Rezolvare exemple lim. Prima limită minunată

Tema 4.6 Calculul limitelor

Limita unei funcții nu depinde dacă este definită în punctul limită sau nu. Dar în practica calculării limitelor funcțiilor elementare, această circumstanță are o importanță semnificativă.

1. Dacă funcția este elementară și dacă valoarea limită a argumentului aparține domeniului său de definiție, atunci calcularea limitei funcției se reduce la o simplă înlocuire a valorii limită a argumentului, deoarece limita funcţiei elementare f (x) at x străduindu-se pentruO , care este inclusă în domeniul definiției, este egală cu valoarea parțială a funcției la x = O, adică lim f(x)=f( o) .

2. Dacă x tinde spre infinit sau argumentul tinde către un număr care nu aparține domeniului de definire a funcției, atunci în fiecare astfel de caz, găsirea limitei funcției necesită cercetări speciale.

Mai jos sunt cele mai simple limite bazate pe proprietățile limitelor care pot fi folosite ca formule:

Mai mult cazuri complexe determinarea limitei unei functii:

fiecare este considerat separat.

Această secțiune va sublinia principalele modalități de a dezvălui incertitudinile.

1. Cazul când x străduindu-se pentruO funcția f(x) reprezintă raportul a două mărimi infinitezimale

a) Mai întâi trebuie să vă asigurați că limita funcției nu poate fi găsită prin substituție directă și, cu modificarea indicată a argumentului, aceasta reprezintă raportul a două mărimi infinitezimale. Se fac transformări pentru a reduce fracția cu un factor care tinde spre 0. Conform definiției limitei unei funcții, argumentul x tinde spre valoarea sa limită, fără a coincide niciodată cu aceasta.

În general, dacă căutăm limita unei funcții la x străduindu-se pentruO , atunci trebuie să vă amintiți că x nu ia o valoare O, adică x nu este egal cu a.

b) Se aplică teorema lui Bezout. Dacă căutați limita unei fracții al cărei numărător și numitor sunt polinoame care dispar în punctul limită x = O, atunci conform teoremei de mai sus ambele polinoame sunt divizibile cu x- O.

c) Iraționalitatea la numărător sau numitor se distruge prin înmulțirea numărătorului sau numitorului cu conjugatul la expresia irațională, apoi după simplificare se reduce fracția.

d) Se utilizează prima limită remarcabilă (4.1).

e) Se utilizează teorema privind echivalența infinitezimalelor și următoarele principii:

2. Cazul când x străduindu-se pentruO funcția f(x) reprezintă raportul a două cantități infinit de mari

a) Împărțirea numărătorului și numitorului unei fracții la cel mai înalt grad necunoscut.

b) În general, puteți folosi regula

3. Cazul când x străduindu-se pentruO funcţia f (x) reprezintă produsul dintre o mărime infinitezimală şi una infinit mare

Fracția este transformată într-o formă al cărei numărător și numitor tind simultan spre 0 sau spre infinit, i.e. cazul 3 se reduce la cazul 1 sau cazul 2.

4. Cazul când x străduindu-se pentruO funcția f (x) reprezintă diferența a două cantități pozitive infinit de mari

Acest caz este redus la tipul 1 sau 2 în unul dintre următoarele moduri:

a) aducerea fracțiilor la un numitor comun;

b) transformarea unei funcţii într-o fracţie;

c) scăparea de iraţionalitate.

5. Cazul când x străduindu-se pentruO funcția f(x) reprezintă o putere a cărei bază tinde spre 1 și exponent spre infinit.

Funcția este transformată în așa fel încât să folosească a 2-a limită remarcabilă (4.2).

Exemplu. Găsi .

Deoarece x tinde spre 3, atunci numărătorul fracției tinde către numărul 3 2 +3 *3+4=22, iar numitorul tinde către numărul 3+8=11. Prin urmare,

Exemplu

Aici numărătorul și numitorul fracției sunt x tinde spre 2 tind la 0 (incertitudine de tip), factorizăm numărătorul și numitorul, obținem lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5)

Exemplu

Înmulțind numărătorul și numitorul cu expresia conjugată la numărător, avem

Deschizând parantezele în numărător, obținem

Exemplu

Nivelul 2. Exemplu. Să dăm un exemplu de aplicare a conceptului de limită a unei funcții în calculele economice. Să luăm în considerare o tranzacție financiară obișnuită: împrumutul unei sume S 0 cu condiţia ca după o perioadă de timp T suma va fi rambursată S T. Să stabilim valoarea r creștere relativă formula

r=(S T -S 0)/S 0 (1)

Creșterea relativă poate fi exprimată ca procent prin înmulțirea valorii rezultate r cu 100.

Din formula (1) este ușor de determinat valoarea S T:

S T= S 0 (1 + r)

La calcularea creditelor pe termen lung care acoperă mai multe ani plini, utilizați schema dobânzii compuse. Constă în faptul că dacă pentru anul 1 suma S 0 crește la (1 + r) ori, apoi pentru al doilea an în (1 + r) ori creșterea sumei S 1 = S 0 (1 + r), adică S 2 = S 0 (1 + r) 2 . Se dovedește la fel S 3 = S 0 (1 + r) 3 . Din exemplele de mai sus, putem deriva o formulă generală pentru calcularea creșterii sumei pentru n ani atunci când se calculează folosind schema dobânzii compuse:

S n= S 0 (1 + r) n.

În calculele financiare, se folosesc scheme în care dobânda compusă este calculată de mai multe ori pe an. În acest caz este stipulat rata anuală rŞi numărul de angajamente pe an k. De regulă, angajamentele se fac la intervale egale, adică pe lungimea fiecărui interval Tk face parte din an. Apoi pentru perioada în T ani (aici T nu neapărat un număr întreg). S T calculate prin formula

(2)

Unde - întreaga parte număr, care coincide cu numărul însuși, dacă, de exemplu, T? întreg.

Fie rata anuală r si este produs n angajamente pe an la intervale regulate. Apoi pentru anul suma S 0 este crescut la o valoare determinată de formulă

(3)

În analiză teoretică și practică activitati financiare Conceptul de „dobândă acumulată în mod continuu” este adesea folosit. Pentru a trece la dobânda acumulată în mod continuu, trebuie să creșteți la nesfârșit în formulele (2) și respectiv (3), numerele kŞi n(adică a direcționa kŞi n la infinit) şi calculaţi până la ce limită vor tinde funcţiile S TŞi S 1. Să aplicăm această procedură la formula (3):

Rețineți că limita dintre paranteze coincide cu a doua limită remarcabilă. Rezultă că la un ritm anual r cu dobânda acumulată continuu, suma S 0 în 1 an crește la valoare S 1 *, care se determină din formulă

S 1 * = S 0 e r (4)

Lasă acum suma S 0 este oferit ca împrumut cu dobândă acumulată n o dată pe an la intervale regulate. Să notăm r e rata anuală la care la sfârşitul anului suma S 0 este mărit la valoarea S 1 * din formula (4). În acest caz vom spune că r e- Asta rata anuală a dobânzii n o dată pe an, echivalent cu dobânda anuală r cu acumulare continuă. Din formula (3) obținem

S* 1 =S 0 (1+r e /n) n

Echivalarea părților din dreapta ale ultimei formule și formulei (4), presupunând în cea din urmă T= 1, putem deriva relații între cantități rŞi r e:

Aceste formule sunt utilizate pe scară largă în calculele financiare.

Aplicație

Limite online pe site pentru elevi și școlari să consolideze pe deplin materialul pe care l-au acoperit. Cum să găsiți limita online folosind resursa noastră? Acest lucru este foarte ușor de făcut; trebuie doar să scrieți corect funcția originală cu variabila x, să selectați infinitul dorit din selector și să faceți clic pe butonul „Rezolvare”. În cazul în care limita unei funcții trebuie calculată la un punct x, atunci trebuie să indicați valoarea numerică a acestui punct. Veți primi un răspuns la soluționarea limitei în câteva secunde, cu alte cuvinte - instantaneu. Cu toate acestea, dacă furnizați date incorecte, serviciul vă va anunța automat despre eroare. Corectați funcția introdusă anterior și obțineți soluția corectă la limită. Pentru rezolvarea limitelor se folosesc toate tehnicile posibile, metoda lui L'Hopital este folosită în mod deosebit des, deoarece este universală și duce la un răspuns mai rapid decât alte metode de calcul a limitei unei funcții. Este interesant să ne uităm la exemple în care modulul este prezent. Apropo, conform regulilor resursei noastre, un modul este notat cu bara verticală clasică în matematică „|” sau Abs(f(x)) din absolutul latin. De multe ori rezolvarea limitei este necesară pentru a calcula suma succesiune de numere. După cum știe toată lumea, trebuie doar să exprimați corect suma parțială a secvenței studiate, iar apoi totul este mult mai simplu, datorită serviciului nostru gratuit de site-uri web, deoarece calcularea limitei sumei parțiale este suma finală a secvenței numerice. În general, teoria trecerii la limită este conceptul de bază al tuturor analiză matematică. Totul se bazează tocmai pe treceri la limite, adică rezolvarea limitelor stă la baza științei analizei matematice. În integrare se folosește și trecerea la limită, când integrala, conform teoriei, este reprezentată ca suma unui număr nelimitat de arii. Acolo unde există un număr nelimitat de ceva, adică tendința numărului de obiecte la infinit, atunci teoria tranzițiilor limită intră întotdeauna în vigoare și, în forma sa general acceptată, aceasta este o soluție la limitele familiare tuturor. Rezolvarea limitelor online pe site este un serviciu unic pentru primirea unui răspuns precis și instantaneu în timp real. Limita functiei (valoarea limita a functiei) in punct dat , limitativ pentru domeniul de definire al unei funcții, este valoarea la care tinde valoarea funcției luate în considerare pe măsură ce argumentul său tinde către un punct dat. Nu este neobișnuit, și chiar am spune foarte des, că studenții își pun problema rezolvării limitelor online atunci când studiază analiza matematică. Când vă întrebați despre rezolvarea unei limite online cu o soluție detaliată doar în cazuri speciale, devine clar că nu puteți face față unei probleme complexe fără a utiliza un calculator de limită. Rezolvarea limitelor cu serviciul nostru este o garanție de acuratețe și simplitate Limita unei funcții este o generalizare a conceptului de limită a unei secvențe: inițial, limita unei funcții într-un punct a fost înțeleasă ca limita unei secvențe de. elemente ale domeniului de valori ale unei funcții, compuse din imagini ale punctelor unei secvențe de elemente ale domeniului de definire a unei funcții care converg către un punct dat (limita la care se ia în considerare); dacă există o astfel de limită, atunci se spune că funcția converge către valoarea specificată; dacă o astfel de limită nu există, atunci se spune că funcția diverge. Rezolvarea limitelor online devine un răspuns ușor pentru utilizatori, cu condiția să știe cum să rezolve limitele online folosind site-ul web. Să rămânem concentrați și să nu lăsăm greșelile să ne provoace necazuri sub forma unor note nesatisfăcătoare. Ca orice solutie de limitare online, problema dumneavoastra va fi prezentata intr-o forma comoda si inteligibila, cu o solutie detaliata, cu respectarea tuturor regulilor si reglementarilor pentru obtinerea unei solutii. Cel mai adesea, definiția limitei unei funcții este formulată în limbajul cartierelor. Aici, limitele unei funcții sunt considerate numai în punctele care sunt limitative pentru domeniul de definire al funcției, adică în fiecare vecinătate a unui punct dat există puncte din domeniul de definire al acestei funcții. Acest lucru ne permite să vorbim despre tendința argumentului funcției la un punct dat. Dar punctul limită al domeniului definiției nu trebuie să aparțină domeniului definiției în sine, iar acest lucru se dovedește prin rezolvarea limitei: de exemplu, se poate considera limita unei funcții la capetele intervalului deschis pe care funcția este definită. În acest caz, limitele intervalului în sine nu sunt incluse în domeniul definiției. În acest sens, un sistem de vecinătăți perforate ale unui punct dat este un caz special al unei astfel de baze de mulțimi. Rezolvarea limitelor online cu o soluție detaliată se face în timp real și folosind formule într-o formă specificată în mod explicit. Puteți economisi timp și, cel mai important, bani, deoarece nu solicităm compensații pentru acest lucru. Dacă la un moment dat în domeniul definiției unei funcții există o limită și soluția acestei limite este egală cu valoarea funcției în acest punct, atunci funcția se dovedește a fi continuă într-un astfel de punct. Pe site-ul nostru, soluția pentru limite este disponibilă online douăzeci și patru de ore pe zi, în fiecare zi și în fiecare minut. Utilizarea calculatorului de limită este foarte importantă, iar principalul lucru este să-l folosiți de fiecare dată când aveți nevoie să vă testați cunoștințele. Elevii beneficiază în mod clar de toată această funcționalitate. Calcularea limitei folosind și aplicarea numai a teoriei nu va fi întotdeauna atât de simplă, așa cum spun studenții cu experiență ai departamentelor de matematică ale universităților din țară. Faptul rămâne un fapt dacă există un scop. De obicei, soluția găsită la limite nu este aplicabilă local pentru formularea problemei. Un elev se va bucura de îndată ce va descoperi un calculator de limită online pe Internet și disponibil gratuit, și nu numai pentru el, ci pentru toată lumea. Scopul ar trebui privit ca matematică, în înțelegerea sa generală. Dacă întrebați pe internet cum să găsiți limita online în detaliu, atunci masa de site-uri care apar ca urmare a solicitării nu va ajuta așa cum vom face noi. Diferența dintre părți se înmulțește cu echivalența incidentului. Limita legitimă inițială a unei funcții trebuie determinată de formularea însăși a problemei matematice. Hamilton avea dreptate, dar merită să luăm în considerare declarațiile contemporanilor săi. Calcularea limitelor online nu este deloc așa. sarcină dificilă, așa cum poate părea cuiva la prima vedere.. Pentru a nu sparge adevărul teoriilor de nezdruncinat. Revenind la situația inițială, este necesar să se calculeze limita rapid, eficient și într-o formă frumos formatată. Ar fi posibil să se facă altfel? Această abordare este evidentă și justificată. Calculatorul de limită a fost creat pentru a crește cunoștințele, pentru a îmbunătăți calitatea scrisului temelor și pentru a crește starea de spirit generală în rândul elevilor, așa că va fi potrivit pentru ei. Trebuie doar să gândești cât mai repede posibil și mintea va triumfa. A vorbi în mod explicit despre limitele termenilor de interpolare online este o activitate foarte sofisticată pentru profesioniștii din meseria lor. Prezim raportul sistemului de diferențe neplanificate în puncte din spațiu. Și din nou, problema se reduce la incertitudine, pe baza faptului că limita funcției există la infinit și într-o anumită vecinătate a unui punct local pe o axa x dată după o transformare afină a expresiei inițiale. Va fi mai ușor să analizați ascensiunea punctelor din avion și din vârful spațiului. ÎN situatie generala nu se spun lucruri despre derivarea unei formule matematice, atât în ​​realitate, cât și în teorie, astfel încât calculatorul de limită online este folosit în scopul propus în acest sens. Fără a defini limita online, îmi este greu să efectuez calcule suplimentare în domeniul studierii spațiului curbiliniu. Nu ar fi mai ușor în ceea ce privește găsirea adevăratului răspuns corect. Este imposibil de calculat o limită dacă un anumit punct din spațiu este incert în prealabil? Să infirmăm existența răspunsurilor dincolo de aria de studiu. Soluția limitelor poate fi discutată din punct de vedere al analizei matematice ca început al studiului unei secvențe de puncte pe o axă. Simplul fapt al calculului poate fi inadecvat. Numerele sunt reprezentabile ca o succesiune infinită și sunt identificate prin notația inițială după ce am rezolvat limita online în detaliu conform teoriei. Justificată în favoarea cea mai bună valoare. Rezultatul limitei unei funcții, ca o eroare evidentă într-o problemă formulată incorect, poate distorsiona ideea realului proces mecanic sistem instabil. Abilitatea de a exprima sens direct în zona de vizionare. Prin asocierea unei limite online cu o notație similară a unei valori limită unilaterale, este mai bine să evitați exprimarea acesteia în mod explicit folosind formule de reducere. Pe lângă începerea executării proporționale a sarcinii. Vom extinde polinomul după ce putem calcula limita unilaterală și o vom scrie la infinit. Gândurile simple duc la un rezultat adevărat în analiza matematică. O simplă soluție a limitelor se reduce adesea la un grad diferit de egalitate a ilustrațiilor matematice opuse executate. Liniile și numerele Fibonacci au descifrat calculatorul de limită online, în funcție de aceasta, puteți comanda un calcul nelimitat și poate că complexitatea se va retrage în fundal. Procesul de desfășurare a graficului pe un plan într-o porțiune de spațiu tridimensional este în desfășurare. Acest lucru a insuflat nevoia de opinii diferite asupra unei probleme matematice complexe. Cu toate acestea, rezultatul nu va întârzia să apară. Cu toate acestea, procesul în curs de realizare a produsului ascendent distorsionează spațiul liniilor și notează limita online pentru a vă familiariza cu formularea problemei. Naturalitatea procesului de acumulare a problemelor determină nevoia de cunoaștere a tuturor domeniilor disciplinelor matematice. Un excelent calculator de limită va deveni un instrument indispensabil în mâinile studenților calificați, iar aceștia vor aprecia toate avantajele sale față de analogii progresului digital. În școli, din anumite motive, limitele online sunt numite altfel decât în ​​institute. Valoarea funcției va crește pe măsură ce argumentul se schimbă. L'Hopital a mai spus că găsirea limitei unei funcții este doar jumătate din luptă, pentru a aduce problema la concluzia ei logică și a prezenta răspunsul în formă extinsă. Realitatea este adecvată prezenței faptelor în cauză. Asociat istoric cu limita online aspecte importante disciplinele matematice și formează baza studiului teoriei numerelor. Codificarea paginii în formule matematice este disponibilă în limba clientului în browser. Cum se poate calcula limita folosind o metodă legală acceptabilă fără a forța funcția să se schimbe în direcția axei absciselor? În general, realitatea spațiului depinde nu numai de convexitatea unei funcții sau de concavitatea acesteia. Eliminați toate necunoscutele din problemă și rezolvarea limitelor va duce la cea mai mică cheltuială a resurselor dvs. matematice disponibile. Rezolvarea problemei enunțate va corecta funcționalitatea sută la sută. Ce se întâmplă așteptări matematice va dezvălui online în detaliu limita privind abaterea de la relația specială cea mai puțin semnificativă. Au trecut trei zile de la solutie matematicaîn favoarea științei. Aceasta este o activitate cu adevărat utilă. Fără un motiv, absența unei limite online va însemna o discrepanță în abordare generală pentru a rezolva probleme situaționale. Cel mai bun titlu o limită unilaterală cu incertitudinea 0/0 va fi necesară în viitor. O resursă poate fi nu numai frumoasă și bună, ci și utilă atunci când îți poate calcula limita. Marele om de știință, ca student, a cercetat funcții pentru scris munca stiintifica. Au trecut zece ani. Înainte diferite nuanțe Merită să comentem fără ambiguitate așteptarea matematică în favoarea faptului că limita funcției împrumută divergența principiilor. Pentru cele comandate munca de testare răspunse. În matematică, o poziție excepțională în predare este ocupată, destul de ciudat, de studiul limitelor online cu relații cu terți care se exclud reciproc. Așa cum se întâmplă în cazuri obișnuite. Nu trebuie să reproduci nimic. După ce am analizat abordările elevilor cu privire la teoriile matematice, vom lăsa soluția limitelor în faza finală. Acesta este sensul următoarelor, examinați textul. Refracția definește în mod unic expresia matematică ca esența informațiilor primite. limita online este esența determinării adevăratei poziții a sistemului matematic de relativitate a vectorilor multidirecționali. În acest sens, vreau să-mi exprim propria părere. Ca și în sarcina anterioară. Limita distinctivă online își extinde influența în detaliu la viziunea matematică a studiului secvenţial al analizei programelor în domeniul de studiu. În contextul teoriei, matematica este ceva mai presus decât știința. Loialitatea este demonstrată prin acțiuni. Rămâne imposibil să se întrerupă în mod deliberat lanțul de numere consecutive care își încep mișcarea în sus dacă limita este calculată incorect. Suprafața cu două fețe este exprimată în forma sa naturală în dimensiune completă. Abilitatea de a explora analiza matematică limitează limita unei funcții la o secvență de serii funcționale ca vecinătate epsilon la un punct dat. Spre deosebire de teoria funcțiilor, erorile de calcul nu sunt excluse, dar acest lucru este prevăzut de situație. Împărțirea după limită sarcini online se poate scrie o funcție de divergență variabilă pentru produsul rapid al unui sistem neliniar în spațiul tridimensional. Un caz banal stă la baza operațiunii. Nu trebuie să fii student pentru a analiza acest caz. Totalitatea momentelor de calcul în curs, inițial soluția limitelor este determinată ca funcționarea întregului sistem integral de progres de-a lungul axei ordonatelor pe valori multiple ale numerelor. Noi taxăm pentru valoare de bază cea mai mică valoare matematică posibilă. Concluzia este evidentă. Distanța dintre avioane va ajuta la extinderea teoretică limitele online, deoarece utilizarea metodei de calcul divergent al aspectului subpolar al semnificației nu are nici un sens inerent. Excelenta alegere, dacă calculatorul de limită se află pe server, acest lucru poate fi acceptat ca atare, fără a distorsiona semnificația modificării suprafeței în zone, altfel problema liniarității va deveni mai mare. O analiză matematică completă a relevat instabilitatea sistemului împreună cu descrierea acestuia în regiunea celei mai mici vecinătăți a punctului. Ca orice limită a unei funcții de-a lungul axei de intersecție a ordonatelor și a absciselor, se poate concluziona valori numerice obiecte într-o anumită vecinătate minimă în funcție de distribuția funcționalității procesului de cercetare. Să notăm sarcina punct cu punct. Există o împărțire în etape de scriere. Afirmațiile academice conform cărora calcularea limitei este cu adevărat dificilă sau deloc ușoară sunt susținute de o analiză a opiniilor matematice ale tuturor studenților de licență și absolvenți, fără excepție. Posibilele rezultate intermediare nu vor întârzia să apară pentru o lungă perioadă de timp. Limita de mai sus este studiată online în detaliu la minimul absolut al diferenței de sistem a obiectelor dincolo de care liniaritatea spațiului matematicii este distorsionată. Segmentarea zonei mai mare a zonei nu este utilizată de elevi pentru a calcula dezacordurile multiple după înregistrarea calculatorului de limită online pentru scăderi. După început, le vom interzice elevilor să revizuiască probleme pentru studierea mediului spațial la matematică. Deoarece am găsit deja limita funcției, să construim un grafic al studiului ei pe plan. Să evidențiem axele ordonate cu o culoare specială și să arătăm direcția liniilor. Există stabilitate. Incertitudinea este prezentă de mult timp în timpul scrierii răspunsului. Calculați limita unei funcții într-un punct pur și simplu analizând diferența dintre limitele la infinit în condițiile inițiale. Această metodă nu este cunoscută de fiecare utilizator. Avem nevoie de analiză matematică. Rezolvarea limitelor acumulează experiență în mintea generațiilor pentru mulți ani de acum înainte. Este imposibil să nu complici procesul. Elevii din toate generațiile sunt responsabili pentru încheierea acesteia. Toate cele de mai sus pot începe să se schimbe în absența unui argument de fixare pentru poziția funcțiilor în jurul unui anumit punct care rămâne în urma calculatoarelor limită în ceea ce privește diferența de putere de calcul. Să examinăm funcția pentru a obține răspunsul rezultat. Concluzia nu este evidentă. Excluzând din număr total funcții date implicit după transformarea expresiilor matematice, ultimul pas rămâne să găsim limitele online corect și cu mare precizie. Acceptabilitatea deciziei emise este supusă verificării. Procesul continuă. Localizarea secvenței izolat de funcții și, folosind enorma lor experiență, matematicienii trebuie să calculeze limita pentru a justifica direcția corectă în cercetare. Un astfel de rezultat nu are nevoie de un impuls teoretic. Schimbați proporția numerelor dintr-o anumită vecinătate a unui punct diferit de zero pe axa x către unghiul spațial de înclinare variabil al calculatorului de limită online în problema scrisă la matematică. Să conectăm două zone în spațiu. Dezacordul dintre rezolvatori cu privire la modul în care limita unei funcții dobândește proprietățile valorilor unilaterale în spațiu nu poate trece neobservat de performanțele supervizate intensificate ale elevilor. Direcția în matematică online limită a luat una dintre cele mai puțin contestate poziții în ceea ce privește incertitudinea în calculul acestor limite. Un calculator de limită online pentru înălțimea triunghiurilor isoscele și a cuburilor cu o latură de trei raze a unui cerc va ajuta un elev să învețe pe de rost într-un stadiu incipient al științei. Să lăsăm studenților să decidă limitele în studiul unui sistem matematic slăbit funcțional din partea planului cercetării. Viziunea elevului asupra teoriei numerelor este ambiguă. Fiecare are propria părere. Direcția corectă în studiul matematicii vă va ajuta să calculați limita în în adevăratul sens, așa cum se obișnuiește în universitățile din țările avansate. Cotangenta în matematică este calculată ca un calculator limită și este raportul dintre alte două elementare funcții trigonometrice, și anume cosinusul și sinusul argumentului. Aceasta este soluția pentru înjumătățirea segmentelor. O abordare diferită este puțin probabil să rezolve situația în favoarea momentului trecut. Putem vorbi mult timp despre modul în care este foarte dificil și inutil să rezolvi limita online în detaliu fără înțelegere, totuși, această abordare tinde să crească în bine disciplina internă a studenților.

Limita functiei- număr o va fi limita unei marimi variabile daca, in procesul schimbarii ei, aceasta marime variabila se apropie la nesfarsit o.

Sau cu alte cuvinte, numărul O este limita funcției y = f(x) la punct x 0, dacă pentru orice succesiune de puncte din domeniul de definire a funcției , nu este egală x 0, și care converge spre punct x 0 (lim x n = x0), succesiunea valorilor funcției corespunzătoare converge către număr O.

Graficul unei funcții a cărei limită, având în vedere un argument care tinde spre infinit, este egală cu L:

Sens O este limita (valoarea limită) a funcției f(x) la punct x 0în cazul oricărei succesiuni de puncte , care converge spre x 0, dar care nu conține x 0 ca unul dintre elementele sale (adică în vecinătatea perforată x 0), succesiune de valori ale funcției converge spre O.

Limita unei funcții Cauchy.

Sens O va fi limita functiei f(x) la punct x 0 dacă pentru orice număr nenegativ luat în avans ε se va găsi numărul nenegativ corespunzător δ = δ(ε) astfel încât pentru fiecare argument x, îndeplinind condiția 0 < | x - x0 | < δ , inegalitatea va fi satisfăcută | f(x)A |< ε .

Va fi foarte simplu dacă înțelegeți esența limitei și regulile de bază pentru găsirea acesteia. Care este limita funcției f (x) la x străduindu-se pentru o egală O, este scris astfel:

Mai mult, valoarea la care tinde variabila x, poate fi nu numai un număr, ci și infinit (∞), uneori +∞ sau -∞, sau poate să nu existe nicio limită.

Pentru a înțelege cum afla limitele unei functii, cel mai bine este să te uiți la exemple de soluții.

Este necesar să găsiți limitele funcției f (x) = 1/x la:

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

Să găsim o soluție la prima limită. Pentru a face acest lucru, puteți pur și simplu să înlocuiți x numărul la care tinde, adică 2, obținem:

Să găsim a doua limită a funcției. Aici înlocuiți în schimb 0 pur x este imposibil, pentru că Nu poți împărți la 0. Dar putem lua valori apropiate de zero, de exemplu, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 și așa mai departe și valoarea funcției f (x) va crește: 100; 1000; 10000; 100.000 și așa mai departe. Astfel, se poate înțelege că atunci când x→ 0 valoarea funcției care se află sub semnul limită va crește fără limită, i.e. străduiește-te spre infinit. Ceea ce înseamnă:

În ceea ce privește a treia limită. Aceeași situație ca și în cazul precedent, este imposibil de înlocuit ∞ în forma sa cea mai pură. Trebuie să luăm în considerare cazul creșterii nelimitate x. Inlocuim 1000 unul cate unul; 10000; 100000 și așa mai departe, avem că valoarea funcției f (x) = 1/x va scadea: 0,001; 0,0001; 0,00001; și așa mai departe, tinzând spre zero. De aceea:

Este necesar să se calculeze limita funcției

Începând să rezolvăm al doilea exemplu, vedem incertitudine. De aici găsim cel mai înalt grad al numărătorului și numitorului - acesta este x 3, îl scoatem din paranteze în numărător și numitor și apoi îl reducem cu:

Răspuns

Primul pas în găsirea acestei limite, înlocuiți valoarea 1 x, rezultând incertitudine. Pentru a o rezolva, să factorizăm numărătorul și să facem acest lucru folosind metoda de a găsi rădăcinile unei ecuații pătratice x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

Deci numărătorul va fi:

Răspuns

Aceasta este definiția valorii sale specifice sau a unei anumite zone în care se încadrează funcția, care este limitată de limită.

Pentru a rezolva limitele, urmați regulile:

După ce am înțeles esența și principalul reguli pentru rezolvarea limitei, vei primi concept de bază despre cum să le rezolvi.

Concepte de limite ale secvențelor și funcțiilor. Când este necesar să se găsească limita unei secvențe, se scrie astfel: lim xn=a. Într-o astfel de succesiune de secvențe, xn tinde spre a și n tinde spre infinit. Secvența este de obicei reprezentată ca o serie, de exemplu:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Secvențele sunt împărțite în crescătoare și descrescătoare. De exemplu:
xn=n^2 - succesiune crescătoare
yn=1/n - succesiune
Deci, de exemplu, limita șirului xn=1/n^ :
lim 1/n^2=0

x→∞
Această limită este egală cu zero, deoarece n→∞, iar succesiunea 1/n^2 tinde spre zero.

De obicei, o cantitate variabilă x tinde spre o limită finită a, iar x se apropie constant de a, iar mărimea a este constantă. Aceasta este scrisă după cum urmează: limx =a, în timp ce n poate tinde, de asemenea, fie spre zero, fie spre infinit. Există infinite funcții, pentru care limita tinde spre infinit. În alte cazuri, când, de exemplu, funcția încetinește un tren, este posibil ca limita să tinde spre zero.
Limitele au o serie de proprietăți. De obicei, orice funcție are o singură limită. Aceasta este proprietatea principală a limitei. Altele sunt enumerate mai jos:
* Limita sumei este egală cu suma limitelor:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Limita produsului este egală cu produsul limitelor:
lim(xy)=lim x*lim y
* Limita coeficientului este egală cu câtul limitelor:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Factorul constant este luat în afara semnului limită:
lim(Cx)=C lim x
Având în vedere o funcție 1 /x în care x →∞, limita sa este zero. Dacă x→0, limita unei astfel de funcții este ∞.
Pentru funcțiile trigonometrice există câteva dintre aceste reguli. Deoarece funcţia păcatului x tinde întotdeauna spre unitate când se apropie de zero, identitatea este valabilă pentru el:
lim sin x/x=1

Într-o serie de funcții există funcții, atunci când se calculează limitele cărora apare incertitudinea - o situație în care limita nu poate fi calculată. Singura cale de ieșire din această situație este L'Hopital. Există două tipuri de incertitudini:
* incertitudinea formei 0/0
* incertitudinea formei ∞/∞
De exemplu, având în vedere limita următorul tip: lim f(x)/l(x) și f(x0)=l(x0)=0. În acest caz, apare o incertitudine de forma 0/0. Pentru a rezolva o astfel de problemă se diferențiază ambele funcții, după care se găsește limita rezultatului. Pentru incertitudinile de tip 0/0, limita este:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (la x→0)
Aceeași regulă este valabilă și pentru incertitudinile de tip ∞/∞. Dar în acest caz următoarea egalitate este adevărată: f(x)=l(x)=∞
Folosind regula lui L'Hopital, puteți găsi valorile oricăror limite în care apar incertitudini. Condiție obligatorie la

volum - fără erori la găsirea derivatelor. Deci, de exemplu, derivata funcției (x^2)" este egală cu 2x. De aici putem concluziona că:
f"(x)=nx^(n-1)

Teoria limitelor- una dintre secțiunile analizei matematice pe care unii o pot stăpâni, în timp ce alții au dificultăți în calcularea limitelor. Întrebarea găsirii limitelor este destul de generală, deoarece există zeci de tehnici limite de soluție diverse tipuri. Aceleași limite pot fi găsite atât folosind regula lui L'Hopital, cât și fără ea. Se întâmplă ca programarea unei serii de funcții infinitezimale vă permite să obțineți rapid rezultatul dorit. Există un set de tehnici și trucuri care vă permit să găsiți limita unei funcții de orice complexitate. În acest articol vom încerca să înțelegem principalele tipuri de limite care sunt cel mai des întâlnite în practică. Nu vom da aici teoria și definiția limitei, există multe resurse pe Internet unde se discută acest lucru. Prin urmare, să trecem la calcule practice, de aici „Nu știu, nu pot!

Calcularea limitelor folosind metoda substituției

Exemplul 1. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Rezolvare: Exemple de acest fel pot fi calculate teoretic folosind substituția obișnuită

Limita este 18/11.
Nu este nimic complicat sau înțelept în legătură cu astfel de limite - am înlocuit valoarea, am calculat-o și am notat limita ca răspuns. Cu toate acestea, pe baza unor astfel de limite, toată lumea este învățată că în primul rând trebuie să înlocuiască valoarea în funcție. În plus, limitele devin mai complicate, introducând conceptul de infinit, incertitudine și altele asemenea.

O limită cu incertitudine ca infinitul împărțit la infinit. Metode pentru dezvăluirea incertitudinii

Exemplul 2. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=infinit).
Rezolvare: este dată o limită a formei polinom împărțită la un polinom, iar variabila tinde spre infinit

Pur și simplu înlocuirea valorii la care ar trebui găsită variabila pentru a găsi limitele nu va ajuta, obținem o incertitudine de forma infinit împărțită la infinit.
Conform teoriei limitelor, algoritmul de calcul al limitei este de a găsi cea mai mare putere a lui „x” în numărător sau numitor. În continuare, numărătorul și numitorul sunt simplificați la acesta și se găsește limita funcției

Deoarece valoarea tinde spre zero atunci când variabila se apropie de infinit, acestea sunt neglijate sau sunt scrise în expresia finală sub formă de zerouri

Imediat din practică, puteți obține două concluzii care sunt un indiciu în calcule. Dacă o variabilă tinde spre infinit și gradul numărătorului este mai mare decât gradul numitorului, atunci limita este egală cu infinitul. În caz contrar, dacă polinomul din numitor este de ordin mai mare decât în ​​numărător, limita este zero.
Limita poate fi scrisă în formule ca aceasta:

Dacă avem o funcție de forma unui câmp obișnuit fără fracții, atunci limita sa este egală cu infinitul

Următorul tip de limite se referă la comportamentul funcțiilor aproape de zero.

Exemplul 3. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Soluție: Nu este nevoie să eliminați aici factorul conducător al polinomului. Exact invers, trebuie să găsiți cea mai mică putere a numărătorului și numitorului și să calculați limita

Valoarea x^2; x tind spre zero atunci când variabila tinde spre zero. Prin urmare, ele sunt neglijate, deci obținem

că limita este 2,5.

Acum știi cum se găsește limita unei funcții din formă, împărțiți un polinom la un polinom dacă variabila tinde spre infinit sau 0. Dar aceasta este doar o mică și ușoară parte a exemplelor. Din următorul material vei invata cum să descoperiți incertitudinile în limitele unei funcții.

Limită cu incertitudine de tip 0/0 și metode de calcul a acesteia

Toată lumea își amintește imediat regula că nu poți împărți la zero. Totuși, teoria limitelor în acest context implică funcții infinitezimale.
Să ne uităm la câteva exemple pentru claritate.

Exemplul 4. Găsiți limita unei funcții
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Rezolvare: Când înlocuim valoarea variabilei x = -1 în numitor, obținem zero și obținem același lucru la numărător. Deci avem incertitudinea formei 0/0.
Abordarea unei astfel de incertitudini este simplă: trebuie să factorizați polinomul sau, mai degrabă, să selectați factorul care transformă funcția în zero.

După extindere, limita funcției poate fi scrisă ca

Aceasta este întreaga metodă de calcul a limitei unei funcții. Facem același lucru dacă există o limită a formei polinom împărțit la un polinom.

Exemplul 5. Găsiți limita unei funcții
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Soluție: Substituirea directă arată
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
ce avem incertitudine de tip 0/0.
Să împărțim polinoamele la factorul care introduce singularitatea


Există profesori care învață că polinoamele de ordinul 2, adică de tipul „ecuații pătratice”, trebuie rezolvate prin discriminant. Dar practica reală arată că acest lucru este mai lung și mai confuz, așa că scăpați de caracteristicile în limitele conform algoritmului specificat. Astfel, scriem funcția sub formă de factori simpli și o calculăm în limită

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în calcularea unor astfel de limite. Până când studiezi limitele, știi să împarți polinoamele, cel puțin conform programului pe care ar fi trebuit să-l fi trecut deja.
Printre sarcinile pe incertitudine de tip 0/0 Există unele în care trebuie să utilizați formule de înmulțire abreviate. Dar dacă nu le cunoașteți, atunci împărțind un polinom la un monom puteți obține formula dorită.

Exemplul 6. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Rezolvare: Avem o incertitudine de tip 0/0. La numărător folosim formula de înmulțire prescurtată

și calculați limita necesară

Metodă de dezvăluire a incertitudinii prin înmulțirea cu conjugatul său

Metoda se aplică la limitele în care incertitudinea este generată de funcțiile iraționale. Numătorul sau numitorul se transformă în zero în punctul de calcul și nu se știe cum să se găsească granița.

Exemplul 7. Găsiți limita unei funcții
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Soluţie: Să reprezentăm variabila în formula limită

La substituire, obținem o incertitudine de tip 0/0.
Conform teoriei limitelor, modalitatea de a ocoli această caracteristică este de a multiplica expresia irațională cu conjugatul ei. Pentru a vă asigura că expresia nu se schimbă, numitorul trebuie împărțit la aceeași valoare

Folosind regula diferenței de pătrate, simplificăm numărătorul și calculăm limita funcției

Simplificam termenii care creeaza singularitatea in limita si efectuam substitutia

Exemplul 8. Găsiți limita unei funcții
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
 Rezolvare: Substituția directă arată că limita are o singularitate de forma 0/0.

Pentru a extinde, înmulțim și împărțim la conjugatul numărătorului

Notăm diferența de pătrate

Simplificam termenii care introduc singularitatea si gasim limita functiei

Exemplul 9. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Soluție: Înlocuiți două în formulă

Primim incertitudine 0/0.
Numitorul trebuie înmulțit cu expresia conjugată, iar numărătorul trebuie rezolvat ecuație pătratică sau factorizați, ținând cont de singularitate. Deoarece se știe că 2 este o rădăcină, găsim a doua rădăcină folosind teorema lui Vieta

Astfel, scriem numeratorul sub forma

și înlocuiți-l în limită

Prin reducerea diferenței de pătrate, scăpăm de singularitățile din numărător și numitor

În acest fel, puteți scăpa de singularități în multe exemple, iar aplicația trebuie remarcată oriunde o anumită diferență de rădăcini se transformă în zero în timpul înlocuirii. Alte tipuri de limite se referă funcții exponențiale, funcții infinitezimale, logaritmi, limite speciale și alte tehnici. Dar puteți citi despre acest lucru în articolele enumerate mai jos despre limite.