Există un semn minus în fața modulului. Ecuații cu modul

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o solicitare pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi auditarea, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizare neloială, precum și de acces neautorizat, dezvăluire, modificare și distrugere.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

MBOU Școala Gimnazială Nr. 17, Ivanovo

« Ecuații cu modul"
Dezvoltare metodologică

Compilat

profesor de matematică

Lebedeva N.V.

20010

Notă explicativă

Capitolul 1. Introducere

Secțiunea 2. Proprietăți de bază Secțiunea 3. Interpretarea geometrică a conceptului de modul al unui număr Secțiunea 4. Graficul funcției y = |x| Secțiunea 5. Convenții

Capitolul 2. Rezolvarea ecuaţiilor care conţin un modul

Secțiunea 1. Ecuații de forma |F(x)| = m (cel mai simplu) Secțiunea 2. Ecuații de forma F(|x|) = m Secțiunea 3. Ecuații de forma |F(x)| = G(x) Secțiunea 4. Ecuații de forma |F(x)| = ± F(x) (cel mai frumos) Secțiunea 5. Ecuații de forma |F(x)| = |G(x)| Secțiunea 6. Exemple de rezolvare a ecuațiilor nestandard Secțiunea 7. Ecuații de forma |F(x)| + |G(x)| = 0 Secțiunea 8. Ecuații de forma |a 1 x ± în 1 | ± |a 2 x ± în 2 | ± …|a n x ± în n | = m Secțiunea 9. Ecuații care conțin mai multe module

Capitolul 3. Exemple de rezolvare a diverselor ecuații cu modul.

Secțiunea 1. Ecuații trigonometrice Secțiunea 2. Ecuații exponențiale Secțiunea 3. Ecuații logaritmice Secțiunea 4. Ecuații iraționale Secțiunea 5. Sarcini avansate Răspunsuri la exerciții Referințe

Notă explicativă.

Conceptul de valoare absolută (modul) a unui număr real este una dintre caracteristicile sale esențiale. Acest concept este larg răspândit în diferite secțiuni ale științelor fizice, matematice și tehnice. În practica predării cursurilor de matematică în liceuîn conformitate cu Programul Ministerului Apărării al Federației Ruse, conceptul de „valoarea absolută a unui număr” apare în mod repetat: în clasa a VI-a, este introdusă definiția unui modul, sa sens geometric; în clasa a VIII-a se formează conceptul de eroare absolută, se consideră soluția celor mai simple ecuații și inegalități care conțin un modul, se studiază proprietățile aritmeticii rădăcină pătrată; în clasa a XI-a conceptul se regăsește la secțiunea „Rădăcină n- gradul." Experiența de predare arată că elevii întâmpină adesea dificultăți atunci când rezolvă sarcini care necesită cunoștințe a acestui material, și de multe ori îl omit fără să înceapă să îl implementeze. În texte sarcini de examen Sarcini similare sunt incluse și pentru cursurile de clasa a IX-a și a XI-a. În plus, cerințele pe care universitățile le pun absolvenților de școală diferă și anume mai mult nivel înalt decât cerințele programului școlar. Pentru viata in societatea modernă Este foarte important să dezvoltați un stil de gândire matematică, care se manifestă în anumite abilități mentale. În procesul de rezolvare a problemelor cu module, este necesară capacitatea de a utiliza tehnici precum generalizarea și specificarea, analiza, clasificarea și sistematizarea și analogia. Rezolvarea unor astfel de sarcini vă permite să vă testați cunoștințele despre secțiunile principale curs şcolar , nivel gândire logică , abilități inițiale de cercetare. Această lucrare este dedicată uneia dintre secțiuni - rezolvarea ecuațiilor care conțin un modul. Este format din trei capitole. Primul capitol prezintă conceptele de bază și cele mai importante considerații teoretice. Al doilea capitol propune nouă tipuri principale de ecuații care conțin un modul, discută metode de rezolvare a acestora și examinează exemple de diferite niveluri de complexitate. Al treilea capitol oferă ecuații mai complexe și non-standard (trigonometrice, exponențiale, logaritmice și iraționale). Pentru fiecare tip de ecuație există exerciții pentru decizie independentă(răspunsurile și instrucțiunile sunt atașate). Scopul principal al acestei lucrări este de a oferi asistență metodologică profesorilor în pregătirea lecțiilor și în organizarea cursurilor opționale. Materialul poate fi folosit și ca ajutor didactic

pentru elevii de liceu. Sarcinile oferite în lucrare sunt interesante și nu întotdeauna ușor de rezolvat, ceea ce vă permite să le faceți

motivația de învățare .

studenții să devină mai conștienți, să-și testeze abilitățile și să îmbunătățească nivelul de pregătire al absolvenților de școală pentru intrarea în universități. O selecție diferențiată a exercițiilor propuse presupune o tranziție de la nivelul reproductiv al stăpânirii materialului la cel creativ, precum și posibilitatea de a preda cum să-ți aplici cunoștințele atunci când rezolvi probleme non-standard. : Capitolul 1. Introducere. Secțiunea 1. Determinarea valorii absolute Definiţie Secțiunea 1. Determinarea valorii absolute Valoarea absolută (modulul) unui număr real O un număr nenegativ se numește: │ Secțiunea 1. Determinarea valorii absolute │ Intrarea sună după cum urmează: „modulul numărului a” sau „valoarea absolută a numărului a”

│ a, dacă a > 0

│a│ = │ 0, dacă a = 0 (1)

│ - și, dacă a
Exemple: 1) │2,5│ = 2,5 2) │-7│ = 7 3) │1 - √2│ = √2 – 1

Extindeți modulul de expresie:

a) │x - 8│, dacă x > 12 b) │2x + 3│, dacă x ≤ -2 │x – 8│= x – 8 │ 2x + 3│= - 2x – 3

Secțiunea 2. Proprietăți de bază.

Să luăm în considerare proprietățile de bază ale valorii absolute. Proprietatea #1: Numerele opuse au module egale, adică │а│=│- а│ Să arătăm că egalitatea este adevărată. Să notăm definiția numărului - A : │- a│= (2) Să comparăm seturile (1) și (2). Este evident că definiţiile valori absolute numere Secțiunea 1. Determinarea valorii absoluteŞi - A meci. Prin urmare, │а│=│- а│
Când luăm în considerare următoarele proprietăți, ne vom limita la formularea lor, deoarece demonstrația lor este dată în Proprietatea #2: Valoarea absolută a sumei unui număr finit de numere reale nu depășește suma valorilor absolute ale termenilor: │а 1 + а 2 +…+ а n │ ≤│а 1 │+│а 2 │ + … + │а n │ Proprietatea #3: Valoarea absolută a diferenței dintre două numere reale nu depășește suma valorilor lor absolute: │а - в│ ≤│а│+│в│ Proprietatea #4: Valoarea absolută a produsului unui număr finit de numere reale este egală cu produsul valorilor absolute ale factorilor: │а·в│=│а│·│в│ Proprietatea #5: Valoarea absolută a câtului numerelor reale este egală cu câtul valorilor lor absolute:

Secțiunea 3. Interpretarea geometrică a conceptului de modul al unui număr.

Fiecare număr real poate fi asociat cu un punct de pe dreapta numerică, care va fi o imagine geometrică a acestui număr real. Fiecare punct de pe dreapta numerică corespunde distanței sale de la origine, adică. lungimea segmentului de la origine la un punct dat. Această distanță este întotdeauna considerată o valoare nenegativă. Prin urmare, lungimea segmentului corespunzător va fi interpretarea geometrică a valorii absolute a unui număr real dat

Ilustrația geometrică prezentată confirmă în mod clar proprietatea nr. 1, adică. modulele numerelor opuse sunt egale. De aici se înțelege cu ușurință validitatea egalității: │х – а│= │а – x│. Soluția ecuației │х│= m, unde m ≥ 0, și anume x 1,2 = ± m, devine de asemenea mai evidentă. Exemple: 1) │х│= 4 x 1,2 = ± 4 2) │х - 3│= 1
x 1,2 = 2; 4

Secțiunea 4. Graficul funcției y = │х│

Domeniul acestei funcții este reprezentat de toate numerele reale.

Secțiunea 5. Convenții.

În viitor, atunci când se vor lua în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor, se vor folosi următoarele simboluri: ( - semnul sistemului [ - semnul totalității La rezolvarea unui sistem de ecuații (inegalități) se găsește intersecția soluțiilor ecuațiilor (inegalităților) incluse în sistem. La rezolvarea unei mulțimi de ecuații (inecuații) se găsește uniunea soluțiilor incluse în mulțimea de ecuații (inegalități).

Capitolul 2. Rezolvarea ecuaţiilor care conţin un modul.

În acest capitol ne vom uita la metodele algebrice de rezolvare a ecuațiilor care conțin unul sau mai multe module.

Secțiunea 1. Ecuații de forma │F (x)│= m

O ecuație de acest tip se numește cea mai simplă. Are o soluție dacă și numai dacă m ≥ 0. Prin definiția modulului, ecuația inițială este echivalentă cu o mulțime de două ecuații: │ F(x)│=m
Exemple:
№1. Rezolvați ecuația: │7х - 2│= 9


Raspuns: x 1 = - 1; X 2 = 1 4 / 7 №2
│x 2 + 3x + 1│= 1

x 2 + 3x + 2 = 0 x 2 +3x = 0 x 1 = -1; x 2 = -2 x (x + 3) = 0 x 1 = 0; x 2 = -3 Răspuns: suma rădăcinilor este - 2.№3
│x 4 -5x 2 + 2│= 2 x 4 – 5x 2 = 0 x 4 – 5x 2 + 4 = 0 x 2 (x 2 – 5) = 0 să notăm x 2 = m, m ≥ 0 x = 0 ; ±√5 m 2 – 5m + 4 = 0 m = 1; 4 – ambele valori satisfac condiția m ≥ 0 x 2 = 1 x 2 = 4 x = ± 1 x = ± 2 Răspuns: numărul de rădăcini ale ecuației 7. Exerciții:
№1. Rezolvați ecuația și indicați suma rădăcinilor: │х - 5│= 3 №2 . Rezolvați ecuația și indicați rădăcina mai mică: │x 2 + x│= 0 №3 . Rezolvați ecuația și indicați rădăcina mai mare: │x 2 – 5x + 4│= 4 №4 .Rezolvați ecuația și indicați întreaga rădăcină: │2x 2 – 7x + 6│= 1 №5 .Rezolvați ecuația și indicați numărul de rădăcini: │x 4 – 13x 2 + 50│= 14

Secțiunea 2. Ecuații de forma F(│х│) = m

Argumentul funcției din partea stângă se află sub semnul modulului, iar partea dreaptă este independentă de variabilă. Să luăm în considerare două moduri de a rezolva ecuații de acest tip. 1 cale: Prin definiția valorii absolute, ecuația originală este echivalentă cu combinația a două sisteme. În fiecare dintre care se impune o condiție unei expresii submodulare. F(│х│) =m
Deoarece funcția F(│x│) este pară în întregul domeniu de definiție, rădăcinile ecuațiilor F(x) = m și F(- x) = m sunt perechi de numere opuse. Prin urmare, este suficient să rezolvați unul dintre sisteme (când se iau în considerare exemple în acest fel, se va da soluția unui sistem). Metoda 2: Aplicarea metodei introducerii unei noi variabile. În acest caz, se introduce notația │x│= a, unde a ≥ 0. Această metodă mai puțin voluminos în design.
Exemple: №1 . Rezolvați ecuația: 3x 2 – 4│x│= - 1 Să folosim introducerea unei noi variabile. Să notăm │x│= a, unde a ≥ 0. Obținem ecuația 3a 2 - 4a + 1 = 0 D = 16 – 12 = 4 a 1 = 1 a 2 = 1 / 3 Revenirea la variabila inițială: │ x│=1 și │х│= 1/3. Fiecare ecuație are două rădăcini. Raspuns: x 1 = 1; X 2 = - 1; X 3 = 1 / 3 ; X 4 = - 1 / 3 . №2. Rezolvați ecuația: 5x 2 + 3│x│- 1 = 1 / 2 │x│ + 3x 2
Să găsim soluția primului sistem al populației: 4x 2 + 5x – 2 =0 D = 57 x 1 = -5+√57 / 8 x 2 = -5-√57 / 8 Rețineți că x 2 nu satisface condiția x ≥ 0. Rezolvarea celui de-al doilea sistem va fi numărul opus valorii x 1. Raspuns: x 1 = -5+√57 / 8 ; X 2 = 5-√57 / 8 .№3 . Rezolvați ecuația: x 4 – │х│= 0 Să notăm │х│= a, unde a ≥ 0. Obținem ecuația a 4 – a = 0 a · (a 3 – 1) = 0 a 1 = 0 a 2 = 1 Revenirea la variabila inițială: │х│=0 și │х│= 1 x = 0; ± 1 Raspuns: x 1 = 0; X 2 = 1; X 3 = - 1.
Exerciții: №6. Rezolvați ecuația: 2│х│ - 4,5 = 5 – 3 / 8 │х│ №7 . Rezolvați ecuația, indicați numărul de rădăcini din răspunsul dvs.: 3x 2 - 7│x│ + 2 = 0 №8 . Rezolvați ecuația, indicați soluții întregi în răspunsul dvs.: x 4 + │x│ - 2 = 0

Secțiunea 3. Ecuații de forma │F(x)│ = G(x)

Partea dreaptă a unei ecuații de acest tip depinde de o variabilă și, prin urmare, are o soluție dacă și numai dacă partea dreaptă este o funcție G(x) ≥ 0. Ecuația inițială poate fi rezolvată în două moduri : 1 cale: Standard, bazat pe dezvăluirea unui modul pe baza definiției acestuia și constă într-o tranziție echivalentă la o combinație de două sisteme. │ F(x)│ =G(X)

Această metodă poate fi utilizată rațional în cazul unei expresii complexe pentru funcția G(x) și a uneia mai puțin complexe pentru funcția F(x), întrucât se presupune că inegalitățile cu funcția F(x) vor fi rezolvate. Metoda 2: Constă în trecerea la un sistem echivalent în care se impune o condiție în partea dreaptă. │ F(x)│= G(x)

Această metodă este mai convenabilă de utilizat dacă expresia pentru funcția G(x) este mai puțin complexă decât pentru funcția F(x), deoarece se presupune că inegalitatea G(x) ≥ 0 este rezolvată în cazul mai multor module, această metodă este recomandată pentru a utiliza a doua opțiune. Exemple: №1. Rezolvați ecuația: │x + 2│= 6 -2x
(1 sens) Răspuns: x = 1 1 / 3 №2.
│х 2 – 2х - 1│= 2·(x + 1)
(2 sensuri) Răspuns: produsul rădăcinilor este 3.
№3. Rezolvați ecuația și indicați suma rădăcinilor din răspunsul dvs.:
│x - 6│= x 2 - 5x + 9

Răspuns: suma rădăcinilor este 4.
Exerciții: №9. │x + 4│= - 3x №10. Rezolvați ecuația, indicați numărul de soluții din răspunsul dvs.:│x 2 + x - 1│= 2x – 1 №11 . Rezolvați ecuația, indicați produsul rădăcinilor în răspunsul dvs.:│x + 3│= x 2 + x – 6

Secțiunea 4. Ecuații de forma │F(x)│= F(x) și │F(x)│= - F(x)

Ecuațiile de acest tip sunt uneori numite „cele mai frumoase”. Deoarece partea dreaptă a ecuațiilor depinde de variabilă, există soluții dacă și numai dacă partea dreaptă este nenegativă. Prin urmare, ecuațiile inițiale sunt echivalente cu inegalitățile:
│F(x)│= F(x) F(x) ≥ 0 și │F(x)│= - F(x) F(x) Exemple: №1 . Rezolvați ecuația, indicați rădăcina întreagă mai mică în răspunsul dvs.: │5x - 3│= 5x – 3 5x – 3 ≥ 0 5x ≥ 3 x ≥ 0,6 Răspuns: x = 1№2. Rezolvați ecuația, indicați lungimea intervalului din răspunsul dvs.: │х 2 - 9│= 9 – x 2 x 2 – 9 ≤ 0 (x – 3) (x + 3) ≤ 0 [- 3; 3] Răspuns: lungimea intervalului este 6.№3 . Rezolvați ecuația și indicați numărul de soluții întregi din răspunsul dvs.: │2 + x – x 2 │= 2 + x – x 2 2 + x – x 2 ≥ 0 x 2 – x – 2 ≤ 0 [- 1; 2] Răspuns: 4 soluții întregi.№4 . Rezolvați ecuația și indicați cea mai mare rădăcină din răspunsul dvs.:
│4 – x -
│= 4 – x –
x 2 – 5x + 5 = 0 D = 5 x 1.2 =
≈ 1,4

Răspuns: x = 3.

Exerciții: №12. Rezolvați ecuația, indicați întreaga rădăcină în răspunsul dvs.: │x 2 + 6x + 8│= x 2 + 6x + 8 №13. Rezolvați ecuația, indicați numărul de soluții întregi din răspunsul dvs.: │13x – x 2 - 36│+ x 2 – 13x + 36 = 0 №14. Rezolvați ecuația în răspunsul dvs., indicați un număr întreg care nu este rădăcina ecuației:

Secțiunea 5. Ecuații de forma │F(x)│= │G(x)│

Deoarece ambele părți ale ecuației sunt nenegative, soluția implică luarea în considerare a două cazuri: expresiile submodulare sunt egale sau opuse ca semn. Prin urmare, ecuația inițială este echivalentă cu combinația a două ecuații: │ F(x)│= │ G(x)│
Exemple: №1. Rezolvați ecuația, indicați întreaga rădăcină în răspunsul dvs.: │x + 3│=│2x - 1│
Răspuns: rădăcină întreagă x = 4.№2. Rezolvați ecuația: │ x – x 2 - 1│=│2x – 3 – x 2 │
Răspuns: x = 2.№3 . Rezolvați ecuația și indicați produsul rădăcinilor în răspunsul dvs.:




Ecuații rădăcină 4x 2 + 2x – 1 = 0 x 1,2 = - 1±√5 / 4 Răspuns: produsul rădăcinilor este – 0,25. Exerciții: №15 . Rezolvați ecuația și indicați întreaga soluție în răspunsul dvs.: │x 2 – 3x + 2│= │x 2 + 6x - 1│ №16. Rezolvați ecuația, indicați rădăcina mai mică din răspunsul dvs.:│5x - 3│=│7 - x│ №17 . Rezolvați ecuația și indicați suma rădăcinilor din răspunsul dvs.:

Secțiunea 6. Exemple de rezolvare a ecuațiilor nestandard

În această secțiune vom lua în considerare exemple de ecuații non-standard, la rezolvarea cărora este relevată valoarea absolută a expresiei prin definiție. Exemple:

№1. Rezolvați ecuația, indicați suma rădăcinilor din răspunsul dvs.: x · │x│- 5x – 6 = 0
Răspuns: suma rădăcinilor este 1 №2. . Rezolvați ecuația, indicați rădăcina mai mică din răspunsul dvs.: x 2 - 4x ·
- 5 = 0
Răspuns: rădăcină mai mică x = - 5. №3. Rezolvați ecuația:

Răspuns: x = -1. Exerciții: №18. Rezolvați ecuația și indicați suma rădăcinilor: x · │3x + 5│= 3x 2 + 4x + 3
№19. Rezolvați ecuația: x 2 – 3x =

№20. Rezolvați ecuația:

Secțiunea 7. Ecuații de forma │F(x)│+│G(x)│=0

Este ușor de observat că în partea stângă a ecuației de acest tip se află suma cantităților nenegative. Prin urmare, ecuația inițială are o soluție dacă și numai dacă ambii termeni sunt egali cu zero în același timp. Ecuația este echivalentă cu sistemul de ecuații: │ F(x)│+│ G(x)│=0
Exemple: №1 . Rezolvați ecuația:
Răspuns: x = 2. №2. Rezolvați ecuația: Răspuns: x = 1. Exerciții: №21. Rezolvați ecuația: №22 . Rezolvați ecuația și indicați suma rădăcinilor din răspunsul dvs.: №23 . Rezolvați ecuația și indicați numărul de soluții din răspunsul dvs.:

Secțiunea 8. Ecuații de forma │a 1 x + b 1 │±│a 2 x + b 2 │± ... │a n x +b n │= m

Pentru rezolvarea ecuațiilor de acest tip se folosește metoda intervalului. Dacă o rezolvăm prin extinderea secvențială a modulelor, obținem n seturi de sisteme, ceea ce este foarte greoi și incomod. Să luăm în considerare algoritmul metodei intervalului: 1). Găsiți valori variabile X, pentru care fiecare modul este egal cu zero (zerouri de expresii submodulare):
2). Marcați valorile găsite pe o linie numerică, care este împărțită în intervale (numărul de intervale este, respectiv, egal cu n+1 ) 3). Stabiliți cu ce semn se dezvăluie fiecare modul la fiecare dintre intervalele rezultate (la formularea unei soluții, puteți folosi o linie numerică, marcând semnele pe ea) 4). Ecuația inițială este echivalentă cu agregatul n+1 sisteme, în fiecare dintre care este indicată apartenența variabilei X unul dintre intervale. Exemple: №1 . Rezolvați ecuația și indicați cea mai mare rădăcină din răspunsul dvs.:
1). Să găsim zerourile expresiilor submodulare: x = 2; x = -3 2). Să marchem valorile găsite pe linia numerică și să stabilim cu ce semn este dezvăluit fiecare modul pe intervalele rezultate:
x – 2 x – 2 x – 2 - - + - 3 2 x 2x + 6 2x + 6 2x + 6 - + + 3)
- fără soluții Ecuația are două rădăcini. Răspuns: cea mai mare rădăcină x = 2. №2. Rezolvați ecuația și furnizați întreaga rădăcină în răspunsul dvs.:
1). Să găsim zerourile expresiilor submodulare: x = 1,5; x = - 1 2). Să marchem valorile găsite pe linia numerică și să stabilim cu ce semn este dezvăluit fiecare modul pe intervalele rezultate: x + 1 x + 1 x + 1 - + +
-1 1,5 x 2x – 3 2x – 3 2x – 3 - - +
3).
Ultimul sistem nu are soluții, prin urmare ecuația are două rădăcini. Când rezolvați ecuația, ar trebui să acordați atenție semnului „-” din fața celui de-al doilea modul. Răspuns: rădăcină întreagă x = 7. №3. Rezolvați ecuația, indicați suma rădăcinilor din răspunsul dvs.: 1). Să găsim zerourile expresiilor submodulare: x = 5; x = 1; x = - 2 2). Să marchem valorile găsite pe linia numerică și să stabilim cu ce semn este dezvăluit fiecare modul la intervalele rezultate: x – 5 x – 5 x – 5 x – 5 - - - +
-2 1 5 x x – 1 x – 1 x – 1 x – 1 - - + + x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 - + + +
3).
Ecuația are două rădăcini x = 0 și 2. Răspuns: suma rădăcinilor este 2. №4 . Rezolvați ecuația: 1). Să găsim zerourile expresiilor submodulare: x = 1; x = 2; x = 3. 2). Să stabilim cu ce semn se dezvăluie fiecare modul pe intervalele rezultate. 3).
Să combinăm soluțiile primelor trei sisteme. Raspuns: ; x = 5.
Exerciții: №24. Rezolvați ecuația:
№25. Rezolvați ecuația și indicați suma rădăcinilor din răspunsul dvs.: №26. Rezolvați ecuația și indicați rădăcina mai mică din răspunsul dvs.: №27. Rezolvați ecuația și indicați rădăcina mai mare în răspunsul dvs.:

Secțiunea 9. Ecuații care conțin mai multe module

Ecuațiile care conțin mai multe module presupun prezența valorilor absolute în expresiile submodulare. Principiul de bază pentru rezolvarea ecuațiilor de acest tip este dezvăluirea secvențială a modulelor, începând cu cea „externă”. În timpul soluționării se folosesc tehnicile discutate în secțiunile nr. 1, nr. 3.

Exemple: №1. Rezolvați ecuația:
Răspuns: x = 1; - 11. №2. Rezolvați ecuația:
Răspuns: x = 0; 4; - 4. №3. Rezolvați ecuația și indicați produsul rădăcinilor în răspunsul dvs.:
Răspuns: produsul rădăcinilor este – 8. №4. Rezolvați ecuația:
Să notăm ecuațiile populației (1) Şi (2) și luați în considerare soluția pentru fiecare dintre ele separat pentru ușurința proiectării. Deoarece ambele ecuații conțin mai mult de un modul, este mai convenabil să se efectueze o tranziție echivalentă la seturi de sisteme. (1)

(2)


Răspuns:
Exerciții: №36. Rezolvați ecuația, indicați suma rădăcinilor din răspunsul dvs.: 5 │3x-5│ = 25 x №37. Rezolvați ecuația, dacă există mai multe rădăcini, indicați suma rădăcinilor din răspunsul dvs.: │x + 2│ x – 3x – 10 = 1 №38. Rezolvați ecuația: 3 │2х -4│ = 9 │х│ №39. Rezolvați ecuația, în răspunsul dvs. indicați numărul de rădăcini pe: 2 │ sin x│ = √2 №40 . Rezolvați ecuația și indicați numărul de rădăcini din răspunsul dvs.:

Secțiunea 3. Ecuații logaritmice.

Înainte de a rezolva următoarele ecuații, este necesar să trecem în revistă proprietățile logaritmilor și ale funcției logaritmice. Exemple: №1. Rezolvați ecuația, indicați produsul rădăcinilor din răspunsul dvs.: log 2 (x+1) 2 + log 2 │x+1│ = 6 O.D.Z. x+1≠0 x≠ - 1

Cazul 1: dacă x ≥ - 1, atunci log 2 (x+1) 2 + log 2 (x+1) = 6 log 2 (x+1) 3 = log 2 2 6 (x+1) 3 = 2 6 x+1 = 4 x = 3 – satisface condiția x ≥ - 1 2 caz: dacă x log 2 (x+1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x+1) 2 + log 2 (-(x+1)) = 6 log 2 (-(x+1) 3) = log 2 2 6- (x+1) 3 = 2 6- (x+1) = 4 x = - 5 – satisface condiția x - 1
Răspuns: produsul rădăcinilor este – 15.
№2. Rezolvați ecuația, indicați suma rădăcinilor din răspunsul dvs.: lg
O.D.Z.

Răspuns: suma rădăcinilor este 0,5.
№3. Rezolvați ecuația: log 5
O.D.Z.

Răspuns: x = 9. №4. Rezolvați ecuația: │2 + log 0,2 x│+ 3 = │1 + log 5 x│ O.D.Z. x > 0 Să folosim formula pentru a trece la o altă bază. │2 - log 5 x│+ 3 = │1 + log 5 x│
│2 - log 5 x│- │1 + log 5 x│= - 3 Să ​​aflăm zerourile expresiilor submodulare: x = 25; x = Aceste numere împart aria valori acceptabileîn trei intervale, deci ecuația este echivalentă cu un set de trei sisteme.
Raspuns:)