Tabelul sinusurilor derivate. Derivată sinus: (sin x)′

Derivat

Calcularea derivatei unei funcții matematice (diferențiere) este o sarcină foarte comună în rezolvarea matematicii superioare. Pentru funcțiile matematice simple (elementare), aceasta este o chestiune destul de simplă, deoarece tabelele de derivate pentru funcțiile elementare au fost compilate de mult timp și sunt ușor accesibile. Cu toate acestea, găsirea derivatei unei funcții matematice complexe nu este o sarcină banală și necesită adesea efort și timp semnificativ.

Găsiți derivate online

Serviciul nostru online vă permite să scăpați de calculele lungi fără sens și găsiți derivate onlineîntr-o clipă. Mai mult, folosind serviciul nostru situat pe site www.site, puteți calcula derivat online atât dintr-o funcţie elementară cât şi dintr-una foarte complexă care nu are o soluţie analitică. Principalele avantaje ale site-ului nostru în comparație cu altele sunt: ​​1) nu există cerințe stricte pentru metoda de introducere a unei funcții matematice pentru a calcula derivata (de exemplu, când introduceți funcția sine x, o puteți introduce ca sin x sau sin (x) sau sin [x] etc.) d.); 2) calculul derivatului online are loc instantaneu în modul pe net si absolut gratuit; 3) permitem găsirea derivatei funcției orice ordine, schimbarea ordinii derivatei este foarte ușoară și de înțeles; 4) vă permitem să găsiți derivatul aproape oricărei funcții matematice online, chiar și foarte complex, inaccesibil altor servicii. Răspunsul dat este întotdeauna corect și nu poate conține erori.

Utilizarea serverului nostru vă va permite 1) să calculați derivatul online pentru dvs., scutindu-vă de calcule lungi și plictisitoare în timpul cărora ați putea face o greșeală sau o greșeală de tipar; 2) dacă calculați singur derivata unei funcții matematice, atunci vă oferim posibilitatea de a compara rezultatul cu calculele serviciului nostru și de a vă asigura că soluția este corectă sau de a găsi o eroare furtunoasă; 3) folosiți serviciul nostru în loc să folosiți tabele de derivate ale funcțiilor simple, unde adesea este nevoie de timp pentru a găsi funcția dorită.

Tot ceea ce ți se cere găsiți derivate online este să folosim serviciul nostru pe

Când obținem prima formulă a tabelului, vom porni de la definiția derivatei unei funcții într-un punct. Să luăm unde X- orice număr real, adică X– orice număr din zona de definire a funcției . Să scriem limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului la:

De remarcat că sub semnul limitei se obține o expresie, care nu este incertitudinea zero împărțită la zero, întrucât numărătorul nu conține o valoare infinitezimală, ci exact zero. Cu alte cuvinte, incrementul unei funcții constante este întotdeauna zero.

Prin urmare, derivata unei functii constanteeste egal cu zero pe întregul domeniu de definiție.

Derivată a unei funcții de putere.

Formula pentru derivata unei funcții putere are forma , unde exponentul p este orice număr real.

Să demonstrăm mai întâi formula exponentului natural, adică pentru p = 1, 2, 3, ...

Vom folosi definiția unei derivate. Să scriem limita raportului dintre incrementul funcției de putere și incrementul argumentului:

Pentru a simplifica expresia în numărător, ne întoarcem la formula binomială a lui Newton:

Prin urmare,

Aceasta dovedește formula pentru derivata unei funcții de putere pentru un exponent natural.

Derivată a funcției exponențiale.

Deducem formula derivată pe baza definiției:

A ajuns la incertitudine. Pentru a o extinde, introducem o nouă variabilă și pentru . Apoi . În ultima tranziție, am folosit formula pentru trecerea la o nouă bază a logaritmului.

Să efectuăm o înlocuire în limita inițială:

Dacă ne amintim a doua limită remarcabilă, atunci ajungem la formula pentru derivata funcției exponențiale:

Derivată a unei funcții logaritmice.

Să demonstrăm formula pentru derivata funcției logaritmice pentru toate X din domeniul de aplicare și toate valorile de bază valide A logaritm. Prin definiția derivatei, avem:

După cum ați observat, în demonstrație, transformările au fost efectuate folosind proprietățile logaritmului. Egalitate este valabilă datorită celei de-a doua limite remarcabile.

Derivate ale funcţiilor trigonometrice.

Pentru a deriva formule pentru derivate ale funcțiilor trigonometrice, va trebui să reamintim câteva formule de trigonometrie, precum și prima limită remarcabilă.

Prin definiția derivatei pentru funcția sinus, avem .

Folosim formula pentru diferența de sinusuri:

Rămâne să ne întoarcem la prima limită remarcabilă:

Deci derivata funcției sin x există cos x.

Formula pentru derivata cosinus este dovedită exact în același mod.

Prin urmare, derivata funcției cos x există –sin x.

Derivarea formulelor pentru tabelul de derivate pentru tangentă și cotangentă se va efectua folosind regulile dovedite de diferențiere (derivată a fracției).

Derivate ale funcțiilor hiperbolice.

Regulile de diferențiere și formula pentru derivata funcției exponențiale din tabelul derivatelor ne permit să derivăm formule pentru derivatele sinusului hiperbolic, cosinusului, tangentei și cotangentei.

Derivată a funcției inverse.

Pentru ca în prezentare să nu existe confuzie, să notăm în indexul inferior argumentul funcției prin care se realizează diferențierea, adică este derivata funcției f(x) pe X.

Acum formulăm regula pentru aflarea derivatei functiei inverse.

Lasă funcțiile y = f(x)și x = g(y) reciproc invers, definite pe intervale și respectiv. Dacă într-un punct există o derivată finită nenulă a funcției f(x), atunci în punctul există o derivată finită a funcției inverse g(y), și . Într-o altă intrare .

Această regulă poate fi reformulată pentru orice X din intervalul , atunci obținem .

Să verificăm validitatea acestor formule.

Să găsim funcția inversă pentru logaritmul natural (Aici y este o funcție și X- argument). Rezolvarea acestei ecuații pentru X, primim (aici X este o funcție și y argumentul ei). adica și funcții reciproc inverse.

Din tabelul derivatelor, vedem că și .

Să ne asigurăm că formulele pentru găsirea derivatelor funcției inverse ne conduc la aceleași rezultate:

După cum puteți vedea, am obținut aceleași rezultate ca și în tabelul de derivate.

Acum avem cunoștințele pentru a demonstra formule pentru derivatele funcțiilor trigonometrice inverse.

Să începem cu derivata arcsinusului.

. Apoi, prin formula pentru derivata funcției inverse, obținem

Rămâne de realizat transformarea.

Deoarece intervalul arcsinusului este intervalul , apoi (vezi secțiunea privind funcțiile elementare de bază, proprietățile și graficele acestora). Prin urmare, nu luăm în considerare.

Prin urmare, . Domeniul de definire al derivatei arcsinusului este intervalul (-1; 1) .

Pentru arccosin, totul se face exact în același mod:

Aflați derivata arc-tangentei.

Pentru funcția inversă este .

Exprimăm arc-tangente prin arc cosinus pentru a simplifica expresia rezultată.

Lasa arctanx = z, apoi

Prin urmare,

În mod similar, derivata tangentei inverse se găsește:

Se prezintă demonstrația și derivarea formulei pentru derivata sinusului - sin(x). Exemple de calculare a derivatelor sin 2x, sinus pătrat și cub. Derivarea formulei pentru derivata sinusului de ordinul al n-lea.

Conţinut

Vezi si: Sinus și cosinus - proprietăți, grafice, formule

Derivata față de variabila x a sinusului lui x este egală cu cosinusul lui x:
(sin x)′ = cos x.

Dovada

Pentru a deriva formula pentru derivata sinusului, vom folosi definiția derivatei:
.

Pentru a găsi această limită, trebuie să transformăm expresia în așa fel încât să o reducem la legi, proprietăți și reguli cunoscute. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoaștem patru proprietăți.
1) Semnificația primei limite remarcabile:
(1) ;
2) Continuitatea funcției cosinus:
(2) ;
3) Formule trigonometrice. Avem nevoie de următoarea formulă:
(3) ;
4) Proprietățile aritmetice ale limitei funcției:
Dacă și atunci
(4) .

Aplicam aceste reguli la limita noastra. Mai întâi transformăm expresia algebrică
.
Pentru aceasta aplicam formula
(3) .
În cazul nostru
; . Apoi
;
;
;
.

Acum să facem o înlocuire. La , . Să aplicăm prima limită remarcabilă (1):
.

Facem aceeași substituție și folosim proprietatea de continuitate (2):
.

Deoarece limitele calculate mai sus există, aplicăm proprietatea (4):

.

Formula pentru derivata sinusului a fost dovedită.

Exemple

Luați în considerare exemple simple de găsire a derivatelor de funcții care conțin un sinus. Vom găsi derivate ale următoarelor funcții:
y=sin2x; y= sin2xși y= sin3x.

Exemplul 1

Găsiți derivata lui păcat de 2x.

Mai întâi găsim derivata celei mai simple părți:
(2x)′ = 2(x)′ = 2 1 = 2.
Aplicam.
.
Aici .

(sin 2x)′ = 2 cos 2x.

Exemplul 2

Aflați derivata sinusului pătrat:
y= sin2x.

Să rescriem funcția originală într-o formă mai înțeleasă:
.
Găsiți derivata celei mai simple părți:
.
Aplicam formula pentru derivata unei functii complexe.

.
Aici .

Se poate aplica una dintre formulele de trigonometrie. Apoi
.

Exemplul 3

Aflați derivata sinusului cub:
y= sin3x.

Derivate de ordin superior

Rețineți că derivata lui sin x de ordinul întâi poate fi exprimat în termeni de sinus după cum urmează:
.

Să găsim derivata de ordinul doi folosind formula pentru derivata unei funcții complexe:

.
Aici .

Acum putem vedea că diferențierea sin x face ca argumentul său să fie incrementat cu . Atunci derivata de ordinul n-a are forma:
(5) .

Să demonstrăm acest lucru prin aplicarea metodei inducției matematice.

Am verificat deja că pentru , formula (5) este valabilă.

Să presupunem că formula (5) este valabilă pentru o anumită valoare a lui . Să demonstrăm că de aici rezultă că formula (5) este valabilă pentru .

Scriem formula (5) pentru:
.
Diferențiem această ecuație prin aplicarea regulii de diferențiere a unei funcții complexe:

.
Aici .
Deci am gasit:
.
Dacă înlocuim , atunci această formulă ia forma (5).

Formula a fost dovedită.

Vezi si:

Iată un tabel rezumativ pentru comoditate și claritate atunci când studiați subiectul.

Constanty=C Funcția de putere y = x p (x p)" = p x p - 1	Functie exponentialay = x (a x)" = a x ln a În special, cânda = enoi avem y = e x (e x)" = e x
funcţie logaritmică (log a x) " = 1 x ln a În special, cânda = enoi avem y = log x (ln x)" = 1 x	Funcții trigonometrice (sin x) "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x
Funcții trigonometrice inverse (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	Funcții hiperbolice (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Să analizăm modul în care au fost obținute formulele din tabelul specificat sau, cu alte cuvinte, vom demonstra derivarea formulelor pentru derivate pentru fiecare tip de funcție.

Derivată a unei constante

Dovada 1

Pentru a deriva această formulă, luăm ca bază definiția derivatei unei funcții într-un punct. Folosim x 0 = x, unde X ia valoarea oricărui număr real sau, cu alte cuvinte, X este orice număr din domeniul funcției f (x) = C . Să scriem limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului ca ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Vă rugăm să rețineți că expresia 0 ∆ x se încadrează sub semnul limită. Nu este incertitudinea „zero împărțit la zero”, deoarece numărătorul nu conține o valoare infinitezimală, ci zero. Cu alte cuvinte, incrementul unei funcții constante este întotdeauna zero.

Deci, derivata funcției constante f (x) = C este egală cu zero pe întregul domeniu de definiție.

Exemplul 1

Date funcții constante:

f 1 (x) = 3 , f 2 (x) = a , a ∈ R , f 3 (x) = 4 . 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Decizie

Să descriem condițiile date. În prima funcție vedem derivata numărului natural 3 . În exemplul următor, trebuie să luați derivata lui A, Unde A- orice număr real. Al treilea exemplu ne oferă derivata numărului irațional 4 . 13 7 22 , al patrulea - derivata lui zero (zero este un număr întreg). În cele din urmă, în al cincilea caz, avem derivata fracției raționale - 8 7 .

Răspuns: derivatele funcțiilor date sunt zero pentru orice real X(pe întregul domeniu de definiție)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Derivata functiei de putere

Ne întoarcem la funcția putere și la formula derivatei sale, care are forma: (x p) " = p x p - 1, unde exponentul p este orice număr real.

Dovada 2

Iată dovada formulei când exponentul este un număr natural: p = 1, 2, 3, …

Din nou, ne bazăm pe definiția unei derivate. Să scriem limita raportului dintre incrementul funcției de putere și incrementul argumentului:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Pentru a simplifica expresia în numărător, folosim formula binomială a lui Newton:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Prin urmare:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 +... + 0 = p! 1! (p - 1)! x p - 1 = p x p - 1

Deci, am demonstrat formula pentru derivata unei funcții de putere atunci când exponentul este un număr natural.

Dovada 3

A da dovezi pentru cazul când p- orice număr real, altul decât zero, folosim derivata logaritmică (aici ar trebui să înțelegem diferența față de derivata funcției logaritmice). Pentru a avea o înțelegere mai completă, este de dorit să se studieze derivata funcției logaritmice și să se ocupe suplimentar de derivata unei funcții date implicit și derivata unei funcții complexe.

Luați în considerare două cazuri: când X pozitiv și când X sunt negative.

Deci x > 0 . Atunci: x p > 0 . Luăm logaritmul egalității y \u003d x p la baza e și aplicăm proprietatea logaritmului:

y = x p ln y = ln x p ln y = p ln x

În această etapă s-a obţinut o funcţie implicit definită. Să definim derivata sa:

(ln y) " = (p ln x) 1 y y " = p 1 x ⇒ y " = p y x = p x p x = p x p - 1

Acum luăm în considerare cazul când X- un număr negativ.

Dacă indicatorul p este un număr par, atunci funcția de putere este definită și pentru x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Apoi xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

În cazul în care un p este un număr impar, atunci funcția de putere este definită pentru x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \u003d (- (- x) p) " \u003d - ((- x) p) " \u003d - p (- x) p - 1 (- x) " = \u003d p (- x) ) p - 1 = p x p - 1

Ultima tranziție este posibilă pentru că dacă p este un număr impar, atunci p - 1 fie un număr par, fie zero (pentru p = 1), prin urmare, pentru negativ X egalitatea (- x) p - 1 = x p - 1 este adevărată.

Deci, am demonstrat formula pentru derivata unei funcții putere pentru orice p real.

Exemplul 2

Funcții date:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Determinați derivatele lor.

Decizie

Transformăm o parte din funcțiile date într-o formă tabelară y = x p , pe baza proprietăților gradului, apoi folosim formula:

f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 \u003d - 2 3 x - 5 3 f 2 "(x) \u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 " ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Derivată a funcției exponențiale

Dovada 4

Deducem formula pentru derivată, pe baza definiției:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Avem incertitudine. Pentru a o extinde, scriem o nouă variabilă z = a ∆ x - 1 (z → 0 ca ∆ x → 0). În acest caz a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Pentru ultima tranziție se folosește formula pentru trecerea la o nouă bază a logaritmului.

Să efectuăm o înlocuire în limita inițială:

(a x) " = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Reamintim a doua limită minunată și apoi obținem formula pentru derivata funcției exponențiale:

(a x) " = a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a

Exemplul 3

Funcțiile exponențiale sunt date:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Trebuie să găsim derivatele lor.

Decizie

Folosim formula pentru derivata funcției exponențiale și proprietățile logaritmului:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Derivată a unei funcții logaritmice

Dovada 5

Prezentăm demonstrația formulei pentru derivata funcției logaritmice pentru oricare Xîn domeniul definiției și orice valori valide ale bazei a a logaritmului. Pe baza definiției derivatei, obținem:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x = lim ∆ x → 0 1 x log a 1 + ∆ x x x ∆ = = 1 x log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x log a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

Din lanțul de egalități specificat se poate observa că transformările au fost construite pe baza proprietății logaritmului. Egalitatea lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e este adevărată în conformitate cu a doua limită remarcabilă.

Exemplul 4

Funcțiile logaritmice sunt date:

f 1 (x) = log log 3 x , f 2 (x) = log x

Este necesar să se calculeze derivatele lor.

Decizie

Să aplicăm formula derivată:

f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3) ; f 2 "(x) \u003d (ln x)" \u003d 1 x ln e \u003d 1 x

Deci derivata logaritmului natural este una împărțită la X.

Derivate ale funcţiilor trigonometrice

Dovada 6

Folosim câteva formule trigonometrice și prima limită minunată pentru a deriva formula pentru derivata unei funcții trigonometrice.

Conform definiției derivatei funcției sinus, obținem:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Formula pentru diferența de sinusuri ne va permite să efectuăm următoarele acțiuni:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

În cele din urmă, folosim prima limită minunată:

sin "x = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Deci derivata funcției sin x voi cos x.

De asemenea, vom demonstra formula pentru derivata cosinus în același mod:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Acestea. derivata functiei cos x va fi – sin x.

Obținem formulele pentru derivatele tangentei și cotangentei pe baza regulilor de diferențiere:

t g "x = sin x cos x" = sin "x cos x - sin x cos "x cos 2 x = = cos x cos x - sin x (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x sin x" = cos "x sin x - cos x sin "x sin 2 x = = - sin x sin x - cos x cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Derivate ale funcţiilor trigonometrice inverse

Secțiunea despre derivata funcțiilor inverse oferă informații cuprinzătoare despre demonstrarea formulelor pentru derivatele arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent, așa că nu vom duplica materialul aici.

Derivate ale funcțiilor hiperbolice

Dovada 7

Putem deriva formule pentru derivatele sinusului hiperbolic, cosinusului, tangentei și cotangentei folosind regula de diferențiere și formula pentru derivata funcției exponențiale:

s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h "x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h "x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter