Ce este factorizarea unui polinom? Cazuri complexe de factorizare a polinoamelor

Când se rezolvă ecuații și inegalități, este adesea necesar să se factorizeze un polinom al cărui grad este trei sau mai mare. În acest articol vom analiza cel mai simplu mod de a face acest lucru.

Ca de obicei, să apelăm la teorie pentru ajutor.

teorema lui Bezout afirmă că restul la împărțirea unui polinom la un binom este .

Dar ceea ce este important pentru noi nu este teorema în sine, ci corolar din aceasta:

Dacă numărul este rădăcina unui polinom, atunci polinomul este divizibil cu binom fără rest.

Ne confruntăm cu sarcina de a găsi cumva cel puțin o rădăcină a polinomului, apoi împărțind polinomul la , unde este rădăcina polinomului. Ca urmare, obținem un polinom al cărui grad este cu unul mai mic decât gradul celui original. Și apoi, dacă este necesar, puteți repeta procesul.

Această sarcină se împarte în două: cum să găsiți rădăcina unui polinom și cum să împărțiți un polinom la un binom.

Să aruncăm o privire mai atentă asupra acestor puncte.

1. Cum să găsiți rădăcina unui polinom.

Mai întâi, verificăm dacă numerele 1 și -1 sunt rădăcini ale polinomului.

Următoarele fapte ne vor ajuta aici:

Dacă suma tuturor coeficienților unui polinom este zero, atunci numărul este rădăcina polinomului.

De exemplu, într-un polinom suma coeficienților este zero: . Este ușor să verifici care este rădăcina unui polinom.

Dacă suma coeficienților unui polinom la puteri pare este egală cu suma coeficienților la puteri impare, atunci numărul este rădăcina polinomului. Termenul liber este considerat un coeficient pentru un grad par, deoarece , a este un număr par.

De exemplu, într-un polinom, suma coeficienților pentru puterile pare este : , iar suma coeficienților pentru puterile impare este : . Este ușor să verifici care este rădăcina unui polinom.

Dacă nici 1, nici -1 nu sunt rădăcini ale polinomului, atunci mergem mai departe.

Pentru un polinom redus de grad (adică un polinom în care coeficientul principal - coeficientul la - este egal cu unitatea), formula Vieta este valabilă:

Unde sunt rădăcinile polinomului.

Există și formule Vieta privind coeficienții rămași ai polinomului, dar ne interesează acesta.

Din această formulă Vieta rezultă că dacă rădăcinile unui polinom sunt numere întregi, atunci ele sunt divizori ai termenului său liber, care este și un număr întreg.

Pe baza acestui fapt, trebuie să factorăm termenul liber al polinomului în factori și, secvenţial, de la cel mai mic la cel mai mare, să verificăm care dintre factori este rădăcina polinomului.

Luați în considerare, de exemplu, polinomul

Divizori ai termenului liber: ;

;

;

Suma tuturor coeficienților unui polinom este egală cu , prin urmare, numărul 1 nu este rădăcina polinomului.

Suma coeficienților pentru puteri pare:

Suma coeficienților pentru puteri impare:

Prin urmare, numărul -1 nu este, de asemenea, o rădăcină a polinomului.

Să verificăm dacă numărul 2 este rădăcina polinomului: prin urmare, numărul 2 este rădăcina polinomului. Aceasta înseamnă că, conform teoremei lui Bezout, polinomul este divizibil cu un binom fără rest.

2. Cum se împarte un polinom într-un binom.

Un polinom poate fi împărțit într-un binom printr-o coloană.

Împărțiți polinomul la un binom folosind o coloană: Există o altă modalitate de a împărți un polinom la un binom - schema lui Horner.

Urmăriți acest videoclip pentru a înțelege

cum să împărțiți un polinom cu un binom cu o coloană și folosind diagrama lui Horner.

Remarc că, dacă, atunci când împărțim pe o coloană, lipsește un anumit grad de necunoscut în polinomul original, scriem 0 în locul său - în același mod ca atunci când compilăm un tabel pentru schema lui Horner. Deci, dacă trebuie să împărțim un polinom la un binom și ca rezultat al împărțirii obținem un polinom, atunci putem găsi coeficienții polinomului folosind schema lui Horner: Putem folosi, de asemenea

Schema Horner

pentru a verifica dacă un anumit număr este rădăcina unui polinom: dacă numărul este rădăcina unui polinom, atunci restul la împărțirea polinomului la este egal cu zero, adică în ultima coloană a celui de-al doilea rând al Diagrama lui Horner obținem 0. Folosind schema lui Horner, „omorâm două păsări dintr-o singură piatră”: verificăm simultan dacă numărul este rădăcina unui polinom și împărțim acest polinom la un binom.

Exemplu.

Rezolvați ecuația:

1. Să notăm divizorii termenului liber și să căutăm rădăcinile polinomului printre divizorii termenului liber.

Divizorii lui 24:

2. Să verificăm dacă numărul 1 este rădăcina polinomului.

Suma coeficienților unui polinom, prin urmare, numărul 1 este rădăcina polinomului.

3. Împărțiți polinomul original într-un binom folosind schema lui Horner.

A) Să notăm coeficienții polinomului original în primul rând al tabelului.

În ultima coloană, așa cum era de așteptat, am primit zero, am împărțit polinomul original la un binom fără rest; Coeficienții polinomului rezultat din împărțire sunt afișați cu albastru în al doilea rând al tabelului:

Este ușor să verificați că numerele 1 și -1 nu sunt rădăcini ale polinomului

B) Să continuăm masa. Să verificăm dacă numărul 2 este rădăcina polinomului:

Deci, gradul polinomului, care se obține ca urmare a împărțirii la unu, este mai mic decât gradul polinomului original, prin urmare, numărul de coeficienți și numărul de coloane sunt cu unul mai puțin.

În ultima coloană am obținut -40 - un număr care nu este egal cu zero, prin urmare, polinomul este divizibil cu un binom cu rest, iar numărul 2 nu este rădăcina polinomului.

C) Să verificăm dacă numărul -2 este rădăcina polinomului. Deoarece încercarea anterioară a eșuat, pentru a evita confuzia cu coeficienții, voi șterge linia corespunzătoare acestei încercări:

Mare! Am primit zero ca rest, prin urmare, polinomul a fost împărțit într-un binom fără rest, prin urmare, numărul -2 este rădăcina polinomului. Coeficienții polinomului care se obțin prin împărțirea unui polinom la un binom sunt afișați cu verde în tabel.

Ca rezultat al împărțirii obținem un trinom pătratic , ale căror rădăcini pot fi găsite cu ușurință folosind teorema lui Vieta:

Deci, rădăcinile ecuației inițiale sunt:

{}

Raspuns: ( }

Un polinom este o expresie formată din suma monomiilor. Acestea din urmă sunt produsul unei constante (număr) și rădăcina (sau rădăcinile) expresiei la puterea lui k. În acest caz, vorbim de un polinom de gradul k. Expansiunea unui polinom presupune o transformare a expresiei în care termenii sunt înlocuiți cu factori. Să luăm în considerare principalele modalități de a realiza acest tip de transformare.

Metoda de extindere a unui polinom prin izolarea unui factor comun

Această metodă se bazează pe legile legii distribuției. Deci, mn + mk = m * (n + k).

• Exemplu: extinde 7y 2 + 2uy și 2m 3 – 12m 2 + 4lm.

7y 2 + 2uy = y * (7y + 2u),

2m 3 – 12m 2 + 4lm = 2m(m 2 – 6m + 2l).

Cu toate acestea, factorul care este în mod necesar prezent în fiecare polinom poate să nu fie întotdeauna găsit, prin urmare această metodă nu este universal.

Metoda de expansiune polinomială bazată pe formule de înmulțire prescurtate

Formulele de înmulțire prescurtate sunt valabile pentru polinoamele de orice grad. ÎN vedere generală Expresia de conversie arată astfel:

u k – l k = (u – l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + … u * l k-2 + l k-1), unde k este un reprezentant al numere naturale.

Formulele cele mai des folosite în practică sunt pentru polinoamele de ordinul doi și trei:

u 2 – l 2 = (u – l)(u + l),

u 3 – l 3 = (u – l)(u 2 + ul + l 2),

u 3 + l 3 = (u + l)(u 2 – ul + l 2).

• Exemplu: extinde 25p 2 – 144b 2 și 64m 3 – 8l 3.

25p 2 – 144b 2 = (5p – 12b)(5p + 12b),

64m 3 – 8l 3 = (4m) 3 – (2l) 3 = (4m – 2l)((4m) 2 + 4m * 2l + (2l) 2) = (4m – 2l)(16m 2 + 8ml + 4l 2) ).

Metoda expansiunii polinomiale - gruparea termenilor unei expresii

Această metodă are într-un fel ceva în comun cu tehnica de derivare a factorului comun, dar are unele diferențe. În special, înainte de a izola un factor comun, monomiile ar trebui grupate. Gruparea se bazează pe regulile legilor combinaționale și comutative.

Toate monomiile prezentate în expresie sunt împărțite în grupuri, în fiecare dintre acestea sens general astfel încât al doilea factor va fi același în toate grupurile. În general, această metodă de descompunere poate fi reprezentată ca expresia:

pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s),

pl + ks + kl + ps = (p + k)(l + s).

• Exemplu: răspândit 14mn + 16ln – 49m – 56l.

14mn + 16ln – 49m – 56l = (14mn – 49m) + (16ln – 56l) = 7m * (2n – 7) + 8l * (2n – 7) = (7m + 8l)(2n – 7).

Metoda expansiunii polinomiale - formarea unui pătrat perfect

Această metodă este una dintre cele mai eficiente în extinderea unui polinom. În stadiul inițial, este necesar să se determine monomii care pot fi „prăbușite” în pătratul diferenței sau al sumei. Pentru a face acest lucru, utilizați una dintre relațiile:

(p – b) 2 = p 2 – 2pb + b 2,

• Exemplu: extindeți expresia u 4 + 4u 2 – 1.

Dintre monomiile sale, selectăm termenii care formează un pătrat complet: u 4 + 4u 2 – 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 – 4 – 1 =

= (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 4 – 1 = (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 5.

Completați transformarea folosind regulile de înmulțire prescurtate: (u 2 + 2) 2 – 5 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).

Că. u 4 + 4u 2 – 1 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).

În general, această sarcină necesită o abordare creativă, deoarece nu există o metodă universală de rezolvare. Dar să încercăm să dăm câteva sfaturi.

În majoritatea covârșitoare a cazurilor, factorizarea unui polinom se bazează pe un corolar al teoremei lui Bezout, adică rădăcina este găsită sau selectată și gradul polinomului este redus cu unu prin împărțirea la . Se caută rădăcina polinomului rezultat și procesul se repetă până la extinderea completă.

Dacă rădăcina nu poate fi găsită, atunci se folosesc metode specifice de extindere: de la grupare până la introducerea de termeni suplimentari care se exclud reciproc.

Prezentarea ulterioară se bazează pe abilitățile de rezolvare a ecuațiilor grade superioare cu coeficienți întregi.

Excluderea factorului comun.

Să începem cu cel mai simplu caz, când termenul liber este egal cu zero, adică polinomul are forma .

Evident, rădăcina unui astfel de polinom este , adică putem reprezenta polinomul sub forma .

Această metodă nu este altceva decât scotând factorul comun dintre paranteze.

pentru a verifica dacă un anumit număr este rădăcina unui polinom: dacă numărul este rădăcina unui polinom, atunci restul la împărțirea polinomului la este egal cu zero, adică în ultima coloană a celui de-al doilea rând al Diagrama lui Horner obținem 0.

Factorizați un polinom de gradul trei.

Soluţie.

Evident, care este rădăcina polinomului, adică X poate fi scos din paranteze:

Să găsim rădăcinile trinomului pătratic

Astfel,

Începutul paginii

Factorizarea unui polinom cu rădăcini raționale.

În primul rând, să luăm în considerare o metodă de extindere a unui polinom cu coeficienți întregi de forma , coeficientul de cel mai înalt grad este egal cu unu.

În acest caz, dacă un polinom are rădăcini întregi, atunci ele sunt divizori ai termenului liber.

pentru a verifica dacă un anumit număr este rădăcina unui polinom: dacă numărul este rădăcina unui polinom, atunci restul la împărțirea polinomului la este egal cu zero, adică în ultima coloană a celui de-al doilea rând al Diagrama lui Horner obținem 0.

Soluţie.

Să verificăm dacă există rădăcini intacte. Pentru a face acest lucru, notați divizorii numărului -18 : . Adică, dacă un polinom are rădăcini întregi, atunci acestea sunt printre numerele scrise. Să verificăm aceste numere succesiv folosind schema lui Horner. Comoditatea sa constă și în faptul că în final obținem coeficienții de expansiune ai polinomului:

adica x=2Şi x=-3 sunt rădăcinile polinomului original și îl putem reprezenta ca produs:

Rămâne să extindem trinomul pătratic.

Discriminantul acestui trinom este negativ, prin urmare nu are rădăcini reale.

Răspuns:

Comentariu:

În loc de schema lui Horner, s-ar putea folosi selecția rădăcinii și împărțirea ulterioară a polinomului cu un polinom.

Acum luați în considerare expansiunea unui polinom cu coeficienți întregi de forma , iar coeficientul de cel mai înalt grad nu este egal cu unu.

În acest caz, polinomul poate avea rădăcini fracționale raționale.

pentru a verifica dacă un anumit număr este rădăcina unui polinom: dacă numărul este rădăcina unui polinom, atunci restul la împărțirea polinomului la este egal cu zero, adică în ultima coloană a celui de-al doilea rând al Diagrama lui Horner obținem 0.

Factorizați expresia.

Soluţie.

Prin efectuarea unei modificări variabile y=2x, să trecem la un polinom cu un coeficient egal cu unu la cel mai înalt grad. Pentru a face acest lucru, mai întâi înmulțiți expresia cu 4 .

Dacă funcția rezultată are rădăcini întregi, atunci acestea sunt printre divizorii termenului liber. Să le scriem:

Să calculăm secvențial valorile funcției g(y)în aceste puncte până când se ajunge la zero.

Conceptele de „polinom” și „factorizarea unui polinom” în algebră sunt întâlnite foarte des, deoarece trebuie să le cunoașteți pentru a efectua cu ușurință calcule cu numere mari cu mai multe cifre. Acest articol va descrie mai multe metode de descompunere. Toate sunt destul de ușor de utilizat, trebuie doar să-l alegi pe cel potrivit pentru fiecare caz specific.

Conceptul de polinom

Un polinom este o sumă de monomii, adică expresii care conțin numai operația de înmulțire.

De exemplu, 2 * x * y este un monom, dar 2 * x * y + 25 este un polinom care constă din 2 monomii: 2 * x * y și 25. Astfel de polinoame se numesc binoame.

Uneori, pentru comoditatea rezolvării exemplelor cu valori multivalorice, o expresie trebuie transformată, de exemplu, descompusă într-un anumit număr de factori, adică numere sau expresii între care se realizează acțiunea de multiplicare. Există mai multe moduri de factorizare a unui polinom. Merită să le luați în considerare, începând cu cea mai primitivă, care este folosită în școala primară.

Grupare (înregistrare în formă generală)

Formula pentru factorizarea unui polinom folosind metoda grupării în general arată astfel:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Este necesar să grupăm monomiile astfel încât fiecare grup să aibă un factor comun. În prima paranteză acesta este factorul c, iar în a doua - d. Acest lucru trebuie făcut pentru a-l muta apoi din suport, simplificând astfel calculele.

Algoritm de descompunere folosind un exemplu specific

Cel mai simplu exemplu de factorizare a unui polinom folosind metoda grupării este dat mai jos:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

În prima paranteză trebuie să luați termenii cu factorul a, care va fi comun, iar în a doua - cu factorul b. Acordați atenție semnelor + și - din expresia finală. Punem în fața monomului semnul care se afla în expresia inițială. Adică, trebuie să lucrați nu cu expresia 25a, ci cu expresia -25. Semnul minus pare a fi „lipit” de expresia din spatele lui și întotdeauna luat în considerare la calcul.

În pasul următor, trebuie să scoateți multiplicatorul, care este obișnuit, din paranteze. Exact pentru asta este gruparea. A pune în afara parantezei înseamnă a scrie înaintea parantezei (omițând semnul înmulțirii) toți acei factori care se repetă exact în toți termenii care sunt în paranteză. Dacă nu sunt 2, ci 3 sau mai mulți termeni într-o paranteză, factorul comun trebuie să fie conținut în fiecare dintre ei, altfel nu poate fi scos din paranteză.

În cazul nostru, sunt doar 2 termeni între paranteze. Multiplicatorul general este imediat vizibil. În prima paranteză este a, în a doua este b. Aici trebuie să acordați atenție coeficienților digitali. În prima paranteză, ambii coeficienți (10 și 25) sunt multipli ai lui 5. Aceasta înseamnă că nu numai a, ci și 5a pot fi scoși din paranteză. Înainte de paranteză, scrieți 5a și apoi împărțiți fiecare dintre termenii dintre paranteze după factorul comun care a fost scos și, de asemenea, scrieți câtul între paranteze, fără a uita de semnele + și -. Faceți același lucru cu a doua paranteză. scoateți 7b, precum și 14 și 35 multiplu de 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5).

Avem 2 termeni: 5a(2c - 5) și 7b(2c - 5). Fiecare dintre ele conține un factor comun (toată expresia dintre paranteze este aceeași aici, ceea ce înseamnă că este un factor comun): 2c - 5. De asemenea, trebuie scos din paranteză, adică termenii 5a și 7b rămân în a doua paranteză:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Deci expresia completă este:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Astfel, polinomul 10ac + 14bc - 25a - 35b se descompune în 2 factori: (2c - 5) și (5a + 7b). Semnul înmulțirii dintre ele poate fi omis la scriere

Uneori există expresii de acest tip: 5a 2 + 50a 3, aici puteți scoate din paranteze nu numai a sau 5a, ci chiar 5a 2. Ar trebui să încercați întotdeauna să scoateți cel mai mare factor comun din paranteză. În cazul nostru, dacă împărțim fiecare termen la un factor comun, obținem:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(la calcularea coeficientului mai multor puteri cu în egală măsură Se păstrează baza și se scade exponentul). Astfel, unitatea rămâne în paranteză (în niciun caz nu uitați să scrieți unul dacă scoateți unul dintre termeni din paranteză) și câtul de împărțire: 10a. Rezultă că:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Formule pătrate

Pentru ușurința calculului, au fost derivate mai multe formule. Acestea se numesc formule de înmulțire abreviate și sunt folosite destul de des. Aceste formule ajută la factorizarea polinoamelor care conțin grade. Acesta este altul mod eficient factorizarea. Deci iată-le:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - o formulă numită „pătratul sumei”, deoarece, ca urmare a descompunerii într-un pătrat, se ia suma numerelor cuprinse între paranteze, adică valoarea acestei sume este înmulțită cu ea însăși de 2 ori și, prin urmare, este o multiplicator.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - formula pentru pătratul diferenței, este similară cu cea anterioară. Rezultă diferența, cuprinsă între paranteze, conținută în puterea pătrată.
• a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)- aceasta este o formulă pentru diferența de pătrate, deoarece inițial polinomul este format din 2 pătrate de numere sau expresii, între care se efectuează scăderea. Poate că, dintre cele trei menționate, este folosit cel mai des.

Exemple de calcule folosind formule pătrate

Calculele pentru ei sunt destul de simple. De exemplu:

1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 - folosiți formula „pătratul sumei”.
2. 25x 2 este pătratul lui 5x. 20xy este produsul dublu al lui 2*(5x*2y), iar 4y 2 este pătratul lui 2y.
3. Astfel, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Acest polinom este descompus în 2 factori (factorii sunt aceiași, deci se scrie ca o expresie cu o putere pătrată).

Acțiunile care utilizează formula diferenței pătrate sunt efectuate în mod similar cu acestea. Formula rămasă este diferența de pătrate. Exemple ale acestei formule sunt foarte ușor de definit și de găsit printre alte expresii. De exemplu:

• 25a 2 - 400 = (5a - 20)(5a + 20). Deoarece 25a 2 = (5a) 2 și 400 = 20 2
• 36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y). Deoarece 36x 2 = (6x) 2 și 25y 2 = (5y 2)
• c 2 - 169b 2 = (c - 13b)(c + 13b). Deoarece 169b 2 = (13b) 2

Este important ca fiecare dintre termeni să fie un pătrat al unei expresii. Apoi acest polinom trebuie factorizat folosind formula diferenței de pătrate. Pentru aceasta, nu este necesar ca gradul doi să fie deasupra numărului. Există polinoame care conțin grade mari, dar încă se potrivesc acestor formule.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

În acest exemplu, un 8 poate fi reprezentat ca (a 4) 2, adică pătratul unei anumite expresii. 25 este 5 2, iar 10a este 4 - acesta este produsul dublu al termenilor 2 * a 4 * 5. Adică această expresie, în ciuda prezenței unor grade cu exponenți mari, poate fi descompusă în 2 factori pentru a putea lucra ulterior cu aceștia.

Formule cub

Aceleași formule există pentru factorizarea polinoamelor care conțin cuburi. Sunt puțin mai complicate decât cele cu pătrate:

• a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)- această formulă se numește suma cuburilor, deoarece în forma sa inițială polinomul este suma a două expresii sau numere închise într-un cub.
• a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2) - o formulă identică cu cea anterioară este desemnată ca diferență de cuburi.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - cubul unei sume, ca rezultat al calculelor, suma numerelor sau expresiilor este cuprinsă între paranteze și înmulțită cu ea însăși de 3 ori, adică situată într-un cub
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - formula, întocmită prin analogie cu cea anterioară, schimbând doar unele semne ale operațiilor matematice (plus și minus), se numește „cubul diferențelor”.

Ultimele două formule practic nu sunt folosite în scopul factorizării unui polinom, deoarece sunt complexe și este destul de rar să găsiți polinoame care corespund pe deplin exact acestei structuri, astfel încât să poată fi factorizate folosind aceste formule. Dar trebuie totuși să le cunoașteți, deoarece vor fi necesare atunci când se operează în direcția opusă - la deschiderea parantezelor.

Exemple de formule cub

Să ne uităm la un exemplu: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Aici sunt luate numere destul de simple, așa că puteți vedea imediat că 64a 3 este (4a) 3, iar 8b 3 este (2b) 3. Astfel, acest polinom este extins conform formulei diferenței cuburilor în 2 factori. Acțiunile care utilizează formula pentru suma cuburilor sunt efectuate prin analogie.

Este important de înțeles că nu toate polinoamele pot fi extinse în cel puțin un fel. Există însă expresii care conțin puteri mai mari decât un pătrat sau un cub, dar pot fi extinse și în forme de înmulțire abreviate. De exemplu: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

Acest exemplu conține până la gradul al 12-lea. Dar chiar și poate fi factorizat folosind formula sumei cuburilor. Pentru a face acest lucru, trebuie să vă imaginați x 12 ca (x 4) 3, adică ca un cub al unei expresii. Acum, în loc de a, trebuie să îl înlocuiți în formulă. Ei bine, expresia 125y 3 este un cub de 5y. Apoi, trebuie să compuneți produsul folosind formula și să efectuați calcule.

La început, sau în caz de îndoială, puteți verifica oricând prin înmulțire inversă. Trebuie doar să deschideți parantezele în expresia rezultată și să efectuați acțiuni cu termeni similari. Această metodă se aplică tuturor metodelor de reducere enumerate: atât pentru lucrul cu un factor comun și grupare, cât și pentru lucrul cu formule de cuburi și puteri pătratice.

Să ne uităm la exemple concrete, cum se factorizează un polinom.

Vom extinde polinoamele în conformitate cu .

Factorizați polinoamele:

Să verificăm dacă există un factor comun. da, este egal cu 7cd. Să-l scoatem din paranteze:

Expresia dintre paranteze este formată din doi termeni. Nu mai există un factor comun, expresia nu este o formulă pentru suma cuburilor, ceea ce înseamnă că descompunerea este completă.

Să verificăm dacă există un factor comun. Nu. Polinomul este format din trei termeni, așa că verificăm dacă există o formulă pentru un pătrat complet. Doi termeni sunt pătratele expresiilor: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², al treilea termen este egal cu produsul dublu al acestor expresii: 2∙5x∙3y=30xy. Aceasta înseamnă că acest polinom este pătrat perfect. Deoarece produsul dublu are semnul minus, acesta este:

Verificăm dacă este posibil să scoatem factorul comun din paranteze. Există un factor comun, este egal cu a. Să-l scoatem din paranteze:

Sunt doi termeni între paranteze. Verificăm dacă există o formulă pentru diferența de pătrate sau diferența de cuburi. a² este pătratul lui a, 1=1². Aceasta înseamnă că expresia dintre paranteze poate fi scrisă folosind formula diferenței de pătrate:

Există un factor comun, este egal cu 5. Să-l scoatem din paranteze:

între paranteze sunt trei termeni. Verificăm dacă expresia este un pătrat perfect. Doi termeni sunt pătrate: 16=4² și a² - pătratul lui a, al treilea termen este egal cu produsul dublu al lui 4 și a: 2∙4∙a=8a. Prin urmare, este un pătrat perfect. Deoarece toți termenii au semnul „+”, expresia dintre paranteze este pătratul perfect al sumei:

Scoatem multiplicatorul general -2x din paranteze:

Între paranteze este suma a doi termeni. Verificăm dacă această expresie este o sumă de cuburi. 64=4³, x³- cub x. Aceasta înseamnă că binomul poate fi extins folosind formula:

Există un multiplicator comun. Dar, deoarece polinomul este format din 4 termeni, vom scoate mai întâi și abia apoi factorul comun din paranteze. Să grupăm primul termen cu al patrulea, iar al doilea cu al treilea:

Din primele paranteze scoatem factorul comun 4a, din al doilea - 8b:

Nu există încă un multiplicator comun. Pentru a-l obține, scoatem „-“ din a doua paranteză și fiecare semn din paranteze se schimbă în opus:

Acum să luăm factorul comun (1-3a) din paranteze:

În a doua paranteză există un factor comun 4 (acesta este același factor pe care nu l-am scos dintre paranteze la începutul exemplului):

Deoarece polinomul este format din patru termeni, efectuăm gruparea. Să grupăm primul termen cu al doilea, al treilea cu al patrulea:

În primele paranteze nu există un factor comun, dar există o formulă pentru diferența de pătrate, în a doua paranteză factorul comun este -5:

A apărut un multiplicator comun (4m-3n). Să o scoatem din ecuație.