Reducerea unei forme pătratice la o formă diagonală. Teorema privind posibilitatea reducerii unei forme patratice la forma canonica

Definiție 10.4.Vedere canonică formă pătratică(10.1) se numește următoarea vedere: . (10.4)

Să arătăm că pe o bază de vectori proprii, forma pătratică (10.1) capătă o formă canonică. Lasă

- vectori proprii normalizați corespunzători valorilor proprii λ1,λ2,λ3 matrici (10.3) pe o bază ortonormală. Apoi matricea de tranziție de la baza veche la cea nouă va fi matricea

. În noua bază matricea O va lua forma diagonală (9.7) (prin proprietatea vectorilor proprii). Astfel, transformând coordonatele folosind formulele:

,

în noua bază obținem forma canonică a unei forme pătratice cu coeficienți egali cu valorile proprii λ 1, λ 2, λ 3:

Observație 1. Din punct de vedere geometric, transformarea de coordonate considerată este o rotație a sistemului de coordonate, combinând vechile axe de coordonate cu cele noi.

Observația 2. Dacă orice valori proprii ale matricei (10.3) coincid, putem adăuga un vector unitar ortogonal fiecăruia dintre ele la vectorii proprii ortonormali corespunzători și astfel construim o bază în care forma pătratică ia forma canonică.

Să aducem forma pătratică la forma canonică

x² + 5 y² + z² + 2 xy + 6xz + 2yz.

Matricea sa are forma În exemplul discutat în Lectura 9, se găsesc valorile proprii și vectorii proprii ortonormali ai acestei matrice:

Să creăm o matrice de tranziție la bază din acești vectori:

(ordinea vectorilor este schimbată astfel încât să formeze un triplu dreptaci). Să transformăm coordonatele folosind formulele:

.

Deci, forma pătratică este redusă la forma canonică cu coeficienți egali cu valorile proprii ale matricei formei pătratice.

Cursul 11.

Curbe de ordinul doi. Elipsa, hiperbola și parabola, proprietățile lor și ecuațiile canonice. Reducerea unei ecuații de ordinul doi la formă canonică.

Definiție 11.1.Curbe de ordinul doi pe un plan se numesc liniile de intersecție a unui con circular cu plane care nu trec prin vârful acestuia.

Dacă un astfel de plan intersectează toate generatoarele unei cavități a conului, atunci în secțiune se dovedește elipsă, la intersecția generatricelor ambelor cavități – hiperbolă, iar dacă planul de tăiere este paralel cu orice generatoare, atunci secțiunea conului este parabolă.

Comentariu. Toate curbele de ordinul doi sunt specificate prin ecuații de gradul doi în două variabile.

Elipsă.

Definiție 11.2.Elipsă este mulțimea de puncte din plan pentru care este suma distanțelor până la două puncte fixe F 1 și F trucuri, este o valoare constantă.

Comentariu. Când punctele coincid F 1 și F 2 elipsa se transformă într-un cerc.

Să derivăm ecuația elipsei alegând sistemul cartezian

y M(x,y) coordonate astfel încât axa Oh a coincis cu o linie dreaptă F 1 F 2, începutul

coordonatele r 1 r 2 – cu mijlocul segmentului F 1 F 2. Lasă lungimea asta

segmentul este egal cu 2 Cu, apoi în sistemul de coordonate selectat

F 1 O F 2 x F 1 (-c, 0), F 2 (c, 0). Lasă punctul M(x, y) se află pe elipsă și

suma distanțelor de la acesta până la F 1 și F 2 este egal cu 2 O.

Apoi r 1 + r 2 = 2o, Dar ,

prin urmare, introducând notaţia b² = o²- c² și după efectuarea unor transformări algebrice simple, obținem ecuația elipsei canonice: (11.1)

Definiție 11.3.Excentricitate a unei elipse se numește mărime e=s/a (11.2)

Definiție 11.4.Directoarea D i elipsă corespunzătoare focalizării F i F i raportat la axa Oh perpendicular pe ax Oh la distanta a/e de la origine.

Comentariu. Cu o alegere diferită a sistemului de coordonate, elipsa poate fi specificată nu prin ecuația canonică (11.1), ci printr-o ecuație de gradul doi de alt tip.

Proprietățile elipsei:

1) O elipsă are două reciproce perpendicular pe ax simetria (axele principale ale elipsei) și centrul de simetrie (centrul elipsei). Dacă o elipsă este dată de o ecuație canonică, atunci axele sale principale sunt axele de coordonate, iar centrul ei este originea. Deoarece lungimile segmentelor formate prin intersecția elipsei cu axele principale sunt egale cu 2 Oși 2 b (2o>2b), atunci axa principală care trece prin focare se numește axa majoră a elipsei, iar a doua axă principală se numește axa minoră.

2) Întreaga elipsă este cuprinsă în interiorul dreptunghiului

3) Excentricitatea elipsei e< 1.

într-adevăr,

4) Directricele elipsei sunt situate în afara elipsei (deoarece distanța de la centrul elipsei la directrice este a/e, A e<1, следовательно, a/e>a, iar întreaga elipsă se află într-un dreptunghi)

5) Raportul distanței r i de la punctul de elipsă la focalizare F i la distanta d i din acest punct până la directrixa corespunzătoare focarului este egală cu excentricitatea elipsei.

Dovada.

Distanțe de la punct M(x, y) până la focarele elipsei pot fi reprezentate astfel:

Să creăm ecuațiile directrice:

(D 1), (D 2). Apoi De aici r i / d i = e, ceea ce trebuia dovedit.

Hiperbolă.

Definiție 11.5.Hiperbolă este mulțimea de puncte din plan pentru care este modulul diferenței de distanțe la două puncte fixe F 1 și F 2 din acest avion, numit trucuri, este o valoare constantă.

Să derivăm ecuația canonică a unei hiperbole prin analogie cu derivarea ecuației unei elipse, folosind aceeași notație.

|r 1 - r 2 | = 2o, de unde Dacă notăm b² = c² - o², de aici puteți obține

- ecuația canonică a hiperbolei. (11.3)

Definiția 11.6.Excentricitate o hiperbolă se numește mărime e = c/a.

Definiția 11.7.Directoarea D i hiperbola corespunzătoare focarului F i, se numește dreptă situată în același semiplan cu F i raportat la axa Oh perpendicular pe ax Oh la distanta a/e de la origine.

Proprietățile unei hiperbole:

1) O hiperbolă are două axe de simetrie (axele principale ale hiperbolei) și un centru de simetrie (centrul hiperbolei). În acest caz, una dintre aceste axe se intersectează cu hiperbola în două puncte, numite vârfurile hiperbolei. Se numește axa reală a hiperbolei (axa Oh pentru alegerea canonică a sistemului de coordonate). Cealaltă axă nu are puncte comune cu hiperbola și se numește axa ei imaginară (în coordonate canonice - axa Oh). Pe ambele părți ale acesteia se află ramurile din dreapta și din stânga hiperbolei. Focarele unei hiperbole sunt situate pe axa ei reală.

2) Ramurile hiperbolei au două asimptote, determinate de ecuații

3) Alături de hiperbola (11.3), putem considera așa-numita hiperbola conjugată, definită de ecuația canonică

pentru care axa reală și cea imaginară sunt schimbate în timp ce se păstrează aceleași asimptote.

4) Excentricitatea hiperbolei e> 1.

5) Raportul distanței r i de la punctul de hiperbolă la focalizare F i la distanta d i din acest punct până la directriza corespunzătoare focarului este egală cu excentricitatea hiperbolei.

Dovada poate fi efectuată în același mod ca și pentru elipsă.

Parabolă.

Definiția 11.8.Parabolă este mulțimea de puncte din plan pentru care este distanța până la un punct fix F acest plan este egal cu distanța până la o linie dreaptă fixă. Punct F numit se concentreze parabole, iar linia dreaptă este ea directoare.

Pentru a deriva ecuația parabolă, alegem cartezianul

sistem de coordonate astfel încât originea lui să fie mijlocul

D M(x,y) perpendiculară FD, omis din focus pe directivă

r su, iar axele de coordonate au fost situate paralele și

perpendicular pe director. Fie lungimea segmentului FD

D O F x este egal cu r. Apoi de la egalitate r = d rezultă că

deoarece

Folosind transformări algebrice, această ecuație poate fi redusă la forma: y² = 2 px, (11.4)

numit ecuația parabolă canonică. Magnitudinea r numit parametru parabole.

Proprietățile unei parabole:

1) O parabolă are o axă de simetrie (axa parabolei). Punctul în care parabola intersectează axa se numește vârful parabolei. Dacă o parabolă este dată de o ecuație canonică, atunci axa ei este axa Oh, iar vârful este originea coordonatelor.

2) Întreaga parabola este situată în semiplanul drept al planului Ooh.

Comentariu. Folosind proprietățile directricelor unei elipse și unei hiperbole și definiția unei parabole, putem demonstra următoarea afirmație:

Ansamblul punctelor din plan pentru care relația e distanța până la un punct fix până la distanța până la o linie dreaptă este o valoare constantă, este o elipsă (cu e<1), гиперболу (при e>1) sau parabolă (cu e=1).

Informații conexe.

Și cu matricea.

Această transformare simetrică poate fi scrisă astfel:

y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2

y 2 = a 12 x 1 + a 22 x 2

unde y 1 și y 2 sunt coordonatele vectorului din bază.

Evident, forma pătratică poate fi scrisă astfel:

F(x 1, x 2) = x 1 y 1 + x 2 y 2.

După cum puteți vedea, sens geometric valoarea numerică a formei pătratice Ф într-un punct cu coordonatele x 1 și x 2 - produs punctual.

Dacă luăm o altă bază ortonormală în plan, atunci în ea forma pătratică Ф va arăta diferit, deși este valoare numericăîn fiecare punct geometric și nu se va schimba. Dacă găsim o bază în care forma pătratică nu conține coordonate la prima putere, ci doar coordonate în pătrat, atunci forma pătratică poate fi redusă la formă canonică.

Dacă luăm ca bază setul de vectori proprii transformare liniară, atunci în această bază matricea de transformare liniară are forma:

Când trecem la o nouă bază de la variabilele x 1 și x 2, trecem la variabilele și. Apoi:

Expresia se numește vedere canonică formă pătratică. În mod similar, putem aduce la forma canonică forma pătratică cu un număr mare variabile.

Teoria formelor pătratice este folosită pentru a reduce ecuațiile curbelor și suprafețelor de ordinul doi la forma canonică.

Exemplu. Reduceți forma pătratică la forma canonică

F(x 1, x 2) = 27.

Cote: a 11 = 27, a 12 = 5 și 22 = 3.

Să creăm o ecuație caracteristică: ;

(27 - l)(3 - l) - 25 = 0

l 2 - 30l + 56 = 0

l 1 = 2; l 2 = 28;

Exemplu. Aduceți ecuația de ordinul doi la forma canonică:

17x 2 + 12xy + 8y 2 - 20 = 0.

Coeficienții a 11 = 17, a 12 = 6 și 22 = 8. A =

Să creăm o ecuație caracteristică:

(17 - l)(8 - l) - 36 = 0

136 - 8l - 17l + l 2 - 36 = 0

l 2 - 25l + 100 = 0

l 1 = 5, l 2 = 20.

Total: - ecuația canonică a unei elipse.

Rezolvare: Să creăm o ecuație caracteristică de formă pătratică: când

Rezolvând această ecuație, obținem l 1 = 2, l 2 = 6.

Să găsim coordonatele vectorilor proprii:

Vectori proprii:

Ecuația liniei canonice în sistem nou coordonatele vor arăta astfel:

Exemplu. Folosind teoria formelor pătratice, aduceți ecuația unei linii de ordinul doi la forma canonică. Desenați o diagramă schematică a graficului.

Rezolvare: Să creăm o ecuație caracteristică de formă pătratică: când

Rezolvând această ecuație, obținem l 1 = 1, l 2 = 11.

Să găsim coordonatele vectorilor proprii:

punând m 1 = 1, obținem n 1 =

punând m 2 = 1, obținem n 2 =

Vectori proprii:

Găsiți coordonatele vectorilor unitari ai noii baze.

Avem următoarea ecuație a dreptei în noul sistem de coordonate:

Ecuația canonică a unei linii în noul sistem de coordonate va avea forma:

Când utilizați versiunea pentru computer „ Curs matematica superioara ” este posibil să rulați un program care rezolvă exemplele de mai sus pentru orice condiții inițiale.

Pentru a porni programul, faceți dublu clic pe pictogramă:

În fereastra programului care se deschide, introduceți coeficienții formei pătratice și apăsați Enter.

Notă: Pentru a rula programul, programul Maple (Ó Waterloo Maple Inc.) al oricărei versiuni, începând cu MapleV Release 4, trebuie să fie instalat pe computer.

Dată o formă pătratică (2) O(x, x) = , unde x = (x 1 , x 2 , …, x n). Luați în considerare o formă pătratică în spațiu R 3, adică x = (x 1 , x 2 , x 3), O(x, x) =
+
+
+
+
+
+ +
+
+
=
+
+
+ 2
+ 2
+ + 2
(am folosit condiția simetriei formei, și anume O 12 = O 21 , O 13 = O 31 , O 23 = O 32). Să scriem o matrice de formă pătratică O in baza ( e}, O(e) =
. Când se schimbă baza, matricea de formă pătratică se schimbă conform formulei O(f) = C t O(e)C, Unde C– matricea de tranziție de la bază ( e) la baza ( f), A C t– matrice transpusă C.

Definiţie11.12. Se numește forma unei forme pătratice cu o matrice diagonală canonic.

Asa ca lasa O(f) =
, Atunci O"(x, x) =
+
+
, Unde x" 1 , x" 2 , x" 3 – coordonate vectoriale xîntr-o nouă bază ( f}.

Definiţie11.13. Lasă să intre n V se alege o astfel de bază f = {f 1 , f 2 , …, f n), în care forma pătratică are forma

O(x, x) =
+
+ … +
, (3)

Unde y 1 , y 2 , …, y n– coordonate vectoriale x in baza ( f). Se numește expresia (3). vedere canonică formă pătratică. Coeficienții  1, λ 2, …, λ n sunt numite canonic; se numește o bază în care o formă pătratică are o formă canonică bază canonică.

Comentariu. Dacă forma pătratică O(x, x) se reduce la formă canonică, atunci, în general, nu toți coeficienții  i sunt diferite de zero. Rangul unei forme pătratice este egal cu rangul matricei sale în orice bază.

Fie rangul formei pătratice O(x, x) este egală r, Unde r ≤ n. O matrice de formă pătratică în formă canonică are o formă diagonală. O(f) =
, deoarece rangul său este egal r, apoi printre coeficienții  i trebuie să existe r, nu este egal cu zero. Rezultă că numărul de coeficienți canonici nenuli este egal cu rangul formei pătratice.

Comentariu. O transformare liniară a coordonatelor este o tranziție de la variabile x 1 , x 2 , …, x n la variabile y 1 , y 2 , …, y n, în care variabilele vechi sunt exprimate prin variabile noi cu niște coeficienți numerici.

x 1 = α 11 y 1 + α 12 y 2 + … + α 1 n y n ,

x 2 = α 2 1 y 1 + α 2 2 y 2 + … + α 2 n y n ,

………………………………

x 1 = α n 1 y 1 + α n 2 y 2 + … + α nn y n .

Deoarece fiecare transformare de bază corespunde unei transformări de coordonate liniare nedegenerate, problema reducerii unei forme pătratice la o formă canonică poate fi rezolvată prin alegerea transformării de coordonate nedegenerate corespunzătoare.

Teorema 11.2 (teorema principală despre formele pătratice). Orice formă pătratică O(x, x), specificat în n-spațiu vectorial dimensional V, folosind o transformare de coordonate liniare nedegenerată poate fi redusă la formă canonică.

Dovada. (Metoda Lagrange) Ideea acestei metode este de a completa secvenţial trinomul pătratic pentru fiecare variabilă la pătrat plin. Vom presupune că O(x, x) ≠ 0 și în bază e = {e 1 , e 2 , …, e n) are forma (2):

O(x, x) =
.

Dacă O(x, x) = 0, atunci ( o ij) = 0, adică forma este deja canonică. Formula O(x, x) poate fi transformată astfel încât coeficientul o 11 ≠ 0. Dacă o 11 = 0, atunci coeficientul pătratului altei variabile este diferit de zero, apoi prin renumerotarea variabilelor se poate asigura că o 11 ≠ 0. Renumerotarea variabilelor este o transformare liniară nedegenerată. Dacă toți coeficienții variabilelor pătrate sunt egali cu zero, atunci transformările necesare se obțin după cum urmează. Să, de exemplu, o 12 ≠ 0 (O(x, x) ≠ 0, deci cel puțin un coeficient o ij≠ 0). Luați în considerare transformarea

x 1 = y 1 – y 2 ,

x 2 = y 1 + y 2 ,

x i = y i, la i = 3, 4, …, n.

Această transformare este nedegenerată, deoarece determinantul matricei sale este diferit de zero
= = 2 ≠ 0.

Apoi 2 o 12 x 1 x 2 = 2 o 12 (y 1 – y 2)(y 1 + y 2) = 2
– 2
, adică sub formă O(x, x) pătratele a două variabile vor apărea deodată.

O(x, x) =
+ 2
+ 2
+
. (4)

Să convertim suma alocată la forma:

O(x, x) = o 11
, (5)

în timp ce coeficienţii o ij schimba la . Luați în considerare transformarea nedegenerată

y 1 = x 1 + + … + ,

y 2 = x 2 ,

y n = x n .

Apoi primim

O(x, x) =
. (6).

Dacă forma pătratică
= 0, apoi problema turnării O(x, x) la forma canonică se rezolvă.

Dacă această formă nu este egală cu zero, atunci repetăm ​​raționamentul, luând în considerare transformările de coordonate y 2 , …, y nși fără a schimba coordonatele y 1. Este evident că aceste transformări vor fi nedegenerate. Într-un număr finit de pași, forma pătratică O(x, x) se va reduce la forma canonică (3).

Comentariu 1. Transformarea necesară a coordonatelor originale x 1 , x 2 , …, x n se poate obține prin înmulțirea transformărilor nedegenerate întâlnite în procesul de raționament: [ x] = O[y], [y] = B[z], [z] = C[t], apoi [ x] = OB[z] = OBC[t], adică [ x] = M[t], Unde M = OBC.

Comentariu 2. Lasă O(x, x) = O(x, x) =
+
+ …+
, unde  i ≠ 0, i = 1, 2, …, rși  1 > 0, λ 2 > 0, …, λ q > 0, λ q +1 < 0, …, λ r < 0.

Luați în considerare transformarea nedegenerată

y 1 = z 1 , y 2 = z 2 , …, y q = z q , y q +1 =
z q +1 , …, y r = z r , y r +1 = z r +1 , …, y n = z n. Ca urmare O(x, x) va lua forma: O(x, x) = + + … + – – … – care se numeste forma normala a formei patratice.

Exemplu11.1. Reduceți forma pătratică la forma canonică O(x, x) = 2x 1 x 2 – 6x 2 x 3 + 2x 3 x 1 .

Soluţie. Din moment ce o 11 = 0, folosiți transformarea

x 1 = y 1 – y 2 ,

x 2 = y 1 + y 2 ,

x 3 = y 3 .

Această transformare are o matrice O =
, adică [ x] = O[y] primim O(x, x) = 2(y 1 – y 2)(y 1 + y 2) – 6(y 1 + y 2)y 3 + 2y 3 (y 1 – y 2) =

2– 2– 6y 1 y 3 – 6y 2 y 3 + 2y 3 y 1 – 2y 3 y 2 = 2– 2– 4y 1 y 3 – 8y 3 y 2 .

Deoarece coeficientul la nu este egal cu zero, putem selecta pătratul unei necunoscute, să fie y 1. Să selectăm toți termenii care conțin y 1 .

O(x, x) = 2(– 2y 1 y 3) – 2– 8y 3 y 2 = 2(– 2y 1 y 3 + ) – 2– 2– 8y 3 y 2 = 2(y 1 – y 3) 2 – 2– 2– 8y 3 y 2 .

Să realizăm o transformare a cărei matrice este egală cu B.

z 1 = y 1 – y 3 ,  y 1 = z 1 + z 3 ,

z 2 = y 2 ,  y 2 = z 2 ,

z 3 = y 3 ;  y 3 = z 3 .

B =
, [y] = B[z].

Primim O(x, x) = 2– 2–– 8z 2 z 3. Să selectăm termenii care conțin z 2. Avem O(x, x) = 2– 2(+ 4z 2 z 3) – 2= 2– 2(+ 4z 2 z 3 + 4) + + 8 – 2 = 2– 2(z 2 + 2z 3) 2 + 6.

Efectuarea unei transformări de matrice C:

t 1 = z 1 ,  z 1 = t 1 ,

t 2 = z 2 + 2z 3 ,  z 2 = t 2 – 2t 3 ,

t 3 = z 3 ;  z 3 = t 3 .

C =
, [z] = C[t].

Primit: O(x, x) = 2– 2+ 6forma canonică a unei forme pătratice, cu [ x] = O[y], [y] = B[z], [z] = C[t], de aici [ x] = ABC[t];

OBC =


=
. Formulele de conversie sunt următoarele

x 1 = t 1 – t 2 + t 3 ,

x 2 = t 1 + t 2 – t 3 ,

Această metodă constă în selectarea secvenţială a pătratelor complete în formă pătratică.

Să fie dată forma pătratică

Reamintim că, datorită simetriei matricei

,

Există două cazuri posibile:

1. Cel puțin unul dintre coeficienții pătraților este diferit de zero. Fără pierderea generalității, vom presupune (acest lucru poate fi întotdeauna realizat prin renumerotarea corespunzătoare a variabilelor);

2. Toți coeficienții

dar există un coeficient diferit de zero (pentru certitudine, să fie).

În primul caz transformați forma pătratică după cum urmează:

,

iar toți ceilalți termeni sunt notați cu.

este o formă pătratică a (n-1) variabile.

Ei o tratează la fel și așa mai departe.

Rețineți că

Al doilea caz substituirea variabilelor

se reduce la primul.

Exemplul 1: Reduceți forma pătratică la forma canonică printr-o transformare liniară nedegenerată.

Soluţie. Să colectăm toți termenii care conțin necunoscutul și adăugați-le într-un pătrat complet

.

(Deoarece .)

sau

(3)

sau


(4)

și din necunoscut
formă va lua forma. În continuare presupunem

sau

și din necunoscut
formă va lua forma canonică

Să rezolvăm egalitățile (3) cu privire la
:

sau

Executarea secvenţială a transformărilor liniare
Şi
, Unde

,

are o matrice

Transformarea liniară a necunoscutelor
dă o formă pătratică la forma canonică (4). Variabile
asociate cu noi variabile
relaţii

Ne-am familiarizat cu descompunerea LU în atelierul 2_1

Să ne amintim afirmațiile din atelierul 2_1

Declarații(vezi L.5, p. 176)

Acest script este conceput pentru a înțelege rolul LU în metoda Lagrange, trebuie să lucrați cu el în bloc-notesul EDITOR folosind butonul F9.

Și în sarcinile atașate mai jos, este mai bine să vă creați propriile funcții M care vă ajută să calculați și să înțelegeți problemele de algebră liniară (în cadrul acestei lucrări)

Ax=X."*A*X % obținem forma pătratică

Ax=simple(Ax) % simplifica

4*x1^2 - 4*x1*x2 + 4*x1*x3 + x2^2 - 3*x2*x3 + x3^2

% găsiți descompunerea LU fără a rearanja rândurile matricei A

% La conversia unei matrice în formă eșalonată

%fără permutări de rând, obținem o matrice de M1 și U3

% U se obține din A U3=M1*A,

% cu această matrice de transformări elementare

0.5000 1.0000 0

0.5000 0 1.0000

% obținem U3=M1*A, unde

4.0000 -2.0000 2.0000

% din M1 se obtine usor L1 prin schimbarea semnelor

% în prima coloană în toate rândurile, cu excepția primului.

0.5000 1.0000 0

0.5000 0 1.0000

% L1 este astfel încât

A_=L1*U % aceasta este descompunerea LU de care avem nevoie

% Elemente pe diagonala principală U -

% sunt coeficienți ai pătratelor y i ^2

% în formă pătratică convertită

% în cazul nostru, există un singur coeficient

% înseamnă că în noile coordonate vor fi doar 4y 1 2 pătrat,

% pentru restul coeficienților 0y 2 2 și 0y 3 2 sunt egali cu zero

% coloane ale matricei L1 sunt descompunerea lui Y de X

% în prima coloană vedem y1=x1-0,5x2+0,5x3

% pentru secunda vedem y2=x2; conform celui de-al treilea y3=x3.

% dacă L1 este transpus,

% care este T=L1."

% T - matrice de tranziție de la (X) la (Y): Y=TX

0.5000 1.0000 0

1.0000 -0.5000 0.5000

% A2 – matrice de formă pătratică transformată

% Notă U=A2*L1." și A=L1* A2*L1."

4.0000 -2.0000 2.0000

1.0000 -0.5000 0.5000

% Deci, avem descompunerea A_=L1* A2*L1." sau A_=T."* A2*T

% care arată modificarea variabilelor

% y1=x1-0,5x2+0,5x3

% și reprezentarea formei pătratice în coordonate noi

A_=T."*A2*T % T=L1." matrice de tranziție de la (X) la (Y): Y=TX

isequal(A,A_) % trebuie să se potrivească cu originalul A

4.0000 -2.0000 2.0000

2.0000 1.0000 -1.5000

2.0000 -1.5000 1.0000

Q1=inv(T) % găsiți matricea de tranziție de la (Y) la (X)

% Să găsim transformarea,

% patratic Ax=X."*A*X

% la noul tip Ay=(Q1Y)."*A*Q1Y=Y." (Q1."*A*Q1)*Y=Y." (U)*Y

Ay =4*y1^2 - y2*y3

x1 - x2/2 + x3/2

% a doua matrice de transformare,

% care este mult mai simplu de compus.

4*z1^2 - z2^2 + z3^2

% R=Q1*Q2, X=R*Z

R=Q1*Q2 % transformare liniară nedegenerată

% aducerea matricei operatorului la forma canonică.

det(R) % determinant nu este egal cu zero - transformarea este nedegenerată

4*z1^2 - z2^2 + z3^2 ok

4*z1^2 - z2^2 + z3^2

Să formulăm un algoritm pentru reducerea quad-urilor formă ratică la forma canonică prin transformare ortogonală: