Teorema privind circulația vectorului tensiune. Teorema privind circulația vectorului de putere Teorema și circulația vectorului intensității câmpului electrostatic

Teorema circulației

Anterior, am aflat că o sarcină (q) care se află într-un câmp electrostatic este acționată de forțe conservatoare, al căror lucru ($A$) pe orice cale închisă (L) este egal cu zero:

unde $\overrightarrow(s)$ este vectorul deplasării (a nu se confunda cu aria), $\overrightarrow(E)$ este vectorul intensității câmpului.

Pentru o unitate de sarcină pozitivă putem scrie:

Integrala din partea stângă a ecuației (2) este circulația vectorului de tensiune de-a lungul conturului L. Proprietate caracteristică câmpul electrostatic este că circulația vectorului său de intensitate de-a lungul oricărui circuit închis este zero. Această afirmație se numește teorema de circulație a vectorului intensității câmpului electrostatic.

Să demonstrăm teorema de circulație pe baza faptului că munca câmpului pentru a deplasa o sarcină nu depinde de traiectoria mișcării sarcinii în câmpul electrostatic, care este exprimată prin egalitate:

unde $L_1\ și\ L_2$ sunt căi diferite între punctele A și B. Să luăm în considerare că la înlocuirea limitelor de integrare, obținem:

Expresia (4) este reprezentată ca:

unde $L=L_1+L_2$. Deci teorema este demonstrată.

O consecință a teoremei de circulație este că liniile de intensitate a câmpului electric nu sunt închise. Ele încep cu sarcini pozitive și se termină cu sarcini negative sau merg la infinit. Teorema este adevărată în special pentru sarcinile statice. O altă consecință a teoremei: continuitatea componentelor tangențiale ale tensiunii (spre deosebire de componentele normale). Aceasta înseamnă că componentele de tensiune care sunt tangente la orice suprafață selectată în orice punct au valori egale pe ambele părți ale suprafeței.

Să alegem o suprafață S arbitrară, care se sprijină pe conturul L (Fig. 1).

În conformitate cu formula Stokes (teorema Stokes), integrala rotorului vectorului de tensiune ($rot\overrightarrow(E)$), preluată pe suprafața S, este egală cu circulația vectorului de tensiune de-a lungul conturului pe pe care se sprijină această suprafață:

unde $d\overrightarrow(S)=dS\cdot \overrightarrow(n)$, $\overrightarrow(n)$ este un vector unitar perpendicular pe secțiunea dS. Rotorul ($rot\overrightarrow(E)$) caracterizează intensitatea „învârtirii” vectorului. O reprezentare vizuală a rotorului vectorial poate fi obținută dacă lumină mică Așezați rotorul (Fig. 2) în fluxul de lichid. În acele locuri în care rotorul nu este egal cu zero, rotorul se va roti, iar viteza de rotație a acestuia va fi mai mare, cu atât modulul de proiecție al proiecției rotorului pe axa rotorului este mai mare.

În calculele practice ale rotorului, se folosesc cel mai des următoarele formule:

Deoarece, în conformitate cu ecuația (6), circulația vectorului de tensiune este zero, obținem:

Condiția (8) trebuie îndeplinită pentru orice suprafață S care se sprijină pe conturul L. Acest lucru este posibil numai dacă integrandul este:

iar pentru fiecare punct al câmpului.

Prin analogie cu rotorul din Fig. 2 imaginați-vă un „rotor” electric. La capetele unui astfel de „rotor” există sarcini q de mărime egală. Sistemul este plasat într-un câmp uniform cu intensitatea E. În acele locuri unde $rot\overrightarrow(E)\ne 0$ un astfel de „dispozitiv” se va roti cu accelerație, care depinde de proiecția rotorului pe axa rotorului. În cazul unui câmp electrostatic, un astfel de „dispozitiv” nu s-ar roti la nicio orientare a axei. Deoarece trăsătură distinctivă câmpul electrostatic este că este irrotațional. Ecuația (9) reprezintă teorema circulației sub formă diferențială.

Exemplul 1

Misiunea: În fig. 3 prezintă câmpul electrostatic. Ce puteți spune despre caracteristicile acestui câmp din figură?

Despre acest domeniu putem spune că existența unui astfel de câmp electrostatic este imposibilă. Dacă selectați conturul (este afișat ca o linie punctată). Pentru un astfel de circuit, circulația vectorului de tensiune este:

\[\oint\limits_L(\overrightarrow(E)d\overrightarrow(s)\ne 0)\left(1.1\right),\]

ceea ce contrazice teorema de circulaţie pentru câmpul electrostatic. Intensitatea câmpului este determinată de densitatea liniilor de câmp; diferite părți câmpurile nu sunt aceleași, ca urmare, lucrul de-a lungul unei bucle închise va diferi de zero, prin urmare, circulația vectorului de tensiune nu este egală cu zero.

Exemplul 2

Sarcina: Pe baza teoremei de circulație, arătați că componentele tangențiale ale vectorului intensității câmpului electrostatic nu se modifică la trecerea prin interfața dielectrică.

Să considerăm limita dintre doi dielectrici cu constante dielectrice $(\varepsilon )_2\ și\ (\varepsilon )_1$ (Fig. 4). Să selectăm un contur dreptunghiular mic pe această limită cu parametrii a - lungime, b - lățime. Axa X trece prin mijlocul laturilor b.

Pentru câmpul electrostatic este îndeplinită teorema de circulație, care se exprimă prin ecuația:

\[\oint\limits_L(\overrightarrow(E)d\overrightarrow(s)=0\ \left(2.1\right).)\]

La dimensiuni mici circuit, circulația vectorului de tensiune și în conformitate cu direcția indicată de parcurgere a circuitului, integrala din formula (2.1) poate fi reprezentată ca:

\[\oint\limits_L(\overrightarrow(E)d\overrightarrow(s)=E_(1x)a-E_(2x)a+\left\langle E_b\right\rangle 2b=0\ \left(2.2\right) ,)\]

unde $\left\langle E_b\right\rangle $ este valoarea medie a $\overrightarrow(E)$ în zonele perpendiculare pe interfață.

Din (2.2) rezultă că:

\[((E)_(2x)-E_(1x))a=\left\langle E_b\right\rangle 2b\ (2.3).\]

Dacă $b\la 0$, atunci obținem că:

Expresia (2.4) este satisfăcută cu o alegere arbitrară a axei X, care se află la interfața dielectrică. Dacă ne imaginăm vectorul tensiune sub forma a două componente (tangențială $E_(\tau )\ $ și normală $E_n$):

\[\overrightarrow(E_1)=\overrightarrow(E_(1n))+\overrightarrow(E_(1\tau )),\overrightarrow(E_2)=\overrightarrow(E_(2n))+\overrightarrow(E_(2\) tau ))\ \left(2.5\right).\]

În acest caz, din (2.4) scriem:

unde $E_(\tau i)$ este proiecția vectorului intensitate pe unitatea $\tau $ direcționată de-a lungul interfeței dielectrice.

Când o sarcină se deplasează de-a lungul unui traseu închis arbitrar L, munca efectuată de forțele câmpului electrostatic este zero. Deoarece poziția finală a sarcinii este egală cu poziția inițială r 1 =r 2, atunci (cercul de lângă semnul integral indică faptul că integrarea se realizează de-a lungul unui drum închis). De când și , atunci . De aici obținem. Reducând ambele părți ale egalității cu q 0, obținem sau, unde E l=Ecosa - proiecția vectorului E pe direcția deplasării elementare. Se numește integrala circulaţia vectorului de tensiune. Astfel, circulația vectorului intensității câmpului electrostatic de-a lungul oricărei bucle închise este zero . Această concluzie este o condiție potenţialitatea câmpului.

Energia potențială de încărcare.

Într-un câmp potențial, corpurile au energie potențială și munca forțelor conservatoare se face din cauza pierderii de energie potențială.

Prin urmare, munca O 12 poate fi reprezentat ca diferența de energii potențiale de încărcare q 0 la punctele inițiale și finale ale câmpului de încărcare q :

Energia potențială de încărcare q 0 situat în câmpul de taxare q la distanta r egal cu

Presupunând că atunci când sarcina este îndepărtată la infinit, energia potențială ajunge la zero, obținem: const = 0 .

Pentru omonim încarcă energia potențială a interacțiunii lor ( repulsie) pozitiv, Pentru nume diferite încarcă energia potențială din interacțiune ( atracţie) negativ.

Dacă câmpul este creat de sistem n sarcini punctuale, apoi energia potențială a sarcinii q 0 situat în acest câmp este egal cu suma energiilor sale potențiale create de fiecare dintre sarcini separat:

Potențial de câmp electrostatic.

Raportul nu depinde de sarcina de testare q0 și este, energie caracteristică câmpului, numită potenţial :

Potenţial ϕ în orice punct al câmpului electrostatic este mărime fizică scalară, determinată de energia potențială a unei unități de sarcină pozitivă plasată în acest punct.

1.7 Relația dintre tensiune și potențial.

Relația dintre potențialul și intensitatea câmpului electrostatic. Suprafețe echipotențiale.

După cum sa arătat anterior, munca forțelor câmpului electrostatic atunci când se mișcă o sarcină q 0 poate fi scrisă, pe de o parte, ca , pe de altă parte, ca o scădere a energiei potențiale, i.e. . Aici dr este proiecția deplasării elementare d l taxa pe direcție linie electrică , - există o mică diferență de potențial între două puncte de câmp apropiate. Să echivalăm părțile din dreapta ale egalităților și să reducem cu q 0 . Obținem rapoartele , . De aici.

Ultima relație reprezintă legătura dintre principalele caracteristici ale câmpului electrostatic E și j. Iată rata de schimbare a potențialului în direcția liniei de câmp. Semnul minus indică faptul că vectorul este îndreptat în direcția potențialului în scădere. Din moment ce , putem scrie proiecțiile vectorului pe axele de coordonate: . Rezultă că . Expresia din paranteze se numește gradientul scalarului j și se notează gradj.

Intensitatea câmpului electrostatic este egală cu gradientul de potențial luat cu semnul opus.

Pentru imagine grafică se folosesc distribuţiile de potenţial de câmp electrostatic suprafețe echipotențiale - suprafețe, potențialul tuturor punctelor este același. Potențialul de câmp al unei singure sarcini punctuale. Suprafețele echipotențiale în acest caz sunt sfere concentrice cu centrul în punctul în care se află sarcina q (Fig. 1.13). Se pot trasa un număr infinit de suprafețe echipotențiale, dar se obișnuiește să le deseneze cu o densitate proporțională cu valoarea lui E.

1.8 Capacitate electrică, condensator plat.

Capacitate electrică.

Să luăm în considerare ghid solitar - un conductor îndepărtat de alte corpuri și sarcini. Din experiență rezultă că diferiți conductori, fiind egal încărcați, au potențiale diferite.

Cantitatea fizică C , egal cu raportul sarcina conductorului q la potenţialul său ϕ , numit capacitate electrică acest conductor.

Capacitatea electrică a unui conductor izolat este numeric egală cu sarcina care trebuie conferită acestui conductor pentru a-și modifica potențialul cu unu.

Depinde de forma și dimensiunea conductorului și de proprietățile dielectrice mediu. Capacitatele conductoarelor similare geometric sunt proporționale cu dimensiunile lor liniare.

Exemplu: Se consideră o bilă solitara de raza R situată într-un mediu omogen cu constantă dielectrică e. Anterior, s-a constatat că potențialul mingii este egal cu . Apoi capacitatea mingii , adică depinde doar de raza lui.

Unitate de capacitate electrică-farad (F): 1F este capacitatea unui astfel de conductor izolat, al cărui potențial se modifică cu 1V atunci când i se transmite o sarcină de 1C. O sferă cu o rază are o capacitate de 1F R= 9 ⋅10 6 km. Capacitatea pământului este de 0,7 mF.

Interacțiunea sarcinilor staționare se realizează printr-un câmp electrostatic. Câmpul electrostatic este descris folosind vectorul intensitate ($\overline(E)$), care este definit ca forța ($\overline(F)$) care acționează asupra unei unități de sarcină pozitivă situată în punctul de câmp luat în considerare:

\[\overline(E)=\frac(\overline(F))(q)\left(1\right).\]

Forțele electrostatice sunt conservatoare, ceea ce înseamnă că munca lor de-a lungul unei căi închise ($L$) este zero:

unde $\overline(r)$ este deplasarea.

Integrala din formula (2) se numește circulația vectorului intensității câmpului electrostatic. Circulația vectorului $\overline(E)$ este munca pe care o pot face forțele Coulombiene prin deplasarea unei sarcini pozitive egală cu una de-a lungul conturului.

Având în vedere că $q\ne 0$, obținem:

\[\oint\nolimits_L(\overline(E)d\overline(r)=)0\ \left(3\right).\]

Teorema privind circulația vectorului intensității câmpului electrostatic spune că circulația $\overline(E)$ de-a lungul unei bucle închise este zero.

În formă diferențială, teorema circulației se scrie astfel:

Acest tip de notație ca (4) este convenabil de utilizat pentru a verifica potențialul unui câmp vectorial. Câmpul potențial este irrotațional.

Ca o consecință a teoremei de circulație $\overline(E)$: munca efectuată la mutarea unei sarcini dintr-un punct în câmp în altul nu depinde de forma traiectoriei.

Din teorema circulației rezultă că liniile câmpului electrostatic nu sunt închise ele încep pe sarcini pozitive și se termină pe sarcini negative.

Teorema privind circulația vectorului intensității câmpului magnetic

Mărimea fizică ($\overline(H)$), care este o caracteristică câmp magnetic, egal cu:

\[\overline(H)=\frac(\overline(B))((\mu )_0)-(\overline(P))_m(5)\]

numită puterea câmpului magnetic. $\overline(B)$ - vector de inducție a câmpului magnetic; $(\mu )_0$ - constantă magnetică; $(\overline(P))_m$ este vectorul de magnetizare.

Circulația vectorului intensității câmpului magnetic este egală cu suma algebrică a curenților de conducere care sunt acoperiți de bucla închisă de-a lungul căreia se consideră circulația:

\[\oint\limits_L(\overline(H)d\overline(r)=\sum(I_m)\left(6\right).)\]

Dacă direcția de ocolire a circuitului este asociată cu direcția curentului prin regula șurubului din dreapta, atunci curentul din suma (5) are un semn plus.

Circulația vectorului de intensitate este în general diferită de zero, ceea ce înseamnă că câmpul magnetic este un câmp vortex, nu este potențial.

Teorema privind circulația vectorului intensității câmpului magnetic este dovedită pe baza legii Biot-Savart-Laplace și a principiului suprapunerii.

Teorema de circulație pentru vectorul $\overline(H)$ joacă un rol similar cu rolul teoremei Gauss pentru vectorul intensității câmpului electric. Dacă există simetrie în distribuția curenților, atunci folosind teorema de circulație $\overline(H),$ se găsește puterea câmpului magnetic în sine.

Exemple de probleme cu soluții

Exemplul 1

Exercita. Determinați dacă este potențial câmp electric, care este dată de ecuația: $\overline(E)\left(x,y\right)=A\left(2xy\\overline(i)+\left(x^2-y^2\right)\ overline(j )\dreapta).$

Soluţie. Din teorema circulației, care este scrisă sub formă diferențială:

rezultă că dacă vortexul câmpului este zero, atunci câmpul este potențial. Folosind definiția rotorului:

\=\frac(\partial E_y)(\partial x)\overline(k)-\frac(\partial E_x)(\partial y)\overline(k)\left(1.3\right).\]

Derivatele parțiale ale lui $\overline(E)$ sunt:

\[\frac(\partial E_y)(\partial x)=A\cdot 2x;;\ \frac(\partial E_x)(\partial y)=A\cdot 2x\ \left(1.4\right).\]

Înlocuind (1.4) în (1.3), obținem că

\=0.\]

Răspuns. Domeniul este potențial.

Exemplul 2

Exercita. Care este circulația vectorului intensității câmpului magnetic pentru o buclă închisă $L$ (Fig. 1), dacă $I_1=5\ A;;\ I_2=2\ A;;\ I_3=10\ A;;\ I_4 =1\ A?

Soluţie. Baza pentru rezolvarea problemei este teorema privind circulația vectorului intensității câmpului magnetic:

\[\oint\limits_L(\overline(H)d\overline(r)=\sum(I_m)\left(2.1\right).)\]

Circuitul $L$ acoperă trei curenți, prin urmare:

\[\oint\limits_L(\overline(H)d\overline(r)=I_1-I_2+I_3.)\]

Să calculăm circulația:

\[\oint\limits_L(\overline(H)d\overline(r)=5-2+10=13\ (A.)\]

Răspuns.$\oint\limits_L(\overline(H)d\overline(r)=13A\ .)$

Dacă în câmpul electrostatic al unei sarcini punctuale Q din punct 1 la obiect 2 o altă sarcină punctiformă se deplasează de-a lungul unei traiectorii arbitrare (Fig. 132) Q 0 , atunci forța aplicată sarcinii funcționează. Munca de forta F asupra deplasării elementare d l egal cu

Deoarece d/cos=d r, Asta

Lucrați când mutați o încărcătură Q 0 din punct 1 la obiect 2

(83.1)

nu depinde de traiectoria mișcării, ci este determinată doar de pozițiile inițialei 1 si finala 2 puncte. Prin urmare, câmpul electrostatic al unei sarcini punctuale este potenţialși forțele electrostatice - conservator(vezi § 12).

Din formula (83.1) rezultă că munca efectuată atunci când se deplasează o sarcină electrică într-un câmp electrostatic extern de-a lungul oricărei căi închise L, este egal cu zero, adică

Dacă luăm un singur punct de sarcină pozitivă ca sarcină transferată într-un câmp electrostatic, atunci munca elementară a forțelor câmpului pe calea d l egal cu E d l=E l dl, Unde E l =E cos  - proiecție vectorială E pe direcţia mişcării elementare. Atunci formula (83.2) poate fi scrisă sub forma

(83.3)

Integral numit circulaţia vectorului de tensiune.În consecință, circulația vectorului intensității câmpului electrostatic de-a lungul oricărei bucle închise este zero. Un câmp de forță cu proprietatea (83.3) se numește potențial. Din circulația unui vector care merge la zero E rezultă că liniile de intensitate a câmpului electric nu pot fi închise, ele încep și se termină pe sarcini (pozitive sau negative, respectiv) sau merg la infinit.

Formula (83.3) este valabilă numai pentru câmpul electrostatic. Ulterior, se va arăta că pentru câmpul sarcinilor în mișcare condiția (83.3) nu este îndeplinită (pentru aceasta, circulația vectorului intensitate este diferită de zero).

§ 84. Potențial de câmp electrostatic

Un corp situat într-un câmp potențial de forțe (și câmpul electrostatic este potențial) are energie potențială, datorită căreia munca este efectuată de forțele câmpului (vezi § 12). După cum se știe (vezi (12.2)), munca forțelor conservatoare se realizează datorită scăderii energiei potențiale. Prin urmare, lucrul (83.1) al forțelor câmpului electrostatic poate fi reprezentat ca diferența de energii potențiale deținute de o sarcină punctiformă. Q 0 la punctele inițiale și finale ale câmpului de încărcare Q:

(84.1)

de unde rezultă că energia potenţială a sarcinii qqîn câmpul de taxare Q egal cu

Ea, ca și în mecanică, este determinată în mod ambiguu, dar într-o constantă arbitrară CU. Dacă presupunem că atunci când sarcina este îndepărtată la infinit ( r) energia potențială ajunge la zero ( U=0), Că CU=0 și energia potențială de încărcare Q 0 , taxa situată în câmp Q la o distanta r ​​de acesta, este egal cu

(84.2)

Pentru taxe cu același nume Q 0 Q> 0 și energia potențială a interacțiunii lor (repulsie) este pozitivă, pentru sarcini diferite Q 0 Q<0 и потенциальная энергия их взаимодействия (притяжения) отрицательна.

Dacă câmpul este creat de sistem n taxe punctuale Q 1 , Q 2 , ..., Q n, apoi munca forțelor electrostatice efectuate asupra sarcinii Q 0 este egal cu suma algebrică a muncii forțelor cauzate de fiecare dintre sarcini separat. Prin urmare, energia potențială Uîncărca Q 0 , situat în acest câmp este egal cu suma energiilor potențiale U i , fiecare dintre taxe:

(84.3)

Din formulele (84.2) și (84.3) rezultă că relația U/ Q 0 nu depinde de Q 0 este prin urmare caracteristicile energetice ale câmpului electrostatic, numit potential:

Potenţial în orice punct al câmpului electrostatic există o mărime fizică determinată de energia potențială a unei unități de sarcină pozitivă plasată în acest punct.

Din formulele (84.4) și (84.2) rezultă că potențialul câmpului creat de o sarcină punctiformă Q, este egal

Lucrul efectuat de celulele câmpului electrostatic atunci când se deplasează o sarcină Q 0 din punct 1 la obiect 2 (vezi (84.1), (84.4), (84.5)), poate fi reprezentat ca

adică egal cu produsul sarcinii mutate și diferența de potențial la punctele de început și de sfârșit. Diferență de potențial doua puncte 1 Şi 2 într-un câmp electrostatic este determinată de munca efectuată de forțele câmpului la deplasarea unei unități de sarcină pozitivă dintr-un punct 1 la obiect 2 .

Munca efectuată de forțele de câmp atunci când se deplasează o încărcătură Q 0 din punct 1 la obiect 2 poate fi scris și sub formă

(84.7)

Echivalând (84.6) și (84.7), ajungem la expresia diferenței de potențial:

(84.8)

unde integrarea poate fi efectuată de-a lungul oricărei linii care leagă punctele de început și de sfârșit, deoarece munca forțelor câmpului electrostatic nu depinde de traiectoria mișcării.

Dacă mutați încărcarea Q 0 dintr-un punct arbitrar dincolo de câmp, adică la infinit, unde, prin condiție, potențialul este zero, apoi lucrul forțelor câmpului electrostatic, conform (84.6), O  = Q 0  , unde

Astfel, potenţial- o mărime fizică determinată de munca de deplasare a unei singure sarcini pozitive atunci când aceasta este îndepărtată dintr-un punct dat din câmp la infinit. Acest lucru este numeric egal cu munca efectuată de forțele externe (împotriva forțelor câmpului electrostatic) pentru a muta o sarcină pozitivă unitară de la infinit la un punct dat din câmp.

Din expresia (84.4) rezultă că unitatea de potenţial este volt(B): 1 V este potențialul unui punct din câmp la care o sarcină de 1 C are o energie potențială de 1 J (1 V = 1 J/C). Ținând cont de dimensiunea voltului, se poate demonstra că unitatea de măsură a intensității câmpului electrostatic introdusă în § 79 este într-adevăr egală cu 1 V/m: 1 N/C=1 Nm/(Cm)=1 J/(Cm)=1 V /m.

Din formulele (84.3) și (84.4) rezultă că dacă câmpul este creat de mai multe sarcini, atunci potențialul de câmp al sistemului de sarcini este egal cu algebric suma potențialelor de câmp ale tuturor acestor sarcini:

Să luăm un contur arbitrar (G) și o suprafață arbitrară S într-un câmp electrostatic neuniform (Fig. 3.7, a, b).

Apoi circulația unui vector de-a lungul unui contur arbitrar (Г) se numește integrală a formei:

iar fluxul vectorului FE printr-o suprafață arbitrară S este următoarea expresie

Vectorii și incluși în aceste formule sunt definiți după cum urmează. În modul ele sunt egale cu lungimea elementară dl a conturului (G) și aria dS a ariei elementare a suprafeței S. Direcția vectorului coincide cu direcția de parcurgere a conturului (G) și vectorul este îndreptat de-a lungul vectorului normal către zona dS (Fig. 3.7).

În cazul unui câmp electrostatic, circulația unui vector de-a lungul unui contur închis arbitrar (G) este egală cu raportul dintre forțele de lucru Akkrug ale câmpului pentru a muta o sarcină punctiformă q de-a lungul acestui contur și mărimea sarcinii și , conform formulei (3.20), va fi egal cu zero

Din teorie se știe că dacă pentru un câmp vectorial arbitrar circulația vectorului de-a lungul unui contur închis arbitrar (G) este egală cu zero, atunci acest câmp este potențial. Prin urmare, câmpul electrostatic este potențial și sarcinile electrice din el au energie potențială.

Dacă luăm în considerare că densitatea liniilor determină mărimea vectorului într-un punct dat al câmpului, atunci fluxul vectorului va fi numeric egal cu numărul N de linii care străpung suprafața S.

Figura 3.8 prezintă exemple de calcul al curgerii prin diferite suprafețe S (Figura 3.8, a, b, c, suprafața S este plană; Figura 3.8, d S este o suprafață închisă). În acest din urmă caz, fluxul prin suprafața închisă este zero, deoarece numărul de linii care intră () și ies din () din ea este același, dar sunt luate cu semne opuse ( +>0, -<0).

Pentru un vector putem formula teorema lui Gauss, care determină curgerea unui vector printr-o suprafață închisă arbitrară.

Teorema lui Gauss în absența unui dielectric (vid) se formulează după cum urmează: fluxul unui vector printr-o suprafață închisă arbitrară este egal cu suma algebrică a sarcinilor libere acoperite de acea suprafață împărțită la .

Această teoremă este o consecință a legii lui Coulomb și a principiului suprapunerii câmpurilor electrostatice.

Să arătăm validitatea teoremei pentru cazul unui câmp de sarcină punctiformă. Fie suprafața închisă o sferă cu raza R, în centrul căreia se află o sarcină pozitivă punctiformă q (fig. 3.9, a).

Rezultatul obținut nu se va schimba dacă în locul unei sfere alegem o suprafață închisă arbitrară (Fig. 3.9, b), deoarece fluxul vectorial este numeric egal cu numărul de linii care străpunge suprafața, iar numărul de astfel de linii în cazurile a și b este același.

Același raționament folosind principiul suprapunerii câmpurilor electrostatice poate fi făcut în cazul mai multor sarcini care cad în interiorul unei suprafețe închise, ceea ce confirmă teorema lui Gauss.

Turnul Gaussian pentru vector în prezența unui dielectric.În acest caz, pe lângă încărcările gratuite, este necesar să se țină cont de sarcinile legate care apar pe fețele opuse ale dielectricului atunci când este polarizat în electricul extern (pentru mai multe detalii, vezi secțiunea despre dielectrici). Prin urmare, teorema lui Gauss pentru un vector în prezența unui dielectric se va scrie după cum urmează:

unde partea dreaptă a formulei include suma algebrică a sarcinilor libere și legate acoperite de suprafața S.

Din formula (3.28) rezultă sensul fizic al teoremei lui Gauss pentru vector : Sursele vectorului câmp electrostatic sunt sarcini libere și legate.

În cazul particular al unei dispoziții simetrice a sarcinilor și a unui dielectric, în prezența simetriei axiale sau sferice sau în cazul unui dielectric omogen izotrop, permitivitatea dielectrică relativă a mediului rămâne o valoare constantă, independent de punctul considerat în interior. dielectricul și, prin urmare, prezența unui dielectric poate fi luată în considerare în formula (3.28) fără doar introducerea sarcinilor legate , ci și a parametrului , care este mai convenabil pentru calcule practice. Deci, putem scrie (vezi paragraful 3.1.12.6, formula (3.68))

Atunci teorema lui Gauss pentru vectorul din acest caz va fi scrisă după cum urmează

unde este constanta dielectrică relativă a mediului în care se află suprafața S.

Rețineți că formula (3.29) este utilizată la rezolvarea problemelor din această secțiune, precum și pentru majoritatea cazurilor întâlnite în practică.