Soluție matriceală inversă. Găsirea matricei inverse: trei algoritmi și exemple

Acest subiect este unul dintre cele mai urâte printre studenți. Mai rău, probabil, sunt calificările.

Trucul este că însuși conceptul de element invers (și nu vorbesc doar despre matrice acum) ne trimite la operația de înmulțire. Chiar și în programa școlarăÎnmulțirea este considerată o operație complexă, iar înmulțirea matricelor este în general un subiect aparte, căruia am un paragraf întreg și o lecție video dedicată.

Astăzi nu vom intra în detaliile calculelor matriceale. Să ne amintim: cum sunt desemnate matricele, cum sunt înmulțite și ce rezultă din aceasta.

Recenzie: Înmulțirea matricelor

În primul rând, să cădem de acord asupra notării. O matrice $A$ de dimensiunea $\left[ m\times n \right]$ este pur și simplu un tabel de numere cu exact $m$ rânduri și $n$ coloane:

\=\underbrace(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrice) \right])_(n)\]

Pentru a evita amestecarea accidentală a rândurilor și coloanelor (credeți-mă, la un examen puteți confunda unul cu doi, darămite câteva rânduri), priviți imaginea:

Determinarea indicilor pentru celulele matriceale

Ce se întâmplă? Dacă plasezi sistem standard coordonatele $OXY$ în stânga colțul de susși direcționați axele astfel încât să acopere întreaga matrice, apoi fiecare celulă a acestei matrice poate fi asociată în mod unic cu coordonatele $\left(x;y\right)$ - acesta va fi numărul rândului și numărul coloanei.

De ce este plasat sistemul de coordonate în colțul din stânga sus? Da, pentru că de acolo începem să citim orice texte. Este foarte ușor de reținut.

De ce axa $x$ este îndreptată în jos și nu spre dreapta? Din nou, este simplu: luați un sistem de coordonate standard (axa $x$ merge la dreapta, axa $y$ merge în sus) și rotiți-l astfel încât să acopere matricea. Aceasta este o rotație de 90 de grade în sensul acelor de ceasornic - vedem rezultatul în imagine.

În general, ne-am dat seama cum să determinăm indicii elementelor matricei. Acum să ne uităm la înmulțire.

Definiţie. Matricele $A=\left[ m\times n \right]$ și $B=\left[ n\times k \right]$, când numărul de coloane din prima coincide cu numărul de rânduri din a doua, sunt numite consistente.

Exact în acea ordine. Se poate confunda și spune că matricele $A$ și $B$ formează o pereche ordonată $\left(A;B \right)$: dacă sunt consistente în această ordine, atunci nu este deloc necesar ca $B $ și $A$ acelea. perechea $\left(B;A \right)$ este de asemenea consistentă.

Numai matricele potrivite pot fi multiplicate.

Definiţie. Produsul matricelor potrivite $A=\left[ m\times n \right]$ și $B=\left[ n\times k \right]$ este noua matrice $C=\left[ m\times k \right ]$ , ale căror elemente $((c)_(ij))$ se calculează după formula:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Cu alte cuvinte: pentru a obține elementul $((c)_(ij))$ al matricei $C=A\cdot B$, trebuie să luați $i$-rândul primei matrice, $j$ -a coloană a celei de-a doua matrice, apoi înmulțiți în perechi elementele din acest rând și coloană. Adunați rezultatele.

Da, aceasta este o definiție atât de dură. Din aceasta decurg imediat mai multe fapte:

  1. Înmulțirea matriceală, în general, este necomutativă: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
  2. Totuși, înmulțirea este asociativă: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
  3. Și chiar distributiv: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
  4. Și încă o dată distributiv: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Distributivitatea înmulțirii a trebuit să fie descrisă separat pentru factorul de sumă din stânga și din dreapta tocmai din cauza necomutativității operației de înmulțire.

Dacă se dovedește că $A\cdot B=B\cdot A$, astfel de matrici se numesc comutative.

Printre toate matricele care sunt înmulțite cu ceva acolo, există unele speciale - cele care, atunci când sunt înmulțite cu orice matrice $A$, dau din nou $A$:

Definiţie. O matrice $E$ se numește identitate dacă $A\cdot E=A$ sau $E\cdot A=A$. În cazul unei matrice pătrate $A$ putem scrie:

Matricea de identitate este un invitat frecvent atunci când rezolvăm ecuațiile matriceale. Și, în general, un invitat frecvent în lumea matricelor :)

Și din cauza acestui $E$, cineva a venit cu toate prostiile care vor fi scrise în continuare.

Ce este o matrice inversă

Deoarece înmulțirea matricei este o operație foarte intensă de muncă (trebuie să înmulțiți o grămadă de rânduri și coloane), conceptul de matrice inversă se dovedește a nu fi cel mai banal. Și necesită niște explicații.

Definiție cheie

Ei bine, este timpul să cunoaștem adevărul.

Definiţie. O matrice $B$ se numește inversul unei matrice $A$ dacă

Matrice inversă este notat cu $((A)^(-1))$ (a nu se confunda cu gradul!), deci definiția poate fi rescrisă după cum urmează:

S-ar părea că totul este extrem de simplu și clar. Dar atunci când analizăm această definiție, apar imediat câteva întrebări:

  1. Există întotdeauna o matrice inversă? Și dacă nu întotdeauna, atunci cum să determinați: când există și când nu?
  2. Și cine a spus că există exact o astfel de matrice? Ce se întâmplă dacă pentru o matrice inițială $A$ există o mulțime întreagă de inverse?
  3. Cum arată toate aceste „reversuri”? Și cum, mai exact, ar trebui să le numărăm?

În ceea ce privește algoritmii de calcul, despre asta vom vorbi puțin mai târziu. Dar vom răspunde la întrebările rămase chiar acum. Să le formulăm sub forma unor enunţuri-leme separate.

Proprietăți de bază

Să începem cu cum ar trebui, în principiu, să arate matricea $A$ pentru ca $((A)^(-1))$ să existe pentru ea. Acum ne vom asigura că ambele matrice trebuie să fie pătrate și de aceeași dimensiune: $\left[ n\times n \right]$.

Lema 1. Dată o matrice $A$ și inversa ei $((A)^(-1))$. Atunci ambele aceste matrici sunt pătrate și de același ordin $n$.

Dovada. Este simplu. Fie matricea $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Deoarece produsul $A\cdot ((A)^(-1))=E$ există prin definiție, matricele $A$ și $((A)^(-1))$ sunt consistente în ordinea arătată:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( alinia)\]

Aceasta este o consecință directă a algoritmului de multiplicare a matricei: coeficienții $n$ și $a$ sunt „tranzit” și trebuie să fie egali.

În același timp, se definește și înmulțirea inversă: $((A)^(-1))\cdot A=E$, deci matricele $((A)^(-1))$ și $A$ sunt de asemenea, consecvent în ordinea specificată:

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( alinia)\]

Astfel, fără pierderea generalității, putem presupune că $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Totuși, conform definiției $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, prin urmare dimensiunile matricelor coincid strict:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

Deci, se dovedește că toate cele trei matrici - $A$, $((A)^(-1))$ și $E$ - sunt matrici pătrate de dimensiunea $\left[ n\times n \right]$. Lema este dovedită.

Ei bine, asta e deja bine. Vedem că numai matricele pătrate sunt inversabile. Acum să ne asigurăm că matricea inversă este întotdeauna aceeași.

Lema 2. Dată o matrice $A$ și inversa ei $((A)^(-1))$. Atunci această matrice inversă este singura.

Dovada. Să trecem prin contradicție: să fie matricea $A$ să aibă cel puțin două inverse - $B$ și $C$. Atunci, conform definiției, următoarele egalități sunt adevărate:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(align)\]

Din lema 1 concluzionăm că toate cele patru matrice - $A$, $B$, $C$ și $E$ - sunt pătrate de același ordin: $\left[ n\times n \right]$. Prin urmare, produsul este definit:

Deoarece înmulțirea matriceală este asociativă (dar nu comutativă!), putem scrie:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \end(align)\]

Am primit singurul opțiune posibilă: două instanțe ale matricei inverse sunt egale. Lema este dovedită.

Argumentele de mai sus repetă aproape textual demonstrația unicității elementului invers pentru toate numerele reale $b\ne 0$. Singura adăugare semnificativă este luarea în considerare a dimensiunii matricelor.

Cu toate acestea, încă nu știm nimic despre dacă fiecare matrice pătrată este inversabilă. Aici determinantul ne vine în ajutor - aceasta este o caracteristică cheie pentru toate matricele pătrate.

Lema 3. Dată o matrice $A$. Dacă matricea sa inversă $((A)^(-1))$ există, atunci determinantul matricei originale este diferit de zero:

\[\stanga| A\dreapta|\ne 0\]

Dovada. Știm deja că $A$ și $((A)^(-1))$ sunt matrici pătrate de dimensiune $\left[ n\times n \right]$. Prin urmare, pentru fiecare dintre ele putem calcula determinantul: $\left| A\dreapta|$ și $\stânga| ((A)^(-1)) \dreapta|$. Totuși, determinantul produsului egal cu produsul calificative:

\[\stanga| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \right|\Rightarrow \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \dreapta|\]

Dar conform definiției, $A\cdot ((A)^(-1))=E$, iar determinantul lui $E$ este întotdeauna egal cu 1, deci

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\dreapta|; \\ & \left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(align)\]

Produsul a două numere este egal cu unul numai dacă fiecare dintre aceste numere este diferit de zero:

\[\stanga| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \dreapta|\ne 0.\]

Deci, se dovedește că $\left| A \dreapta|\ne 0$. Lema este dovedită.

De fapt, această cerință este destul de logică. Acum vom analiza algoritmul de găsire a matricei inverse - și va deveni complet clar de ce, cu un determinant zero, nu poate exista în principiu nicio matrice inversă.

Dar mai întâi, să formulăm o definiție „auxiliară”:

Definiţie. O matrice singulară este o matrice pătrată de dimensiunea $\left[ n\times n \right]$ al cărei determinant este zero.

Astfel, putem pretinde că fiecare matrice inversabilă este nesingulară.

Cum se află inversul unei matrice

Acum vom lua în considerare un algoritm universal pentru găsirea matricilor inverse. În general, există doi algoritmi general acceptați și îl vom lua în considerare și pe al doilea astăzi.

Cea care va fi discutată acum este foarte eficientă pentru matrice de dimensiune $\left[ 2\times 2 \right]$ și - parțial - dimensiune $\left[ 3\times 3 \right]$. Dar pornind de la dimensiunea $\left[ 4\times 4 \right]$ este mai bine să nu-l folosești. De ce - acum vei înțelege totul singur.

Adunări algebrice

Pregătește-te. Acum va fi durere. Nu, nu-ți face griji: o asistentă frumoasă în fustă, ciorapi cu dantelă nu vor veni la tine și îți vor face o injecție în fese. Totul este mult mai prozaic: vin la tine adunări algebriceși Majestatea Sa „Matricea Uniunii”.

Să începem cu principalul. Să fie o matrice pătrată de mărimea $A=\left[ n\times n \right]$, ale cărei elemente se numesc $((a)_(ij))$. Apoi pentru fiecare astfel de element putem defini un complement algebric:

Definiţie. Complement algebric $((A)_(ij))$ la elementul $((a)_(ij))$ situat în $i$-lea rând și $j$-a coloană a matricei $A=\left[ n \times n \right]$ este o construcție a formei

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Unde $M_(ij)^(*)$ este determinantul matricei obținute din $A$ original prin ștergerea aceluiași $i$-lea rând și $j$-a coloană.

Din nou. Complementul algebric la un element de matrice cu coordonatele $\left(i;j \right)$ se notează $((A)_(ij))$ și se calculează conform schemei:

  1. În primul rând, ștergem $i$-rândul și $j$-a coloană din matricea originală. Obținem o nouă matrice pătrată și notăm determinantul ei $M_(ij)^(*)$.
  2. Apoi înmulțim acest determinant cu $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - la început această expresie poate părea uimitoare, dar, în esență, pur și simplu descoperim semnul din fața lui $M_(ij)^(*) $.
  3. Numărăm și obținem un anumit număr. Aceste. adunarea algebrică este tocmai un număr, și nu o matrice nouă etc.

Matricea $M_(ij)^(*)$ însăși este numită un minor suplimentar pentru elementul $((a)_(ij))$. Și în acest sens, definiția de mai sus a unui complement algebric este un caz special al unei definiții mai complexe - ceea ce ne-am uitat în lecția despre determinant.

Notă importantă. De fapt, în matematica „adulților”, adunările algebrice sunt definite după cum urmează:

  1. Luăm $k$ rânduri și $k$ coloane într-o matrice pătrată. La intersecția lor obținem o matrice de dimensiune $\left[ k\times k \right]$ - determinantul său se numește minor de ordin $k$ și se notează $((M)_(k))$.
  2. Apoi tăiem aceste $k$ rânduri și $k$ coloane „selectate”. Încă o dată obțineți o matrice pătrată - determinantul său se numește minor suplimentar și se notează $M_(k)^(*)$.
  3. Înmulțiți $M_(k)^(*)$ cu $((\left(-1 \right))^(t))$, unde $t$ este (atenție acum!) suma numerelor tuturor rândurilor selectate si coloane. Aceasta va fi adunarea algebrică.

Uită-te la al treilea pas: există de fapt o sumă de termeni de 2k$! Alt lucru este că pentru $k=1$ vom obține doar 2 termeni - aceștia vor fi aceiași $i+j$ - „coordonatele” elementului $((a)_(ij))$ pentru care suntem căutând un complement algebric.

Deci astăzi folosim o definiție ușor simplificată. Dar după cum vom vedea mai târziu, va fi mai mult decât suficient. Următorul lucru este mult mai important:

Definiţie. Matricea aliată $S$ cu matricea pătrată $A=\left[ n\times n \right]$ este o nouă matrice de dimensiune $\left[ n\times n \right]$, care se obține din $A$ prin înlocuirea $(( a)_(ij))$ cu adunări algebrice $((A)_(ij))$:

\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matrice) \right]\]

Primul gând care apare în momentul realizării acestei definiții este „cât va trebui să fie numărat!” Relaxează-te: va trebui să numeri, dar nu atât de mult.

Ei bine, toate acestea sunt foarte frumoase, dar de ce este necesar? Dar de ce.

Teorema principală

Să ne întoarcem puțin înapoi. Amintiți-vă, lema 3 a afirmat că o matrice inversabilă $A$ este întotdeauna nesingulară (adică determinantul său este diferit de zero: $\left| A \right|\ne 0$).

Deci, este și opusul adevărat: dacă matricea $A$ nu este singulară, atunci este întotdeauna inversabilă. Și există chiar și o schemă de căutare pentru $((A)^(-1))$. Verifică:

Teorema matricei inverse. Fie dată o matrice pătrată $A=\left[ n\times n \right]$, iar determinantul ei este diferit de zero: $\left| A \dreapta|\ne 0$. Atunci matricea inversă $((A)^(-1))$ există și se calculează prin formula:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

Și acum - totul este la fel, dar cu un scris de mână lizibil. Pentru a găsi matricea inversă, aveți nevoie de:

  1. Calculați determinantul $\left| A \right|$ și asigurați-vă că este diferit de zero.
  2. Construiți matricea de unire $S$, i.e. numărați 100500 de adunări algebrice $((A)_(ij))$ și plasați-le în locul $((a)_(ij))$.
  3. Transpuneți această matrice $S$ și apoi înmulțiți-o cu un număr $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

Asta e tot! S-a găsit matricea inversă $((A)^(-1))$. Să ne uităm la exemple:

\[\left[ \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right]\]

Soluţie. Să verificăm reversibilitatea. Să calculăm determinantul:

\[\stanga| A\dreapta|=\stânga| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Determinantul este diferit de zero. Aceasta înseamnă că matricea este inversabilă. Să creăm o matrice de unire:

Să calculăm adunările algebrice:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \right|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \right|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\right|=3. \\ \end(align)\]

Vă rugăm să rețineți: determinanții |2|, |5|, |1| și |3| sunt determinanți ai matricelor de dimensiune $\left[ 1\times 1 \right]$, și nu module. Aceste. dacă calificativele incluse numere negative, nu este nevoie să eliminați „minus”.

În total, matricea noastră de uniuni arată astfel:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (matrice)(*(35)(r)) 2 și -1 \\ -5 și 3 \\\end(matrice) \right]\]

Ei bine, asta-i tot. Problema este rezolvată.

Răspuns. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

Sarcină. Aflați matricea inversă:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]

Soluţie. Calculăm din nou determinantul:

\[\begin(align) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrix ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

Determinantul este diferit de zero - matricea este inversabilă. Dar acum va fi foarte greu: trebuie să numărăm până la 9 (nouă, nenorocitul!) adăugiri algebrice. Și fiecare dintre ele va conține determinantul $\left[ 2\times 2 \right]$. A zburat:

\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrix) \right|=2; \\ \end(matrice)\]

Pe scurt, matricea de unire va arăta astfel:

Prin urmare, matricea inversă va fi:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matrix) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 & 1 & -2 \\\end(matrice) \right]\]

Asta este. Iată răspunsul.

Răspuns. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$

După cum puteți vedea, la sfârșitul fiecărui exemplu am efectuat o verificare. În acest sens, o notă importantă:

Nu fi lene să verifici. Înmulțiți matricea originală cu matricea inversă găsită - ar trebui să obțineți $E$.

Efectuarea acestei verificări este mult mai ușoară și mai rapidă decât căutarea unei erori în calculele ulterioare atunci când, de exemplu, rezolvați o ecuație matriceală.

Mod alternativ

După cum am spus, teorema matricei inverse funcționează grozav pentru dimensiunile $\left[ 2\times 2 \right]$ și $\left[ 3\times 3 \right]$ (în acest ultim caz, nu este atât de „mare”" ), dar pentru matrici dimensiuni mariîncepe tristețea.

Dar nu vă faceți griji: există un algoritm alternativ cu care puteți găsi calm inversul chiar și pentru matricea $\left[ 10\times 10 \right]$. Dar, așa cum se întâmplă adesea, pentru a lua în considerare acest algoritm avem nevoie de o mică introducere teoretică.

Transformări elementare

Printre toate transformările de matrice posibile, există mai multe speciale - ele sunt numite elementare. Există exact trei astfel de transformări:

  1. Multiplicare. Puteți lua $i$-lea rând (coloană) și îl puteți înmulți cu orice număr $k\ne 0$;
  2. Plus. Adăugați la $i$--lea rând (coloană) orice alt $j$--lea rând (coloană), înmulțit cu orice număr $k\ne 0$ (puteți, desigur, să faceți $k=0$, dar ce este nu se va schimba nimic).
  3. Rearanjare. Luați rândurile $i$i și $j$-lea (coloane) și schimbați locurile.

De ce aceste transformări sunt numite elementare (pentru matrice mari nu arată atât de elementar) și de ce sunt doar trei dintre ele - aceste întrebări depășesc scopul lecției de astăzi. Prin urmare, nu vom intra în detalii.

Un alt lucru este important: trebuie să realizăm toate aceste perversiuni pe matricea adiacentă. Da, da: ai auzit bine. Acum va mai exista o definiție - ultima din lecția de astăzi.

Matrice adjunctă

Cu siguranță la școală ai rezolvat sisteme de ecuații folosind metoda adunării. Ei bine, scădeți altul dintr-o linie, înmulțiți o linie cu un număr - asta-i tot.

Deci: acum totul va fi la fel, dar într-un mod „adult”. Sunteţi gata?

Definiţie. Fie date o matrice $A=\left[ n\times n \right]$ și o matrice de identitate $E$ de aceeași dimensiune $n$. Apoi matricea adjunctă $\left[ A\left| E\ dreapta. \right]$ este o nouă matrice de dimensiune $\left[ n\time 2n \right]$ care arată astfel:

\[\left[ A\left| E\ dreapta. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(matrice) \right]\]

Pe scurt, luăm matricea $A$, iar în dreapta îi atribuim matricea de identitate $E$ mărimea potrivită, le separăm cu o linie verticală pentru frumusețe - aici o aveți pe cea atașată :)

Care-i gluma? Iată ce:

Teorema. Fie matricea $A$ să fie inversabilă. Considerăm matricea adjunctă $\left[ A\left| E\ dreapta. \dreapta]$. Dacă se utilizează conversii elementare de șiruri aduceți-l la forma $\left[ E\left| Luminos. \right]$, adică prin înmulțirea, scăderea și rearanjarea rândurilor pentru a obține din $A$ matricea $E$ din dreapta, apoi matricea $B$ obținută în stânga este inversul lui $A$:

\[\left[ A\left| E\ dreapta. \right]\la \left[ E\left| Luminos. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]

Este atât de simplu! Pe scurt, algoritmul pentru găsirea matricei inverse arată astfel:

  1. Scrieți matricea adjunctă $\left[ A\left| E\ dreapta. \dreapta]$;
  2. Efectuați conversii elementare de șiruri până când apare $E$ în loc de $A$;
  3. Desigur, ceva va apărea și în stânga - o anumită matrice $B$. Acesta va fi invers;
  4. PROFIT!:)

Desigur, acest lucru este mult mai ușor de spus decât de făcut. Deci, să ne uităm la câteva exemple: pentru dimensiunile $\left[ 3\times 3 \right]$ și $\left[ 4\times 4 \right]$.

Sarcină. Aflați matricea inversă:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]

Soluţie. Creăm matricea adjunctă:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 și 1 \\\end(matrice) \right]\]

Deoarece ultima coloană a matricei originale este umplută cu unele, scădeți primul rând din rest:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matrice)\to \\ & \to \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Nu mai există unități, cu excepția primei linii. Dar nu îl atingem, altfel unitățile proaspăt eliminate vor începe să se „înmulțească” în a treia coloană.

Dar putem scădea a doua linie de două ori din ultima - obținem una în colțul din stânga jos:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\begin(matrix) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matrice)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Acum putem scădea ultimul rând din primul și de două ori din al doilea - astfel vom „zero” prima coloană:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(matrice) \right]\begin(matrix) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrice)\to \\ & \ la \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Înmulțiți a doua linie cu −1, apoi scădeți-o de 6 ori din prima și adăugați 1 dată la ultima:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end(matrice)\la \\ & \la \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (matrice)\la \\ & \la \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Tot ce rămâne este să schimbați liniile 1 și 3:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(matrice) \right]\]

Gata! În dreapta este matricea inversă necesară.

Răspuns. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$

Sarcină. Aflați matricea inversă:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end(matrice) \dreapta]\]

Soluţie. Compunem din nou adjunctul:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\]

Să plângem puțin, să ne întristăm de cât de mult trebuie să numărăm acum... și să începem să numărăm. Mai întâi, să „eliminăm zero” prima coloană scăzând rândul 1 din rândurile 2 și 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Vedem prea multe „contra” în rândurile 2-4. Înmulțiți toate cele trei rânduri cu -1 și apoi ardeți a treia coloană scăzând rândul 3 din rest:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(matrice) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(matrice)\la \\ & \la \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (matrice) \right]\begin(matrix) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(matrice)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( rrrr|. rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Acum este momentul să „prăjim” ultima coloană a matricei originale: scădeți rândul 4 din rest:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Aruncare finală: „arzi” a doua coloană scăzând linia 2 din rândurile 1 și 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( matrice) \right]\begin(matrix) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(matrice)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Și din nou matricea de identitate este în stânga, ceea ce înseamnă că inversul este în dreapta :)

Răspuns. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matrice) \right]$

Ei bine, asta-i tot. Verificați singuri - sunt înnebunit.

Să fie dată o matrice pătrată. Trebuie să găsiți matricea inversă.

Prima cale. Teorema 4.1 a existenței și unicității unei matrici inverse indică una dintre modalitățile de a o găsi.

1. Calculați determinantul acestei matrice. Dacă, atunci matricea inversă nu există (matricea este singulară).

2. Construiți o matrice din complemente algebrice ale elementelor matricei.

3. Transpuneți matricea pentru a obține matricea adiacentă .

4. Aflați matricea inversă (4.1) împărțind toate elementele matricei adiacente la determinant

A doua cale. Pentru a găsi matricea inversă, puteți utiliza transformări elementare.

1. Construiți o matrice bloc prin alocarea unei matrice date a unei matrice de identitate de același ordin.

2. Folosind transformări elementare efectuate pe rândurile matricei, aduceți blocul său din stânga la forma sa cea mai simplă. În acest caz, matricea bloc este redusă la forma în care este o matrice pătrată obținută ca urmare a transformărilor din matricea de identitate.

3. Dacă , atunci blocul este egal cu inversul matricei, adică dacă, atunci matricea nu are inversă.

De fapt, cu ajutorul transformărilor elementare ale rândurilor matricei, este posibilă reducerea blocului său din stânga la o formă simplificată (vezi Fig. 1.5). În acest caz, matricea bloc este transformată în forma în care este o matrice elementară care satisface egalitatea. Dacă matricea este nedegenerată, atunci conform paragrafului 2 din Observațiile 3.3 forma sa simplificată coincide cu matricea de identitate. Apoi din egalitate rezultă că. Dacă matricea este singulară, atunci forma sa simplificată diferă de matricea de identitate, iar matricea nu are un invers.

11. Ecuații matriceale și soluția lor. Forma matriceală de înregistrare SLAE. Metoda matriceală (metoda matricei inverse) pentru rezolvarea SLAE-urilor și condițiile de aplicabilitate a acesteia.

Ecuațiile matriceale sunt ecuații de forma: A*X=C; X*A=C; A*X*B=C unde matricea A, B, C sunt cunoscute, matricea X este necunoscută, dacă matricele A și B nu sunt degenerate, atunci soluțiile matricelor originale se vor scrie în forma corespunzătoare: X = A - 1 * C; X=C*A-1; X=A -1 *C*B -1

Forma matriceală a sistemelor de scriere a ecuațiilor algebrice liniare. Cu fiecare SLAE pot fi asociate mai multe matrice; Mai mult decât atât, SLAE în sine poate fi scris sub forma unei ecuații matriceale. Pentru SLAE (1), luați în considerare următoarele matrici: Matricea A se numește

matricea sistemului . Elementele acestei matrice reprezintă coeficienții unui SLAE dat. Se numește matricea A˜

sistem de matrice extinsă . Se obține prin adăugarea la matricea sistemului a unei coloane care conține termeni liberi b1,b2,...,bm. De obicei, această coloană este separată de o linie verticală pentru claritate. Se numește matricea coloanei B matricea membrilor liberi.

, iar matricea coloanei X este

matricea necunoscutelor

Folosind notația introdusă mai sus, SLAE (1) se poate scrie sub forma unei ecuații matriceale: A⋅X=B.

Nota Matricele asociate sistemului pot fi scrise în diferite moduri: totul depinde de ordinea variabilelor și ecuațiilor SLAE luate în considerare. Dar, în orice caz, ordinea necunoscutelor în fiecare ecuație a unui SLAE dat trebuie să fie aceeași..

12. Metoda matricei este potrivită pentru rezolvarea SLAE-urilor în care numărul de ecuații coincide cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero. Dacă sistemul conține mai mult de trei ecuații, atunci găsirea matricei inverse necesită un efort de calcul semnificativ, prin urmare, în acest caz, este recomandabil să se folosească

O ecuație liniară se numește omogenă dacă termenul său liber este egal cu zero, iar neomogenă în caz contrar. Un sistem format din ecuații omogene se numește omogen și are forma generală:

13 .Conceptul de independență liniară și dependență de soluții parțiale ale unui SLAE omogen. Sistemul fundamental de soluții (FSD) și determinarea acestuia. Reprezentarea soluției generale a unui SLAE omogen prin FSR.

Sistem de funcții y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) se numește dependent liniar pe interval ( o , b ), dacă există o mulțime de coeficienți constanți nu egali cu zero în același timp, astfel încât combinația liniară a acestor funcții să fie identic egală cu zero pe ( o , b ): Pentru . Dacă egalitatea pentru este posibilă numai pentru , sistemul de funcții y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) se numește liniar independent pe interval ( o , b ). Cu alte cuvinte, funcțiile y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) dependent liniar pe interval ( o , b ), dacă există un egal cu zero pe ( o , b ) combinația lor liniară netrivială. Funcții y 1 (x ),y 2 (x ), …, y n (x ) liniar independent pe interval ( o , b ), dacă numai combinația lor liniară trivială este identic egală cu zero pe ( o , b ).

Sistem decizional fundamental (FSR) Un SLAE omogen stă la baza acestui sistem de coloane.

Numărul de elemente din FSR este egal cu numărul de necunoscute ale sistemului minus rangul matricei sistemului. Orice soluție a sistemului original este o combinație liniară de soluții ale FSR.

Teorema

Soluția generală a unui SLAE neomogen este egală cu suma unei soluții particulare a unui SLAE neomogen și soluția generală a SLAE omogen corespunzătoare.

1 . Dacă coloanele sunt soluții sistem omogen ecuații, atunci orice combinație liniară a acestora este, de asemenea, o soluție a unui sistem omogen.

Într-adevăr, din egalităţi rezultă că

aceste. o combinație liniară de soluții este o soluție la un sistem omogen.

2. Dacă rangul matricei unui sistem omogen este egal cu , atunci sistemul are soluții liniar independente.

Într-adevăr, folosind formulele (5.13) pentru soluția generală a unui sistem omogen, găsim soluții particulare, dând variabilelor libere următoarele: seturi standard de valori (de fiecare dată presupunând că una dintre variabilele libere este egală cu una, iar restul sunt egale cu zero):

care sunt liniar independente. De fapt, dacă creați o matrice din aceste coloane, atunci ultimele sale rânduri formează matricea de identitate. In consecinta, minorul situat in ultimele linii nu este egal cu zero (este egal cu unu), i.e. este de bază. Prin urmare, rangul matricei va fi egal. Aceasta înseamnă că toate coloanele acestei matrice sunt liniar independente (vezi Teorema 3.4).

Orice colecție de soluții liniar independente ale unui sistem omogen se numește sistem fundamental (set) de soluții .

14 Minor de ordinul al-lea, minor de bază, rangul matricei. Calcularea rangului unei matrice.

Ordinul k minor al unei matrice A este determinantul uneia dintre submatricele sale pătrate de ordinul k.

Într-o matrice A de dimensiuni m x n, un minor de ordinul r se numește de bază dacă este diferit de zero, iar toate minorele de ordin superior, dacă există, sunt egale cu zero.

Coloanele și rândurile matricei A, la intersecția căreia există o bază minoră, sunt numite coloane și rânduri de bază ale lui A.

Teorema 1. (Despre rangul matricei). Pentru orice matrice, rangul minor este egal cu rangul rândului și egal cu rangul coloanei.

Teorema 2. (Pe baza minoră). Fiecare coloană a matricei este descompusă într-o combinație liniară a coloanelor sale de bază.

Rangul unei matrice (sau rang minor) este ordinea bazei minore sau, cu alte cuvinte, cea mai mare ordine pentru care există minori non-zero. Rangul unei matrice zero este considerat 0 prin definiție.

Să notăm două proprietăți evidente de rang minor.

1) Rangul unei matrice nu se modifică în timpul transpunerii, deoarece atunci când o matrice este transpusă, toate submatricele sale sunt transpuse, iar minorele nu se modifică.

2) Dacă A’ este o submatrice a matricei A, atunci rangul lui A’ nu depășește rangul lui A, deoarece un minor diferit de zero inclus în A’ este de asemenea inclus în A.

15. Conceptul de vector aritmetic -dimensional. Egalitatea vectorilor. Operații pe vectori (adunare, scădere, înmulțire cu un număr, înmulțire cu o matrice). Combinație liniară de vectori.

Colectare comandată n valabil sau numere complexe numit vector n-dimensional. Numerele sunt numite coordonate vectoriale.

Doi vectori (diferiți de zero). oŞi b sunt egale dacă sunt în mod egal direcționate și au același modul. Toți vectorii zero sunt considerați egali. În toate celelalte cazuri, vectorii nu sunt egali.

Adăugarea vectorului. Există două moduri de a adăuga vectori: 1. Regula paralelogramului. Pentru a adăuga vectorii și, plasăm originile ambilor în același punct. Construim până la un paralelogram și din același punct desenăm o diagonală a paralelogramului. Aceasta va fi suma vectorilor.

2. A doua metodă de adunare a vectorilor este regula triunghiului. Să luăm aceiași vectori și . Vom adăuga începutul celui de-al doilea la sfârșitul primului vector. Acum să conectăm începutul primului și sfârșitul celui de-al doilea. Aceasta este suma vectorilor și . Folosind aceeași regulă, puteți adăuga mai mulți vectori. Le aranjam unul după altul, apoi legăm începutul primului cu sfârșitul ultimului.

Scăderea vectorilor. Vectorul este îndreptat opus vectorului. Lungimile vectorilor sunt egale. Acum este clar ce este scăderea vectorială. Diferența dintre vectori și este suma vectorului și a vectorului.

Înmulțirea unui vector cu un număr

Înmulțirea unui vector cu un număr k produce un vector a cărui lungime este de k ori lungimea. Este codirecțional cu vectorul dacă k este mai mare decât zero și direcționat opus dacă k este mai mic decât zero.

Produsul scalar al vectorilor este produsul dintre lungimile vectorilor și cosinusul unghiului dintre ei. Dacă vectorii sunt perpendiculari, produsul lor scalar este zero. Și așa produs punctual se exprimă prin coordonatele vectorilor şi .

Combinație liniară de vectori

Combinație liniară de vectori numit vector

Unde - coeficienți de combinație liniară. Dacă o combinație se numește trivială dacă este non-trivială.

16 .Produsul scalar al vectorilor aritmetici. Lungimea și unghiul vectorului dintre vectori. Conceptul de ortogonalitate vectorială.

Produsul scalar al vectorilor a și b este numărul

Produsul scalar se calculează: 1) găsirea unghiului dintre ei; 2) determinarea lungimii vectorilor;

Lungimea segmentului AB se numește distanța dintre punctele A și B. Unghiul dintre vectorii A și B se numește unghi α = (a, b), 0≤ α ≤P. Prin care trebuie să rotiți 1 vector astfel încât direcția acestuia să coincidă cu un alt vector. Cu condiția ca originile lor să coincidă.

Un ortom a este un vector a având unitatea de lungime și direcția a.

17. Sistemul de vectori și combinația sa liniară. Concept dependență liniarăși independența sistemului vectorial. Teoremă privind condițiile necesare și suficiente pentru dependența liniară a unui sistem de vectori.

Un sistem de vectori a1,a2,...,an se numește liniar dependenți dacă există numere λ1,λ2,...,λn astfel încât cel puțin unul dintre ele este diferit de zero și λ1a1+λ2a2+...+λnan=0 . În caz contrar, sistemul se numește liniar independent.

Doi vectori a1 și a2 se numesc coliniari dacă direcțiile lor sunt aceleași sau opuse.

Trei vectori a1, a2 și a3 se numesc coplanari dacă sunt paraleli cu un plan.

Criterii geometrice pentru dependența liniară:

a) sistemul (a1,a2) este dependent liniar dacă și numai dacă vectorii a1 și a2 sunt coliniari.

b) sistemul (a1,a2,a3) este dependent liniar dacă și numai dacă vectorii a1,a2 și a3 sunt coplanari.

teorema. (Condiție necesară și suficientă pentru dependența liniară sisteme vectori.)

Sistem vectorial vector spaţiu este liniar dependent dacă și numai dacă unul dintre vectorii sistemului este exprimat liniar în termenii celorlalți vector acest sistem.

Corolarul 1. Un sistem de vectori într-un spațiu vectorial este liniar independent dacă și numai dacă niciunul dintre vectorii sistemului nu este exprimat liniar în termenii altor vectori ai acestui sistem.2. Un sistem de vectori care conține un vector zero sau doi vectori egali este dependent liniar.

În acest articol vom vorbi despre metoda matriceală pentru rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare, vom găsi definiția acestuia și vom oferi exemple de soluții.

Definiția 1

Metoda matricei inverse este o metodă folosită pentru rezolvarea SLAE-urilor dacă numărul de necunoscute este egal cu numărul de ecuații.

Exemplul 1

Găsiți o soluție pentru sistemul n ecuații liniare cu n necunoscute:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

Tip de înregistrare matrice : A × X = B

unde A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n este matricea sistemului.

X = x 1 x 2 ⋮ x n - coloana de necunoscute,

B = b 1 b 2 ⋮ b n - coloana de coeficienți liberi.

Din ecuația pe care am primit-o, este necesar să exprimăm X. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți ambele părți ale ecuației matriceale din stânga cu A - 1:

A - 1 × A × X = A - 1 × B.

Deoarece A - 1 × A = E, atunci E × X = A - 1 × B sau X = A - 1 × B.

Comentariu

Matricea inversă față de matricea A are dreptul de a exista numai dacă condiția d e t A nu este egală cu zero este îndeplinită. Prin urmare, la rezolvarea SLAE-urilor folosind metoda matricei inverse, în primul rând se găsește d e t A.

În cazul în care d e t A nu este egal cu zero, sistemul are o singură opțiune de soluție: utilizarea metodei matricei inverse. Dacă d e t A = 0, atunci sistemul nu poate fi rezolvat prin această metodă.

Un exemplu de rezolvare a unui sistem de ecuații liniare folosind metoda matricei inverse

Exemplul 2

Rezolvăm SLAE folosind metoda matricei inverse:

2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2

Cum se rezolvă?

  • Scriem sistemul sub forma unei ecuații matriceale A X = B, unde

A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X = x 1 x 2 x 3, B = 1 3 2.

  • Exprimăm X din această ecuație:
  • Aflați determinantul matricei A:

d e t A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25

d e t A nu este egal cu 0, prin urmare, metoda soluției cu matrice inversă este potrivită pentru acest sistem.

  • Găsim matricea inversă A - 1 folosind matricea aliată. Se calculează complementele algebrice A i j la elementele corespunzătoare ale matricei A:

A 11 = (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 = - 10 + 4 = - 6,

A 12 = (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 = - (5 - 12) = 7,

A 13 = (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 = - 1 + 6 = 5,

A 21 = (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 = - (- 20 + 3) = 17,

A 22 = (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 = 1,

A 23 = (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 = - (- 2 + 12) = - 10,

A 31 = (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 = - 16 + 6 = - 10,

A 32 = (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 = - (8 - 3) = - 5,

A 33 = (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 = - 4 + 4 = 0.

  • Notăm matricea aliată A *, care este compusă din complemente algebrice ale matricei A:

A * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

  • Scriem matricea inversă după formula:

A - 1 = 1 d e t A (A *) T: A - 1 = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 ,

  • Înmulțim matricea inversă A - 1 cu coloana de termeni liberi B și obținem o soluție a sistemului:

X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1

Răspuns : x 1 = - 1 ; x 2 = 0; x 3 = 1

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

De obicei, operațiile inverse sunt folosite pentru a simplifica expresii algebrice complexe. De exemplu, dacă problema implică operația de împărțire la o fracție, o puteți înlocui cu operația de înmulțire cu reciproca unei fracții, care este operația inversă. În plus, matricele nu pot fi împărțite, așa că trebuie să înmulțiți cu matricea inversă. Calcularea inversului unei matrice 3x3 este destul de obositoare, dar trebuie să o poți face manual. De asemenea, puteți găsi reciprocul folosind un calculator grafic bun.

Pași

Folosind matricea adjunctă

Transpuneți matricea originală. Transpunerea este înlocuirea rândurilor cu coloane în raport cu diagonala principală a matricei, adică trebuie să schimbați elementele (i,j) și (j,i). În acest caz, elementele diagonalei principale (începe în colțul din stânga sus și se termină în colțul din dreapta jos) nu se modifică.

  • Pentru a schimba rândurile în coloane, scrieți elementele primului rând în prima coloană, elementele celui de-al doilea rând în a doua coloană și elementele celui de-al treilea rând în a treia coloană. Ordinea schimbării poziției elementelor este prezentată în figură, în care elementele corespunzătoare sunt încercuite cu cercuri colorate.

  • Găsiți definiția fiecărei matrice 2x2. Fiecare element al oricărei matrice, inclusiv unul transpus, este asociat cu o matrice 2x2 corespunzătoare. Pentru a găsi o matrice 2x2 care corespunde unui anumit element, tăiați rândul și coloana în care se află elementul dat, adică trebuie să tăiați cinci elemente din matricea originală 3x3. Patru elemente vor rămâne neîncrucișate, care sunt elemente ale matricei 2x2 corespunzătoare.

    • De exemplu, pentru a găsi o matrice 2x2 pentru elementul care este situat la intersecția celui de-al doilea rând și prima coloană, tăiați cele cinci elemente care se află în al doilea rând și prima coloană. Cele patru elemente rămase sunt elemente ale matricei 2x2 corespunzătoare.
    • Aflați determinantul fiecărei matrice 2x2. Pentru a face acest lucru, scădeți produsul elementelor diagonalei secundare din produsul elementelor diagonalei principale (vezi figura).
    • Informații detaliate despre matrice 2x2 corespunzătoare elementelor specifice ale unei matrice 3x3 pot fi găsite pe Internet.

  • Creați o matrice de cofactori. Scrieți rezultatele obținute mai devreme sub forma unei noi matrice cofactoriale. Pentru a face acest lucru, scrieți determinantul găsit al fiecărei matrice 2x2 unde a fost localizat elementul corespunzător al matricei 3x3. De exemplu, dacă luați în considerare o matrice 2x2 pentru elementul (1,1), scrieți determinantul acestuia în poziția (1,1). Apoi schimbați semnele elementelor corespunzătoare conform unei anumite scheme, care este prezentată în figură.

    • Schema de schimbare a semnelor: semnul primului element al primei linii nu se modifică; semnul celui de-al doilea element al primei linii este inversat; semnul celui de-al treilea element al primei linii nu se schimbă și așa mai departe rând cu linie. Vă rugăm să rețineți că semnele „+” și „-” care sunt afișate în diagramă (vezi figura) nu indică faptul că elementul corespunzător va fi pozitiv sau negativ. În acest caz, semnul „+” indică faptul că semnul elementului nu se schimbă, iar semnul „-” indică o schimbare a semnului elementului.
    • Informații detaliate despre matricele de cofactori pot fi găsite pe Internet.
    • În acest fel veți găsi matricea adiacentă matricei originale. Uneori este numită o matrice conjugată complexă. O astfel de matrice este notată ca adj(M).

  • Împărțiți fiecare element al matricei adiacente la determinantul său. Determinantul matricei M a fost calculat de la bun început pentru a verifica existența matricei inverse. Acum împărțiți fiecare element al matricei adiacente la acest determinant. Scrieți rezultatul fiecărei operații de împărțire unde se află elementul corespunzător. În acest fel veți găsi matricea inversă față de cea originală.

    • Determinantul matricei care este prezentat în figură este 1. Astfel, aici matricea alăturată este matricea inversă (deoarece atunci când orice număr este împărțit la 1, acesta nu se schimbă).
    • În unele surse, operația de împărțire este înlocuită cu operația de înmulțire cu 1/det(M). Cu toate acestea, rezultatul final nu se schimbă.

  • Scrieți matricea inversă. Scrieți elementele situate în jumătatea dreaptă a matricei mari ca o matrice separată, care este matricea inversă.

    Folosind un calculator

      Alegeți un calculator care funcționează cu matrici. Nu este posibil să găsiți inversul unei matrice folosind calculatoare simple, dar se poate face cu un calculator grafic bun, cum ar fi Texas Instruments TI-83 sau TI-86.

      Introduceți matricea originală în memoria calculatorului. Pentru a face acest lucru, faceți clic pe butonul Matrice, dacă este disponibil. Pentru un calculator Texas Instruments, poate fi necesar să apăsați butoanele 2nd și Matrix.

      Selectați meniul Editare. Faceți acest lucru folosind butoanele săgeată sau butonul de funcție corespunzător situat în partea de sus a tastaturii calculatorului (locația butonului variază în funcție de modelul calculatorului).

      Introduceți notația matriceală. Majoritatea calculatoarelor grafice pot lucra cu 3-10 matrici, care pot fi desemnate literele A-J. De obicei, selectați [A] pentru a desemna matricea originală. Apoi apăsați butonul Enter.

      Introduceți dimensiunea matricei. Acest articol vorbește despre matrice 3x3. Dar calculatoarele grafice pot lucra cu matrici mari. Introduceți numărul de rânduri, apăsați Enter, apoi introduceți numărul de coloane și apăsați Enter din nou.

      Introduceți fiecare element de matrice. O matrice va fi afișată pe ecranul calculatorului. Dacă ați introdus anterior o matrice în calculator, aceasta va apărea pe ecran. Cursorul va evidenția primul element al matricei. Introduceți valoarea pentru primul element și apăsați Enter. Cursorul se va muta automat la următorul element de matrice.

    Pentru orice matrice nesingulară A există o matrice unică A -1 astfel încât

    A*A -1 =A -1 *A = E,

    unde E este matricea de identitate de aceleași ordine ca A. Matricea A -1 se numește inversul matricei A.

    În cazul în care cineva a uitat, în matricea de identitate, cu excepția diagonalei umplute cu unele, toate celelalte poziții sunt umplute cu zerouri, un exemplu de matrice de identitate:

    Găsirea matricei inverse folosind metoda matricei adiacente

    Matricea inversă este definită prin formula:

    unde A ij - elemente a ij.

    Aceste. Pentru a calcula matricea inversă, trebuie să calculați determinantul acestei matrice. Apoi găsiți complementele algebrice pentru toate elementele sale și compuneți o nouă matrice din ele. În continuare trebuie să transportați această matrice. Și împărțiți fiecare element al noii matrice la determinantul matricei originale.

    Să ne uităm la câteva exemple.

    Găsiți A -1 pentru o matrice

    Soluție Să găsim A -1 folosind metoda matricei adiacente. Avem det A = 2. Să găsim complementele algebrice ale elementelor matricei A. În acest caz, complementele algebrice ale elementelor matricei vor fi elementele corespunzătoare ale matricei însăși, luate cu semn conform formulei.

    Avem A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Formăm matricea adjunctă

    Transportăm matricea A*:

    Găsim matricea inversă folosind formula:

    Primim:

    Folosind metoda matricei adiacente, găsiți A -1 dacă

    Soluție În primul rând, calculăm definiția acestei matrice pentru a verifica existența matricei inverse. Avem

    Aici am adăugat elementelor celui de-al doilea rând elementele celui de-al treilea rând, înmulțite anterior cu (-1), apoi am extins determinantul pentru al doilea rând. Deoarece definiția acestei matrice este diferită de zero, atunci există matricea sa inversă. Pentru a construi matricea adjunctă, găsim complementele algebrice ale elementelor acestei matrice. Avem

    Conform formulei

    matricea de transport A*:

    Apoi conform formulei

    Găsirea matricei inverse folosind metoda transformărilor elementare

    Pe lângă metoda de găsire a matricei inverse, care decurge din formulă (metoda matricei adiacente), există o metodă de găsire a matricei inverse, numită metoda transformărilor elementare.

    Transformări matriceale elementare

    Următoarele transformări se numesc transformări matrice elementare:

    1) rearanjarea rândurilor (coloanelor);

    2) înmulțirea unui rând (coloană) cu un alt număr decât zero;

    3) adăugarea elementelor unui rând (coloană) a elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând (coloană), înmulțite anterior cu un anumit număr.

    Pentru a găsi matricea A -1, construim o matrice dreptunghiulară B = (A|E) de ordine (n; 2n), atribuind matricei A din dreapta matricea de identitate E printr-o linie de despărțire:

    Să ne uităm la un exemplu.

    Folosind metoda transformărilor elementare, găsiți A -1 dacă

    Soluție Formăm matricea B:

    Să notăm rândurile matricei B cu α 1, α 2, α 3. Să efectuăm următoarele transformări pe rândurile matricei B.