Cum se rezolvă cu ușurință ecuații trigonometrice. Cum se rezolvă ecuații trigonometrice

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

  • Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

  • Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
  • Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
  • De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi auditarea, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
  • Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

  • Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
  • În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către terțul succesor aplicabil.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizare neloială, precum și de acces neautorizat, dezvăluire, modificare și distrugere.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice simple.

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de orice nivel de complexitate se reduce în cele din urmă la rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice. Și în asta cel mai bun ajutor din nou se dovedește a fi un cerc trigonometric.

Să ne amintim definițiile cosinusului și sinusului.

Cosinusul unui unghi este abscisa (adică coordonata de-a lungul axei) a unui punct de pe cercul unitar corespunzător unei rotații printr-un unghi dat.

Sinusul unui unghi este ordonata (adică coordonata de-a lungul axei) a unui punct de pe cercul unitar corespunzător unei rotații printr-un unghi dat.

Direcția pozitivă a mișcării pe cercul trigonometric este în sens invers acelor de ceasornic. O rotație de 0 grade (sau 0 radiani) corespunde unui punct cu coordonate (1;0)

Folosim aceste definiții pentru a rezolva ecuații trigonometrice simple.

1. Rezolvați ecuația

Această ecuație este satisfăcută de toate valorile unghiului de rotație care corespund punctelor din cerc a căror ordonată este egală cu .

Să marchem un punct cu ordonată pe axa ordonatelor:


Desenați o linie orizontală paralelă cu axa x până când se intersectează cu cercul. Obținem două puncte situate pe cerc și având o ordonată. Aceste puncte corespund unghiurilor de rotație în și radiani:


Dacă, lăsând punctul corespunzător unghiului de rotație pe radian, ocolim un cerc complet, atunci vom ajunge la un punct corespunzător unghiului de rotație pe radian și având aceeași ordonată. Adică, acest unghi de rotație satisface și ecuația noastră. Putem face câte revoluții „în gol” ne dorim, revenind la același punct, iar toate aceste valori ale unghiului ne vor satisface ecuația. Numărul de rotații „în gol” va fi notat cu litera (sau). Deoarece putem face aceste revoluții atât în ​​direcții pozitive, cât și în direcții negative, (sau) poate lua orice valoare întreagă.

Adică, prima serie de soluții la ecuația originală are forma:

, , - set de numere întregi (1)

În mod similar, a doua serie de soluții are forma:

, Unde , . (2)

După cum probabil ați ghicit, această serie de soluții se bazează pe punctul de pe cerc corespunzător unghiului de rotație cu .

Aceste două serii de soluții pot fi combinate într-o singură intrare:

Dacă luăm (adică chiar) în această intrare, atunci vom obține prima serie de soluții.

Dacă luăm (adică impar) în această intrare, atunci obținem a doua serie de soluții.

2. Acum să rezolvăm ecuația

Deoarece aceasta este abscisa unui punct de pe cercul unitar obtinut prin rotirea printr-un unghi, marcam punctul cu abscisa pe axa:


Desenați o linie verticală paralelă cu axa până când se intersectează cu cercul. Vom obține două puncte situate pe cerc și având o abscisă. Aceste puncte corespund unghiurilor de rotație în și radiani. Amintiți-vă că atunci când ne mișcăm în sensul acelor de ceasornic obținem un unghi de rotație negativ:


Să notăm două serii de soluții:

,

,

(Ajungem la punctul dorit mergând de la cercul complet principal, adică.

Să combinăm aceste două serii într-o singură intrare:

3. Rezolvați ecuația

Linia tangentă trece prin punctul cu coordonatele (1,0) ale cercului unitar paralel cu axa OY

Să marchem un punct pe el cu o ordonată egală cu 1 (căutăm tangenta a cărei unghiuri este egală cu 1):


Să conectăm acest punct la originea coordonatelor cu o linie dreaptă și să marchem punctele de intersecție ale dreptei cu cercul unitar. Punctele de intersecție ale dreptei și ale cercului corespund unghiurilor de rotație pe și:


Deoarece punctele corespunzătoare unghiurilor de rotație care satisfac ecuația noastră se află la o distanță de radiani unul de celălalt, putem scrie soluția astfel:

4. Rezolvați ecuația

Linia cotangentelor trece prin punctul cu coordonatele cercului unitar paralel cu axa.

Să marchem un punct cu abscisă -1 pe linia cotangentă:


Să conectăm acest punct la originea dreptei și să o continuăm până când se intersectează cu cercul. Această linie dreaptă va intersecta cercul în puncte corespunzătoare unghiurilor de rotație în și radiani:


Deoarece aceste puncte sunt separate unul de celălalt printr-o distanță egală cu , putem scrie soluția generală a acestei ecuații după cum urmează:

În exemplele date care ilustrează soluția celor mai simple ecuații trigonometrice, s-au folosit valori tabelare ale funcțiilor trigonometrice.

Totuși, dacă în partea dreaptă a ecuației nu există valoarea tabelului, apoi înlocuim valoarea în soluția generală a ecuației:





SOLUȚII SPECIALE:

Să marchem punctele de pe cerc a cărui ordonată este 0:


Să marchem un singur punct pe cerc a cărui ordonată este 1:


Să marchem un singur punct pe cerc a cărui ordonată este egală cu -1:


Deoarece se obișnuiește să se indice valorile cele mai apropiate de zero, scriem soluția după cum urmează:

Să marchem punctele cercului a cărui abscisă este egală cu 0:


5.
Să marchem un singur punct pe cerc a cărui abscisă este egală cu 1:


Să marchem un singur punct pe cerc a cărui abscisă este egală cu -1:


Și exemple puțin mai complexe:

1.

Sinusul este egal cu unu dacă argumentul este egal cu

Argumentul sinusului nostru este egal, deci obținem:

Împărțiți ambele părți ale egalității la 3:

Răspuns:

2.

Cosinusul este zero dacă argumentul cosinusului este

Argumentul cosinusului nostru este egal cu , deci obținem:

Să exprimăm , pentru a face acest lucru ne deplasăm mai întâi la dreapta cu semnul opus:

Să simplificăm partea dreaptă:

Împărțiți ambele părți la -2:

Rețineți că semnul din fața termenului nu se schimbă, deoarece k poate lua orice valoare întreagă.

Răspuns:

Și, în sfârșit, urmăriți lecția video „Selectarea rădăcinilor într-o ecuație trigonometrică folosind un cerc trigonometric”

Aceasta încheie conversația noastră despre rezolvarea ecuațiilor trigonometrice simple. Data viitoare vom vorbi despre cum să decidem.

Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice

Introducere 2

Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice 5

algebric 5

Rezolvarea ecuațiilor folosind condiția de egalitate a funcțiilor trigonometrice cu același nume 7

Factorizarea 8

Reducerea la ecuația omogenă 10

Introducerea unghiului auxiliar 11

Transformați produsul în suma 14

Substituția universală 14

Concluzia 17

Introducere

Până în clasa a zecea, ordinea acțiunilor multor exerciții care duc la scop este, de regulă, clar definită. De exemplu, ecuații și inecuații liniare și pătratice, ecuații fracționale și ecuații reductibile la cele pătratice etc. Fără a examina în detaliu principiul rezolvării fiecăruia dintre exemplele menționate, notăm lucrurile generale care sunt necesare pentru soluționarea lor cu succes.

În cele mai multe cazuri, trebuie să stabiliți ce tip de sarcină este sarcina, să vă amintiți succesiunea de acțiuni care duc la obiectiv și să efectuați aceste acțiuni. În mod evident, succesul sau eșecul unui student în stăpânirea tehnicilor de rezolvare a ecuațiilor depinde în principal de cât de bine este capabil să determine corect tipul de ecuație și să-și amintească succesiunea tuturor etapelor rezolvării acesteia. Desigur, se presupune că elevul are abilitățile de a efectua transformări și calcule identice.

O situație complet diferită apare atunci când un școlar întâlnește ecuații trigonometrice. Mai mult, nu este greu de stabilit faptul că ecuația este trigonometrică. Apar dificultăți la găsirea unui curs de acțiune care ar duce la un rezultat pozitiv. Și aici studentul se confruntă cu două probleme. De aspect tipul ecuațiilor este dificil de determinat. Și fără să cunoști tipul, este aproape imposibil să alegi formula cerută din câteva zeci disponibile.

Pentru a-i ajuta pe elevi să-și găsească drumul prin complexul labirint de ecuații trigonometrice, ei sunt introduși mai întâi în ecuații care sunt reduse la ecuații pătratice atunci când este introdusă o nouă variabilă. Apoi rezolvă ecuații omogene și pe cele reductibile la ele. Totul se termină, de regulă, cu ecuații, pentru a le rezolva pe care trebuie să le factorizezi partea stângă, apoi egalând fiecare dintre factori cu zero.

Dându-și seama că cele douăzeci și jumătate de ecuații discutate în lecții nu sunt în mod clar suficiente pentru a-l pune pe elev într-o călătorie independentă prin „marea” trigonometrică, profesorul mai adaugă câteva recomandări.

Pentru a rezolva o ecuație trigonometrică, trebuie să încercați:

Aduceți toate funcțiile incluse în ecuație la „aceleași unghiuri”;

Reduceți ecuația la „funcții identice”;

Factorizați partea stângă a ecuației etc.

Dar, în ciuda cunoașterii tipurilor de bază de ecuații trigonometrice și a mai multor principii pentru găsirea soluției lor, mulți studenți sunt încă uimiți de fiecare ecuație care este ușor diferită de cele rezolvate anterior. Rămâne neclar la ce ar trebui să depuneți eforturi atunci când aveți cutare sau cutare ecuație, de ce într-un caz este necesar să folosiți formule cu unghi dublu, în altul - jumătate de unghi, iar într-o a treia - formule de adunare etc.

Definiția 1. O ecuație trigonometrică este o ecuație în care necunoscutul este conținut sub semnul funcțiilor trigonometrice.

Definiția 2. Se spune că o ecuație trigonometrică are unghiuri egale dacă toate funcțiile trigonometrice incluse în ea au argumente egale. Se spune că o ecuație trigonometrică are funcții identice dacă conține doar una dintre funcțiile trigonometrice.

Definiția 3. Puterea unui monom care conține funcții trigonometrice este suma exponenților puterilor funcțiilor trigonometrice incluse în acesta.

Definiția 4. O ecuație se numește omogenă dacă toate monomiile incluse în ea au același grad. Acest grad se numește ordinea ecuației.

Definiția 5. Ecuație trigonometrică care conține numai funcții păcatŞi cos, se numește omogen dacă toate monomiile cu privire la funcțiile trigonometrice au același grad, iar funcțiile trigonometrice în sine au unghiuri egale iar numărul de monomii este cu 1 mai mare decât ordinul ecuației.

Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice constă în două etape: transformarea ecuației pentru a obține cea mai simplă formă și rezolvarea celei mai simple ecuații trigonometrice rezultată. Există șapte metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

eu. Metoda algebrică. Această metodă este bine cunoscută din algebră. (Metoda înlocuirii și substituirii variabilelor).

Rezolvați ecuații.

1)

Să introducem notația x=2 păcat3 t, primim

Rezolvând această ecuație, obținem:
sau

aceste. poate fi notat

La înregistrarea soluției rezultate din cauza prezenței semnelor grad
nu are rost să-l notezi.

Răspuns:

Să notăm

Primim ecuație pătratică
. Rădăcinile sale sunt numerele
Şi
. Prin urmare, această ecuație se reduce la cele mai simple ecuații trigonometrice
Şi
. Rezolvându-le, aflăm că
sau
.

Răspuns:
;
.

Să notăm

nu satisface conditia

Mijloace

Răspuns:

Să transformăm partea stângă a ecuației:

Astfel, această ecuație inițială poate fi scrisă astfel:

, adică

După ce a desemnat
, primim
Rezolvând această ecuație pătratică avem:

nu satisface conditia

Scriem soluția ecuației inițiale:

Răspuns:

Substituţie
reduce această ecuație la o ecuație pătratică
. Rădăcinile sale sunt numerele
Şi
. Deoarece
, atunci ecuația dată nu are rădăcini.

Răspuns: fără rădăcini.

II. Rezolvarea ecuațiilor folosind condiția de egalitate a funcțiilor trigonometrice cu același nume.

O)
, Dacă

b)
, Dacă

V)
, Dacă

Folosind aceste condiții, luați în considerare rezolvarea următoarelor ecuații:

6)

Folosind cele spuse în partea a) aflăm că ecuația are o soluție dacă și numai dacă
.

Rezolvând această ecuație, găsim
.

Avem două grupe de soluții:

.

7) Rezolvați ecuația:
.

Folosind condiția punctului b) deducem că
.

Rezolvând aceste ecuații pătratice, obținem:

.

8) Rezolvați ecuația
.

Din această ecuație deducem că . Rezolvând această ecuație pătratică, aflăm că

.

III. Factorizarea.

Considerăm această metodă cu exemple.

9) Rezolvați ecuația
.

Soluţie. Să mutăm toți termenii ecuației la stânga: .

Să transformăm și să factorizăm expresia din partea stângă a ecuației:
.

.

.

1)
2)

Deoarece
Şi
nu accepta valoarea zero

în același timp, apoi împărțim ambele părți

ecuatii pentru
,

Răspuns:

10) Rezolvați ecuația:

Soluţie.

sau


Răspuns:

11) Rezolvați ecuația

Soluţie:

1)
2)
3)

,


Răspuns:

IV. Reducerea la o ecuație omogenă.

Pentru a decide ecuație omogenă necesar:

Mutați toți membrii săi în partea stângă;

Puneți toți factorii comuni din paranteze;

Echivalează toți factorii și parantezele la zero;

Parantezele egale cu zero dau o ecuație omogenă de grad mai mic, care ar trebui împărțită la
(sau
) în gradul superior;

Rezolvați ecuația algebrică rezultată pentru
.

Să ne uităm la exemple:

12) Rezolvați ecuația:

Soluţie.

Să împărțim ambele părți ale ecuației cu
,

Introducerea denumirilor
, nume

rădăcinile acestei ecuații:

deci 1)
2)

Răspuns:

13) Rezolvați ecuația:

Soluţie. Folosind formulele cu unghi dublu și identitatea trigonometrică de bază, reducem această ecuație la jumătate de argument:

După reducerea termenilor similari avem:

Împărțirea ultimei ecuații omogene la
, primim

voi indica
, obținem o ecuație pătratică
, ale căror rădăcini sunt numere

Astfel

Expresie
merge la zero la
, adică la
,
.

Soluția ecuației pe care am obținut-o nu include aceste numere.

Răspuns:
, .

V. Introducerea unui unghi auxiliar.

Luați în considerare o ecuație de formă

Unde a, b, c- coeficienți, x- necunoscut.

Să împărțim ambele părți ale acestei ecuații cu

Acum, coeficienții ecuației au proprietățile sinusului și cosinusului, și anume: modulul fiecăruia dintre ei nu depășește unul, iar suma pătratelor lor este egală cu 1.

Apoi le putem desemna în consecință
(Aici - unghi auxiliar) iar ecuația noastră ia forma: .

Apoi

Și decizia lui

Rețineți că notațiile introduse sunt interschimbabile reciproc.

14) Rezolvați ecuația:

Soluţie. Aici
, deci împărțim ambele părți ale ecuației cu

Răspuns:

15) Rezolvați ecuația

Soluţie. Deoarece
, atunci această ecuație este echivalentă cu ecuația


Deoarece
, atunci există un unghi astfel încât
,
(aceste.
).

Avem

Deoarece
, apoi obținem în sfârșit:


.

Rețineți că ecuațiile de formă au o soluție dacă și numai dacă

16) Rezolvați ecuația:

Pentru a rezolva această ecuație, grupăm funcțiile trigonometrice cu aceleași argumente

Împărțiți ambele părți ale ecuației la două

Să transformăm suma funcțiilor trigonometrice într-un produs:

Răspuns:

VI. Transformarea unui produs într-o sumă.

Formulele corespunzătoare sunt folosite aici.

17) Rezolvați ecuația:

Soluţie. Să transformăm partea stângă într-o sumă:

VII.Substituție universală.

,

aceste formule sunt valabile pentru toată lumea

Substituţie
numit universal.

18) Rezolvați ecuația:

Soluție: Înlocuiți și
la exprimarea lor prin
si denota
.

Obținem o ecuație rațională
, care se transformă în pătrat
.

Rădăcinile acestei ecuații sunt numerele
.

Prin urmare, problema a fost redusă la rezolvarea a două ecuații
.

Găsim că
.

Vedeți valoarea
nu satisface ecuația originală, care se verifică prin verificarea - substituție valoare dată tîn ecuația originală.

Răspuns:
.

Comentariu. Ecuația 18 ar fi putut fi rezolvată în alt mod.

Să împărțim ambele părți ale acestei ecuații la 5 (adică cu
):
.

Deoarece
, atunci există un astfel de număr
, Ce
Şi
. Prin urmare, ecuația ia forma:
sau
. De aici aflăm că
Unde
.

19) Rezolvați ecuația
.

Soluţie. Din moment ce funcţiile
Şi
au cea mai mare valoare, egal cu 1, atunci suma lor este 2 dacă
Şi
, simultan, adică
.

Răspuns:
.

La rezolvarea acestei ecuații, s-a folosit mărginirea funcțiilor și.

Concluzie.

Când lucrați la subiectul „Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice”, este util ca fiecare profesor să urmeze următoarele recomandări:

    Sistematizarea metodelor de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

    Alegeți singuri pașii pentru a efectua o analiză a ecuației și semnele de recomandare a utilizării unei anumite metode de soluție.

    Gândiți-vă la modalități de a vă automonitoriza activitățile în implementarea metodei.

    Învață să compui „propriile tale” ecuații pentru fiecare dintre metodele studiate.

Anexa nr. 1

Rezolvați ecuații omogene sau reductibile la omogene.

1.

Reprezentant.

Reprezentant.

Reprezentant.

5.

Reprezentant.

Reprezentant.

7.

Reprezentant.

Reprezentant.

Când rezolvi multe probleme matematice , în special cele care apar înainte de clasa a 10-a, este clar definită ordinea acțiunilor efectuate care vor duce la obiectiv. Astfel de probleme includ, de exemplu, ecuații liniare și pătratice, inegalități liniare și pătratice, ecuații fracționale și ecuații care se reduc la cele pătratice. Principiul rezolvării cu succes a fiecăreia dintre problemele menționate este următorul: este necesar să se stabilească ce tip de problemă este rezolvată, să ne amintim succesiunea necesară de acțiuni care vor duce la rezultatul dorit, adică. răspundeți și urmați acești pași.

Este evident că succesul sau eșecul în rezolvarea unei anumite probleme depinde în principal de cât de corect este determinat tipul de ecuație care se rezolvă, cât de corect este reprodusă succesiunea tuturor etapelor rezolvării acesteia. Desigur, în acest caz este necesar să aveți abilitățile de a efectua transformări și calcule identice.

Situația este diferită cu ecuații trigonometrice. Nu este deloc greu de stabilit faptul că ecuația este trigonometrică. Apar dificultăți la determinarea succesiunii de acțiuni care ar duce la răspunsul corect.

Este uneori dificil de determinat tipul său pe baza aspectului unei ecuații. Și fără a cunoaște tipul de ecuație, este aproape imposibil să o alegeți pe cea potrivită dintre câteva zeci de formule trigonometrice.

Pentru a rezolva o ecuație trigonometrică, trebuie să încercați:

1. aduceți toate funcțiile incluse în ecuație la „aceleași unghiuri”;
2. aduceți ecuația la „funcții identice”;
3. factorizează partea stângă a ecuației etc.

Să luăm în considerare metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

I. Reducerea la cele mai simple ecuaţii trigonometrice

Diagrama soluției

Pasul 1. Expres functie trigonometrica prin componente cunoscute.

Pasul 2. Găsiți argumentul funcției folosind formulele:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Pasul 3. Găsiți variabila necunoscută.

Exemplu.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Soluţie.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Răspuns: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Înlocuire variabilă

Diagrama soluției

Pasul 1. Reduceți ecuația la formă algebrică în raport cu una dintre funcțiile trigonometrice.

Pasul 2. Notați funcția rezultată prin variabila t (dacă este necesar, introduceți restricții asupra t).

Pasul 3. Scrieți și rezolvați ecuația algebrică rezultată.

Pasul 4. Faceți o înlocuire inversă.

Pasul 5. Rezolvați cea mai simplă ecuație trigonometrică.

Exemplu.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Soluţie.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Fie sin (x/2) = t, unde |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 sau e = -3/2, nu satisface condiția |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Răspuns: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metoda de reducere a ordinii ecuațiilor

Diagrama soluției

Pasul 1.Înlocuiți această ecuație cu una liniară, folosind formula de reducere a gradului:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Pasul 2. Rezolvați ecuația rezultată folosind metodele I și II.

Exemplu.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Soluţie.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Răspuns: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Ecuații omogene

Diagrama soluției

Pasul 1. Reduceți această ecuație la forma

a) a sin x + b cos x = 0 (ecuația omogenă de gradul I)

sau la vedere

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ecuația omogenă de gradul doi).

Pasul 2.Împărțiți ambele părți ale ecuației la

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

și obțineți ecuația pentru tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Pasul 3. Rezolvați ecuația folosind metode cunoscute.

Exemplu.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Soluţie.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Fie tg x = t, atunci

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 sau t = -4, ceea ce înseamnă

tg x = 1 sau tg x = -4.

Din prima ecuație x = π/4 + πn, n Є Z; din a doua ecuaţie x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Răspuns: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metoda de transformare a unei ecuații folosind formule trigonometrice

Diagrama soluției

Pasul 1. Folosind tot felul de formule trigonometrice, reduceți această ecuație la o ecuație rezolvată prin metodele I, II, III, IV.

Pasul 2. Rezolvați ecuația rezultată folosind metode cunoscute.

Exemplu.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Soluţie.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 sau 2cos x + 1 = 0;

Din prima ecuație 2x = π/2 + πn, n Є Z; din a doua ecuațiile cos x = -1/2.

Avem x = π/4 + πn/2, n Є Z; din a doua ecuație x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Ca rezultat, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Răspuns: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Abilitatea și deprinderea de a rezolva ecuații trigonometrice este foarte important, dezvoltarea lor necesită un efort semnificativ, atât din partea elevului, cât și din partea profesorului.

Multe probleme de stereometrie, fizică etc. sunt asociate cu rezolvarea ecuațiilor trigonometrice Procesul de rezolvare a unor astfel de probleme întruchipează multe dintre cunoștințele și abilitățile care sunt dobândite prin studierea elementelor de trigonometrie.

Ecuațiile trigonometrice iau loc importantîn procesul de predare a matematicii şi de dezvoltare a personalităţii în general.

Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi ecuații trigonometrice?
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Conceptul de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

  • Pentru a rezolva o ecuație trigonometrică, convertiți-o într-una sau mai multe ecuații trigonometrice de bază. Rezolvarea unei ecuații trigonometrice se reduce în cele din urmă la rezolvarea celor patru ecuații trigonometrice de bază.

  • Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de bază.

    • Există 4 tipuri de ecuații trigonometrice de bază:
    • sin x = a; cos x = a
    • tan x = a; ctg x = a
    • Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de bază implică examinarea diferitelor poziții x pe cercul unității, precum și utilizarea unui tabel de conversie (sau calculator).
    • Exemplul 1. sin x = 0,866. Folosind un tabel de conversie (sau un calculator) veți obține răspunsul: x = π/3. Cercul unitar dă un alt răspuns: 2π/3. Rețineți: toate funcțiile trigonometrice sunt periodice, adică valorile lor se repetă. De exemplu, periodicitatea lui sin x și cos x este 2πn, iar periodicitatea lui tg x și ctg x este πn. Prin urmare, răspunsul este scris după cum urmează:
    • x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
    • Exemplul 2. cos x = -1/2. Folosind un tabel de conversie (sau un calculator) veți obține răspunsul: x = 2π/3. Cercul unitar dă un alt răspuns: -2π/3.
    • x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
    • Exemplul 3. tg (x - π/4) = 0.
    • Răspuns: x = π/4 + πn.
    • Exemplul 4. ctg 2x = 1.732.
    • Răspuns: x = π/12 + πn.

  • Transformări utilizate în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

    • Pentru transformarea ecuațiilor trigonometrice se folosesc transformări algebrice (factorizare, reducere membri omogene etc.) și identități trigonometrice.
    • Exemplul 5: Folosind identități trigonometrice, ecuația sin x + sin 2x + sin 3x = 0 este convertită în ecuația 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Astfel, următoarele ecuații trigonometrice de bază trebuie rezolvate: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

    • Găsirea unghiurilor prin valori cunoscute funcții.

      • Înainte de a învăța cum să rezolvi ecuațiile trigonometrice, trebuie să înveți cum să găsești unghiuri folosind valorile funcțiilor cunoscute. Acest lucru se poate face folosind un tabel de conversie sau un calculator.
      • Exemplu: cos x = 0,732. Calculatorul va da răspunsul x = 42,95 grade. Cercul unitar va da unghiuri suplimentare, al căror cosinus este, de asemenea, 0,732.

    • Pune deoparte soluția pe cercul unității.

      • Puteți reprezenta soluțiile unei ecuații trigonometrice pe cercul unității. Soluțiile unei ecuații trigonometrice pe cercul unitar sunt vârfurile unui poligon regulat.
      • Exemplu: Soluțiile x = π/3 + πn/2 pe cercul unitar reprezintă vârfurile pătratului.
      • Exemplu: Soluțiile x = π/4 + πn/3 pe cercul unitar reprezintă vârfurile unui hexagon regulat.

    • Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

      • Dacă o ecuație trigonometrică dată conține o singură funcție trigonometrică, rezolvați acea ecuație ca o ecuație trigonometrică de bază. Dacă o anumită ecuație include două sau mai multe funcții trigonometrice, atunci există 2 metode de rezolvare a unei astfel de ecuații (în funcție de posibilitatea transformării acesteia).
        • Metoda 1.
      • Transformați această ecuație într-o ecuație de forma: f(x)*g(x)*h(x) = 0, unde f(x), g(x), h(x) sunt ecuațiile trigonometrice de bază.
      • Exemplul 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
      • Soluţie. Folosind formula unghiului dublu sin 2x = 2*sin x*cos x, înlocuiți sin 2x.
      • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Rezolvați acum cele două ecuații trigonometrice de bază: cos x = 0 și (sin x + 1) = 0.
      • Exemplul 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
      • Rezolvare: Folosind identități trigonometrice, transformați această ecuație într-o ecuație de forma: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Acum rezolvați cele două ecuații trigonometrice de bază: cos 2x = 0 și (2cos x + 1) = 0.
      • Exemplul 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
      • Rezolvare: Folosind identități trigonometrice, transformați această ecuație într-o ecuație de forma: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Rezolvați acum cele două ecuații trigonometrice de bază: cos 2x = 0 și (2sin x + 1) = 0 .
        • Metoda 2.
      • Convertiți ecuația trigonometrică dată într-o ecuație care conține o singură funcție trigonometrică. Apoi înlocuiți această funcție trigonometrică cu una necunoscută, de exemplu, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t etc.).
      • Exemplul 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
      • Soluţie. În această ecuație, înlocuiți (cos^2 x) cu (1 - sin^2 x) (în funcție de identitate). Ecuația transformată este:
      • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Înlocuiți sin x cu t. Acum, ecuația arată astfel: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Aceasta este o ecuație pătratică care are două rădăcini: t1 = -1 și t2 = 9/5. A doua rădăcină t2 nu satisface domeniul de funcții (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
      • Exemplul 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
      • Soluţie. Înlocuiți tg x cu t. Rescrie ecuația originală în urmatoarea forma: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Acum găsiți t și apoi găsiți x pentru t = tan x.