata funcției este, la rândul ei, oarecare funcție a X. Notat cu .

Prin definiție avem

sau (3)

Exemplu. Aflați derivata funcției.

1. ;

Se consideră graficul unei funcții y = f(x).

Să marchem pe el un anumit punct A cu coordonate (x, f(x)) și nu departe de el un punct B cu coordonate (x+h, f(x+h). Să trasăm o dreaptă (AB) prin aceste puncte Luați în considerare expresia . Diferența f(x+h)-f(x) este egală cu distanța BL, iar distanța AL este egală cu h. Raportul BL/AL este tangenta ε a unghiului - unghiul de înclinare al dreptei (AB). Acum să ne imaginăm că valoarea lui h este foarte, foarte mică. Apoi linia dreaptă (AB) va coincide aproape cu tangenta din punctul x la graficul funcției y = f(x).

Deci, să dăm câteva definiții.

Derivata functiei y = f(x) in punctul x se numeste limita raportului întrucât h tinde spre zero. Ei scriu:

Sensul geometric al derivatei este tangenta unghiului de înclinare al tangentei.

Derivatul are și un sens fizic. În școala elementară, viteza a fost definită ca distanță împărțită la timp. Cu toate acestea, în viața reală, viteza, de exemplu, a unei mașini nu este constantă pe toată durata călătoriei. Fie calea o funcție a timpului - S(t) Să fixăm momentul timpului t. Într-o perioadă scurtă de timp de la t la t+h, mașina va parcurge calea S(t+h)-S(t). Într-o perioadă scurtă de timp, viteza nu se va schimba prea mult și, prin urmare, puteți folosi definiția vitezei cunoscută de la școala elementară . Și deoarece h tinde spre zero, aceasta va fi derivata.

Derivata functiei f (x) in punctul x0 este limita (daca exista) a raportului dintre incrementul functiei in punctul x0 si incrementul argumentului Δx, daca incrementul argumentului tinde sa zero și se notează cu f '(x0). Acțiunea de a găsi derivata unei funcții se numește diferențiere.
Derivata unei functii are urmatoarea semnificatie fizica: derivata unei functii intr-un punct dat este rata de schimbare a functiei intr-un punct dat.

Sensul geometric al derivatului. Derivata in punctul x0 este egala cu panta tangentei la graficul functiei y=f(x) in acest punct.

Sensul fizic al derivatului. Dacă un punct se mișcă de-a lungul axei x și coordonatele lui se modifică conform legii x(t), atunci viteza instantanee a punctului este:

Conceptul de diferenţial, proprietăţile sale. Reguli de diferențiere. Exemple.

Definiţie. Diferenţialul unei funcţii la un anumit punct x este partea liniară principală a incrementului funcţiei Diferenţiala funcţiei y = f(x) este egală cu produsul derivatei sale şi incrementul variabilei independente x. (argument).

Este scris astfel:

sau

Sau


Proprietăți diferențiale
Diferenţialul are proprietăţi similare cu cele ale derivatei:





LA regulile de bază de diferențiere include:
1) plasarea unui factor constant în afara semnului derivatei
2) derivata unei sume, derivata unei diferente
3) derivată a produsului de funcții
4) derivată a câtului a două funcții (derivată a unei fracții)

Exemple.
Să demonstrăm formula: Prin definiția derivatei avem:

Un factor arbitrar poate fi luat dincolo de semnul trecerii la limită (acest lucru este cunoscut din proprietățile limitei), prin urmare

De exemplu: Aflați derivata unei funcții
Soluţie: Să folosim regula plasării multiplicatorului în afara semnului derivatei :

Destul de des este necesar să se simplifice mai întâi forma funcției diferențiabile pentru a utiliza tabelul de derivate și regulile de găsire a derivatelor. Următoarele exemple confirmă clar acest lucru.

Formule de diferențiere. Aplicarea diferenţialului în calcule aproximative. Exemple.

Utilizarea unei diferenţiale în calculele aproximative vă permite să utilizaţi o diferenţială pentru a aproxima valorile unei funcţii.
Exemple.
Folosind diferența, calculați aproximativ
Pentru a calcula această valoare, aplicăm formula din teorie
Să introducem o funcție în considerare și să reprezentăm valoarea dată în formă
atunci hai să calculăm

Înlocuind totul în formulă, obținem în sfârșit
Răspuns:

16. Regula lui L'Hopital pentru dezvăluirea incertitudinilor de forma 0/0 sau ∞/∞. Exemple.
Limita raportului dintre două cantități infinit de mici sau două cantități infinit de mari este egală cu limita raportului dintre derivatele lor.

1)

17. Funcția crescătoare și descrescătoare. Extremul funcției. Algoritm pentru studierea unei funcții pentru monotonitate și extremum. Exemple.

Funcţie crește pe un interval dacă pentru oricare două puncte ale acestui interval conectate prin relația , inegalitatea este adevărată. Adică, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției, iar graficul acesteia merge de jos în sus. Funcția de demonstrație crește pe interval

La fel, funcția scade pe un interval dacă pentru oricare două puncte dintr-un interval dat, astfel încât , inegalitatea este adevărată. Adică, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mici a funcției, iar graficul său merge „de sus în jos”. Al nostru scade la intervale scade la intervale .

Extreme Un punct se numește punctul maxim al funcției y=f(x) dacă inegalitatea este adevărată pentru tot x din vecinătatea lui. Se numește valoarea funcției în punctul maxim maximul funcției si noteaza .
Un punct se numește punctul minim al funcției y=f(x) dacă inegalitatea este adevărată pentru tot x din vecinătatea lui. Se numește valoarea funcției în punctul minim functie minima si noteaza .
Vecinătatea unui punct este înțeleasă ca interval , unde este un număr pozitiv suficient de mic.
Punctele minime și maxime sunt numite puncte extreme, iar valorile funcției corespunzătoare punctelor extreme sunt numite extreme ale funcției.

Pentru a explora funcția la monotonie, utilizați următoarea schemă:
- Găsiți domeniul de definire al funcției;
- Aflați derivata funcției și domeniul de definiție al derivatei;
- Aflați zerourile derivatei, i.e. valoarea argumentului la care derivata este egală cu zero;
- Pe linia numerică, marcați partea comună a domeniului de definire a funcției și domeniul de definire a derivatei sale, iar pe ea - zerourile derivatei;
- Să se determine semnele derivatei pe fiecare dintre intervalele rezultate;
- Folosind semnele derivatei, determinați la ce intervale crește funcția și pe care scade;
- Scrieți intervalele adecvate separate prin punct și virgulă.

Algoritm pentru studierea funcției continue y = f(x) pentru monotonitate și extreme:
1) Aflați derivata f ′(x).
2) Găsiți punctele staționare (f ′(x) = 0) și critice (f ′(x) nu există) ale funcției y = f(x).
3) Marcați punctele staționare și critice pe dreapta numerică și determinați semnele derivatei pe intervalele rezultate.
4) Trageți concluzii despre monotonitatea funcției și punctele sale extreme.

18. Convexitatea funcției. Puncte de inflexiune. Algoritm pentru studierea unei funcții pentru convexitate (concavitate) Exemple.

convex în jos pe intervalul X dacă graficul său este situat nu mai jos decât tangenta la acesta în orice punct al intervalului X.

Funcția de diferențiat se numește convex în sus pe intervalul X dacă graficul său nu este situat mai sus decât tangenta la acesta în orice punct al intervalului X.

Se numește formula punctului punctul de inflexiune al graficului funcția y=f(x), dacă într-un punct dat există o tangentă la graficul funcției (poate fi paralelă cu axa Oy) și există o astfel de vecinătate a punctului formulei în care se află la stânga și la dreapta al punctului M graficul funcţiei are diferite direcţii de convexitate.

Găsirea intervalelor pentru convexitate:

Dacă funcția y=f(x) are o derivată secundă finită pe intervalul X și dacă inegalitatea este valabilă (), atunci graficul funcției are o convexitate îndreptată în jos (în sus) la X.
Această teoremă vă permite să găsiți intervalele de concavitate și convexitate ale unei funcții trebuie doar să rezolvați inegalitățile și, respectiv, pe domeniul de definire al funcției originale;

Exemplu: Aflați intervalele pe care graficul funcției Aflați intervalele pe care se află graficul funcției are o convexitate îndreptată în sus și o convexitate îndreptată în jos. are o convexitate îndreptată în sus și o convexitate îndreptată în jos.
Soluţie: Domeniul de definire al acestei funcții este întregul set de numere reale.
Să găsim derivata a doua.

Domeniul de definiție al derivatei a doua coincide cu domeniul de definire al funcției originale, prin urmare, pentru a afla intervalele de concavitate și convexitate, este suficient să rezolvi și în consecință. Prin urmare, funcția este convexă în jos pe formula intervalului și convexă în sus pe formula intervalului.

19) Asimptotele funcției. Exemple.

Linia dreaptă se numește asimptotă verticală graficul funcției dacă cel puțin una dintre valorile limită este fie egală cu sau .

Comentariu. O linie dreaptă nu poate fi o asimptotă verticală dacă funcția este continuă în punct. Prin urmare, asimptotele verticale trebuie căutate în punctele de discontinuitate ale funcției.

Linia dreaptă se numește asimptotă orizontală grafic al funcției dacă cel puțin una dintre valorile limită sau este egală cu .

Comentariu. Graficul unei funcții poate avea doar o asimptotă orizontală dreaptă sau doar una stângă.

Linia dreaptă se numește asimptotă oblică graficul funcției dacă

EXEMPLU:

Exercita. Găsiți asimptotele graficului unei funcții

Soluţie. Domeniul de aplicare:

a) asimptote verticale: linie dreaptă - asimptotă verticală, întrucât

b) asimptote orizontale: găsim limita funcției la infinit:

adică nu există asimptote orizontale.

c) asimptote oblice:

Astfel, asimptota oblică este: .

Răspuns. Asimptota verticală este dreaptă.

Asimptota oblică este dreaptă.

20) Schemă generală pentru studierea unei funcții și trasarea unui grafic. Exemplu.

o.
Găsiți ODZ și punctele de discontinuitate ale funcției.

b. Aflați punctele de intersecție ale graficului funcției cu axele de coordonate.

2. Efectuați un studiu al funcției folosind derivata întâi, adică găsiți punctele extreme ale funcției și intervalele de creștere și scădere.

3. Investigați funcția folosind derivata de ordinul doi, adică găsiți punctele de inflexiune ale graficului funcției și intervalele convexității și concavității sale.

4. Aflați asimptotele graficului funcției: a) verticală, b) oblică.

5. Pe baza cercetării, construiți un grafic al funcției.

Rețineți că înainte de a trasa un grafic, este util să determinați dacă o anumită funcție este pară sau impară.

Reamintim că o funcție este apelată chiar dacă schimbarea semnului argumentului nu schimbă valoarea funcției: f(-x) = f(x) iar o funcție se numește impar dacă f(-x) = -f(x).

În acest caz, este suficient să studiați funcția și să construiți graficul acesteia pentru valorile pozitive ale argumentului aparținând ODZ. Pentru valorile negative ale argumentului, graficul este completat pe baza faptului că, pentru o funcție pară, este simetric față de axă Oi, și pentru impar relativ la origine.

Exemple. Explorează funcțiile și construiește graficele lor.

Domeniul funcției D(y)= (–∞; +∞). Nu există puncte de rupere.

Intersecția cu axa Bou: x = 0,y= 0.

Funcția este impară, prin urmare, poate fi studiată doar pe intervalul )