Cum se utilizează un tabel logaritmic pentru a calcula ph. Rezolvarea ecuațiilor logaritmice

Ecuație logaritmică este o ecuație în care necunoscuta (x) și expresiile cu aceasta se află sub semnul funcției logaritmice. Rezolvarea ecuațiilor logaritmice presupune că sunteți deja familiarizat cu și .
Cum se rezolvă ecuațiile logaritmice?

Cea mai simplă ecuație este log a x = b, unde a și b sunt numere, x este o necunoscută.
Rezolvarea unei ecuații logaritmice este x = a b cu condiția: a > 0, a 1.

Trebuie remarcat faptul că, dacă x este undeva în afara logaritmului, de exemplu log 2 x = x-2, atunci o astfel de ecuație este deja numită mixtă și este necesară o abordare specială pentru a o rezolva.

Cazul ideal este atunci când dai peste o ecuație în care doar numerele sunt sub semnul logaritmului, de exemplu x+2 = log 2 2. Aici este suficient să cunoști proprietățile logaritmilor pentru a o rezolva. Dar un astfel de noroc nu se întâmplă des, așa că pregătește-te pentru lucruri mai dificile.

Dar mai întâi, să începem cu ecuații simple. Pentru a le rezolva, este de dorit să aveți cel mai mult idee generală despre logaritm.

Rezolvarea ecuațiilor logaritmice simple

Acestea includ ecuații de tipul log 2 x = log 2 16. Ochiul liber poate vedea că omițând semnul logaritmului obținem x = 16.

Pentru a rezolva o ecuație logaritmică mai complexă, se reduce de obicei la rezolvarea unei ecuații algebrice obișnuite sau la rezolvarea uneia simple ecuație logaritmică log a x = b. În cele mai simple ecuații acest lucru se întâmplă într-o singură mișcare, motiv pentru care sunt numite cele mai simple.

Metoda de mai sus de eliminare a logaritmilor este una dintre principalele modalități de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților logaritmice. În matematică, această operație se numește potențare. Sunt anumite reguli sau restricții pentru acest tip de operațiuni:

• logaritmii au aceleași baze numerice
• logaritmii din ambele părți ale ecuației sunt liberi, adică fara nici un coeficient si altele diverse feluri expresii.

Să presupunem că în ecuație log 2 x = 2log 2 (1 - x) potențarea nu este aplicabilă - coeficientul 2 din dreapta nu o permite. În exemplul următor, log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) nu satisface nici una dintre restricții - există doi logaritmi în stânga. Dacă ar fi doar unul, ar fi cu totul altă chestiune!

În general, puteți elimina logaritmii numai dacă ecuația are forma:

log a (...) = log a (...)

Absolut orice expresii pot fi plasate între paranteze, acest lucru nu are absolut niciun efect asupra operației de potențare. Și după eliminarea logaritmilor, va rămâne o ecuație mai simplă - liniară, pătratică, exponențială etc., pe care, sper, deja știi să o rezolvi.

Să luăm un alt exemplu:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Aplicăm potențarea, obținem:

log 3 (2x-1) = 2

Pe baza definiției unui logaritm, și anume că un logaritm este un număr la care trebuie ridicată baza pentru a obține o expresie care se află sub semnul logaritmului, i.e. (4x-1), obținem:

Din nou am primit un răspuns frumos. Aici ne-am descurcat fără eliminarea logaritmilor, dar potențarea este aplicabilă și aici, pentru că un logaritm se poate face din orice număr, și exact cel de care avem nevoie. Această metodă este foarte utilă în rezolvarea ecuațiilor logaritmice și în special a inegalităților.

Să rezolvăm ecuația noastră logaritmică log 3 (2x-1) = 2 folosind potențarea:

Să ne imaginăm numărul 2 ca un logaritm, de exemplu, acest log 3 9, deoarece 3 2 =9.

Apoi log 3 (2x-1) = log 3 9 și din nou obținem aceeași ecuație 2x-1 = 9. Sper că totul este clar.

Așa că ne-am uitat la cum să rezolvăm cele mai simple ecuații logaritmice, care sunt de fapt foarte importante, deoarece rezolvarea ecuațiilor logaritmice, chiar și cele mai groaznice și întortocheate, până la urmă întotdeauna se rezumă la rezolvarea celor mai simple ecuații.

În tot ceea ce am făcut mai sus, ne-a ratat unul foarte mult punct important, care va juca un rol decisiv în viitor. Faptul este că soluția oricărei ecuații logaritmice, chiar și cea mai elementară, constă din două părți egale. Prima este soluția ecuației în sine, a doua este lucrul cu zona valori acceptabile(ODZ). Aceasta este exact prima parte pe care am stăpânit-o. În exemplele de mai sus, ODZ nu afectează în niciun fel răspunsul, așa că nu l-am luat în considerare.

Să luăm un alt exemplu:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

În exterior, această ecuație nu este diferită de una elementară, care poate fi rezolvată cu mare succes. Dar acest lucru nu este în întregime adevărat. Nu, bineînțeles că o vom rezolva, dar cel mai probabil incorect, deoarece conține o mică ambuscadă, în care cad imediat în ea atât elevii de clasa C, cât și studenții excelenți. Să aruncăm o privire mai atentă.

Să presupunem că trebuie să găsiți rădăcina ecuației sau suma rădăcinilor, dacă există mai multe dintre ele:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Folosim potențarea, este acceptabilă aici. Drept urmare, obținem cele obișnuite ecuație pătratică.

Găsirea rădăcinilor ecuației:

S-au dovedit două rădăcini.

Răspuns: 3 și -1

La prima vedere totul este corect. Dar haideți să verificăm rezultatul și să-l înlocuim în ecuația originală.

Să începem cu x 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Verificarea a avut succes, acum coada este x 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Bine, oprește-te! La exterior totul este perfect. Un lucru - nu există logaritmi din numerele negative! Aceasta înseamnă că rădăcina x = -1 nu este potrivită pentru rezolvarea ecuației noastre. Și, prin urmare, răspunsul corect va fi 3, nu 2, așa cum am scris.

Aici și-a jucat ODZ rolul fatal, de care uitasem.

Permiteți-mi să vă reamintesc că intervalul de valori acceptabile include acele valori ale lui x care sunt permise sau au sens pentru exemplul original.

Fără ODZ, orice soluție, chiar și una absolut corectă, a oricărei ecuații se transformă într-o loterie - 50/50.

Cum am putea fi prinși rezolvând un exemplu aparent elementar? Dar tocmai în momentul potențarii. Logaritmii au dispărut și odată cu ei toate restricțiile.

Ce să faci în acest caz? Refuzați să eliminați logaritmii? Și refuză complet să rezolvi această ecuație?

Nu, noi, ca niște adevărați eroi dintr-un cântec celebru, vom face un ocol!

Înainte de a începe să rezolvăm orice ecuație logaritmică, vom nota ODZ. Dar după aceea, poți face orice dorește inima ta cu ecuația noastră. După ce am primit răspunsul, pur și simplu aruncăm acele rădăcini care nu sunt incluse în ODZ-ul nostru și notăm versiunea finală.

Acum să decidem cum să înregistrăm ODZ. Pentru a face acest lucru, examinăm cu atenție ecuația originală și căutăm locuri suspecte în ea, cum ar fi împărțirea cu x, chiar rădăcină etc. Până nu rezolvăm ecuația, nu știm cu ce este x, dar știm sigur că acele x care, atunci când sunt înlocuite, dau împărțirea cu 0 sau rădăcina pătrată a unui număr negativ, evident nu sunt potrivite ca răspuns. . Prin urmare, astfel de x sunt inacceptabile, în timp ce restul vor constitui ODZ.

Să folosim din nou aceeași ecuație:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

După cum puteți vedea, nu există diviziune cu 0, nu există nici rădăcini pătrate, dar există expresii cu x în corpul logaritmului. Să ne amintim imediat că expresia din interiorul logaritmului trebuie să fie întotdeauna >0. Scriem această condiție sub forma ODZ:

Aceste. Încă nu am rezolvat nimic, dar am notat deja o condiție obligatorie pentru întreaga expresie sublogaritmică. Acolada înseamnă că aceste condiții trebuie să fie adevărate simultan.

ODZ este notat, dar este și necesar să rezolvăm sistemul de inegalități rezultat, ceea ce vom face. Obținem răspunsul x > v3. Acum știm sigur care x nu ne va potrivi. Și apoi începem să rezolvăm ecuația logaritmică în sine, ceea ce am făcut mai sus.

După ce am primit răspunsurile x 1 = 3 și x 2 = -1, este ușor de observat că doar x1 = 3 ni se potrivește și îl notăm ca răspuns final.

Pentru viitor, este foarte important să rețineți următoarele: rezolvăm orice ecuație logaritmică în 2 etape. Primul este de a rezolva ecuația în sine, al doilea este de a rezolva condiția ODZ. Ambele etape se desfășoară independent una de cealaltă și sunt comparate numai la scrierea răspunsului, adică. aruncați tot ce nu este necesar și scrieți răspunsul corect.

Pentru a consolida materialul, vă recomandăm insistent să urmăriți videoclipul:

Videoclipul prezintă alte exemple de rezolvare a jurnalului. ecuații și elaborarea metodei intervalului în practică.

La aceasta intrebare, cum se rezolvă ecuații logaritmice Asta e tot deocamdată. Dacă ceva este decis de jurnal. ecuațiile rămân neclare sau de neînțeles, scrieți-vă întrebările în comentarii.

Notă: Academia de Educație Socială (ASE) este pregătită să accepte noi studenți.

Videoclipurile finale dintr-o serie lungă de lecții despre rezolvarea ecuațiilor logaritmice. De data aceasta vom lucra în primul rând cu ODZ al logaritmului - tocmai din cauza luării în considerare incorecte (sau chiar a ignorării) domeniului de definiție apar cele mai multe erori la rezolvarea unor astfel de probleme.

În această scurtă lecție video, ne vom uita la utilizarea formulelor pentru adăugarea și scăderea logaritmilor și, de asemenea, ne vom ocupa de ecuațiile raționale fracționale, cu care mulți elevi au probleme.

Despre ce vom vorbi? Formula principală pe care aș dori să o înțeleg arată astfel:

log a (f g ) = log a f + log a g

Aceasta este o tranziție standard de la produs la suma logaritmilor și înapoi. Probabil cunoașteți această formulă încă de la începutul studierii logaritmilor. Cu toate acestea, există o problemă.

Atâta timp cât variabilele a, f și g sunt numere obișnuite, nu apar probleme. Această formulă functioneaza grozav.

Totuși, de îndată ce funcțiile apar în loc de f și g, se pune problema extinderii sau îngustării domeniului de definiție în funcție de direcția de transformare. Judecați singuri: în logaritmul scris în stânga, domeniul definiției este următorul:

fg > 0

Dar în cantitatea scrisă în dreapta, domeniul definiției este deja oarecum diferit:

f > 0

g > 0

Acest set de cerințe este mai strict decât cel original. În primul caz, ne vom mulțumi cu opțiunea f< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 este executat).

Deci, la trecerea de la construcția din stânga la cea dreaptă, are loc o îngustare a domeniului de definiție. Dacă la început aveam o sumă și o rescriem sub forma unui produs, atunci domeniul definiției se extinde.

Cu alte cuvinte, în primul caz am putea pierde rădăcini, iar în al doilea am putea obține unele în plus. Acest lucru trebuie luat în considerare la rezolvarea ecuațiilor logaritmice reale.

Deci, prima sarcină:

[Letină pentru imagine]

În stânga vedem suma logaritmilor folosind aceeași bază. Prin urmare, acești logaritmi pot fi adăugați:

[Letină pentru imagine]

După cum puteți vedea, în dreapta am înlocuit zero folosind formula:

a = log b b a

Să ne rearanjam puțin mai mult ecuația:

log 4 (x − 5) 2 = log 4 1

În fața noastră se află forma canonică a ecuației logaritmice, putem tăia semnul log și echivalăm argumentele:

(x − 5) 2 = 1

|x − 5| = 1

Vă rugăm să rețineți: de unde a venit modulul? Permiteți-mi să vă reamintesc că rădăcina unui pătrat exact este egală cu modulul:

[Letină pentru imagine]

Atunci decidem ecuația clasică cu modul:

|f | = g (g > 0) ⇒f = ±g

x − 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 − 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

Iată două răspunsuri ale candidaților. Sunt ele o soluție la ecuația logaritmică inițială? Nu, sub nicio formă!

Nu avem dreptul să lăsăm totul așa și să scriem răspunsul. Aruncă o privire la pasul în care înlocuim suma logaritmilor cu un logaritm al produsului argumentelor. Problema este că în expresiile originale avem funcții. Prin urmare, ar trebui să solicitați:

x(x − 5) > 0; (x − 5)/x > 0.

Când am transformat produsul, obținând un pătrat exact, cerințele s-au schimbat:

(x − 5) 2 > 0

Când este îndeplinită această cerință? Da, aproape întotdeauna! Cu excepția cazului în care x − 5 = 0. Adică inegalitatea se va reduce la un punct perforat:

x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5

După cum puteți vedea, domeniul de aplicare a definiției s-a extins, despre care am vorbit chiar la începutul lecției. În consecință, pot apărea rădăcini suplimentare.

Cum poți preveni apariția acestor rădăcini suplimentare? Este foarte simplu: ne uităm la rădăcinile noastre obținute și le comparăm cu domeniul de definire al ecuației originale. Să numărăm:

x (x − 5) > 0

Vom rezolva folosind metoda intervalului:

x (x − 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5

Marcam numerele rezultate pe linie. Toate punctele lipsesc deoarece inegalitatea este strictă. Luați orice număr mai mare de 5 și înlocuiți:

[Letină pentru imagine]

Suntem interesați de intervalele (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Dacă ne marchem rădăcinile pe segment, vom vedea că x = 4 nu ni se potrivește, deoarece această rădăcină se află în afara domeniului de definiție al ecuației logaritmice originale.

Ne întoarcem la totalitate, tăiem rădăcina x = 4 și notăm răspunsul: x = 6. Acesta este răspunsul final la ecuația logaritmică inițială. Gata, problema rezolvata.

Să trecem la a doua ecuație logaritmică:

[Letină pentru imagine]

Să rezolvăm. Rețineți că primul termen este o fracție, iar al doilea este aceeași fracție, dar inversată. Nu vă speriați de expresia lgx - este doar un logaritm zecimal, îl putem scrie:

lgx = log 10 x

Deoarece avem două fracții inversate, propun introducerea unei noi variabile:

[Letină pentru imagine]

Prin urmare, ecuația noastră poate fi rescrisă după cum urmează:

t + 1/t = 2;

t + 1/t − 2 = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0;

(t − 1) 2 /t = 0.

După cum puteți vedea, numărătorul fracției este un pătrat exact. O fracție este egală cu zero atunci când numărătorul ei este zero și numitorul este diferit de zero:

(t − 1) 2 = 0; t ≠ 0

Să rezolvăm prima ecuație:

t − 1 = 0;

t = 1.

Această valoare satisface a doua cerință. Prin urmare, putem spune că ne-am rezolvat complet ecuația, dar numai în raport cu variabila t. Acum să ne amintim ce este:

[Letină pentru imagine]

Am obtinut proportia:

lgx = 2 lgx + 1

2 logx − logx = −1

logx = −1

Reducem această ecuație la formă canonică:

logx = log 10 −1

x = 10 −1 = 0,1

Ca rezultat, am primit o singură rădăcină, care, teoretic, este soluția ecuației inițiale. Cu toate acestea, să fim în siguranță și să scriem domeniul de definire al ecuației originale:

[Letină pentru imagine]

Prin urmare, rădăcina noastră îndeplinește toate cerințele. Am găsit o soluție la ecuația logaritmică inițială. Răspuns: x = 0,1. Problema este rezolvată.

Există un singur punct cheie în lecția de astăzi: atunci când utilizați formula pentru trecerea de la un produs la o sumă și înapoi, asigurați-vă că țineți cont de faptul că domeniul de aplicare al definiției se poate îngusta sau extinde în funcție de direcția în care se face tranziția.

Cum să înțelegeți ce se întâmplă: contracție sau expansiune? Foarte simplu. Dacă mai devreme funcțiile erau împreună, dar acum sunt separate, atunci domeniul de aplicare a definiției s-a restrâns (pentru că există mai multe cerințe). Dacă la început funcțiile erau separate, iar acum sunt împreună, atunci domeniul definiției este extins (se impun mai puține cerințe asupra produsului decât factorilor individuali).

Ținând cont de această remarcă, aș dori să remarc că a doua ecuație logaritmică nu necesită deloc aceste transformări, adică nu adunăm sau înmulțim nicăieri argumentele. Totuși, aici aș dori să vă atrag atenția asupra unei alte tehnici minunate care poate simplifica semnificativ soluția. Este vorba despre înlocuirea unei variabile.

Cu toate acestea, amintiți-vă că nicio substituție nu ne eliberează de domeniul de aplicare al definiției. De aceea, după ce au fost găsite toate rădăcinile, nu am fost leneși și ne-am întors la ecuația inițială pentru a-i găsi ODZ.

Adesea, la înlocuirea unei variabile, apare o eroare enervantă atunci când elevii găsesc valoarea lui t și cred că soluția este completă. Nu, sub nicio formă!

Odată ce ați găsit valoarea lui t, trebuie să vă întoarceți la ecuația inițială și să vedeți ce am vrut să spunem exact cu această scrisoare. Ca urmare, trebuie să rezolvăm încă o ecuație, care, totuși, va fi mult mai simplă decât cea inițială.

Acesta este tocmai scopul introducerii unei noi variabile. Împărțim ecuația inițială în două intermediare, fiecare având o soluție mult mai simplă.

Cum se rezolvă ecuații logaritmice „imbricate”.

Astăzi continuăm să studiem ecuațiile logaritmice și vom analiza construcții când un logaritm este sub semnul altui logaritm. Vom rezolva ambele ecuații folosind forma canonică.

Astăzi continuăm să studiem ecuațiile logaritmice și vom analiza construcții când un logaritm este sub semnul altuia. Vom rezolva ambele ecuații folosind forma canonică. Permiteți-mi să vă reamintesc că dacă avem o ecuație logaritmică simplă de forma log a f (x) = b, atunci pentru a rezolva o astfel de ecuație parcurgem următorii pași. În primul rând, trebuie să înlocuim numărul b:

b = log a a b

Rețineți că a b este un argument. În mod similar, în ecuația originală, argumentul este funcția f(x). Apoi rescriem ecuația și obținem această construcție:

log a f (x) = log a a b

Apoi putem efectua al treilea pas - scăpați de semnul logaritmului și scrieți pur și simplu:

f (x) = a b

Ca rezultat, obținem o nouă ecuație. În acest caz, nu sunt impuse restricții asupra funcției f (x). De exemplu, o funcție logaritmică îi poate lua locul. Și apoi vom obține din nou o ecuație logaritmică, pe care o vom reduce din nou la cea mai simplă formă și o vom rezolva prin forma canonică.

Cu toate acestea, destule versuri. Să rezolvăm adevărata problemă. Deci, sarcina numărul 1:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = 2

După cum puteți vedea, avem o ecuație logaritmică simplă. Rolul lui f (x) este construcția 1 + 3 log 2 x, iar rolul numărului b este numărul 2 (rolul lui a este jucat și de doi). Să le rescriem pe acestea două după cum urmează:

Este important să înțelegem că primii doi doi au venit la noi de la baza logaritmului, adică dacă ar fi 5 în ecuația originală, atunci am obține că 2 = log 5 5 2. În general, baza depinde numai de logaritmul care a fost dat inițial în problemă. Și în cazul nostru acesta este numărul 2.

Deci, rescriem ecuația noastră logaritmică ținând cont de faptul că cele două din dreapta sunt de fapt și un logaritm. Primim:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4

Să trecem la ultimul pas al schemei noastre - să scăpăm de forma canonică. Ai putea spune, pur și simplu tăiem semnele de buștean. Cu toate acestea, din punct de vedere matematic, este imposibil să „tașăm jurnalul” - ar fi mai corect să spunem că pur și simplu echivalăm argumentele:

1 + 3 log 2 x = 4

De aici putem găsi cu ușurință 3 log 2 x:

3 log 2 x = 3

log 2 x = 1

Am obținut din nou cea mai simplă ecuație logaritmică, să o aducem înapoi la forma canonică. Pentru a face acest lucru, trebuie să facem următoarele modificări:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

De ce este un doi la bază? Pentru că în ecuația noastră canonică din stânga există un logaritm tocmai la baza 2. Rescriem problema ținând cont de acest fapt:

log 2 x = log 2 2

Din nou scăpăm de semnul logaritmului, adică pur și simplu echivalăm argumentele. Avem dreptul să facem acest lucru deoarece bazele sunt aceleași și nu au mai fost efectuate acțiuni suplimentare nici în dreapta, nici în stânga:

Asta este! Problema este rezolvată. Am găsit o soluție pentru ecuația logaritmică.

Fiţi atenți! Deși variabila x apare în argument (adică există cerințe pentru domeniul definiției), nu vom face nicio cerință suplimentară.

După cum am spus mai sus, acest control este redundantă dacă variabila apare într-un singur argument dintr-un singur logaritm. În cazul nostru, x apare într-adevăr doar în argument și doar sub un semn de log. Prin urmare, nu sunt necesare verificări suplimentare.

Totuși, dacă nu ai încredere această metodă, atunci puteți verifica cu ușurință că x = 2 este într-adevăr o rădăcină. Este suficient să înlocuiți acest număr în ecuația originală.

Să trecem la a doua ecuație, este puțin mai interesant:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = 1

Dacă notăm expresia din interiorul logaritmului mare cu funcția f (x), obținem cea mai simplă ecuație logaritmică cu care am început lecția video de astăzi. Prin urmare, putem aplica forma canonică, pentru care va trebui să reprezentăm unitatea în forma log 2 2 1 = log 2 2.

Să rescriem marea noastră ecuație:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2

Să ne depărtăm de semnul logaritmului, echivalând argumentele. Avem dreptul să facem asta, pentru că atât în ​​stânga, cât și în dreapta bazele sunt aceleași. În plus, rețineți că log 2 4 = 2:

log 1/2 (2x − 1) + 2 = 2

log 1/2 (2x − 1) = 0

În fața noastră este din nou cea mai simplă ecuație logaritmică de forma log a f (x) = b. Să trecem la forma canonică, adică reprezentăm zero în forma log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1.

Ne rescriem ecuația și scăpăm de semnul log, echivalând argumentele:

log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1

2x − 1 = 1

Din nou, am primit imediat un răspuns. Nu sunt necesare verificări suplimentare deoarece în ecuația originală doar un logaritm conține funcția ca argument.

Prin urmare, nu sunt necesare verificări suplimentare. Putem spune cu siguranță că x = 1 este singura rădăcină a acestei ecuații.

Dar dacă în al doilea logaritm a existat o funcție a lui x în loc de patru (sau 2x nu era în argument, ci în bază), atunci ar fi necesar să se verifice domeniul de definiție. În caz contrar, există o șansă mare de a întâlni rădăcini suplimentare.

De unde provin aceste rădăcini suplimentare? Acest punct trebuie înțeles foarte clar. Uitați-vă la ecuațiile originale: peste tot funcția x este sub semnul logaritmului. Prin urmare, deoarece am notat log 2 x, am stabilit automat cerința x > 0. În caz contrar această intrare Pur și simplu nu are sens.

Cu toate acestea, pe măsură ce rezolvăm ecuația logaritmică, scăpăm de toate semnele log și obținem construcții simple. Nu există restricții stabilite aici, deoarece funcția liniară este definită pentru orice valoare a lui x.

Este această problemă, când funcția finală este definită peste tot și întotdeauna, dar cea originală nu este definită peste tot și nu întotdeauna, acesta este motivul pentru care foarte des apar rădăcini suplimentare în rezolvarea ecuațiilor logaritmice.

Dar repet încă o dată: acest lucru se întâmplă doar într-o situație în care funcția este fie în mai mulți logaritmi, fie la baza unuia dintre ei. În problemele pe care le analizăm astăzi, nu există, în principiu, probleme cu extinderea domeniului de aplicare a definiției.

Cazuri de diferite temeiuri

Această lecție este dedicată mai multor lucruri structuri complexe. Logaritmii din ecuațiile de astăzi nu vor mai fi rezolvați imediat, unele transformări vor trebui făcute mai întâi.

Începem să rezolvăm ecuații logaritmice cu baze complet diferite, care nu sunt puteri exacte una ale celeilalte. Nu lăsați astfel de sarcini să vă sperie - nu sunt mai greu de rezolvat decât cele mai multe desene simple despre care am discutat mai sus.

Dar înainte de a trece direct la probleme, permiteți-mi să vă reamintesc formula pentru rezolvarea celor mai simple ecuații logaritmice folosind forma canonică. Luați în considerare o problemă ca aceasta:

log a f (x) = b

Este important ca funcția f (x) să fie doar o funcție, iar rolul numerelor a și b să fie numere (fără variabile x). Desigur, literalmente într-un minut ne vom uita la astfel de cazuri când în loc de variabilele a și b există funcții, dar acum nu este vorba despre asta.

După cum ne amintim, numărul b trebuie înlocuit cu un logaritm la aceeași bază a, care se află în stânga. Acest lucru se face foarte simplu:

b = log a a b

Desigur, cuvintele „orice număr b” și „orice număr a” înseamnă valori care satisfac sfera definiției. În special, în această ecuație vorbim doar despre baza a > 0 și a ≠ 1.

Totuși, această cerință este satisfăcută automat, deoarece problema inițială conține deja un logaritm pentru baza a - va fi cu siguranță mai mare decât 0 și nu egal cu 1. Prin urmare, continuăm rezolvarea ecuației logaritmice:

log a f (x) = log a a b

O astfel de notație se numește formă canonică. Comoditatea sa constă în faptul că putem scăpa imediat de semnul jurnal prin echivalarea argumentelor:

f (x) = a b

Această tehnică o vom folosi acum pentru a rezolva ecuații logaritmice cu o bază variabilă. Deci, hai să mergem!

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125

Ce urmează? Cineva va spune acum că trebuie să calculați logaritmul corect sau să le reduceți la aceeași bază sau altceva. Și într-adevăr, acum trebuie să aducem ambele baze la aceeași formă - fie 2, fie 0,5. Dar să învățăm odată pentru totdeauna următoarea regulă:

Dacă o ecuație logaritmică conține zecimale, asigurați-vă că convertiți aceste fracții din notație zecimală la normal. Această transformare poate simplifica foarte mult soluția.

O astfel de tranziție trebuie efectuată imediat, chiar înainte de a efectua orice acțiuni sau transformări. Să vedem:

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1 /2 1/8

Ce ne oferă un astfel de record? Putem reprezenta 1/2 și 1/8 ca puteri cu exponent negativ:

[Letină pentru imagine]

În fața noastră este forma canonică. Echivalăm argumentele și obținem ecuația pătratică clasică:

x 2 + 4x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

Avem în fața noastră următoarea ecuație pătratică, care poate fi rezolvată cu ușurință folosind formulele lui Vieta. În liceu, ar trebui să vedeți afișaje similare literalmente oral:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Asta este! Ecuația logaritmică inițială a fost rezolvată. Avem două rădăcini.

Permiteți-mi să vă reamintesc că în acest caz nu este necesară determinarea domeniului de definiție, deoarece funcția cu variabila x este prezentă într-un singur argument. Prin urmare, domeniul de aplicare al definiției este realizat automat.

Deci, prima ecuație este rezolvată. Să trecem la al doilea:

log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9

log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1

Acum rețineți că argumentul primului logaritm poate fi scris și ca o putere cu exponent negativ: 1/2 = 2 −1. Apoi puteți elimina puterile de pe ambele părți ale ecuației și puteți împărți totul la −1:

[Letină pentru imagine]

Și acum am realizat foarte mult pas importantîn rezolvarea unei ecuaţii logaritmice. Poate că cineva nu a observat ceva, așa că permiteți-mi să vă explic.

Uită-te la ecuația noastră: atât în ​​stânga, cât și în dreapta există un semn log, dar în stânga există un logaritm la baza 2, iar în dreapta există un logaritm la baza 3. Trei nu este o putere întreagă a doi și, invers, nu poți scrie că 2 este 3 într-un grade întreg.

În consecință, aceștia sunt logaritmi cu baze diferite care nu pot fi reduse unul la altul prin simpla adăugare a puterilor. Singura modalitate de a rezolva astfel de probleme este să scapi de unul dintre acești logaritmi. În acest caz, din moment ce încă luăm în considerare destul de sarcini simple, logaritmul din dreapta a fost simplu calculat și am obținut cea mai simplă ecuație - exact cea despre care am vorbit chiar la începutul lecției de astăzi.

Să reprezentăm numărul 2, care este în dreapta, ca log 2 2 2 = log 2 4. Și apoi scăpăm de semnul logaritmului, după care rămânem pur și simplu cu o ecuație pătratică:

log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4

5x 2 + 9x + 2 = 4

5x 2 + 9x − 2 = 0

Avem în fața noastră o ecuație pătratică obișnuită, dar nu este redusă deoarece coeficientul lui x 2 este diferit de unitate. Prin urmare, o vom rezolva folosind discriminantul:

D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 = (−9 − 11)/10 = −2

Asta este! Am găsit ambele rădăcini, ceea ce înseamnă că am obținut o soluție la ecuația logaritmică inițială. Într-adevăr, în problema inițială, funcția cu variabila x este prezentă într-un singur argument. În consecință, nu sunt necesare verificări suplimentare asupra domeniului definiției - ambele rădăcini pe care le-am găsit cu siguranță îndeplinesc toate restricțiile posibile.

Acesta ar putea fi sfârșitul lecției video de astăzi, dar în concluzie aș dori să spun din nou: asigurați-vă că convertiți toate fracțiile zecimale în fracții obișnuite atunci când rezolvați ecuații logaritmice. În cele mai multe cazuri, acest lucru simplifică foarte mult soluția lor.

Rareori, foarte rar, întâlnești probleme în care eliminarea fracțiilor zecimale nu face decât să complice calculele. Cu toate acestea, în astfel de ecuații, de regulă, inițial este clar că nu este nevoie să scăpăm de fracțiile zecimale.

În majoritatea celorlalte cazuri (mai ales dacă abia începeți să exersați rezolvarea ecuațiilor logaritmice), nu ezitați să scăpați de zecimale și să le convertiți în cele obișnuite. Pentru că practica arată că în acest fel vei simplifica semnificativ soluția și calculele ulterioare.

Subtilitățile și trucurile soluției

Astăzi trecem la mai multe sarcini complexeși vom rezolva o ecuație logaritmică, a cărei bază nu este un număr, ci o funcție.

Și chiar dacă această funcție este liniară, vor trebui făcute mici modificări ale schemei de soluție, al cărei sens se rezumă la cerințe suplimentare impuse domeniului de definire a logaritmului.

Sarcini complexe

Acest tutorial va fi destul de lung. În el vom analiza două ecuații logaritmice destul de serioase, la rezolvarea cărora mulți elevi greșesc. În timpul practicii mele ca profesor de matematică, am întâlnit în mod constant două tipuri de erori:

1. Apariția unor rădăcini suplimentare datorită extinderii domeniului de definire a logaritmilor. Pentru a evita astfel de greșeli ofensive, doar monitorizați cu atenție fiecare transformare;
2. Pierderea rădăcinilor din cauza faptului că elevul a uitat să ia în considerare unele cazuri „subtile” - acestea sunt situațiile asupra cărora ne vom concentra astăzi.

Aceasta este ultima lecție despre ecuații logaritmice. Va fi lung, vom analiza ecuații logaritmice complexe. Fă-te confortabil, fă-ți niște ceai și hai să începem.

Prima ecuație pare destul de standard:

log x + 1 (x − 0,5) = log x − 0,5 (x + 1)

Să observăm imediat că ambii logaritmi sunt copii inversate unul celuilalt. Să ne amintim de formula minunată:

log a b = 1/log b a

Cu toate acestea, această formulă are o serie de limitări care apar dacă în loc de numerele a și b există funcții ale variabilei x:

b > 0

1 ≠ a > 0

Aceste cerințe se aplică bazei logaritmului. Pe de altă parte, într-o fracție ni se cere să avem 1 ≠ a > 0, deoarece nu numai variabila a este în argumentul logaritmului (deci a > 0), dar logaritmul însuși este în numitorul fracției. . Dar log b 1 = 0, iar numitorul trebuie să fie diferit de zero, deci a ≠ 1.

Deci, restricțiile asupra variabilei a rămân. Dar ce se întâmplă cu variabila b? Pe de o parte, baza implică b > 0, pe de altă parte, variabila b ≠ 1, deoarece baza logaritmului trebuie să fie diferită de 1. În total, din partea dreaptă a formulei rezultă că 1 ≠ b > 0.

Dar iată problema: a doua cerință (b ≠ 1) lipsește din prima inegalitate, care se ocupă de logaritmul stâng. Cu alte cuvinte, atunci când efectuăm această transformare trebuie verifica separat, că argumentul b este diferit de unul!

Deci hai să verificăm. Să aplicăm formula noastră:

[Letină pentru imagine]

1 ≠ x − 0,5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0

Deci am obținut că deja din ecuația logaritmică inițială rezultă că atât a cât și b trebuie să fie mai mari decât 0 și nu egale cu 1. Aceasta înseamnă că putem inversa cu ușurință ecuația logaritmică:

Vă sugerez să introduceți o nouă variabilă:

log x + 1 (x − 0,5) = t

În acest caz, construcția noastră va fi rescrisă după cum urmează:

(t 2 − 1)/t = 0

Rețineți că la numărător avem diferența de pătrate. Dezvăluim diferența de pătrate folosind formula de înmulțire prescurtată:

(t − 1)(t + 1)/t = 0

O fracție este egală cu zero atunci când numărătorul ei este zero și numitorul ei este diferit de zero. Dar numărătorul conține un produs, așa că echivalăm fiecare factor cu zero:

t1 = 1;

t 2 = −1;

t ≠ 0.

După cum putem vedea, ambele valori ale variabilei t ni se potrivesc. Cu toate acestea, soluția nu se termină aici, deoarece trebuie să găsim nu t, ci valoarea lui x. Ne întoarcem la logaritm și obținem:

log x + 1 (x − 0,5) = 1;

log x + 1 (x − 0,5) = −1.

Să punem fiecare dintre aceste ecuații în formă canonică:

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) −1

Scăpăm de semnul logaritmului în primul caz și echivalăm argumentele:

x − 0,5 = x + 1;

x − x = 1 + 0,5;

O astfel de ecuație nu are rădăcini, prin urmare, prima ecuație logaritmică nu are nici rădăcini. Dar cu a doua ecuație totul este mult mai interesant:

(x − 0,5)/1 = 1/(x + 1)

Rezolvând proporția, obținem:

(x − 0,5)(x + 1) = 1

Permiteți-mi să vă reamintesc că atunci când rezolvăm ecuații logaritmice este mult mai convenabil să folosiți toate fracțiile zecimale ca pe cele obișnuite, așa că haideți să ne rescriem ecuația după cum urmează:

(x − 1/2)(x + 1) = 1;

x 2 + x − 1/2x − 1/2 − 1 = 0;

x 2 + 1/2x − 3/2 = 0.

Avem în fața noastră ecuația pătratică de mai jos, care poate fi rezolvată cu ușurință folosind formulele lui Vieta:

(x + 3/2) (x − 1) = 0;

x 1 = −1,5;

x 2 = 1.

Avem două rădăcini - sunt candidați pentru rezolvarea ecuației logaritmice originale. Pentru a înțelege ce rădăcini vor intra de fapt în răspuns, să revenim la problema inițială. Acum vom verifica fiecare dintre rădăcinile noastre pentru a vedea dacă se încadrează în domeniul definiției:

1,5 ≠ x > 0,5; 0 ≠ x > −1.

Aceste cerințe echivalează cu o dublă inegalitate:

1 ≠ x > 0,5

De aici vedem imediat că rădăcina x = −1,5 nu ni se potrivește, dar x = 1 ni se potrivește destul de bine. Prin urmare, x = 1 este soluția finală a ecuației logaritmice.

Să trecem la a doua sarcină:

log x 25 + log 125 x 5 = log 25 x 625

La prima vedere, poate părea că toți logaritmii au baze diferite și argumente diferite. Ce să faci cu astfel de structuri? În primul rând, rețineți că numerele 25, 5 și 625 sunt puteri ale lui 5:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

Acum să profităm de minunata proprietate a logaritmului. Ideea este că puteți extrage puteri dintr-un argument sub formă de factori:

log a b n = n ∙ log a b

Această transformare este, de asemenea, supusă restricțiilor în cazul în care b este înlocuit cu o funcție. Dar pentru noi, b este doar un număr și nu apar restricții suplimentare. Să ne rescriem ecuația:

2 ∙ log x 5 + log 125 x 5 = 4 ∙ log 25 x 5

Am obținut o ecuație cu trei termeni care conțin semnul log. Mai mult, argumentele tuturor celor trei logaritmi sunt egale.

Este timpul să inversăm logaritmii pentru a le aduce la aceeași bază - 5. Deoarece variabila b este o constantă, nu au loc modificări în domeniul definiției. Doar rescriem:

[Letină pentru imagine]

După cum era de așteptat, la numitor au apărut aceleași logaritmi. Vă sugerez să înlocuiți variabila:

log 5 x = t

În acest caz, ecuația noastră va fi rescrisă după cum urmează:

Să scriem numărătorul și să deschidem parantezele:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) − 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12

Să revenim la fracția noastră. Numătorul trebuie să fie zero:

[Letină pentru imagine]

Și numitorul este diferit de zero:

t ≠ 0; t ≠ −3; t ≠ −2

Ultimele cerințe sunt îndeplinite automat, deoarece toate sunt „legate” de numere întregi, iar toate răspunsurile sunt iraționale.

Deci, ecuația rațională fracțională a fost rezolvată, s-au găsit valorile variabilei t. Să revenim la rezolvarea ecuației logaritmice și să ne amintim ce este t:

[Letină pentru imagine]

Reducem această ecuație la formă canonică și obținem un număr cu un grad irațional. Nu lăsați acest lucru să vă încurce - chiar și astfel de argumente pot fi echivalate:

[Letină pentru imagine]

Avem două rădăcini. Mai exact, două răspunsuri candidați - să le verificăm pentru conformitatea cu domeniul de definiție. Deoarece baza logaritmului este variabila x, avem nevoie de următoarele:

1 ≠ x > 0;

Cu același succes afirmăm că x ≠ 1/125, altfel baza celui de-al doilea logaritm se va transforma în unitate. În cele din urmă, x ≠ 1/25 pentru al treilea logaritm.

În total, am primit patru restricții:

1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25

Acum întrebarea este: rădăcinile noastre satisfac aceste cerințe? Bineînțeles că mulțumesc! Deoarece 5 la orice putere va fi mai mare decât zero, iar cerința x > 0 este satisfăcută automat.

Pe de altă parte, 1 = 5 0, 1/25 = 5 −2, 1/125 = 5 −3, ceea ce înseamnă că aceste restricții pentru rădăcinile noastre (care, permiteți-mi să vă reamintesc, au un număr irațional în exponent) sunt de asemenea mulțumiți, iar ambele răspunsuri sunt soluții la problemă.

Deci, avem răspunsul final. Există două puncte cheie în această sarcină:

1. Aveți grijă când răsturnați un logaritm când argumentul și baza sunt schimbate. Astfel de transformări impun restricții inutile asupra domeniului de aplicare a definiției.
2. Nu vă fie teamă să transformați logaritmii: aceștia pot fi nu numai inversați, ci și extinși folosind formula sumei și, în general, modificați folosind orice formule pe care le-ați studiat când rezolvați expresii logaritmice. Cu toate acestea, amintiți-vă întotdeauna: unele transformări extind domeniul de aplicare al definiției, iar altele le restrâng.

Continuăm să studiem logaritmii. În acest articol vom vorbi despre calcularea logaritmilor, acest proces se numește logaritm. Mai întâi vom înțelege calculul logaritmilor prin definiție. În continuare, să vedem cum sunt găsite valorile logaritmilor folosind proprietățile lor. După aceasta, ne vom concentra pe calcularea logaritmilor prin valorile specificate inițial ale altor logaritmi. În cele din urmă, să învățăm cum să folosim tabelele logaritmice. Întreaga teorie este furnizată cu exemple cu soluții detaliate.

Navigare în pagină.

Calcularea logaritmilor prin definiție

În cele mai simple cazuri, este posibil să efectuați destul de repede și ușor găsirea logaritmului prin definiție. Să aruncăm o privire mai atentă asupra modului în care se întâmplă acest proces.

Esența sa este de a reprezenta numărul b sub forma a c, din care, prin definiția unui logaritm, numărul c este valoarea logaritmului. Adică, prin definiție, următorul lanț de egalități corespunde găsirii logaritmului: log a b=log a a c =c.

Deci, calcularea unui logaritm prin definiție se reduce la găsirea unui număr c astfel încât a c = b, iar numărul c însuși este valoarea dorită a logaritmului.

Ținând cont de informațiile din paragrafele anterioare, atunci când numărul de sub semnul logaritmului este dat de o anumită putere a bazei logaritmului, puteți indica imediat cu ce este egal logaritmul - este egal cu exponentul. Să arătăm soluții la exemple.

Exemplu.

Găsiți log 2 2 −3 și, de asemenea, calculați logaritmul natural al numărului e 5,3.

Soluţie.

Definiția logaritmului ne permite să spunem imediat că log 2 2 −3 =−3. Într-adevăr, numărul de sub semnul logaritmului este egal cu baza 2 cu puterea -3.

În mod similar, găsim al doilea logaritm: lne 5.3 =5.3.

Răspuns:

log 2 2 −3 =−3 și lne 5,3 =5,3.

Dacă numărul b sub semnul logaritmului nu este specificat ca putere a bazei logaritmului, atunci trebuie să vă uitați cu atenție pentru a vedea dacă este posibil să veniți cu o reprezentare a numărului b sub forma a c . Adesea, această reprezentare este destul de evidentă, mai ales când numărul de sub semnul logaritmului este egal cu baza cu puterea lui 1, sau 2, sau 3, ...

Exemplu.

Calculați logaritmii log 5 25 și .

Soluţie.

Este ușor de observat că 25=5 2, aceasta vă permite să calculați primul logaritm: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Să trecem la calculul celui de-al doilea logaritm. Numărul poate fi reprezentat ca o putere a lui 7: (vezi dacă este necesar). Prin urmare, .

Să rescriem al treilea logaritm urmatoarea forma. Acum poți vedea asta , din care tragem concluzia că . Prin urmare, prin definiția logaritmului .

Pe scurt, soluția ar putea fi scrisă astfel: .

Răspuns:

log 5 25=2 , Şi .

Când sub semnul logaritmului există un suficient de mare număr natural, atunci n-ar strica să-l factorizezi în factori primi. Adesea ajută să reprezentați un astfel de număr ca o putere a bazei logaritmului și, prin urmare, să calculați acest logaritm prin definiție.

Exemplu.

Aflați valoarea logaritmului.

Soluţie.

Unele proprietăți ale logaritmilor vă permit să specificați imediat valoarea logaritmilor. Aceste proprietăți includ proprietatea logaritmului unei unități și proprietatea logaritmului unui număr, egal cu baza: log 1 1=log a a 0 =0 și log a a=log a a 1 =1 . Adică, atunci când sub semnul logaritmului există un număr 1 sau un număr a egal cu baza logaritmului, atunci în aceste cazuri logaritmii sunt egali cu 0 și, respectiv, 1.

Exemplu.

Cu ce ​​sunt egali logaritmii și log10?

Soluţie.

Deoarece , atunci din definiția logaritmului rezultă .

În al doilea exemplu, numărul 10 de sub semnul logaritmului coincide cu baza sa, deci logaritmul zecimal de zece este egal cu unu, adică lg10=lg10 1 =1.

Răspuns:

ŞI lg10=1.

Rețineți că calculul logaritmilor prin definiție (pe care am discutat în paragraful anterior) implică utilizarea logaritmului de egalitate a a p =p, care este una dintre proprietățile logaritmilor.

În practică, atunci când un număr sub semnul logaritmului și baza logaritmului sunt ușor de reprezentat ca o putere a unui anumit număr, este foarte convenabil să folosiți formula , care corespunde uneia dintre proprietățile logaritmilor. Să luăm în considerare un exemplu de găsire a logaritmului, ilustrând utilizarea acestei formule.

Exemplu.

Calculați logaritmul.

Soluţie.

Răspuns:

.

Proprietățile logaritmilor nemenționați mai sus sunt, de asemenea, folosite în calcule, dar despre asta vom vorbi în paragrafele următoare.

Găsirea logaritmilor prin alți logaritmi cunoscuți

Informațiile din acest paragraf continuă subiectul utilizării proprietăților logaritmilor la calcularea acestora. Dar aici principala diferență este că proprietățile logaritmilor sunt folosite pentru a exprima logaritmul original în termenii unui alt logaritm, a cărui valoare este cunoscută. Să dăm un exemplu pentru clarificare. Să presupunem că știm că log 2 3≈1.584963, atunci putem găsi, de exemplu, log 2 6 făcând o mică transformare folosind proprietățile logaritmului: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

În exemplul de mai sus, a fost suficient să folosim proprietatea logaritmului unui produs. Cu toate acestea, mult mai des este necesar să se folosească un arsenal mai larg de proprietăți ale logaritmilor pentru a calcula logaritmul original prin cei date.

Exemplu.

Calculați logaritmul de la 27 la baza 60 dacă știți că log 60 2=a și log 60 5=b.

Soluţie.

Deci trebuie să găsim log 60 27 . Este ușor de observat că 27 = 3 3 , iar logaritmul inițial, datorită proprietății logaritmului puterii, poate fi rescris ca 3·log 60 3 .

Acum să vedem cum să exprimăm log 60 3 în termeni de logaritmi cunoscuți. Proprietatea logaritmului unui număr egal cu baza ne permite să scriem logaritmul de egalitate 60 60=1. Pe de altă parte, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Astfel, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Prin urmare, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

În cele din urmă, calculăm logaritmul original: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Răspuns:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Separat, merită menționat sensul formulei de tranziție la o nouă bază a logaritmului formei . Vă permite să treceți de la logaritmi cu orice bază la logaritmi cu o anumită bază, ale căror valori sunt cunoscute sau este posibil să le găsiți. De obicei, din logaritmul original, folosind formula de tranziție, se trec la logaritmi într-una dintre bazele 2, e sau 10, deoarece pentru aceste baze există tabele de logaritmi care permit ca valorile lor să fie calculate cu un anumit grad de precizie. În paragraful următor vom arăta cum se face acest lucru.

Tabelele logaritmice și utilizările lor

Pentru calcularea aproximativă a valorilor logaritmului pot fi utilizate tabele logaritmice. Cel mai frecvent utilizat tabel logaritm de bază 2, tabel logaritm natural și tabel logaritm zecimal. Când lucrezi în sistem zecimal Pentru calcul, este convenabil să folosiți un tabel de logaritmi bazat pe baza zece. Cu ajutorul lui vom învăța să găsim valorile logaritmilor.

Tabelul prezentat vă permite să găsiți valorile logaritmilor zecimali ale numerelor de la 1.000 la 9.999 (cu trei zecimale) cu o precizie de o zecemiime. Vom analiza principiul găsirii valorii unui logaritm folosind un tabel de logaritmi zecimal în exemplu concret– așa e mai clar. Să găsim log1.256.

În coloana din stânga a tabelului de logaritmi zecimal găsim primele două cifre ale numărului 1,256, adică găsim 1,2 (acest număr este încercuit cu albastru pentru claritate). A treia cifră a numărului 1.256 (cifra 5) se găsește în prima sau ultima linie din stânga liniei duble (acest număr este încercuit cu roșu). A patra cifră a numărului original 1.256 (cifra 6) se găsește în prima sau ultima linie din dreapta liniei duble (acest număr este încercuit cu o linie verde). Acum găsim numerele în celulele tabelului de logaritmi la intersecția rândului marcat și coloanelor marcate (aceste numere sunt evidențiate portocale). Suma numerelor marcate dă valoarea dorită a logaritmului zecimal cu precizie la a patra zecimală, adică log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Este posibil, folosind tabelul de mai sus, să găsiți valorile logaritmilor zecimali ale numerelor care au mai mult de trei cifre după virgulă zecimală, precum și ale celor care depășesc intervalul de la 1 la 9,999? Da, poți. Să arătăm cum se face acest lucru cu un exemplu.

Să calculăm lg102.76332. Mai întâi trebuie să scrieți număr în formă standard: 102,76332=1,0276332·10 2. După aceasta, mantisa ar trebui să fie rotunjită la a treia zecimală, avem 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, în timp ce logaritmul zecimal inițial este aproximativ egal cu logaritmul numărului rezultat, adică luăm log102,76332≈lg1,028·10 2. Acum aplicăm proprietățile logaritmului: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. În final, găsim valoarea logaritmului lg1.028 din tabelul logaritmilor zecimali lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Ca rezultat, întregul proces de calcul al logaritmului arată astfel: log102,76332=log1,0276332 10 2 ≈lg1,028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

În concluzie, este de remarcat faptul că folosind un tabel de logaritmi zecimali puteți calcula valoarea aproximativă a oricărui logaritm. Pentru a face acest lucru, este suficient să utilizați formula de tranziție pentru a merge la logaritmi zecimali, pentru a găsi valorile acestora în tabel și pentru a efectua calculele rămase.

De exemplu, să calculăm log 2 3 . Conform formulei de tranziție la o nouă bază a logaritmului, avem . Din tabelul logaritmilor zecimali găsim log3≈0,4771 și log2≈0,3010. Astfel, .

Referințe.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi altele Algebra şi începuturile analizei: Manual pentru clasele 10 - 11 ale instituţiilor de învăţământ general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice).

Să începem cu proprietățile logaritmului unu. Formularea sa este următoarea: logaritmul unității este egal cu zero, adică log a 1=0 pentru orice a>0, a≠1. Demonstrarea nu este dificilă: întrucât a 0 = 1 pentru orice a care îndeplinește condițiile de mai sus a>0 și a≠1, atunci egalitatea log a 1=0 de demonstrat rezultă imediat din definiția logaritmului.

Să dăm exemple de aplicare a proprietății considerate: log 3 1=0, log1=0 și .

Să trecem la următoarea proprietate: logaritmul unui număr egal cu baza este egal cu unu, adică log a a=1 pentru a>0, a≠1. Într-adevăr, deoarece a 1 =a pentru orice a, atunci prin definiția logaritmului log a a=1.

Exemple de utilizare a acestei proprietăți a logaritmilor sunt egalitățile log 5 5=1, log 5.6 5.6 și lne=1.

De exemplu, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 și .

Logaritmul produsului a doi numere pozitive x și y este egal cu produsul logaritmilor acestor numere: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Să demonstrăm proprietatea logaritmului unui produs. Datorită proprietăților gradului a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, și deoarece prin identitatea logaritmică principală un log a x =x și un log a y =y, atunci un log a x ·a log a y =x·y. Astfel, un log a x+log a y =x·y, din care, prin definirea unui logaritm, rezultă egalitatea care se dovedește.

Să arătăm exemple de utilizare a proprietății logaritmului unui produs: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 și .

Proprietatea logaritmului unui produs poate fi generalizată la produsul unui număr finit n de numere pozitive x 1 , x 2 , …, x n ca log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Această egalitate poate fi dovedită fără probleme.

De exemplu, logaritmul natural al produsului poate fi înlocuit cu suma a trei logaritmi naturali ai numerelor 4, e și.

Logaritmul câtului a două numere pozitive x și y este egal cu diferența dintre logaritmii acestor numere. Proprietatea logaritmului unui coeficient corespunde unei formule de forma , unde a>0, a≠1, x și y sunt niște numere pozitive. Valabilitatea acestei formule este dovedită la fel ca și formula pentru logaritmul unui produs: întrucât , apoi prin definiția logaritmului.

Iată un exemplu de utilizare a acestei proprietăți a logaritmului: .

Să trecem la proprietatea logaritmului puterii. Logaritmul unui grad este egal cu produsul exponentului și logaritmul modulului bazei acestui grad. Să scriem această proprietate a logaritmului unei puteri ca formulă: log a b p =p·log a |b|, unde a>0, a≠1, b și p sunt numere astfel încât gradul b p are sens și b p >0.

Mai întâi demonstrăm această proprietate pentru pozitivul b. Identitatea logaritmică de bază ne permite să reprezentăm numărul b ca un log a b , apoi b p =(a log a b) p , iar expresia rezultată, datorită proprietății puterii, este egală cu a p·log a b . Ajungem deci la egalitatea b p =a p·log a b, din care, prin definiția unui logaritm, concluzionăm că log a b p =p·log a b.

Rămâne de demonstrat această proprietate pentru negativul b. Aici observăm că expresia log a b p pentru negativ b are sens numai pentru exponenții pari p (deoarece valoarea gradului b p trebuie să fie mai mare decât zero, altfel logaritmul nu va avea sens), iar în acest caz b p =|b| p. Apoi b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, de unde log a b p =p·log a |b| .

De exemplu, și ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Rezultă din proprietatea anterioară proprietatea logaritmului de la rădăcină: logaritmul rădăcinii a n-a este egal cu produsul fracției 1/n cu logaritmul expresiei radicalului, adică , unde a>0, a≠1, n este un număr natural mai mare decât unu, b>0.

Dovada se bazează pe egalitatea (vezi), care este valabilă pentru orice b pozitiv și pe proprietatea logaritmului puterii: .

Iată un exemplu de utilizare a acestei proprietăți: .

Acum să demonstrăm formula pentru trecerea la o nouă bază logaritmică fel . Pentru a face acest lucru, este suficient să demonstrăm validitatea egalității log c b=log a b·log c a. Identitatea logaritmică de bază ne permite să reprezentăm numărul b ca log a b , apoi log c b=log c a log a b . Rămâne să folosim proprietatea logaritmului gradului: log c a log a b =log a b log c a. Aceasta dovedește egalitatea log c b=log a b·log c a, ceea ce înseamnă că a fost demonstrată și formula pentru trecerea la o nouă bază logaritmică.

Să arătăm câteva exemple de utilizare a acestei proprietăți a logaritmilor: și .

Formula pentru trecerea la o nouă bază vă permite să treceți la lucrul cu logaritmi care au o bază „convenabilă”. De exemplu, poate fi folosit pentru a merge la logaritmi naturali sau zecimali, astfel încât să puteți calcula valoarea unui logaritm dintr-un tabel de logaritmi. Formula de trecere la o nouă bază logaritmică permite, în unele cazuri, să se găsească valoarea unui logaritm dat atunci când sunt cunoscute valorile unor logaritmi cu alte baze.

Un caz special al formulei de tranziție la o nouă bază logaritmică pentru c=b a formei este adesea folosit . Aceasta arată că log a b și log b a – . De exemplu, .

Formula este de asemenea folosită des , care este convenabil pentru găsirea valorilor logaritmice. Pentru a confirma cuvintele noastre, vom arăta cum poate fi folosit pentru a calcula valoarea unui logaritm de forma . Avem . Pentru a demonstra formula este suficient să folosiți formula pentru tranziția la o nouă bază a logaritmului a: .

Rămâne de demonstrat proprietățile comparației logaritmilor.

Să demonstrăm că pentru orice numere pozitive b 1 și b 2, b 1 log a b 2 , iar pentru a>1 – inegalitatea log a b 1

În cele din urmă, rămâne de demonstrat ultima dintre proprietățile enumerate ale logaritmilor. Să ne limităm la demonstrarea primei sale părți, adică vom demonstra că dacă a 1 >1, a 2 >1 și a 1 1 este adevărat log a 1 b>log a 2 b . Enunțurile rămase ale acestei proprietăți a logaritmilor sunt dovedite după un principiu similar.

Să folosim metoda opusă. Să presupunem că pentru a 1 >1, a 2 >1 și a 1 1 este adevărat log a 1 b≤log a 2 b . Pe baza proprietăților logaritmilor, aceste inegalități pot fi rescrise ca Şi respectiv, iar din ele rezultă că log b a 1 ≤log b a 2 și, respectiv, log b a 1 ≥log b a 2. Atunci, după proprietățile puterilor cu aceleași baze, trebuie să fie valabile egalitățile b log b a 1 ≥b log b a 2 și b log b a 1 ≥b log b a 2, adică a 1 ≥a 2 . Așa că am ajuns la o contradicție cu condiția a 1

Referințe.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi altele Algebra şi începuturile analizei: Manual pentru clasele 10 - 11 ale instituţiilor de învăţământ general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice).

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Să explicăm mai simplu. De exemplu, \(\log_(2)(8)\) este egal cu puterea la care trebuie ridicat \(2\) pentru a obține \(8\). Din aceasta rezultă clar că \(\log_(2)(8)=3\).

Exemple:		\(\log_(5)(25)=2\)		deoarece \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		deoarece \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		deoarece \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argumentul și baza logaritmului

Orice logaritm are următoarea „anatomie”:

Argumentul unui logaritm este de obicei scris la nivelul său, iar baza este scrisă în indice mai aproape de semnul logaritmului. Și această intrare se citește astfel: „logaritm de douăzeci și cinci la baza cinci”.

Cum se calculează logaritmul?

Pentru a calcula logaritmul, trebuie să răspundeți la întrebarea: la ce putere ar trebui ridicată baza pentru a obține argumentul?

De exemplu, calculați logaritmul: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) La ce putere trebuie ridicat \(4\) pentru a obține \(16\)? Evident, al doilea. De aceea:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) La ce putere trebuie ridicată \(\sqrt(5)\) pentru a obține \(1\)? Ce putere face pe orice număr unu? Zero, desigur!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) La ce putere trebuie ridicată \(\sqrt(7)\) pentru a obține \(\sqrt(7)\)? În primul rând, orice număr la prima putere este egal cu el însuși.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) La ce putere trebuie ridicată \(3\) pentru a obține \(\sqrt(3)\)? Din știm că este o putere fracțională, ceea ce înseamnă că rădăcina pătrată este puterea lui \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Exemplu : Calculați logaritmul \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Soluţie :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Trebuie să găsim valoarea logaritmului, să o notăm cu x. Acum să folosim definiția unui logaritm: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Ce leagă \(4\sqrt(2)\) și \(8\)? Doi, deoarece ambele numere pot fi reprezentate prin doi: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		În stânga folosim proprietățile gradului: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) și \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Bazele sunt egale, trecem la egalitatea indicatorilor
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \(\frac(2)(5)\)
		Rădăcina rezultată este valoarea logaritmului

Răspuns : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

De ce a fost inventat logaritmul?

Pentru a înțelege acest lucru, să rezolvăm ecuația: \(3^(x)=9\). Doar potriviți \(x\) pentru ca ecuația să funcționeze. Desigur, \(x=2\).

Acum rezolvați ecuația: \(3^(x)=8\). Cu ce ​​este x egal? Acesta este ideea.

Cei mai deștepți vor spune: „X este puțin mai puțin de doi”. Cum să scriu mai exact acest număr? Pentru a răspunde la această întrebare, a fost inventat logaritmul. Datorită lui, răspunsul de aici poate fi scris ca \(x=\log_(3)(8)\).

Vreau să subliniez că \(\log_(3)(8)\), ca orice logaritm este doar un număr. Da, pare neobișnuit, dar este scurt. Pentru că dacă am vrea să-l scriem ca zecimală, ar arăta astfel: \(1.892789260714.....\)

Exemplu : Rezolvați ecuația \(4^(5x-4)=10\)

Soluţie :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) și \(10\) nu pot fi aduse la aceeași bază. Aceasta înseamnă că nu te poți descurca fără un logaritm. Să folosim definiția logaritmului: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Să răsturnăm ecuația astfel încât X să fie în stânga
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		In fata noastra. Să ne deplasăm \(4\) la dreapta. Și nu vă fie teamă de logaritm, tratați-l ca pe un număr obișnuit.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Împărțiți ecuația la 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Aceasta este rădăcina noastră. Da, pare neobișnuit, dar ei nu aleg răspunsul.

Răspuns : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logaritmi zecimali și naturali

După cum se precizează în definiția unui logaritm, baza acestuia poate fi orice număr pozitiv, cu excepția unuia \((a>0, a\neq1)\). Și dintre toate bazele posibile, există două care apar atât de des încât a fost inventată o notație scurtă specială pentru logaritmi cu ele:

Logaritm natural: un logaritm a cărui bază este numărul lui Euler \(e\) (egal cu aproximativ \(2,7182818…\)), iar logaritmul se scrie ca \(\ln(a)\).

adica \(\ln(a)\) este același cu \(\log_(e)(a)\)

Logaritm zecimal: Un logaritm a cărui bază este 10 se scrie \(\lg(a)\).

adica \(\lg(a)\) este același cu \(\log_(10)(a)\), unde \(a\) este un număr.

Identitatea logaritmică de bază

Logaritmii au multe proprietăți. Una dintre ele se numește „Identitatea logaritmică de bază” și arată astfel:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Această proprietate decurge direct din definiție. Să vedem exact cum a apărut această formulă.

Să ne amintim o scurtă notație a definiției logaritmului:

dacă \(a^(b)=c\), atunci \(\log_(a)(c)=b\)

Adică, \(b\) este același cu \(\log_(a)(c)\). Apoi putem scrie \(\log_(a)(c)\) în loc de \(b\) în formula \(a^(b)=c\). S-a dovedit \(a^(\log_(a)(c))=c\) - principala identitate logaritmică.

Puteți găsi alte proprietăți ale logaritmilor. Cu ajutorul lor, puteți simplifica și calcula valorile expresiilor cu logaritmi, care sunt dificil de calculat direct.

Exemplu : Găsiți valoarea expresiei \(36^(\log_(6)(5))\)

Soluţie :

Răspuns : \(25\)

Cum se scrie un număr ca logaritm?

După cum am menționat mai sus, orice logaritm este doar un număr. Este adevărat și invers: orice număr poate fi scris ca logaritm. De exemplu, știm că \(\log_(2)(4)\) este egal cu doi. Apoi, în loc de două, puteți scrie \(\log_(2)(4)\).

Dar \(\log_(3)(9)\) este, de asemenea, egal cu \(2\), ceea ce înseamnă că putem scrie și \(2=\log_(3)(9)\) . La fel și cu \(\log_(5)(25)\), și cu \(\log_(9)(81)\), etc. Adică se dovedește

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Astfel, dacă avem nevoie, putem scrie doi ca logaritm cu orice bază oriunde (chiar și într-o ecuație, chiar și într-o expresie, chiar și într-o inegalitate) - pur și simplu scriem baza pătrată ca argument.

Este la fel și cu triplul – poate fi scris ca \(\log_(2)(8)\), sau ca \(\log_(3)(27)\), sau ca \(\log_(4)( 64) \)... Aici scriem baza în cub ca argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Și cu patru:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Și cu minus unu:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

Și cu o treime:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Orice număr \(a\) poate fi reprezentat ca un logaritm cu baza \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Exemplu : Găsiți sensul expresiei \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Soluţie :

Răspuns : \(1\)