Dacă funcția este impară și nu impară. Funcții pare și impare

Cum se inserează formule matematice pe un site web?

Dacă vreodată trebuie să adăugați una sau două formule matematice pe o pagină web, atunci cel mai simplu mod de a face acest lucru este descris în articol: formulele matematice sunt ușor de inserat pe site sub formă de imagini care sunt generate automat de Wolfram Alpha . Pe lângă simplitate, asta metoda universala va ajuta la îmbunătățirea vizibilității site-ului web motoarele de căutare. Funcționează de mult timp (și cred că va funcționa pentru totdeauna), dar este deja depășit din punct de vedere moral.

Dacă utilizați în mod regulat formule matematice pe site-ul dvs., atunci vă recomand să utilizați MathJax - o bibliotecă JavaScript specială care afișează notații matematice în browserele web folosind markup MathML, LaTeX sau ASCIIMathML.

Există două moduri de a începe să utilizați MathJax: (1) folosind un cod simplu, puteți conecta rapid un script MathJax la site-ul dvs., care va fi încărcat automat de pe un server la distanță la momentul potrivit (lista de servere); (2) descărcați scriptul MathJax de pe un server la distanță pe serverul dvs. și conectați-l la toate paginile site-ului dvs. A doua metodă - mai complexă și consumatoare de timp - va grăbi încărcarea paginilor site-ului dvs., iar dacă serverul MathJax părinte devine temporar indisponibil dintr-un motiv oarecare, acest lucru nu vă va afecta în niciun fel propriul site. În ciuda acestor avantaje, am ales prima metodă deoarece este mai simplă, mai rapidă și nu necesită abilități tehnice. Urmează-mi exemplul și în doar 5 minute vei putea folosi toate funcțiile MathJax de pe site-ul tău.

Puteți conecta scriptul de bibliotecă MathJax de la un server la distanță folosind două opțiuni de cod preluate de pe site-ul principal MathJax sau de pe pagina de documentație:

Una dintre aceste opțiuni de cod trebuie să fie copiată și lipită în codul paginii dvs. web, de preferință între etichete și/sau imediat după etichetă. Conform primei opțiuni, MathJax se încarcă mai repede și încetinește pagina mai puțin. Dar a doua opțiune monitorizează și încarcă automat cele mai recente versiuni de MathJax. Dacă introduceți primul cod, acesta va trebui actualizat periodic. Dacă introduceți al doilea cod, paginile se vor încărca mai lent, dar nu va trebui să monitorizați în mod constant actualizările MathJax.

Cel mai simplu mod de a conecta MathJax este în Blogger sau WordPress: în panoul de control al site-ului, adăugați un widget conceput pentru a insera cod JavaScript terță parte, copiați prima sau a doua versiune a codului de descărcare prezentat mai sus în el și plasați widgetul mai aproape la începutul șablonului (apropo, acest lucru nu este deloc necesar, deoarece scriptul MathJax este încărcat asincron). Asta este. Acum aflați sintaxa de marcare a MathML, LaTeX și ASCIIMathML și sunteți gata să inserați formule matematice în paginile web ale site-ului dvs.

Orice fractal este construit conform o anumită regulă, care se aplică secvenţial de un număr nelimitat de ori. Fiecare astfel de timp se numește iterație.

Algoritmul iterativ pentru construirea unui burete Menger este destul de simplu: cubul original cu latura 1 este împărțit de planuri paralele cu fețele sale în 27 de cuburi egale. Un cub central și 6 cuburi adiacente acestuia de-a lungul fețelor sunt îndepărtate din el. Rezultatul este un set format din restul de 20 de cuburi mai mici. Făcând același lucru cu fiecare dintre aceste cuburi, obținem un set format din 400 de cuburi mai mici. Continuând acest proces la nesfârșit, obținem un burete Menger.

chiar dacă pentru toate \(x\) din domeniul său de definiție este adevărat: \(f(-x)=f(x)\) .

Graficul unei funcții pare este simetric față de axa \(y\):

Exemplu: funcția \(f(x)=x^2+\cos x\) este pară, deoarece \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\) .

\(\blacktriangleright\) Funcția \(f(x)\) se numește impară dacă pentru toate \(x\) din domeniul său de definiție este adevărat: \(f(-x)=-f(x) \) .

Graficul unei funcții impare este simetric față de origine:

Exemplu: funcția \(f(x)=x^3+x\) este impară deoarece \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\) .

\(\blacktriangleright\) Funcțiile care nu sunt nici pare, nici impare se numesc funcții vedere generală. O astfel de funcție poate fi întotdeauna reprezentată în mod unic ca suma unei funcții par și impare.

De exemplu, funcția \(f(x)=x^2-x\) este suma funcției pare \(f_1=x^2\) și a imparei \(f_2=-x\) .

\(\blacktriangleright\) Unele proprietăți:

1) Produsul și câtul a două funcții cu aceeași paritate - chiar funcția.

2) Produsul și câtul a două funcții de parități diferite - funcţie ciudată.

3) Suma și diferența funcțiilor pare - funcție pară.

4) Suma și diferența funcțiilor impare - funcție impară.

5) Dacă \(f(x)\) este o funcție pară, atunci ecuația \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) are o rădăcină unică dacă și numai când \( x =0\) .

6) Dacă \(f(x)\) este o funcție pară sau impară, iar ecuația \(f(x)=0\) are rădăcina \(x=b\), atunci această ecuație va avea cu siguranță o secundă rădăcină \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) Funcția \(f(x)\) se numește periodică pe \(X\) dacă pentru un număr \(T\ne 0\) este valabilă următoarele: \(f(x)=f( x+T) \) , unde \(x, x+T\in X\) . Cea mai mică \(T\) pentru care această egalitate este satisfăcută se numește perioada principală (principală) a funcției.

U functie periodica orice număr de forma \(nT\) , unde \(n\in \mathbb(Z)\) va fi, de asemenea, o perioadă.

Exemplu: oricare functie trigonometrica este periodică;
pentru funcțiile \(f(x)=\sin x\) și \(f(x)=\cos x\) perioada principală este egală cu \(2\pi\), pentru funcțiile \(f(x )=\mathrm(tg)\,x\) și \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) perioada principală este egală cu \(\pi\) .

Pentru a construi un grafic al unei funcții periodice, puteți reprezenta graficul acesteia pe orice segment de lungime \(T\) (perioada principală); apoi graficul întregii funcții este completat prin deplasarea părții construite cu un număr întreg de perioade la dreapta și la stânga:

\(\blacktriangleright\) Domeniul \(D(f)\) al funcției \(f(x)\) este o mulțime formată din toate valorile argumentului \(x\) pentru care funcția are sens (este definit).

Exemplu: funcția \(f(x)=\sqrt x+1\) are un domeniu de definiție: \(x\in

Sarcina 1 #6364

Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat

La ce valori ale parametrului \(a\) are ecuația

are singura solutie?

Rețineți că, deoarece \(x^2\) și \(\cos x\) sunt funcții pare, dacă ecuația are o rădăcină \(x_0\) , va avea și o rădăcină \(-x_0\) .
Într-adevăr, fie \(x_0\) o rădăcină, adică egalitatea \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) este adevărată. Înlocuiește \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\ ,(\cos x_0)+a^2=0\) .

Astfel, dacă \(x_0\ne 0\) , atunci ecuația va avea deja cel puțin două rădăcini. Prin urmare, \(x_0=0\) . Apoi:

Am primit două valori pentru parametrul \(a\) . Rețineți că am folosit faptul că \(x=0\) este exact rădăcina ecuației originale. Dar nu am folosit niciodată faptul că el este singurul. Prin urmare, trebuie să înlocuiți valorile rezultate ale parametrului \(a\) în ecuația originală și să verificați pentru ce anume \(a\) rădăcina \(x=0\) va fi cu adevărat unică.

1) Dacă \(a=0\) , atunci ecuația va lua forma \(2x^2=0\) . Evident, această ecuație are o singură rădăcină \(x=0\) . Prin urmare, valoarea \(a=0\) ni se potrivește.

2) Dacă \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , atunci ecuația va lua forma \ Rescriem ecuația sub forma \ Deoarece \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\) , apoi \(- \mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\) . În consecință, valorile părții drepte a ecuației (*) aparțin segmentului \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\) .

Deoarece \(x^2\geqslant 0\) , atunci partea stângă ecuația (*) este mai mare sau egală cu \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Astfel, egalitatea (*) poate fi adevărată numai atunci când ambele părți ale ecuației sunt egale cu \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Aceasta înseamnă că \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \ mathrm( tg)\,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\, (\ cos x)=\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Prin urmare, valoarea \(a=-\mathrm(tg)\,1\) ni se potrivește .

Răspuns:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Sarcina 2 #3923

Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat

Găsiți toate valorile parametrului \(a\) , pentru fiecare dintre acestea graficul funcției \

simetric fata de origine.

Dacă graficul unei funcții este simetric față de origine, atunci o astfel de funcție este impară, adică \(f(-x)=-f(x)\) este valabilă pentru orice \(x\) din domeniu de definire a funcţiei. Astfel, este necesar să se găsească acele valori ale parametrilor pentru care \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(aliniat)\]

Ultima ecuație trebuie satisfăcută pentru toate \(x\) din domeniul definiției \(f(x)\) , prin urmare, \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n \in\ mathbb(Z)\) .

Răspuns:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Sarcina 3 #3069

Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat

Găsiți toate valorile parametrului \(a\) , pentru fiecare dintre ele ecuația \ are 4 soluții, unde \(f\) este o funcție periodică pară cu perioadă \(T=\dfrac(16)3\) definit pe întreaga linie numerică și \(f(x)=ax^2\) pentru \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(sarcină de la abonați)

Deoarece \(f(x)\) este o funcție pară, graficul său este simetric față de axa ordonatelor, prin urmare, pentru \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\) \(f(x)=ax^ 2\) . Astfel, pentru \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\) și acesta este un segment de lungime \(\dfrac(16)3\), funcția este \(f(x)=ax^2\ ).

1) Fie \(a>0\) . Apoi graficul funcției \(f(x)\) va arăta astfel:


Atunci, pentru ca ecuația să aibă 4 soluții, este necesar ca graficul \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) să treacă prin punctul \(A\) :


Prin urmare, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9 (a+2)=-32a\end(aliniat)\end(adunat)\dreapta. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( adunat)\right.\] Deoarece \(a>0\) , atunci \(a=\dfrac(18)(23)\) este potrivit.

2) Fie \(a0\) ). Dacă produsul a două rădăcini este pozitiv și suma lor este pozitivă, atunci rădăcinile în sine vor fi pozitive. Prin urmare, aveți nevoie de: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a