Desen pe două fețe și un colț. Construirea unui triunghi folosind trei elemente

Clasă: 7

Obiectivele lecției:

• transmite materialul studiat elevilor cât mai mult posibil;
• dezvolta gândirea, memoria și capacitatea de a folosi liber o busolă;
• încercați să creșteți activitatea și independența elevilor la îndeplinirea sarcinilor.

Echipament:

• busola școlii
• raportor,
• riglă,
• carduri pentru munca independentă.

PROGRESUL LECȚIEI

Subiectul lecției: „Probleme de construcție”.

Astăzi vom învăța cum să construim triunghiuri folosind trei elemente date folosind o busolă și o riglă.

Pentru a construi un triunghi, trebuie mai întâi să fiți capabil să construiți un segment egal cu unul dat și un unghi egal cu unul dat. Desigur, puteți face acest lucru folosind o riglă cu diviziuni și un raportor, dar în matematică trebuie și să puteți realiza construcții folosind o busolă și o riglă fără diviziuni.

Orice sarcină de construcție include patru etape principale:

• analiză;
• constructii;
• dovada;
• studiu.

Analiza și cercetarea problemei sunt la fel de necesare ca și construcția în sine. Este necesar să vedem în ce cazuri problema are o soluție și în care nu există o soluție.

1. Construcția unui segment egal cu unul dat.

2. Construiți un unghi egal cu cel dat folosind o busolă și o riglă.

Acum să trecem la construirea triunghiurilor folosind trei elemente.

3. Construirea unui triunghi folosind două laturi și unghiul dintre ele.

Schema nr. 3.

Dat	Necesar pentru a construi	Constructii
1. Construiți unghiul A egal cu unghiul dat. 2. Pe o parte a unghiului, marcați punctul C astfel încât segmentul AC să fie egal cu segmentul dat b. 3. Pe cealaltă parte a colțului, marcați punctul B astfel încât segmentul AB să fie egal cu segmentul dat c. 4. Conectați punctele B și C folosind o riglă. Un triunghi ACB este construit folosind două laturi și unghiul dintre ele.

Lucru independent pentru diagrama 3.

Opțiunea 1.

Construiți un triunghi ВСН, dacă ВС = 3 cm, СН = 4 cm, С = 35є.

Opțiunea 2.

Construiți un triunghi SDE, pentru care DS = 4 cm, DE = 5 cm, D = 110º.

Cheie. Înainte de a construi un triunghi, este necesar să faceți un desen cu mână liberă a triunghiului, care arată toate elementele specificate.

4. Construirea unui triunghi folosind o latură și unghiurile adiacente ale acesteia.

Dat	Necesar pentru a construi	Constructii
1. Desenați în mod arbitrar un segment AB egal cu segmentul dat c. 2. Construiți unghiul A egal cu cel dat. 3. Construiți unghiul B egal cu cel dat. Punctul de intersecție a două laturi ale unghiurilor A și B este vârful triunghiului C. Construiți un triunghi ACB folosind o latură și două unghiuri date.

Lucru independent pentru diagrama 4.

Opțiunea 1

Construiți un triunghi KMO dacă KO = 6 cm, K = 130º, O = 20º.

Opțiunea 2

Construiți un triunghi HRV dacă C = 15º, D = 50º, SD = 3 cm.

5. Construirea unui triunghi folosind trei laturi.

Dat După construirea oricărui triunghi, dovediți independent că triunghiul rezultat este cel pe care îl căutați și, dacă este posibil, efectuați cercetări.

Esența lor este de a construi orice obiect geometric pe baza oricărui set suficient de condiții inițiale, având la îndemână doar o busolă și o riglă. Să luăm în considerare schema generala pentru a îndeplini următoarele sarcini:

Analiza sarcinilor.

Această parte include stabilirea unei legături între elementele care trebuie construite și condițiile inițiale ale problemei. După finalizarea acestui punct, ar trebui să avem un plan pentru a ne rezolva problema.

Constructii.

Aici executam constructia conform planului pe care l-am intocmit mai sus.

Dovada.

Aici demonstrăm că figura pe care am construit-o îndeplinește de fapt condițiile inițiale ale problemei.

Studiu.

Aici aflăm sub ce date problema are o singură soluție, sub care există mai multe și sub care nu există nici una.

În continuare, vom lua în considerare problemele de construire a triunghiurilor folosind diferite trei elemente. Aici nu vom lua în considerare construcții elementare, cum ar fi segmentul, unghiul etc. Până acum ar trebui să aveți deja aceste abilități.

Construirea unui triunghi folosind două laturi și unghiul dintre ele

Exemplul 1

Construiți un triunghi dacă ni se dau două laturi și un unghi între aceste laturi.

Analiză.

Să ni se dea segmentele $AB$ și $AC$ și unghiul $α$. Trebuie să construim un triunghi $ABC$ cu unghi $C$ egal cu $α$.

Să întocmim un plan de construcție:

1. Luând $AB$ ca fiind una dintre laturile unghiului, lăsăm deoparte unghiul $BAM$ de la acesta, egal cu unghiul $α$.
2. Pe linia dreaptă $AM$ graficăm segmentul $AC$.
3. Să conectăm punctele $B$ și $C$.

Constructii.

Să construim un desen după planul întocmit mai sus (Fig. 1).

Dovada.

Studiu.

Deoarece suma unghiurilor unui triunghi este $180^\circ$. Aceasta înseamnă că dacă unghiul α este mai mare sau egal cu $180^\circ$, atunci problema nu va avea soluții.

În rest, există o soluție. Deoarece linia $a$ este o linie arbitrară, va exista un număr infinit de astfel de triunghiuri. Dar, deoarece toate sunt egale între ele conform primului semn, vom presupune că soluția acestei probleme este unică.

Construirea unui triunghi folosind trei laturi

Exemplul 2

Construiți un triunghi dacă ni se dau trei laturi.

Analiză.

Să ni se dea segmentele $AB$ și $AC$ și $BC$. Trebuie să construim triunghiul $ABC$.

Să întocmim un plan de construcție:

1. Să desenăm o linie dreaptă $a$ și să construim un segment $AB$ pe ea.
2. Să construim $2$ cercuri: primul cu centrul $A$ și raza $AC$, iar al doilea cu centrul $B$ și raza $BC$.
3. Să conectăm unul dintre punctele de intersecție ale cercurilor (care va fi punctul $C$) cu punctele $A$ și $B$.

Constructii.

Să construim un desen după planul întocmit mai sus (Fig. 2).

Dovada.

Din construcție este clar că toate condițiile inițiale sunt îndeplinite.

Studiu.

Din inegalitatea triunghiului știm că orice latură trebuie să fie mai mică decât suma celorlalte două. În consecință, atunci când o astfel de inegalitate nu este satisfăcută pentru cele trei segmente inițiale, problema nu va avea o soluție.

Deoarece cercurile din construcție au două puncte de intersecție, putem construi două astfel de triunghiuri. Dar, deoarece sunt egale între ele conform celui de-al treilea criteriu, vom presupune că soluția acestei probleme este unică.

Construirea unui triunghi folosind o latură și două unghiuri adiacente

Exemplul 3

Construiți un triunghi dacă ni se dă o latură și unghiurile $α$ și $β$ adiacente acesteia.

Analiză.

Să ni se dea un segment $BC$ și unghiurile $α$ și $β$. Trebuie să construim un triunghi $ABC$, unde $∠B=α$ și $∠C=β$.

Să întocmim un plan de construcție:

1. Să desenăm o linie dreaptă $a$ și să construim un segment $BC$ pe ea.
2. Să construim un unghi $∠ K=α$ la vârful $B$ la latura $BC$.
3. Să construim un unghi $∠ M=β$ la vârful $C$ la latura $BC$.
4. Să conectăm punctul de intersecție (acesta va fi punctul $A$) al razelor $∠ K$ și $∠ M$ cu punctele $C$ și $B$,

Constructii.

Să construim un desen după planul întocmit mai sus (Fig. 3).

Dovada.

Din construcție este clar că toate condițiile inițiale sunt îndeplinite.

Studiu.

Deoarece suma unghiurilor unui triunghi este egală cu $180^\circ$, atunci dacă $α+β≥180^\circ$ problema nu va avea soluții.

În rest, există o soluție. Deoarece putem construi unghiuri din ambele părți, putem construi două astfel de triunghiuri. Dar, deoarece sunt egale între ele conform celui de-al doilea criteriu, vom presupune că soluția acestei probleme este unică.

Poza 3 din prezentarea „Triunghiul 2” pentru lecții de geometrie pe tema „Triunghi”

Dimensiuni: 720 x 540 pixeli, format: jpg.

Pentru a descărca o imagine gratuită pentru o lecție de geometrie, faceți clic dreapta pe imagine și faceți clic pe „Salvați imaginea ca...”.

Pentru a afișa imagini în lecție, puteți descărca gratuit întreaga prezentare „Triangle 2.ppt” cu toate imaginile într-o arhivă zip. Dimensiunea arhivei este de 16 KB.

„Vectorii în spațiu” - Vectori codirecționali. k (a+b) = ka + kb - legea distribuției I. a+b=b+a (legea comutativă). Înmulțirea unui vector cu un număr. Un vector este un segment direcționat. Vectori în spațiu. Vectorii codirecționali sunt vectori care au aceeași direcție. Dacă vectorii sunt codirecționali și lungimile lor sunt egale, atunci acești vectori sunt numiți egali.

„Unghiul dintre vectori” - Coordonatele vectorilor. Vectorul direcție este drept. Analiza vizuală a problemelor din manual. Introducerea sistemului de coordonate. Să luăm în considerare ghidajele liniilor drepte D1B și CB1. Cum afli distanța dintre puncte? Aflați unghiul dintre liniile ВD și CD1. Unghiul dintre liniile drepte AB și CD. Unghiul dintre vectori. Cum găsiți coordonatele punctului de mijloc al unui segment?

„Mari matematicieni” - Sistemul de coordonate propus de Descartes i-a primit numele. Descartes a exprimat legea conservării impulsului și a dat conceptul de impuls al forței. „Metodă” (sau „Efod”) și „Heptagon obișnuit”. Leibniz Gottfried Wilhelm. Keldysh Mstislav Vsevolodovici. Isaac Newton. Pitagora din Samos. Gauss și-a primit doctoratul în 1799 de la Universitatea din Helmstedt.

„Matematica ca știință” - Concurs „Mașină de calcul” Matematică și istorie sunt două domenii de cunoaștere inseparabile Școala tehnică imperială Leonard Euler Numărător: Părinții lui Alexandrov au fost profesori.

„Semne de egalitate a triunghiurilor” - Orice triunghi are trei mediane. Triunghiul echilateral și isoscel. Triunghi - cel mai simplu figură plată. Triunghi. Înălțimea triunghiului. Semne de egalitate a triunghiurilor. Studiul triunghiului a dat naștere științei trigonometriei. Orice triunghi are trei înălțimi. O perpendiculară trasată de la vârful unui triunghi la o dreaptă.

„Funcția sinusoială” - graficul apusului. Data. Este descris procesul apusului functie trigonometrica sinusului. Ora medie a apusului este 18:00. Folosind un calendar de rupere, este ușor să marcați momentul apusului. Ţintă. Concluzii. Timp. Apus de soare. Diferite fețe ale trigonometriei.

Există un total de 42 de prezentări în acest subiect

Vă prezentăm atenției un tutorial video cu tema „Construirea unui triunghi folosind trei elemente”. Veți putea rezolva mai multe exemple din clasa problemelor de construcție. Profesorul va analiza în detaliu problema construcției unui triunghi folosind trei elemente și va reaminti și teorema privind egalitatea triunghiurilor.

Acest subiect are o largă aplicare practică, deci să ne uităm la câteva tipuri de rezolvare a problemelor. Să vă reamintim că orice construcție se realizează exclusiv cu ajutorul unei busole și a unei rigle.

Exemplul 1:

Construiți un triunghi folosind două laturi și unghiul dintre ele.

Dat: Să presupunem că triunghiul analizat arată astfel

Orez. 1.1. Exemplul 1 de triunghi analizat

Fie segmentele date c și a, iar unghiul dat

Orez. 1.2. Elementele date de exemplu 1

Constructie:

Mai întâi ar trebui să lăsați deoparte colțul 1

Orez. 1.3. Unghi amânat 1, de exemplu 1

Apoi, pe laturile unui unghi dat, desenăm două laturi date cu o busolă: măsurați lungimea laturii cu un compas Oși punem vârful busolei la vârful unghiului 1, iar cu cealaltă parte facem o crestătură pe latura unghiului 1. Facem o procedură similară cu latura Cu

Orez. 1.4. Pune laturile deoparte OŞi Cu de exemplu 1

Apoi conectăm crestăturile rezultate și obținem triunghiul dorit ABC

Orez. 1.5. Triunghiul construit ABC de exemplu 1

Va fi acest triunghi egal cu cel așteptat? Se va face, deoarece elementele triunghiului rezultat (două laturi și unghiul dintre ele) sunt, respectiv, egale cu cele două laturi și unghiul dintre ele dat în condiție. Prin urmare, prin prima proprietate a egalității triunghiurilor - - cea dorită.

Construcția este finalizată.

Nota:

Să ne amintim cum să trasăm un unghi egal cu unul dat.

Exemplul 2

Scădeți un unghi dintr-o rază dată egal cu una dată. Unghiul A și raza OM sunt date. Construi.

Constructie:

Orez. 2.1. Condiția de exemplu 2

1. Construiți un cerc Okr(A, r = AB). Punctele B și C sunt punctele de intersecție cu laturile unghiului A

Orez. 2.2. Soluția de exemplu 2

1. Construiți un cerc Okr(D, r = CB). Punctele E și M sunt punctele de intersecție cu laturile unghiului A

Orez. 2.3. Soluția de exemplu 2

1. Unghiul MOE este cel dorit, deoarece .

Construcția este finalizată.

Exemplul 3

Construiți triunghiul ABC conform partid cunoscutși două unghiuri adiacente.

Lăsați triunghiul analizat să arate astfel:

Orez. 3.1. Condiția de exemplu 3

Atunci segmentele date arată astfel

Orez. 3.2. Condiția de exemplu 3

Constructie:

Să trasăm unghiul pe plan

Orez. 3.3. Soluția de exemplu 3

Pe latura unui unghi dat trasăm lungimea laturii O

Orez. 3.4. Soluția de exemplu 3

Apoi lăsăm deoparte un unghi de la vârful C. Laturile necomune ale unghiurilor γ și α se intersectează în punctul A

Orez. 3.5. Soluția de exemplu 3

Este triunghiul construit cel dorit? Este, deoarece latura și două unghiuri adiacente ale triunghiului construit sunt, respectiv, egale cu latura și unghiul dintre ele dat în condiția

Căutat după al doilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor

Construcție finalizată

Exemplul 4

Construiți un triunghi pe 2 picioare

Lăsați triunghiul analizat să arate așa

Orez. 4.1. Condiția de exemplu 4

Elemente cunoscute - picioare

Orez. 4.2. Condiția de exemplu 4

Această sarcină diferă de cele anterioare prin faptul că unghiul dintre laturi poate fi determinat implicit - 90 0

Constructie:

Să lăsăm deoparte un unghi egal cu 90 0. Vom face acest lucru exact în același mod ca în exemplul 2

Orez. 4.3. Soluția de exemplu 4

Apoi pe laturile acestui unghi trasăm lungimile laturilor OŞi b, dat în condiția

Orez. 4.4. Soluția de exemplu 4

Ca urmare, triunghiul rezultat este cel dorit, deoarece cele două laturi ale sale și unghiul dintre ele sunt, respectiv, egale cu cele două laturi și unghiul dintre ele dat în condiția

Rețineți că puteți lăsa deoparte un unghi de 90 0 construind două drepte perpendiculare. Să vedem cum să îndeplinim această sarcină într-un exemplu suplimentar.

Exemplu suplimentar

Restabiliți perpendiculara pe dreapta p care trece prin punctul A,

Linia p și punctul A situat pe această dreaptă

Orez. 5.1. Condiție de exemplu suplimentar

Constructie:

Mai întâi, să construim un cerc de rază arbitrară cu un centru în punctul A

Orez. 5.2. Soluție pentru un exemplu suplimentar

Acest cerc intersectează o linie rîn punctele K și E. Apoi construim două cercuri Okr(K, R = KE), Okr(E, R = KE). Aceste cercuri se intersectează în punctele C și B. Segmentul NE este cel necesar,

Orez. 5.3. Răspuns la exemplu suplimentar

1. Colecție unificată de resurse educaționale digitale ().
2. Profesor de matematică ().

1. Nr. 285, 288. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Poznyak E. G., Yudina I. I. editat de Tikhonov A. N. Geometrie clasele 7-9. M.: Iluminismul. 2010
2. Construiți un triunghi isoscel folosind o latură și un unghi opus bazei.
3. Construi triunghi dreptunghic prin ipotenuză și unghi ascuțit
4. Construiți un triunghi folosind unghiul, altitudinea și bisectoarea desenate din vârful unghiului dat.