Ecuații diferențiale pentru dinamica căderii. Legile mecanicii clasice
Fie Oxyz - sistem de coordonate inerțiale, M - punctul de mișcare al masei m, - rezultanta tuturor forțelor aplicate punctului, - accelerația punctului (Fig. 1). În orice moment în timp pentru un punct în mișcare, ecuația de bază a dinamicii este îndeplinită:
Amintind formula din cinematică
exprimând accelerația în termeni de vectorul rază a punctului, reprezentăm ecuația de bază a dinamicii sub următoarea formă:
Această egalitate, care exprimă ecuația de bază a dinamicii în formă diferențială, se numește ecuația diferențială vectorială a mișcării unui punct material.
O ecuație diferențială vectorială este echivalentă cu trei ecuații diferențiale scalare de același ordin. Ele se obțin dacă ecuația de bază a dinamicii este proiectată pe axele de coordonate și scrisă sub formă de coordonate:
Deoarece aceste egalități vor fi scrise astfel:
Egalitățile obținute se numesc ecuații diferențiale ale mișcării unui punct material într-un sistem de coordonate carteziene. În aceste ecuații, coordonatele curente ale unui punct sunt proiecții pe axele de coordonate ale forțelor rezultante aplicate punctului.
Dacă pentru a accelera folosiți formula
atunci ecuațiile diferențiale vectoriale și scalare ale mișcării unui punct se vor scrie sub formă de ecuații diferențiale de ordinul întâi: - ecuație diferențială vectorială; - ecuaţii diferenţiale scalare.
Ecuațiile diferențiale ale mișcării unui punct pot fi scrise nu numai în cartezian, ci și în orice alt sistem de coordonate.
Deci, proiectând ecuația de bază a dinamicii pe axele de coordonate naturale, obținem egalitățile:
unde sunt proiecțiile accelerației pe tangentă, normala principală și binormalul traiectoriei în poziția curentă a punctului; - proiecţia forţei rezultante pe aceleaşi axe. Reamintind formulele cinematice pentru proiecțiile accelerației pe axele naturale și înlocuindu-le în egalitățile scrise, obținem:
Acestea sunt ecuațiile diferențiale ale mișcării unui punct material în formă naturală. Aici este proiecția vitezei pe direcția tangentei, este raza de curbură a traiectoriei la poziția curentă a punctului. Multe probleme ale dinamicii unui punct pot fi rezolvate mai simplu dacă folosim ecuațiile diferențiale ale mișcării într-o formă naturală.
Luați în considerare exemple pentru elaborarea ecuațiilor diferențiale ale mișcării.
Exemplul 1. Un punct material cu o masă este aruncat în unghi față de orizont și se deplasează într-un mediu cu o rezistență proporțională cu viteza:, unde b este un coeficient de proporționalitate constant dat.
Înfățișăm un punct în mișcare la un moment arbitrar (actual) de timp t, aplicăm forțe care acționează - forța de rezistență R și greutatea punctului (Fig. 2). Selectăm axele de coordonate - luăm originea coordonatelor în poziția inițială a punctului, axa este îndreptată orizontal în direcția de mișcare, axa y este vertical în sus. Determinați proiecția rezultantei pe axele selectate (- unghiul de înclinare a vitezei față de orizont):
Înlocuind aceste valori în ecuațiile diferențiale de mișcare ale unui punct în formă generală, obținem ecuațiile diferențiale de mișcare corespunzătoare problemei noastre:
A treia ecuație este absentă, deoarece mișcarea are loc într-un plan.
Exemplul 2. Mișcarea unui pendul matematic în vid. Un pendul matematic este un punct material M suspendat de un fir (sau tijă) fără greutate, cu o lungime până la un punct fix O și care se deplasează sub acțiunea gravitației într-un plan vertical care trece prin punctul de suspensie (Fig. 3). În acest exemplu, se știe traiectoria punctului (este un cerc de rază centrat în punctul O), deci este indicat să folosiți ecuațiile diferențiale ale mișcării într-o formă naturală. Luăm punctul cel mai de jos al cercului ca origine a coordonatei arcului și alegem direcția de referință la dreapta. Înfățișăm axele naturale - tangenta, principalul binormal normal este îndreptat către cititor. Proiecțiile pe aceste axe ale rezultantei forțelor aplicate - greutatea și reacția conexiunii sunt următoarele (este unghiul de înclinare al pendulului față de verticală).
Dinamica studiază mișcarea mecanică a corpurilor materiale sub acțiunea forțelor aplicate. Cel mai simplu obiect material este un punct material. Un corp absolut rigid poate fi privit ca un sistem neschimbabil de puncte materiale. Distanța dintre puncte rămâne constantă.
Forțele care acționează asupra corpurilor materiale pot fi constante sau variabile. Forța gravitației poate fi considerată constantă. Forțele variabile pot depinde de timp, de poziția corpului sau de viteza acestuia. În special, forța elastică 
depinde de poziția sarcinii, de forța de rezistență 
depinde de viteza (fig. 1). Forța de tracțiune a locomotivei electrice depinde de momentul în care reostatul este pornit treptat. Mai multe forțe diferite pot acționa asupra corpului în același timp. Deci, atunci când o navă spațială se întoarce pe Pământ, aceasta este acționată de către: gravitația constantă, o forță de rezistență care depinde de viteză și o forță gravitațională care depinde de poziția corpului. Legile adunării sau reducerii forțelor variabile sunt aceleași cu cele ale forțelor constante.
Mișcarea obiectelor materiale este considerată în raport cu un anumit cadru de referință. Cadrul de referință asociat cu pământul se numește inerțial. Într-un astfel de sistem, legea de bază a dinamicii este respectată:
,
(1.1)
unde m este masa punctului,
- accelerația punctuală.
Masa este o măsură a inerției. Nu depinde de natura forței aplicate punctului. Cu cât masa este mai mare, cu atât mai multă forță trebuie aplicată punctului pentru a-și schimba viteza.
Un punct material este liber dacă nu i se impun conexiuni. Mișcarea unui astfel de punct depinde de forțele active (specificate) și de condițiile inițiale care acționează asupra acestuia. Dacă unui punct sunt impuse conexiuni, atunci mișcarea acestuia depinde de forțele active și de reacțiile conexiunilor.
Multe probleme particulare de dinamică pot fi reduse la două probleme principale:
pentru o mișcare dată a unui punct sau a unui sistem material, determinarea forțelor care acționează asupra unui punct sau a unui sistem este o problemă directă de dinamică;
din forțele date care acționează asupra unui punct sau a unui sistem, pentru a determina legea mișcării acestui sistem este problema inversă.
2. Ecuații diferențiale ale mișcării unui punct material.
Pentru a rezolva problema corespunzătoare de dinamică, este necesar să se compună ecuații care să stabilească relația dintre masa unui punct în mișcare, accelerația acestuia și accelerațiile care acționează asupra acestuia. Ecuația diferențială a mișcării unui punct în formă vectorială are forma: 
(2.1)
Ecuația (2.1) poate fi proiectată pe axa sistemului de coordonate carteziene:
,
,
(2.2)
Dacă punctul se află de-a lungul unei traiectorii curbe, atunci pentru a rezolva problema corespunzătoare de dinamică, se folosesc ecuațiile diferențiale ale mișcării punctului în formă naturală (în proiecții pe axele de coordonate naturale):
,
.
(2.3)
Rezolvarea primei probleme de dinamică.
La rezolvarea primei probleme de dinamică se pot folosi ecuațiile diferențiale ale mișcării unui punct în forme vectoriale, de coordonate și naturale. Rezolvarea problemei trebuie efectuată în următoarea ordine:
1. a descrie un punct în momentul curent în timp;
2. arata fortele active (date) care actioneaza asupra punctului;
3. a elibera punctul de legaturi, inlocuind actiunea legaturilor cu reactii;
4. selectați un sistem de coordonate dacă nu este specificat în problemă;
5. întocmește ecuațiile diferențiale ale mișcării unui punct din sistemul de coordonate selectat;
6. conform ecuaţiilor de mişcare date, determinaţi proiecţia acceleraţiei pe axa de coordonate;
7. din ecuaţiile diferenţiale ale mişcării să se determine proiecţia forţei care acţionează asupra punctului.
SOLUȚIA PRIMEI PROBLEME DE DINAMICĂ PENTRU UN PUNCT DE MATERIAL LIBER
EXEMPLUL 1.
Un punct material de masă m se deplasează de-a lungul unui cerc cu raza R conform ecuației OM = S = Re 2 t (Fig. 2). Determinați valoarea forțelor rezultante aplicate punctului în funcție de timp.
SOLUŢIE.
1. Deoarece punctul se deplasează de-a lungul unei traiectorii curbe, folosim ecuațiile diferențiale ale mișcării punctului în proiecții pe axele naturale: tangenta 
si normal 
:
,
.
(1)
2. Să exprimăm din legea mișcării punctul de proiecție al accelerației pe axele naturale
;
;
(2)
Poza 1
.
(3)Înlocuiți (2) și (3) în (1), exprimă proiecțiile forței
pe axe naturale:
;
.
Forța care acționează asupra punctului, o exprimăm prin ea
proiecție naturală
SOLUȚIA PRIMEI PROBLEME PENTRU UN PUNCT MATERIAL NELIBER
EXEMPLUL 2.
Determinați presiunea unui autoturism cântărind P = 10000N, care se deplasează cu viteză constantă 
36 km/h peste un pod cu o rază de curbură 
20m, dacă mașina se află în centrul podului concav (Fig. 3, a) și convex (Fig. 3, b).
Poza 2
SOLUŢIE .
1. Aplicăm ecuația diferențială a mișcării unui punct din proiecție pe normala n:
,
(1)
Unde 
- suma proiecţiilor pe normala forţelor date şi reacţiilor legăturilor;
pentru schema a):
;
H;
pentru schema b):
;
N.
Vederi generale
Parametrii caracteristici ai mișcării fluidului sunt presiunea, viteza și accelerația, care depind de poziția unui punct material în spațiu. Există două tipuri de mișcare a fluidului: în stare staționară și instabilă. Mișcarea se numește stare staționară dacă parametrii mișcării fluidului într-un anumit punct din spațiu nu depind de timp. O mișcare care nu satisface această definiție se numește instabilă. Astfel, cu o mișcare constantă
mișcare instabilă
Un exemplu de mișcare în regim de echilibru este scurgerea lichidului dintr-o deschidere din peretele unui rezervor, care este menținută la un nivel constant prin completarea continuă a lichidului. Dacă vasul este golit prin deschidere fără completare, atunci presiunea, viteza și forma fluxului se schimbă în timp, iar mișcarea va fi instabilă. Mișcarea constantă este fluxul principal în inginerie.
Mișcarea se numește schimbare lină dacă nu există o separare a fluxului de pereții de ghidare cu formarea de zone de fluxuri vortex stagnante la punctele de separare.
În funcție de natura schimbării vitezei de-a lungul lungimii fluxului, mișcarea care variază ușor poate fi uniformă și neuniformă. Primul tip de mișcare corespunde cazului în care secțiunile deschise sunt aceleași pe toată lungimea fluxului, iar vitezele sunt constante ca mărime. În caz contrar, mișcarea lină va fi neuniformă. Un exemplu de mișcare uniformă este mișcarea cu viteză constantă într-un tub cilindric cu secțiune transversală constantă. Mișcarea neuniformă va avea loc într-o țeavă cu secțiune transversală variabilă cu dilatare slabă și cu o rază mare de curbură a fluxului. În funcție de presiunea pe suprafețele care limitează debitul fluidului, mișcarea poate fi fie sub presiune, fie fără presiune. Mișcarea presiunii este caracterizată prin prezența unui perete solid în orice secțiune vie și are loc de obicei într-o conductă închisă atunci când secțiunea transversală a acesteia este complet umplută, adică în absența unei suprafețe libere în flux. Fluxurile cu curgere liberă au o suprafață liberă adiacentă gazului. Mișcarea liberă are loc sub influența gravitației.
Când se studiază un lichid, se folosesc două metode analitice fundamental diferite: Lagrange și Euler cu mișcarea unui corp rigid, separând o particulă din el cu coordonatele inițiale date și trasând traiectoria acestuia.
Potrivit lui Lagrange, un flux de fluid este considerat ca un set de traiectorii descrise de particulele de fluid. Vectorul general al vitezei unei particule lichide, spre deosebire de viteza unui solid, constă în general din trei componente: împreună cu viteza de transfer și viteza relativă a unei particule lichide, rata de deformare este inerentă. Metoda lui Lagrange s-a dovedit a fi greoaie și nu este folosită pe scară largă.
Conform metodei lui Euler, se ia în considerare viteza unui fluid în puncte fixe din spațiu; în acest caz, viteza și presiunea fluidului sunt reprezentate în funcție de coordonatele spațiului și timpului, iar fluxul este reprezentat de câmpul vectorial al vitezelor aferente punctelor fixe arbitrare din spațiu. În domeniul vitezelor se pot construi linii de curent care, la un moment dat de timp, sunt tangente la vectorul viteză al fluidului în fiecare punct din spațiu. Ecuațiile de raționalizare sunt
unde proiecțiile vitezei pe axele de coordonate corespunzătoare sunt raportate la proiecțiile incrementului streamlinei. Astfel, conform lui Euler, curgerea în ansamblu la un moment dat în timp este reprezentată de câmpul vectorial al vitezelor aferente punctelor fixe din spațiu, ceea ce simplifică rezolvarea problemelor.
În cinematică și dinamică, se consideră un model cu jet al mișcării fluidului, în care fluxul este reprezentat ca fiind alcătuit din fluxuri elementare separate. În acest caz, un filtru elementar este reprezentat ca o parte a fluxului de fluid în interiorul tubului de flux format din linii de curent care trec printr-o secțiune transversală infinitezimală. Aria secțiunii transversale a tubului de flux perpendicular pe liniile de curgere se numește secțiunea vie a unui flux elementar.
Cu o mișcare constantă, fluxurile elementare nu își schimbă contururile în spațiu. Fluxurile de fluide sunt în general tridimensionale sau volumetrice. Fluxurile plane bidimensionale și fluxurile axiale unidimensionale sunt mai simple. În hidraulică, sunt luate în considerare în principal fluxurile unidimensionale.
Volumul de fluid care trece prin zona deschisă pe unitatea de timp se numește debit
Viteza fluidului într-un punct este raportul dintre debitul unui filtru elementar care trece printr-un punct dat și aria de curgere a scurgerii dS
Pentru un flux de fluid, vitezele particulelor pe suprafața liberă sunt diferite. În acest caz, viteza fluidului este mediată și toate problemele sunt rezolvate în raport cu viteza medie. Această regulă este una dintre cele de bază în hidraulică. Debitul prin secțiune
si viteza medie
Lungimea conturului secțiunii libere de-a lungul căreia fluxul intră în contact cu pereții canalului (țeavă) care îl delimitează se numește perimetrul umezit. În timpul mișcării sub presiune, perimetrul umezit este egal cu perimetrul complet al secțiunii cu curgere liberă, iar în timpul mișcării cu curgere liberă, perimetrul umezit este mai mic decât perimetrul geometric al secțiunii de canal, deoarece are o suprafață liberă care nu este în contact cu pereţii (Fig. 15).
Raportul dintre suprafața liberă și perimetrul umezit
numită raza hidraulică R.
De exemplu, într-o mișcare de presiune într-o țeavă rotundă, raza geometrică, perimetrul umezit și raza hidraulică. Valoarea este adesea denumită diametrul echivalent d eq.
Pentru un canal cu secțiune transversală dreptunghiulară cu o mișcare de presiune 
; .
Orez. 15.Elemente de curgere hidraulice 
Orez. 16. La derivarea ecuaţiei de continuitate a fluxului
În cazul deplasării nepresurizate
aici sunt dimensiunile secțiunii transversale a canalului (vezi Fig. 15). Ecuația de bază a cinematicii fluidelor, ecuația de non-discontinuitate, care decurge din condițiile de incompresibilitate, fluid și continuitate a mișcării, afirmă că în fiecare moment de timp debitul printr-o secțiune de curgere arbitrară este egal cu debitul prin orice altă secțiune vie a acestui flux
Reprezentând fluxul prin secțiune în formular
obţinem din ecuaţia de continuitate
din care rezultă că debitele sunt proporţionale cu suprafeţele secţiilor vii (fig. 16).
Ecuații diferențiale ale mișcării
Ecuațiile diferențiale ale mișcării unui fluid ideal pot fi obținute folosind ecuația repausului (2.3), dacă, conform începutului lui d'Alembert, în aceste ecuații sunt introduse forțe inerțiale, raportate la masa fluidului în mișcare. Viteza fluidului este o funcție de coordonate și timp; accelerația sa constă din trei componente, care sunt derivate ale proiecțiilor pe axele de coordonate,
Aceste ecuații se numesc ecuații Euler.
Tranziția la un fluid real în ecuația (3.7) necesită luarea în considerare a forțelor de frecare pe unitatea de masă a fluidului, ceea ce duce la ecuațiile Navier-Stokes. Datorită complexității lor, aceste ecuații sunt rar utilizate în hidraulica tehnică. Ecuația (3.7) va face posibilă obținerea uneia dintre ecuațiile fundamentale ale hidrodinamicii - ecuația Bernoulli.
ecuația lui Bernoulli
Ecuația lui Bernoulli este ecuația hidrodinamică de bază care stabilește relația dintre debitul mediu și presiunea hidrodinamică în mișcare constantă.
Luați în considerare un filtru elementar în mișcarea constantă a unui fluid ideal (Fig. 17). Să selectăm după două secțiuni, perpendiculare pe direcția vectorului viteză, un element cu o lungime și o zonă. Elementul selectat va fi sub influența gravitației
și forțele de presiune hidrodinamică
Având în vedere că, în cazul general, viteza elementului selectat, accelerația acestuia
Aplicând ecuația dinamicii în proiecție pe traiectoria mișcării sale la elementul selectat în greutate, obținem
Având în vedere că 
și că cu mișcare constantă și, de asemenea, presupunând că, obținem după integrarea diviziunii prin
Smochin. 17. La derivarea ecuației Bernoulli
Orez. 18. Schema tubului de viteza
Aceasta este ecuația lui Bernoulli. Trinomul acestei ecuații exprimă presiunea din secțiunea corespunzătoare și reprezintă energia mecanică specifică (pe unitate de greutate) transferată printr-un filtru elementar prin această secțiune.
Primul termen al ecuației exprimă energia potențială specifică a poziției unei particule lichide deasupra unui anumit plan de comparație sau capul său geometric (înălțimea), a doua energie specifică de presiune sau înălțimea piezometrică, iar termenul reprezintă cinetica specifică. energie sau viteză cap. Constanta H se numește înălțimea totală a debitului în secțiunea considerată. Suma primilor doi termeni ai ecuației se numește cap static
Membrii ecuației Bernoulli, deoarece reprezintă energia pe unitatea de greutate a unui lichid, au dimensiunea lungimii. Termenul este înălțimea geometrică a particulei deasupra planului de comparație, termenul este înălțimea piezometrică, termenul este înălțimea vitezei, care poate fi determinată folosind un tub de viteză (tub Pitot), care este un tub curbat de diametru mic ( Fig. 18), care este instalat în flux cu fundul deschis, cu capătul îndreptat spre curgerea lichidului, se scoate capătul superior, de asemenea deschis al tubului. Nivelul lichidului din tub este stabilit peste nivelul R al piezometrului cu valoarea înălțimii vitezei
În practica măsurătorilor tehnice, tubul Pitot servește ca dispozitiv pentru determinarea vitezei locale a fluidului. După măsurarea valorii, găsiți viteza în punctul considerat al secțiunii de curgere
Ecuația (3.8) poate fi obținută direct prin integrarea ecuațiilor lui Euler (3.7) sau după cum urmează. Să ne imaginăm că elementul de fluid pe care îl luăm în considerare este nemișcat. Apoi, pe baza ecuației hidrostatice (2.7), energia potențială a lichidului din secțiunile 1 și 2 va fi
Mișcarea unui lichid se caracterizează prin apariția energiei cinetice, care pentru o unitate de greutate va fi egală pentru secțiunile considerate și și. Energia totală a curentului unui filtru elementar va fi egală cu suma energiei potențiale și cinetice, prin urmare
Astfel, ecuația hidrostatică de bază este o consecință a ecuației lui Bernoulli.
În cazul unui lichid real, înălțimea totală din ecuația (3.8) pentru diferite fluxuri elementare din aceeași secțiune de curgere nu va fi aceeași, deoarece înălțimea vitezei în puncte diferite ale aceleiași secțiuni de curgere nu va fi aceeași. În plus, din cauza disipării de energie din cauza frecării, capul de la secțiunea transversală la secțiunea transversală va scădea.
Cu toate acestea, pentru secțiunile transversale de curgere luate în cazul în care mișcarea în secțiunile sale se schimbă fără probleme, pentru toate fluxurile elementare care trec prin secțiunea transversală, înălțimea statică va fi constantă.
Prin urmare, făcând media ecuațiilor Bernoulli pentru un scurgere elementară pe întregul flux și ținând cont de pierderea de sarcină datorată rezistenței la mișcare, obținem
unde este coeficientul de energie cinetică egal cu 1,13 pentru un flux turbulent și -2 pentru un flux laminar; - debitul mediu: - o scădere a energiei mecanice specifice a scurgerii în zona dintre secțiunile 1 și 2, care apare ca urmare a forțelor interne de frecare.
Rețineți că calcularea termenului suplimentar din ecuația Beruli este sarcina principală a ingineriei hidraulice.
O reprezentare grafică a ecuațiilor Bernoulli pentru mai multe secțiuni transversale ale unui flux de fluid real este prezentată în Fig. 19 
Smochin. 19. Diagrama ecuației lui Bernoulli
Linia A, care trece prin nivelurile piezometrelor care măsoară excesul de presiune în puncte, se numește linie piezometrică. Arată modificarea capului static măsurată din planul de comparație.
Legea de bază a mecanicii, așa cum este indicată, stabilește pentru un punct material o legătură între elementele cinematice (w - accelerație) și cinetice (-masă, F - forță) sub forma:
Este valabil pentru sistemele inerțiale, care sunt alese ca sisteme principale; prin urmare, accelerația care apare în el poate fi numită în mod rezonabil accelerația absolută a unui punct.
După cum sa indicat, forța care acționează asupra unui punct, în cazul general, depinde de timpul de poziție a punctului, care poate fi determinat de vectorul rază și de viteza punctului.
În ultima intrare, legea de bază a mecanicii este o ecuație diferențială de ordinul doi, care servește la determinarea ecuației de mișcare a unui punct în forma sa finală. Ecuația de mai sus se numește ecuația mișcării pentru un punct în formă diferențială și formă vectorială.
Ecuația diferențială a mișcării unui punct în proiecții pe coordonate carteziene
Integrarea unei ecuații diferențiale (vezi mai sus) în cazul general este o problemă dificilă și de obicei, pentru a o rezolva, se trece de la o ecuație vectorială la ecuații scalare. Deoarece forța care acționează asupra unui punct depinde de timpul de poziție a punctului sau de coordonatele acestuia și de viteza punctului sau de proiecția vitezei, atunci, notând proiecția vectorului forță pe un sistem de coordonate dreptunghiular, respectiv, ecuațiile diferențiale ale mișcării punctului în formă scalară vor avea forma:
Forma naturală a ecuațiilor diferențiale ale mișcării unui punct
În cazurile în care traiectoria unui punct este cunoscută dinainte, de exemplu, când se impune o constrângere asupra punctului care definește traiectoria acestuia, este convenabil să se utilizeze proiecția ecuației vectoriale a mișcării pe axele naturale îndreptate de-a lungul tangentei, normalul principal și binormalul traiectoriei. Proiecțiile forței, pe care le vom numi în consecință, vor depinde în acest caz de timpul t, de poziția punctului, care este determinată de arcul traiectoriei și de viteza punctului, sau Deoarece accelerația prin proiecțiile pe axele naturale se scrie sub forma:
atunci ecuațiile de mișcare în proiecție pe axele naturale au forma:
Aceste din urmă ecuații se numesc ecuații naturale ale mișcării. Din aceste ecuații rezultă că proiecția forței care acționează asupra punctului asupra binormalului este zero și proiecția forței pe normala principală se determină după integrarea primei ecuații. Într-adevăr, din prima ecuație se va determina în funcție de timpul t pentru un dat, apoi, substituind-o în a doua ecuație, aflăm că pentru o traiectorie dată este cunoscută raza de curbură a acesteia.
Ecuații diferențiale ale mișcării unui punct în coordonate curbilinii
Dacă poziția unui punct este dată de coordonatele sale curbilinie, atunci, proiectând ecuația vectorială de mișcare a punctului pe direcțiile tangentelor la liniile de coordonate, obținem ecuațiile de mișcare sub forma.
· Ecuațiile diferențiale ale mișcării unui punct leagă accelerația unui punct cu forțele care acționează asupra acestuia. De fapt, ecuațiile diferențiale sunt o înregistrare a legii de bază a dinamicii într-o formă diferențială explicită.
Pentru mișcarea absolută a unui punct (mișcare într-un cadru de referință inerțial), ecuația diferențială are forma:
.
Ecuație vectorială 
poate fi scris în proiecții pe axele unui sistem de coordonate inerțiale dreptunghiulare: 
Cu o traiectorie de mișcare cunoscută a unui punct, ecuația poate fi scrisă în proiecții pe axa sistemului natural de coordonate: 
Dat fiind,
unde este accelerația tangențială;
- accelerație normală,
ecuațiile vor lua forma: 
Teoreme generale de dinamică
· Teoremele generale de dinamică stabilesc relația dintre măsurile mișcării mecanice și interacțiunea mecanică. Concluziile teoremelor sunt rezultatul unei transformări identice a legii de bază a dinamicii.
· Teorema despre modificarea cantității de mișcare: modificarea cantității de mișcare a unui punct material (sistem mecanic) într-o perioadă finită de timp este egală cu suma impulsurilor forțelor externe pentru aceeași perioadă de timp 
- pentru un punct material; 
- pentru un sistem mecanic.
· Teorema schimbării energiei cinetice: modificarea energiei cinetice a unui punct (sistem mecanic) în timpul mișcării acestuia este egală cu suma muncii tuturor forțelor externe care acționează asupra acestei mișcări 
- pentru un punct material; 
- pentru un sistem mecanic.
Energia cinetică a unui sistem mecanic este determinată în conformitate cu, în timp ce pentru solide sunt derivate următoarele dependențe:
- cu mișcarea înainte a corpului; 
- cu miscare de rotatie a corpului; 
- cu miscare plan-paralela a corpului.
Momentul de inerție al cilindrului în jurul axei sale: 
.
Momentul de inerție al tijei în jurul axei z:
.
Momentul de inerție al unei plăci dreptunghiulare în raport cu axele NSși y: 
.
Momentul de inerție al mingii este determinat de formula: 
.
Lucru gravitațional:
,
Unde P- gravitatie;
h- schimbarea poziţiei corpului pe verticală.
Munca de forță în timpul mișcării de rotație a corpului
,
Unde M- moment de putere,
w este viteza unghiulară a corpului.
Trebuie avut în vedere că munca, ca scalar, poate fi pozitivă sau negativă. Lucrul va fi pozitiv dacă direcția de acțiune a forței coincide cu direcția de mișcare.
Principiul D'Alembert
Formularea principiului d'Alembert: dacă în orice moment se adaugă forțele de inerție la forțele care acționează asupra punctului, atunci sistemul de forțe rezultat va fi echilibrat:
.
Pentru un sistem mecanic: 
.
Exemple de rezolvare a problemelor
Rezolvare de exemple pe tema: „Statica corpului rigid”
Exemplul 1. Condiții de echilibru
Atârnată de un fir, la un unghi de patruzeci și cinci de grade față de un perete neted, o minge care cântărește zece Newtoni se află într-o stare de echilibru (Fig. A). Este necesar să se determine presiunea unei mingi omogene pe un perete neted și tensiunea firului.
Dat: P= 10 N; α
= 45 °
Găsi: N, T -?
Soluţie.
Aruncăm conexiunile și înlocuim efectul lor asupra mingii cu reacții.
Reacția zidului N direcționat perpendicular pe perete (din punctul de contact CU spre centrul mingii O), reacția firului T- de-a lungul firului din punct A până la punctul V.
Aceasta dezvăluie sistemul complet de forțe aplicate mingii în repaus.
Este un sistem de forțe care converg în centru O minge și constând din greutatea mingii R(forță activă), reacții ale peretelui Nși reacțiile firului T(orez. b).
Reacții Nși T necunoscută ca amploare. Pentru a le determina, trebuie să folosiți condițiile de echilibru (sub o formă sau alta - geometrice, analitice).
Cu metoda geometrică de rezolvare se construiește un poligon închis de forțe și se folosesc relațiile geometriei școlare (teorema sinusurilor, teorema cosinusurilor, teorema lui Pitagora etc.).
În acest caz, este un triunghi de putere închis (Fig. v), din care obținem: 
După înlocuirea valorilor numerice în formule, obținem:
.
Răspuns: .
Exemple de soluții