Rezolvarea ecuațiilor de grade superioare prin diverse metode. Ecuaţii de grade superioare Metode de rezolvare a ecuaţiilor n

Considera soluții de ecuații cu o variabilă de grad mai mare decât a doua.

Gradul ecuației P (x) = 0 este gradul polinomului P (x), adică. cel mai mare dintre gradele termenilor săi cu un coeficient diferit de zero.

Deci, de exemplu, ecuația (x 3 - 1) 2 + x 5 = x 6 - 2 are gradul al cincilea, deoarece in urma operatiilor de deschidere a parantezelor si aducere a unora asemanatoare se obtine ecuatia echivalenta x 5 - 2x 3 + 3 = 0 de gradul al cincilea.

Să ne amintim regulile care vor fi necesare pentru a rezolva ecuații de grad mai mare de doi.

Afirmații despre rădăcinile unui polinom și divizorii acestuia:

1. Polinom gradul al n-lea are numărul de rădăcini de cel mult n, iar rădăcinile multiplicității m apar exact de m ori.

2. Un polinom de grad impar are cel puțin o rădăcină reală.

3. Dacă α este o rădăcină a lui P (x), atunci P n (x) = (x - α) Q n - 1 (x), unde Q n - 1 (x) este un polinom de grad (n - 1).

4.

5. Polinomul redus cu coeficienți întregi nu poate avea rădăcini raționale fracționale.

6. Pentru un polinom de gradul 3

P 3 (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d este posibil unul din două lucruri: fie se descompune într-un produs de trei binoame

Р 3 (x) = а (х - α) (х - β) (х - γ), sau se descompune în produsul dintre un binom și un trinom pătrat Р 3 (x) = а (х - α) (х 2 + βх + γ ).

7. Orice polinom de gradul al patrulea poate fi descompus în produsul a două trinoame pătrate.

8. Polinomul f (x) este divizibil cu polinomul g (x) fără rest dacă există un polinom q (x) astfel încât f (x) = g (x) q (x). Pentru împărțirea polinoamelor se aplică regula „diviziunii colțului”.

9. Pentru divizibilitatea polinomului P (x) în binomul (x - c), este necesar și suficient ca numărul c să fie rădăcină a lui P (x) (Corolarul teoremei lui Bezout).

10. Teorema lui Vieta: Dacă x 1, x 2, ..., x n sunt rădăcini reale ale polinomului

P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, atunci sunt valabile următoarele egalități:

x 1 + x 2 + ... + x n = -a 1 / a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n = a 2 / a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n = -a 3 / a 0,

x 1 x 2 x 3 x n = (-1) n a n / a 0.

Exemple de soluții

Exemplul 1.

Aflați restul împărțirii P (x) = x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 la (x - 1/3).

Soluţie.

Prin corolar teoremei lui Bezout: „Rămânul împărțirii unui polinom la un binom (x - c) este egal cu valoarea polinomului în c”. Să aflăm Р (1/3) = 0. Prin urmare, restul este 0 și numărul 1/3 este rădăcina polinomului.

Răspuns: R = 0.

Exemplul 2.

Împărțiți cu un colț 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 la (x + 2). Găsiți restul și coeficientul incomplet.

Soluţie:

2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 | x + 2

2х 3 + 4 x 2 2x 2 - x

X 2 - 2 x

Răspuns: R = 3; privat: 2x 2 - x.

Metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor grade superioare

1. Introducerea unei noi variabile

Metoda de introducere a unei noi variabile este deja familiară în exemplul lui bi ecuații pătratice... Constă în faptul că pentru a rezolva ecuația f (x) = 0 se introduce o nouă variabilă (substituție) t = xn sau t = g (x) și se exprimă f (x) în termeni de t, obținându-se o nouă variabilă. ecuația r (t). Apoi, rezolvând ecuația r (t), se găsesc rădăcinile:

(t 1, t 2, ..., t n). După aceea, se obține o mulțime de n ecuații q (x) = t 1, q (x) = t 2, ..., q (x) = t n, din care se găsesc rădăcinile ecuației inițiale.

Exemplul 1.

(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

Soluţie:

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x) - 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.

Înlocuire (x 2 + x + 1) = t.

t 2 - 3t + 2 = 0.

t 1 = 2, t 2 = 1. Înlocuire inversă:

x 2 + x + 1 = 2 sau x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 sau x 2 + x = 0;

Răspuns: Din prima ecuație: x 1, 2 = (-1 ± √5) / 2, din a doua: 0 și -1.

2. Factorizarea prin grupare și formule de înmulțire redusă

Fundatia aceasta metoda de asemenea, nu este nou și constă în gruparea termenilor în așa fel încât fiecare grup să conțină un factor comun. Pentru a face acest lucru, uneori trebuie să utilizați niște metode artificiale.

Exemplul 1.

x 4 - 3x 2 + 4x - 3 = 0.

Soluţie.

Imaginează-ți - 3x 2 = -2x 2 - x 2 și grupează:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.

(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 = 0.

(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.

(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.

x 2 - x + 1 = 0 sau x 2 + x - 3 = 0.

Răspuns: Nu există rădăcini în prima ecuație, din a doua: x 1, 2 = (-1 ± √13) / 2.

3. Factorizarea prin metoda coeficienților nedefiniti

Esența metodei este că polinomul original este descompus în factori cu coeficienți necunoscuți. Folosind proprietatea că polinoamele sunt egale dacă coeficienții lor sunt egali la aceleași grade, se găsesc coeficienții de expansiune necunoscuți.

Exemplul 1.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

Soluţie.

Un polinom de gradul 3 poate fi extins în produsul dintre un factor liniar și unul pătrat.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x - a) (x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b - a) x 2 + (cx - ab) x - ac.

După ce am rezolvat sistemul:

(b - a = 4,
(c - ab = 5,
(-ac = 2,

(a = -1,
(b = 3,
(c = 2, adică

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

Rădăcinile ecuației (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 sunt ușor de găsit.

Raspunsul 1; -2.

4. Metoda de selecție a rădăcinii bazată pe coeficientul cel mai mare și liber

Metoda se bazează pe aplicarea teoremelor:

1) Orice rădăcină întreagă a unui polinom cu coeficienți întregi este un divizor al unei intersecțiuni.

2) Pentru ca fracția ireductibilă p / q (p este un număr întreg, q este un natural) să fie rădăcina unei ecuații cu coeficienți întregi, este necesar ca numărul p să fie un divizor întreg al termenului liber a 0 și q - un divizor natural al coeficientului conducător.

Exemplul 1.

6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 = 0.

Soluţie:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Prin urmare, p / q = ± 1, ± 2, ± 1/2, ± 1/3, ± 2/3, ± 1/6.

După ce am găsit o rădăcină, de exemplu - 2, găsim celelalte rădăcini folosind diviziunea cu un unghi, metoda coeficienților nedefiniti sau schema lui Horner.

Răspuns: -2; 1/2; 1/3.

Mai ai întrebări? Nu sunteți sigur cum să rezolvați ecuațiile?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
Prima lecție este gratuită!

blog.site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Când rezolvăm ecuații algebrice, este adesea necesară factorizarea unui polinom. Factorizarea unui polinom înseamnă reprezentarea acestuia ca produs a două sau mai multe polinoame. Folosim destul de des unele metode de descompunere a polinoamelor: eliminarea unui factor comun, aplicarea formulelor de înmulțire redusă, selectarea unui pătrat complet, gruparea. Să luăm în considerare mai multe metode.

Uneori, următoarele afirmații sunt utile la factorizarea unui polinom:

1) dacă un polinom cu coeficienți întregi are o rădăcină rațională (unde este o fracție ireductibilă, atunci este divizorul termenului liber și divizorul coeficientului principal:

2) Dacă într-un fel să alegeți o rădăcină a unui polinom de grad, atunci polinomul poate fi reprezentat sub forma în care este un polinom de grad

Polinomul poate fi găsit fie prin împărțirea polinomului la o „coloană” binom, fie prin gruparea corespunzătoare a termenilor polinomului și prin extragerea unui factor din aceștia, fie prin metoda coeficienților nedefiniti.

Exemplu. Polinom factor

Soluţie. Deoarece coeficientul de la x4 este 1, rădăcinile raționale ale acestui polinom, există, sunt divizori ai lui 6, adică pot fi numere întregi ± 1, ± 2, ± 3, ± 6. Notăm acest polinom cu P4 (x). Deoarece Р Р4 (1) = 4 și Р4 (-4) = 23, numerele 1 și -1 nu sunt rădăcinile polinomului PA (x). Deoarece P4 (2) = 0, atunci x = 2 este rădăcina polinomului P4 (x) și, prin urmare, acest polinom este divizibil cu binomul x - 2. Prin urmare, x4 -5x3 + 7x2 -5x +6 x -2 x4 -2x3 x3 -3x2 + x-3

3x3 + 7x2 -5x +6

3x3 + 6x2 x2 - 5x + 6 x2- 2x

Prin urmare, P4 (x) = (x - 2) (x3 - 3x2 + x - 3). Deoarece xz - Zx2 + x - 3 = x2 (x - 3) + (x - 3) = (x - 3) (x2 + 1), atunci x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + 6 = (x - 2) ( x - 3) (x2 + 1).

Metoda de introducere a parametrilor

Uneori, la factorizarea unui polinom în factori, metoda de introducere a unui parametru ajută. Esența acestei metode este ilustrată de următorul exemplu.

Exemplu. x3 - (√3 + 1) x2 + 3.

Soluţie. Se consideră un polinom cu parametrul a: x3 - (a + 1) x2 + a2, care pentru a = √3 se transformă într-un polinom dat. Scriem acest polinom ca trinom pătrat în raport cu a: a - ax2 + (x3 - x2).

Deoarece rădăcinile acestui trinom pătrat în raport cu a sunt a1 = x și a2 = x2 - x, egalitatea a2 - ax2 + (xs - x2) = (a - x) (a - x2 + x) este adevărată. În consecință, polinomul x3 - (√3 + 1) x2 + 3 se descompune în factori √3 - x și √3 - x2 + x, adică.

x3 - (√3 + 1) x2 + 3 = (x-√3) (x2-x-√3).

Metoda de introducere a unei noi necunoscute

În unele cazuri, prin înlocuirea expresiei f (x) inclusă în polinomul Pn (x), prin y se poate obține un polinom față de y, care poate fi deja ușor factorizat. Apoi, după înlocuirea y cu f (x), obținem o factorizare a polinomului Pn (x).

Exemplu. Factorizați polinomul x (x + 1) (x + 2) (x + 3) -15.

Soluţie. Transformăm acest polinom astfel: x (x + 1) (x + 2) (x + 3) -15 = [x (x + 3)] [(x + 1) (x + 2)] - 15 = ( x2 + 3x) (x2 + 3x + 2) - 15.

Să notăm x2 + 3x cu y. Atunci avem y (y + 2) - 15 = y2 + 2y - 15 = y2 + 2y + 1 - 16 = (y + 1) 2 - 16 = (y + 1 + 4) (y + 1 - 4) = ( y + 5) (y - 3).

Prin urmare, x (x + 1) (x + 2) (x + 3) - 15 = (x2 + 3x + 5) (x2 + 3x - 3).

Exemplu. Factorizați polinomul (x-4) 4+ (x + 2) 4

Soluţie. Să notăm x- 4 + x + 2 = x - 1 prin y.

(x - 4) 4 + (x + 2) 2 = (y - 3) 4 + (y + 3) 4 = y4 - 12y3 + 54y3 - 108y + 81 + y4 + 12y3 + 54y2 + 108y + 81 =

2y4 + 108y2 + 162 = 2 (y4 + 54y2 + 81) = 2 [(y2 + 27) 2 - 648] = 2 (y2 + 27 - √b48) (y2 + 27 + √b48) =

2 ((x-1) 2 + 27-√b48) ((x-1) 2 + 27 + √b48) = 2 (x2-2x + 28- 18√ 2) (x2- 2x + 28 + 18√ 2) ).

Combinarea diferitelor metode

Adesea, atunci când factorizarea unui polinom în factori, este necesar să se aplice secvenţial mai multe dintre metodele discutate mai sus.

Exemplu. Factorizați polinomul x4 - 3x2 + 4x-3.

Soluţie. Folosind gruparea, rescriem polinomul ca x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x4 - 2x2) - (x2 -4x + 3).

Aplicând metoda de selectare a unui pătrat complet la prima paranteză, avem x4 - 3x3 + 4x - 3 = (x4 - 2 · 1 · x2 + 12) - (x2 -4x + 4).

Aplicând formula pătratului complet, putem scrie acum că x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x2 -1) 2 - (x - 2) 2.

În cele din urmă, aplicând formula pentru diferența de pătrate, obținem că x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x2 - 1 + x - 2) (x2 - 1 - x + 2) = (x2 + x-3) (x2) -x + 1).

§ 2. Ecuaţii simetrice

1. Ecuații simetrice de gradul trei

Ecuațiile de forma ax3 + bx2 + bx + a = 0 și ≠ 0 (1) se numesc ecuații simetrice de gradul trei. Deoarece ax3 + bx2 + bx + a = a (x3 + 1) + bx (x + 1) = (x + 1) (ax2 + (ba) x + a), atunci ecuația (1) este echivalentă cu o mulțime de ecuațiile x + 1 = 0 și ax2 + (b-a) x + a = 0, ceea ce nu este greu de rezolvat.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația

3x3 + 4x2 + 4x + 3 = 0. (2)

Soluţie. Ecuația (2) este o ecuație simetrică de gradul trei.

Deoarece 3x3 + 4xg + 4x + 3 = 3 (x3 + 1) + 4x (x + 1) = (x + 1) (3x2 - Zx + 3 + 4x) = (x + 1) (3x2 + x + 3) , atunci ecuația (2) este echivalentă cu o mulțime de ecuații x + 1 = 0 și 3x3 + x + 3 = 0.

Soluția primei dintre aceste ecuații este x = -1, a doua ecuație nu are soluții.

Răspuns: x = -1.

2. Ecuații simetrice de gradul al patrulea

Ecuația formei

(3) se numește ecuație simetrică de gradul al patrulea.

Deoarece x = 0 nu este o rădăcină a ecuației (3), atunci, împărțind ambele părți ale ecuației (3) la x2, obținem o ecuație echivalentă cu cea originală (3):

Să rescriem ecuația (4) sub forma:

În această ecuație facem o schimbare, apoi obținem o ecuație pătratică

Dacă ecuația (5) are 2 rădăcini y1 și y2, atunci ecuația inițială este echivalentă cu un set de ecuații

Dacă ecuația (5) are o rădăcină y0, atunci ecuația inițială este echivalentă cu ecuația

În cele din urmă, dacă ecuația (5) nu are rădăcini, atunci și ecuația inițială nu are rădăcini.

Exemplul 2. Rezolvați ecuația

Soluţie. Această ecuație este o ecuație simetrică de gradul patru. Deoarece x = 0 nu este rădăcina sa, atunci, împărțind ecuația (6) la x2, obținem o ecuație echivalentă:

Grupând termenii, rescriem ecuația (7) sub formă sau sub formă

Punând, obținem o ecuație având două rădăcini y1 = 2 și y2 = 3. Prin urmare, ecuația inițială este echivalentă cu setul de ecuații

Soluția primei ecuații a acestei mulțimi este x1 = 1, iar soluția celei de-a doua este u.

Prin urmare, ecuația originală are trei rădăcini: x1, x2 și x3.

Răspuns: x1 = 1 ,.

§3. Ecuații algebrice

1. Scăderea gradului ecuației

Unele ecuații algebrice prin înlocuirea unui polinom în ele cu o literă pot fi reduse la ecuații algebrice, al căror grad este mai mic decât gradul ecuației inițiale și a căror soluție este mai simplă.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația

Soluţie. Notați prin, atunci ecuația (1) poate fi rescrisă sub forma Ultima ecuație are rădăcini și În consecință, ecuația (1) este echivalentă cu un set de ecuații și. Soluția primei ecuații a acestei mulțimi este și soluția celei de-a doua ecuații este

Soluțiile ecuației (1) sunt

Exemplul 2. Rezolvați ecuația

Soluţie. Înmulțind ambele părți ale ecuației cu 12 și notând cu,

Obținem ecuația Să rescriem această ecuație sub forma

(3) și notând prin rescrie ecuația (3) sub forma Ultima ecuație are rădăcini și Prin urmare, constatăm că ecuația (3) este echivalentă cu o mulțime de două ecuații și Soluția acestui set de ecuații este, adică, ecuația (2) este echivalent cu un set de ecuații și (4)

Soluțiile mulțimii (4) sunt și, sunt soluțiile ecuației (2).

2. Ecuații de formă

Ecuația

(5) unde sunt aceste numere, poate fi redus la o ecuație biquadratică prin înlocuirea necunoscutului, adică înlocuirea

Exemplul 3. Rezolvați ecuația

Soluţie. Să notăm prin, i.e. adică facem o schimbare de variabile sau Apoi ecuația (6) poate fi rescrisă sub forma sau, folosind formula, sub forma

Deoarece rădăcinile ecuației pătratice sunt și soluțiile ecuației (7) sunt soluții ale mulțimii de ecuații și. Acest set de ecuații are două soluții și, în consecință, soluțiile ecuației (6) sunt și

3. Ecuații de formă

Ecuația

(8) unde numerele α, β, γ, δ și Α sunt astfel încât α

Exemplul 4. Rezolvați ecuația

Soluţie. Facem schimbarea necunoscutelor, adică y = x + 3 sau x = y - 3. Atunci ecuația (9) poate fi rescrisă sub forma

(y-2) (y-1) (y + 1) (y + 2) = 10, adică sub forma

(y2- 4) (y2-1) = 10 (10)

Ecuația biquadratică (10) are două rădăcini. Prin urmare, ecuația (9) are și două rădăcini:

4. Ecuații de formă

Ecuație, (11)

Unde, nu are rădăcină x = 0, prin urmare, împărțind ecuația (11) la x2, obținem ecuația echivalentă

Care, după înlocuirea necunoscutului, va fi rescrisă ca o ecuație pătratică, a cărei soluție nu este dificilă.

Exemplul 5. Rezolvați ecuația

Soluţie. Deoarece h = 0 nu este o rădăcină a ecuației (12), atunci, împărțind-o la x2, obținem ecuația echivalentă

Făcând substituția necunoscută, obținem ecuația (y + 1) (y + 2) = 2, care are două rădăcini: y1 = 0 și y1 = -3. Prin urmare, ecuația inițială (12) este echivalentă cu setul de ecuații

Această colecție are două rădăcini: x1 = -1 și x2 = -2.

Răspuns: x1 = -1, x2 = -2.

Cometariu. O ecuație de formă,

În care, puteți aduce oricând la forma (11) și, în plus, luând în considerare α> 0 și λ> 0 la forma.

5. Ecuații de formă

Ecuația

, (13) unde numerele α, β, γ, δ și Α sunt astfel încât αβ = γδ ≠ 0, pot fi rescrise prin înmulțirea primei paranteze cu a doua, iar a treia cu a patra, sub forma, adică , ecuația (13) este acum scrisă sub forma (11), iar rezolvarea ei poate fi efectuată în același mod ca și soluția ecuației (11).

Exemplul 6. Rezolvați ecuația

Soluţie. Ecuația (14) are forma (13), așa că o rescriem în forma

Deoarece x = 0 nu este o soluție a acestei ecuații, atunci, împărțind ambele părți ale acesteia la x2, obținem o ecuație originală echivalentă. Făcând o schimbare de variabile, obținem o ecuație pătratică a cărei soluție este și. În consecință, ecuația inițială (14) este echivalentă cu un set de ecuații și.

Soluția primei ecuații a acestei mulțimi este

A doua ecuație a acestui set de soluții nu are. Deci, ecuația originală are rădăcinile x1 și x2.

6. Ecuații de formă

Ecuația

(15) unde numerele a, b, c, q, A sunt astfel încât, nu are rădăcină x = 0, prin urmare, împărțind ecuația (15) la x2. obţinem o ecuaţie echivalentă cu aceasta, care, după înlocuirea necunoscutului, va fi rescrisă sub forma unei ecuaţii pătratice, a cărei rezolvare nu este dificilă.

Exemplul 7. Rezolvarea ecuației

Soluţie. Deoarece x = 0 nu este o rădăcină a ecuației (16), atunci, împărțind ambele părți la x2, obținem ecuația

, (17) care este echivalent cu ecuația (16). Făcând schimbarea necunoscută, rescriem ecuația (17) sub forma

Ecuația pătratică (18) are 2 rădăcini: y1 = 1 și y2 = -1. Prin urmare, ecuația (17) este echivalentă cu un set de ecuații și (19)

Mulțimea ecuațiilor (19) are 4 rădăcini:,.

Ele vor fi rădăcinile ecuației (16).

§4. Ecuații raționale

Ecuațiile de forma = 0, unde H (x) și Q (x) sunt polinoame, se numesc raționale.

După ce am găsit rădăcinile ecuației H (x) = 0, atunci este necesar să verificăm care dintre ele nu sunt rădăcinile ecuației Q (x) = 0. Aceste rădăcini și numai ele vor fi soluțiile ecuației.

Luați în considerare câteva metode de rezolvare a unei ecuații de forma = 0.

1. Ecuații de formă

Ecuația

(1) în anumite condiții asupra numerelor se poate rezolva după cum urmează. Grupând termenii ecuației (1) cu doi și însumând fiecare pereche, este necesar să se obțină în numărător polinoame de gradul I sau zero, care diferă doar în factori numerici, iar în numitori - trinoame cu aceiași doi termeni care conțin x , apoi după schimbarea variabilelor, ecuația fie va avea și forma (1), dar cu un număr mai mic de termeni, fie va fi echivalentă cu o mulțime de două ecuații, dintre care una va fi de gradul I, iar a doua va fi o ecuație de forma (1), dar cu un număr mai mic de termeni.

Exemplu. Rezolvați ecuația

Soluţie. Grupând în partea stângă a ecuației (2) primul termen cu ultimul și al doilea cu penultimul, rescriem ecuația (2) sub forma

Însumând termenii din fiecare paranteză, rescriem ecuația (3) sub forma

Deoarece nu există o soluție pentru ecuația (4), atunci, împărțind această ecuație la, obținem ecuația

, (5) echivalent cu ecuația (4). Facem schimbarea necunoscutului, apoi ecuația (5) se va rescrie sub forma

Astfel, soluția ecuației (2) cu cinci termeni în partea stângă se reduce la soluția ecuației (6) de aceeași formă, dar cu trei termeni în partea stângă. Însumând toți termenii din partea stângă a ecuației (6), o rescriem sub forma

Există soluții pentru ecuația și. Niciunul dintre aceste numere nu dispare numitorul funcției raționale din partea stângă a ecuației (7). În consecință, ecuația (7) are aceste două rădăcini și, prin urmare, ecuația inițială (2) este echivalentă cu setul de ecuații

Soluțiile primei ecuații a acestei mulțimi sunt

Soluțiile celei de-a doua ecuații din această mulțime sunt

Prin urmare, ecuația originală are rădăcini

2. Ecuații de formă

Ecuația

(8) în anumite condiții asupra numerelor se poate rezolva după cum urmează: este necesar să se selecteze partea întreagă din fiecare dintre fracțiile ecuației, adică să se înlocuiască ecuația (8) cu ecuația

Reduceți-l la forma (1) și apoi rezolvați-l în modul descris în paragraful anterior.

Exemplu. Rezolvați ecuația

Soluţie. Să scriem ecuația (9) sub forma sau sub forma

Însumând termenii din paranteze, rescriem ecuația (10) ca

Înlocuind necunoscutul, rescriem ecuația (11) sub forma

Însumând termenii din partea stângă a ecuației (12), o rescriem sub forma

Este ușor de observat că ecuația (13) are două rădăcini: și. Prin urmare, ecuația inițială (9) are patru rădăcini:

3) Ecuații de formă.

O ecuație de forma (14) în anumite condiții pentru numere poate fi rezolvată astfel: extinzând (dacă este, desigur, posibil) fiecare dintre fracțiile din partea stângă a ecuației (14) în suma celor mai simple fracții

Reduceți ecuația (14) la forma (1), apoi, după ce a efectuat o rearanjare convenabilă a termenilor ecuației rezultate, rezolvați-o prin metoda descrisă în paragraful 1).

Exemplu. Rezolvați ecuația

Soluţie. Deoarece și, apoi, înmulțind numărătorul fiecărei fracții din ecuația (15) cu 2 și remarcând că ecuația (15) poate fi scrisă sub forma

Ecuația (16) are forma (7). După ce am rearanjat termenii din această ecuație, o rescriem sub formă sau sub formă

Ecuația (17) este echivalentă cu un set de ecuații și

Pentru a rezolva a doua ecuație a mulțimii (18), înlocuim necunoscutul. Apoi va fi rescris sub forma sau sub forma

Însumând toți termenii din partea stângă a ecuației (19), rescrieți-o ca

Deoarece ecuația nu are rădăcini, ecuația (20) nu are nici rădăcini.

Prima ecuație a mulțimii (18) are o singură rădăcină. Deoarece această rădăcină este inclusă în GDV a celei de-a doua ecuații a mulțimii (18), este singura rădăcină a mulțimii (18) și, prin urmare, ecuația originală .

4. Ecuații de formă

Ecuația

(21) în anumite condiții asupra numerelor și A după reprezentarea fiecărui termen în stânga în formular poate fi redus la forma (1).

Exemplu. Rezolvați ecuația

Soluţie. Să rescriem ecuația (22) sub forma sau sub forma

Astfel, ecuația (23) este redusă la forma (1). Acum, grupând primul termen cu ultimul, iar al doilea cu al treilea, rescriem ecuația (23) sub forma

Această ecuație este echivalentă cu un set de ecuații și. (24)

Ultima ecuație a mulțimii (24) poate fi rescrisă ca

Există soluții pentru această ecuație și, deoarece este inclusă în ODZ a celei de-a doua ecuații a mulțimii (30), mulțimea (24) are trei rădăcini: Toate sunt soluții ale ecuației inițiale.

5. Ecuații de formă.

Ecuația formei (25)

În anumite condiții asupra numerelor, înlocuirea necunoscutului poate fi redusă la o ecuație de formă

Exemplu. Rezolvați ecuația

Soluţie. Deoarece nu este o soluție a ecuației (26), împărțind numărătorul și numitorul fiecărei fracții din partea stângă la, o rescriem sub forma

Schimbând variabilele, rescriem ecuația (27) sub forma

Rezolvarea ecuației (28) este și. Prin urmare, ecuația (27) este echivalentă cu un set de ecuații și. (29)

Metode de rezolvare a ecuaţiilor: n n n Înlocuirea ecuaţiei h (f (x)) = h (g (x)) cu ecuaţia f (x) = g (x) Factorizarea. Introducerea unei noi variabile. Functional - metoda grafica. Selectarea rădăcinilor. Aplicarea formulelor Vieta.

Înlocuirea ecuației h (f (x)) = h (g (x)) cu ecuația f (x) = g (x). Metoda poate fi utilizată numai în cazul în care y = h (x) este o funcție monotonă care își ia fiecare dintre valorile o dată. Dacă funcția este nemonotonă, atunci pierderea rădăcinilor este posibilă.

Rezolvați ecuația (3 x + 2) ²³ = (5 x - 9) ²³ y = x ²³ o funcție crescătoare, prin urmare din ecuația (3 x + 2) ²³ = (5 x - 9) ²³ puteți merge la ecuația 3 x + 2 = 5 x - 9, de unde găsim x = 5, 5. Răspuns: 5, 5.

Factorizarea. Ecuația f (x) g (x) h (x) = 0 poate fi înlocuită cu o mulțime de ecuații f (x) = 0; g (x) = 0; h (x) = 0. După ce am rezolvat ecuațiile acestei mulțimi, trebuie să luați acele rădăcini care aparțin domeniului ecuației inițiale și să aruncați restul ca străine.

Rezolvați ecuația x³ - 7 x + 6 = 0 Reprezentând termenul 7 x ca x + 6 x, obținem succesiv: x³ - x - 6 x + 6 = 0 x (x² - 1) - 6 (x - 1) = 0 x (x - 1) (x + 1) - 6 (x - 1) = 0 (x - 1) (x² + x - 6) = 0 Acum problema se reduce la rezolvarea mulțimii de ecuații x - 1 = 0; x² + x - 6 = 0. Răspuns: 1, 2, - 3.

Introducerea unei noi variabile. Dacă ecuația y (x) = 0 poate fi transformată în forma p (g (x)) = 0, atunci trebuie să introduceți o nouă variabilă u = g (x), să rezolvați ecuația p (u) = 0, și apoi se rezolvă mulțimea de ecuații g ( x) = u 1; g (x) = u 2; ...; g (x) = un, unde u 1, u 2,…, un sunt rădăcinile ecuației p (u) = 0.

Rezolvarea ecuației O caracteristică a acestei ecuații este egalitatea coeficienților laturii sale stângi, echidistante de capetele ei. Astfel de ecuații se numesc recurente. Deoarece 0 nu este o rădăcină a acestei ecuații, împărțind la x² obținem

Să introducem o nouă variabilă. Apoi obținem o ecuație pătratică. Deci rădăcina y 1 = - 1 poate fi ignorată. Primim răspunsul: 2, 0, 5.

Rezolvați ecuația 6 (x² - 4) ² + 5 (x² - 4) (x² - 7 x +12) + (x² - 7 x + 12) ² = 0 Această ecuație poate fi rezolvată ca omogenă. Împărțiți ambele părți ale ecuației la (x² - 7 x +12)² (în mod clar, valorile lui x astfel încât x² - 7 x + 12 = 0 nu sunt soluții). Acum să notăm Avem de aici răspunsul:

Functional - metoda grafica. Dacă una dintre funcțiile y = f (x), y = g (x) crește, iar cealaltă scade, atunci ecuația f (x) = g (x) fie nu are rădăcini, fie are o rădăcină.

Rezolvați ecuația Este destul de evident că x = 2 este rădăcina ecuației. Să demonstrăm că aceasta este singura rădăcină. Transformăm ecuația în forma Rețineți că funcția crește și funcția scade. Prin urmare, ecuația are o singură rădăcină. Raspuns: 2.

Selectarea rădăcinilor n n n Teorema 1: Dacă un întreg m este rădăcina unui polinom cu coeficienți întregi, atunci termenul liber al polinomului este divizibil cu m. Teorema 2: Polinomul redus cu coeficienți întregi nu are rădăcini fracționale. Teorema 3: - o ecuație cu numere întregi Fie coeficienții. Dacă numărul și fracția în care p și q sunt numere întregi sunt ireductibile, este rădăcina ecuației, atunci p este divizorul termenului liber an și q este divizorul coeficientului la termenul principal a 0.

teorema lui Bezout. Restul la împărțirea oricărui polinom la un binom (x - a) este egal cu valoarea polinomului divizibil la x = a. Consecințele teoremei lui Bezout n n n n Diferența acelorași puteri a două numere se împarte fără rest la diferența acelorași numere; Diferența acelorași puteri pare a două numere se împarte fără rest atât la diferența acestor numere, cât și la suma lor; Diferența acelorași puteri impare a două numere nu este divizibilă cu suma acestor numere; Suma acelorași puteri a două non-numere se împarte la diferența acestor numere; Suma acelorași puteri impare a două numere se împarte fără rest la suma acestor numere; Suma acelorași puteri pare a două numere nu este divizibilă nici prin diferența acestor numere, nici prin suma lor; Un polinom este divizibil în întregime cu un binom (x - a) dacă și numai dacă numărul a este o rădăcină a polinomului dat; Numărul de rădăcini distincte ale unui polinom diferit de zero este cel mult gradul său.

Rezolvați ecuația x³ - 5 x² - x + 21 = 0 Polinomul x³ - 5 x² - x + 21 are coeficienți întregi. Prin teorema 1, rădăcinile sale întregi, dacă există, sunt printre divizorii termenului liber: ± 1, ± 3, ± 7, ± 21. Prin verificare, ne asigurăm că numărul 3 este o rădăcină. Prin corolarul teoremei lui Bezout, polinomul este divizibil cu (x - 3). Deci x³– 5 x² - x + 21 = (x - 3) (x²– 2 x - 7). Răspuns:

Rezolvați ecuația 2 x³ - 5 x² - x + 1 = 0 Conform teoremei 1, rădăcinile întregi ale ecuației pot fi doar numere ± 1. Verificarea arată că aceste numere nu sunt rădăcini. Deoarece ecuația nu este redusă, ea poate avea rădăcini raționale fracționale. Să le găsim. Pentru a face acest lucru, înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 4: 8 x³ - 20 x² - 4 x + 4 = 0 Făcând substituția 2 x = t, obținem t³ - 5 t² - 2 t + 4 = 0. Prin teorema 2 , toate rădăcinile raționale ale acestei ecuații reduse trebuie să fie întregi. Ele pot fi găsite printre divizorii termenului liber: ± 1, ± 2, ± 4. În acest caz, este potrivit t = - 1. Prin urmare, după corolarul teoremei Bezout, polinomul 2 x³ - 5 x² - x + 1 este divizibil cu (x + 0, 5 ): 2 x³ - 5 x² - x + 1 = (x + 0, 5) (2 x² - 6 x + 2) Rezolvarea ecuației pătratice 2 x² - 6 x + 2 = 0, găsim rădăcinile rămase: Răspuns:

Rezolvați ecuația 6 x³ + x² - 11 x - 6 = 0 Conform teoremei 3, rădăcinile raționale ale acestei ecuații ar trebui căutate printre numere Înlocuindu-le unul câte unul în ecuație, constatăm că satisface ecuația. Ei epuizează toate rădăcinile ecuației. Răspuns:

Aflați suma pătratelor rădăcinilor ecuației x³ + 3 x² - 7 x +1 = 0 Prin teorema lui Vieta Rețineți că de unde

Indicați ce metodă poate fi utilizată pentru a rezolva fiecare dintre aceste ecuații. Rezolvați ecuațiile # 1, 4, 15, 17.

Răspunsuri și indicații: 1. Introducerea unei noi variabile. 2. Metoda functionala – grafica. 3. Înlocuirea ecuației h (f (x)) = h (g (x)) cu ecuația f (x) = g (x). 4. Factorizarea. 5. Selectarea rădăcinilor. 6 Functional - metoda grafica. 7. Aplicarea formulelor Vieta. 8. Selectarea rădăcinilor. 9. Înlocuirea ecuației h (f (x)) = h (g (x)) cu ecuația f (x) = g (x). 10. Introducerea unei noi variabile. 11. Factorizarea. 12. Introducerea unei noi variabile. 13. Selectarea rădăcinilor. 14. Aplicarea formulelor Vieta. 15. Metoda functionala – grafica. 16. Factorizarea. 17. Introducerea unei noi variabile. 18. Factorizarea.

1. Indicație. Scrieți ecuația ca 4 (x² + 17 x + 60) (x + 16 x + 60) = 3 x², Împărțiți ambele părți la x². Introduceți variabila Răspuns: x 1 = - 8; x 2 = - 7, 5. 4. Notă. Adăugați 6 y și - 6 y în partea stângă a ecuației și scrieți-o ca (y³ - 2 y²) + (- 3 y² + 6 y) + (- 8 y + 16) = (y - 2) (y² - 3 y - opt). Răspuns:

14. Indicație. Prin teorema lui Vieta Deoarece sunt numere întregi, rădăcinile ecuației pot fi doar numere - 1, - 2, - 3. Răspuns: 15. Răspuns: - 1. 17. Indicație. Împărțiți ambele părți ale ecuației cu x² și scrieți-o ca Introduceți variabila Răspuns: 1; 15; 2; 3.

Bibliografie. n n n Kolmogorov A. N. „Algebra și începutul analizei, 10 - 11” (Moscova: Educație, 2003). Bashmakov M. I. „Algebra și începutul analizei, 10 - 11” (Moscova: Educație, 1993). Mordkovich A. G. „Algebra și începutul analizei, 10 - 11” (M.: Mnemosina, 2003). Alimov Sh. A., Kolyagin Yu. M. și colab. „Algebra și începutul analizei, 10 - 11” (Moscova: Educație, 2000). Galitskiy ML, Gol'dman AM, Zvavich LI „Colecție de probleme în algebră, 8 - 9” (Moscova: Educație, 1997). Karp A. P. „Colecție de probleme în algebră și principiile analizei, 10 - 11” (Moscova: Educație, 1999). Sharygin I. F. „Curs opțional de matematică, rezolvare de probleme, 10” (Moscova: Educație. 1989). Skopets Z. A. „Capitole suplimentare despre cursul de matematică, 10” (Moscova: Educație, 1974). Litinsky G. I. „Lecții de matematică” (M.: Aslan, 1994). Muravin G. K. „Ecuații, inegalități și sistemele lor” (Matematică, supliment la ziarul „1 septembrie”, nr. 2, 3, 2003). Kolyagin Yu. M. „Polinoame și ecuații de grade superioare” (Matematică, supliment la ziarul „1 septembrie”, nr. 3, 2005).

Obiective de bază:

1. Pentru a consolida conceptul unei întregi ecuații raționale de gradul al treilea.
2. Formulați principalele metode de rezolvare a ecuațiilor de grade superioare (n > 3).
3. Să predea metodele de bază de rezolvare a ecuațiilor de grade superioare.
4. Pentru a învăța după tipul de ecuație pentru a determina cel mai mult metoda eficienta deciziile lui.

Forme, metode și tehnici pedagogice care sunt utilizate de profesor în lecție:

• Sistem de instruire curs-seminar (prelegeri - explicarea noului material, seminarii - rezolvarea problemelor).
• Tehnologii informaționale și comunicaționale (sondaj frontal, lucru oral cu clasa).
• Predare diferențiată, forme de grup și individuale.
• Utilizarea unei metode de cercetare în predare, care vizează dezvoltarea aparatului matematic și a abilităților de gândire ale fiecărui elev.
• Material tipărit - individual scurt rezumat lecție (conceptele de bază, formulele, enunțurile, materialul de curs este comprimat sub formă de diagrame sau tabele).

Planul lecției:

1. Organizarea timpului.
   Scopul etapei: includerea elevilor în activități de învățare, determinați cadrul semnificativ al lecției.
2. Actualizarea cunoștințelor elevilor.
   Scopul etapei: actualizarea cunoștințelor elevilor pe teme conexe studiate anterior
3. Studiul subiect nou(lectura). Scopul etapei: formularea principalelor metode de rezolvare a ecuațiilor de grade superioare (n > 3)
4. Rezumând.
   Scopul etapei: evidențiați încă o dată punctele cheie din materialul studiat în lecție.
5. Teme pentru acasă.
   Scopul etapei: formularea temelor pentru elevi.

Rezumatul lecției

1. Moment organizatoric.

Formularea temei lecției: „Ecuații de cele mai înalte grade. Metode de rezolvare a acestora”.

2. Actualizarea cunoștințelor elevilor.

Sondaj teoretic – conversație. Repetarea unor informații studiate anterior din teorie. Elevii formulează definiții de bază și formulează teoremele necesare. Sunt date exemple pentru a demonstra nivelul de cunoștințe dobândit anterior.

• Conceptul de ecuație într-o variabilă.
• Conceptul de rădăcină a ecuației, soluția ecuației.
• Concept ecuație liniară cu o variabilă, conceptul de ecuație pătratică într-o variabilă.
• Conceptul de echivalență a ecuațiilor, ecuația-consecință (conceptul de rădăcini străine), trecerea nu prin corolar (cazul pierderii rădăcinilor).
• Conceptul unei întregi expresii raționale cu o variabilă.
• Conceptul unei întregi ecuații raționale n- gradul. Forma standard a întregii ecuații raționale. Întreaga ecuație rațională redusă.
• Trecerea la un set de ecuații de grade inferioare prin factorizarea ecuației inițiale în factori.
• Conceptul polinom n-gradul de la X... teorema lui Bezout. Consecințe din teorema lui Bezout. teoreme rădăcinilor ( Z-rădăcini și Q-rădăcini) a unei întregi ecuații raționale cu coeficienți întregi (reduși, respectiv nereduși).
• Schema lui Horner.

3. Studierea unui subiect nou.

Vom lua în considerare întreaga ecuație rațională n-gradul al formei standard cu o variabilă necunoscută x: P n (x)= 0, unde P n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0- polinom n-gradul de la X, A n ≠ 0. Dacă A n = 1 atunci o astfel de ecuație se numește ecuație rațională întreagă redusă n- gradul. Luați în considerare astfel de ecuații pentru sensuri diferite nși enumerați principalele metode de rezolvare a acestora.

n= 1 - ecuație liniară.

n= 2 - ecuație pătratică. Formula discriminantă. Formula pentru calcularea rădăcinilor. teorema lui Vieta. Selectarea unui pătrat complet.

n= 3 - ecuație cubică.

Metoda de grupare.

Exemplu: x 3 - 4x 2 - x+ 4 = 0 (x - 4) (x 2– 1) = 0 X 1 = 4 , x 2 = 1,X 3 = -1.

Ecuația cubică inversă a formei topor 3 + bx 2 + bx + A= 0. Rezolvați prin combinarea termenilor cu aceiași coeficienți.

Exemplu: X 3 – 5X 2 – 5X + 1 = 0 (X + 1)(X 2 – 6X + 1) = 0 X 1 = -1, X 2 = 3 + 2, X 3 = 3 – 2.

Selectarea rădăcinilor Z pe baza teoremei. Schema lui Horner. La aplicarea acestei metode, este necesar să subliniem că enumerarea în acest caz este finită și selectăm rădăcinile după un anumit algoritm în conformitate cu teorema de pe Z-rădăcinile ecuației raționale întregi reduse cu coeficienți întregi.

Exemplu: X 3 – 9X 2 + 23X- 15 = 0. Ecuația dată. Să notăm divizorii termenului liber ( + 1; + 3; + 5; + 15). Să aplicăm schema lui Horner:

	X 3	X 2	X 1	X 0	ieșire
	1	-9	23	-15
1	1	1 x 1 - 9 = -8	1 x (-8) + 23 = 15	1 x 15 - 15 = 0	1 - rădăcină
	X 2	X 1	X 0

Primim ( X – 1)(X 2 – 8X + 15) = 0 X 1 = 1, X 2 = 3, X 3 = 5.

Ecuație cu coeficienți întregi. Selectarea rădăcinilor Q pe baza teoremei. Schema lui Horner. La aplicarea acestei metode, este necesar să subliniem că enumerarea în acest caz este finită și selectăm rădăcinile după un anumit algoritm în conformitate cu teorema de pe Q-rădăcinile unei întregi ecuații raționale ireductibile cu coeficienți întregi.

Exemplu: 9 X 3 + 27X 2 – X- 3 = 0. Ecuația nu este redusă. Să notăm divizorii termenului liber ( + 1; + 3). Să notăm divizorii coeficientului la cea mai mare putere a necunoscutului. ( + 1; + 3; + 9) Prin urmare, vom căuta rădăcinile printre valori ( + 1; + ; + ; + 3). Să aplicăm schema lui Horner:

	X 3	X 2	X 1	X 0	ieșire
	9	27	-1	-3
1	9	1 x 9 + 27 = 36	1 x 36 - 1 = 35	1 x 35 - 3 = 32 ≠ 0	1 - nu rădăcină
-1	9	-1 x 9 + 27 = 18	-1 x 18 - 1 = -19	-1 x (-19) - 3 = 16 ≠ 0	-1 - nu rădăcină
	9	x 9 + 27 = 30	x 30 - 1 = 9	x 9 - 3 = 0	rădăcină
	X 2	X 1	X 0

Primim ( X – )(9X 2 + 30X + 9) = 0 X 1 = , X 2 = - , X 3 = -3.

Pentru confortul calculului atunci când selectați Q -rădăcini este convenabil să faceți o schimbare a variabilei, mergeți la ecuația redusă și selectați Z -rădăcini.

• Dacă termenul liber este 1

.

• Dacă puteți folosi o înlocuire a formularului y = kx

.

Formula Cardano. Există o metodă universală pentru rezolvarea ecuațiilor cubice - aceasta este formula Cardano. Această formulă este asociată cu numele matematicienilor italieni Gerolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Tartaglia (1500-1557), Scipione del Ferro (1465-1526). Această formulă este în afara domeniului de aplicare al cursului nostru.

n= 4 - ecuația gradului al patrulea.

Metoda de grupare.

Exemplu: X 4 + 2X 3 + 5X 2 + 4X – 12 = 0 (X 4 + 2X 3) + (5X 2 + 10X) – (6X + 12) = 0 (X + 2)(X 3 + 5X - 6) = 0 (X + 2)(X– 1)(X 2 + X + 6) = 0 X 1 = -2, X 2 = 1.

Metoda de înlocuire variabilă.

• Ecuația biquadratică a formei topor 4 + bx 2 + s = 0 .

Exemplu: X 4 + 5X 2 - 36 = 0. Înlocuire y = X 2. De aici y 1 = 4, y 2 = -9. De aceea X 1,2 = + 2 .

• Ecuația inversă a gradului al patrulea al formei topor 4 + bx 3 + c X 2 + bx + A = 0.

Rezolvăm, combinând termeni cu aceiași coeficienți, prin înlocuirea formei

• topor 4 + bx 3 + cx 2 – bx + A = 0.

• Ecuația generalizată de întoarcere de gradul al patrulea a formei topor 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k 2 a = 0.

• Înlocuire vedere generala... Câteva înlocuiri standard.

Exemplul 3 . Înlocuirea vederii generale(decurge din forma unei ecuații specifice).

n = 3.

Ecuație cu coeficienți întregi. Montarea Q-roots n = 3.

Formula generala. Există o metodă universală de rezolvare a ecuațiilor de gradul al patrulea. Această formulă este asociată cu numele lui Ludovico Ferrari (1522-1565). Această formulă este în afara domeniului de aplicare al cursului nostru.

n > 5 - ecuații ale gradului cinci și superior.

Ecuație cu coeficienți întregi. Selectarea rădăcinilor Z pe baza teoremei. Schema lui Horner. Algoritmul este similar cu cel considerat mai sus pentru n = 3.

Ecuație cu coeficienți întregi. Montarea Q-roots pe baza teoremei. Schema lui Horner. Algoritmul este similar cu cel considerat mai sus pentru n = 3.

Ecuații simetrice. Orice ecuație de întoarcere de grad impar are o rădăcină X= -1 și după factorizarea în factori, obținem că un factor are forma ( X+ 1), iar cel de-al doilea factor este ecuația de întoarcere a unui grad par (gradul său este cu unul mai mic decât gradul ecuației inițiale). Orice ecuație de întoarcere de grad par împreună cu o rădăcină a formei x = φ conţine rădăcina speciei. Folosind aceste afirmații, rezolvăm problema scăzând gradul ecuației studiate.

Metoda de înlocuire variabilă. Folosind uniformitatea.

Nu există o formulă generală pentru rezolvarea ecuațiilor întregi de gradul al cincilea (acest lucru a fost arătat de matematicianul italian Paolo Ruffini (1765-1822) și de matematicianul norvegian Niels Henrik Abel (1802-1829)) și de grade superioare (asta a fost demonstrat de către Matematicianul francez Evariste Galois (1811-1832) )).

• Să ne reamintim din nou că în practică este posibil să se utilizeze combinatii metodele enumerate mai sus. Este convenabil să treceți la un set de ecuații de grade inferioare prin factorizarea ecuației inițiale.
• Folosit pe scară largă în practică a rămas în afara domeniului de aplicare al discuției noastre de astăzi. metode grafice rezolvarea ecuaţiilor şi metode de rezolvare aproximativă ecuații de grade superioare.
• Există situații în care ecuația nu are rădăcini R.
Apoi soluția se reduce la a arăta că ecuația nu are rădăcini. Pentru a demonstra acest lucru, analizăm comportamentul funcțiilor luate în considerare pe intervale de monotonitate. Exemplu: ecuație X 8 – X 3 + 1 = 0 nu are rădăcini.
• Folosind proprietatea de monotonitate a funcțiilor
... Există situații în care utilizarea diferitelor proprietăți ale funcțiilor face posibilă simplificarea sarcinii la îndemână.
Exemplul 1: ecuația X 5 + 3X- 4 = 0 are o rădăcină X= 1. Prin proprietatea de monotonitate a funcţiilor analizate nu există alte rădăcini.
Exemplul 2: Ecuația X 4 + (X- 1) 4 = 97 are rădăcini X 1 = -2 și X 2 = 3. Analizând comportamentul funcțiilor corespunzătoare pe intervale de monotonitate, concluzionăm că nu există alte rădăcini.

4. Rezumând.

Rezumat: Acum am stăpânit metodele de bază de rezolvare a diferitelor ecuații de grade superioare (pentru n > 3). Sarcina noastră este să învățăm cum să folosim eficient algoritmii enumerați mai sus. În funcție de tipul de ecuație, va trebui să învățăm să stabilim care metodă de soluție în acest caz este cea mai eficientă, precum și să aplicăm corect metoda aleasă.

5. Tema pentru acasă.

: p. 7, p. 164-174, Nr. 33-36, 39-44, 46,47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Posibile subiecte ale rapoartelor sau rezumatelor pe această temă:

• Formula Cardano
• Metoda grafica de rezolvare a ecuatiilor. Exemple de soluții.
• Metode pentru rezolvarea aproximativă a ecuațiilor.

Analiza asimilării materialului și a interesului elevilor față de temă:

Experiența arată că studenții sunt interesați în primul rând de posibilitatea de recrutare Z-rădăcini și Q-rădăcinile ecuațiilor folosind un algoritm destul de simplu folosind schema lui Horner. Elevii sunt, de asemenea, interesați de diferite tipuri standard de substituții de variabile care pot simplifica foarte mult problema. Metodele de rezolvare grafică prezintă de obicei un interes deosebit. În acest caz, puteți dezasambla în plus sarcinile într-o metodă grafică pentru rezolvarea ecuațiilor; discutați vederea generală a graficului pentru un polinom de 3, 4, 5 grade; analizați modul în care numărul de rădăcini ale ecuațiilor de 3, 4, 5 grade este legat de tipul graficului corespunzător. Mai jos este o listă de cărți în care puteți găsi informații suplimentare despre acest subiect.

Bibliografie:

1. Vilenkin N. Ya. et al. „Algebra. Un manual pentru elevii din clasele a 9-a cu studiu aprofundat matematică ”- M., Educație, 2007 - 367 p.
2. Vilenkin N.Ya., Shibasov L.P., Shibasova Z.F.„În spatele paginilor unui manual de matematică. Aritmetic. Algebră. Clasa 10-11 ”- M., Educație, 2008 - 192 p.
3. Vygodsky M. Ya.„Manual de matematică” - M., AST, 2010 - 1055 p.
4. Galitsky M.L.„Colecție de probleme în algebră. Manual pentru clasele 8-9 cu studiu aprofundat de matematică ”- M., Educație, 2008 - 301 p.
5. Zvovich L.I. et al. „Algebra şi începutul analizei. 8-11 cl. Un manual pentru școli și clase cu studiu aprofundat al matematicii ”- M., Buttard, 1999 - 352 p.
6. Zvavich L.I., Averianov D.I., Pigarev B.P., Trushanina T.N.„Sarcini la matematică de pregătire pentru examenul scris din clasa a 9-a” - M., Educație, 2007 - 112 p.
7. Ivanov A.A., Ivanov A.P.„Probe tematice pentru sistematizarea cunoștințelor în matematică” partea 1 - M., Fizmatkniga, 2006 - 176 p.
8. Ivanov A.A., Ivanov A.P.„Probe tematice pentru sistematizarea cunoștințelor în matematică” partea 2 - M., Fizmatkniga, 2006 - 176 p.
9. Ivanov A.P.„Teste și hârtii de test matematică. Tutorial". - M., Fizmatkniga, 2008 - 304 p.
10. Leibson K.L.„Culegere de exerciții practice de matematică. Partea 2-9 clasa „- M., MCNMO, 2009 - 184 p.
11. Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G."Algebră. Capitole suplimentare la manual scolar Clasa a 9-a. Un manual pentru elevii din școli și clase cu studii avansate de matematică.” - M., Educație, 2006 - 224 p.
12. Mordkovich A.G."Algebră. Studiu avansat. clasa a 8-a. Manual „- M., Mnemosina, 2006 - 296 p.
13. A.P. Savin “Dicţionar enciclopedic tânăr matematician „- M., Pedagogie, 1985 - 352 p.
14. Survillo G.S., Simonov A.S.„Materiale didactice de algebră pentru clasa a IX-a cu studiu aprofundat al matematicii” - M., Educație, 2006 - 95 p.
15. Chulkov P.V.„Ecuații și inegalități în curs şcolar matematician. Prelegeri 1–4 ”- M., 1 septembrie 2006 - 88 p.
16. Chulkov P.V.„Ecuații și inegalități în cursul școlii de matematician. Prelegeri 5–8 ”- M., 1 septembrie 2009 - 84 p.

Textul lucrării este plasat fără imagini și formule.
Versiunea completa munca este disponibilă în fila „Fișiere de lucru” în format PDF

Introducere

Rezolvarea ecuațiilor algebrice de grade superioare cu o necunoscută este una dintre cele mai dificile și vechi probleme de matematică... Cei mai remarcabili matematicieni ai antichității au fost angajați în aceste probleme.

Rezolvarea ecuațiilor de gradul n este o sarcină importantă pentru matematica modernă. Interesul față de ele este destul de mare, deoarece aceste ecuații sunt strâns legate de căutarea rădăcinilor ecuațiilor care nu sunt luate în considerare în programa școlară la matematică.

Problemă: lipsa abilităților de rezolvare a ecuațiilor de grade superioare în diverse moduri în rândul studenților îi împiedică să se pregătească cu succes pentru certificarea finală la matematică și olimpiade de matematică, predând la o clasă specializată de matematică.

Faptele enumerate au determinat relevanţă a lucrării noastre „Rezolvarea ecuațiilor de grade superioare”.

Deținerea celor mai simple metode de rezolvare a ecuațiilor de gradul n reduce timpul de finalizare a sarcinii, de care depind rezultatul muncii și calitatea procesului de învățare.

Scopul muncii: Studiul metode cunoscute rezolvarea ecuaţiilor de grade superioare şi identificarea celor mai accesibile pt aplicație practică.

Pe baza acestui obiectiv, lucrarea a identificat următoarele sarcini:

Studiați literatura și resursele de pe Internet pe această temă;

Familiarizați-vă cu faptele istorice legate de această temă;

Descrieți diferitele modalități de rezolvare a ecuațiilor de grad superior

comparați gradul de complexitate al fiecăruia dintre ele;

Să familiarizeze colegii cu metodele de rezolvare a ecuațiilor de grade superioare;

Creați un set de ecuații pentru aplicarea practică a fiecăreia dintre metodele luate în considerare.

Obiect de studiu- ecuaţii de grade superioare cu o variabilă.

Subiect de studiu- modalitati de rezolvare a ecuatiilor de grade superioare.

Ipoteză: nu există o metodă generală și un algoritm unificat care să permită găsirea de soluții la ecuații de gradul n-lea într-un număr finit de pași.

Metode de cercetare:

- metoda bibliografică (analiza literaturii pe tema de cercetare);

- metoda de clasificare;

- metoda analizei calitative.

Semnificație teoretică cercetarea constă în sistematizarea metodelor de rezolvare a ecuaţiilor de grade superioare şi descrierea algoritmilor acestora.

Semnificație practică- a transmis material pe această temă și dezvoltare ghid de studiu pentru studenții pe această temă.

1 ECUATII DE GRADE SUPERIOARE

1.1 Conceptul de ecuație de gradul n

Definiția 1. O ecuație de gradul al n-lea este o ecuație de formă

A 0 xⁿ + a 1 X n -1 + a 2 xⁿ - ² + ... + a n -1 x + a n = 0, unde coeficienții A 0, A 1, A 2…, A n -1, A n- orice numere reale și , A 0 ≠ 0 .

Polinom A 0 xⁿ + a 1 X n -1 + a 2 xⁿ - ² + ... + a n -1 x + a n se numește polinom de gradul n. Cotele se disting prin numele lor: A 0 - coeficient senior; A n este membru liber.

Definiție 2. Soluții sau rădăcini pentru o ecuație dată sunt toate valorile variabilei NS, care transformă această ecuație într-o egalitate numerică adevărată sau, pentru care polinomul A 0 xⁿ + a 1 X n -1 + a 2 xⁿ - ² + ... + a n -1 x + a n dispare. Această valoare a variabilei NS se mai numește și rădăcina polinomului. A rezolva o ecuație înseamnă a-i găsi toate rădăcinile sau a stabili că acestea nu există.

Dacă A 0 = 1, atunci o astfel de ecuație se numește ecuația rațională întreg redusă n al grad.

Pentru ecuațiile de gradul al treilea și al patrulea, există formule Cardano și Ferrari care exprimă rădăcinile acestor ecuații în termeni de radicali. S-a dovedit că în practică sunt rar folosite. Astfel, dacă n ≥ 3, iar coeficienții polinomului sunt numere reale arbitrare, atunci găsirea rădăcinilor ecuației nu este o sarcină ușoară. Cu toate acestea, în multe cazuri speciale, această problemă este rezolvată până la capăt. Să ne oprim asupra unora dintre ele.

1.2 Fapte istorice soluții de ecuații de grade superioare

Deja în antichitate, oamenii și-au dat seama cât de important este să înveți cum să rezolvi ecuațiile algebrice. Cu aproximativ 4000 de ani în urmă, oamenii de știință babilonieni stăpâneau soluția unei ecuații pătratice și rezolvau sisteme de două ecuații, dintre care una de gradul doi. Cu ajutorul ecuațiilor de grade superioare, au fost rezolvate diverse probleme de topografie, arhitectură și afaceri militare, multe și diverse întrebări de practică și științe naturale au fost reduse la ele, deoarece limbajul exact al matematicii vă permite să exprimați pur și simplu fapte și relații, care, fiind prezentat într-un limbaj obișnuit, poate părea confuz și complicat...

O formulă universală pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații algebrice al n-lea gradul nr. Mulți, desigur, au venit cu ideea tentantă de a găsi pentru orice putere n formule care să exprime rădăcinile ecuației în termeni de coeficienți, adică să rezolve ecuația în radicali.

Abia în secolul al XVI-lea, matematicienii italieni au reușit să avanseze mai departe - să găsească formule pentru n = 3 și n = 4. În același timp, Scipio, Dal, Ferro și studenții săi Fiori și Tartaglia au fost angajați în problema soluției generale. a ecuaţiilor de gradul al III-lea.

În 1545 a fost publicată cartea matematicianului italian D. Cardano „Marea artă, sau regulile algebrei”, în care, alături de alte întrebări de algebră, au fost luate în considerare metode generale de rezolvare a ecuațiilor cubice, precum și metoda pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul IV, descoperite de elevul său L. Ferrari.

F. Viet a oferit o expunere completă a întrebărilor legate de rezolvarea ecuațiilor de gradul III și IV.

În anii 20 ai secolului al XIX-lea, matematicianul norvegian N. Abel a demonstrat că rădăcinile ecuațiilor de gradul al cincilea nu pot fi exprimate în termeni de radicali.

Studiul a relevat că stiinta moderna există multe moduri de a rezolva ecuații de gradul n.

Rezultatul căutării metodelor de rezolvare a ecuațiilor de grade superioare care nu pot fi rezolvate prin metodele considerate în curiculumul scolar, metode bazate pe aplicarea teoremei lui Vieta (pentru ecuațiile de grad n> 2), teoremele lui Bezout, schemele lui Horner, precum și formula Cardano-Ferrari pentru rezolvarea ecuațiilor cubice și a ecuațiilor de gradul al patrulea.

Lucrarea prezintă metode de rezolvare a ecuațiilor și tipurile acestora, care au devenit o descoperire pentru noi. Acestea includ - metoda coeficienților nedefiniti, selectarea gradului complet, ecuații simetrice.

2. REZOLVAREA ECUATIILOR INTEGERE DE GRADE SUPERIOARE CU COEFICIENTI INTEGERI

2.1 Rezolvarea ecuațiilor de gradul III. Formula D. Cardano

Luați în considerare ecuații de formă X 3 + px + q = 0. Transformăm ecuația generală în forma: X 3 + px 2 + qx + r = 0. Să scriem formula pentru cubul sumă; Îl adăugăm la egalitatea originală și îl înlocuim cu y... Obtinem ecuatia: y 3 + (q -) (y -) + (r - = 0. După transformări, avem: y 2 + py + q = 0. Acum, din nou, scrieți formula pentru cubul sumă:

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = a 3 + b 3 + 3ab (a + b), a inlocui ( a + b)pe X, obținem ecuația X 3 - 3abx - (a 3 + b 3) = 0. Acum puteți vedea că ecuația inițială este echivalentă cu sistemul: și rezolvând sistemul, obținem:

Am obținut o formulă de rezolvare a ecuației reduse de gradul 3. Ea poartă numele matematicianului italian Cardano.

Să ne uităm la un exemplu. Rezolvați ecuația:.

Avem R= 15 și q= 124, apoi folosind formula Cardano calculăm rădăcina ecuației

Ieșire: această formulă bun, dar nu bun pentru rezolvarea tuturor ecuațiilor cubice. Cu toate acestea, este greoi. Prin urmare, în practică, este rar folosit.

Dar cel care stăpânește această formulă o poate folosi atunci când rezolvă ecuații de gradul trei la examen.

2.2 Teorema lui Vieta

Din cursul de matematică, știm această teoremă pentru o ecuație pătratică, dar puțini oameni știu că este folosită și pentru a rezolva ecuații de grade superioare.

Luați în considerare ecuația:

descompune partea stanga ecuațiile pe factori, împărțim la ≠ 0.

Transformăm partea dreaptă a ecuației în formă

; de aici rezultă că următoarele egalități pot fi scrise în sistem:

Formulele derivate de Viet pentru ecuațiile pătratice și demonstrate de noi pentru ecuațiile de gradul trei sunt valabile și pentru polinoamele de grade superioare.

Să rezolvăm ecuația cubică:

Ieșire: Pe aici universal și suficient de ușor de înțeles pentru elevi, deoarece teorema lui Vieta le este familiară din programa școlară pentru n = 2. În același timp, pentru a găsi rădăcinile ecuațiilor folosind această teoremă, trebuie să aveți bune abilități de calcul.

2.3 Teorema lui Bezout

Această teoremă poartă numele matematicianului francez din secolul al XVIII-lea J. Bezout.

Teorema. Dacă ecuaţia A 0 xⁿ + a 1 X n -1 + a 2 xⁿ - ² + ... + a n -1 x + a n = 0, în care toți coeficienții sunt numere întregi, iar termenul liber este diferit de zero, are o rădăcină întreagă, atunci această rădăcină este un divizor al termenului liber.

Având în vedere că în partea stângă a ecuației polinom nth grad, atunci teorema are o interpretare diferită.

Teorema. La împărțirea unui polinom de gradul n față de X binom x - a restul este egal cu valoarea dividendului la x = a... (scrisoare A poate desemna orice număr real sau imaginar, adică orice număr complex) .

Dovada: lasa f (x) denotă un polinom de gradul al n-lea arbitrar în raport cu variabila x și fie, la împărțirea la binom ( x-a) s-a întâmplat în privat q (x), iar în rest R... Este evident că q (x) va exista un polinom (n - 1) gradul cu privire la X iar restul R va fi o valoare constantă, adică independent de X.

Dacă restul R a fost un polinom de gradul I în raport cu x, atunci aceasta ar însemna că împărțirea nu este satisfăcută. Asa de, R din X nu depinde. Prin definiția diviziunii, obținem identitatea: f (x) = (x-a) q (x) + R.

Egalitatea este valabilă pentru orice valoare a lui x, ceea ce înseamnă că este valabilă și pentru x = a, primim: f (a) = (a-a) q (a) + R... Simbol f (a) denotă valoarea polinomului f (X) la x = a, q (a) denotă valoarea q (x) la x = a. Rest R a rămas la fel ca înainte, de vreme ce R din X nu depinde. Muncă ( x-a) q (a) = 0, deoarece factorul ( x-a) = 0,și factorul q (a) există un anumit număr... Prin urmare, din egalitate obținem: f (a) = R, h.t.d.

Exemplul 1. Aflați restul împărțirii unui polinom X 3 - 3X 2 + 6X- 5 pe un binom

X- 2. Prin teorema lui Bezout : R = f(2) = 23-322 + 62 -5 = 3. Răspuns: R = 3.

Rețineți că teorema lui Bezout este importantă nu atât în ​​sine, cât în ​​consecințele sale. (Anexa 1)

Să ne oprim asupra unor metode de aplicare a teoremei lui Bezout la rezolvarea problemelor practice. Trebuie remarcat faptul că atunci când rezolvăm ecuații folosind teorema lui Bezout, este necesar:

Găsiți toți divizorii întregi ai termenului liber;

Găsiți cel puțin o rădăcină a ecuației din acești divizori;

Împărțiți partea stângă a ecuației cu (Ha);

Notați produsul divizorului și câtul în partea stângă a ecuației;

Rezolvați ecuația rezultată.

Luați în considerare, de exemplu, rezolvarea ecuației x 3 + 4NS 2 + x - 6 = 0 .

Rezolvare: găsiți divizorii termenului liber ± 1 ; ± 2; ± 3; ± 6. Să calculăm valorile la x = 1, 1 3 + 41 2 + 1-6 = 0. Împărțiți partea stângă a ecuației la ( NS- 1). Vom efectua diviziunea „cu un colț”, obținem:

Concluzie: Teorema lui Bezout, una dintre modalitățile pe care le luăm în considerare în munca noastră, este studiată în programul claselor opționale. Este greu de înțeles, pentru că pentru a-l deține, trebuie să cunoști toate consecințele din ea, dar în același timp teorema lui Bezout este unul dintre principalii asistenți ai studenților la examen.

2.4 Schema lui Horner

A împărți un polinom la un binom x-α poți folosi un truc simplu și special inventat de matematicienii englezi din secolul al XVII-lea, numit mai târziu schema lui Horner. Pe lângă găsirea rădăcinilor ecuațiilor, conform schemei lui Horner, puteți calcula mai ușor valorile acestora. Pentru aceasta, este necesar să se substituie valoarea variabilei în polinomul Pn (x) = a 0 xn + a 1 X n-1 + a 2 xⁿ - ² +… ++ a n -1 x + a n. (1)

Se consideră împărțirea polinomului (1) la binom X-α.

Să exprimăm coeficienții coeficientului incomplet b 0 xⁿ - ¹+ b 1 xⁿ - ²+ b 2 xⁿ - ³+…+ bn -1 iar restul r din punct de vedere al coeficienților polinomului Pn ( X) și numărul α. b 0 = a 0 , b 1 = α b 0 + a 1 , b 2 = α b 1 + a 2 …, bn -1 =

= α bn -2 + a n -1 = α bn -1 + a n .

Calculele conform schemei lui Horner sunt prezentate sub forma următorului tabel:

	A 0	A 1	A 2 ,
	b 0 = a 0	b 1 = α b 0 + a 1	b 2 = α b 1 + a 2		r = α b n-1 + a n

În măsura în care r = Pn (α), atunci α este rădăcina ecuației. Pentru a verifica dacă α este o rădăcină multiplă, schema lui Horner poate fi aplicată coeficientului b 0 x + b 1 x + ... + bn -1 conform tabelului. Dacă în coloana de mai jos bn -1 se dovedește din nou 0, ceea ce înseamnă că α este o rădăcină multiplă.

Luați în considerare un exemplu: Rezolvați ecuația NS 3 + 4NS 2 + x - 6 = 0.

Aplicați factorizarea polinomului din partea stângă a ecuației, schema lui Horner în partea stângă a ecuației.

Rezolvare: găsiți divizorii termenului liber ± 1; ± 2; ± 3; ± 6.

				6 ∙ 1 + (-6) = 0

Coeficientii sunt numerele 1, 5, 6, iar restul este r = 0.

Mijloace, NS 3 + 4NS 2 + NS - 6 = (NS - 1) (NS 2 + 5NS + 6) = 0.

Prin urmare: NS- 1 = 0 sau NS 2 + 5NS + 6 = 0.

NS = 1, NS 1 = -2; NS 2 = -3. Răspuns: 1,- 2, - 3.

Concluzie: astfel, pe o ecuație, am arătat aplicarea a două căi diferite factorizarea polinoamelor. În opinia noastră, schema lui Horner este cea mai practică și mai economică.

2.5 Rezolvarea ecuațiilor de gradul IV. metoda Ferrari

Studentul lui Cardano, Ludovic Ferrari, a descoperit o modalitate de a rezolva ecuația de gradul 4. Metoda Ferrari constă în două etape.

Etapa I: ecuațiile de formă sunt reprezentate ca produs a două trinoame pătrate, aceasta rezultă din faptul că ecuația este de gradul 3 și cel puțin o soluție.

Etapa II: ecuațiile obținute se rezolvă prin factorizare, totuși, pentru a găsi factorizarea necesară, este necesară rezolvarea ecuațiilor cubice.

Ideea este de a reprezenta ecuații sub forma A 2 = B 2, unde A = X 2 + s,

Funcția B-liniară a X... Apoi, rămâne de rezolvat ecuațiile A = ± B.

Pentru claritate, luați în considerare ecuația: Să izolăm gradul 4, obținem: Pentru orice d expresia va fi Patrat perfect... Adăugați ambele părți ale ecuației pe care o obținem

În partea stângă există un pătrat plin, pe care îl puteți ridica d astfel încât și partea dreaptă (2) să devină un pătrat complet. Să ne imaginăm că am reușit acest lucru. Atunci ecuația noastră arată astfel:

Găsirea rădăcinii după aceea nu va fi dificilă. Pentru a-l alege pe cel potrivit d este necesar ca discriminantul din partea dreaptă (3) să dispară, i.e.

Deci pentru a găsi d, este necesar să se rezolve această ecuație de gradul 3. O astfel de ecuație auxiliară se numește rezoluţie.

Putem găsi cu ușurință întreaga rădăcină a soluției: d = 1

Înlocuind ecuația în (1), obținem

Concluzie: metoda Ferrari este universală, dar complicată și greoaie. În același timp, dacă algoritmul de soluție este clar, atunci ecuațiile de gradul 4 pot fi rezolvate prin această metodă.

2.6 Metoda coeficienților nedefiniti

Succesul rezolvării ecuației de gradul 4 prin metoda Ferrari depinde dacă rezolvăm soluția - ecuația de gradul 3, care, după cum știm, nu este întotdeauna posibilă.

Esența metodei coeficienților nedefiniti este aceea că se ghicește tipul de factori în care este descompus un anumit polinom, iar coeficienții acestor factori (și polinoame) sunt determinați prin înmulțirea factorilor și echivalarea coeficienților la aceleași grade ale variabil.

Exemplu: Rezolvați ecuația:

Să presupunem că partea stângă a ecuației noastre poate fi descompusă în două trinoame pătrate cu coeficienți întregi astfel încât identitatea

Evident, coeficienții din fața unității ar trebui să fie egali cu 1, iar termenii liberi ar trebui să fie egali cu unu + 1, celălalt are 1.

Coeficienții din fața NS... Să le notăm prin Ași pentru a le determina, înmulțim ambele trinoame din partea dreaptă a ecuației.

Ca rezultat, obținem:

Echivalarea coeficienților la aceleași grade NS pe părțile stânga și dreaptă ale egalității (1), obținem un sistem pentru găsirea și

După ce am rezolvat acest sistem, vom avea

Deci, ecuația noastră este echivalentă cu ecuația

După ce am rezolvat-o, obținem următoarele rădăcini:.

Metoda coeficienților nedeterminați se bazează pe următoarele afirmații: orice polinom de gradul al patrulea din ecuație poate fi descompus în produsul a două polinoame de gradul doi; două polinoame sunt identic egale dacă și numai dacă coeficienții lor sunt egali la aceleași grade NS.

2.7 Ecuații simetrice

Definiție. O ecuație de formă se numește simetrică dacă primii coeficienți din stânga din ecuație sunt egali cu primii coeficienți din dreapta.

Vedem că primii coeficienți din stânga sunt egali cu primii coeficienți din dreapta.

Dacă o astfel de ecuație are un grad impar, atunci are rădăcina NS= - 1. În continuare, putem scădea gradul ecuației împărțind-o la ( x + 1). Se pare că atunci când ecuația simetrică este împărțită la ( x + 1) se obține o ecuație simetrică de grad par. Dovada simetriei coeficienților este prezentată mai jos. (Anexa 6) Sarcina noastră este să învățăm cum să rezolvăm ecuații simetrice de grad par.

De exemplu: (1)

Rezolvăm ecuația (1), împărțim la NS 2 (mediu) = 0.

Să grupăm termenii cu simetric

) + 3(X+. Notăm la= X+, să pătram ambele laturi, deci = la 2 Deci, 2 ( la 2 sau 2 la 2 + 3 rezolvând ecuația, obținem la = , la= 3. În continuare, să revenim la înlocuire X+ = și X+ = 3. Obținem ecuațiile și Prima nu are soluție, iar a doua are două rădăcini. Răspuns:.

Ieșire: vedere dată ecuațiile nu se întâlnesc des, dar dacă dai peste ea, atunci poate fi rezolvată ușor și simplu, fără a recurge la calcule greoaie.

2.8 Izolarea gradului complet

Luați în considerare ecuația.

Partea stângă este cubul sumei (x + 1), adică.

Extragem rădăcina gradului al treilea din ambele părți:, apoi obținem

De unde este singura rădăcină.

REZULTATELE STUDIULUI

Pe baza rezultatelor lucrării, am ajuns la următoarele concluzii:

Datorită teoriei studiate, ne-am familiarizat metode diferite soluții de ecuații întregi de grade superioare;

Formula lui D. Cardano este greu de aplicat și oferă o mare probabilitate de a face erori în calcul;

- Metoda lui L. Ferrari face posibilă reducerea soluției unei ecuații de gradul al patrulea la una cubică;

- Teorema lui Bezout poate fi aplicată atât pentru ecuațiile cubice, cât și pentru ecuațiile de gradul IV; este mai înțeles și mai clar atunci când este aplicat la soluția ecuațiilor;

Schema lui Horner ajută la reducerea și simplificarea semnificativă a calculelor în rezolvarea ecuațiilor. Pe lângă găsirea rădăcinilor, conform schemei lui Horner, este mai ușor să se calculeze valorile polinoamelor din partea stângă a ecuației;

Un interes deosebit a fost rezolvarea ecuațiilor prin metoda coeficienților nedeterminați, soluția ecuațiilor simetrice.

Pe parcursul muncă de cercetare S-a constatat că elevii învață cele mai simple metode de rezolvare a ecuațiilor de cel mai înalt grad la orele opționale de matematică, începând din clasa a IX-a sau a X-a, precum și la cursurile speciale ale școlilor de matematică în vizită. Acest fapt a fost stabilit în urma unui sondaj între profesori de matematică MBOU „Școala Gimnazială Nr. 9” și elevi care arată dobândă crescută la materia „matematică”.

Cele mai populare metode de rezolvare a ecuațiilor de grade superioare, care se regăsesc în rezolvarea olimpiadelor, a problemelor competitive și ca urmare a pregătirii elevilor pentru examene, sunt metode bazate pe aplicarea teoremei lui Bezout, a schemei lui Horner și a introducerii unei noi variabile.

Demonstrarea rezultatelor muncii de cercetare, de ex. modalități de rezolvare a ecuațiilor care nu sunt studiate în programa școlară la matematică, colegii interesați.

Concluzie

După ce a studiat literatura educațională și științifică, resursele de pe Internet în forumuri educaționale pentru tineret