Sinus (sin x) și cosinus (cos x) – proprietăți, grafice, formule. Formule de bază ale trigonometriei
Definiții
Definițiile funcțiilor trigonometrice sunt date folosind cercul trigonometric, care este înțeles ca un cerc de rază unitară cu un centru la origine.
Să considerăm două raze ale acestui cerc: staționară (unde este punctul) și în mișcare (unde este punctul). Lasă raza în mișcare să formeze un unghi cu cea fixă.
Numărul egal cu ordonata capătului unei unități de rază care formează un unghi cu o rază fixă se numește sinusul unghiului : .
Numărul egal cu abscisa capătului unei unități de rază care formează un unghi cu o rază fixă se numește cosinus al unghiului : .
Astfel, punctul care este capătul razei de mișcare care formează un unghi are coordonate.
Tangenta unghiului Raportul dintre sinusul acestui unghi și cosinusul său se numește: , .
Cotangenta unghiului Raportul dintre cosinusul acestui unghi și sinusul său se numește: , .
Sensul geometric funcții trigonometrice
Sensul geometric al sinusului și cosinusului pe un cerc trigonometric este clar din definiție: aceasta este abscisa și ordonata punctului de intersecție al razei în mișcare, care formează un unghi cu raza fixă și cercul trigonometric. Adică, .
Să luăm acum în considerare semnificația geometrică a tangentei și cotangentei. Triunghiurile sunt similare la trei unghiuri (,), atunci relația este valabilă. Pe de altă parte, în, prin urmare.
De asemenea, similar la trei unghiuri (,), atunci relația este valabilă. Pe de altă parte, în, prin urmare.
Ținând cont de semnificația geometrică a tangentei și cotangentei, se introduce conceptul de axă tangentă și axă cotangentă.
Axele tangente sunt axe, dintre care una atinge cercul trigonometric într-un punct și este îndreptată în sus, a doua atinge cercul într-un punct și este îndreptată în jos.
Axele cotangente sunt axe, dintre care una atinge cercul trigonometric într-un punct și este îndreptată spre dreapta, a doua atinge cercul într-un punct și este îndreptată spre stânga.
Proprietățile funcțiilor trigonometrice
Să ne uităm la câteva proprietăți de bază ale funcțiilor trigonometrice. Alte proprietăți vor fi discutate în secțiunea despre graficele funcțiilor trigonometrice.
Domeniul și intervalul de valori
După cum am menționat mai devreme, sinusul și cosinusul există pentru orice unghi, adică domeniul de definire al acestor funcţii este mulţimea numerelor reale. Prin definiție, tangenta nu există pentru unghiuri, iar cotangenta nu există pentru unghiuri, .
Deoarece sinusul și cosinusul sunt ordonatele și abscisa unui punct dintr-un cerc trigonometric, valorile lor se află între ele. Gama de valori tangente și cotangente este setul de numere reale (acest lucru este ușor de văzut privind axele tangentelor și cotangentelor).
Par/impar
Luați în considerare funcțiile trigonometrice a două unghiuri (care corespunde razei de mișcare) și (care corespunde razei de mișcare). Pentru că asta înseamnă că punctul are coordonate. Prin urmare, i.e. sinus este o funcție impară; , adică cosinus - funcție pară; , adică tangenta este impara; , adică Cotangenta este, de asemenea, ciudată.
Intervale de constanță a semnelor
Semnele funcțiilor trigonometrice pentru diferite sferturi de coordonate rezultă din definiția acestor funcții. Trebuie remarcat faptul că, deoarece tangenta și cotangenta sunt rapoarte dintre sinus și cosinus, ele sunt pozitive când sinusul și cosinusul unghiului au același semn și negative când sunt diferite.
Periodicitate
Periodicitatea sinusului și cosinusului se bazează pe faptul că unghiurile care diferă cu un număr întreg de rotații complete corespund aceluiași poziție relativă grinzi mobile și fixe. În consecință, coordonatele punctului de intersecție al fasciculului în mișcare și ale cercului trigonometric vor fi aceleași pentru unghiurile care diferă cu un număr întreg de rotații complete. Astfel, perioada sinusului și cosinusului este și, unde.
Evident, aceasta este și perioada pentru tangentă și cotangentă. Dar există o perioadă mai scurtă pentru aceste funcții? Să demonstrăm că cea mai mică perioadă pentru tangentă și cotangentă este.
Luați în considerare două unghiuri și. Op sens geometric tangentă și cotangentă, . Latura și unghiurile adiacente ale triunghiurilor sunt egale și, prin urmare, laturile lor sunt egale, ceea ce înseamnă și. În mod similar, puteți dovedi unde. Astfel, perioada tangentei și cotangentei este.
Funcții trigonometrice ale unghiurilor fundamentale
Formule de trigonometrie
Pentru a rezolva cu succes probleme trigonometrice, trebuie să cunoașteți numeroase formule trigonometrice. Cu toate acestea, nu este nevoie să memorați toate formulele. Trebuie doar să le cunoști pe de rost pe cele mai elementare și trebuie să poți deriva restul formulelor dacă este necesar.
Identitatea trigonometrică de bază și consecințele acesteia
Toate funcțiile trigonometrice ale unui unghi arbitrar sunt interconectate, adică Cunoscând o funcție, puteți găsi întotdeauna restul. Această legătură este dată de formulele discutate în această secțiune.
Teorema 1 (identitatea trigonometrică de bază). Pentru oricine identitatea este adevărată
Dovada constă în aplicarea teoremei lui Pitagora la triunghi dreptunghic cu catete și ipotenuză.
O teoremă mai generală este, de asemenea, adevărată.
Teorema 2. Pentru ca două numere să fie luate drept cosinus și sinus al aceluiași unghi real, este necesar și suficient ca suma pătratelor lor să fie egală cu unu:
Să luăm în considerare consecințele identității trigonometrice principale.
Să exprimăm sinus prin cosinus și cosinus prin sinus:
În această formulă, semnul plus sau minus din fața rădăcinii este ales în funcție de cadranul în care se află unghiul.
Înlocuind formulele obținute mai sus în formulele care definesc tangenta și cotangenta, obținem:
Împărțind termenul principal de identitate trigonometrică cu termen la sau obținem, respectiv:
Aceste relații pot fi rescrise astfel:
Următoarele formule oferă relația dintre tangentă și cotangentă. Deoarece la, și la, atunci egalitatea este valabilă:
Formule de reducere
Folosind formule de reducere, puteți exprima valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor arbitrare prin valorile funcțiilor unghiului acut. Toate formulele de reducere pot fi generalizate folosind următoarea regulă.
Orice funcție trigonometrică a unui unghi, conform valoare absolută este egal cu aceeași funcție a unghiului dacă numărul este par și cu co-funcția unghiului dacă numărul este impar. Mai mult, dacă funcția unghiului este pozitivă, atunci când este un unghi pozitiv acut, atunci semnele ambelor funcții sunt aceleași dacă este negativă, atunci sunt diferite;
Formulele de sumă și diferența de unghi
Teorema 3 . Pentru orice reală și următoarele formule sunt valabile:
Dovada formulelor rămase se bazează pe formulele de reducere și pe funcțiile trigonometrice pare/impare.
Q.E.D.
Teorema 4. Pentru orice real și așa că
1. , sunt valabile următoarele formule
2. , sunt valabile următoarele formule
Dovada. Prin definiția tangentei
Ultima transformare se obține prin împărțirea numărătorului și numitorului acestei fracții la.
În mod similar, pentru cotangentă (numărătorul și numitorul în acest caz sunt împărțite la):
Q.E.D.
Trebuie acordată atenție faptului că părțile din dreapta și din stânga ultimelor egalități au zone diferite valori acceptabile. Prin urmare, aplicarea acestor formule fără restricții privind posibilele valori ale unghiului poate duce la rezultate incorecte.
Formule cu unghi dublu și jumătate
Formulele cu unghi dublu vă permit să exprimați funcțiile trigonometrice ale unui unghi arbitrar în termeni de funcții ale unui unghi jumătate din unghiul original. Aceste formule sunt consecințe ale formulelor pentru suma a două unghiuri, dacă punem unghiurile din ele egale între ele.
Ultima formulă poate fi transformată folosind identitatea trigonometrică de bază:
Astfel, pentru cosinusul unui unghi dublu există trei formule:
Trebuie remarcat faptul că această formulă valabil numai pentru
Ultima formulă este valabilă pentru, .
Similar cu funcțiile cu unghi dublu, pot fi obținute funcții cu unghi triplu. Aici aceste formule sunt date fără dovezi:
Formulele cu jumătate de unghi sunt consecințe ale formulelor cu dublu unghi și permit să se exprime funcțiile trigonometrice ale unui anumit unghi în termeni de funcțiile unui unghi dublu față de original.
Funcțiile trigonometrice au apărut în Grecia anticăîn legătură cu cercetările în astronomie şi geometrie. Raporturile laturilor dintr-un triunghi dreptunghic, care sunt în esență funcții trigonometrice, se găsesc deja în secolul al III-lea. î.Hr e. în lucrările lui Euclid, Arhimede, Apollonius din Perga și alții. Forma modernă a teoriei funcțiilor trigonometrice și a trigonometriei în general a fost dată de L. Euler. El deține definițiile funcțiilor trigonometrice și simbolismul acceptat astăzi.
Funcțiile trigonometrice (din cuvintele grecești trigonon - „triunghi” și metreo - „măsură”) sunt una dintre cele mai importante clase de funcții.
Pentru a defini funcțiile trigonometrice, luăm în considerare un cerc (cerc) trigonometric cu raza 1 și centrul la origine (Fig. 1). Dacă φ este unghiul dintre razele OS și OA, exprimat în radiani, 0 ≤ φ ≤ 2π (unghiul se măsoară în direcția de la OS la OA), atunci coordonatele punctului A se numesc cosinus și sinus ale unghiului φ, respectiv, și sunt desemnate ca x = cos φ și n = sin φ. Din aceasta rezultă clar că |cos φ| ≤ 1, |sin φ| ≤ 1 și cos 2 φ + sin 2 φ = 1.
Pentru colțuri ascuțite (0< φ < π/2) тригонометрические функции cos φ и sin φ можно рассматривать как отношения катета прямоугольного треугольника (прилежащего к углу и противолежащего углу соответственно) к гипотенузе (рис. 2), длина которой уже не обязательно равна единице. Исходя из этого определения, составим таблицу для значений тригонометрических функций некоторых углов; кроме того, ясно, что
cos 0 = sin π/2 = 1 și cos π/2 = sin 0 = 0.
Pentru a construi grafice ale funcțiilor trigonometrice pentru 0 ≤ φ ≤ 2π, procedăm după cum urmează. Împărțiți cercul trigonometric la 16 părţi egaleși plasați un sistem de coordonate în apropiere, așa cum se arată în Fig. 3, unde un segment de lungime 2π pe axa Oφ este de asemenea împărțit în 16 părți egale. Trasând drepte paralele cu axa Oφ prin punctele de despărțire ale cercului, la intersecția acestor drepte cu perpendiculare construite din punctele corespunzătoare de împărțire a segmentului pe axa Oφ, obținem puncte ale căror coordonate sunt egale cu sinusurile lui unghiurile corespunzătoare (Fig. 3); Rețineți că următoarele egalități aproximative sunt valabile:
sin π/8 ≈ 0,4, sin π/4 ≈ 0,7, sin 3π/8 ≈ 0,9.
Dacă luăm, să zicem, nu 16, ci 32, 64 etc. puncte, atunci puteți construi câte puncte doriți, pe graficul funcției y = sin φ. Trasând o curbă netedă prin ele, obținem un grafic destul de satisfăcător al funcției y = sin φ pe segment. Pentru a obține funcția y = sin φ, definită pe întreaga dreaptă numerică, se determină mai întâi pe toate segmentele formei, n ≥ 1 - un număr întreg, i.e. presupunând că valorile sale în punctele φ, φ + 2π, φ + 4π, ... sunt egale (0 ≤ φ ≤ 2π), iar apoi pentru φ negativ folosiți egalitatea sin (-φ) = -sin φ. După ce am făcut toate acestea, obținem graficul prezentat în Fig. 4. Rezultatul este periodic (cu perioade 2 πn, n-intger și n ≠ 0), nu chiar funcția y = sin φ, care este definit pentru toate valorile reale ale lui φ; intervalul său este [-1, 1].
La definirea funcției y = cos φ (pentru toate φ), observăm mai întâi că cos φ = sin (π/2 - φ) pentru 0 ≤ φ ≤ π/2, ceea ce decurge direct din definiția funcțiilor trigonometrice sin φ și cos φ. Deoarece funcția y = sin φ a fost deja definită de noi pentru toate φ, vom presupune prin definiție că această egalitate definește funcția y = cos φ pentru toate φ. Din această definiție nu este greu de obținut graficul funcției y = cos φ, care, evident, va fi par și periodic, întrucât graficul său se obține din graficul funcției y = sin φ prin translație paralelă la stânga. pe un segment de lungime π/2, ca un singur grafic întreg al funcției y = sin φ (Fig. 5).
Cea mai simplă analiză (folosind un grafic) arată că, pe lângă cele de mai sus, sunt valabile și următoarele așa-numite formule de reducere:
sin (φ + nπ) = ± sin φ, cos (φ + nπ) = ± cos φ,
sin (φ + nπ/2) = ± cos φ, cos (φ + nπ/2) = ∓ sin φ,
În formulele primei linii, n poate fi orice număr întreg, iar semnul superior corespunde lui n = 2k, semnul inferior - valorii n = 2k + 1, iar în formulele celei de-a doua linii, n poate fi doar un număr impar, iar semnul superior este luat pentru n = 4k + 1, iar cel inferior - pentru n = 4k - 1, k este un număr întreg.
Folosind funcțiile trigonometrice de bază sin φ și cos φ, puteți determina alte funcții trigonometrice - tangentă și cotangentă:
tan φ = sin φ / cos φ,
cot φ = cos φ / sin φ;
în acest caz, tangenta este definită numai pentru astfel de valori ale lui φ pentru care cos φ ≠ 0, adică pentru φ ≠ π/2 + nπ, n = 0, ±1, + 2, ... și cotangenta funcția - pentru astfel de φ, pentru care sin φ ≠ 0, adică. φ ≠ nπ, n = 0, ±1, ±2, .... Aceste funcții pentru unghiuri ascuțite pot fi reprezentate și prin segmente de dreaptă direcționate geometric (Fig. 6):
tg φ = |AB|, cot φ = |CD|.
Ca și sinus și cosinus, funcțiile tangentă și cotangentă pentru unghiurile ascuțite pot fi considerate ca rapoarte ale catetelor: opus cu adiacent pentru tangentă și adiacent cu opusul pentru cotangente. Graficele funcțiilor y = tan φ și y = ctg φ sunt prezentate în Fig. 7 și 8; După cum puteți vedea, aceste funcții sunt impare, periodice și au numere nπ ca perioadă, n = +1, ±2, ....
Cel mai important formule trigonometrice- formule de adunare:
sin (φ 1 ± φ 2) = sin φ 1 cos φ 2 ± cos φ 1 sin φ 2,
cos (φ 1 ± φ 2) = cos φ 1 cos φ 2 ∓ sin φ 1 sin φ 2,
tg(φ 1 ± φ 2) = (tg φ 1 ± tg φ 2)/(1 ∓ tg φ 1 tan φ 2)
semnele din stânga și din dreapta formulelor sunt consistente, adică Caracterul de sus din stânga corespunde caracterului de sus din dreapta. Din acestea, în special, se derivă formule pentru mai multe argumente:
sin 2φ = 2 sin φ cos φ,
cos 2φ = cos 2 φ - sin 2 φ,
tg 2 φ = 2tg φ (1 - tg 2 φ).
Suma și diferența funcțiilor trigonometrice pot fi reprezentate ca un produs al funcțiilor trigonometrice (semnele din prima și a patra formulă sunt consistente):
sin φ 1 sin φ 2 = 2sin ((φ 1 ± φ 2)/2) cos ((φ 1 ∓ φ 2)/2),
cos φ 1 + cos φ 2 = 2cos ((φ 1 + φ 2)/2) cos ((φ 1 - φ 2)/2),
cos φ 1 - cos φ 2 = -2sin ((φ 1 + φ 2)/2) sin ((φ 1 - φ 2)/2),
tan φ 1 ± tan φ 2 = sin (φ 1 ± φ 2)/(cos φ 1 cos φ 2).
Produsul funcțiilor trigonometrice se exprimă printr-o sumă după cum urmează:
sin φ 1 cos φ 2 = 1/2,
sin φ 1 sin φ 2 = 1/2,
cos φ 1 cos φ 2 = 1/2.
Derivatele funcțiilor trigonometrice sunt exprimate în termeni de funcții trigonometrice (aici și în cele ce urmează vom înlocui variabila φ cu x):
(sin x)" = cos x, (cos x)" = -sin x,
(tgx)" = 1/cos 2 x, (ctgx)" = -1/sin 2 x.
La integrarea funcțiilor trigonometrice, obținem funcții trigonometrice sau logaritmii acestora (0< х < π/2, С - абсолютная постоянная):
∫sin x dx = -cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C,
∫tg xdx = -ln cos x + C, ∫ctg x dx = ln sin x + C.
Funcțiile trigonometrice de bază u = cos x și v = sin x, după cum am văzut, sunt legate prin următoarele relații:
u" = -v, v" = u.
Diferențiând aceste egalități a doua oară, obținem:
și" = -v"= -u, v" = u"= -V.
Astfel, funcțiile u și v ale variabilei x pot fi considerate soluții ale aceleiași ecuații (diferențiale) y" + y = 0.
Această ecuație, sau mai degrabă generalizarea ei, care conține constanta pozitivă k 2, y " + k 2 y = 0 (ale cărei soluții, în special, sunt funcțiile cos kx și sin kx), se întâlnește constant în studiul oscilațiilor. , adică atunci când se studiază proiectele mecanismelor care efectuează sau produc mișcări oscilatorii.
Funcția cos x poate fi reprezentată ca o serie infinită 1 - x 2 /2! + x 4/4! - x 6 /6!.... Dacă luăm primii termeni ai acestei serii, obținem aproximări ale funcției cos x folosind polinoame. În fig. Figura 9 arată cum graficele acestor polinoame aproximează din ce în ce mai bine funcția cosx pe măsură ce gradul lor crește.
Numele „sinus” provine din latinescul sinus - „îndoire”, „sinus” - este o traducere a cuvântului arab „jiva” („snur de arc”), care a fost folosit de matematicienii indieni pentru a desemna sinus. cuvânt latin tangens înseamnă „tangentă” (vezi Fig. 6; AB este tangentă la un cerc). Denumirile „cosinus” și „cotangent” sunt abrevieri ale termenilor complementi sinus, complementi tangens („sinusul complementului”, „tangenta complementului”), exprimând faptul că cos φ și, respectiv, ctg φ sunt egale cu sinusul și tangenta argumentului complementar lui φ la π/2: cos φ = sin (π/2 - φ), cot φ = tan(π/2 - φ).
Sunt date relațiile dintre funcțiile trigonometrice de bază - sinus, cosinus, tangentă și cotangentă formule trigonometrice. Și deoarece există destul de multe conexiuni între funcțiile trigonometrice, acest lucru explică abundența formulelor trigonometrice. Unele formule conectează funcții trigonometrice ale aceluiași unghi, altele - funcții ale unui unghi multiplu, altele - vă permit să reduceți gradul, al patrulea - exprimă toate funcțiile prin tangenta unui jumătate de unghi etc.
În acest articol vom enumera în ordine toate formulele trigonometrice de bază, care sunt suficiente pentru a rezolva marea majoritate a problemelor de trigonometrie. Pentru ușurință de memorare și utilizare, le vom grupa după scop și le vom introduce în tabele.
Navigare în pagină.
Identități trigonometrice de bază
De bază identități trigonometrice definiți relația dintre sinus, cosinus, tangentă și cotangente a unui unghi. Ele decurg din definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, precum și a conceptului de cerc unitar. Ele vă permit să exprimați o funcție trigonometrică în termenii oricărei alte.
Pentru o descriere detaliată a acestor formule de trigonometrie, derivarea lor și exemple de aplicare, consultați articolul.
Formule de reducere
Formule de reducere rezultă din proprietățile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, adică reflectă proprietatea de periodicitate a funcțiilor trigonometrice, proprietatea de simetrie, precum și proprietatea deplasării cu un unghi dat. Aceste formule trigonometrice vă permit să treceți de la lucrul cu unghiuri arbitrare la lucrul cu unghiuri cuprinse între zero și 90 de grade.
Rațiunea acestor formule, o regulă mnemonică pentru memorarea lor și exemple de aplicare a acestora pot fi studiate în articol.
Formule de adunare
Formule trigonometrice de adunare arată cum funcțiile trigonometrice ale sumei sau diferenței a două unghiuri sunt exprimate în termeni de funcții trigonometrice ale acelor unghiuri. Aceste formule servesc drept bază pentru derivarea următoarelor formule trigonometrice.
Formule pentru dublu, triplu etc. unghi
Formule pentru dublu, triplu etc. unghiul (se mai numesc și formule cu unghiuri multiple) arată cum funcțiile trigonometrice de dublu, triplu etc. unghiurile () sunt exprimate în termeni de funcții trigonometrice ale unui singur unghi. Derivarea lor se bazează pe formule de adunare.
Informații mai detaliate sunt colectate în formulele articolului pentru dublu, triplu etc. unghi
Formule cu jumătate de unghi
Formule cu jumătate de unghi arătați cum sunt exprimate funcțiile trigonometrice ale unui semiunghi în termeni de cosinus al unui unghi întreg. Aceste formule trigonometrice decurg din formulele cu unghi dublu.
Concluzia lor și exemple de aplicare pot fi găsite în articol.
Formule de reducere a gradului
Formule trigonometrice pentru reducerea gradelor sunt menite să faciliteze trecerea de la grade naturale funcții trigonometrice la sinusuri și cosinusuri la primul grad, dar unghiuri multiple. Cu alte cuvinte, ele vă permit să reduceți puterile funcțiilor trigonometrice la prima.
Formule pentru suma și diferența funcțiilor trigonometrice
Scopul principal formule pentru suma și diferența funcțiilor trigonometrice este să mergem la produsul funcțiilor, ceea ce este foarte util atunci când simplificați expresiile trigonometrice. Aceste formule sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, deoarece vă permit să factorizați suma și diferența sinusurilor și cosinusurilor.
Formule pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus
Trecerea de la produsul funcțiilor trigonometrice la o sumă sau diferență se realizează folosind formulele pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus.
Drepturi de autor de către cleverstudents
Toate drepturile rezervate.
Protejat de legea dreptului de autor. Nicio parte a site-ului www.site, inclusiv materialele interneŞi design exterior, nu poate fi reprodus sub nicio formă sau utilizat fără prealabil permisiunea scrisa deținătorul drepturilor de autor.
Informații de referință privind funcțiile trigonometrice sinus (sin x) și cosinus (cos x). Definiție geometrică, proprietăți, grafice, formule. Tabel de sinusuri și cosinusuri, derivate, integrale, expansiuni în serie, secante, cosecante. Expresii prin variabile complexe. Legătura cu funcțiile hiperbolice.
Definiția geometrică a sinusului și cosinusului
|BD|- lungimea arcului de cerc cu centru într-un punct O.
α
- unghi exprimat în radiani.
Definiţie
Sinus (sin α) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetului opus |BC| la lungimea ipotenuzei |AC|.
Cosinus (cos α) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetei adiacente |AB| la lungimea ipotenuzei |AC|.
Notatii acceptate
;
;
.
;
;
.
Graficul funcției sinus, y = sin x
Graficul funcției cosinus, y = cos x
Proprietățile sinusului și cosinusului
Periodicitate
Funcțiile y = sin xși y = cos x periodic cu punct 2π.
Paritate
Funcția sinus este impară. Funcția cosinus este pară.
Domeniul definirii si valorilor, extrema, crestere, scadere
Funcțiile sinus și cosinus sunt continue în domeniul lor de definiție, adică pentru tot x (vezi dovada continuității). Principalele lor proprietăți sunt prezentate în tabel (n - întreg).
| y = sin x | y = cos x | |
| Domeniul de aplicare și continuitatea | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Gama de valori | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| În creștere | ||
| Descendent | ||
| Maxima, y = 1 | ||
| Minima, y = - 1 | ||
| Zerouri, y = 0 | ||
| Interceptarea punctelor cu axa ordonatelor, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Formule de bază
Suma pătratelor sinusului și cosinusului
Formule pentru sinus și cosinus din sumă și diferență
;
;
Formule pentru produsul sinusurilor și cosinusurilor
Formule de sumă și diferență
Exprimarea sinusului prin cosinus
;
;
;
.
Exprimarea cosinusului prin sinus
;
;
;
.
Exprimarea prin tangentă
; .
Când , avem:
;
.
La:
;
.
Tabelul sinusurilor și cosinusurilor, tangentelor și cotangentelor
Acest tabel arată valorile sinusurilor și cosinusurilor pentru anumite valori ale argumentului. 
Expresii prin variabile complexe
;
formula lui Euler
{ -∞ < x < +∞ }
Secant, cosecant
Funcții inverse
Funcțiile inverse ale sinusului și cosinusului sunt arcsinus și, respectiv, arccosinus.
Arcsin, arcsin
Arccosine, arccos
Literatura folosita:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.
Dacă construim un cerc unitar cu centrul său la origine și stabilim o valoare arbitrară pentru argument x 0și numărați din axă Bou colţ x 0, atunci acest unghi pe cercul unitar corespunde unui anumit punct O(Fig. 1) și proiecția acesteia pe axă Oh va fi un punct M. Lungimea secțiunii OM egală cu valoarea absolută a abscisei punctului O. Această valoare argument x 0 valoarea funcției mapată y=cos x 0 ca punctele de abscisă O. În consecință, punctul ÎN(x 0 ;la 0) aparține graficului funcției la=cos X(Fig. 2). Dacă punctul O este în dreapta axei Oh, Sinusul curent va fi pozitiv, dar dacă este la stânga va fi negativ. Dar oricum, punct O nu poate părăsi cercul. Prin urmare, cosinusul se află în intervalul de la –1 la 1:
–1 = cos x = 1.
Rotire suplimentară în orice unghi, multiplu de 2 p, întoarce punctul O in acelasi loc. Prin urmare funcția y = cos xp:
cos( x+ 2p) = cos x.
Dacă luăm două valori ale argumentului, egale în valoare absolută, dar opuse în semn, xȘi - x, găsiți punctele corespunzătoare pe cerc A xŞi A -x. După cum se poate observa în Fig. 3 proiectia lor pe axa Oh este acelasi punct M. De aceea
cos(– x) = cos ( x),
aceste. cosinus este o funcție pară, f(–x) = f(x).
Aceasta înseamnă că putem explora proprietățile funcției y=cos X pe segment , și apoi să țină cont de paritatea și periodicitatea acestuia.
La X= 0 punct O se află pe axă Oh, abscisa sa este 1, deci cos 0 = 1. Odată cu creșterea X punct O se mișcă în jurul cercului în sus și la stânga, proiecția lui, în mod natural, este doar la stânga și la x = p/2 cosinus devine egal cu 0. Punct Oîn acest moment se ridică la înălțimea sa maximă și apoi continuă să se deplaseze spre stânga, dar coborând deja. Abscisa ei scade până când atinge cea mai mică valoare egală cu –1 at X= p. Astfel, pe interval funcția la=cos X scade monoton de la 1 la –1 (Fig. 4, 5).
Din paritatea cosinusului rezultă că pe intervalul [– p, 0] funcția crește monoton de la –1 la 1, luând o valoare zero la x =–p/2. Dacă faceți mai multe perioade, obțineți o curbă ondulată (Fig. 6).
Deci funcția y=cos x ia valori zero la puncte X= p/2 + kp, Unde k – orice număr întreg. Maxime egale cu 1 sunt atinse la puncte X= 2kp, adică în pași de 2 p, iar minime egale cu –1 la puncte X= p + 2kp.
Funcția y = sin x.
Pe colțul cercului unității x 0 corespunde unui punct O(Fig. 7), și proiecția acesteia pe axă Oh va fi un punct N.Z valoarea functiei y 0 = păcat x 0 definit ca ordonata unui punct O. Punct ÎN(colţ x 0 ,la 0) aparține graficului funcției y= păcat x(Fig. 8). Este clar că funcția y = păcat x periodic, perioada sa este 2 p:
păcat( x+ 2p) = păcat ( x).
Pentru valorile a două argumente, XȘi -, proiecții ale punctelor corespunzătoare acestora A xŞi A -x pe axă Oh situat simetric fata de punct DESPRE. De aceea
păcat(- x) = –sin ( x),
aceste. sinus este o funcție impară, f(– x) = –f( x) (Fig. 9).
Dacă punctul O se rotește în raport cu un punct DESPREîntr-un unghi p/2 în sens invers acelor de ceasornic (cu alte cuvinte, dacă unghiul X creste cu p/2), atunci ordonata ei în noua poziție va fi egală cu abscisa în cea veche. Ceea ce înseamnă
păcat( x+ p/2) = cos x.
În caz contrar, sinusul este un cosinus „întârziat” de p/2, deoarece orice valoare a cosinusului va fi „repetată” în sinus atunci când argumentul crește cu p/2. Și pentru a construi un grafic sinus, este suficient să deplasați graficul cosinus cu p/2 spre dreapta (Fig. 10). Extrem proprietate importantă sinusul este exprimat prin egalitate
Semnificația geometrică a egalității poate fi văzută din Fig. 11. Aici X - aceasta este o jumătate de arc AB, un păcat X - jumătate din acordul corespunzător. Este evident că pe măsură ce punctele se apropie OŞi ÎN lungimea coardei se apropie din ce în ce mai mult de lungimea arcului. Din aceeași cifră este ușor de derivat inegalitatea
|păcat x| x|, adevărat pentru orice X.
Matematicienii numesc formula (*) limită remarcabilă. Din aceasta, în special, rezultă acel păcat X» X la mic X.
Funcții la= tg x, y=ctg X. Celelalte două funcții trigonometrice, tangentă și cotangentă, sunt cel mai ușor definite ca rapoarte dintre sinus și cosinus deja cunoscute nouă:
La fel ca sinusul și cosinusul, tangenta și cotangenta sunt funcții periodice, dar perioadele lor sunt egale p, adică au jumătate din dimensiunea sinusului și a cosinusului. Motivul este clar: dacă sinus și cosinus își schimbă semnele, atunci raportul lor nu se va schimba.
Deoarece numitorul tangentei conține un cosinus, tangenta nu este definită în acele puncte în care cosinusul este 0 - când X= p/2 +kp. În toate celelalte puncte crește monoton. Direct X= p/2 + kp pentru tangente sunt asimptotele verticale. La puncte kp tangentă şi pantă sunt 0 și, respectiv, 1 (Fig. 12).
Cotangenta nu este definită acolo unde sinusul este 0 (când x = kp). În alte puncte scade monoton, iar liniile drepte x = kp – asimptotele sale verticale. La puncte x = p/2 +kp cotangenta devine 0, iar panta în aceste puncte este egală cu –1 (Fig. 13).
Paritate și periodicitate.
O funcție este numită chiar dacă f(–x) = f(x). Funcțiile cosinus și secant sunt pare, iar funcțiile sinus, tangentă, cotangentă și cosecantă sunt impare:
| sin (–α) = – sin α | tan (–α) = – tan α |
| cos (–α) = cos α | ctg (–α) = – ctg α |
| sec (–α) = sec α | cosec (–α) = – cosec α |
Proprietățile de paritate decurg din simetria punctelor P a si R- a (Fig. 14) în raport cu axa X. Cu o astfel de simetrie, ordonata punctului își schimbă semnul (( X;la) merge la ( X; –у)). Toate funcțiile - periodică, sinus, cosinus, secanta și cosecantă au o perioadă de 2 p, și tangentă și cotangentă - p:
| păcat (α + 2 kπ) = sin α | cos(α+2 kπ) = cos α |
| tg(α+ kπ) = tan α | pat (α+ kπ) = cotg α |
| sec (α + 2 kπ) = sec α | cosec(α+2 kπ) = cosec α |
Periodicitatea sinusului și cosinusului rezultă din faptul că toate punctele P a+2 kp, Unde k= 0, ±1, ±2,…, coincid, iar periodicitatea tangentei și cotangentei se datorează faptului că punctele P un + kp cad alternativ în două puncte diametral opuse ale cercului, dând același punct pe axa tangentei.
Principalele proprietăți ale funcțiilor trigonometrice pot fi rezumate într-un tabel:
| Funcţie | Domeniul definiției | Sensuri multiple | Paritate | Zone de monotonie ( k= 0, ± 1, ± 2,…) |
| păcat x | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | ciudat | creste cu x O((4 k – 1) p /2, (4k + 1) p/2), scade la x O((4 k + 1) p /2, (4k + 3) p/2) |
| cos x | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | chiar | Crește cu x O((2 k – 1) p, 2kp), scade la x O(2 kp, (2k + 1) p) |
| tg x | x № p/2 + p k | (–Ґ , +Ґ ) | ciudat | creste cu x O((2 k – 1) p /2, (2k + 1) p /2) |
| ctg x | x № p k | (–Ґ , +Ґ ) | ciudat | scade la x DESPRE ( kp, (k + 1) p) |
| sec x | x № p/2 + p k | (–Ґ , –1] ȘI [+1, +Ґ ) | chiar | Crește cu x O(2 kp, (2k + 1) p), scade la x O((2 k– 1) p , 2 kp) |
| cosec x | x № p k | (–Ґ , –1] ȘI [+1, +Ґ ) | ciudat | creste cu x O((4 k + 1) p /2, (4k + 3) p/2), scade la x O((4 k – 1) p /2, (4k + 1) p /2) |
Formule de reducere.
Conform acestor formule, valoarea funcției trigonometrice a argumentului a, unde p/2 a p , poate fi redusă la valoarea funcției argument a , unde 0 a p /2, fie același, fie complementar acesteia.
| Argumentul b |  -o |
+a | p-o | p+a | +a | +a | 2p-o |
| păcat b | ca a | ca a | păcat a | – păcatul a | –cos a | –cos a | – păcatul a |
| ca b | păcat a | – păcatul a | –cos a | –cos a | – păcatul a | păcat a | ca a |
Prin urmare, în tabelele de funcții trigonometrice, valorile sunt date numai pentru unghiurile ascuțite și este suficient să ne limităm, de exemplu, la sinus și tangentă. Tabelul prezintă numai cele mai frecvent utilizate formule pentru sinus și cosinus. Din acestea se obține ușor formule pentru tangentă și cotangentă. Când turnați o funcție dintr-un argument de formă kp/2 ± a, unde k– un număr întreg, la o funcție a argumentului a:
1) numele funcției este salvat dacă k chiar și se modifică în „complementar” dacă k ciudat;
2) semnul din partea dreaptă coincide cu semnul funcției reductibile în punct kp/2 ± a dacă unghiul a este acut.
De exemplu, la turnarea ctg (a – p/2) ne asigurăm că un – p/2 la 0 a p /2 se află în al patrulea cadran, unde cotangenta este negativă și, conform regulii 1, schimbăm numele funcției: ctg (a – p/2) = –tg a .
Formule de adunare.
Formule pentru unghiuri multiple.
Aceste formule sunt derivate direct din formulele de adunare:
sin 2a = 2 sin a cos a ;
cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a ;
sin 3a = 3 sin a – 4 sin 3 a;
cos 3a = 4 cos 3 a – 3 cos a ;
Formula pentru cos 3a a fost folosită de François Viète la rezolvarea ecuației cubice. El a fost primul care a găsit expresii pentru cos n a şi păcatul n a, care au fost obținute ulterior într-un mod mai simplu din formula lui Moivre.
Dacă înlocuiți a cu un /2 în formulele cu argument dublu, acestea pot fi convertite în formule cu jumătate de unghi:
Formule de substituție universală.
Folosind aceste formule, o expresie care implică diferite funcții trigonometrice ale aceluiași argument poate fi rescrisă ca o expresie rațională a unei singure funcții tg (a /2), aceasta poate fi utilă la rezolvarea unor ecuații:
 |
|
 |
 |
Formule de conversie a sumelor în produse și a produselor în sume.
Înainte de apariția computerelor, aceste formule erau folosite pentru a simplifica calculele. Calculele au fost făcute folosind tabele logaritmice, iar mai târziu - o regulă de calcul, deoarece logaritmii sunt cei mai potriviti pentru înmulțirea numerelor, astfel încât toate expresiile originale au fost aduse într-o formă convenabilă pentru logaritmizare, adică. la lucrări, de exemplu:
2 păcat o sin b = cos ( a–b) – cos ( a+b);
2cos o cos b=cos( a–b) + cos ( a+b);
2 păcat o cos b= păcat( a–b) + păcat ( a+b).
Formulele pentru funcțiile tangentă și cotangentă pot fi obținute din cele de mai sus.
Formule de reducere a gradului.
Din formulele cu argumente multiple sunt derivate următoarele formule:
| sin 2 a = (1 – cos 2a)/2; | cos 2 a = (1 + cos 2a )/2; |
| sin 3 a = (3 sin a – sin 3a)/4; | cos 3 a = (3 cos a + cos 3 a)/4. |
Folosind aceste formule ecuații trigonometrice pot fi reduse la ecuații de grade inferioare. În același mod, putem obține formule de reducere pentru mai mult grade înalte sinus și cosinus.
| Derivate și integrale ale funcțiilor trigonometrice | |
| (păcat x)` = cos x; | (cos x)` = –sin x; |
| (tg x)` = ; | (ctg x)` = – ; |
| t păcat x dx= –cos x + C; | t cos x dx= păcat x + C; |
| t tg x dx= –ln|cos x| + C; | t ctg x dx = ln|păcat x| + C; |
Fiecare funcție trigonometrică în fiecare punct al domeniului său de definiție este continuă și diferențiabilă la infinit. Mai mult, derivatele funcțiilor trigonometrice sunt funcții trigonometrice, iar atunci când sunt integrate, se obțin și funcții trigonometrice sau logaritmii acestora. Integralele combinațiilor raționale de funcții trigonometrice sunt întotdeauna funcții elementare.
Reprezentarea funcțiilor trigonometrice sub formă de serii de puteri și produse infinite.
Toate funcțiile trigonometrice pot fi extinse în serie de putere. În acest caz, funcțiile sin x bcos x sunt prezentate pe rânduri. convergent pentru toate valorile x:
Aceste serii pot fi folosite pentru a obține expresii aproximative pentru păcat x si cos x la valori mici x:
la | x| p/2;
la 0 x| p
(B n – numerele Bernoulli).
funcţiile păcatului x si cos x poate fi reprezentat sub formă de produse infinite:
Sistemul trigonometric 1, cos x,păcat x, cos 2 x, păcatul 2 x,¼,cos nx,păcat nx, ¼, forme pe segmentul [– p, p] un sistem ortogonal de funcții, care face posibilă reprezentarea funcțiilor sub formă de serii trigonometrice.
sunt definite ca continuări analitice ale funcțiilor trigonometrice corespunzătoare ale argumentului real în plan complex. Da, păcat z si cos z poate fi definit folosind seria pentru sin x si cos x, dacă în schimb x pune z:
Aceste serii converg pe întregul plan, deci păcat z si cos z- functii intregi.
Tangenta și cotangenta sunt determinate de formulele:
funcții tg z si ctg z– funcţii meromorfe. stâlpi tg z si sec z– simplu (de ordinul I) și situat la puncte z = p/2 + pn, stâlpi ctg zşi cosec z– de asemenea simplu și situat în puncte z = p n, n = 0, ±1, ±2,…
Toate formulele care sunt valabile pentru funcțiile trigonometrice ale unui argument real sunt valabile și pentru unul complex. În special,
păcat(- z) = –sin z,
cos(– z) = cos z,
tg(– z) = –tg z,
ctg(– z) = –ctg z,
aceste. se păstrează paritatea pară și impară. Formulele sunt de asemenea salvate
păcat( z + 2p) = păcat z, (z + 2p) = cos z, (z + p) = tg z, (z + p) = ctg z,
aceste. se păstrează și periodicitatea, iar perioadele sunt aceleași ca pentru funcțiile unui argument real.
Funcțiile trigonometrice pot fi exprimate în termenii unei funcții exponențiale a unui argument pur imaginar:
Spate, e iz exprimat în termeni de cos zși păcatul z dupa formula:
e iz=cos z + i păcat z
Aceste formule sunt numite formule ale lui Euler. Leonhard Euler le-a dezvoltat în 1743.
Funcțiile trigonometrice pot fi exprimate și în termeni de funcții hiperbolice:
z = –i sh iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.
unde sh, ch și th sunt sinus hiperbolic, cosinus și tangentă.
Funcții trigonometrice ale argumentului complex z = x + iy, Unde xŞi y– numerele reale, pot fi exprimate prin funcții trigonometrice și hiperbolice ale argumentelor reale, de exemplu:
păcat( x + iy) = păcat x cap y + i cos x sh y;
cos( x + iy) = cos x cap y + i păcat x sh y.
Sinusul și cosinusul unui argument complex pot lua valori reale mai mari decât 1 în valoare absolută. De exemplu:
Dacă un unghi necunoscut intră într-o ecuație ca argument al funcțiilor trigonometrice, atunci ecuația se numește trigonometrică. Astfel de ecuații sunt atât de comune încât metodele lor soluțiile sunt foarte detaliate și atent proiectate. CU Folosind diverse tehnici și formule, ecuațiile trigonometrice sunt reduse la ecuații de formă f(x)= a, Unde f– oricare dintre cele mai simple funcții trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă sau cotangentă. Apoi exprimă argumentul x această funcție prin valoarea ei cunoscută O.
Deoarece funcțiile trigonometrice sunt periodice, la fel O din gama de valori există infinit de valori ale argumentului, iar soluțiile ecuației nu pot fi scrise ca o singură funcție a O. Prin urmare, în domeniul de definire a fiecăreia dintre funcțiile trigonometrice principale, se selectează o secțiune în care își ia toate valorile, fiecare o singură dată, iar funcția inversă acesteia se găsește în această secțiune. Astfel de funcții sunt notate prin adăugarea prefixului arc (arc) la numele funcției originale și sunt numite trigonometric invers. funcții sau pur și simplu funcții arc.
Funcții trigonometrice inverse.
Pentru păcat X, cos X, tg X si ctg X poate fi determinat funcții inverse. Ele sunt notate în consecință prin arcsin X(citește „arcsine” x"), arcos x, arctan xși arcctg x. Prin definiție, arcsin X există un astfel de număr y, Ce
păcat la = X.
În mod similar pentru alte funcții trigonometrice inverse. Dar această definiție suferă de o oarecare inexactitate.
Dacă reflecti păcatul X, cos X, tg X si ctg X raportat la bisectoarea primului și celui de-al treilea cadran al planului de coordonate, atunci funcțiile, datorită periodicității lor, devin ambigue: unui număr infinit de unghiuri corespund aceluiași sinus (cosinus, tangentă, cotangentă).
Pentru a scăpa de ambiguitate, o secțiune a curbei cu o lățime de p, în acest caz este necesar să se mențină o corespondență unu-la-unu între argument și valoarea funcției. Sunt selectate zonele din apropierea originii coordonatelor. Pentru sine in Ca „interval unu-la-unu” luăm segmentul [– p/2, p/2], pe care sinusul crește monoton de la –1 la 1, pentru cosinus – segmentul, pentru tangentă și respectiv cotangentă, intervalele (– p/2, p/2) și (0, p). Fiecare curbă de pe interval este reflectată în raport cu bisectoarea și acum pot fi determinate funcții trigonometrice inverse. De exemplu, să fie dată valoarea argumentului x 0 , astfel încât 0 Ј x 0 Ј 1. Apoi valoarea funcției y 0 = arcsin x 0 va exista un singur sens la 0 , astfel încât - p/2 Ј la 0 Ј p/2 și x 0 = păcat y 0 .
Astfel, arcsinus este o funcție de arcsin O, definit pe intervalul [–1, 1] și egal pentru fiecare O la o asemenea valoare, - p/2 a p /2 care sin a = O. Este foarte convenabil să îl reprezentați folosind un cerc unitar (Fig. 15). Când | a| 1 pe un cerc sunt două puncte cu ordonată o, simetric față de axă u. Una dintre ele corespunde unghiului o= arcsin O, iar celălalt este colțul p - a. CU tinand cont de periodicitatea sinusului, rezolvand ecuatia sin x= O se scrie astfel:
x =(–1)n arcsin o + 2p n,
Unde n= 0, ±1, ±2,...
Alte ecuații trigonometrice simple pot fi rezolvate în același mod:
cos x = o, –1 =o= 1;
x =±arcos o + 2p n,
Unde n= 0, ±1, ±2,... (Fig. 16);
tg X = o;
x= arctan o + p n,
Unde n = 0, ±1, ±2,... (Fig. 17);
ctg X= O;
X= arcctg o + p n,
Unde n = 0, ±1, ±2,... (Fig. 18).
Proprietățile de bază ale funcțiilor trigonometrice inverse:
arcsin X(Fig. 19): domeniu de definiție – segment [–1, 1]; interval – [– p/2, p/2], funcție crescătoare monotonă;
arccos X(Fig. 20): domeniu de definiție – segment [–1, 1]; interval de valori – ; funcția monotonă descrescătoare;
arctg X(Fig. 21): domeniu de definiție – toate numerele reale; interval de valori – interval (– p/2, p/2); funcția crescândă monoton; Drept la= –p/2 și y = p /2 – asimptote orizontale;
arcctg X(Fig. 22): domeniu de definiție – toate numerele reale; interval de valori – interval (0, p); funcția monotonă în scădere; Drept y= 0 și y = p– asimptote orizontale.
Pentru oricine z = x + iy, Unde xŞi y sunt numere reale, inegalitățile sunt valabile
½| e\e y–e-y| ≤|sin z|≤½( e y +e-y),
½| e y–e-y| ≤|cos z|≤½( e y +e -y),
din care la y® Urmează formule asimptotice (uniform față de x)
|păcat z| » 1/2 e |y| ,
|cos z| » 1/2 e |y| .
Funcțiile trigonometrice au apărut pentru prima dată în legătură cu cercetările în astronomie și geometrie. Raporturile segmentelor dintr-un triunghi și dintr-un cerc, care sunt în esență funcții trigonometrice, se găsesc deja în secolul al III-lea. î.Hr e. în lucrările matematicienilor din Grecia Antică – Euclid, Arhimede, Apollonius din Perga și alții, totuși, aceste relații nu au fost un obiect de studiu independent, așa că nu au studiat funcțiile trigonometrice ca atare. Ele au fost considerate inițial ca segmente și în această formă au fost folosite de Aristarh (sfârșitul secolului al IV-lea - a doua jumătate a secolului al III-lea î.Hr.), Hiparh (secolul al II-lea î.Hr.), Menelau (secolul I d.Hr.) și Ptolemeu (secolul al II-lea d.Hr.). rezolvarea triunghiurilor sferice. Ptolemeu a alcătuit primul tabel de acorduri pentru unghiuri acute la fiecare 30" cu o precizie de 10 –6. Acesta a fost primul tabel de sinusuri. Ca raport, funcția sin a se găsește deja în Aryabhata (sfârșitul secolului al V-lea). Funcțiile tg a și ctg a se găsesc la al- Battani (a doua jumătate a secolului IX - începutul secolului al X-lea) și Abul-Vefa (secolul al X-lea), care folosește și sec a și cosec a Aryabhata știa deja formula (sin 2 a). + cos 2 a) = 1, precum și formule pentru sin și cos de jumătate de unghi, cu ajutorul cărora am construit tabele de sinusuri pentru unghiuri prin 3°45"; bazat pe valori cunoscute funcții trigonometrice pentru cele mai simple argumente. Bhaskara (secolul al XII-lea) a oferit o metodă de construire a tabelelor în termeni de 1 folosind formule de adunare. Formulele pentru transformarea sumei și diferențelor funcțiilor trigonometrice ale diferitelor argumente într-un produs au fost derivate de Regiomontanus (secolul al XV-lea) și J. Napier în legătură cu invenția acestuia din urmă a logaritmilor (1614). Regiomontan a dat un tabel cu valorile sinusului în 1". Extinderea funcţiilor trigonometrice în serii de puteri a fost obţinută de I. Newton (1669). În formă modernă teoria funcţiilor trigonometrice a fost introdusă de L. Euler (secolul al XVIII-lea). El deține definiția lor pentru argumente reale și complexe, simbolismul acceptat în prezent, stabilirea de legături cu functie exponentialași ortogonalitatea sistemului de sinusuri și cosinusuri.